匹配分布：从 - 外文文献专区

2022-6-9 18:07:09

例如，没有不连续的跳跃，随机冲击没有自相关，任何给定时刻的股价分布都是对数正态分布。Mandelbrot（1963）和Fama（1963）观察到，金融资产回报通常是非正常的。通过从返回数据中估计矩，可以很容易地检测出偏离正态性的情况。阿罗-德布鲁状态价格密度与对数正态形状的偏差（BSM模型中就是这种情况）也有记录。这有时被称为波动率微笑，因为确定的波动率参数相对于执行价格或货币性不是恒定的。金融从业者每天都会应用包括不同到期日在内的波动性表面，这些函数也在积极的理论研究中，最近由Carr和Wu（2009、2016）、Engel和Figlewski（2015）以及Fengler（2005）进行了讨论。为了使BSM模型或其他结构“基准”模型与观察到的统计偏差相一致，几位作者提出了属于不同类型的不同方法*. 其中包括结构方法；例如，Heston（1993）和Madan、Carr和Chang（1998）开发了灵活的参数化模型，可以更精确地校准经验回报。非结构方法通常更忠实于给定的经验分布。这些方法包括混合对数正态分布，可以进一步视为参数；Edgeworth和GramCharlier展开式、Hermite多项式近似（半参数）和非参数方法，包括隐含树和最大熵原理。Bahra（1996）和Figlewski（2010）研究了参数化方法。

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2022-6-9 18:07:12

例如，Air Oldi（2005）、Jarrow和Rudd（1982）、Corrado和Su（1996）、Madan和Milne（1994）的Hermite近似和Rubinstein（1994）的隐含树等对展开方法进行了研究*Kristensen和Mele（2011年）使用“辅助”一词来代替“基准”，其哲学思想类似。Jackwerth（1999）和Stutzer的《熵融资》（1996）。由于从股票收益率的统计数据来看，定价模型的物理方面和从期权价格观察到的风险中性方面都存在一些偏差，因此很自然地会问这些是如何关联的。这就要求在风险中性和物理密度之间建立联系。这种自然联系有许多名称，随机贴现因子（通常在金融中）、PricingKernel或Radon-Nikodym衍生工具（定量金融）和代表性投资者的市场投资组合的边际效用（经济学）。这是Arrow Debreu州价格密度与agiven州物理概率密度的比率，即股票（指数）价值。定价内核是一种非常核心的、经常使用的金融工具，Bakshi和Chen（1997）、Bakshi、Madan和Panayotov（2010）以及Songa和Xiu（2016）对其意外形状进行了研究。Chernov和Ghysels（2000）、Bakshi、Kapadia和Madan（2003）以及Chalamandaris和Rompolis（2012）将观测密度的物理和风险中性特征联系起来。虽然治疗可能是整体的，但同时分析物理密度和风险中性密度及其相互关系会提出两个自然（亚）问题。即，回报的物理密度（或其偏差）如何影响风险中性回报，反之亦然？Schl"ogl（2013）和Xiu（2014）能够将一个相当普遍的分布表示为一个整体的经济扩张。

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2022-6-9 18:07:15

扩张可能与BSM模型中的欧洲风格衍生品的有限投资组合有关。然后，投资组合的价值作为资产的估计价值。有一些技术可以选择这样的展开方式，即给定的峰度和偏斜可以在限制范围内得到满足。然后还有另一个问题：如何从期权价格中提取实物或风险中性基波或峰度？这是一个参数问题，Corrado和Su（1996）、Bakshi、Kapdia和Madan（2003）对此进行了讨论。Bliss和Panigirtzoglou（2004）研究的另一个涉及期权价格隐含的代表性代理人风险厌恶的参数问题。一方面，由于定价核心随着时间的推移而发生变化，另一方面，由于期权交易量巨大，因此，从严格的动态套利定价范式中分离出来似乎是合理的。有人可能会说，期权价格涉及市场对标的资产未来回报的情绪。例如，在给定的未来时间间隔内，股票价格指数的平均波动率取决于投机，而它与指数的定价选项相关。在此，我们假设股票价格指数上的期权价格在某种程度上反映了市场对指数回报的看法。我们将设计一种方法来构造资产回报的隐含物理分布。从某种意义上说，这将隐含波动率的概念扩展到了非参数设置，因为在BSM模型的物理分布和风险中性分布中都出现了相同的σ参数。为此，我们继续开发一种新的定价技术，称为分销匹配，该技术于Talponen（2018）提出。

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mingdashike22

2022-6-9 18:07:19

一般认为，这种匹配与正交多项式展开或隐式树有一些相似之处，即资产的收益分布是重复的。这里，通过转换基准模型的状态空间来执行分发复制。这一想法与Dybvig（1988）的分销定价密切相关。资产回报率的分布并不近似，但完全匹配。该技术本质上是非结构和半参数的。这意味着在第一阶段，根据市场数据（即参数部分）对基准（本文中的BSM模型）进行校准。在下一阶段中，状态空间的变换将进行，并且此过程是完全非参数的。直观地说，此处假设所分析的资产大致遵循BSM模型。然而，此处不考虑资产价格的动态，而是将资产视为单步随机现金流。至少就资产的相对定价而言，这是非常有效的。然后，根据期权价格估算资产价值的实物分布。我们的目标类似于Ross（2015）的恢复定理。大多数关于隐含分布的研究都与风险中性分布的估计有关。应注意的是，风险中性动力学可能与物理动力学相去甚远，例如Madan、Carr和Chang（1998）研究的方差伽马过程。因此，在一般情况下，仅根据期权价格推断实物分布是不可能的。然而，BSM模型更易于处理，因为样本路径的风险中性密度是终值的函数。

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2022-6-9 18:07:23

此处，额外的解析参数信息用于pricedasset和基准证券的统计回报。+在分布匹配中，存在资产回报的经验物理密度，这与衍生工具基准定价模型的物理密度和风险中性密度相结合。然后，该技术生成与给定经验分布相对应的风险中性密度估计。这一过程可以逆转，这是本文的关键所在。也就是说，我们进行了以下思维实验：假设一个有代表性的投资者将分配匹配应用于一个实证分布，再加上BSM基准+例如，Melick和Thomas（1997）认为，在他们的研究中，终端分布为定价提供了充分的信息，因此不需要对整个随机过程进行筛选。用可预测的参数标记模型。然后，基于风险中性分布对欧式期权进行定价。现在，假设结果期权的价格已知，那么代表投资者采用的经验分布是什么？该技术的一个显著优点是，可以很容易地获得高分辨率的完整估计分布，而不是精确的许多元素或参数。因此，无需检查给定估计动量和其他参数是否存在概率分布，参见Longsta ff（1995）。我们将通过分析给定的SP500价格指数期权链来说明资产价格回报物理密度的恢复。因此，此恢复反向使用分布匹配。

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2022-6-9 18:07:29

我们还展示了如何将分布匹配应用于平滑由含噪optionprice数据产生的状态价格密度。2分销匹配定价本文采用Talponen（2018）《分销匹配》中引入的定价技术，反过来计算给定资产的“隐含物理分布”。让我们首先解释一下该技术的直接版本。按分布匹配定价涉及被估价的资产、S和abenchmark证券，这些证券是交易的，上面写着各种各样的欧式期权。一步模型关注给定的时间间隔r0，T s，特别是涉及独立模型M，M的SpT q和SpT q的分布。时间T也是期权的到期日。理想情况下，被估价的资产与基准证券具有高度的相关性。因此，这里的环境是静态的，与利用资产动态的不同方法相辅相成，参见Adersen et al.（2015）和Ross（2015）。接下来，我们将解释这些假设，或者更确切地说是分布匹配背后的思想实验。Hocquard等人（2012年）提出了一种根据具有类似理念的目标分布对基金进行跟踪的方法，参见Halperin和Itkin（2014年）。

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2022-6-9 18:07:41

我们的构造是连续状态，但其离散性与Rubinstein（1994）的隐含树和实物期权分析中的MarketedAsset免责声明密切相关。在分布匹配中，首先考虑到期日为T的数字期权的portolio∏值，即portolio∏pT q的值，考虑时间t“0，与SpT q高度相关，时间T时的投资组合价值分布接近于SpT q的分布，符号corrp∏pT q，SpT qq<<1，∏pT q"SpT q近似。这些投资组合是有限的，因此其分布大致近似于SpT q的分布，在这一阶段，投资组合决不是唯一的。作为对上述问题的回应，我们将转到lim在确定这些投资组合的过程中，投资组合的渐近收益分布与SpT q的分布完全匹配。这将导致使用特定的状态空间变换分析物理和状态价格分布。由此产生的小型Arrow Debreusecurities的理想化投资组合在现阶段不再是临时的；相反，它是一种独特的期权安排，以满足定价功能的一些自然属性。在基准证券和资产高度相关的理想情况下，理想投资组合∏，可以视为S、Satiescorrp∏pT q、SpT qq<<1、，∏pT q"SpT q.（2.1）注意∏pT q然后在统计上对冲sb，但由于高度相关性，对冲概念实际上更强。

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2022-6-9 18:07:44

如果相关性是完美的，那么在我们的单步模型中，投资组合或衍生品将是完美的静态对冲。在与时间t“0”匹配的分布中，资产的价格由投资组合的相应价值建模：{SpT q”πp0q。直观地说，由（2.1）中的不完美相关性导致的信息损失被通过期权价格导入模型中的市场信息部分修补。Talponen（2018）中为∏p0q推导的公式如下：∏p0q“zasφpsqφpkpsqqpqpkpsqq ds（2.2），其中状态s代表SpT q的数值，φ和φ分别是SpT q和SpT q的连续物理分布，q是SpT q的状态价格密度，以及模型和M之间的状态空间转换K映射，它满足微分方程Kpxq”φpxqφpKpxqq，Kpxq“y也可以很容易地用于数值求解变换。初始状态和初始值X和y在理论上是SpT q和SpT q的基本最小值（通常都为0），但出于数值原因，我们在实践中应用了正值。原则上可以使用Breedenand Litzenberger（1978）推导出状态价格密度表示，以及平滑核回归。下文将对此进行解释。以上我们解释了如何将投资组合∏构建为有限投资组合。这本质上是静态对冲，参见Derman et al.（1995），Carret al.（1998）。投资组合∏也可以被视为具有以下性质的欧式衍生品：1。衍生工具和Shave在到期时具有相同的价值分布。2、导数的payoff是SpT q上绝对连续的严格递增函数，即∏pT q和SpT q是共单调的。后一种情况通常意味着衍生品支付和SpT q高度相关。

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2022-6-9 18:07:47

简言之：在分布匹配中，我们通过在基准证券上构建欧洲风格的衍生品来为资产定价，从而使衍生品的支付分布与资产的支付分布相匹配，并且支付不断增加和持续。导数的Payoff函数f和状态空间变换K之间的关系很简单：f“K'1。分布匹配价格公式（2.2）为SpT q上未观测到的SPD生成了一个自然候选：pqDMpxq“φpxqφpkpxqqpkpxqq。（2.3）让我们收集变换速度的特征：pqdmpxqpkpxqq“φpxqφpKpxqq”Kpxq。（2.4）这表明K保留了模型之间的风险中性概率和终值区间的物理概率，M：PpSpT qdxq“PpSpT qdKpxqq，QpSpT qdxq“QpSpT qdKpxqq.3期权价格的事前物理密度估计本节涉及本文的主要贡献。我们能够根据资产上的期权为资产价格的实物分布提供合理的估计。值得注意的是，这里实际上估计了事前物理分布，尽管在文献中风险中性一直是广泛研究的对象。此外，完全分布是半参数估计的，而不仅仅是它的一些矩或参数。直觉上，这里的基本假设是资产在某种程度上接近BSM模型。这里，rt，T s是利息的时间间隔，Sti是资产的当前价值，我们将分析ST的物理分布和风险中性分布。这项技术背后的原因如下。

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大多数88

2022-6-9 18:07:50

假设经济体中的一位代表性投资者事先相信给定时间步长内相关资产回报率的物理密度。她可以获得与资产相关的可预测财务指标PR、Pu和Pσ，并将其作为BSM参数。由此产生的BSM模型可作为资产定价过程中的基准。如果经济体中存在一种流动性“基准”证券，且其上有欧式期权，那么这种证券和期权价格完全遵循经过校准的BSM模型，并且该证券几乎与所分析的资产完美相关，那么这似乎特别有成效。假设representativeinvestor然后应用分布匹配来建模所讨论资产的SPD。如果我们知道最终的期权价格，并且能够预测代表投资者应用的BSM参数，那么我们就可以恢复其资产价格的事前实物分布。由此产生的隐含实物分布可被视为隐含波动率的非参数记录。我们并不是先验地声称事后估计的回报分布应该完美地反映事前的回报分布，即使从某种平均意义上讲，从长远来看也是如此。事前分布可能表现出奈特式的不确定性和相关的模糊厌恶，或者只是系统性的偏差预测。通过股票期权的隐含波动率比历史波动率更能解释实际波动率，讨论了隐含波动率和实际波动率之间的问题关系（Szakmary et al.2003）。Brous等人（2010），另见Chalamandris和Rompolis（2012），Carr和Wu（2016）。3.0.1方法输入我们将应用以下有关资产的市场数据和步骤以及欧洲风格的调用：1。资产的当前价格，St.2。

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大多数88

2022-6-9 18:07:53

基于随后解释的估计技术，我们分析了ST上的选项，以估计资产上的状态价格密度pq。为了BSM模型的目的，我们形成了一个短期利率估计pr。这是从具有大致匹配到期日的投资级零息票债券的收益率中获得的。4、通过使用pr和pq估计隐含波动率pσ，使得相应的BSM模型风险中性密度（取决于pr和pσ）与topq对应的风险中性密度具有相同的四分位区间。BSM模型trendpu的估计值最好由专家进行预测。在这里，我们根据最近实现的回报（年化BSM参数）形成估计值pu：pu“lnStStaccording the BSM model expected return formula EPST“SteupT'tq.6。假设基准证券遵循BSM模型。根据估计参数St、pr、pσ和pu，我们获得了基准证券上的BSM模型physicaldensitypφ和状态价格密度pq。此处未充分确定物理BSM密度的位置参数，因此，两个密度的位置也将是该位置。然而，其中一个是取决于与倾斜和峰度相关的分布的一般形状，因此位置问题并不重要。3.0.2求解隐含物理密度下一步给出物理密度估计。

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2022-6-9 18:07:57

然后，通过应用（2.3）pqDMpxq“φpxqφpkpxqqpkpxqqqqqqqqqin反向，获得资产分布的估计值，如下所示：pφIPDpxq“pqpxqpqpqpqpqpqpqpqpφpKpxqq，（3.1），其中K满足（2.4），Thuspqpxqpqpqpqpqpxqpxqq”Kpxq。通过Euler方法，可以直接求解任何初始条件Kpxq“y”：设x“x”和y；%xi“x”，yi “yi`pqpxiqpqyiqh；Next；初始值x和y应该是相应测度Qand Q中相同p的p-分位数，因为K模拟了一个保留测度的变换。从数值角度来看，失败会导致Kpsq的微小变化为s~n8，要么快速收敛到0，要么发散到8。下面我们有（3.1）的显式表达式采用BSM密度：pφIPDpxq“pqpxq exp”2pσpT'tq, “plnpKpxq{Stq'ppu'pσ{2qpT'tqq'plnpKpxq{Stq'ppr'pσ{2qpT'tqq，Kpxq”pσa2πpT'tqpqpxqKpxq exp'plnpKpxq{Stq'ppr'pσ{2qpT'TQPσpT'tq”.因此，例如，我们可以估计期权价格隐含的指数回报的（物理）偏斜和峰度。类似的哲学出现在Bakshi、Kapadia和Madan（2003）中。这里的好处是，从隐含的物理分布中，我们可以毫不费力地获得任何时刻，或者事实上我们的诊断工具中任何功能的价值，例如风险度量。3.1 SP500期权链的说明接下来，我们将研究一个给定的、相当通用的近期SP500价格指数（SPX）期权链。我们将用数字说明隐含的分布恢复技术。这为隐含的物理回报分布提供了一个相当高的分辨率估计。期权数据所隐含的经验风险中性分布在实践中非常严重。

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mingdashike22

2022-6-9 18:08:01

在此阶段，我们采用给定的平滑SPD估计值。我们将在本文后面展示如何将分布匹配应用于平滑隐含的风险中性分布。我们在分布匹配和从经验数据中估计参数方面都依赖于基准BSM模型。短期利率r根据2018年3月15日到期的国库券的年收益率报价在给定日期进行估算。因此，r“logp1.0116q”0.012。应用此比率，我们将发现此类隐含波动率ypσ，因此BSM模型的RN分布（带参数）S“2503.87，T”178{365，r“0.012和Pσ与期权链估计的SPD具有相同的EIQR。因此，我们得到Pσ”0.0982；用于比较货币ispσIV的隐含波动率“0.1028。请注意异常低的隐含波动率。所调查的期权链数据，即SPX1816C1000-E-SPX1816C3000-E的投标价格，于2017年9月19日美国东部时间08:54从CBOE网页上获取，截至到期178天。上一次SPX交易的报价为2503.87。图1：PφIPD的隐含物理密度估计需要3个分布和转换K。模型Mrisk中性密度在左侧。M物理密度和风险中性密度Pφ和PQ显示在右侧。需要BSM基准模型的趋势参数u。该技术的目标最终用户可咨询专家预测u。在这里，我们将根据2016年9.84%的价格指数回报率进行选择，并获得u“logp1.0984q”0.094。我们将提出随后估算SPD所需的方法。期权链中的价格报价变得稀疏，远离货币，因此SPD数据的质量不是同质的。因此，我们将应用较大的初始值x“1300在ODE中，得出（3.1）的数值解。

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2022-6-9 18:08:08

因为在我们的模型中，K是Q-Q-测度保持的，图像Kpxq“2219.18和X的选择方式是，它们在各自的分布中成为相同的分位数，分布匹配中的Qand Q.§§K被构造为P-P度量保留，即保留分位数。然后定义QI，使K变为Q-Q度量保留。图2这里是转换K：应用的SpT QTh~nSpT Q。如果分布匹配中构造的投资组合是interpr作为M中证券的欧洲风格衍生工具，K’1是其支付函数。因此，上图2描述了一个合适的衍生支付工具的逆映射。上述转换K通过SPD pq、期权链估计值、BSM基准模型（pφ和pq，取决于T、pr、pσ和pu）和（2.4）进行数值求解。然后使用（3.1）中的K生成估计的pφDM。图3该示例明显偏离对数正态性，以相当典型的方式显示出较大的峰度（11.26）和负偏斜（-1.836），参见Conrad et al.（2013）。3.2 IPD估计的可靠性分布数学的基本属性在Talponen（2018）中进行了处理，它们本质上暗示了以下结果，即IPD技术正确估计了BSM模型的物理密度，前提是满足一些自然假设。如果我们接受ODE的较弱解，则初始条件Kp0q“0在以下情况下有效。命题3.1。让Mand M对应于参数满足风险市场价格一致的BSM模型：λ：“u'rσ”u'rσ“：λ。假设我们通过使用风险中性密度q、q和物理密度φ形成IPD估计值PφIPDb，如下所示。选择正的初始值x和Kpxq，使得QpSpT qdxq”QpSpT qdkpxqq，并考虑（2.4）和（3.1）得出唯一的解PφIPDpxq，xěx。

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2022-6-9 18:08:11

ThenpφIPDpxq“φpxq，xěx.更一般地说，如果模型对应于适当的“同构”股票演化，具有共同的驱动Ito过程XT，并且风险的当地市场价格重合λptq“λptq”，那么我们得出了与上述类似的结论。参见Talponen（2018）关于细节和证据。3.3趋势参数的选择我们的恢复技术的弱点是，在基准模型中应用u的选择是非常特别的。事实上，在BSM模型中，风险中性密度并不取决于u，因此无法从期权价格中推断出趋势。因此，隐含回报物理密度的估计涉及到一个涉及趋势的子问题。我们的估算技术并没有为后一个问题提供明确的答案，必须在单独预测之前进行。这里对u的解释变得相当微妙，它是根据代表投资者的信念（或市场的总体情绪），在时间间隔rt，t s内的时间t预期回报率。趋势的选择会影响预计的实际分布。TOILLUSTER我们在回收率中使用了不同的u参数值，所得隐含物理分布的测量结果如下所示。PPPPPPPP度量值u0.000 0.050 0.094 0.015平均值2576.5 2585.7 2593.8 2606.4中间值2614.5 2621 2626.5 2634.7STD 205.3148 206.3828 207.7087 208.8049偏斜-2.0225-1.9329-1.8358-1.6807峰度11.3727 11.3379 11.2558 11.1316表1：IPD统计度量值对估算中应用的趋势参数u的依赖性。可以预见，u的选择会影响隐含物理分布的平均值和中间值，但它甚至似乎会对偏斜产生可观的影响。这似乎主要是数字的问题。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:08:14

由于u的选择影响了基准物理分布的分布函数，例如，Kp1300q成为不同模型中不同p值的p分位数。回想一下，在这个框架中，K是物理测量和风险中性测量的度量保留。为了与这些特征相一致，我们尝试以一种方式调整变换，即在不同的模型中，对应于不同的u，取决于u的物理概率PpSpT qaKp1300qq被归一化为具有相同的值。这是通过在ODE（2.4）中为x“1300选择合适的初始值Kpxq“yf”来实现的。图4：分位数归一化前后的隐含物理分布。这意味着对于每个u，值Kp1300q“ypuqis被调整为相同的P分位数。这表明，即使趋势无法预测，但在不同u下，分布的总体形状相当稳定。IPD在某种移位操作中非常相似。这些发现应与命题3.1进行比较。然而，请注意，此处风险的市场价格没有标准化。4状态pri的半参数估计ce densitiesBreeden和Litzenberger（1978）表明，SPD可以通过以下优雅的公式QPXQ“BCpSt，t，t，KqpBKqˇˇˇK从欧洲看涨期权价格中以无模型的方式获得“x.这可以很容易地转化为一种数值方法，通过数值微分来近似SPD。这种方法存在一些问题，获得的SPD通常非常粗糙，并显示出一些负值，这些值原则上对应于套利机会。我们通过2种不同的方法从所研究的SPX期权链中估计SPD。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:08:18

下面左边，我们采用了直接的数值BreedenLitzenberger方法，限制为正值，并根据基准债券价格重新调整比例。图5：两个不同但相关的SPD数值估计。对于MK“pKi\'1'Kiq”1，Breeden-Litzenberger SPD数值估算有一个简单的公式，即pKi\'1q'Z”CpKiq'2CpKi\'1q'CpKi'2q。（4.1）这是用h“MK”数值计算的二阶导数“1.为了检查计算的稳健性，我们还使用了‘铁黄油’期权策略来估计任何给定状态下的状态价格密度斜率。通过将短黄油和长黄油串联起来，我们获得了一个脉冲的收益，如下所示：图6：串联的短黄油和长黄油的收益。通过简单的几何共振，该导数捕捉到了区间rKi，Ki′4s上状态价格密度的暴涨增长。它可以很容易地从多头/空头头寸看涨期权中构建，并相应地定价P：pqpKi\'1q'qpKi\'1qq'Z\''CpKi'2q'2CpKi'1q'2CpKi'1q'CpKi'2q。（4.2）然后我们从斜率中形成一个线性方程组，在末端施加消失状态价格密度，qp1000q“qp3000q“0.求解这个完全确定的方程组会得到图5中右侧的SPD，为了便于说明，我们没有尝试纠正负值。请注意，如果后一种技术也以正限制和缩放进行了类似的增强，则这些方法的最终结果变得非常相似。这两种方法密切相关，因此有助于观察（4.1）和（4.2）yieldpqpKi ` 1q'qpKi'1qq'Z“q pKi'1q'Z'q pKi'1q'Z。数值Breeden-Litzenberger方法被广泛应用，由于其熟悉程度，我们将使用该方法作为起点。

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2022-6-9 18:08:21

然而，最后我们提出了一种替代方法，解决了一些问题。4.1通过状态空间变换的核平滑进行非参数状态价格密度估计上述我们回顾了数值Breeden-Litzenberger技术，该技术从欧式看涨期权价格中产生“原始”SPD候选。从数值技术的角度来看，产生的噪声密度（见图5）可能不方便，并且可能无法提供理论上令人满意的模型。有几种平滑状态价格密度的方法，参见Bondarenko（2003），了解RND的卷积平滑方法和关于不同方法的讨论。为了使该方法适用于金融计量经济学，估计应至少保持无套利性。A"it-Sahalia和LoP如果q在rKi、Ki\'4s上是线性的，并且如果q是连续可微的且间隔很短，则该关系将是准确的。（1998）通过涉及BSM模型隐含波动率的非参数核回归从期权价格数据中估计的状态价格密度（IV），然后他们通过使用逐点估计Div计算BSM模型的SPD，参见A"it-Sahalia和Duarte（2003），Brunner和Hafner（2003）。因此，他们在某种意义上依赖于基准BSM模型，我们在这里也会这样做。然而，我们将不处理IV，而是使用高斯核对状态空间变换应用核平滑。然后，我们在基准BSM模型SPD的基础上，结合平滑变换重新计算该PD。

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2022-6-9 18:08:24

产生的SPD将是平滑的。虽然这种方法可能出乎意料，但它完全遵循了密度匹配的要点，并且在我们特别希望跟踪特定贝希马克模型（如BSM模型）周围的偏差时，似乎是合理的。这种方法的主要好处如下：首先，没有必要检查由此产生的期权价格体系是否实际上是无套利的（见命题4.1）。事实上，这很容易从一个简单的事实中得出结论，即卷积平滑版本的非递减有效递增函数是平滑且严格递增的。其次，应用的基准模型可能不同于BSM模型，并且可能有多个参数。假设我们获得了前一节中所述的州价格密度Q的估计值。这是一个正数支持的非负函数。我们正式提出了平滑方案，然后必须对其进行数值实现。1、考虑期权价格（粗略）估算的SPDpq。我们根据topqD“zpq”形成对应于零息票债券价格的贴现因子D。我们应用该因子将SPD转换为风险中性密度。2.我们拟合对数正态分布ψBSM（解释为BSM模型状态价格密度）toDpq。通过选择对数正态分布的参数，使两个分布的中值和IQR重合。3.然后，我们定义了一个连续的、递增的和度量保持的变换K:p0，8q~np0，8q，因此zxpqpsq ds“KpxqDψBSMpsq ds，xa0.4。使用平滑卷积核（smooth convolutionkernel）Дεε在对数尺度上对K进行卷积平滑，以获得平滑递增函数rk:p0，8qИp0，8q:rKpxq：“rДεkpexp–qqssPLN xq，xa0.5”。

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2022-6-9 18:08:27

然后，我们根据（2.3）和（2.4）使用平滑变换定义q，如下所示：rqpsq：“rKpsqDψBSMprKpsqq。这里，我们在卷积光滑中使用高斯核Дεpxq”cεexpp'x{εq。命题4.1。对于高斯卷积核Дε，我们有1。rq是一个严格正的平滑函数，具有zrqpsq ds“zpqpsq ds”“D.2.rq~npq分布为ε0。等效地，Europeanstyle数字期权的rq价格收敛到相应的pq价格为ε0。图7:K.Jackwerth和Rubinstein（1996）的欠平滑（ε”0.0001）、合理（ε”0.0005）和过度平滑（ε”0.005）核回归的SPD估计示例讨论平滑SPD的估计，其结果在形状上与上述估计类似。平滑强度的选择是一门艺术，可以是NadarayaWatson核回归中的带宽h，也可以是高斯卷积平滑中的ε参数。理想情况下，平滑后的SPD应该是轻微振荡的，并且对给定数据可靠。如上所述，我们排除了ε“0.0001”的分布，因为它是多峰的，排除了ε“0.005的情况，因为与非平滑的SPD估计相比，它涉及的最大似然太小。选择平滑方法参数的一个合理可重复的标准是使用交叉验证，参见Song和Xiu（2016）。我们应用了参数ε“0.0005建模IPD施工中使用的SPD。我们选择它的理由是（大约）导致基本单峰分布的最小参数。图8：根据Breeden-Litzenberger数字提取后的平滑SPD计算通话价格。图9：根据Breeden-Litzenberger数字提取后的平滑SPD计算通话价格。

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mingdashike22

2022-6-9 18:08:31

校准因子在2000年求解，将所有建模价格乘以该常数，使其与观测价格几乎无法区分。可以将上述核平滑技术修改为局部核回归，以允许不同的成熟度，类似于A"it-Sahalia和Lo（1998）.5通过二次规划从期权价格中提取SPD本文采用的从期权数据中提取原始SPD的技术都存在类似的问题。也就是说，SPD估计值具有很高的波动性，并且具有负值，这在原则上转化为套利机会。在SPD模型中通常不允许出现这种机会，因此我们采用临时修正来消除负的SPD值。回顾以下涉及SPD q的积分方程，对于欧式衍生工具FPTQ“zfpsq qpsq DSS的估值，其中s”SpT q是基础证券的终值，f p–q是支付函数。尤其是欧式看涨期权可以通过CPT、Kq进行定价“zmaxps'K，0q qpsq ds。我们可以将其离散化为以下cpt，Kq<<imaxpsj'K，0q qpsjq，其中近似的优度取决于q的连续性和si:s的网格。这导致考虑以下线性方程组c“Pqwhere c”pCpt，kiqi，P“rmaxpsj'Ki，0qsi，jand q“pqpsjqj。对于给定的c，即使Pis是一个方阵，我们也不要求它一定有任何非负解q。然而，我们可以找到唯一的非负向量q，它在某种意义上最接近于一个解。这可以用以下公式表示：argminqě0pc'pqtw pc'pqqw，其中W是j权重矩阵。对于W“Ij^j目标函数成为欧几里德范数}c'Pq}的平方。解是通过二次规划k找到的。

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2022-6-9 18:08:34

通过定义和二次性，SPD向量的解将是非负的**的优化问题似乎使它们变得平滑。这似乎是布里登-利岑伯格（BreedenLitzenberger）数字方法的一种可行替代方法。5.1分析特征SPD上述二次规划程序产生了一个非常平滑、特征明确的SPD，我们也可以将其用于构建隐含的回报物理分布。此时，为了以图形方式说明这些分布的特性，我们将建模的SPD和IPD放在了目的不明确的位置。kWe在Matlab中应用了lsqlin函数。**回想一下，Lnorm是所有范数中最一致光滑和一致凸的范数。图10：基于非平滑原油状态价格密度的隐含物理密度，通过使用单位矩阵作为权重矩阵的二次规划获得。然后，我们形成了与期权链时间间隔相对应的SPX回报率的经验分布。从1964年秋季到2017年春季，每年按照这一时间间隔进行采样。我们期权链的隐含波动率处于历史低位，出现了牛市。我们进行了启发式状态转换，试图通过增加标准差和降低收益率IPD的中值，使IPD更好地与经验收益分布相比较。图11：模型化收益率分布与经验收益率分布的比较。这是在1964年至2017年的类似时间间隔内进行的采样。为了使分布具有可比性，对IPD进行了调整和缩放。参考文献【1】T.G.Andersen，N.Fusari V.Todorov（2015）。”选项板的参数推断和动态恢复《计量经济学》831081–1145。[2] M.Airoldi（2005年）。”期权定价的矩展开法。鳍

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2022-6-9 18:08:37

5, 89–104.[3] Y.A"it-Sahalia，A.Lo（1998）“金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计”，《金融杂志》53，499–547。[4] Y.A"it-Sahalia，Lo，A.，2000年。非参数风险管理和隐含风险厌恶。《计量经济学杂志》94，9–51。[5] Y.A"it-Sahalia，J.Duarte（2003）。”《形状限制下的非参数期权定价》J.计量经济学116，9–47。[6] B.Bahra（1996年）。期权价格隐含的未来资产价格的概率分布。英格兰银行季报36299–311。[7] G Bakshi，C Cao，Z Chen（1997）。另类期权定价模型的实证表现。《金融杂志》522003-2049。[8] G.Bakshi，N.Kapadia，D.B.Madan（2003）。”《股票回报特征、偏斜规律和个人股权期权的差异定价》，《金融研究评论》16，101–143。[9] G.Bakshi，D.Madan，G.Panayotov（2010年）。从整体上看索赔的回报和U形定价内核的可行性。《金融经济学杂志》97130–154。[10] R.Bliss，N.Panigirtzoglou（2004）。”期权隐含的风险规避估计《金融杂志》59，407–446。[11] D.T.Breeden，R.H.Litzenberger（1978）。”期权价格中隐含的国家或有目标价格《商业杂志》51621–651。[12] P.W.Buchen，M.Kelly（1996）。”从期权价格推断的ANASET的最大熵分布“J.金融和定量分析31143–159。[13] O.Bondarenko（2003年）。”使用正进化近似估计风险中性密度《计量经济学杂志》116，85–112。[14] Brous，P.、Ince，U.、Popova，I.：波动性预测和流动性：来自个股的证据。J Deriv对冲基金（2010）16:144–159。[15] B.Brunner，R.Hafner（2003年）。

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2022-6-9 18:08:40

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大多数88

2022-6-9 18:08:43

沃森（编辑），《波动性和时间序列计量经济学：纪念罗伯特·恩格尔的论文》，第15章，（第323-353页）。牛津大学出版社。[29]I.Halperin，A.Itkin（2014）。”使用效用差异和动态静态对冲“数量”对具有流动代理的非流动资产的期权进行定价。鳍14,427–442.【30】S.Heston（1993年）。“具有随机波动性的期权的封闭式解决方案，适用于债券和货币期权”。金融研究综述。6, 327–343.【31】A.Hocquard，N.Pappgeorgiou，B.Remillard（2012）。”Payoff分布模型：动态投资组合保险“量化”的应用。鳍15,299–312.[32]J.C.Jackwerth，M.Rubinstein（1996）。”《从期权价格中恢复概率分布》，《金融杂志》511611–1631。[33]R.Jarrow，A.Rudd（1982）。”“任意随机过程的近似期权估值”，J.Financ。经济。10, 347–369.[34]E.Jondeau，S.H.Poon，M.Rockinger（2007）。”非高斯分布下的金融建模。[35]D.Kristensen，A.Mele（2011年）。加减布莱克-斯科尔斯：在连续时间模型中近似衍生品价格的新方法，《金融经济学杂志》，102390–415。【36】F.Longsta off（1995）“期权定价和鞅限制”修订版。财务部。螺柱。8, 1091–1124.[37]D.Madan，P.Carr，E.Chang（1998）。”方差伽马过程和期权定价“欧洲金融评论2，79–105。[38]B.Mandelbrot（1963年）。”某些投机价格的变化《商业杂志》36394-419。[39]W.R.Melik，C.P.Thomas（1997）。从期权价格中回收隐含PDF的资产：海湾危机期间原油的应用。《金融与定量分析杂志》，32，91–115。【40】R.C.默顿（1973）。“理性期权定价理论”。贝尔经济和管理科学杂志。兰德公司。4, 141–183.【41】S。

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