预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

2022-6-1 05:10:37

预测分布的谱反检验及其在风险管理中的应用*Michael B.GordyFederal Reserve Board，Washington DCAlexander J.McNeilThe York Management School，University of York 2019年7月26日摘要我们研究了一类预测分布的回溯测试，其中测试统计量取决于谱变换，该变换通过建模概率水平的函数对超标事件进行加权。权重方案由一个内核度量指定，该度量明确了用户对模型性能的优先级。spectralbacktests类包括无条件覆盖测试和条件覆盖测试。我们展示了该类如何在现有文献中嵌入各种各样的回溯测试，并进一步提出了易于实现、规模良好且功能强大的新变体。在一个实证应用中，我们对十家银行交易组合的隔夜损益预测分布进行了回溯测试。对于某些投资组合，测试结果取决于内核的选择。JEL代码：C52；G21；G28；G32关键词：回溯测试；波动；风险管理*我们感谢哈里森·卡茨和萨提亚·拉梅什提供的出色研究援助。我们从与Mike Giles、Marie Kratz、Xiao Yen Lok、David Lynch、David McArthur、Michael Milgram和Johanna Ziegel的讨论中受益匪浅。这里所表达的观点是我们自己的，并不反映政府委员会或其代表的观点。地址：Michael Gordy，美国联邦储备委员会，华盛顿DC20551，电话：+1-202-452-3705，Michael。gordy@frb.gov.1简介在许多预测练习中，在模型设计和校准中，可以优先考虑确定预测分布的某些分位数范围。

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能者818

2022-6-1 05:10:40

在推动本研究的风险管理应用中，接近分布中值或高收益“好尾”的准确度通常远不如大损失“坏尾”的准确度重要。即使在主要兴趣区域内，偏好的概率也可能是非单调的。例如，建模者可能非常关心评估adecade市场中断的程度，但更不关心因无法承受的灾难性事件而导致的极端尾部的分位数。本文研究了一类预测分布的后验检验，其中检验统计量根据建模概率水平的函数对超越事件进行加权。权重方案由一个内核度量指定，该度量明确了模型性能的优先级。对于一类非常大的核函数，回测统计量及其渐近分布是可分析处理的。我们的方法统一了多种现有的回溯测试方法。在风险管理领域，久负盛名的测试统计（可追溯到Kupiec，1995年）是“VaR超标”的简单计数，即当实现的交易损失超过日前风险值（VaR）预测时，指标变量等于1。在我们的框架中，内核是集中在目标VaR级别的Dirac度量。在另一个极端，Diebold et al.（1998）中应用的测试代表了一种特殊情况，其中权重在所有概率水平上都是一致的。Berkowitz（2001）的似然比检验和Du和Escanciano（2017）以及Costanzino和Curran（2015）的预期短缺和光谱风险度量检验代表了核截尾概率的中间情况。

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2022-6-1 05:10:43

虽然这些工作与我们自己的工作相关，但我们做出了明显的三方面贡献：（i）我们提供了一个总体测试框架，其中嵌入了许多现有测试和许多新测试，包括离散光谱测试和多元光谱测试；（ii）我们强调，回溯测试的选择应该以用户对内核选择中表示的模型性能的偏好为指导，而不是盲目追求性能；（iii）我们提出了一种条件检验的一般形式，它可以与任何将无条件检验嵌套为特例的kerneland相结合。本文中权重函数的应用与Amisano和Giacomini（2007）以及Gneiting和Ranjan（2011）在密度预测文献比较中的方法有一定的相似性。在这两篇论文中，将权重应用于预测评分规则，以获得突出分布尾部（或其他区域）的预测性能度量。然而，任何一种预测方法的度量都没有绝对意义，其目的是为了便于使用Diebold和Mariano（1995）提出的一般比较测试方法与其他方法进行比较。相反，根据Diebold等人（1998）的精神，我们的测试是预测质量的绝对测试。虽然比较测试方法有助于预测者对预测方法进行内部调整，但本文中的绝对测试方法有助于其他机构（如监管机构）对预测者的结果进行外部评估。

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2022-6-1 05:10:46

在本文中，我们采用了这样一种代理人的观点，他必须根据预报员提供的一组预先确定的数据做出判断，而且他对预报员所做的模型选择的信息非常有限。我们的调查在一定程度上是由于监管人员可用于回溯测试的数据的重大扩展。2013年之前，美国银行向监管机构报告的VaR超标率为99%。新的市场风险规则要求银行在每个交易日报告前一天预测分布中与已实现损益（P&L）相关的概率，这相当于向监管机构提供α级的VaR超标情况∈ [0, 1]. 扩展的报告制度允许我们在回溯测试中评估功率和规格之间的权衡。如果监管机构与报告的α级VaR的验证相关，则VaR超标计数是无条件覆盖测试的有效统计数据。然而，如果监管机构愿意为α附近的概率水平分配正权重，我们可以构建更强大的回溯测试。此外，我们的方法与风险管理人预测一系列重大损失概率的更广泛观点一致。美国监管机构就内部模型验证向银行提供的正式指南明确要求“对照其他估计百分位数检查损失分布”（联邦储备系统理事会，2011年，第15页）。根据《交易账簿基本审查》（BaselCommittee on Bank Supervision，2013）规定的改革，99%的VaR被97.5%的预期缺口所取代，成为资本要求的决定因素。

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2022-6-1 05:10:49

虽然围绕ES是否适合直接回溯测试的问题存在很多争议（Gneiting，2011；Acerbiand Szekly，2014；Fissler等人，2016），但我们的贡献解决了一个不同的问题。我们对预测分布进行测试，从中估计风险度量，而不是对风险度量估计进行测试。当ES是首要利益时，可以认为对损失分布尾部的准确预测更为重要，因为风险度量取决于整个尾部。在第2节中，我们列出了风险经理预测问题的统计设置，以及为回溯测试收集的数据。第3节介绍了支持光谱反测试类的转换。第4节所述无条件覆盖率的光谱反测试。在第5节中，我们开发了基于鞅差异性质的条件覆盖测试。作为对真实数据的应用，在第6节中，我们对交易组合隔夜损益分布的十个银行模型进行了回溯测试。2风险度量的理论和实践我们假设银行在过滤概率空间上建立损益模型(Ohm, F、（Ft）t∈N、 P）其中Ft表示风险经理在时间t可用的信息，N=N∪ {0}和ndentes表示非零自然数。任何时候t∈ N、 LTI是一个Ft可测量的随机变量，以货币单位表示投资组合损失（即负损益）。我们表示给定信息到时间t的条件损失分布-1 byFt（x）=P（Lt x |英尺-1) .不能假定损失分布是时不变的。潜在风险因素（如股票价格、汇率）的回报分布是时变的，最显著的原因是随机波动。

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2022-6-1 05:10:52

此外，FTA取决于投资组合的构成。因为投资组合在每个时期都是重新平衡的，所以即使工厂收益率是iid，FTA也会随着时间的推移而变化。对于t∈ N我们可以使用概率积分变换（PIT）通过Ut=Ft（Lt）来定义过程（Ut）。在假设每个时间点的条件损失分布是连续的情况下，Rosenblatt（1952）的结果表明，过程（Ut）t∈Nis是iid标准统一变量的序列，尽管（Lt）通常是非平稳的。风险经理根据最新信息构建FTBFTOF模型-报告的坑值是通过设置Pt=bFt（Lt）fort获得的相应rvs（Pt）∈ N、假设监管者不直接了解FT，但可以根据PIT值的样本进行推断。如果模型BFT形成了Gneiting et al.（2007）意义上的理想概率预测序列，即符合每t的条件定律Ftof LTF，那么我们预计报告的PIT值表现为标准均匀变量的iid样本；该属性的测试是对模型序列进行概率校准的测试。对于单位间隔内的任何α，letdVaRα，t：=bF←t（α）是在t时构造的α-VaR的估计值- 1通过计算fFTATα的广义逆。自VaRexceedance事件{LtdVaRα，t}等于事件{Pt α} ，PIT值为所有可能水平的VaR超标提供了有效的统计数据。因此，我们期望使用报告PIT值的精心设计的测试在检测模型SBFT中的缺陷方面比VaR超标测试更有效。我们的测试没有对银行信息统计所使用的程序和模型做出任何假设。在实践中，方法论存在很大的异质性。

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2022-6-1 05:10:55

近二十年来，大多数大型银行主要依赖于历史抽样（HS）的一些变体，这是一种基于对历史风险因素变化或回报重新抽样的非参数方法。由于HS无法解释因时变波动性导致的收益序列相关性，一些银行采用了Hull andWhite（1998）和Barone Adesi et al.（1998）提出的过滤历史模拟（FHS）。在这种方法中，历史风险因素回报率通过其估计波动率进行归一化，通常通过采用过去平方回报的指数加权移动平均值来获得。不使用HSS或FHS的银行通常采用参数模型来联合分布风险因素变化。在我们的实证应用中，测试对波动性变化的延迟响应具有特殊的意义。假设以零为中心的损失分布大致对称，正负值之间的频繁切换往往会导致PIT值串行不相关，即使在模型中对波动性进行了错误描述。然而，极端值（即接近0或1）将倾向于在高波动期产生极端PIT值，中等PIT值（即接近/）将倾向于在低波动期产生中等PIT值。可以通过检查转换值| 2Pt中的自相关来推断此模式- 1|. 在第6节中，我们将在实现ConditionalCorerage测试时利用这种转换。银行VaR预测的实证研究相对较少。Berkowitz和O\'Brien（2002）表明，美国银行的VaR估计是保守的（即，超出预期的较少），预测的表现低于适用于每日损益的简单时间序列模型。

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大多数88

2022-6-1 05:10:58

加拿大银行（Pérignon等人，2008年）和更大的国际样本（Pérignon和Smith，2010年）也记录了对话预测。O\'Brien和Szerszen（2017）揭示了这些结果对样本期的敏感性。在2001年至2014年五家美国大型银行的样本中，无条件覆盖测试拒绝了所有银行在相对稳定期（2001年至2006年和2010年至2014年）的VaR预测，认为其过于保守。然而，在2007年至2009年的危机期间，O\'Brienand Szerzen拒绝所有五家银行的VaR预测，认为其不够保守，其中四家银行拒绝了serialindependence。这种模式与随机波动率模型的失败是一致的。3矿坑超标的光谱转换本文的测试基于矿坑超标指标变量的转换。变换的形式为wt=Z[0,1]{Ptu} dν（u）（1），其中核测度ν是在[0，1]中定义的勒贝格-斯蒂尔捷斯测度。kernelmeasure旨在将权重应用于最感兴趣的概率水平，通常（在实践中）在标准VaR水平α=0.99的区域内。对于域[0，1]上的任何Lebesgue-Stieltjesmeasureν，存在一个相关的右递增连续函数Gν，使得ν（[0，u]）=Gν（u）。很容易看出，（1）相当于闭式表达式wt=ν（[0，Pt]）=Gν（Pt）（2），这表明wt在Pt中增加。可以对度量进行归一化，使Gν（1）=1而不丧失通用性，但我们不需要它。为了简化表示，我们将在ν上施加以下温和的正则性条件。假设1。ν（{0}）=ν（{1}）=0，Gν是可微的，除非在一组有限的点上。核度量可以是离散的、连续的或混合的。在离散情况下，其形式为ν=Pmi=1γiδαifor m 其中δ表示Dirac度量。

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2022-6-1 05:11:00

这将放置正质量γ，γmat有序值0<α<···<αm<1导致toWt=mXi=1γi{Ptαi}。（3）对于连续情况，对于定义在[0，1]上的一些非负egν（u），度量具有密度dν（u）=gν（u）du，我们称之为核密度。单变量变换自然扩展到多变量情况，其中一组不同的核测度ν，νmis应用于PIT值，以获得向量值变量W，WnwhereWt=（Wt，1，…，Wt，m）′，Wt，j=νj（[0，Pt]）=Gj（Pt），j=1，m、（4）我们将基于光谱转换的矿坑超标的任何回溯测试称为方面回溯测试。在本文中，我们假设调节器只能在回测统计量中使用PTI的当前值和过去值。可以适当放宽此限制。对我们的贡献至关重要的是，监管机构没有观察到整个分布^Ft，但观察到的比VaR例外指标{LtdVaRα，t}。Let（F*t）是由PIT值产生的调节器过滤，即F*t=σ（{Ps:st} （） Ft.无论检验形式如何，无效假设isH:Wt~ FWand重量⊥⊥ F*t型-1.t、（5）其中fw表示PTI均匀时WT的分布函数。无效假设（5）意味着（Wt）是iid，但弱于（Pt）是iid的无效假设。这是故意的。由于监管者可以根据自己的优先级自由选择ν，因此她不应反对在所选内核的支持之外出现的对一致性和连续独立性的背离。我们的方法可以很容易地推广到（Lt、dVaRα、t）和公共观察市场变量（如VIX）中的信息。

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2022-6-1 05:11:04

然而，投资组合构成的频繁变化意味着滞后VaR值的信息可靠性不如滞后PIT值。最近的几篇论文建议对估计误差的预测检验进行修正；例如，见Escanciano和Olmo（2010）；Du和Escanciano（2017）；Hurlin等人（2017年）。实施这些校正通常需要了解预测模型和估计模式，因此在我们描述的监管背景下是不可行的。我们的无效假设规定了一个高标准，即预报员是一个理想的预报员，能够处理一系列正确指定、完美估计的模型。光谱类包括各种各样的测试，但我们优先考虑两种通用测试方法：Z测试和似然比（LR）测试。在单变量情况下，谱Z检验基于Wn=n的渐近正态性-在零假设（5）下，1Pnt=1wt。将uW=E（Wt）和σW=var（Wt）写为零模型fw中的力矩，根据中心极限定理，zn=√n（Wn- uW）σWd---→n→∞N（0，1）。（6）在多变量情况下（dim Wt=m），我们有√n西尼罗河- uWd---→n→∞Nm（0，∑W），其中Wn=n-1Pnt=1wt，uWand∑是零分布FW的平均向量和协方差矩阵。因此，测试可以基于假设足够大的n，使tn=n西尼罗河- uW′Σ-1瓦西尼罗河- uW~ χm，（7）其中，我们将TNA称为m-谱Z-检验统计量。在零假设下，转换后的PIT值的第一个时刻很容易获得为uW=Z[0,1]（1- u） dν（u）（8）方差σ和∑Ware中的交叉矩，使用谱变换PIT值的简单乘积规则获得。定理3.1。由Wt定义的光谱变换PIT值集，j=νj（[0，Pt]）在乘法下闭合。

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2022-6-1 05:11:06

产品W*t=重量，1Wt，2由W给出*t=ν*（[0，Pt]），其中ν*是一个Lebesgue-Stieltjes度量，满足ν*（[0，u]）=Z[0，u]ν（[0，s]）-ν（{s}）dν（s）+Z[0，u]ν（[0，s]）-ν（{s}）dν（s）。因此σW=uW*- uW，其中uW*通过在测量ν下应用（8）找到*当ν=ν=ν时获得。这将产生uW*=Z[0,1]（1- u）（2Gν（u）- ν（{u}））dν（u）。（9）支撑Z检验的中心极限定理需要有限的二阶矩。对于单变量情况，以下命题为Gν的尾部行为提供了一个有效条件。提案3.2。如果Gν（u）=O（（1- u）-0.5+ε）作为u→ 对于某些ε>0，则为σwifinite。在多元设置中，如果命题3.2中的条件满足每个νj，j=1，…，则（7）中的渐近分布成立，m、似然比检验是基于连续参数模型FP（·|θ）进行的，该模型将嵌套一致性作为θ=θ对应的特殊情况。数值Wt=Gν（Pt）的内插模型FW（·|θ）用于检验FW=FW（·|θ）的零假设（5）；另一种选择是Wt~ FW（·|θ）带θ= θ. 将LW（θ| W）写入似然函数，测试基于统计LW的渐近卡方分布，n=LW（θ| W）LW（^θ| W）（10），其中^θ表示基于转换样本（Wt）的最大似然估计。这两类测试之间的一个重要区别是，Z测试对内核的选择敏感，而LR测试只对内核的支持敏感。考虑到简单的单变量情况，我们展示了定理3.3。设ν和ν为满足假设1的Lebesgue-Stieltjes度量，设Wt，j=Gj（Pt），对于j=1，2和t=1，n是变换后的PitValue的各自样本。

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2022-6-1 05:11:10

如果supp（ν）=supp（ν），则LRW，n=LRW，最肯定。这个结果可以看作是LR测试在数据一对一变换下不变性的推广。4无条件覆盖测试通常将回溯测试方法分为无条件覆盖测试和条件覆盖测试。在我们的设置中，无条件测试是对PIT值均匀性所暗示的分布FW的测试，而条件测试是对正确分布以及WTF和F的独立性的测试*t型-1对于所有t。在本节中，我们根据第3节中讨论的Z测试和LRtest思想，提出了一些无条件测试。重要的是要注意，这些测试所依据的收敛结果，尽管大多数是在iid假设下陈述的，但在独立性假设放松的情况下确实成立，例如对于平稳和遍历变量差异过程（根据Billingsley（1961）的鞅CLT）。在单变量Z检验的情况下，当limn→∞风险值(√nWn）≈ σW.然而，如果（Wt）中存在持续的正序列相关，则导致limn→∞风险值(√nWn）>σw，此时Z检验将有一定的能力检测依赖性；然而，可以对独立财产进行更有针对性的测试，这是第5节的主题。我们的无条件测试方法包含了许多重要的已发布测试或其相关测试。第4.1节中的离散加权框架包括Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）对VaR超标数量的binomialLR检验。它还包括坎贝尔（2006）推荐的多水平皮尔逊卡方检验和佩里格农和史密斯（2008）提出的多水平LR检验，这也是Colletaz等人（2013）研究的基础；见Kratz等人。

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2022-6-1 05:11:13

（2018）进行多水平测试的比较研究。第4.2节中的连续加权框架以Diebold等人（1998）的开创性论文为基础。这与Crnkovic和Drachman（1996）的方法在精神上很接近，他们采用了基于矿坑值分布和均匀分布之间加权柯伊伯距离的统计，并将Berkowitz（2001）基于截断正态分布的似然比检验纳入到probit转换矿坑值中。与我们的工作最密切相关的是，Du和Escanciano（2017）以及Costanzino和Curran（2015）提出了光谱风险度量的测试统计数据，可以将其视为我们的单变量光谱Z检验的特例。4.1离散加权离散试验基于单变量转换Wt=Pmi=1γi{Ptαi}定义在（3）中，多元变换Wt=（{Ptα}, . . . ,{Ptαm}）in（4）对于同一组有序能级α<····<αm。显然，当m=1（和γ=1）时，两种转化都产生Wt={Ptα} ，从而得到iid Bernoulli（1- α）零假设下的变量（5）。这是基于二项分布的标准VaR超越测试的基础。Wt={Pt的Z检验统计量（6）α} 与binomialscore测试统计数据一致=√n西尼罗河- (1 - α)pα（1- α). （11） LR测试对Ptin使用隐式嵌套模型，其中Wtare iid Bernoulli（p）和测试p=1- α对p= 1.- α通过将统计学（10）与χ分布进行比较；这是Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）所采用的方法。当m>1时，变量Wt=Pmi=1γi{Ptαi}取有序值Γ<Γ<···<ΓmwhereΓ=0和Γk=Pki=1γifor k=1，m、在零假设（5）下，Wt和WtsatisfyP的分布（Wt=Γi）=P（1′Wt=i）=αi+1- αi，i∈ {0，1，…，m}，（12），其中α=0，αm+1=1。

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2022-6-1 05:11:16

在这两种情况下，这都描述了多项式分布。单变量和多变量转换导致不同的Z检验，可以将其视为二项得分检验的替代推广（11）。将上述3.1应用于单变量情况，并使用（9）在零uW=Pmi=1γi（1）下传递力矩- αi）和σW=Pmi=1γ*i（1- αi）- uWwhereγ*i=（2Γi- γi）γi。在构造检验统计量Znin（6）时，我们可以改变权重γ，以强调不同的水平α，并进行各种新的检验。在多变量情况下，我们构建了一个m-光谱Z-检验，如（7）所示，uW=（1-α、，1.- αm′和二阶矩矩阵∑ww，其中（i，j）元素由αi给出∧j（1）- αi∨j）。然后，我们得到Campbell（2006）提出的经典Pearson卡方统计。定理4.1。n（Wn- uW）′∑-1W（Wn- uW）=mXi=0（Oi- nθi）nθi其中Oi=Pnt=1{1′Wt=i}和θi=αi+1- αifor i=0，m、为了实现（12）的多项式（或多级）LR测试，我们使用P（Wt=Γi）=P（1′Wt=i）=piandPmi=0pi=1的嵌套模型。基于（Wt）和（Wt）的可能性产生了相同的有效统计信息，即：对于单元概率pi，Oi=Pnt=1{Wt=Γi}=Pnt=1{1′Wt=i}。根据似然原理，单变量和多变量LR检验是相同的，只取决于水平（α，…，αm），而不取决于单变量信息中的权重γiI。在不同的权重选择下，单变量LR检验的不变性也是定理3.3.4.2连续权重的结果考虑核测度ν和相关的绝对连续Gν。我们假设，对于α<u<α，核密度满足gν（u）>0，对于u<α和u>α，核密度满足gν（u）=0。我们将supp（ν）=[α，α]作为内核窗口。当ν和ν都是具有相同核窗口的连续核时，定理3.1很简单。

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2022-6-1 05:11:19

内核ν*对于产品W*t=Wt，1Wt，2在密度为g的同一核窗口上连续*（u） =G（u）G（u）+G（u）G（u）。对于各种各样的核密度，例如基于多项式、指数函数或β型密度（u-α） a-1(α-u） b类-1对于a，b>0；有关基于此想法的新测试示例，请参见第4.3节。因此，我们对连续光谱Z检验的简洁表述包含了一大类可能的检验。对于LR测试，回想一下，我们需要一系列分布FP（·|θ），用于将均匀性嵌套为θ=θ对应的特例的坑值。由于supp（ν）=[α，α]对于本节中的所有内核，定理3.3意味着它们都会产生相同的llr测试，这仅取决于内核窗口[α，α]和嵌套模型FP（·|θ）。Gνon[α，α]的形式无关紧要。根据probitnormal模型，我们假设PIT值P，满足Φ的Pnhavea分布-1（Pt）~ N（u，σ）。写入θ=（u，σ）′，Ptare的分布函数和密度分别为fp（p |θ）=Φ-1（p）- uσ！，fP（p |θ）=ДΦ-1（p）-uσφ(Φ-1（p））σ，p∈ [0，1]，（13），均匀分布对应于θ=θ=（0，1）′。Berkowitz（2001）的检验是这种嵌套模型下LR检验的一个特例：选择核ν，Gν（u）=Φ-1(α∨u）-Φ-1（α）和核窗口[α，1]，我们观察到Wt=Gν（Pt）具有截断为[Φ]的N（u，σ）分布-1(α), ∞) 然后向左平移。截短到窗口[α，α]的probitnormal模型还基于θ=θ与备选θ的经典分数检验，产生了一个新的双谱Z检验= θ. 该测试的全部细节见我们的配套论文[补充材料]。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:11:22

由此产生的截短概率正态分布检验有一个混合加权方案（具有离散和连续部分），其中WT，i=γi，1{Ptα} +γi，2{Ptα} +Zααgi（u）{Ptu} 对于已知常数γi，1，du，i=1，2，（14） 0，γi，2 0和已知函数gi（u），它们在[α，α]上是正的和可微分的。注：为了完整性和保持盲板，从“公司文件”中提取的材料作为“补充材料”附在本文之后。4.3尺寸和功率我们对无条件光谱反测试的尺寸和功率进行了广泛的蒙特卡罗分析。在本节中，我们提供了一些代表性的示例，说明了Z测试的大小和能力如何取决于内核，然后简要总结了其他关键发现。所有模拟实验的全部细节可在配套论文[补充材料]中找到。我们考虑离散、连续和混合形式的核。参数α和α控制内核窗口。对于连续测试，α和α是内核支持的上确界和内确界。对于离散情况，我们考虑点集（α，α）上的三层核*, α），其中α*= 0.99是常规VaR水平。我们定义了α=0.985和α=0.995的窄窗口，以及α=0.95和α=0.995的宽窗口。观察窄窗口围绕α对称*, 而宽窗口是对称的。对于连续的情况，内核有各种可能的候选对象。表1列出了我们在下面讨论的内核；每一个都可以被认为是描述了不同窗口的一系列内核密度[α，α]。对于节俭，所有这些都是beta内核的特例。非参数统计文献中通常使用均匀和驼峰形的Epanechnikov核。

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2022-6-1 05:11:24

在补充材料中，我们提供了一般beta（a，b）情况下转换坑值矩的分析解。核族助记符密度g（u）β表示统一ZU 1 1,1Arcsin ZA 1/pu*(1 - u*)/,/Epanechnikov ZE 1- （2u*- 1） 2,2线性递增ZL+u*2,1线性递减ZL-1.- u*1,2表1：【α，α】上的核密度函数。u*表示重新缩放的值u*= （u）- α)/(α- α). 密度函数不会缩放为1。接下来，我们将列出要实现的回溯测试，并为每个回溯测试分配一个唯一的助记符。二项评分测试：α级双侧二项评分测试*（BIN）；多项式检验：三点离散均匀核（ZU3）和三点皮尔逊检验（PE3）；连续光谱测试：基于均匀核（ZU）的单变量测试；arcsinkernel（ZA）；Epanechnikov核（ZE）；增加（ZL+）和减少（ZL-)线性核；连续/混合双谱检验：我们结合了递增和递减线性kernels（ZLL）以及截断probitnormal评分检验（PNS）。我们考虑了Lt真实模型cdf的三种不同选择：标准正态分布、标度分布和标度t。学生t分布被标度为具有一个方差，因此差异源于不同的尾部形状，而不是不同的方差。我们将风险经理的模型bf视为标准正态分布，即我们将采样的LttoPIT值转换为Pt=Φ（Lt）。因此，当从标准正态分布中提取LTS样本时，PIT值均匀分布，并用于评估测试的大小。学生t分布产生的PIT样本显示了当风险管理者的模型太细尾时观察到的偏离均匀性的类型。我们确定了一个样本量n=750，大致相当于第6节研究的三年期银行数据样本。

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2022-6-1 05:11:28

在表2中，我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信水平下，完全假设的拒绝率。所有报告的EDP值都基于双面测试，尽管某些测试的单面版本当然可用。窗口F |内核BIN ZU3 PE3 ZU ZA ZE ZL+ZL-ZLL PNSnarrow Normal 6.1 4.9 5.3 4.7 4.7 4.6 4.8 4.8 4.9缩放t5 33.9 35.0 40.3 33.8 34.4 33.0 40.3 27.1 40.0 44.7缩放t3 24.0 24.8 43.4 23.9 24.3 23.3 32.7 16.5 43.3 50.5宽Normal 6.1 5.0 5.1 4.9 4.9 4.9 5 5.0缩放t5 33.9 10.7 55.5 6.4 6.6 6.1 11.9 5.8 45.1 57.5缩放t3 24.0 13.5 90.6 17.7 20.4 15.4 7.4 31.9 85.8 93.1表2：无条件Z测试。我们报告了在5%置信水平下，基于65536次重复的无效假设被拒绝的百分比。每个回测样本的天数为n=750。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。在窄窗口和宽窗口中，我们都观察到Z检验的大小非常接近5%的标称大小，但二项得分检验的情况除外，二项得分检验有轻微的差异。相反，测试的能力对内核的选择很敏感。我们将结果总结如下：1。在功率测试中，宽窗口上的差异比箭头窗口上的差异更明显。单光谱测试（BIN、ZU、ZA、ZE、ZL+、ZL-) 在狭窄窗口上的二项得分测试的能力非常相似。2、在窄窗口上，单光谱测试对缩放tmodel的影响大于尾宽的缩放tmodel，但在宽窗口上的大多数情况下，情况恰恰相反。3、增加窗口宽度会降低大多数单光谱测试的功率。4.

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2022-6-1 05:11:31

对于宽窗口，增加的线性核ZL+o比减少的线性核ZL提供更大的功率-当真实模型为缩放t时，反之亦然。当真实模型为缩放t时，反之亦然。多光谱（PE3、ZLL、PNS）测试比单光谱测试具有更大的功效，但在窄窗口情况下，当真实模型为缩放t时，差异相对较小。第一个结果很容易理解。对于表1中的核密度族，当窗口变窄时，关联函数Gν收敛为阶跃函数。换句话说，当窗口在α附近缩小时，所有核族退化为二项式分数核*.为了说明第二个发现，我们在图1中绘制了每个真实模型下报告的PIT值的分布函数，即Pr（Pt u） =Pr（Lt Φ-1（u））=F（Φ-1（u））。当零假设为真时，cdf只是身份线（y=x）。在[0.985，0.995]的箭头窗口内，标度t的cdf平均比标度t的cdf更接近识别线。单光谱测试是对Wt=Gν（Pt）的第一时刻的测试，对该距离敏感，因此对标度t的功率比标度t的功率更大。然而，在宽窗口上，标度t的cdf平均更接近识别线，因此测试相对于标度t具有更大的威力。该图还照亮了第三和第四个发现。两个按比例缩放的学生TCDF都跨越了窄窗口边界之外的身份线，但靠近宽窗口的中间。窗口内的交叉减少了平均距离，因此对单光谱测试提出了特殊挑战。在宽窗口上，标度tcdf穿过0.971附近的身份线，该身份线略低于中点。

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2022-6-1 05:11:34

这种轻微的不对称有利于ZL+内核，这会在窗口的上部增加更大的权重。标度tcdf穿过中点上方的标识线（接近0.982），此外，窗口下端cdf和标识线之间的距离要大得多。这种不对称有利于ZL-内核最后，当kernelwindow包含刚才描述的交叉类型时，多光谱测试的更大威力最为明显。虽然交叉减少了报告矿坑值的cdf与识别线之间的平均距离，但cdf将过于陡峭或太浅。在多光谱测试中，核的交叉矩可以有效地检测出这种斜率违规。相反，当报告的PIT值的cdf在整个内核窗口中与标识线完全平行时（就像窄窗口中的缩放tin一样），预计多光谱测试的优势将不明显。0.960.981.000.950 0.985 0.995 1.000PITPr（Pt≤ PIT）真实模型NormalScale T5缩放T3图1：报告PIT值的分布函数。当风险经理假设标准正常损失（bF=Φ），但实际损失模型F为标准正常（红线）、标度t（绿线）或标度t（蓝线）时，报告的PIT值的CDF。在我们的配套论文[补充材料]中，我们研究了测试设计的三个附加维度。首先，在一组离散核Z-测试中，我们发现表2中考虑的3级测试与5级测试的表现非常相似。第二，我们在表2中的总结结论对回溯检验样本量n的选择具有稳健性。第三，最重要的是，我们发现多项式Z检验和概率正态分布分数检验优于相应的似然比检验。

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2022-6-1 05:11:37

Z测试的功率与LR测试相似，但LR测试的尺寸较小。因此，我们将把注意力限制在Z-测试的类别上。作为一般性的警告，我们并不主张仅凭权力就应该决定内核的选择。我们的模拟研究得出的一个普遍直觉是，当内核严重依赖于风险管理者模型的分位数偏离真实分位数的概率水平时，测试在排除错误模型方面最为有效。由于历史模拟特别倾向于低估分布的尾部，在实践中，我们预计最强大的测试将在极端概率水平上发挥重要作用。然而，这可能以牺牲试验稳定性为代价，因为结果可以通过是否存在一个或两个非常大的报告PIT值来确定。此外，在α的极端尾值下进行测试与反向测试的主要监管动机背道而驰，反向测试旨在验证银行99%的条件覆盖率VaR.5测试，而第4节的无条件测试在检测序列依赖性方面的能力有限，本节的目的是提出频谱测试的有条件扩展，明确解决WTF和F的独立性*t型-1以及Wt分布的正确性。这些测试应有更大的能力来检测因银行未能使用Ft中的所有信息而导致的对零假设的偏离-1在构建预测模型BFT时，例如未能以适当的方式解决时变波动性。我们的条件覆盖率测试扩展了基于回归的方法来测试VaR估计的条件覆盖率，并提供了许多新的可能性。

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2022-6-1 05:11:40

其中包括广泛应用的Christo Offersen（1998）测试的变体，以及Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ）测试。Christo Offerson检验是VaR超标中一阶马尔可夫相关性的LR检验，Leccadito等人（2014）将其推广为多级检验。在DQ检验中，VaR超越指标在滞后超越上回归。Z检验的优越性能也适用于n=250的较小回测样本。指标和风险值估计，以评估超标是否以指定的比率独立发生。5.1鞅差异性检验空假设（5）成立的必要条件是监管机构过滤的鞅差异性（MD）（F*t）：E（重量- uW | F*t型-1） =0（15），其中我们回忆起F*t=σ（{Ps:s t} ）。当MD属性（15）成立时，我们必须有E（ht-1（重量-uW））=0表示任何F*t型-1-可测随机变量ht-使用函数H，我们称之为条件变量变换（CVT），我们形成k+1维滞后向量ht-1=（1，h（Pt-1), . . . , h（Pt-k））’。为了保证ht的二阶矩的存在-1，我们假设（Pt）是协方差平稳的，h是有界的。我们将在实证分析中使用的具体例子是h（p）={pα} 对于某些α和h（p）=2p- 1 | c>0。为方便起见，让（fWt）表示转换后的报告坑值序列fWt=Wt- uW以其理论平均值uW输入。我们的测试基于向量值过程Yt=ht-1FWT对于t=k+1，n、在零假设（5）下，（Yt）是满足E（Yt | F）的md序列*t型-1) = 0. 我们要测试Yk+1，y平均接近零向量。

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大多数88

2022-6-1 05:11:43

我们采用了Giacomini和White（2006）的条件预测检验，该检验是为比较预测方法而开发的，Nolde和Ziegel（2017）也在回溯测试中使用了该检验。设Yn，k=（n-k）-1Pnt=k+1Ytand让∑yde注意到∑Y的一致估计：=cov（Yt）。Giacomini和White表明，在非常弱的假设下，对于足够大的n和固定的k，（n- k） Y′n，k^∑-1年，k~ χk+1。（16） Giacomini和White（2006）使用估计量∑GWY=（n- k）-1Pnt=k+1YtY′t但我们可以使用E（fWt | F*t型-1） =零假设（5）下所有t的σwf，形成一个替代估计量。我们计算∑Y=E（cov（Yt | F*t型-1））=EEYtY′t | F*t型-1.= Eht公司-1h′t-1E级fWt | F*t型-1.= σWH（17），其中H=Eht公司-1h′t-1., 这表明估计量∑Y=σW^H，其中∑H=（n- k）-1nXt=k+1ht-1h′t-（18）（17）中的分解的优点是，它推广了我们的无条件谱检验，对应于k=0的情况。k=1的情况可视为Christo Offersen（1998）一阶马尔可夫链检验的Z检验版本。为了确保conditionaltest也嵌入了Engle和Manganelli（2004）提出的DQ检验统计量，让X bethe（n- k） ×（k+1）矩阵，其行由ht给出-1对于t=k+1，n和letfW=（fWk+1，…，fWn）′。因此∑Y=σW（n- k）-1nXt=k+1ht-1h′t-1=σW（n- k）-1X′X和Yn，k=（n- k）-1X′fW，以便（16）可以重写为σ-2WfW′X（X′X）-1X′fW~ χk+1。（19） DQ检验对应于二项得分情况，即Wt={Ptα} CVT为h（p）={pα} “还可以使用∑Y的异方差和自相关一致（HAC）估计量（Newey and West，1987；Andrews，1991）。

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2022-6-1 05:11:46

我们的首选估计器具有对零序列相关零假设偏差更敏感的优点。Engle和Manganelli（2004）也允许将滞后VaR值作为回归变量，可以直接将条件谱Z检验推广到条件双谱Z检验；参见附录B.5.2大小和威力我们基于第4.3节的蒙特卡罗练习来研究覆盖率条件测试的大小和威力。在这里，我们提供了一份有代表性的模拟研究摘录，记录在我们的配套论文[补充材料]中。数据来自三种不同的“真实”模型：iid标准-正常；具有ARMA（1,1）结构和标准正态边缘的时间序列模型；以及具有下垫ARMA（1,1）结构和标度T边缘分布的模型。我们对ARMA参数（AR=0.95，MA=-0.85）的校准在配套文件【补充材料】中进行了描述，旨在模拟忽略随机波动性时PIT值的序列依赖性。如第4.3节所述，我们假设风险经理根据标准正态模型bf=Φ报告矿坑值。除了选择内核外，MD测试还需要选择标记PIT值的数目（k）和条件变量转换h（P）。定义V（u）=2u-1|;PIT值的V形变换非常适合于揭示随机波动性引起的依赖性。如表3所列，我们考虑了四名CVT候选人。

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大多数88

2022-6-1 05:11:49

在DQ只需要传统超标指标的时间序列的情况下，基于V（u）变换的三个CVT要求监管机构观察PIT值。助记符h（P）描述dq{P0.99}标记上尾坑值，如Engle和Manganelli（2004）所示。五、 BIN{V（P）0.98}DQ的双尾版本，FLAGS PIT值接近零或一。五、在最近的过去，4 V（P）对尾坑值的影响更大。五、 /pV（P）降低了相对于V.4对尾坑值的敏感性。表3：调节变量转换。V（u）≡ |2u型- 1 |在我们的框架中是可能的，但投资组合构成的变化意味着滞后VaR值的信息性低于滞后PIT值。表4给出了均匀核（ZU）示例的主要发现和[0.985，0.995]的窄核窗口。我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。在第一列（CVT=“无”）中，我们设置k=0以获得无条件Z检验。其余各列对应于k=4的CVT。如第一行所示（iid standardnormal模型），在条件测试中，尺寸更难控制。然而，CVTchoices V.4和V./仅略微过大，而V.BIN，尤其是DQ则非常过大。第二行中描述的模型给出了均匀分布的PIT值，该值具有一系列依赖结构，这在忽略随机波动性时是典型的。在这种情况下，无条件测试的威力非常有限（10.8%），而MD测试的威力在21.7%到32.6%之间。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:11:52

当模拟PIT数据既不均匀又连续相关（第三行）时，功率会进一步增加。F序列相关性| CVT None DQ V.BIN V.4 V./Normal None 4.8 14.4 9.0 6.7 6.7正常ARMA（1，1）10.8 31.5 30.9 32.6 21.7缩放t5 ARMA（1，1）36.2 54.9 52.7 60.7 54.5表4：条件测试的估计大小和功率。MD在窄窗口上使用ZU内核进行测试[0.985，0.995]。我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信水平下，无效假设被拒绝的百分比。每个回测样本的天数为n=750。ARMA参数为AR=0.95，MA=-0.85.6适用于银行报告的PIT值6.1数据我们的数据包括美国银行向联邦储备委员会（FederalReserve Board）提供的10个分类后验样本。2013年1月1日，根据市场风险规则向银行监管机构进行的强制性报告生效。对于每个重要子投资组合和每个营业日，银行需要报告99%水平的隔夜VaR、净损益和相关PIT值（联邦公报，2012年，第53105页）。尽管监管机构很长一段时间以来（至少在总阅读书籍层面上）都可以使用前两个领域，但获取PIT价值却是一种新的途径。我们的十个样本中的每一个都代表股票或外汇子投资组合的回报，其中可以包括衍生工具和现金头寸。我们的样本取自2014年至2016年的三年期。表5列出了无条件分配的汇总统计数据。与新的监管报告要求一样，数据的质量也不统一。其中两个样本（编码Pf 104和Pf 110）缺失值（分别为交易日的0.9%和3.2%）。此外，仔细检查发现，大多数样本包含少量可能是虚假的观察结果。

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能者818

2022-6-1 05:11:54

在少数极端情况下，aPIT值为1与小于预测VaR的已实现损失相匹配。我们采用神经程序，根据报告的PIT值与插补值之间的距离来识别虚假值。后者使用特定投资组合模型构建，该模型将PIT与已实现损失与VaR的比率进行比较；附录C中提供了详细信息。在下面报告的测试结果中，我们将虚假值视为缺失，以降低测试对报告错误的敏感性。我们的结论对于将所有未遗漏的观察结果视为有效是可靠的。表的其余列提供了PIT值的柱状图。对于一些投资组合，样本中的尾坑值代表不足（如Pf 107）或代表过高（如Pf 105）。对于其他一些投资组合，直方图似乎接近统一，例如，对于PF 110，85.9%的PIT值位于[0.05，0.95]，剩余质量大致对称分布。6.2无条件覆盖率测试由于我们框架的通用性，对涉及多个维度的数据应用谱反测试。如第4.3节所述，我们确定α*= 0.99作为常规VaRlevel，窄窗口定义为[0.985，0.995]，宽窗口定义为[0.95，0.995]。内核来自表1。根据我们的模拟结果和简洁性的需要，我们在实证分析中排除使用双边Z检验。表6给出了无条件覆盖测试的p值。我们发现，组合Pf 105、Pf 106和Pf 107的预测模型在所有内核的1%水平上以及在窄内核窗口和宽内核窗口上都被拒绝。从表5中观察到的直方图来看，这并不奇怪。

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2022-6-1 05:11:58

当经验分布函数（edf）位于核窗口内的均匀cdf之上时（如Pf 107所观察到的），样本中的大PIT值不足，这表明预测模型夸大了损失分布的上分位数。当edf低于均匀cdf（如Pf 105和Pf 106所观察到的）时，样本中的PIT值过大，这表明预测模型低估了上分位数。相比之下，Pf 110无任何拒收，因为整个上尾的edf与理论cdf相当接近。对于剩下的六个投资组合，测试结果对内核的选择很敏感。这是意料之中的，也是可取的，因为不同的测试优先考虑无条件分布的不同分位数。为了阐明差异，在图2中，我们在窄窗口（上面板）和宽窗口（下面板）上绘制了三个投资组合的预期违约概率。该图是第4.3节图1的经验对应图。对于Pf 104，我们观察到theedf在公共上窗口边界α=0.995处与理论cdf相交，但在较低的PIT值处位于理论cdf之上。在较宽的窗口上，edf和理论cdf之间的平均距离较大，因此任何在窗口中心附近为其值分配显著权重的测试都将被拒绝。当限制在窄窗口时，平均距离会缩短，因此测试无法拒绝。投资组合Pf 103（未显示）的预期违约概率（edf）与Pf 104的预期违约概率（edf）定性接近，这解释了测试结果的相似性。在整个狭窄窗口内，投资组合Pf 108的预期违约概率略低于并大致平行于理论预期违约概率。

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