，J，t）′=ψ1/2（η1，t，…，ηJ，t）′，ψ1/2下三角形，使得ψ1/2ψ1/2′=ψ，并带有（η1，t，…，ηJ，t）′~ N（0，IJ）对于所有t=1。。。，和（η1，T，…，ηJ，T）′独立于可观测值（w′1，T，…，w′J，T）′，即替代因变量，和xit，即纯个体特定回归。结构参数为θ=（α′，γ′，…，γ′J，ρy，ρe，ω′），其中ω是ψ的唯一无约束元素。我们将上述模型专门用于考虑三种不同的动态离散选择模型。对于三个模型中的每一个，i=1，n通过最大化标准加性随机效用，从两个可用的备选方案中选择一个（为简单起见，J=1）。特别是，对于i=1，n和t=1，T，个体选择如下yit=1l[y*它≥ 0]，其中y*选择备选方案j=1（而不是备选方案j=0）的净效用。每个模型的细节如下：模型1：T=5和y*it=x′itγ+vit，其中vit=ρvi，t-1+it with vi，0=0 a andit~ N（0，1）。结构参数为θ=（γ，ρ）′。模型2：对模型1稍加修改，在未观测效用函数中包含滞后因变量，如下所示。T=5和y*it=αyi，t-1+x′itγ+vit，其中vit=ρvi，t-1+it，带yi，0=0，vi，0=0和it~ N（0，1）。结构参数为θ=（α，γ，ρ）′。模型3：与模型2类似，但包含了众所周知的“初始条件”问题，如下所示。模型2在T=5时成立，但对于i=1，n、 计量经济学家观察t=3、4、5时的选择。结构参数保持θ=（α，γ，ρ）′。对于每个模型，我们考虑使用LM标准的GII-COV方法的应用。对于每个模型中辅助力矩向量m（·）的选择，我们遵循Chaudhuri et al.（2 018）和Take m（·）如下：o对于模型1和2，i=1。

，纳米yri1（θ）。。。，yri5（θ），zi1。。。，zi5；β=zi1yri1（θ）- z′i1β...zi5yri5（θ）- z′i5β,式中，β=（β，…，β）\'，zi1=（1，x′i1）\'，zit=（1，x′it，x′i，t-1，yi，t-1） ′对于t=2。。。，5.o对于模型3，我们认为完全相同的m（.）功能如上所述，但仅限于fort=3、4、5。上述m（·）的cho ice导致在一个看似不相关的回归（SUR）模型中逐方程进行普通最小二乘计算，其中有J个响应变量(l =1l【yrit（θ）=j】对于j=1，J） 并使用用于所有回归的同一组回归器z。特别是，m（·）表示向量函数，用于确定SURmodel回归系数的一阶条件。很明显，对于上述每一个辅助估计方程，m（·）在yrit（θ）中没有差别。然而，可以很容易地应用本文提出的基于导数的方法来获得快速而简单的估计量。对于任何给定的时间点t，模型1有一个单一的不连续性，因为yit=1l[y*它大于0]。因此，如果我们选择矩函数m（·），可以使用示例1中所述的完全相同的方法来处理此示例。模型2和3与模型1相似，但f或任何时间点t>1，函数m（·）可以支持两种不同类型的不连续。yit=1l[y]的第一个不连续性结果*它>0]，而第二个间断是由于y的自回归性质*it：对于t>1y*it=α1l【y】*i、 t型-1> 0]+x′itγ+维生素。这种额外的不连续性意味着我们需要改变两种度量来确定我们的方法。然而，这两个度量值更改具有相同的for m，因此可以很容易地进行更新。上述每个模型中使用的精确变化或变量与示例1中的相同。因此，相应的雅可比项也是相同的。Letθ*我们希望评估模拟结果。

然后，我们可以使用相同的模拟制服urit（θ，θ*) 如上述每个模型中的示例1所示，根据Φ模拟误差项-1.urit（θ，θ*). 对于模型1，给出了临界点函数bycit（θ）=Φ(-x′itγ- ρvi，t-1） ，而对于模型2和3，临界点函数由cit（θ）=Φ给出- α1lci，t-1(θ*) < ui，t-1.-x′itγ- ρvi，t-1.,模型1-3中，cit（θ）=0，cit（θ）=1。以下小节考虑了上述三个模型中每个模型内的一系列模拟示例。5.2模拟结果对于上述每个模型，我们根据以下一组真实参数值和样本量组合生成1000个模拟数据副本：在每个模拟下，XI生成iid为N（1，2）a，我们考虑模型参数和样本量的以下值o对于模型1：θ=（γ，ρ）′=（1，4），N∈ {200，1000}且T=5；o对于模型2：θ=（γ，α，ρ）′=（1，2，4），n∈ {20 0，1000}且T=5；o对于模型3：θ=（γ，α，ρ）′=（1，2，4），n∈ {200，1000}，T=5，s=3个未观测周期；在不同的蒙特卡罗设计中，我们考虑了四种估计程序：GII COV程序、Bruins et al.（2018）的GII-K估计程序、基于Nelder-Mead Simplex的搜索算法和“模式搜索”遗传算法。所有程序均在Matlab中实现。Nelder Mead和遗传算法都是使用Matlab默认设置实现的。这些方法的具体实施细节可在相应的Matla b帮助文件中找到。我们考虑GII-K的两个独立实现。

在第一个名为GII-1的GII-K实现中，我们使用一个正常的核来平滑结果，并考虑样本大小相关的宽度λn：对于n=200，我们使用的带宽λn=。08，对于n=1000，我们考虑λn=。04; 这些值对应于λn的选择√nλn=o（1），这是GII-K方法提供一致和渐近正态估计量所必需的。第二个GII-K实现，称为GII-2，再次使用普通内核来平滑结果，但遵循Bruins等人（2018）概述的两步方法。该两步方法首先使用较大的λ值和少量的模拟结果R，t实现GII-K，以获得θ的初步估计值；在第二步中，GII-K程序以较小的λ值和较大的R值运行，并使用θ的第一步估计器作为第二步的起始值。我们遵循Bruins等人（2018）的观点，在第一阶段考虑（λn，R）=（.03，10），在第二阶段采用（λn，R）=（.003，300）。在1000次重复中，我们报告了所有估计器的平均偏差（MBIAS）、平均绝对偏差（AB）、标准偏差（STD）和95%瓦尔德置信区间（CV95）的蒙特卡罗覆盖率。除GII-2方法外，所有其他估计员在所有模拟设计中使用R=10模拟图。GII-COV估计器使用牛顿-拉斐逊算法计算，同时使用Hessian和g r adient，通过自动微分技术进行数值估计。对于所有GII-COV程序，我们在所有模拟设计中取r=10。GII-K标准函数的smoot-hnessof也允许基于导数的优化程序。继Bruins等人。

（201 8），我们使用准牛顿算法来实现这两种GII-K方法，该算法使用有限差分方法计算平滑标准函数的Hessian和梯度。正如Bruins等人（2018）所述，每个模拟运行的初始值均设置为所有估算程序和每个模拟设计的真实参数值。对于每个估计器，使用有效加权矩阵。不同模拟设计和估算方法的结果见表1-5。就偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）而言，在每个蒙特卡罗设计中，GII-COV估计器相对于GII-K和无导数估计器具有优异的性能。除了GII-COV中观察到的偏差和方差之外，G II-K中固有的额外偏差和方差反映了平滑结果的程序使用，这需要选择核和相关带宽参数。然而，我们确实注意到，在较大的样本量下，GII-2方法给出的结果更接近GII-COV。同样重要的是，GII-COV和GII-K之间的差异不会减弱asn的增加。从表6可以看出，相对于GII-COV，几乎所有蒙特卡罗设计中，GII-1的偏差和标准误差随着n的增加而增加。表7中还观察到GII-2的类似结果模式。然而，在较大的样本量下，GII-2给出的估计值比使用GII-1方法得到的估计值具有更小的偏差和标准偏差。GII-2所需的额外优化步骤将导致比GII-COV、G II-1和无导数方法慢得多的算法。表8包含蒙特卡罗设计中各种alg算法的平均执行时间。在所有情况下，GII-1给出的执行时间最快，紧随其后的是GII-COV。

一般来说，GII-COV比补充附录更快，我们进一步比较了两个版本的GII-COV：一个版本使用自动微分来数值计算gra die nt和Hessian，另一个版本使用有限微分来估计这些导数。结果表明，与使用标准有限差分导数估值器相比，使用自动差分对导数进行数值估计，至少在偏差方面，可以实现有限样本的改进。比任何一种无衍生工具的方法都更容易实现。GII-2的执行时间总是比本模拟研究中使用的所有其他方法都要长，这是GII-2在第二阶段估计时必须生成和操作R=300个额外模拟数据集的结果。因此，虽然GII-2可以给出比GII-1更好的估计，并且我们的结果在MBIAS和STD方面更接近GII-COV，但这样做的计算成本更高。从这些蒙特卡罗结果中，我们可以得出结论，GII-COV在精度和计算性能方面优于这些竞争对手。6讨论II中有许多有趣的例子，其中产生的标准函数在相关参数中是不连续的。虽然已经提出了全局核平滑方法，如Bruins等人（2018）的广义直接推理方法，以缓解标准函数中的这种不连续性，但此类方法需要依赖于用户的带宽参数，这可能会对结果参数估计产生负面影响。在本文中，我们提出了一种新的II方法，该方法可以在不需要平滑方法的情况下缓解模拟准则函数内的不连续性。

在II中应用此模拟方法可得到标准函数，该函数可产生相应极限对应项的一致一致导数估计，并允许使用基于标准导数的优化例程计算II估计量。此外，得到的IIestimators具有标准的渐近性质，在有限样本模拟实验中表现良好。为了简单起见，本文重点讨论了模拟数据由独立一致性生成的情况，从而允许我们应用变量的条件独立变化来消除准则函数中的不连续性。如果需要依赖一致性来生成模拟结果，例如，在某些具有copula结构的多元随机变量下的一致性，则生成内生变量的每个一致性中变量的变化将影响其他维度。在这些情况下，可以使用与此处所考虑的方法类似的方法。然而，这种扩展需要额外的技术细节和解释，因此有待进一步研究。参考Altonji，J.G。，A、 A.Smith和I.Vidangos（2013年2月）：“盈利动态建模”，《计量经济学》，811395-1454。Ambrosetti，A.和P.H.Rabinowitz（1973）：“临界点理论和应用中的对偶变分方法”，《泛函分析杂志》，14349–381。An，M.Y.和M.Liu（2000）：“使用间接推理解决初始条件问题”，《经济与统计评论》，82656–667。Andrieu，L.、G.Cohen和F.J.V'azquez Abad（2011）：“概率约束下基于梯度的模拟优化”，《欧洲运营研究杂志》，212345–351。Baydin、A.G.、B.A.Pearlmutter、A.A.Radul和J.M。

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，J，thenyri（θ，θ*) = αjand-wri（θ，θ*) =cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*),对于所有i=1，n、 此外，可以很容易地验证cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*) 当且仅当ifcji（θ）<uri（θ，θ）*) ≤ cj+1i（θ）。因此，近似矩函数写为asmri（θ，θ*, β） =JXj=0m（αj，zi，β）cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*)1升cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*). （A.2）在上述矩函数中，参数θ现在显示为不同函数的参数，不再决定不连续函数的值。更准确地说，上述方程的右侧项由两个关于θ的连续可微函数组成，因此得出了预期的结论。A-1为了证明命题1，我们应用Jennrich（1969）的思想来证明统一大数定律。命题1的证明。首先，我们考虑函数Mn（θ，θ）的一阶导数的无偏性*, β). Letθ*∈ Θ固定。从（A.2）可以看出θmri（θ，θ*, β） =JXj=0m（αj，zi，β）θ{cj+1i（θ）- cji（θ）}cj+1i（θ）*) - cji（θ*)1升cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*).还有，对于每个j=0，J、 cj+1i（θ*) - cji（θ*)Z1l型cji（θ*) < u≤ cj+1i（θ*)du=1。（A.3）由于均匀随机变量与模型的其余部分无关，并且在假设1（A）和2（A）中的ID数据假设下，我们有θMn（θ，θ*, β)|θ =θ*= EJXj=0m（αj，zi，β）θ{cj+1i（θ*) - cji（θ*)}. （A.4）引理A.1（A）得出θMn（θ，θ*, β)|θ =θ*是的无偏估计量θM（θ*, β).我们现在考虑一阶导数的一致一致性。设δ>0为任意球标量。给定紧致参数空间Θ和B，可以证明期望的结论适用于每个固定邻域Nδ：=N1，δ×N1，δ×N2，δ，其中N1，δ Θ和N2，δ B满足supθ，θ∈N1，δkθ-θk≤ δ、 和supβ，β∈N2，δkβ-βk≤ δ.

定义π-n、 δ：=nRnXi=1RXr=1inf（θ，θ*,β)∈Nδθmri（θ，θ*, β） π+n，δ：=nRnXi=1RXr=1sup（θ，θ*,β)∈Nδθmri（θ，θ*, β).可以很容易地证明，从三角形不等式sup（θ，θ*,β)∈NδθMn（θ，θ*, β) - θM（θ，θ*, β)≤π+n，δ- E[π+n，δ]+π-n、 δ-E[π-n、 δ]+E[π+n，δ]- E[π-n、 δ],其中M（θ，θ*, β） ：=E[核磁共振成像（θ，θ*, β)]. 从弱大数定律出发π±n，δ-E[π±n，δ]= op（1）为n→ ∞. 因此，剩下的任务是显示E[π+n，δ]- E[π-n、 δ]→ 0asδ→ 为此，使用（A.2）以及Uri均匀分布且独立于原始数据的事实，我们得到E[π+n，δ]- E[π-n、 δ]≤EPJj=0jt，δ, 哪里jt，δ：=sup（θ，θ*,β)∈Nδm（αj，zi，β）θwri（θ，θ*)supθ*∈N1，δcj+1i（θ*) - infθ*∈N1，δcji（θ*)- inf（θ，θ*,β)∈Nδm（αj，zi，β）θwri（θ，θ*)infθ*∈N1，δcj+1i（θ*) - supθ*∈N1，δcji（θ*).上述方程由参数连续的函数和Nδ上的所有函数areA-2组成。因此PJj=0jt，δ→ 0为δ→ 还有，我们有jt，δk≤ 2？m（αj，zi）“”wi·supθ*∈N1，δcj+1i（θ*) - infθ*∈N1，δcji（θ*).临界点函数取单位区间内的值，也取Cauchy-Schwarzinequality，E[(R)mi“”wi“]≤ （东米）1/2（东米）|“wi |）1/2，由假设2（c）和3（b）确定。因此，根据支配收敛定理，kE[（1） ir（δ）]k→ 0为δ→ 因此，一阶导数的估计值在（θ）中一致*, β) ∈ Θ×B。类似的论证表明了二阶导数的一致一致性，因此我们省略了细节。在证明估计量^θ和^β（θ）的渐近性质之前，我们给出了M（θ，β）=0的整体隐式解β（θ）的存在性及其性质。我们遵循Idczak（2016）的方法，他使用山路定理（Ambrosetti和Rabinowitz，1973）建立了一个全局隐函数定理。

以下定理是Idczak（2016）中关键结果（定理3.3和推论3.3）的有限维计算部分。引理A.2。让V Rdvand W公司 RDW与有限dv、dw∈ N，设F:V×W→ Rdwbe是一种连续可区分的功能。对于所有v∈ 五、 假设地图w 7→ F（v，w）满足（a）Palais Smale条件：任意序列{wk}∞k=1W带{kF（v，wk）k/2}∞k=1有界和vF（v，周）→ 0作为k→ ∞ 允许收敛子序列，（b）方阵wF（v，w）对于任何w都是非单数的∈ W、 那么，对于任何v∈ 五、 存在唯一的wv∈ 使得F（v，wv）=0。证据参见Idczak（2016）中定理3.3的证明。下面的引理使用引理A.2给出了一个全局隐函数定理，该定理表明隐函数唯一存在并且全局连续二次可微。引理A.3。假设假设1-4和定理1（b）中假设的条件成立。（a） M（θ，β）相对于（θ，β）连续可微两次∈ 任意θ的Θ×B.（B）∈ Θ，存在一个uniq ueβ（θ）∈ B使Mθ, β(θ)= 0和β（θ）是一个连续微分函数及其一阶导数，如下所示：θβ(θ) = -βMθ, β(θ)-1.θMθ, β(θ). （A.5）证明。（a） 我们可以写出M（θ，β）=E[PJj=0m（αj，zi，β）{cj+1i（θ）-假设3（a）下的cji（θ）}]。在引理A.1中，我们已经证明了M（θ，β）对于θ是两次连续可微的∈ Θ. 利用引理A.1中的类似论点，我们可以证明M（θ，β）对于t oβ是两次连续可微的∈ B和θM（θ，β）与β连续不同∈ B、 在定理1（B）和假设3（B）的条件（ii）下。

因此，期望的结论如下。A-3（b）首先，经典隐函数定理暗示期望结果局部成立。也就是说，在f（°θ，’β）附近∈ Θ×B，当M（(R)θ，(R)β）=0时，存在连续微分函数θ7→ β（θ），使得Mθ, β(θ)= 0及其衍生物取formin（A.5）。该引理（a）中的结果表明，（a.5）的右侧包含关于（θ，β）的可微分函数，因此β（θ）是两次连续局部可微分的（例如，参见Dontchev和Rockafellar，2009年的定理1B.1和1B.5）。接下来，假设参数空间B是紧的，kM（θ，β）k/2满足每个θ的PalaisSmale条件∈ Θ. 而且在定理1（b）的条件（iii）下，证明了βM（θ，β）是非奇异的。从引理A.2可以看出，对于所有θ，β（θ）唯一地解出M（θ，β）=0，并且β（θ）满足全局所需的性质。在下面的引理中，我们给出了一个技术结果，当估计量依赖于观测和模拟数据时，这个结果很有用。更准确地说，这个技术引理建立了模拟上的大数统一定律，只要模拟大小R不太大，无法与样本大小n或log（R）=o（n）进行比较。我们用对称化引理证明了这个引理。在不同的背景下，切尔诺朱科夫等人（2015）的引理8中也可以找到类似的方法。引理A.4。给定活动整数n和R，设zn：={zi}ni=1是R和un中i个独立的随机变量序列，R：={（ui1，…，uiR）}ni=1是向量的集合，其元素在R中独立且相同分布。假设zn独立于un，R。对于i=1，n和r=1，R、 定义xir：=g（zi，uir），对于so me可测函数g:R→ Rand？xr：=n-1Pni=1xir。假设E[max1≤r≤R | xir |]<∞ 对于每个i=1，n

如果n→ ∞带对数（R）/n→ 0，然后最大值1≤r≤R(R)xr-E[(R)xr]= op（1）。证据根据马尔可夫不等式，Pr（max1≤r≤R |(R)xr- E*[(R)xr]|≥ η) ≤ η-1E（最大值1≤r≤R |(R)xr- E[(R)xr]|）表示任何η>0。因此，必须显示E（max1≤r≤R |(R)xr- E[(R)xr]|）→ 0作为n→ ∞. Wedenote通过条件期望E*[·]：=E[·| zn]。通过三角不等式，我们得到(R)xr-E[(R)xr]≤(R)xr- E*[(R)xr]+E*[(R)xr]- E[(R)xr].由于'xris以zn为相同分布条件，应用Jensen不等式可得到E（max1≤r≤R | E*[(R)xr]- E[(R)xr]|）≤ （E | E*[(R)xr]- E[(R)xr]|）1/2≤ （n）-1E【xir】）1/2。n-1/2.因此，必须表明最大值1≤r≤R |(R)xr- E*[(R)xr]|= o（1）。要使用对称化技术，让ε，εnbe独立的Rademacher随机变量，独立于zn和un，R。给定以zn为条件的独立序列{xir}，引理2.3.1 invan der Vaart和Wellner（1996）意味着*hmax1≤r≤R(R)xr- E*[(R)xr]我≤ 2n个-1E级*hmax1≤r≤RnXi=1εixiri、 A-4By引理2.2。2和2.2.7在范德法特和韦尔纳（1996年），我们有最大值1≤r≤RnXi=1εixirzn、un、R. 最大值1≤r≤RnXi=1xir1/2（对数R）1/2。通过Fubini定理和Jensen不等式，我们得到了EHMax1≤r≤R(R)xr- E*[(R)xr]i、 n个-1.Ehmax1≤r≤RnXi=1xiri1/2（对数R）1/2。对数Rn1/2，其中最后一个不等式成立，因为n-1E[最大值1≤r≤RPni=1xir]≤ E[最大值1≤r≤R | xir |]<∞.给定对数（R）/n→ 0，预期结论如下。对于每个r=1，R、 定义函数Mrn：Θ×B→ Rdβ，由mrn（θ，θ）给出*, β） ：=n-1nXi=1TXt=1mrit（θ，θ*, β).估计量^βr（θ，θ*) 是方程Mrn（θ，θ）的解*, β） =0，给定（θ，θ*) ∈ Θ. 下面的引理建立了^βr（θ，θ）的性质*).引理A.5。支持假设1-4。如果m（y，z，β）在β中对任何（y，z）连续二次微分∈ Y×Z和d（对数R）/n→ 0。那么l ∈ {0，1，2}，作为n→ ∞,lθ^βr（θ，θ*)|θ =θ*p→ lθβ(θ*),均匀in（θ，r）∈ Θ×{1，…，R}。证据

考虑^βr（θ）的一致一致性*, θ*) 至β（θ*). 对于任何θ*∈ Θ和r=1，R、 它源自^βR（θ）的定义*, θ*) 那个Mrn公司θ*, θ*, β(θ, θ*)-Mrn公司θ*, θ*,^βr（θ，θ*)≥ 0。（A.6）设δ>0为任意常数。M（θ）的连续性*, β） inβ∈ B意味着∈ {1，…，R}带k^βR（θ*, θ*) -β(θ*)k>δ，存在>0，使得Mθ*,^βr（θ*, θ*)-Mθ*, β(θ*)> 2，与（A.6）和三角形不等式一起，意味着supθ*∈Θmax1≤r≤Rk^βr（θ*, θ*) - β(θ*)k>δ≤ 公关部最大值1≤r≤Rsup（θ*,β)∈Θ×BkMrn（θ*, θ*, β) - M（θ*, β） k>.给定紧致参数空间，可以证明，对于任意小的δ>0，max1≤r≤Rsup（θ*,β)∈NδkMrn（θ*, θ*, β) - M（θ*, β） k=op（1），（A.7）为n→ ∞, 式中，Nδ：=N1，δ×N2，δ 带supθ、θ的Θ×B∈N1，δkθ-θk≤ δ和supβ，β∈N2，δkβ-A-5βk≤ δ. 固定δ>0并定义ur-n、 δ：=n-1nXi=1inf（θ*,β)∈Nδmrit（θ*, θ*, β） 和ur+n，δ：=n-1nXi=1sup（θ*,β)∈Nδmrit（θ*, θ*, β).三角不等式的一个应用得到了thatmax1≤r≤Rsup（θ，θ*,β)∈NδkMrn（θ*, θ*, β) - M（θ*, β） k级≤ 最大值1≤r≤Rur-n、 δ-E[ur-n、 δ]+ 最大值1≤r≤Rur+n，δ- E[ur+n，δ]+2最大值1≤r≤RE[ur+n，δ]- E[ur-n、 δ].引理A.4意味着max1≤r≤Rkur±n，δ-E[ur±n，δ]k=op（1）作为n→ ∞ . 此外，类似的ar gumentin命题1表明max1≤r≤RkE[ur+n，δ]- E[ur-n、 δ]k→ 0为δ→ 因此，（A.7）如下，结果如下l = 0.接下来，我们考虑第一个导数。估计量^βr（θ，θ*) 满足Mrnθ, θ*,^βr（θ，θ*)=每r=1，…，为0，R、 取隐函数对θ的一阶导数，我们得到θMrnθ, θ*,^βr（θ，θ*)+ βMrnθ, θ*,^βr（θ，θ*)θ^βr（θ，θ*) = 0

（A.8）使用相同的论证证明（A.7），我们可以应用Jennrich（1969）中的largenumbers统一定律的论证以及引理A.4中的结果，以获得βMrn（θ，θ*, β)|θ =θ*p→ βM（θ*, β） ，（A.9）均匀分布在两个（θ*, β) ∈ Θ×B和r=1，R、 自^βR（θ*, θ*)p→ β(θ*) 均匀in（θ*, r）∈ Θ×{1，…，R}，我们有βMrnθ*, θ*,^βr（θ*, θ*)概率收敛于非奇异矩阵βMθ*, β(θ*)均匀in（θ*, r）∈ Θ×{1，…，R}。同样，可以看出θMrnθ, θ*,^βr（θ*, θ*)|θ =θ*p→ θMθ*, β(θ*)均匀in（θ*, r）∈ Θ×{1，…，R}。这与（A.8）-（A.9）和引理A.3（b）一起意味着期望的结果。类似的论证可以显示二阶导数部分，因此我们省略了细节。定理1的证明。我们首先表明，结果表明l = 首先，我们考虑qlmn（θ，θ）。使用类似的参数t to L emma a.5，我们可以证明^βp→ β. 同样，从命题1，我们得到Mn（θ，θ，β）p→ M（θ，β）均匀覆盖在（θ，β）上∈ Θ×B.因为Ohmnp公司→ Ohm 在假设4（c）下，QLMn（θ，θ）到QLM（θ）的一致收敛如下。现在，考虑QWn（θ，θ）。引理A.5，’βR（θ，θ）p→ β（θ），一致于θ∈ Θ. 因此，通过假设4（c），我们可以得出结论，QWn（θ，θ）一致收敛于QW（θ）。接下来，我们证明了期望的结论适用于两个标准函数的一阶导数。可以使用类似的参数来证明二阶导数的结果，为了简洁起见，我们省略了细节。首先，我们考虑LM准则函数。QLMn的一阶导数（θ，θ*) 由给出θQLMn（θ，θ*)|θ =θ*= 2.θMn（θ，θ*,^β)|θ =θ*′OhmnMn（θ*, θ*,^β），A-6及其人口对应物为θQLM（θ*) = 2[θM（θ*, β)]′OhmM（θ*, β).使用引理a.5中的类似论点，我们可以证明^βp→ βas n→ ∞. 因此，命题1意味着θMn（θ，θ*,^β)|θ =θ*p→ θM（θ*, β） θ中的均匀mly*∈ Θ.

此外，命题1中使用的类似论证表明，Mn（θ*,^β）p→ M（θ*, β） θ内均匀*∈ Θ. 这些结果的条件是Ohmnp公司→ Ohm 根据假设4（c），得出期望的结论。接下来，我们考虑Wald方法。QWn的一阶导数（θ，θ*) 由给出θQWn（θ，θ*)|θ =θ*= 2.θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*′OhmnβR（θ*, θ*) -^β,引理A.3（b）意味着它的种群对应物是θQW（θ*) = 2.θβ(θ*)′Ohmβ(θ*) - β,哪里θβ(θ*) = -βMθ*, β(θ*)-1.θMθ, β(θ*)|θ =θ*. 根据定义，我们有βR（θ*, θ*) = R-1RXr=1^βr（θ*, θ*) 和θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*= R-1RXr=1θ^βr（θ，θ*)|θ =θ*.引理A.5，’βR（θ*, θ*)p→ β(θ*) 通过重复引理A.5中的论点θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*,我们可以得到类似的结果，即θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*p→ θβ(θ*) θ内均匀*∈ Θ. 给定^βp→ β和Ohmnp公司→ Ohm 根据假设4（c），我们可以得出结论θQWn（θ，θ*)|θ =θ*p→ θQW（θ*)θ内均匀*∈ Θ. 定理2的证明。设（Q，Qn，^θ）表示（QW，QWn，^θW）或（QLM，QLMn，^θLM）。根据假设4（b）或引理A.3（b）的结果，对于kθ下的每个δ>0-θk≥ δ、 存在>0这样Q（θ）- Q（θ）≥ . 这意味着，对于任何δ>0，存在一个n>0，使得k^θ- θk≥ δ≤ 公关部Q（^θ）- Q（θ）≥ .因此，必须证明Q（^θ）- Q（θ）=op（1）。作为Qn（θ，θ）的最小值，估计量^θ满足Qn（θ，θ）- Qn（^θ，^θ）≥ 因此，应用三角形不等式得到| Q（^θ）- Q（θ）|≤ |Qn（^θ，^θ）- Q（θ）+Qn（θ，θ）- Q（θ）|。上述方程的右侧从上方以2 supθ为界∈ΘQn（θ，θ）-Q（θ）|，概率收敛到0 a s n→ ∞ 根据定理1（带l = 0). 引理A.6。假设假设1-5成立并记录（R）/n→ ∞ 作为n→ ∞. 此外，对于任何（y，z），由于sumethat m（y，z，β）在β中是连续可区分的∈ Y×Z和βMθ, β(θ)isA-7对于某些常数δ>0，在Nδ（θ）附近的非奇异性。

然后√n^βr（θ，θ）- β(θ)= -βMθ, β(θ)-1.√nMrn公司θ, θ, β(θ)+ oP（1），均匀in（θ，r）∈ Nδ（θ）×{1，…，R}。证据对于每个r=1，R，估计量βR（θ，θ）是方程Mrn（θ，θ，β）=0，g ivenθ的解∈ Θ. 对于任何θ∈ Θ和r∈ {1，…，R}，泰勒展开式屈服强度0=√nMrn公司θ, θ, β(θ)+ βMrnθ、 θ，￠βr（θ）√n^βr（θ，θ）- β(θ),式中，^βr（θ）介于^βr（θ，θ）和β（θ）之间。正如引理A.5的证明所解释的，我们可以证明βMrn（θ，θ，βr）p→ βM（θ，βr）在（θ，βr）中均匀分布∈ Θ×B和r∈ {1，…，R}。伦马。5表示￠βr（θ）p→ β（θ）在（θ，r）中均匀分布∈ Θ×{1，…，R}。因此βMrnθ、 θ，￠βr（θ）收敛到非奇异矩阵βMθ, β(θ). 因此，理想的结论成立。定理3的证明。设（^θ，Qn，Q）为（^θLM，QLMn，QLM）或（^θW，QWn，QW）。假设估计量^θ满足θQn（θ，^θ）|θ=^θ=op（n-1/2). 泰勒展开式得到thaop（1）=√nθQn（θ，^θ）|θ=θ+θQn（θ，^θ）|θ=°θ√n（^θ）- θ） ，其中，θ介于θ和θ之间。定理1与定理2中^θ的一致性意味着θQn（θ，^θ）|θ=°θp→ θQ（θ）。我们有√n（^θ）- θ) = -θQ（θ）-1.√nθQn（θ，^θ）|θ=θ+op（1）。对于黑森人θQ（θ），我们可以证明θQLM（θ）=2′Ohm 和θQW（θ）=2Γ′OhmΓ. （A.10）仍需考虑√nθQn（θ，^θ）|θ=分布中的θ。首先，我们考虑LM估计量。我们可以证明√nθQLMn（θ，^θLM）|θ=θ=2θMnθ、 θLM，β|θ =θ′Ohmn√nMn公司θ、 θLM，β= 2.θMθ, β′Ohm√nMn公司θ、 θLM，β+ op（1），其中第二个等式根据命题1和假设4（c）成立。引理A.7表示映射（θ，β）→ Mn（θ，θ，β）是随机等连续的：存在一个δ>0，使得sup（θ，β）∈Nδ{Mn（θ，θ，β）- E[锰（θ，θ，β）]}- {Mn（θ，θ，β）- M（θ，θ，β）}= op（n-1/2），对于每个邻域Nδ Θ×B满足kθ- θk≤ δ和kβ- βk≤ 任意（θ，β），（θ，β）的δ∈ Nδ。

由于E[Mn（θ，θ，β）]=M（θ，β），Mn（θ，θ，β）=Mn（θ，β），且[Mn（θ，θ，β）]=0，我们得到√nMn公司θ、 θLM，β=√nM（θ，^β）+√nMn公司θ, β+ op（1）。A-8By泰勒展开式，√nM（θ，^β）=βM（θ，β）′√n（^β）- β） +op（1），应用引理a.6中使用的类似参数，我们可以证明√nM（θ，^β）=-n-1/2Pni=1m（yi，zi，β）+op（1）。这与（A.10）一起产生√n（^θLM）- θ) = (′Ohm)-1.′Ohm√n？ξn，R+op（1），其中？ξn，R：=（nR）-1PRr=1Pni=1PTt=1ξrit。预期结果来自假设5（c）。接下来，我们考虑Wald估计量的情况。我们有θQWn（θ，^θW）|θ=^θW=2θ′βR（θ，^θW）|θ=^θW′Ohmn√nβR（^θW，^θW）-^β.如定理1的证明所示，θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*p→ θβ(θ*) θ内均匀*∈ Θ. 同样，^θWp→ θ来自定理2和Ohmnp公司→ Ohm 根据假设4（c）。因此θQWn（θ，^θW）|θ=^θW=2θβ(θ)′Ohm√nβR（^θW，^θW）-^β+ op（1）。给定^θW的一致性，引理A.6意味着√n[’βR（^θW，^θW）-^β] = -[βM（θ，β）]-1.√n′ξn，R+op（1）。收集到目前为止的结果，我们得到√n（^θW）- θ) = -(Γ′OhmΓ)-1Γ′Ohm[βM（θ，β）]-1.√n′ξn，R+op（1）。预期结果来自假设5（c）。我们提供了一个技术引理来获得所提出的估计量的渐近分布。为此，我们将在下面的引理中使用一些来自经验过程文献的符号和结果。设（z，u）是概率分布为P的随机变量，其中z是具有支持度z的随机向量，u是标准均匀随机变量。我们假设z和u在统计上是独立的。设B和Θ分别是具有有限维dβ和dθ的紧参数空间。定义可测量函数μβ：Z→ R和φθ：Z→ Rforβ∈ B和θ∈ Θ. 设F是可测函数Fθ，β：Z×[0，1]的集合→ 由参数（θ，β）确定的R指数∈ Θ×B，由fθ，β（z，u）给出：=uβ（z）1l[u≤ φθ（z）]（z，u）∈ Z×[0，1]。

对于某些>0，设N[]（，F，L（P））为制动数，对于某些δ>0，括号积分由j[]（δ，F，L（P））：=Rδplog N[]（，F，L（P））d给出。下面的引理将通过显示括号积分是有限的来证明集合F是Donsker。在Sant\'Anna和Song（2019）的引理1中也可以找到类似的结果。我们用直径（A）来表示集合A的直径。引理A.7。假设（i）函数μβ和φθ对于β是两次连续可微分的∈ B和θ∈ Θ各自的l y，（ii）supβ∈黑色βuβ（z）k≤ u（z）和supθ∈Θkθφθ（z）k≤ 带E的φ（z）[u（z）]<∞ 和E[\'\'φ（z）]<∞, （iii）参数空间Θ和B为comapct。然后，函数F的集合是P-Donsker。证据设>0为任意小常数。考虑部分离子{k}Kk=1ofΘ和{Bl}Ll=1of B。在条件（iii）下，存在有限常数k≤直径（Θ）/dθ和L≤A-9直径（B）/dβ使得直径（Θk）≤ 和直径（Bl）≤ 对于每k=1，K和l=1，五十、 固定（k，L）∈ {1，…，K}×{1，…，L}并拾取一些元素（θK，βL）∈ 那么，我们可以证明，对于任何（θ，β）∈ 任意z的k×Bland∈ Z、 φ-k（z）≤ φθ（z）≤ φ+k（z）和u-l（z）≤ μβ（z）≤ u+l（z），其中φ±k（z）：=φθk（z）±(R)φ（z）和u±l（z）：=uβl（z）±u（z）。我们可以证明μβl（z）1l[u≤ φθ（z）]- u（z）≤ fθ，β（z）≤ uβl（z）1l【u】≤ φθ（z）]+u（z），用于（θ，β）∈ Θk×Bl。

因此，f-k、 l≤ fθ，β≤ f+k，lfor（θ，β）∈ Θk×Bl，其中f+k，l（z，u）：=μβl（z）1l[μβl（z）≥ 0，u≤ φ+k（z）]+1l[μβl（z）<0，u≤ φ-k（z）]+ u（z），f-k、 l（z，u）：=μβl（z）1l[μβl（z）≥ 0，u≤ φ-k（z）]+1l[μβl（z）<0，u≤ φ+k（z）]- u（z）。利用三角不等式，我们可以证明| f+k，l（z，u）-f-k、 l（z，u）|≤ |uβl（z）| 1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]+2u（z）。因此，cr不等式和Holder不等式的一个应用是| f+k，l（z，u）- f-k、 l（z，u）|≤ 2.Eμβl（z）]E1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]+ （2）Eu（z）.因为u是均匀分布的，与z无关，所以我们得到了e[1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]| z]≤ φ+k（z）- φ-k（z）=2φ，这意味着E | f+k，l（z，u）- f-k、 l（z，u）|。. 因此，括号数N[]（，F，L（P））的阶数为多项式（1/），熵的阶数小于对数（1/）。因此，括号内的熵满足t J[]（δ，F，L（P））。Rδplog（1/）d表示任何δ∈ （0，1）和j[]（δ，F，L（P））→ 0为δ→ 因此，F是P-Donsker（更多详情请参见van der Va art and Wellner，1996年第2.5节）。A-10附录B.表本附录包含正文第5.2节中引用的表1-8。表1:GII COVn=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0052 0.0110 0 0.0281 0的模拟结果。9570-0.0001 0.0015 0.0049 0.9590ρ-0.0043 0.0183 0.0419 0.9430-0.0009 0.0028 0.0075 0.9440模型2γ0.0038 0.0105 0.0246 0。9440 0.0002 0.0016 0.00 45 0.9460α0.0039 0.02 30 0.0463 0.9370 0.00 08 0.0041 0.0107 0.9510ρ-0.0034 0.0174 0.0341 0.9410-0.0009 0.0032 0.0097 0.9600模型3γ0.0033 0.0115 0.0286 0。9500 0.0002 0.0021 0.00 71 0.9610α0.0057 0.02 41 0.0519 0.9530 0.00 11 0.0053 0.0141 0.9460ρ-0.0060 0.0193 0.0443 0.9510-0.0011 0.0037 0.0110 0.9600注释。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本大小n为200或1000。

我们报告了平均偏差（MBIAS）、平均绝对偏差（AB）、标准偏差（STD）和95%置信区间（CV95）的蒙特卡罗覆盖率。对于GII-COV程序，我们在每个蒙特卡罗设计中使用R=10个模拟样本。表2:GII-1n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0541 0.0800 0.0918 0的模拟结果。9240 0.0061 0.0272 0.03 37 0.9530ρ-0.0300 0.0968 0.1188 0.9450-0.0228 0.0438 0.0499 0.9310模型2γ0.0532 0.0833 0.0990 0。9140 0.0055 0.0298 0.03 70 0.9510α0.0073 0.08 36 0.1049 0.9610 0.00 06 0.0339 0.0425 0.9570ρ-0.0293 0.1062 0.1309 0.9470-0.0223 0.0479 0.0561 0.9280型号3γ0.0132 0.1478 0.3140 0。9910 0.0094 0.0611 0.07 84 0.9570α -0.00 03 0.1898 0.2421 0.9580 -0 .0183 0.0793 0.0990 0.9470ρ0.0067 0.2 704 0.4558 0.9860 0.0 164 0.1205 0.1536 0.9 440注释。对于n=200，带宽为λn=。08，对于n=1000，带宽为λn=。另见表1。对于GII-1程序，我们在everyMonte Carlo设计中使用R=10个模拟样本。B-1表3:GII-2n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0539 0.0788 0.0939 0的模拟结果。9180 0.0091 0.0271 0.03 33 0.9400ρ-0.0010 0.0936 0.1185 0.9550-0.0011 0.0386 0.0485 0.9490型号2γ0.0495 0.0791 0.0928 0。9260 0.0077 0.0282 0.03 50 0.9460α0.0111 0.08 20 0.1026 0.9400 0.00 08 0.0324 0.0405 0.9490ρ-0.0064 0.1022 0.1293 0.9510-0.0023 0.0437 0.0547 0.9430模型3γ0.0180 0.1011 0.1389 0。9570 0.0057 0.0434 0.05 49 0.9470α 0.0002 0.14 25 0.1803 0.9540 -0 .0071 0.0565 0.0705 0.9440ρ0.0243 0.2 266 0.2979 0.9400 0.0 042 0.0980 0.1152 0.9 420注释。对于GII-2的第一步，带宽为λn=。03，R=10个模拟数据复制；在第二步中，带宽为λn=。003，我们使用R=300模拟数据集。

另见表1。表4：基于Nelder-Mead单纯形搜索的模拟结果n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0346 0.0893 0.1357 0。9580 0.0220 0.0443 0.05 59 0.9370ρ-0.0231 0.0535 0.0725 0.9440 0.0062 0.0311 0.0430 0.9340模型2γ0.0459 0.0703 0.0826 0。9180 0.0225 0.0347 0.03 84 0.9080α0.0041 0.02 75 0.0509 0.9280 0.00 63 0.0248 0.0352 0.9190ρ-0.0371 0.0617 0.0746 0.9300-0.0007 0.0373 0.0509 0.9310模型3γ0.0198 0.0578 0.0859 0。9370-0.0035 0.0498 0.0638 0.9440α0.0016 0.00 48 0.0086 0.9550 0.00 18 0.0137 0.0274 0.9540ρ-0.0507 0.0508 0.0182 0.1550 0 0.0096 0.0271 0.0417 0.9390注释。见表1。R=每个蒙特卡罗设计中的10个模拟样本。B-2表5：进化算法（Patternsearch）的模拟结果n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.2101 0.2335 0.2687 0。8680 0.0376 0.0578 0.07 65 0.9360ρ0.0826 0.1 374 0.1581 0.8990 0.0 154 0.0465 0.0591 0.9 320型号2γ0.0761 0.0951 0.1264 0。8990 0.0234 0.0339 0.04 07 0.9140α0.0279 0.08 54 0.1095 0.9230 0.00 89 0.0337 0.0434 0.9380ρ-0.0006 0.1161 0.1494 0.9480-0.0006 0.0454 0.0576 0.9510模型3γ0.1110 0.1622 0.3047 0。9680 0.0076 0.0517 0.07 22 0.9520α0.0532 0.19 14 0.2945 0.9730 0.00 21 0.0765 0.0996 0.9520ρ-0.0106 0.3228 0.4076 0.9500 0.0585 0.1376 0.1652 0.9290注释。见表1。R=每个蒙特卡罗设计中的10个模拟样本。表6:GII-COV和GII-1之间的偏差和标准偏差比较。（相对于GII-COV的MBIAS和STD，GII-1的MBIAS和STD）n=200 n=1 000MBIAS STD MBIAS STD模型1γ10.40 3.27-61.00 6.88ρ0.71 2.84 25.33 6.65模型2δ14.00 4.02 27.5 8.22α1.87 2.27 0.75 3.97ρ8.62 3.84 24.78 5.78模型3γ4.00 10.98 47.00 11。04α-0.05 4.66-16.64 7.20ρ1.12 10.29-14.91 13.84注释。

我们报告了GII-1相对于GII-COV的平均偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本量n为200或1000。B-3表7:GII-COV和GII-2之间的偏差和标准偏差比较。（相对于GII-COV的MBIAS和STD，GII-2的MBIAS和STD）n=200 n=1000MBIAS STD MBIAS STD模型1γ10.37 3.34-91.00 6.80ρ0.24 2.82 1.22 6.47模型2δ13.03 3.77 38.50 7.78α2.84 2.22 1.00 3.78ρ1.88 3.79 2.56 5.64模型3γ5.45 4.86 28.50 7.73α-0.67 3.47-6.45 4.96ρ3.63 6.71-3.82 10.47注释。我们报告了GII-2相对于GII-COV的平均偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本量n为200或1000。表8：原始计算时间比较（以秒为单位）n=200 n=1000型号1 GII-COV 0.33 53 0.5734GII-1 0.1134 0.2738GII-2 6.5922 10.6386NM 0.3148 0.7579PS 0.3873 0.8722型号2 GII-COV 0.22 83 0.7783GII-1 0.0915 0.1871GII-2 7.8088 11.2114NM 0.3808 0.9430PS 0.5561 1.4457GII-COV 0.09 81 0.4053GII-1 0.0473 0.0635GII-2 2.1736 3.9593NM 0.1456 0.2977PS 0.2125 0.5160注释。这些条目表示100个蒙特卡罗复制的平均执行时间（秒）。我们报告了GII-COV、GII-K（GII-1）的朴素实现、GIIK（GII-2）的两步版本、Nelder-Mead单纯形算法（NM）、Patternsearch算法（PS）的结果。横截面样本大小n为200或1000。B-4“具有非光滑标准函数的间接推理”的补充材料A实施细节：示例在本节中，我们验证了本文中的假设1-3对于每个示例都是满足的2-4。

此外，对于每个示例，我们给出了使用COV（GII-COV）实现广义间接推理（GII）所需的特定变量变化（COV）。示例2（具有单独影响的有序Pr ob it模型）。设xi=（xi1，…，xiT）∈ Rdx×RT，yi=（yi1，…，yiT）\'∈ {0，1，2，…，J}T，a dz×T矩阵zi=（zi1，…，ziT）′，wi=（wi1，…，wiT）′∈ RTI=1，n、 此外，我们设置参数θ=（δ，δ，…，δJ，σ，γ′）。假设1（a）假设观测变量xind yi为iid，xind wi为独立变量。（b） 新息{wi}ni=1为iid，遵循标准正态分布，具有连续可微的概率密度函数。（c） （效用）函数h（xi，wi；θ）=x′iγ+σvi+wii在w和∈ R和（γ，σ）给出了xi。（d） 我们假设θ的参数空间Θ是紧的，并附加了δ<····<δJ的限制。假设2（a）该假设通过构造和Θ的紧性保持不变。（b） 通常，使用看似不相关的回归（SUR）模型作为辅助模型，矩函数的形式如第5.1节所示：m（yi，zi，β）=zi1（yi1- z′i1β）。。。青春痘（yiT- z′iTβT）,对于某些在时间t时是外生的变量，函数β7→ m（y，z，β）对于任何（y，z）都是连续的∈ Y×Z.（c）根据力矩函数m（·）的定义，我们有| | zit（yit- z′itβt）| |≤ ||zityit | |+| | zitz′itβ| |≤ ||zityit | |+| | zitz′it | | | | |β| |≤ ||zityit | |+C | | zit | |，B-5其中la st不等式源自B的紧性。定义“mi=| | zityit | |+C | | zit | |，我们看到“mihas fi second moment if yi”和“zitave fi second moment for alli，t”。由于yit是一个阶跃函数，这是令人满意的。

由于zitis由xit和lagsofxit组成，因此只要xit对所有人都有一个有限的二阶矩（i，t），就可以进行假设。假设3（a）重写数据生成过程asyit=JXj=0j1lcjit（θ））<uit≤ cj+1it（θ）,式中，cit（θ）=0，cJ+1it（θ）=1，cjit（θ）=Φ（δj- x′itγ- σνi），它是假设中的显式形式。假设δj<δj+1，且正规CDF是严格单调且两次连续可微的，则Random函数是cj（θ）<cj+1（θ）且两次连续可微的。（b） cjit（θ）wrtθsatisfyk的导数θcjit（θ）k=kφ（δj- x′itγ- σνi）[-x′it，-vi]k≤ （| | xi，t | |+vi），其中φ是标准的普通PDF，和kθcjit（θ）k=k(-δj+x′itγ+σvi）φ（δj-x′itγ- σνi）[-x′it，-六]\'[-x′it，-vi]k≤ (-δj+x′itγ+σvi）k【x′it，vi】′[x′it，vi]k≤δj+（x′itγ）+（σvi）k[x′it，vi]′[x′it，vi]k≤Cδ+Cγ| | xit | |+Cσvik[x′it，vi]′[x′it，vi]k最后一个不等式来自于Θ的紧性。因此，E[k]l\'\'citk]<∞只要xitis有限的第六个矩（viis高斯，所以它的所有矩都存在）。临界点函数和COV本例中的COV函数由Urit（θ，θ）给出*) =cit（θ）cit（θ*)urit，如果为0≤ 乌里特≤ cit（θ*)cit（θ）+cit（θ）-cit（θ）cit（θ*)-cit（θ*)（乌里特- cit（θ*)) , 如果cit（θ*) < 乌里特≤ cit（θ*)...cJit（θ）+1-cJit（θ）1-cJit（θ*)乌里特-cJit（θ*), 如果cJit（θ*) < uJit公司≤ 1、虽然在这种情况下，有多个不连续点，但每个时间步只需要一个COV来替换urit。

与示例1类似，由于过去的不连续性不会影响到时间t的模拟算法，因此雅可比项不会随时间累积。B-6因此，GII-COV中使用的力矩函数由becomesMn（θ，θ）表示*, β） =nRnXi=1TXt=1RXr=1myrit（θ*), 青春痘，β书写（θ，θ*),其中write（θ，θ*) = urit（θ，θ*)/乌里特。示例3（开关型型号）。让yt∈ R+，zt=（1，yt-1） ′，recallt=（vt，ut）′，其中ut~ U[0，1]，vt~ Exp（1），f或t=1，2。。。，T此外，我们还设置了参数θ=（φ，u）′。假设1（a）没有外部变量。（b） 这种情况下的随机创新有两个组成部分，vt~ Exp（1）和ut~ U（0，1）。这两个组件都是iid，彼此独立，因此该假设成立。（c） 函数h（t；θ）=（uvt，ut）′在u中可二次微分。（d） 假设参数空间是紧的。假设2（a）该假设通过参数空间的紧性成立。（b） 对于本例，我们将矩函数作为最小二乘回归的一阶条件：对于zt=（1，yt-1） ′，m（yt，zt，β）=zt（yt- z′tβ）。然后，假设如下。（c） 重复用于验证示例2中假设2（c）的相同论点，很容易证明该假设是满足的。假设3（a）我们必须稍微改变正文中的原始假设，以适应这种更一般的结构。在公式yt=（φyt）中重写模型-1+uvt）1l[ut≤ φ] +φyt-11l【ut>φ】。以上是假设3（a）的广义版本，其中，参考正文中的假设3（a），g（st；θ）=α（θ）1l[0≤ ut<φ]+α（θ）1l[ut>φ]，α（θ）=φyt-1+uvt，α（θ）=φyt-1.B-7现在采用假设3（a）的形式，期望函数αj（θ）依赖于θ。然而，这些函数在θ上是不同的，因此不会产生任何进一步的不连续性。

然后我们得到ct（φ）=0，ct（φ）=φ，ct（φ）=1，是两次连续可微的，并且ct<ct<ctas长为0<φ<1。（b） 只要0<φ<1，就可以满足假设3（b）。临界点函数与COVLetθ*是我们希望评估模拟结果的值。然后，我们在urt上使用COV，我们用urt（φ，φ）替换urt*) =(φφ*城市轨道交通，如果城市轨道交通≤ φ*1.-φ1-φ*（城市轨道交通-φ*) + φ、 如果urt>φ*.与前面的示例或主要论文中处理的示例不同，不连续性yt-k、 k=1，t型- 1，对yt的未来价值有影响。尽管如此，COV导致了yrt（θ，θ）的模拟值*) 根据yrt（θ，θ）递归*) = φyrt-1(θ, θ*) -对数（wrt）u1l[urt≤ φ*],对于y（θ，θ*) = 也就是说，虽然φ仍然出现在yrt中（φ，φ*), COV已将其推出指标，而φ现在仅以不同的方式显示。在这种情况下，辅助功能变成smt（yrt（φ*, φ） ，zt，β）tYs=1wrs（φ，φ*).示例4（G/G/1队列）。假设1（a）没有外部变量。（b） 这里的随机创新可以被视为客户到达时间和服务时间wi和vi的联合向量。根据假设，这些项是相互独立的，并且是均匀分布的。（c） 状态变量为si=（vi，wi）′，这意味着函数h（·）是身份图，通过构造满足假设。在最初的假设中，我们将随机创新设置为iid随机变量的序列，以便其分布不依赖于感兴趣的参数。然而，我们对其分布参数θwandθv感兴趣，这是对假设的一个轻微修改。