我们将二项式得分核（BIN）作为传统测试的代表，统一核（ZU）作为连续单光谱测试的代表，以及（ZLL）作为多光谱测试的代表。我们在单谱测试中发现k=4个滞后，对应于在一个交易周的时间范围内观察相关性。为了便于与单光谱测试进行比较，我们对双光谱ZLL测试进行了x检验（k=4，k=0）。在条件覆盖率测试中，缺失值或伪值可能特别麻烦，因为在时间t缺失的PIT值会在t+1引入缺失的回归系数，t+k.至0.9750.9800.9850.9900.9951.0000.980 0.985 0.990 0.995 1.000 p经验CDF投资组合101103104108109窄窗口0.940.960.981.000.96 0.98 1.00 p经验CDF投资组合103105108109宽窗口图2：所选投资组合的经验分布函数。用于窄内核窗口（上面板）和宽内核窗口（下面板）的EDF。统一的cdf标为一条黑色虚线。为了避免丢失后续的k个观测值，我们将替换丢失或虚假的Pt-l在计算滞后向量ht时使用一个计算值-1.（与无条件平均值测试一样，我们不会将缺失的PTT归为因变量Wt，而是简化这些观察值。）我们的插补算法详情见附录C。表7给出了条件覆盖率测试的p值。对于组合Pf 105、Pf 106和Pf 108，无论选择CVT还是核，预测模型都会被强烈拒绝（总是在1%的水平上，几乎总是在0.01%的水平上）；为了简洁起见，我们将这些投资组合从表中删除。仅对于单个投资组合（Pf 109），预测模型从不被拒绝。

在其他六种情况下，CVT和内核的选择很重要。对于Pf 102和Pf 110组合，V.4 CVT通常会导致5%的拒绝，而使用DQ CVT的测试通常不会。V.BIN和V./CVT在许多情况下都有效，但似乎不如V.4稳健。这反映了V的更高灵敏度。4转变为市场波动的局部峰值。对于组合Pf 103，测试拒绝在宽窗口上进行，除非使用DQ CVT。对于组合Pf 101和Pf 104，测试中p值的变化主要由内核选择驱动，其方式与表6中的无条件覆盖测试一致。因此，对于这两个投资组合，PIT值的序列依赖性似乎不是预测模型的显著缺点。在Pf 107的情况下，DQ CVT及其双尾计数器部分（V.BIN）的测试统计数据未定义。由于在任何一个尾部都没有观察到违规（Pt<0.01或Pt>0.99），在这两种情况下，（18）的矩阵^H都是奇异的，因此无法转换检验统计量。这表明了二元值CVT的实际局限性，因为短样本通常不包含尾值。还要注意的是，尽管无条件测试强烈拒绝了该组合的预测模型，但回溯测试未能拒绝狭窄窗口上的两个CVT。由于所有t的Pt<α=0.985，因此WT在样品中产生分布。

在这种情况下，可以证明条件检验统计量对CVT和k是不变的，并且等于无条件检验统计量。窄窗宽窗ID CVT BIN ZU ZLL ZU ZLLDQ 0.0017 0.0002 0.0020 0.0342 0.0092V。BIN 0.0084 0.0002 0.0009 0.0513 0.0115V。4 0.0062 0.0003 0.0007 0.0921 0.0230V/0.0658 0.0063 0.0078 0.1376 0.0301DQ 0.0088 0.0975 0.1448 0.1873 0.1443V。料仓0.0119 0.4716 0.3441 0.0201 0.0147V。4 0.0000 0.0086 0.0023 0.0003 0.0006V/0.0000 0.0239 0.0111 0.0004 0.0005DQ 0.7540 0.7429 0.8408 0.1787 0.1879V。BIN 0.0773 0.0426 0.1331 0.0068 0.0149V。4 0.3064 0.1372 0.2286 0.0074 0.0088V/0.5209 0.4194 0.5181 0.0318 0.0276DQ 0.8732 0.8501 0.5202 0.0295 0.0138V。纸盒0.8700 0.8456 0.5167 0.0289 0.0135V。4 0.3225 0.2013 0.1287 0.0034 0.0022V/0.2085 0.0976 0.0689 0.0016 0.0011DQ NA NA NA NA NA NAV。BIN NA NA NA NA NAV。4 0.1844 0.1071 0.1085 0.0001 0.0000V/0.1844 0.1071 0.1085 0.0001 0.0000DQ 0.9917 0.6351 0.0548 0.1465 0.1383V。料仓0.8041 0.7510 0.1179 0.4522 0.5170V。4 0.8929 0.8603 0.2067 0.5578 0.6225V/0.9313 0.6389 0.1327 0.4766 0.5266DQ 0.2658 0.3058 0.4121 0.1661 0.1395V。BIN 0.0041 0.0006 0.0009 0.0044 0.0108V。4 0.0093 0.0008 0.0012 0.0100 0.0352V/0.1403 0.0513 0.0840 0.1508 0.2823表7：条件覆盖率测试。我们通过投资组合、条件变量转换、核窗口和核族来测试p值。单谱测试利用k=4滞后，对于ZLL双谱测试，我们设定（k=4，k=0）。窄内核窗口为[0.985,0.995]，宽内核窗口为[0.95,0.995]。样本期为2014年1月1日至2016年12月31日。对于所有CVT和内核选择，Pf 105、Pf 106和Pf 108（未列表）的预测模型在1%的水平上被拒绝。回顾检验统计量在零假设下的分布χ1+kun，我们发现p值随k增加。

这解释了为什么在过度保守的预测模型导致Wt中退化的情况下，无条件回溯测试可能比条件回溯测试具有更大的威力。7结论光谱回溯测试的类别嵌入了许多最广泛使用的非条件平均测试和条件覆盖测试，包括Kupiec（1995）的二项式似然比测试，Berkowitz（2001）的区间似然比检验，Engle和Manganelli（2004）的动态量化检验。正如我们通过许多示例所演示的那样，根据相关内核查看这些测试有助于构建新的测试。从风险管理实践的角度来看，明确选择内核度量可能有助于约束回测过程，因为内核直接表达了用户对模型性能的兴趣。不同的果仁对与无效假设的不同偏差很敏感。一个只关心在一个狭窄范围内系统性低估或高估分位数的测试员，可以使用许多离散和连续的单核函数。如果测试人员希望确保预测模型在广泛的分位数范围内的真实分布具有最大的精确性，则可能更担心斜率违规（窗口一端的分位数高估，另一端的分位数低估）。这样的测试人员可能喜欢多光谱测试。然而，推广Spectrum家族的单一“最佳”测试将与我们的贡献理念背道而驰，我们避免这样做。测试人员应该反映性能优先级，并相应地选择她的内核。我们的结果说明了监管机构获取银行报告的PIT值的价值。

直到最近，监管机构才有效地观察到单个α水平上的一系列VaR超标事件指标，因此，设计了回溯测试以将此类数据作为输入。在包括美国在内的一些司法管辖区，已经收集了一段时间的PIT值。除了能够形成光谱测试统计数据外，滞后PIT值在基于回归的条件覆盖率测试中作为条件变量尤其有效。A证据A。定理3.1Let和Gbe与测度ν和ν相关的递增右连续函数的证明。因此W*t=G（Pt）G（Pt）。函数G*（u） =G（u）G（u）也必须是递增且右连续的，因此可用于定义Lebesgue-Stieltjes度量ν*通过设置ν*（{0}）=G*（0）=0和ν*（（a，b））=G*（b）- G*（a） 对于任何0 a<b 1、因此W*t=克*（Pt）=ν*（[0，Pt]）。ν的公式*通过应用Lebesgue-Stieltjes积分的分部积分公式（Hewitt，1960，定理A）获得。A、 2命题3.2的证明自Gν（u）=O（（1- u）-1/2+ε）作为u→ 1对于一些小的ε，存在一个值u和一个正常数C，使得Gν（u） C（1- u）-1/2+ε表示u u、 设u为ua和Gν不可微分的最后一点中的较大值（根据假设1，只有这么多点）。我们可以分解（9）asE（Wt）=Z[0，\'u]（1-u） （2Gν（u）- ν（{u}）dν（u）+Z（\'u，1]（1-u） （2Gν（u）- ν（{u}）dν（u）（A.1）第一项中的被积函数以2Gν（\'u）为界，因此积分是有限的。我们只需证明第二项的完整性，第二项可以写成Z'u（1- u） 2Gν（u）gν（u）du=Z？u（1- u） dduGν（u）杜邦=Gν（u）（1- u）“u+Z”uGν（u）du使用零件集成。自0起 Gν（u）（1- u） C（1- u） 2ε表示u \'u和（1- u） 2ε→ 0作为u→ 1，遵循[Gν（u）（1- u） ][u=-Gν（(R)u）（1- \'\'u）。

此外，第二项是有限的，因为“uGν（u）du” CZ'u（1- u）-1+2εdu=2ε（1- \'\'u）2ε。A、 3定理3.3的证明让pt表示pt的实现值和wt，j=Gj（pt）对应的t的实现值，对于t=1，n和j=1，2。有两种情况需要考虑。要么发生在Gj右导数为0的区间，要么发生在右导数为正的区间。设gj表示由gj的右导数等于零的所有点组成的[0，1]的子集。如果pt∈ Gj然后，根据Gj的正确连续性，pT必须以[at，j，bt，j]的形式出现（如果Gjat bt，j中有跳跃）或[at，j，bt，j]的形式出现（如果Gj在bt，j中连续）。在另一种情况下，wt，jt对可能性isP（wt，j=wt，j）=P（Gj（Pt）=Gj（Pt））=FP（bt，j）的贡献- FP（at，j）。如果Pt∈ GJTEN wt，jsatis P（wt，j wt，j）=P（Pt pt）和pt=G-1j（wt，j），Gjat wt，j的唯一逆。对可能性的贡献是由fw（wt，j |θ）=fP（pt |θ）G′j（pt）给出的密度贡献。给定wj=（w1，j，…，wn，j）′的实现似然的一般形式是thusLWj（θ| wj）=Ypt∈Gj（FP（bt，j）- FP（at，j））Ypt∈GjfP（pt）|θ）G′j（pt）对于度量ν和ν集，Gmay最多可通过空集进行区分。让我们假设每个实现点PTI要么在两个集合中，要么在两个集合中，要么在两个集合中。如果pt∈ Gand pt公司∈ G当（0，1）上的支架一致时，意味着at，1=at，2和bt，1=bt，2。因此，可能性贡献是相同的。如果pt∈ Gand pt公司∈ G然后，概率仅由不涉及参数θ的比例因子G′j（pt）决定。该因子在对数似然中仅作为一个不重要的加性项出现，并从LR检验统计量中取消。因此，通过相同的值使可能性LWj（θ| wj）最大化^θ，并且THLR检验统计量相同。A、 4定理4.1集Xt=（Xt，0，…）的证明。

，Xt，m）′是（m+1）维随机向量，对于i=0，…，i={1′Wt=i}，m、 在（5）下，Xthas多项式分布满足E（Xt，i）=θi，var（Xt，i）=θi（1- θi）和cov（Xt，i，Xt，j）=-θiθjfor i= j、 现在，通过省略第一个分量，将Yto定义为从XT获得的m维随机向量。然后E（Yt）=θ=（θ，…，θm）′，∑Yis是cov（Xt）的m×m子矩阵，这是由于删除了第一行和第一列。设Y=n-1Pnt=1Yt。皮尔逊检验渐近性的标准方法是显示Sm=mXi=0（Oi- nθi）nθi=mXi=0（Pnt=1Xt，i- nθi）nθi=n（Y- θ)′Σ-1年（Y- θ） ，（A.2），因此认为Sm~ χmin限值为n→ ∞ 根据中心极限定理。它表明（A.2）的右侧具有光谱测试表示（7）。设A为m×m矩阵，行由（e）给出-e、 e类-eem）其中eidenotesthe ith unit vector。可以很容易地验证Yt=AWt，θ=AuWand∑Y=A∑WA′。下面是N（W- uW）′∑-1W（W- uW）=n（Y- θ)′Σ-1年（Y- θ） =Sm。B条件双谱Z检验条件谱Z检验推广到条件多谱Z检验。在双谱情况下，我们构建了两组转换后的报告PIT值（Wt，1，Wt，2）fort=1，n、 形成由yt给出的长度k+k+2的向量yto=h′t-1,1fWt，1，h′t-1,2fWt，2′, （B.1）其中fwt，i=Wt，i- uW，地面和ht-1，i=（1，hi（Pt-1), . . . , hi（Pt-ki））\'。与单变量情形平行，设Yn，k=（n-k）-1Pnt=k+1YT表示k=k∨k、 让∑yde注意到∑Y的一致估计：=cov（Yt）。根据Giacomini和White（2006）的理论，对于n大和（k，k）固定，（n- k） Y′n，k^∑-1年，k~ χk+k+2。（B.2）在零假设下，我们可以将（17）推广到∑Y=AWo H、 在哪里o表示逐元素乘法（Hadamard乘积）。

矩阵areH=Eht公司-1,1h′t-1,1Eht公司-1,1h′t-1,2Eht公司-1,2h′t-1,1Eht公司-1,2h′t-1,2, AW公司=σW，1Jk+1，k+1σW，12Jk+1，k+1σW，12Jk+1，k+1σW，2Jk+1，k+1（B.3）式中，Jm，ndente表示1和σW的m×n矩阵，12=EfWt，1fWt，2. 我们的测试使用估计器∑Y=AWo^H，其中^H将（18）概括为^H=（n- （k）∨ k） （）-1nXt=（k∨k） +1（h′t-1,1，h′t-1,2）′（h′t-1,1，h′t-1,2). （B.4）C伪坑值的识别考虑了一种典型的高斯模型，其中损失由Lt=σt给出-1Zt，其中（Zt）是标准正态随机变量和波动率σt的IID序列-1英寸-1-可测量。σt的时间变化可能源于随机波动或投资组合随时间的变化。假设风险经理知道真实的潜在分布和波动性。在α=0.99时，风险经理的理想风险预测值为DVART=Φ-1（0.99）σt-1，其中Φ是标准正常cdf。我们没有观察到σt-1，但通过观察LtanddVaRt，我们可以得出ZtasZt=Φ的实现值-1（0.99）×Lt/dVaRt。（C.1）此外，PIT值可表示为asPt=bFt-1（Lt）=Φ（Lt/σt-1） =Φ（Zt）。（C.2）一般来说，我们不希望zt是高斯的，因此（C.2）不成立。然而，只要（Zt）是iid，Zt（如（C.1）所定义）和Pt之间仍然存在单调关系。我们发现，预测关系在定性上适用于所有银行报告的投资组合，但某些投资组合中的噪音比其他投资组合中的噪音大。这表明我们可以使用违反单调性的行为来识别虚假的PIT值，但识别阈值必须在不同的投资组合中有所不同。设H（z；θi）：R→ [0，1]是一系列具有参数θifor portfolio i的拟合函数，并用pi替换（C.2），t=H（Zi，t；θi）+εi，t（C.3），其中εi，皮重为白噪声残差。

由于H函数应该是递增的，所以很容易将H作为cdf，即使在我们的上下文中它没有统计解释。为方便起见，我们将H作为无限制（ui，σi）为θi的正常cdf。对于每个投资组合i，我们进行如下操作：1。用非线性最小二乘法拟合θiby，并构造残差εit=Pit- H（Zit；^θi）。（εit）在开放区间内有界(-1，1），因为H（Zit）不产生边界值。我们根据重新缩放的贝塔分布对εitas进行建模(-1，1），参数为（a=τi/2，b=τi/2）。该分布具有均值零和方差1/（τi+1），因此我们只需将τ拟合为回归残差的方差。设B（ε；^τi）为拟合β分布。当B（εit；^τi）<q/2或B（εit；^τi）>1时，我们将观察值视为伪值- q/2，其中q是公差参数。我们在步骤3中对排除虚假观察的样本重新估计τias。用更新的^τi重复步骤4。如果在任一轮估计中被剔除，则观察结果被视为虚假。在我们的基线程序中，我们将公差参数设置为q=10-5，其目的仅在于揭示Pit和pair（Lit、dVaRit）之间最严重的不一致。非典型情况涉及非常接近零的PIT值或与适度的P&L相关的PIT值，该P&L值小于dVaRit。设置q=0相当于关闭纯值的识别。该程序产生的估算PIT值为^PIT=H（Zit；^θi）。如第6.3节所述，我们使用插补值来填补条件覆盖率测试中形成回归方程时的虚假值。参考Acerbi，C.和B.Szekely，2014年，回测预期短缺，风险1-6。Amisano，G.和R。

Giacomini，2007，通过加权似然比检验比较密度预测，商业与经济统计杂志25177-190。Andrews，D.W.K.，1991，《异方差和自相关一致性协方差矩阵估计》，计量经济学59817–858。Barone Adesi，G.、F.Bourgoin和K.Giannopoulos，1998年，《不要回头，风险11100–103》。巴塞尔银行监管委员会，2013，《交易手册的基本审查：经修订的市场风险框架》，第265号出版物，国际清算银行。Berkowitz，J.，2001，《密度预测的准确性测试》，风险管理应用，商业与经济统计杂志，19465–474。Berkowitz，J.和J.O\'Brien，2002，《商业银行风险价值模型的准确性如何？》？，《金融杂志》571093-1112。Billingsley，P.，1961，《鞅的Lindeberg–Lévy定理》，《美国数学学会学报》第12788–792页。美联储理事会，2011年，《模型风险管理监管指南》，SR信函11-7。坎贝尔，S.D.，2006，《回溯测试和回溯测试程序回顾》，风险杂志9，1-17。Christo Offersen，P.，1998年，《评估区间预测》，《国际经济评论》第39期。Colletaz、Gilbert、Christophe Hurlin和Christophe Pérignon，2013，《风险地图：验证风险模型的新工具》，银行与金融杂志，373843–3854。Costanzino，N.和M.Curran，2015年，《应用于预期短缺的一般光谱风险度量的回溯测试》，《风险模型验证杂志》第9期，第21-31页。Crnkovic，C.和J.Drachman，1996，《质量控制，风险》，第9139–143页。Diebold，F.X.、T.A.Gunther和A.S.Tay，1998，《评估密度预测及其在金融风险管理中的应用》，《国际经济评论》39863–883。迪堡、F.X.和R.S。

Mariano，1995年，《比较预测准确性》，商业与经济统计杂志13253–265。Du，Z.和J.C.Escanciano，2017，《回溯测试预期缺口：尾部风险的会计》，管理科学63940–958。Engle，R.F.和S.Manganelli，2004，《鱼子酱：回归分位数的条件自回归风险值》，商业与经济统计杂志，第22367–381页。Escanciano，J.C.和J.Olmo，2010，《用估计风险对参数风险值进行回溯测试》，商业与经济统计杂志28，36–51。《联邦公报》，2012年，《基于风险的资本指南：市场风险》。Fissler，T.、J.F.Ziegel和T.Gneiting，2016，《预期短缺与风险价值：后验的影响》，风险58-61。Giacomini，R.和H.White，2006，《条件预测能力测试》，计量经济学741545–1578。Gneiting，T.，2011，《制定和评估点预测》，美国统计协会杂志106，746–762。Gneiting，T.、F.Balabdaoui和A.E.Raftery，2007，《概率预测、校准和清晰度》，皇家统计学会杂志，B辑69，243–268。Gneiting，T.和R.Ranjan，2011，使用阈值和分位数加权评分规则比较密度预测，商业与经济统计杂志29411-422。Hewitt，E.，1960，《Stieltjes积分的分部积分》，《美国数学月刊》67419–423。Hull，J.C.和A.White，1998，将波动率更新纳入风险价值的历史模拟方法，风险杂志1，5–19。Hurlin，C.、S.Laurent、R.Quaedvlieg和S.Smeekes，2017，《商业与经济统计杂志》风险度量推断35499-512。Kratz，M.、Y.H.Lok和A.J.McNeil，2018，《多项VaR回溯测试：回溯测试预期缺口的简单隐式方法》，《银行与金融杂志》88，393–407。Kupiec，P。

H、 ，1995，《验证风险计量模型准确性的技术》，衍生工具杂志3，73–84。Leccadito、Arturo、Simona Bo offelli和Giovanni Urga，2014，《评估风险价值预测的准确性：新的多水平测试》，国际预测杂志30206-216。Newey，W.和K.West，1987年，《一个简单、正半定义、异方差性和自相关一致性协方差矩阵》，计量经济学55703–08。Nolde，N.和J.F.Ziegel，2017，《可引出性和回溯测试：银行监管的前景》，《应用统计年鉴》111833-1874。O\'Brien，J.和P.J.Szerzen，2017，《金融危机之前、期间和之后的银行市场风险评估》，银行与金融杂志80215–234。Pérignon，C.、Z.Y.Deng和Z.J.Wang，2008，《多元化和风险价值》，银行和金融杂志32783–794。Pérignon，C.和D.R.Smith，2010，《商业银行风险价值披露的水平和质量》，银行与金融杂志34362-377。Pérignon，C.和D.R.Smith，2008，《比较VaR估计方法的新方法》，衍生工具杂志16，54–66。Rosenblatt，M.，1952年，《关于多元变换的评论》，《数学统计年鉴》23470–472。Shaffer，J.P.，1995，《多重假设检验》，《心理学年鉴》46561–584。补充材料预测分布的光谱回溯测试及其在风险管理中的应用2019年7月26日摘要我们从一篇配套论文（正在进行）中提取材料，该论文阐述了我们主要论文中的某些结果。

为避免与主要文件中的表格、图表和方程式混淆，我们在对本补充文件中的表格、图表和方程式进行编号时，会在前面加上“S”。补充A：截短概率正态分布分数测试概率正态分布模型根据θ=θ的经典分数测试与备选θ产生了一个新的光谱测试= θ. 设LP（θ| P*t） 表示截断观测P的似然贡献*t=α∨ （Pt∧ α） 当ptfollowing（13）and writeSt（θ）时=uln LP（θ| P*t） ，则，σln LP（θ| P*t）′（S.1）对应的得分向量。设Sn（θ）=nPnt=1St（θ）为空值下观测得分向量的平均值。标准似然理论暗示√nSn（θ）d---→n→∞N0，I（θ）在空值下，其中I（θ）表示St（θ）的协方差矩阵，即Fisher信息矩阵。对于大的n，我们得到了nsn（θ）′I（θ）的近似值-1Sn（θ）~ χ. （S.2）本附录后面提供了I（θ）的解析表达式。在对核窗口的限制下，我们可以证明分数检验（S.2）是一个双谱Z检验，核测度ν和ν由离散部分和连续部分之和给出。定理S.1。设zbe为方程z+（Д（z）/Φ（z））z的唯一解- 1 = 0. （S.3）提供Φ（z） α< α 1，则St（θ）=Wt- uW，几乎可以肯定，其中wt，i=γi，1{Ptα} +γi，2{Ptα} +Zααgi（u）{Ptu} γi的du（S.4），1 0，γi，2 0和gi（u）阳性，在[α，α]上可区分。证据LP（θ| P*) =年初至今：P*t=αFP（α|θ）Yt：α<P*t<αfP（P*t |θ）Yt:P*t=α\'FP（α|θ）（S.5），其中\'F（u）表示尾部概率1- F（u）。似然贡献LP（θ| P*t） 根据P*t=α，α<P*t<αorP*t=α。

计算得分统计并在θ=（0，1）’Yieldst（θ）处进行评估=ψ（α）P*t=α，ψ*（P*t） α<P*t<α，ψ（α）P*t=α。式中ψ（u）=-φ(Φ-1（u））/u-φ(Φ-1（u））Φ-1（u）/u！，ψ*（u） =Φ-1（u）Φ-1（u）- 1.和ψ（u）=Д（Φ-1（u））/（1- u） ^1（Φ-1（u））Φ-1（u）/（1- u） ！。α和α处的不连续性由（γ1,1，γ2,1）′=ψ给出*(α) - ψ(α), (γ1,2, γ2,2)′= ψ(α) - ψ*（α） γi，jin的非负性，所有情况都是保证的，前提是ψ*(α) - ψ(α)  这个向量不等式的第二个分量导致条件（S.3）。可通过微分ψ获得加权函数*（u） 关于[α，α]上的u，且为thusg（u）=φ（Φ-1（u））{αuα} ，g（u）=2Φ-1（u）Д（Φ-1（u））{αuα}.最后，由于uW=Wt- St（θ），我们必须有uW=-ψ(α).我们发现Φ（z）≈ 0.8，因此α上的约束不太可能在应用中绑定到实际感兴趣的尾部概率水平范围。对于α<1的Wt，ivariables是有界的，保证I（θ）的元素是有限的。对于α=1，ν和ν的Gν函数像Φ一样增长-1（u）和Φ-分别为1（u）。我们可以使用渐近近似Φ-1（u）~p-2英寸（1- u） 作为u→ 1验证命题3.2的条件在两种情况下均满足。Fisher信息矩阵下列恒等式可用于处理概率正态分布：ZαΦ-1（u）du=Д（Φ-1(α)) - φ(Φ-1（α））（S.6）ZαΦ-1（u）- 1.du=Φ-1(α)φ(Φ-1(α)) - Φ-1(α)φ(Φ-1(α)). （S.7）设ξ（p |θ）=（Φ-1（p）- u)/σ.

截断概率正态分布对数似然的一阶导数为uln L（θ| P*t）=-φξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，-ξP*t |θσα<P*t<α，Дξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，（S.8）和σln L（θ| P*t）=-φξ(α|θ)ξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，-ξP*t |θ+1σα<P*t<α，Дξ(α|θ)ξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α。（S.9）回想一下，预期的Fisher信息矩阵定义为asI（θ）ij=-Eθiθjln L（θ| P*t）.对数似然的条件二阶导数为-uln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，（S.10）-σln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))-2ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，3ξ（P*t |θ）-1σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））ξ(α|θ)φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))+2ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，（S.11）-uσln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)-Φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，2ξ（P*t |θ）σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)+Φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α。（S.12）通过使用（S.6）和（S.7）获取期望值，并在θ=（0，1）′处进行评估，我们得到I（θ）：I（θ）1,1=Д（Φ）的元素-1(α))/α+ φ(Φ-1(α))/(1 - α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α) - φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + (α- α） ，（S.13）I（θ）2,2=Д（Φ-1(α))Φ-1(α)/α+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + φ(Φ-1(α))Φ-1(α)/(1 - α)- φ(Φ-1(α))Φ-1(α)- φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + 2(α- α） ，（S.14）I（θ）1,2=Д（Φ-1(α))Φ-1(α)/α+ φ(Φ-1(α))1 + Φ-1(α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α)/(1 - α) - φ(Φ-1(α))1 + Φ-1(α). （S.15）补充B：β核的矩我们提供了当核密度取形式gν（u）=（u）时，变换PitValue的矩和交叉矩的一般解决方案- α） a-1(α- u） b类-1(α- α） a+b-1B（a，b）表示参数（a>0，b>0）和α u α.

规范化保证gν（α）=1，并帮助解决方案与统计软件包提供的标准beta分布函数保持一致。在R表示法中，核函数是simplyGν（u）=pbetamax{α，min{u，α}}- αα- α、 a、b.求解均匀P的核（g（P），g（P））的矩和交叉矩涉及以下积分：M（a，b，a，b）=Zα（1- u） g（u）g（u）du=B（a+a，1+B）aB（a，B）B（a，B）F（a，a+a，1- b1+a、1+a+a+b；1） =B（a+a，1+B+B）aB（a，B）B（a，B）F（1，a+a，a+B；1+a，1+a+a+B+B；1）（S.16），其中F（c，c，c；d，d；1）表示（3，2）阶和参数单位的超几何函数。最后一行来自Milgram中的Thomae变换T7（2010，附录A）。由于内核的规范化，M不依赖于内核窗口的选择。当其参数均为正时，如（S.16）中的最终形式，通过标准超几何级数展开，数值解toF（c，c，c；d，d；1）是直接的。在实践中，我们最感兴趣的是整数值情形，对于这些情形，M有一个simpleclosed形式的解。对于给定的内核窗口和PIT值，让Wa，bbe用参数（a，b）表示beta内核下的转换PIT值。不完全β函数的递推规则（Abramowitz和Stegun，1965，公式6.6.7）导致“相邻”变换之间存在线性关系：（A+b）Wa，b=aWa+1，b+bWa，b+1（S.17）。直接的含义是，均匀、线性递增和线性递减变换（分别为参数集（1,1）、（2,1）和（1,2））是线性相关的。这些核的任何一对都将产生等效的双谱测试，而使用所有三个核的三谱测试将因奇异协方差矩阵∑W而无法确定。

通过迭代递归关系，我们可以导出具有整数值参数差ai的核集合之间的线性关系- 一l和bi- bl, 这将导致相应的j-光谱测试出现冗余。补充C：蒙特卡罗模拟为了比较无条件试验，我们通过从代表真实模型的标准正态分布和标度学生标准分布中的第一次抽样来生成伪坑值。然后，使用标准正常cdf将值转换为区间（0，1），该cdf被视为风险经理的模型。学生分布按比例缩放，以使方差为1，差异源于不同的尾部形状，而不是不同的方差。正态分布产生的坑样均匀分布，用于评估测试的大小。由Student t分布产生的坑样本显示了当尾部估计不准确时观察到的偏离均匀性的类型。主要论文的第4.3节解释了大多数内核和测试缩写。本补充文件中使用的其他记忆法是5级多项式测试：除了主要论文中使用的3级测试外，我们还应用了皮尔逊测试（PE5）和离散统一核Z测试（ZU5）。离散LR检验：二项式LR检验（LR1）和三水平多项式LR检验（LR3）。连续LR测试：主要论文第4.2节中描述的LR测试，可能被视为Berkowitz测试（LRB）的扩展。基线样本量为n=750，大致相当于主要论文中三年的银行数据样本。

在所有模拟实验中，重复次数为2=65536。窗口F | kernel BIN ZU3 ZU5 PE3 pe5 Normal 6.1 4.9 4.6 5.3 5.9 scaled t5 33.9 35.0 34.0 40.3 33.5 scaled t3 24.0 24.1 43.4 33.5 wide Normal 6.1 5.0 4.8 5.1 5.6 scaled t5 33.9 10.7 11.5 55.5 46.3 scaled t3 24.0 13.5 11.0 90.6 81.1表S.1：无条件离散Z检验的估计大小和功效。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。表S.1提供了5级离散Z测试（ZU5和PE5）与3级对应测试（ZU3和PE3）和二项得分测试（BIN）的比较。对于离散格式内核，5级测试在大小和能力上与3级测试相似。然而，对于Pearson内核来说，5级测试的功能明显不如3级测试，并且有点过大。根据这一证据，选择5级测试似乎比选择3级测试没有优势。表S.2表明，从主要论文的表2中得出的结论对回溯测试样本量n的选择是稳健的。正如人们所预期的，功率通常会随着n的增加而增加。

对于缩放t分布和两个内核窗口，我们发现排序窗口F n | kernel BIN ZU3 PE3 ZU ZA ZE ZL+ZL-ZLL PNSnarrow Normal 250 4.1 4.2 5.0 3.9 3.9 3.9 4.1 3.7 5.3 5.1500 3.9 4.6 5.4 4.6 4.6 4.6 4.5 4.6 4.7 4.7750 6.1 4.9 5.3 4.7 4.7 4.6 4.8 4.9缩放t5 250 17.4 19.6 18.5 18.9 18.0 22.0 14.6 20.9 22.5500 22.1 27.1 30.9 26.5 26.9 25.7 31.5 21.6 30.2 33.6750 33.9 35.0 40.3 33.8 34.4 33.0 40.3 27.1 40.0 44.7缩放t3 250 13.4 15.3 17.5 14.3 14.7 13.8 19.2 9 20.8 22.9500 15.9 20.2 31.819.6 20.1 18.7 26.4 14.0 31.0 36.7750 24.0 24.8 43.4 23.9 24.3 23.3 32.7 16.5 43.3 50.5宽标准250 4.1 4.4 5.2 4.8 4.8 4.8 4.7 4.8 4.8 5.1500 3.9 4.7 5.1 4.9 4.9 4.8 4.7 4.9 4.9 4.8 4.9 4.9 4.8 4.9 4.8 4.9 4.8 4.9 4.8 4.8 4.9 4.8 4.8 4.8 4.9 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 5.8 5 250 17.4 8.1 23.0 5.9 6.3 5.7 8.9 4.9 17.2 24.4500 22.1 9.7 40.3 6.3 6.5 6.0 10.6 5.4 31.3 41.6750 33.9 10.7 55.5 6.4 6 6 6.1 11.9 5.8 45.1 57.5缩放t3 25013.4 9.1 36.1 7.7 9.1 6.8 6.3 10.9 30.2 42.7500 15.9 11.3 70.9 12.8 14.8 11.1 6.8 21.5 64.9 77.4750 24.0 13.5 90.6 17.7 20.4 15.4 7.4 31.9 85.8 93.1表S.2：回测样本大小对无条件Z检验大小和功效的影响。我们报告了基于65536次重复的5%置信度水平下对无效假设的拒绝率。箭头窗口为[0.985，0.995]，宽窗口为[0.95，0.995]。窗口F |测试箱LR1 ZU3 PE3 LR3 PNS LRBnarrow Normal 6.1 4.1 4.9 5.3 8.2 4.9 5.5缩放t5 33.9 24.0 35.0 40.3 34.3 44.7 37.6缩放t3 24.0 16.1 24.8 43.4 46.5 50.5 49.2宽Normal 6.1 4.1 5.0 5.1 6.1 5.1缩放t5 33.9 24.0 10.7 55.5 52.2 57.5 57.7缩放t3 24.0 16.1 13.5 90.6 92.7 93.1 95.0表S.3：LR试验和Z试验在尺寸和功率方面的比较。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。

窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。在整个内核中，权力几乎没有变化。最重要的是，第4.3节中总结的五个属性不受n的影响。表S.3比较了LR测试和Z测试。二项式LR检验（LR1）的功效不如二项式得分检验；前者的尺寸稍大，而后者的尺寸稍小。将三水平LR检验（LR3）与三水平单光谱检验（ZU3）和三光谱皮尔逊检验（PE3）进行比较。LR测试与Pearson-testin测试的能力相似（大部分比ZU3测试更强大），但LR测试的规模过大。广义Berkowitz检验（LRB）在窄窗口条件下的表现略低于截断概率正态分布检验（PNS），而在宽窗口条件下的表现则略好于截断概率正态分布检验（PNS）。使用较小的回溯测试样本（n=250）进行类似练习的结果在质量上相似（未受影响）。我们得出结论，Z测试优于LR测试，尤其是当尺寸是首要考虑因素时。接下来的两个实验与条件Z检验有关；CVT选择在主要文件的表3中定义。注意，当CVT取值None时，测试为无条件测试。表S.4估计了样本均匀分布且连续独立时的测试规模。第5.2节的摘录中也出现了同样的信息：当CVT为DQ或V.BIN时，测试非常大，尤其是对于前者；选择V.4或V./作为CVT可显著缓解（但不消除）过大。表S.5是对相同内核和CVT函数的功率检查。

基本模拟的目的是产生伪PIT值，这些伪PIT值（i）在忽略数据随机波动性的情况下，与依赖结构连续相关，并且（ii）可能与无条件测试使用的相同分布不一致。数据生成过程旨在模拟波动性财务回报序列的行为，例如股票指数的每日对数回报。假设我们有经验回报数据x，我们通过采用窗口CVT |核BIN ZU ZL+ZL，形成了一个远离0和1的经验cdf版本-ZLL PNSnarrow None 6.2 4.8 4.6 4.9 4.9 5.0DQ 13.3 14.4 16.0 11.5 11.8 10.4V。料仓8.0 9.0 10.4 8.4 8.5 8.9V。4 6.8 6.7 7.2 6.4 6.6 6.4V/6.7 6.7 7.0 6.4 6.6 6.4宽无6.2 4.9 5.0 4.9 4.9 4.9DQ 13.3 8.5 9.2 8.3 8.3 7.7V。料仓8.0 7.3 8.1 7.0 6.9 6.7V。4 6.8 5.3 5.6 5.2 5.3 5.4V/6.7 5.5 5.7 5.3 5.5 5.6表S.4：条件覆盖率测试的估计规模。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。ARMA参数为AR=0.95，MA=-0.85。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。bFn（x）=（n+1）-1Pnt=1{Xtx} 然后构造databUt=bFn（Xt）。转换后的收益率（bUt）接近均匀分布，并且显示出可忽略的序列相关性。然而，在v形变换下，v（u）=2u- 1 |，我们获得的数据（V（bUt））几乎均匀分布，但显示出很强的序列相关性。设T表示变换T（u）=Φ-1（V（u））。

如果我们将高斯ARMA模型与转换数据（t（bUt））进行比较，我们会发现ARMA（1,1）过程通常很好，AR和MA参数的典型值约为0.95和-0.85。我们想用表S.5中的边际分布F生成损失（Lt），这样，如果Ut=F（Lt），过程（T（Ut））就是一个高斯ARMA（1,1）过程，ARparameter为0.95，MA参数为-0.85，均值为零，方差为1。设（Zt）是这样一个高斯ARMA过程，设（Dt）是一系列平均值为0.5的iid-Bernoulli变量。我们应用以下一系列变换来构造（Lt）：~Ut=Φ（Zt），Ut=（1+~Ut）Dt（1-Ut）（1-Dt），Lt=F-1（Ut）。（S.18）第一次转变导致一致性；第二种方法可以看作是一种随机反转V（u）=2u的方法-1 |在保持均匀性的同时；第三次转换会导致df F的损失。对于无条件试验，通过变换Pt=Φ（Lt）获得伪坑值。在表S.5中，我们观察到，当我们从无条件试验（CVT=无）转向有条件试验时，功率通常会有很大的增加。即使模拟数据的分布均匀（F=正态），这也很明显。

mostwindow F CVT |内核BIN ZU ZL+ZL-ZLL PNSnarrow正常无12.1 10.8 10.0 11.2 9.1 9.5DQ 30.0 31.5 32.0 29.4 29.1 28.1V。纸盒28.1 30.9 31.8 30.2 29.5 30.5V。4 30.3 32.6 30.7 33.6 32.3 33.4V/19.3 21.7 19.9 22.5 22.0 23.2标度t5无36.0 36.2 40.9 31.4 41.2 45.1DQ 47.4 54.9 59.7 46.1 53.4 53.4V。BIN 48.4 52.7 56.8 49.5 54.7 56.4V。4 56.4 60.7 63.1 57.2 61.1 62.0V/49.6 54.5 57.3 50.5 55.6 56.8缩放t3无28.1 28.3 35.0 22.2 44.1 50.7DQ 42.2 50.4 56.1 39.7 53.3 54.3V。BIN 42.5 47.3 53.5 42.6 53.3 55.6V。4 50.1 54.8 58.9 49.7 58.8 60.4V/44.1 49.5 54.1 43.7 54.2 56.2宽正常无12.1 17.8 15.9 18.3 14.6 15.4DQ 30.0 31.1 30.1 31.6 30.4 30.3V。储物箱28.1 36.0 34.5 36.2 34.6 34.9V。4 30.3 52.1 46.4 54.1 51.2 53.8V/19.3 44.9 36.9 48.0 44.7 48.6缩放t5无36.0 19.5 22.3 19.2 52.9 63.9DQ 47.4 35.4 38.9 31.5 49.8 57.9V。BIN 48.4 41.0 45.3 37.7 55.1 62.6V。4 56.4 55.2 56.7 52.8 67.2 74.1V/49.6 51.1 51.4 49.2 65.7 73.5缩放t3无28.1 28.4 18.5 39.3 87.6 93.9DQ 42.2 32.8 32.6 34.2 71.1 82.1V。BIN 42.5 38.8 38.7 40.1 75.3 85.2V。4 50.1 50.7 48.4 52.7 82.5 90.2V/44.1 48.1 43.4 51.2 83.6 91.1表S.5：当DGP基于ARMA（1,1）模型时，条件覆盖测试的估计功率。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。ARMA参数为AR=0.95，MA=-0.85。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。强大的测试是使用CVT功能V.4和V./。参考Abramowitz，M.和I.A.Stegun，eds.，1965，《数学函数手册》（DoverPublications，纽约）。Milgram，Michael S.，2010，关于超几何3F2（1）-综述，工作文件1011.4546，arXiv。