互动经济中的传染

2022-5-6 21:59:03

相互作用的经济体中的传染病*和Reimer K¨uhn+英国伦敦国王学院数学系，2018年9月5日摘要我们在更一般的假设下研究了[1]中定义的信用风险模型，特别是稀疏图的一般程度分布。在前面结果的基础上，我们证明了该模型在N→ ∞ 限制并证明Karrer和Newman[2]中概述的消息传递方法所描述的精确解是广义的，包括异构代理和耦合。我们提供了与具有幂律度分布的石墨串模拟的比较。1简介现代经济形成了复杂的、高度互联的生态系统，供应链的异常复杂可能是最好的缩影，通常涉及多个国家的数百家供应商。但正如霍尔丹和梅[3]所强调的那样，复杂性与更大的系统性不稳定性有关，2007-2009年的危机清楚地表明，需要对系统性风险进行适当的分析。因此，金融传染和信用风险建模是一个长期存在的研究课题[4]，最近再次引起人们的兴趣[5,6,7,8,9]。在经济压力时期，信贷事件会聚集在一起，导致单个机构的风险评级（如标准普尔）无法捕捉到的巨额总损失。因此，本着《新巴塞尔协议》资本要求的精神进行监管控制的尝试应该考虑到相互依赖违约的可能性，以便充分模拟大型投资组合的风险。金融风险分析中的历史方法包括将投资组合中的公司数量替换为减少的有效数量，或根据宏观经济指标设定违约概率[10,11]。

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2022-5-6 21:59:07

多因素默顿模型通过假设不同企业的资产回报率经历相关随机游走[4,12]，以及当资产水平低于债务阈值时，违约发生，从而将违约关联起来。但是，虽然这些模型确实考虑了相关性，但它们不是因果关系，因此无法捕捉系统脆弱性，即单个实体或实体组在整个网络上崩溃的影响。经济物理学的发展所推动的物理视角有所不同，它更多地关注通过代理人之间的相互作用而产生的全系统风险，而不是个体风险[13,14]。特别是，在过去二十年中，人们对社会和经济互动的网络结构进行了深入研究，例如性接触、学术引用或互联网的结构[15、16、17、18]，表明在大多数社会网络中，个人（或节点）的邻居或伙伴的数量遵循幂律分布。这有时被解释为网络形成过程中优先连接的结果，如Barab’asi-Albert模型[19]。在这种情况下，由经济互动定义的传染过程图提供了系统性风险的自然框架：考虑到这些过程，人们对*皮埃尔。帕加@kcl。ac.uk+雷默。kuehn@kcl。ac.UK网络可能在特定时间范围内受到影响。例如，Gai和Kapadia[5,20]就使用了这种方法，将银行网络建模为一个有向加权的风险敞口网络，在该网络中，如果银行过度暴露于倒闭的银行，银行就会倒闭。然后，可以通过摩尔和纽曼[21,22]研究图上SIR模型时使用的生成函数方法来确定脆弱银行的比例。Caccioli等人。

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2022-5-6 21:59:10

[8] 将银行系统的代表性作为资产和银行的双重网络，陷入困境的银行出售资产，这会降低资产价格，从而恶化其他银行的资产负债表，进而导致它们陷入困境。Hatchett和K¨uhn[1]通过成对的一般经济互动调查网络企业中的传染，这些互动包括但不限于金融风险，其中邻居的违约大大提高了节点的内在违约概率。网络上的传染虽然是一组相对异质的现象，但通过使用统计力学和计算机科学的工具（如Message passing[23,24]）已经成功地对其进行了大量分析。例如，在感染动力学方面，Altarelli等人[25]评估了靶向免疫策略的效率；Karrer和Newman[2]推导了网络对SIR型流行病易感性的解析解。本文重点讨论了Hatchett和K¨uhn[1]提出的模型，该模型研究了经济互动网络如何影响整个经济周期的系统违约可能性。该调查对“稀释但较大”连通性限制下的违约企业的平均比例进行了分析描述，即对于平均cof邻居数较大的网络（c→ ∞), 但与系统的规模相比（cN→ 0). 此外，分析仅限于Erd¨os-R¨enyi随机图，而不是更现实的重尾梯度分布，如Caccioli等人为奥地利银行网络[26]或Souma等人为母公司和子公司之间的联系，或日本银行和企业之间的联系[27]所发现的重尾梯度分布。

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2022-5-6 21:59:13

在下文中，我们将研究具有重尾度分布和有限平均度的网络。该模型有几个吸引人的特点：传染动力学并非完全由初始冲击驱动；它表明，系统性风险虽然明显依赖于风险敞口和关联性的全系统分布，但对个体依赖性相对不敏感；该模型为默认集群提供了清晰的机制；而且（正如我们将在下文中展示的那样），对于比[1]中最初考虑的更大类别的规范，它在分析上是可处理的。此外，其他模型，如Centola Macy[28]或Watts[29]模型，只要污染邻居的数量（或分数）超过某个阈值，就会引发传染，可以通过采取适当的限制来恢复，使其成为一个有价值的玩具模型。其许多参数原则上也可以通过适当的评级程序推断出来。然而，与其他方法不同的是，它没有研究传染的“微观结构”，例如，由交叉的投资组合（这是Caccioli等人[8]的主要关注点）或交易策略的相似性产生的传染。然而，我们认为，它可以直接概括为至少在定性层面上包括此类影响，并在以下方面提出一种可能的方法。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们定义了我们的模型，并建立了形式主义来分析其动力学。在第3节中，我们使用最新开发的动态消息传递方法提供了一般度分布（具有有限或有限连接性）的解析解，当底层网络是树时，这种方法是精确的，在大量图集合中通常是精确的。在第4节中，我们提供了数字结果，并在第5节中总结了我们的发现。

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2022-5-6 21:59:16

在附录中，我们使用生成函数分析来证明消息传递解决方案是配置模型随机图的正确有限网络限制。2模型定义我们的模型由局部树状加权随机图G=（V，E）和根据某些分布pw（wij，wji）绘制的边权重（wij，wji）组成。在信贷传染建模的背景下，这些节点描述了在经济中起作用的实体，无论它们是银行、对冲基金还是企业。edge（ij）可以被视为合伙企业或联合投资，其中i公司持有WIJAN股份，j公司持有wji股份（不需要等于wij）。如果一方违约，另一方将其股份记为财务损失。例如，人们可能会将一对节点视为原材料供应商和制造商：如果供应商违约，制造商需要根据其规格找到其他供应商会产生直接的财务影响，而失去客户显然会对供应商的资产负债表造成打击。我们将一个阈值θi和一个二元变量ni，t关联到每个节点∈ {0，1}表示节点是活动的（ni，t=0）还是默认的（ni，t=1），阈值θi与风险范围开始时节点i的资产相关。我们为图的邻接矩阵写A={aij}。在推导分析结果时，图的度分布将保持一般性。然而，对于数值结果，使用指数γ=3的幂律分布和硬截函数来模拟在这种情况下出现的厚尾分布（参见[30]）。在默顿模型中，企业被视为持有一定期限后必须偿还的债务。如果他们此时的财富低于债务价值，他们就会违约，财富被建模为初始财富加上高斯随机变量。

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2022-5-6 21:59:19

在默顿模型中，我们假设当企业的财富（即初始财富减去因邻居违约而产生的损失，再加上随机噪声项）降至零或以下时，企业违约。我们把时间t的财富写成θi，t=θi+ηi，t-Xjaijwijnj，t.（1）由于噪声的存在，默认值是随机事件。噪声变量ηi，t的形式为ηi，t=ξ0，t+ξi，t。（2）ξ0是随机变量，在整个经济中引起噪声的相关性，因此代表了变化的全球经济条件的影响。与通常的默顿模型（使用随机游动来确定单周期模型中的违约概率）不同，我们使用多周期方法，{ξi，t}是单个时间步的特殊噪声变量。我们把{ξi，t}作为i.i.d.，尽管我们可以允许它们的分布随时间而变化。这种噪声分解符合BaselII协定[31]的最低建议。然后，ni，t根据动力学规则ni，t+1=ni，t+（1- ni，t）Θ(-θi，t）。（3）以这种方式写下，动力学将ni=1作为吸收态：如果ni，t=1，那么对于所有t>twe，我们将ni，t=1。从建模的角度来看，违约的不可逆性是本文所考虑的有限时间范围内的合理假设。这是一个关键点：由于这种吸收状态，我们没有记忆效应，可以很容易地获得ρ。换句话说，我们不必为每个节点考虑指数（2T）数量的可能轨迹toT+1个可能轨迹，从而实现了极大的简化。我们在本文中的目标是计算有限时间范围T内默认节点的比例，即计算ρ（T）=NXini，T，（4），其中N=|V |是经济中的企业数量。

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2022-5-6 21:59:24

我们将ρ（T）称为默认分数。考虑到模型的建立方式，轨道{ni，t}经历了马尔可夫动力学。他们的联合概率分解了asP{ni，t}t=0，·t；我∈五、= P（{ni，0}）TYt=1P{ni，t}i∈V |{ni，t-1} 我∈五、.在下面的内容中，我们将省略i和t下标的给定范围。由于ξi是独立的，我们可以对它们进行积分。在时间t，P（{ni，t}|{ni，t）产生的跃迁概率-1} ，在asP（{ni，t}|{ni，t）上进行因式分解-1} ）=Yip（ni，t | ni，t-1，{nj，t-1} j∈i），其中i表示节点i的邻居集。只要节点i在时间t处于活动状态- 1，它的跃迁几率p（ni，t | ni，t-1=0，{nj，t-1} j∈i）取决于当地的情况，t-1=Xjaijwijnj，t-1=Xj∈iwijnj，t-在阈值θi上，也就是说，它的形式是p（ni，t=1 | ni，t）-1=0，{nj，t-1} j∈i） =Wt-1（嗨，t-1.- θi），其中Wt-1是一个函数，其精确形式取决于噪声ηi，t的分布-1时间- 1.相反，对于在时间t默认的节点- 1.单点转移概率独立于其局部区域，仅由p（ni，t | ni，t）给出-1=1，{nj，t-1} j∈i） =δni，t，1，反映了上述意义下动力学的不可逆性质（ni，t=1为吸收状态）。书写ni=（ni，0，ni，1，··，ni，T），我们发现通过一个单独的默认时间潮汐来参数化路径nib是有利的，它定义为ni，T<ti=0和ni，ti=1的时间。此外，我们假设{ni，0}i∈V=0，省略了对初始条件的依赖（这只是禁止默认时间ti=0）。

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2022-5-6 21:59:27

在这些假设下，我们可以把路径概率写成默认时间概率：P（{ni，t}）=P（{ni，0}）P（{ti}{ni，0}）=YiP（ti |θi，hi），其中P（ti |θi，hi）=Wti-1（嗨，ti-1.- θi）ti-2Ys=0[1- Ws（嗨，s- θi]，（5）我们引入了符号hi={hi，s}s=0，·T-1.此外，我们必须包括一个特殊情况，其中一个节点在时间范围T内不默认，对应于路径ni，对于所有T，T=0≤ T节点i的这种“生存”路径的概率由p（生存|θi，hi）=T给出-1Ys=0[1- Ws（高，s- θi）。（6）在默认时间的任何总和中，生存路径都将被隐式包含（通过设置WT=1，它可以直接映射到默认时间t=t+1）。函数wt对模型的噪声进行编码：在噪声ξi为高斯的情况下，我们的参考值为wt（x）=Φ（x）- ξ0，t）（7），其中Φ是高斯累积分布函数（cdf），而确定性模型的Wt（x）=Θ（x），其中Θ是Heaviside函数。在这一点上，我们可以指出，WTF通常不需要用cdf来定义，可以是任意的转移概率，例如，它们不需要对局部场是单调的。事实上，无论Wtwe的选择是什么，它都在[32]中定义的2态单向模型的范围内。此外，通过使P（n）（或相当于W）为合适的播种概率，取常数耦合wij=wand wealthθi=θ，取零噪声极限并设置θW，可以恢复自举渗流-1=c表示常数c，对应于传播默认值所需的默认（受感染）邻居的数量。

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2022-5-6 21:59:31

对于瓦茨型渗流，应考虑θ=kθ，而不是k是节点的度。在通常的SI模型中，节点i每个时间步都有被受影响邻居感染的概率，这可以通过选择wij在当前框架中表示=- 日志（1）- uij），θ=0，重量（x）=1- 经验(-x），以及WIJ分布的适当变化，以反映所需的uij分布。3消息传递方法下面的方法是Karrer和Newman[2]提出的方法的扩展，适用于键无序的系统。Ohta和Sasa[33]中给出了均质系统（无键无序和均匀度）的更简单的方程式。在Altarelliet al.[34]和Lokhov et al.[32]中，这些方程是在存在键无序的情况下，针对单实例情况（无图系综平均）推导的。包含图系综平均的结果，因此提供了在热力学极限下有效的描述，也可以从生成泛函分析中导出。在该推导过程中，下面导出的消息传递方程在路径积分的鞍点计算中显示为自洽方程。它们的详细结构是连接模式稀释性质（相对于系统大小）的自然结果。附录中提供了这种替代推导。我们考虑Ki度的节点i和相邻节点集{j∈ i} 。为了计算节点i在时间t的缺省概率，我们需要八个节点j中的每一个在所有时间τ<t的边际缺省概率，知道节点i仅在时间t缺省。

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2022-5-6 21:59:35

但考虑到动力学的形式，在t<t时违约的边际概率并不取决于违约时间t的具体时间，而只取决于它晚于违约时间t的事实。正因为如此，通过前向积分计算边际非常容易。考虑加权树G的一个特定实例，以及该图上的一个节点i。我们用pi（ti）表示i在ti违约的概率。如果我们现在考虑i的邻域，我们可以写出pi（ti）=X{τj}j∈ipi（ti |{τj}j∈i） Yj∈imj→i（τj | ti），其中mj→i（τj | ti）是j在τj条件下违约的概率，i在ti违约的概率。邻域条件概率的分解是因为底层图是一棵树。根据上一节的规定，条件概率pi（ti |{τj}j∈i） i（5）中定义的简单P（ti |θi，hi）。同样，我们也可以写EMJ→i（τj|ti）=X{τl}l∈j\\ipj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl∈j\\iml→j（τl |τj）。（8）但我们注意到，一旦一个节点出现了默认情况，其相邻节点的后续动态将不再影响它。特别是，条件概率→j（τl |τj）依赖于τjonly，因为τj<τl。因此，τj>τl，ml→j（τl |τj）=ml→j（τl |τl）≡ 毫升→j（τl）。（9）同样，我们注意到条件概率pi（ti |{τj}j∈i） pj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）仅依赖于邻居的默认时间，只要这些时间早于它们自己的时间，即pi（ti |{τj}j）∈i） =pi（ti |{τj；τj<ti}j∈i）很明显，对于所有的l，j，Xτl≥τjml→j（τl |τj）=1-Xτl<τjml→j（τl |τj）=1-Xτl<τjml→j（τl）。利用这些结果，我们可以重新审视条件概率mj的方程→i（τj | ti）并计算公式（8）的r.h.s.，用ml表示→j（τl）表示τl<τj。

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大多数88

2022-5-6 21:59:38

对于j（i除外）附近的所有r，我们有x{τl}l∈j\\ipj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl∈j\\iml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）先生→j（τr |τj）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+Xτr≥τjpjτj|ti，{τl}l∈j\\i先生→j（τr |τj）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpjτj|ti，{τl}l∈j\\i先生→j（τr）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+pjτj|ti，{τl}l∈j\\{i，r}Xτr≥τjmr→j（τr |τj）伊尔∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）先生→j（τr）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+pjτj|ti，{τl}l∈j\\{i，r}1.-Xτr<τjmr→j（τr）伊尔∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）.因此，我们可以限制默认时间τl的总和≤ T为违约时间τl的和≤ τj，and writemj→i（τj|ti）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）, （10）而对于τj<tiwe havemj→i（τj）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjpj（τj |{τl}l∈j\\i）Yl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）. （11）替换pj（τj |{τl}l∈j\\i）通过其更明确的版本Pτj |θj，Pl∈j\\IWLNLNL, 这是用asmj表示的→i（τj）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjPτjθj，Xl∈j\\IWLNLNLYl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）. （12）这个单实例方程可以通过从所有节点的初始条件进行正向传播来求解，如[32]中对许多模型所述。有人在几种情况下指出，即使图是局部树状的，消息传递也能很好地工作。在这里，我们取而代之的是对相关节点的程度和财富以及耦合强度进行平均，以获得有限系统规模限制下系统的典型行为→ ∞.我们注意到，邻居的度分布不同于在一个区域内选择的节点的度分布：一个邻居有度k的概率是kpkhki。

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2022-5-6 21:59:42

因此，mj的平均m（τ）→i（τ）满足递归m（τ）≡XkkpkhkiXτ，··，τk-1.≤τYl |τl<τm（τl）Yl |τl=τ1.-Xτ<τm（τ）*Pτθ、 k-1Xl=1wln（τl）+θ、 {wl}，（13）其中，耦合h···i{wl}的平均值是在边际耦合分布上进行的。由此产生的方程在m中向前传播，从m（1）=hW开始(-θ） iθ。同时，在时间t发生的违约的平均分数由p（t）给出≡NXipi（t）=XkpkXτ，···，τk≤tYl |τl<tm（τl）Yl |τl=t1.-Xτ<tm（τ）*Ptθ、 kXl=1wlnl+θ、 {wl}。（14）如[2]所述，我们得到的方程是一条代表性信息的方程。得到的数值格式是透明的，可以用于快速计算局部树状图集合上的平均默认概率。假设消息m（s）表示sup to t- 1已经计算过，程序是：o根据相邻度分布kpkhki绘制度k，以及财富θ，o绘制k- 1相互作用权重{wl}l=1，·k-1、o画k-1根据之前计算的分布（m（0），m（1），··，m（t）的默认时间-1), 1 -Ps<tm（s）），o计算得到的P（t |θ，h），o重复程序NsamlingTimes，并对结果进行平均，根据Q得出m（t）。(13).平均违约概率p（t）可根据等式（14）与m（t）并行计算，方法是根据pk绘制度k，并绘制k相互作用权重和违约时间（根据m）。默认分数ρ（t）由ρ（t）=tXs=0p（s）给出。

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2022-5-6 21:59:45

（15）因此，该算法是蒙特卡罗采样的一种形式，因为我们没有对所有可能的轨迹（其复杂性为Tkmax）进行穷举求和，而是根据分布{m（s）}s<t对默认时间进行采样，将复杂性降低到Nsampling×t×hki，其中Nsampling取决于所需的精度。标准的消息传递方程采用自一致性条件的形式，因此通常迭代直到收敛，与此不同，这些方程是向前传播的。4数值结果在下文中，我们展示了上述分析的结果，这些分析针对的是一个风格化的经济体，表现出共同的金融风险，构成了一个具有幂律度分布的依赖关系图。本文中的分析可以通过具有有限平均度hki的任意度分布来完成。我们认为截断幂律是一个相对简单的选择，它允许我们研究学位分布的异质性对默认统计数据的影响。到目前为止，这个区域在[1]中还没有被探索过，它仅限于基于大型hki Erd¨osR¨enyi随机图的系统，因此也限于不现实的同质网络。正如[26]所指出的，虽然真实市场在其度分布中没有表现出明确的幂律，但重尾是一个常见特征，这种尾部行为通常由幂律度分布合理地建模（[27]）。原则上，可以进行三个层次的分析：（i）使用种群动力学研究方程（14）（ii）模拟（大型）单实例求解方程（11）（iii）中等规模系统的随机模拟，以检查理论分析的有效性[34]中研究了自举渗流情况下的单实例空腔方程，在[35,32]的一般情况下，本文将不进行研究。

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2022-5-6 21:59:49

相反，我们将重点比较（i）和（iii）的结果。除非另有规定，否则我们将使用截断的幂律度分布pk~ K-对于k，γ=3的γ∈ Jkmin，kmaxK，具有不同的kmin值≥ 1，kmax=100。财富θ为高斯r.v.，平均θ=2.75，方差σθ=0.3，如[1]中所用。我们对所有t取Wt（x）=Φ（x），假设中性宏观经济条件（即ξ0，t=0 in（7）），除了第4.2和4.4条。除第4.3节外，耦合均为高斯r.v.，平均值w=1，方差σw=0.5。对于模拟，我们考虑网络大小N=10。时间范围取T=12。此处使用的参数值主要是为了方便获得稳健的信号，而无需求助于如此大的网络，从而使模拟的时间成本高得令人望而却步，同时确保典型年度违约率的正确数量级。4.1初始加速度如[1]所示，我们可以通过观察t=1时违约分数的离散二阶导数，定性评估相互作用导致的风险增加，= ρ(2)+ρ(0) -2ρ（1）=p（2）-p（1）。违约企业比例的正初始加速可被视为通过共同风险敞口实现经济稳定的指标。事实上，对于一个非相互作用的系统，初始加速度很快被发现是= - hW(-θ） W(-θ） iθ<0。为了比较不同平均度网络的结果，以及与之前工作的高平均度结果，我们绘制了在相互作用参数（w，σw）的空间中。然而，学位越高意味着负债越多，因此损失的可能性可能越大。因此，为了使结果在不同程度之间具有可比性，对耦合强度参数进行了重新标度：如[1]中所示，我们取wij=whki-1+xijσwhki-1/2，带xij~ N（0，1）。

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2022-5-6 21:59:52

而= 0边界取决于度数分布的细节，我们发现大平均度数的理论预测与高连通性Erd¨os-R¨enyi随机图的先前结果非常一致，即使在具有有限平均连通性的幂律分布的情况下也是如此。这是因为图的组合是局部树状的，即节点第八级的早期默认值是独立的，初始默认概率较低（约为10）-3). 综上所述，这使得我们可以假设，通常情况下，阳极的k个邻居中最多有一个会在第一时间出现违约。由此产生的相互作用对k度节点加速度的贡献可以通过等式来表示。（13）（14）为δp（2）=km（1）hwiwhhP（2 |θ，0）iθ。对相互作用分布进行平均得到hwiw=whki，一旦对度分布进行平均，所得贡献与平均度无关。因此，它在所有树状图形集合中共享，其中包括Erd¨os-R¨enyi集合，并允许在大平均连通性极限中有一个有限的极限。因此，我们恢复了[1]中探讨的限制案例。在kmin=1（即hki\'1.4）、kmin=2（hki\'3.1）和kmin=5（hki\'8.7）的截断幂律分布情况下，图1绘制了域边界。增加了具有有限连通性的Erd¨os-R¨enyi案例，以供参考。4.2宏观经济敏感性巴塞尔监管框架（Basel II和III）要求银行在风险估计中以反周期资本效应的形式考虑周期效应和宏观经济因素。因此，有必要在我们的环境中调查整个经济周期的违约概率，再次强调相互作用的不稳定影响。

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2022-5-6 21:59:55

为简单起见，假设这些周期性影响在一年内缓慢变化，我们在（7）反映宏观经济条件中设置ξ0，t=ξ，并将ξ设置为高斯r.v（正ξ反映有利条件，负ξ反映不利条件）。然后，我们可以研究由ξ分布引起的违约年终分数ρ（T）的分布P（ρT），大型ρ（T）尾部的形状表明0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.700.10.20.30.40.50.60.70.8w0σWA加速域分离f，<k>=1.4SF，<k>=3.1SF，<k>=8.7ER，<k>=∞图1：具有hki\'1.4（蓝色，虚线）、hki\'3.1（绿色，虚线）和hki\'8.7（红色，虚线）的幂律图的加速域边界，以及具有有限连通性的Erd¨os-R¨enyi图（黑色，实线）。外域（大w，大σw）具有正加速度，标志着相互作用的不稳定效应。这一体系会受到大规模经济冲击。这在图2中完成，经验分布来自10次运行（10次运行在10张图上）。添加非交互案例以进行比较。正如我们所见，在存在相互作用的情况下，大违约率下的概率尾部ρ明显增大，这使得在糟糕的宏观经济条件下，系统性风险更大，并表明需要相应的大阻力。在目前的研究中，我们没有具体研究银行顺周期或逆周期行为的影响，尽管这种影响可以包括在我们的模型中。关于这些影响的讨论，我们参考结论部分。4.3相互作用强度图3我们绘制了中性宏观经济条件下（ξ0，t=0）相互作用强度w不同值的时间相关违约分数ρ（t）。

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2022-5-6 21:59:59

我们将σ设置为w值的一半，并在250个图形上平均模拟结果，每个图形上运行500次。正如所料，随着相互作用强度的增加，有限尺寸效应变得更大，这是意料之中的：虽然空腔法在树上是精确的，但环的存在强烈影响性能。虽然所使用的图形是局部树状的，但对于有限大小的系统，仍然有大量循环。由于这些循环仅在构成节点默认时影响动态，因此当默认率较高时，它们的影响会更强烈。4.4扩展：溢出模型的一个重要扩展是包含了由资产转售引起的溢出效应。当流动性不足的公司以0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510的价格出售大量资产时，就会发生转售-310-210-1100101102ρ12P（ρ12）默认概率分布模拟消息-帕辛农-交互图2：ξ的默认分布~ N（0，0.2）：模拟（蓝色虚线）与空穴预测（红色实线）和非交互网络（绿色虚线）进行比较。0 2 4 6 8 10 1200.020.040.060.080.10.120.140.16tρ（t）不同耦合强度的默认分数w0=0.5w0=1.0w0=1.5w0=2.0图3：不同平均耦合强度的默认分数：模拟（圆圈）和空穴预测（实线）。时间（就银行而言，监管要求其流动资本保持一定规模）。由于突然供过于求，资产价格将下降，其他企业持有的资产价值将减少。为了实现这一点，为了简单起见，我们考虑单一a类（可交易）资产，代表每个企业财富的一小部分（恒定）。

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2022-5-6 22:00:02

当一家公司的财富低于其初始财富的某一部分时，它会进入不良状态，并出售资产a以维持流动性，导致资产价格下跌。因此，持有该资产的每家公司的投资组合价值都会下降，我们通过改变公司初始财富的系数r（dt）=（1+rdt）对其进行建模-1其中，dt是在时间t时陷入困境的企业的比例（违约企业也被视为陷入困境），以及可以描述市场深度的ra参数。因此，当t变成θi时，企业的财富t=r（dt-1） θi-希维吉恩杰，t- ηi，t和违约是在θi，t降至零以下时触发的，而当θi，t<fcθi时，企业进入不良状态。这可以被视为在信用风险模型之上实施了[8]的重叠投资组合方法的简单版本，在本例中仅使用一种资产类别。下图显示了中性宏观经济条件下的平均违约率（ξ=0，fig.4a）以及宏观经济条件分布（fig.4b）所产生的整个经济周期内违约率的概率分布，表明溢出效应可以显著提高大型违约率的可能性。我们取fc=0.1。虽然由于包含了一个二部（企业资产）结构，资产引发的风险网络与简单的成对互动网络非常不同，但只要资产类别的数量在大系统中保持不变，它们的贡献就可以通过上述简单的平均场效应建模。

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2022-5-6 22:00:05

然而，如果资产的数量与N成正比，情况就会变得更加复杂，这取决于网络结构和交互类型的细节。4.5网络大小检查模拟结果与热力学极限N内有效的空腔结果的收敛性→ ∞, 与空腔模拟相比，我们绘制了T=12时默认分数的相对误差 =|ρN-ρ∞|ρ∞, 针对不同的网络规模。数值模拟是在N=200到N=5000的网络上进行的。我们平均超过5000个图形，每个图形上运行1000次（对于小于10的网络大小，运行5000次）。结果如图5所示。由于空腔结果的方差比模拟结果的方差小几个数量级，因此误差条表示模拟相对于平均空腔结果的RMSE，其比例为模拟样本数的平方根。正如预期的那样，随着N的增加，有限规模的模拟会收敛到消息传递解决方案，即使对于小到asN\'10的N，近似的质量也在1%的范围内。

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2022-5-6 22:00:09

收敛速度与N-1/2法律。0 2 4 6 8 10 1200.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1tρt平均违约分数无溢出（r0=0）溢出（r0=1）（a）在中性宏观经济条件下（ξ=0）溢出r=1（红色圆圈）的amodel与无溢出（蓝色正方形）的结果相比的平均违约分数。这些结果为0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-410-310-210-1100101102ρ12P（ρ12）违约概率分布无溢出（r0=0）溢出（r0=1）（b）与ξ的无溢出（蓝色虚线）结果相比，有溢出r=1（红色实线）的年末违约概率~ N（0,0.2）。图4200 450 1000 2250 500010-310-2相对误差与系统尺寸的相对误差系统尺寸图5：不同网络尺寸的有限尺寸模拟与空腔预测的相对偏差的对数图。5结论在本文中，我们研究了[1]中介绍的信贷传染模型，并在热力学极限下，利用[32]中详细介绍的方法和生成泛函分析，导出了一般局部树状稀疏图上的损害扩散动力学的分析解。虽然这两种方法产生了相同的动力学方程，但生成泛函方法开辟了开发系统近似模式的前景，例如，可以为大平均连接极限提供简化的动力学方程，或允许研究有限尺寸修正。我们发现，对于平均违约率和由不同宏观经济条件引起的年末违约率分布，分析预测与模拟结果都非常一致。

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2022-5-6 22:00:13

因此，将中等系统规模的模拟结果与热力学极限相关的结果进行比较，表明目前的理论方法确实提供了大型非均质系统中传染动力学的可行描述，即使有限实例将包含相当数量的短回路。我们对高度示意性情景的初步结果支持这样一种观点，即资产再出售产生的溢出效应构成了系统性不稳定的相关驱动因素，而系统性不稳定似乎比直接传染更重要。然而，在这个模型中，研究大量（按N比例）资产的分布是很有趣的。我们在不同宏观经济条件下对违约分布的调查显示，在缺乏反周期措施的情况下，风险会大幅增加。我们的分析可以扩展到调查此类措施的影响，例如考虑资本缓冲规模、风险敞口规模（由交互权重给出）或初始财富的ξ依赖比例，或这些因素的组合。这里公开的方法可以很容易地扩展到更一般的模型。特别是，通过在我们的模型中包括一种情况，即在节点iat时间t默认时，其相邻节点产生的损失将经历wji（t+τ）=ri（τ）wji类型的阻尼，其中ri在一组阻尼特性（例如指数阻尼或阶跃函数）中选择，从而增加恢复。在这种情况下，我们可以简单地与SIR模型进行比较。我们认为，我们的方法特别适合于需要详细信息的情况，或者网络太大以至于无法进行直接模拟的情况。实际上，本文提出的消息传递方案并不依赖于网络大小。在分析方面，悬而未决的问题依然存在。

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2022-5-6 22:00:16

一个有趣的问题是计算大偏差函数，这项工作得到了欧盟第七框架工作计划FP7/2007-2013/REA grant agreement n.290038的人民计划（玛丽·居里行动）的支持（CF）。我很高兴感谢卢卡·达尔阿斯塔的富有启发性的讨论。附录。1生成函数分析我们在这里对上述模型进行生成函数分析。该分析非常通用，几乎可以应用于任何节点通过本地场耦合的网络。该方法已被很好地理解，并已在其他各种研究中使用[36、37、38]，尽管本文给出的版本有所不同，因为我们可以将自己的积分参数限制为有限（低）个，而不是引入路径积分。该方法如下：考虑到特定的度序列和财富配置，我们引入了一个生成函数，用于评估与传染动力学相关的观察值的平均值和相关函数，如等式（3）所述，在以度序列为条件的图集合上。

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2022-5-6 22:00:19

利用网络的稀疏性，我们将生成函数表示为具有有效作用的积分，并使用鞍点近似计算N阶积分。最初的部分很简单：正如标准场论一样，我们希望计算可观测值ni，tG[ψ| k.θ]=*exp的相关性的生成函数Xi，tψi，tni，t+（16）对于给定的辅助场ψ，其中h··i表示给定图和财富实现（k，θ）的动力学平均值（默认时间），而（··i）表示与该实现兼容的图的平均值。一旦计算出这样的函数，就可以使用hni，ti=ψi，tG[ψ| k，θ]ψ=0，而相关函数由更高的导数给出，例如倪，tnj，t= ψi，tψj，tG[ψ| k，θ]ψ=0.在我们的情况下，我们主要感兴趣的是全球平均ρ（t）=NXihni，ti。由于我们仅将生成函数方法作为一种工具来获得动力学的宏观描述，因此我们实际上可以将源场ψi删除，如下所示。在图上进行平均，即在图的邻接矩阵A上和耦合sw={wij，wji}（ij），生成函数表示为g[k，θ]=XAZdw P（A，w | k）X{ti}YiP（ti |θi，hi）。然后，我们使用Dirac delta函数及其傅里叶表示，通过局部域{hi}来“提取”P（ti |θi，hi）对耦合w的依赖性，从而获得[k，θ]=XAZdw P（A，w | k）zyixtizhid^hi（2π）TP（ti |θi，hi）×exp-你好·你好-Xjaijwijn（tj）, （17）正如我们现在将看到的，它允许对图进行平均。A.2图概率当对图进行平均时，即使对于树状图，我们也有许多图集合可供选择。

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2022-5-6 22:00:23

它们分为两大类：微观规范集合，其中绘制邻接矩阵以精确再现给定的度序列（具有规定的度分布），以及随机选择链接以使度仅平均遵循给定的度序列的规范模型。在下面的推导中，我们使用了一个微观规范配置模型：我们考虑一个“典型”（自平均）度序列k，并且我们在这个给定度序列的图上取一个统一的概率：P（a，w | k）∝Y（ij）pw（wij，wji）δaij，ajiYiδki，Pjaij。（18）为了我们的目的，重写它更容易asP（A，w | k）∝Y（ij）pw（wij，wji）δaij，aji香港国际机场1号+1.-香港δaij，0Yiδki，Pjaij，其中，对于与所选度序列兼容的所有邻接矩阵，额外因子被视为独立于A的选择[36]，允许将其吸收到分布的整体归一化常数N中。然后，我们使用Kronecker三角洲的傅里叶分解togetP（A，w | k）=NZYidωi2πe-iωikiY（ij）pw（wij，wji）hkiNei（ωi+ωj）δaij，1+1.-香港δaij，0.等式（17）中的平均过加权图相对于边进行因式分解，因此生成函数可以表示为g=NYiXtiZdhid^hi（2π）Tdωi2πe-iωikiP（ti |θi，hi）e-i^hi·hiY（ij）Dij，其中单个边缘贡献的形式为Dij=Xaij=0,1Zdwijdwjipw（wij，wji）hkiNei（ωi+ωj）δaij，1+1.-香港δaij，0x expnaijhij^hi·n（tj）+iwji^hj·n（ti）io=Zdwijdwjipw（wij，wji）×1+hkiNhei（ωi+ωj）exp inwij^hi·n（tj）+wji^hj·n（ti）o- 1i.

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2022-5-6 22:00:27

（19）我们可以对边权重进行积分，结果表明，即使p（wij，wji）不是，积分也是可分解的：Deiwij^hi·n（tj）eiwji^hj·n（ti）Ewij，wji=Deiwij^hi·n（tj）EwijDeiwji^hj·n（ti）Ewji（20）直觉上很清楚为什么会出现这种情况：因为一个节点一旦默认，它的邻居的后续默认值就不会影响它，这些耦合的价值无关紧要。因此，如果nodei首先违约，那么wji是否遵循边际分布或条件p（wji | wij）是既相关又不可能确定的，我们可以假设前者。从形式上看，这是由于一个相当微妙的点：对于给定的节点i，默认时间为ti，而字段hi和^hi有T个分量（hi，0，hi，1，··，hi，T）-1），P（ti |θi，hi）仅取决于第一个ti- 1.hi的组成部分。因此，对于剩下的组件，{hi，s}s上的集成≥Ti屈服δ（^hi，s）。为了避免表达式混乱，我们没有显式地执行此积分，但请注意，^hi，s=0表示s≥ tiimpliesexp inwij^hi·n（tj）+wji^hj·n（ti）o=exp iwijXtj≤s<ti^hi，s+wjiXti≤s<tj^hj，s,因此，在积分中只有一对（wij，wji）出现。这种“动态因式分解”是一种至关重要的简化。为了简化我们的表达式，我们引入了χ（^h，t）=Deiw^h·n（t）Ew。（21）A.3有效行动结合所有边缘相关部分的平均值，我们得出Y（ij）Dij=Y（ij）1+hkiNhχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）- 1i.假设图是稀疏的，即hki N、这可以用指数形式y（ij）Dij=exp重写hkiNX（ij）hχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）- 1i= 经验hki2NXi，jχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）-N hki. （22）我们将把HKiPart吸收到归一化常数N中。

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2022-5-6 22:00:30

写入p（ω，t，^h）=NXiδ（ω- ωi）δt，tiδ（^h）-^hi）我们可以重写之前的表达式（22）asY（ij）Dij=expNhkiXt，tZd^h d^hZdωdωχ（^h，t）χ（^h，t）eiωeiωP（ω，t，^h）P（ω，t，^h）.我们看到这种形式几乎是因式分解的。然后我们引入了量纲（t | t）=Zd^hdωχ（^h，t）eiωP（ω，t，^h）=Zd^hdωNXiδ（ω- ωi）δt，tiδ（^h）-^hi）χ（^h，t）eiω=NXiδt，tiχ（^hi，t）eiωi，并通过将m（t | t）视为积分变量，使用辅助变量^m（t | t）通过δ函数的傅里叶表示来执行其定义：1=Zdm（t | t）d^m（t | t）2π/Nexp(-i^m（t|t）Nm（t|t）-Xiδt，tiχ（^hi，t）eiωi！）。我们注意到，引入此积分后，站点有效地解耦。因此，生成函数按N的前导顺序读取，G=NZYt，tdm（t | t）d^m（t | t）2π/Nexp{N[G+G+G]}，其中G=hkixtm，tm（t | t）m（t | t），G=- iXt，tm（t | t）^m（t | t），G=NXiln Zi，其中Zi=XtZdh d^h（2π）Tdω2πe-iωkiP（t |θi，h）e-i^h·hexp（ieiωXtχ（^h，t）^m（t|t））。（23）利用（k，θ）配置的自平均特性，我们可以用hz（k，θ）ik，θ替换npizi（ki，θi），同时只产生N阶误差-1/2. 函数G=G+G+G表示问题的有效作用。A.4鞍点现在，考虑到积分的形式，我们被引导到N中→ ∞ 限制考虑鞍点近似，这将导致我们用其在鞍点的值替换积分的前导阶。鞍点方程m（t | t）（G+G+G）=0和 ^m（t | t）（G+G+G）=0readhki m（t | t）=i^m（t | t）（24）和m（t | t）=*Rdh d^h（2π）TRdω2πP（t |θ，h）e-我^h·他-iω（k）-1） χ（^h，t）表达式ωPtχ（^h，t）^m（t | t）oPsdh d^h（2π）TRdω2πP（s |θ，h）e-我^h·他-iωkexpnieiωPsχ（^h，s）^m（s|s）o+k，θ。我们可以在ω上进行积分，使用（24），这个给定sm（t | t）=*pkkpkkhkirdh d^h（2π）TP（t |θ，h）e-i^h·hχ（^h，t）nPtχ（^h，t）m（t|t）ok-1PsRdh d^h（2π）TP（s |θ，h）e-i^h·hnPsχ（^h，s）m（s|s）ok+θ。

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2022-5-6 22:00:34

（25）我们可以使用与[36]中相同的方法来解释m（t | t）：鞍点处的m（t | t）显示为条件概率，即，假设我们知道其一个邻居在时间t处违约，则节点在时间t处违约的概率。因此，我们必须有ptm（t | t）=1，请记住，我们在这个总和中还考虑了节点未在有限风险范围内违约的概率，1，T另一种看待事物的方式是，我们假设规范化ptm（t | t）=1，并将证明此类解决方案是自一致的，并且与消息传递解决方案中引入的消息一致。我们现在记住两件事。首先，在（25）分子中的积分中，s的所有分量^hss≥ t取消，如前所述，并在公式（20）中利用。其次，χ（^h，t）是标量积^h·n（t）=PT的函数-1s=t^hs。因此，在（25）中的积分中，这个和实际上是^h·n（t）=Pt-1s=t^hs，因此χ（^h，t≥ t） =χ（0，t）=1。因此m（t | s≥ t） =m（t | t），例如，例如m（1 | 2）=m（1 | 1）。从上面给出的m（t | t）的解释中可以清楚地看出这一点，因为在一个人自己的默认值之后，邻居的默认值不能影响原始节点，正如前面章节中所指出的那样。如前所述，我们在第3节中写道，m（t）≡ m（t | t≥ t）。利用这些观测，我们可以进一步简化方程。首先我们注意到，在这些约定中。

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