具有非光滑准则函数的间接推理

2022-6-1 05:30:21

具有非光滑准则函数的间接推理*David T.Frazier+Tatsushi OkaDan Zhu§2019年7月11日抽象直接推理要求模拟所研究模型中内生变量的实现。当自变量是模型参数的不连续函数时，产生的间接推理准则函数是不连续的，不允许使用基于导数的优化例程。利用变量变化技术，我们提出了一种新的仿真算法，该算法可以缓解此类间接推理准则函数固有的不连续性，并允许应用基于导数的优化例程来估计未知模型参数。与其他方法不同，这种方法不依赖于核平滑或带宽参数。文献中关于具有不连续结果的直接推理的几个蒙特卡罗例子说明了该方法，并证明了该方法优于现有备选方法。关键词：模拟估计器；间接推理；不连续目标函数；动态离散选择模型。JEL代码：C10、C13、C15、C25*我们要感谢编辑、副编辑范建清和三位匿名评论员的建设性意见，这些意见大大改进了这篇论文。

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2022-6-1 05:30:24

我们还感谢Jean-Jacques Forneron、PedroSant\'Anna以及2018年山东计量经济学会议（山东大学）、2018年计量经济学进展研讨会（Dogo Onsen）和2019年波士顿大学Pi日会议（波士顿大学）的与会者。这是之前以“基于导数的非光滑模拟准则优化”为题分发的论文的修订版Firs t版本：2017年8月8日+莫纳什大学生态计量学和商业统计系（david。frazier@monash.edu).莫纳什大学生态计量学和商业统计系（tatsushi。oka@monash.edu).§莫纳什大学生态计量学和商业统计系（dan。zhu@monash.edu).1简介基于模拟的估计方法，如模拟矩法（McFadden，1989，Du ffe and Singleton，1993）和间接推理（Smith，19 93，Gourieroux et al.，1993，Gallant and Tauchen，1996），是广泛使用的基础程序，适用于任何可能模拟数据的模型。这些方法在以下情况下特别有用：基本结构模型难以进行最大似然估计，但模型的模拟非常简单。给定未知模型参数的固定值，基于模拟的方法要求用户从基础结构模型模拟内生变量的合成实现，通常称为模拟结果。一旦生成这些模拟实现，将计算基于模拟数据的统计数据，然后与基于观测数据的统计数据进行比较。

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2022-6-1 05:30:27

然后，通过最小化模拟汇总统计数据与其观测对应数据之间的明确距离，获得未知模型参数的估计量。然而，在许多有趣的情况下，感兴趣的结构模型的模拟结果是基础模型参数的不连续转换，即参数值的微小变化可能导致模拟数据的实质性变化。因此，估计中使用的样本准则函数将是模型参数的不连续函数，即使样本准则函数的相应极限在模型参数中通常是不同的。事实上，不连续结果的模拟，以及由此产生的样本标准函数的不连续性，在间接参考文献（下文，II）中相对常见。在不连续模拟结果的背景下应用II的显著例子包括：受所谓“初始条件”问题影响的dynamiclabor市场模型（An和Liu，2000）；切换型模型，如具有指数边缘分布的自回归模型（Di Iorio和Calzola r i，20 06）；人类人均l积累与学习的结构模型（Nagypal，2007）；具有异质投标人的第一价格拍卖模型（Li和Zhang，2015）；某些动态样本选择模型（Altonji等人，2013年）；以及IIto动态离散选择模型的应用（参见Bruins等人，2018年的讨论）。有两种可能的解决方案可以部分避免在使用不连续准则函数进行II估计时遇到的困难，即在优化方案中使用数值导数，以及使用无导数优化方法。

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2022-6-1 05:30:30

这个问题的一个简单解决方案是在牛顿-拉斐逊算法或拟牛顿算法中应用有限差分导数估计，即使标准函数在单元样本中可能是不连续的。这种方法背后的逻辑通常基于以下概念：如果我们可以使用有限数量的模拟样本构造标准函数，则得到的标准函数将足够平滑，以允许使用数值导数。虽然无法进行有限数量的模拟，但如果II中使用的模拟数量非常大，这会显著增加所需的计算效果，这将有效地平滑不连续的标准函数，并为在参数估计中使用此类数值导数提供基础。当模拟数量大于样本大小时，Gottard和Calzolari（2017）提供了支持这种方法的模拟结果。然而，撇开计算问题不谈，即使模拟规模很大，使用有限差分法估计这些导数也需要指定一个调整参数，将SBIAS应用于结果估计。在实践中，调整参数会在偏差和方差之间产生权衡效应，并可能对有限样本中的估计量产生重大影响，尤其是当基础模型不连续时（见Glynn，19 89；Andrieu et al.，2011；Detemple et al.，2005）。在这种情况下，寻找II估计值的另一种方法是使用无导数方法，如基于单纯形的算法或遗传算法hms。

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2022-6-1 05:30:35

当模型参数的维数相对较小时，这些方法非常有用，然而，当参数的维数较大时，这些方法往往难以计数（关于这个问题的讨论，参见Bruins et al.，2018）。最近，在Keane和Smith（2003）以及Di Iorio和Calzolari（2006）的初步工作基础上，Bruins et al.（2018）提出了一种广义II（GII）方法，以缓解模型参数和模拟结果的不连续性问题。GII方法用依赖于abandwidth参数的核平滑版本代替不连续的模拟结果。对于带宽参数的正值，GII允许使用基于导数的优化例程来估计未知模型参数。此外，在某些正则性条件下，包括带宽参数以足够快的速度收缩到零，GII方法产生模型参数的一致和渐近正态估计。然而，GII的应用在实践中可能会遇到一些困难：GII方法依赖于核函数和带宽参数的某种任意选择；对于任何固定样本量，使用人工平滑的模拟结果会对结果参数估计产生不容忽视的偏差；与内核平滑方法一样，带宽参数的选择对于获得可靠的性能至关重要。本文的目标是提出一种新的模拟算法，在结构模型下模拟的数据是不连续的情况下，产生一个不同的样本II准则函数。

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2022-6-1 05:30:38

与前面提到的GII方法不同，这种新方法不依赖任何平滑方法，也不需要用户在实现该过程之前选择带宽参数。这种新II方法的关键是一种局部变量变化（COV）技术，它是从Joshi和Zhu（20 16）的Hessian Opti-ima l partial proxy（HOPP）方法中提取灵感的。HOPP方法是一种COV技术，允许对金融数学中非常感兴趣的某些预期的衍生工具（如与期权定价相关的所谓“希腊人”）构造无偏估计量，最多三阶项。Fu（1994）、Lyuu和Teng（2011）、Chan和Joshi（2011）以及Peng等人（2018）提出了计算类似预期衍生工具的其他COV策略，Glynn（1987）在离散事件系统研究中首次引入了这些想法。与HO-PP方法所应用的问题不同，HO-PP方法侧重于估计点上的一个表达式的导数，在II中，我们感兴趣的是在参数空间上获得模拟样本准则函数导数的一致估计。我们提出了一种可应用于II估计的HOPP方法的修正，并证明了这种新方法产生的II标准函数在模型参数上是连续可微的。因此，这一新程序允许使用基于导数的优化例程来估计未知模型参数，即使原始模拟结果是不连续的。

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2022-6-1 05:30:41

关键的是，使用这种技术从IICriteria函数计算出的导数在参数空间上是其相应极限对应项的一致估计量。我们请感兴趣的读者参考Fu（2006）对这些方法的概述。本文考虑的方法相当于在原始准则函数不连续的点的邻域中直接逼近II准则函数。因此，我们的方法是“广义间接推理”的一种形式。然而，与Blacks et al.（20 18）的GII方法依赖于全局核平滑近似不同，本文提出的GII方法依赖于局部近似。为了区分这两种GII方法，以下我们将我们的方法称为变量广义间接推理的变化（GIICOV），而Bruins等人（2018）的基于核的方法称为核广义直接推理（GII-K）。我们证明了我们的G II-COV a方法对II估计中使用的模拟矩的导数产生一致的估计量。因此，GII-COV允许一致应用基于导数的优化例程，以产生计算效率高的II参数估计，即使研究中的模型产生不连续的模拟结果。GII-COV方法的一个直接结果是一个标准函数，该函数在参数上是两次连续可微的，一致的，这确保了在相当弱的正则性条件下，从该方法获得的估计量将具有标准的渐近性质。虽然数值微分是计量经济学中计算导数最常用的工具，但本文中用于导数计算的计算工具是自动微分。

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2022-6-1 05:30:44

这种技术在计算机科学和金融数学中很常见（Glasserman，2003），通常比有限差分技术更快地进行导数计算，尤其是在高维环境中。自动微分是一种预估计导数的数值方法，可以看作是一种最佳的有限微分导数估值器；特别是，通过自动差异计算的数值导数不会显示与有限差异导数估计相关的偏差。相反，通过自动微分计算的导数会产生所考虑函数的精确数值导数，直至出现浮点误差。因此，使用自动差异化不仅可以加快基于导数的优化算法的执行速度，还可以产生不受有限差异导数估计固有偏差影响的结果。pa per的其余部分组织如下。第2节提供了结构模型和brie Fly reviews II估算程序的一般设置和符号。第3节提出了我们在GII方法中使用的变量变化技术，并证明这种方法允许一致应用基于导数的优化例程来估计未知模型参数。示例展示了有关II的这种方法的精确实现细节。第4节讨论了这种方法的渐近性质。在第5节中，我们将我们的GII方法应用于几个动态离散选项模型，这些模型在II的文献中具有不连续的结果，并将结果参数估计与Bruins et al.（2018）的GII方法和两种流行的无竞争方法进行比较。结果表明，我们的方法优于现有方法。

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2022-6-1 05:30:48

第6节结束。所有的证据和表格都归入附录。2模型、示例和标准间接推理在本节中，我们首先介绍了模型设置，并描述了标准间接推理（以下简称II）方法。此外，我们还简要研究了II在几个经济示例中的应用。在本文的其余部分中，我们使用以下符号。考虑一个p×1 vectorx=（x，···，xp）和一个q×p矩阵a。我们用kxk表示欧几里德范数，用kAk表示算子范数（即，kAk=supz∈Rp：kzk=1kAzk/kzk，确定kxkW：=x′W x表示ap×p矩阵W。设f（x）=（f（x）。。。，fq（x））′是由不同标量函数组成的q×1向量函数。对于j=1，q、我们表示为xifj（x）对于i=1，…，fj（x）相对于x的第i分量的导数，n、 fj（x）与x相对应的g半径表示为xfj（x）=xfj（x），xpfj（x）′. 向量函数f（x）的梯度由q×p矩阵给出xf（x）=xf（x），xfq（x）′. 对于δ>0，确定po intx的δ-邻域*∈ Rpas Nδ（x*) := {x∈ Rp：kx- x个*k≤ δ}. 此外，让1l[S]表示集合S.2.1模型和示例上的指标函数，假设研究人员希望对未知参数θ进行推断∈ Θ Rdθ，其中Θ Rdθ表示θ的参数空间，其大小为dθ，控制内生变量y的行为，其支持度为y。以外生变量x为条件，有支持度x，不可观测的统计变量s为支持度s，内生变量根据以下（因果）结构模型：y=g（s；θ），（1）s=h（x，；θ），（2）式中，是一个误差项，根据已知的累积分布函数F（·），它是独立的、同分布的（iid），具有相应的密度函数F（·），其支持度t为E。

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2022-6-1 05:30:51

外生变量x与无关，函数g:S→ Yand h:X×E→ 已知未知参数θ。我们感兴趣的是函数g（·）在状态变量中不连续的情况，以及由于结构模型的复杂性，基于可能性的θ推理不可行或难以进行的情况。（1）-（2）中的模型设置在计量经济学中相当常见，涵盖了各种各样的模型。为了便于说明，我们提供了在fra mework下考虑的四类示例。示例1（具有串行相关错误的二进制选择模型）。假设我们观察到一组实现{（x′it，yit）\'）∈ Rdx×R，i=1，n、 t=1，T}，横截面单位为i，时间段为T，由具有自动退化（AR）误差的二元选择模型生成：yit=1l[x′itγ+vit>0]，vit=ρvi，T-1+it，其中变量xit是支持X的外生变量的dx×1向量 Rdx，由AR（1）模型生成的未观测变量vitis，具有未观测到的iid创新，遵循已知的分布F（·）。这里，stat e变量是sit=x′itγ+ρvi，t-1+Itan，结构参数为θ=（γ′，ρ）′。示例2（具有单独影响的有序Probit模型）。设yitbe是一个可分类变量，取{0，1，…，J}中的值，对于个体i=1，n时间t=1，T给定一个观测的、非常数的向量xit，我们根据modelyit假设yit=j=0，如果sit≤ δ1，如果δ<sit≤ δ...J、如果δJ<sit。这里，δ。

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2022-6-1 05:30:54

，δJare未知阈值参数，SITI是一个状态变量，可以解释为个体潜在效用，由it=x′itγ+σvi+wit给出，其中vi是一个iid，在N（0，1）之后是一个时不变的个体特定不可观测的随机变量，而wit是在N（0，1）之后的一个不可观测的iid创新，我们定义它=（vi，wit）′。结构参数为θ=（δ，…，δJ，γ，σ）′。示例3（开关型型号）。设vtbe iid与unityintensity参数呈指数分布，并设utbe iid均匀[0，1]，VT与utalso独立。经验一元自回归过程按照yt=φyt演化-1+u·vt1l[ut≤ φ] ，其中0≤ φ<1，u>0，t=（vt，ut）\'；参见Iorio和Calzolari（2006）对该模型的II估计。状态变量st=（uvt，ut）′为iid，结构参数为θ=（u，φ）′。示例4（G/G/1队列）。让Yi表示第i位客户的跨站时间。设wibe为相应的到达时间和服务时间，vii与wi无关。让E[w]>E[v]，假设我们知道vi~ fv（·；θv）和wi~ fw（·；θw），其中fv（·）和fw（·）已知未知参数结构参数θ=（θ′v，θ′w）′。出发时间过程{yi}ni=1根据，对于j>i，yj=（vj，ifPji=1wi≤Pj公司- 1i=1yivj+Pji=1wi-Pj公司- 1i=1yi，ifPji=1wi>Pj- 1i=1yi。在本例中，状态变量由si=（vi，wi）′给出，在II估计中，可以考虑Via和wi的特定参数假设；关于排队模型中II估计的讨论，参见Heggland和Frigessi（2004）。接下来，为了简化讨论和符号，在讨论一般量时，我们将只考虑结构模型不等式（1）-（2）中的“横截面”样本{（x′i，yi）′：i=1，…，n}。

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2022-6-1 05:30:57

然而，我们注意到，在观察数据具有面板结构的情况下，如例1和例2所示，具有固定时间维度T，该横截面样本可以通过重新定义观察变量来获得。然而，为了避免符号混乱，我们将避免这种方案，而只关注横截面设置。2.2标准间接推断当模型具有复杂的参数结构时，II的重点是对结构模型的真实参数进行估计和推断，用θ表示。即使结构模型很复杂，也很容易模拟给定参数值的结构模型中的数据。II的第一步是分别使用观测数据和模拟数据估计中间或辅助模型。II然后通过最小化两组估计辅助参数之间精心选择的距离来获得结构参数的估计值。为了使上述形式化，我们用{ri}ni=1表示模拟的不可观测项，对于r=1，R、其中，R是每次观测的模拟次数，其中每个Ri是从已知分布F生成的IID。然后，我们可以为任何θ构造模拟结果{yri（θ）}ni=1∈ Θ根据y（θ）=gsri（θ）；θ, （3） sri（θ）=hxi，ri；θ.为了形成因变量yi的辅助模型，让zi成为由观测变量和支持度Z组成的协变量向量。辅助模型是一个易于处理的参数模型，试图捕捉yi和zi之间的关系。让B Rdβ是带有dβ的辅助参数的参数空间≥ dθ。我们认为，辅助模型包含一些已知矩函数m:Y×Z×B所表征的矩条件→ Rdβ，对于某些β∈ B、 E类m（yi，zi，β）= 0

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2022-6-1 05:31:00

（4）我们分别用基于观测数据集和结构模型模拟的第r个数据集的辅助参数的^β和^βr（θ）估计量表示。辅助参数估计值^β和^βr（θ）分别作为方程（4）的样本和模拟对应项的解：f或θ∈ Θ和r=1，R、 nnXi=1m（yi，zi，β）=0，nnXi=1myri（θ），zi，β= 估计θ的最常见II方法对应于经典假设检验的所谓“三位一体”：Wald、Lagrange乘数（LM）和似然比（LR）。在II类估计器中，II估计的LM和Wald方法允许在计算上简单有效地估计θ。相比之下，LR对II的方法通常不能提供有效的检测手段（Gourieroux等人，19 93）。因此，我们将重点放在LM和Wald方法f或II上，下面分别用LM-II和W-II表示。LM-II方法基于模拟辅助力矩Mn：Θ×B→ Rdβ，givenbyMn（θ，β）：=nRnXi=1RXr=1myri（θ），zi，β.对于LM-II，标准函数QLMn：Θ→ [0, ∞) 是模拟辅助设备中的二次形式，在β=^β：QLMn（θ）下计算：=Mn（θ，^β）Ohmn、在哪里Ohmnis是一系列正定义权重矩阵。W-II估计量是通过^β和^βr（θ）的某些版本之间的（标准化）差异来计算的。

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2022-6-1 05:31:03

W II估计器的一个常见版本是确定模拟的平均辅助估计器βR（θ）：=R-1PRr=1^βr（θ），然后最小化准则函数QWn：Θ→ [0, ∞), 式中，qwn（θ）：=βR（θ）-^βOhmn、然后将θ的LM-II和W-II估计量定义为其相应标准函数的最小值。当yri（θ）在θ中不连续时，就像结构模型（3）中的情况一样，resultingII标准函数在θ中不连续，因此不一定需要使用基于导数的优化程序来提供θ的准确估计。我们在示例1的定义中进一步研究了这种不连续性。示例1（续）。设{（uri1，…，uriT）}ni=1为模拟均匀随机变量，用于生成模拟结果，r=1，R、对于固定θ=（γ′，ρ）′，模拟不可观测项vritis递归构造为vrit=ρvri，t-1+F-1（urit），vri1=F-1（uri1），模拟状态变量由srit（θ）=x′itγ+ρvri，t给出-1+F-1（urit）。然后通过yrit（θ）=1l[srit（θ）>0]=1l[F生成模拟结果yrit（θ）(-x′itγ- ρvri，t-1） <urit]。（5）对于该模型，Li（2010）和Bruins等人（2018）建议将线性概率模型作为II的辅助模型：yit=z′itβ+νit，其中zit=[x′it，x′i，t-1] ′和ν是一个错误项。我们设置m（yit，zit，β）=zit（yit- z′itβ）作为矩函数，辅助参数估计由^β给出=nXi=1TXt=2zitz′it-1nXi=1TXt=2zityand^βr（θ）=nXi=1TXt=2zitz′it！-1nXi=1TXt=2zityrit（θ），对于r=1，R、给定参数值θ∈ Θ和模拟样本{yrit（θ）}Rr=1，一个可以构造LM-II或W-II方法的准则函数。然而，因为themapθ7→ yrit（θ）是不连续的，QLMn（θ）和QWn（θ）的导数不必存在。

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2022-6-1 05:31:06

在前一小节中处理的每个示例中，II估计基于不连续映射θ7→ yri（θ）。因此，基于导数的优化程序可能无法提供未知模型参数的准确估计。为了解决这个问题，我们建议通过引入变量的（序列）变化来改变标准II模拟方法，以缓解映射θ7中的不连续性→ yri（θ）。这种交替模拟方法将提供II标准函数，允许应用基于导数的优化路线，即使原始模型的参数不平滑，也可以持续估计未知模型参数。3一种新的广义间接逼近letθ*表示我们希望评估LM-II o或W-II标准函数的点。根据方程（3），yri（θ）是不连续的，导数θQLMn（θ*) 和θQWn（θ*) 不需要存在。我们的方法背后的逻辑是观察到，II不需要模拟完全代表实际数据生成过程的代码，因此，随着样本量的增加，两者之间的差异消失。定义LM和Wald方法的总体标准函数asQLM（θ）：=M（θ，β）Ohm和QW（θ）：=β(θ) - βOhm,式中，M（θ，β）：=E[M（yri（θ），zi，β）]，β（θ）是M（θ，β）=0的解，且Ohm 是一些正有限矩阵，其中Ql（θ），l=LM，W，假设为两次连续可微。简而言之，我们的方法是构造一个“广义”II准则，比如QLMn（θ，θ*) 或QWn（θ，θ*)对于θ，θ*∈ Θ，满足：对于l=LM，W，plimn→∞θQln（θ，θ*)θ =θ*= θQl（θ*) 和plimn→∞θQln（θ，θ*)θ =θ*= θQl（θ*).在下一节中，我们将演示如何使用“变量变化”（以下简称COV）技术构建这样的标准。

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2022-6-1 05:31:09

该COV将确保参数中的微小变化，例如θ*至θ*对于δ>0的较小值，±δ不会显著改变模拟数据，从而避免不连续性。3.1假设为了展示本文中使用的COV技术，我们首先介绍了方程式（1）-（2）中结构模型和辅助模型的假设。下面给出的假设没有限制性，仅作少量修改，就涵盖了本文中引用的所有示例。假设1。（a）观察到的随机变量（x′i，yi）′为iid，横截面单位i=1，n、 Andxi独立于创新i.（b）创新iis iid，且具有已知的连续可微密度f。（c）函数h（x，；θ）在中可连续两次微分∈ E和θ∈ Θ对于anyx∈ 十、（d）参数空间Θ和B是紧的。假设2。（a）假设1适用于所有θ的模拟过程∈ Θ.（b） m（y，z，β）在每个β处是连续的∈ B，对于任何（y，z）∈ Y×Z.（c）对于所有i=1，n、存在一个随机变量“misuch”，即km（y，zi，β）k≤ \'miwithE[\'mi]<∞ 对于所有β∈ B和所有y∈ Y、假设3。（a）对于任何i=1，n和θ∈ Θ，存在一个有限整数J和一组随机函数{cji（θ）}J+1j=0，cji：Θ→[0，1]使得（1）中的函数g（·）可以写成g（si；θ）=JXj=0αj1l[cji（θ）<ui≤ cj+1i（θ）]。这里α，αJare已知常数和随机变量ui：=F（i）允许标准统一。此外，随机函数{cji（θ）}J+1j=0是两次连续微分，并且满足ci（θ）=0、cJ+1i（θ）=1和cji（θ）<cJ+1i（θ）。（b）对于每个l ∈ {1，2}，存在一个随机变量l？ciso，该supθ∈Θklθcji（θ）k≤ l？ciand E公司|l(R)ci |<∞ 对于任何（i，j）∈ {1，…，n}×{0。

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2022-6-1 05:31:12

，J}。上述假设相当薄弱，在补充附录中，我们证明，在进行细微修改之前，假设1-3对于第2.1节中给出的每个示例都是满足的。假设的具体解释如下。假设1要求yri（θ）中的不连续性仅产生于g（·），并确保我们可以在最一般的上下文中呈现COV。1（a）中iid数据的假设可以扩展到独立非同分布（inid）数据，或弱相关数据，代价是进一步的符号和更复杂的技术参数。特别是，在这些更一般的假设下，只有划分UIJ支持的随机f函数cjj（θ）的结构才会改变；我们请感兴趣的读者参阅附录，以获取与弱相关数据的示例。在其余部分中，我们将{cji（θ）}J+1j=0称为临界点函数。假设2对模拟力矩函数施加了正则性条件。假设2中的正则条件是关于II的文献中的标准，结果不连续。假设3限制了对单变量i的分析，然而，对多变量i的扩展是最自动的，可以通过将模拟算法进一步分解为相应的标量新息来实现。假设3以确保我们可以将不连续性隔离到i支撑的不同区域的方式形成了模型的结构。因此，假设3要求结构函数g（·）产生的可能不连续性的数量在yri（θ）上有一个上限。术语J可以解释为模型允许的最大不连续数。例如，在动态二元面板模型中，所有i和t的J=1。在假设3（a）下，不连续尺寸α。

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2022-6-1 05:31:15

，αJ被假定为已知常数，这适用于第2.1节中检查的前两个示例。对假设3（A）的微小修改还包括第2.1节中的后两个示例。采用假设3（a）是为了简单，并且可以扩展到不连续尺寸{αj}Jj=0，ar e是结构参数的两倍可微函数的情况，代价是增加符号。假设3（a）-（b）需要在参数空间上建立一致收敛，并用于后面给出的渐近分析。假设3（a）将误差分布类限制为连续分布。虽然将这种方法扩展到离散的情况可能是可行的，但鉴于这些例子在计量经济学中的出现频率远低于其连续对应的例子，我们在此不考虑这种情况。在结束之前，我们注意到，尽管被限制为一个连续的随机变量，但这一假设在各种各样的示例中都得到了满足，例如示例1-4中给出的示例，以及删失型模型，例如Tobit型模型。3.2近似导数在假设1-3下，我们对原始均匀随机变量{uri}进行变量更改，以构建新的可区分的模拟结果。Letθ*∈ Θ表示我们希望计算函数θ7导数的点→ yri（θ），并考虑uri的以下转换：uri（θ，θ*) := cji（θ）+cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*){uri- cji（θ*)}, （6）对于cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*) 当j=0时。

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kedemingshi

2022-6-1 05:31:17

，J，该cov的相应雅可比项定义为wri（θ，θ*) := uri（θ，θ*)/uri，即f或cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*),wri（θ，θ*) =cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*).在假设3（a）下，差值cj+1i（θ*) - cji（θ*) 对于所有θ几乎肯定是正的*∈ Θ和所有（i，j）∈ {1，…，n}×{0，…，J}。因此，存在一个常数w，使得| wri（θ，θ*)| ≤ \'w代表所有（θ，θ*) ∈ Θ. 雅可比项wri（θ，θ）的有界性*), 对于所有（θ，θ*) ∈ Θ，对于推导统一的m大数定律至关重要，这将是获得我们提出的II准则函数及其导数一致收敛所需的。但是，在假设3（b）下，存在？wisuch that kθwri（θ，θ*)k≤ \'wifor all（θ，θ*) ∈ ΘandE|“wi |”∞.给定变换级数{uri（θ，θ*)}, 对于r=1，R、然后根据toyri（θ，θ）构造新的模拟结果a*) :=JXj=0αj1lcji（θ）<uri（θ，θ*) ≤ cj+1i（θ）.II现在可以通过替换力矩函数m继续yri（θ），zi，β具有以下力矩功能：mri（θ，θ*, β）：=米yri（θ，θ*), zi，β·wri（θ，θ*),II估计的力矩条件可以通过函数Mn：Θ×Θ×B确定→Rdβ，由mn（θ，θ）给出*, β）：=nRnXi=1RXr=1mri（θ，θ*, β).下面的结果表明，力矩函数的导数Mn（θ，θ*, β）关于θ，是相应极限对应项的无偏一致一致估计量。有许多这样的转变将实现我们的目标，参见Chan和Joshi（2011）以及Lyuu和Teng（2011）。选择上述变换是因为有理论证据表明Ui（θ，θ*) 对于指标函数，在最小化均方误差方面，in（6）是最优的（Joshi和Zhu，2016）。

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2022-6-1 05:31:20

由于II a中经常遇到的许多不连续性是从模拟指标函数上升而来的，因此这种优化应转移到我们的设置中。提案1。假设假设1-3成立。然后，M的一阶和二阶导数（θ，θ*, β）关于θ，在θ=θ时计算*, M（θ）一阶和二阶导数的存在性和重无偏估计*, β）关于θ，在θ=θ时计算*. 此外，asn→ ∞,θMn（θ，θ*, β)θ =θ*p→ θM（θ*, β）以及θkθlMn（θ，θ*, β)θ =θ*p→ θkθlM（θ*, β），在（θ）中均匀分布*, β) ∈ Θ×B和每k，l∈ {1…，dθ}。上述结果表明，该程序产生的模拟力矩具有关于t oθ的导数，在θ处计算*, 这是对Limit同行的一致估计。因此，这种COV方法允许我们构造“广义”LM-II和WALD II准则函数asQLMn（θ，θ*) :=Mn（θ，θ*,^β)Ohmnand QWn（θ，θ*) :=βR（θ，θ*) -^βOhmn、式中，βR（θ，θ*) := R-1PRr=1^βr（θ，θ*) 用估计量^βr（θ，θ*) 满足下列力矩条件：n-1Pni=1mri（θ，θ*, β） =0，每个r=1，R和给定值（θ，θ*) ∈ Θ. 我们可以基于COV方法定义广义II估计量，并通过最小化问题θl=arg minθ表示为θlm和θW∈ΘQln（θ，θ），对于l∈ {LM，W}。（7）此后，我们将此类II估计量称为GII变量变化（GII-COV）估计量。示例1（续）。为了实现我们的GII-COV方法，回想一下，标准模拟结果是yrit（θ）=1l[F(-x′itγ-ρvri，t-1） <urit]。现在，考虑临界点函数：cit（θ）=0，cit（θ）=F(-x′itγ- ρvri，t-1）和cit（θ）=1。Letθ*= (γ*′, ρ*)′是我们希望计算函数θ7的点→ yrit（θ）。

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2022-6-1 05:31:23

如（6）所示，我们构造urit（θ，θ*) 如下所示：urit（θ，θ*) =cit（θ）cit（θ*)urit，如果urit≤ cit（θ*)cit（θ）+1- cit（θ）1- cit（θ*){乌里特-cit（θ*)}, 如果cit（θ*) < 乌里特。对应的雅可比项writ（θ，θ*) 仅取决于θ，尽管临界点函数cit（θ）在θ中是可微的。新模拟结果的生成与原始结果完全相同，yrit（θ）=1l[cit（θ）<urit]，除了新结果是通过用统一的urit（θ，θ）替换Uritwi来模拟的*). 也就是说，yrit（θ，θ*) = 1l[cit（θ）<urit（θ，θ*)]. 使用yrit（θ，θ*) ANDWRITE（θ，θ*), 然后我们可以构造矩函数mn（θ，θ）的近似值*, β） =nRnXi=1RXr=1TXt=2zityrit（θ，θ*) - z′itβ书写（θ，θ*),回想一下，虽然临界点函数可以依赖于模拟数据集r，但我们减轻了这种依赖性，以简化符号。对于II结合函数，’βR（θ，θ*) =nXi=1TXt=2zitz′it-1nXi=1TXt=2zitRRXr=1yrit（θ，θ*)书写（θ，θ*).通过定义urit（θ，θ*) 上面，我们有cit（θ）<urit（θ，θ*) 当且仅当inf cit（θ*) < urit，它产生一个交替表示：yrit（θ，θ*) = 1l[cit（θ*) < 乌里特]。因此，Mn（θ，θ*, β）和βR（θ，θ*) θ的函数仅通过雅可比项wit（θ，θ*), 这在θ中是不同的。因此，这两个近似函数在θ上是可微的；例如θMn（θ，θ*, β） =nRnXi=1RXr=1TXt=2zit1l[cit（θ*) < 乌里特语]- z′itβθ写（θ，θ*).此外，根据命题1，近似导数θMn（θ，θ*, β），在θ=θ时计算*, 人口对应物的isan无偏一致相合估计θM（θ*, β). 虽然GII-COV估值器可以如方程（7）所示定义，但值得注意的是，标准函数QLMn（θ，θ）和QWn（θ，θ）具有非常规则的行为。

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2022-6-1 05:31:26

特别是，从命题1的结果，我们可以推断，这些II准则函数是其相应极限对应项的一致估计量。为了获得一致性结果，还采用了以下假设。假设4。回忆M（θ，β）=E[M（yri（θ），zi，β）]。（a） M（θ，β）=E【M（yi，zi，β）】表示所有β∈ B、（B）参数β位于B的内部，是M（θ，β）=0的唯一解。（c）Ohmnp公司→ Ohm 对于某些正定义矩阵Ohm.假设4（a）确保结构模型的规格正确。假设4（b）要求存在唯一的辅助参数向量，满足在真实结构参数θ下评估的总体动量条件。根据假设4（c），可能随机加权矩阵Ohmn收敛到正定义矩阵Ohm.定理1。假设假设1-4成立l ∈ {0, 1, 2}. 然后，（a）统一于θ*∈ Θas n→ ∞,lθQLMn（θ，θ*)|θ =θ*p→ lθQLM（θ*);（b）此外，如果（i）mapβ7→ m（y，z，β）在给定（y，z）的情况下是两次连续可微的∈ Y×Z，（ii）存在一个随机变量ξ'miso，即supβ∈黑色ξβm（yi，xi，β）k≤ξ’m和E|ξ？mi |<∞ 对于ξ=1，2，（iii）Eβmyri（θ），zi，β对于任何（θ，β）都是非单数的∈ Θ×B和（iv）对数（R）/n→ 0，那么lθQWn（θ，θ*)|θ =θ*p→ lθQW（θ*),θ内均匀*∈ Θas n→ ∞.根据定理1，QLMn（θ，θ）的可微性*) a和QWn（θ，θ*), 关于θ，还允许我们确定GII-COV估计器θlm和θ是一阶条件的解：θQLMnθ、 ^θLMθ=^θLM=op（1）和θQWnθ、 ^θWθ=^θW=op（1），满足相关二阶条件。从这些特征中，可以使用基于标准导数的优化例程来获得^θlm和^θW。备注1。

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2022-6-1 05:31:29

对于W-II估计量，定理1需要几个LM-II估计量不需要的额外假设。由于辅助估计量仅定义为辅助矩的一个近似解，因此需要结果的条件（i）-（iii）（b）以及假设1-3，以确保辅助矩方程具有足够的正则性，从而保证：（i）辅助参数估计量存在；（二）辅助参数估计器性能良好。虽然本文没有明确证明，但我们注意到，如果辅助估计器对m有一个闭合的，这些假设可以放松，定理1（b）的结果将遵循与结果（a）部分相同的假设。同样，由于辅助估计量解的隐含性，需要一个关于相对于样本量n的模拟数R的附加条件。该RATE要求非常低，涵盖了II估算的任何可行实施。例如，它允许模拟的数量以及与样本大小相同的顺序。该条件与模拟路径上的一类极大不等式相结合，保证了算法的一致收敛性lθ^βr（θ，θ*)|θ =θ*到lθβ(θ*) r上方∈ 概率为{1，…，R}l ∈ {0，1，2}，如附录中的图A.5所示，从而导致lθQWn（θ，θ*)|θ =θ*,l ∈ {0, 1, 2 }. 当记录（R）/n时→ c∈ (0, ∞], W-II估计的上述结果f不适用，其渐近性质超出了本文的范围，而LM-II估计的结果是有效的。备注2。必须认识到，必须在θ的任何值下进行COV*我们希望计算θQLMn（θ，θ*)|θ =θ*或θQWn（θ，θ*)|θ =θ*.

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2022-6-1 05:31:32

然而，COV仅影响LM和Wald准则函数导数的计算：θmrit（θ，^θLM，β）|θ=^θLM，对于LM-II标准，以及θ′βR（θ，^θW）|θ=^θwf用于W-II标准。因此，这个过程中唯一“近似”的部分是导数。这样，这种方法与Bruins et al.（2018）相似，因为我们的方法是一种广义的I I I。备注3。长期以来，使用数值有限差分计算衍生品一直是计量经济学的标准方法。然而，众所周知，这种方法在方差和偏差之间表现出权衡，这取决于调谐参数的选择。一般来说，当使用普通随机数的中心差分时，可以选择一个优化调整参数作为模拟随机数（如R）的函数，这将产生R的最佳收敛率-2/5（Glynn，1989）。然而，如果函数对于随机数的所有lmo值也是连续的，则最优调节参数为零，最优收敛速度为R-1/2.如果研究人员选择非常大的模拟尺寸，则违反此条件；例如，R=en。然而，在这种情况下，即使样本量很小，比如n=100，研究人员也必须生成和存储更多的模拟路径，每个路径的长度为n=100。备注4。我们注意到，有其他导数估计方法可以潜在地缓解与非光滑模拟标准函数相关的困难。最直观的方法是通过所谓的“似然比法”（Glynn，1987），该方法通过故意选择样本空间，将感兴趣的参数推到生成模拟数据的密度函数中。

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2022-6-1 05:31:35

该方法在OII中的应用在很大程度上取决于模型以及作为模型参数函数分析评估该密度的能力。另一种可能的方法是通过Malliavin积分byparts（Fourni\'e et al.，1999），该方法将变量演算从函数扩展到随机过程。此外，Mollification方法（Friedrichs，1944）提供了通过卷积近似非光滑函数的一般方法，而该方法通常无法获得无偏导数估计量。对于计量经济学中的复杂模型，尤其是那些具有不可分离误差的模型，目前尚不清楚这些方法的确切实现。虽然这些替代方法可能有用，但在此背景下对这些方法的彻底探索超出了本文的范围。4渐近性质本节介绍GII-COV估计量的渐近性质。我们首先证明了估计量的一致性，并建立了渐近正态性。随后，我们解释了GII COV如何帮助渐近方差的一致性估计。定理2。假设假设1-4成立。另外，对于Wald估计，假设定理1（b）中所述的条件。

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2022-6-1 05:31:38

然后，作为n→ ∞,^θLMnp→ θ和^θWnp→ θ.对于GII-COV估计的渐近正态性，我们需要一个额外的正则条件。假设5。（a）对于某些δ>0，对于任何（y，z）∈ Y×Z，函数m（Y，Z，β）在β中连续可微∈ B带kβ- βk≤ δ、和Esupβ∈Nδ（β）kβm（yi，zi，β）k< ∞.（b）βM（θ，β）不是n-奇异的。（c）定义ξri：=m（yri（θ），zi，β）- m（yi，zi，β）和Ξ：=E[ξriξr′i]。√nRRXr=1nXi=1ξrid→ N0，（1+R-1)Ξ.从任何意义上讲，似然比方法的这一概念与间接推理的似然比方法的概念无关，而是与估计参数空间中某个固定点的期望导数有关。molli fication是一种非光滑函数的近似方法，通过与一些合适的微分函数（所谓molli fiers）进行卷积。与我们的方法一样，这种方法也可以被视为局部方法，因为它依赖于平滑参数，这会导致其导数估计量存在偏差。Wethank是一位匿名推荐人，他指出了我们的方法与缓和之间的关系。（d）θM（θ，β）在θ中是连续的，对于某些δ>0和θ∈ Nδ（θ），具有秩dθ。假设5中的正则性条件相当弱，结合假设1-4，确保辅助矩具有足够的正则性，以确保GII-COV估计量渐近正态。此外，与证明基于非光滑准则函数的II估计的渐近正态性所需的高级随机等连续性条件不同，参见Pakes和Pollard（1989）、Chen et al.（2003）和Chaudhuri et al.（2018），GII-COV方法在更原始的条件下产生渐近正态估计。

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2022-6-1 05:31:40

特别是，在假设1-5下，我们在附录中证明，证明符号正态性通常需要的大数一致律和随机等连续性条件是可以满足的。此外，我们在这里注意到，这些结果是使用GII-COV方法计算的模拟矩和约束函数得出的正则性的直接结果。定理3。设R=cnδ 对于某些常数c>0和δ∈ [0, ∞). 假设假设1-5满足。同样，对于Wald估计，假设定理1（b）中所述的条件。（i）如果δ=0或R=c ≥ 1，则为n→ ∞,√n（^θLM）- θ） d→ N0, (1 + c-1） ∑LM和√n（^θW）- θ） d→ N0, (1 + c-1） ∑W,式中，∑LM：=(′Ohm)-1个(′OhmΞOhm)(′Ohm)-1和∑W：=（Γ′）OhmΓ)-1(Γ′OhmΛ-1′ΞΛ-1.OhmΓ)(Γ′OhmΓ)-1带 := θM（θ，β），λ：=βM（θ，β）和Γ：=θβ（θ），a nd（ii）ifδ∈ (0, ∞), 然后，作为n→ ∞,√n（^θLM）-θ） d→ N0，∑LM和√n（^θW）- θ） d→ N0，∑W.对于LM e刺激器，如果加权矩阵Ohmn收敛到Ξ-在概率中，则^θlm具有“最优”渐近方差，该方差与(′Ξ-1.)-1、对于Wald估计，如果加权矩阵Ohmn收敛到（∧′Ξ）-1∧）概率，则^θWha为“最优”渐近方差，与（′Ξ-1.)-1标记5。上述结果表明，GII-COV方法产生的估计量在一阶上与标准II估计量具有相同的渐近性质。也就是说，COV对θ的最终参数估计没有渐近影响。此外，我们注意到，如果or原始标准在θ中是可微分的，那么这种COV方法将产生数值上等同于标准r d II估计器的估计器：接下来是，如果函数yri（θ）在tθ中是可微分的，则说明*, 带导数θyri（θ*), 我们的方法确保θyri（θ，θ*)|θ =θ*= θyri（θ*).

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2022-6-1 05:31:43

因此，在原始模拟结果持续不同的情况下，使用此GII-COV估计策略没有任何益处，并且假设满足所需的规律性条件，这两种方法不仅在一阶上，而且在更高阶上都是渐近等效的。备注6。Bruins等人（2018）的GII-K方法和我们的GII-COV方法是渐近等效的，只要GII-K方法中使用的带宽参数比1更快收敛到零/√n、这样就不会对得到的参数估计产生渐近偏差。相反，我们的方法不需要任何调优参数。GII-K和GII-COV之间的这种差异可能会对两个估计量的高阶特性产生影响。虽然对这两个估计器的高阶分析超出了本文的范围，但我们推测，GII-COV方法可能会导致估计器具有比GII-K方法更小的高阶偏差，从而产生更小的有限样本偏差，由于GII-COV在高阶展开中构造准则函数的导数时不需要核平滑（也不需要调整参数）。下一节给出的蒙特卡罗证据进一步证实了这一推测，该证据表明GII COV通常会导致估计量的有限样本偏差小于GII-K。备注7。我们的GII-COV方法允许使用样本类比对定理3中的渐近方差进行简单的一致估计。这可以通过使用几种不同的数值方法来估计II标准函数的导数来实现。

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