价格优化的一些数学方面

2022-5-25 07:29:11

我们将讨论两个重要的实际问题，并向定价精算师介绍相关的各种数学方面。实际精算任务T1：假设N名投保人的投资组合在给定的市场tari fff下定价，确定最佳的市场tari fff*这将在下一次投资组合更新中应用。通常，精算教科书涉及纯保费的计算，这是通过对历史por tfolio数据应用不同的统计和精算方法确定的，见e。g、，[1、2、3、4]。确定给定保险合同的纯保费的tari ff在此称为纯风险tari ff。用数学术语来说，这是一个函数，比如g:Rd→ [m，m]带d≥ 1、在精算实践中，纯保费被加载，例如大额索赔、准备金、直接费用和其他成本（间接费用、利润等）。日期：2016年5月20日。2 YIZHOU BAI、ENKELEJD HASHORVA、GILDAS RATOVOMIRIJA和MAISSA Tamrazium Mathematical解释了负荷保费的各种方法；在实践中，通常采用线性加载。我们将根据与保险范围相关的成本计算保险范围的保费的功能称为精算tari fff；写入gA:Rd→ [m，m]用于该功能。实际精算任务T2：给定一个纯风险塔利夫，构建一个包含各种溢价负荷的最优精算塔利夫。由于根据定义，没有唯一的最优精算tari fff，因此导致该tari fff的计算可根据定价和实施的资源进行。为此，让我们简要地提到一个激发T2的例子：为简单起见，假设portfolioin问题由两组投保人A和B组成。A组中有nApolicyholders，B组中已经有NB投保人。

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2022-5-25 07:29:14

所有合同将于明年1月1日续签。定价精算师计算精算tari fff，结果表明，对于A组，每个保单持有人每年支付的保费为2000瑞士法郎，而对于B组，每年支付的保费为500瑞士法郎。对于该投资组合，下一个保险期（本例中为一年）的间接费用（未直接分配给保单）计算（估计）为X瑞士法郎。X金额可以以不同的方式分配给N=nA+nB的投保人，例如，每个投保人必须支付X/（nA+nB）的这些费用。另一种替代方法是将其计算为纯pre-miums的x百分比。定价精算师面临的主要挑战是，投保人已经在投资组合中，并且知道他们当前的保费。在续约时（以下简称为@R），鉴于风险不变，如果新的优惠与当前的优惠不同，保单持有人可以取消合同。取消该政策的另一个原因可能是保险市场的竞争。因此，T1和T2B的解决方案需要考虑在更新点取消策略的可能性。T1和T2通常都很难解决。续约定价中的一个重要问题如下：实际精算任务T3：修改任何i≤ N第i个投保人的保费Pi@R乘以百分之六十，例如δi和δi∈ i={0%，5%}因此，premiumsP的新集合*i=Pi+τi，1≤ 我≤ τi=Piδi的N是最优的。此外，确定新市场tari fff*这就产生了P*事实上，T3中描述的精算任务在精算实践中非常常见，如果投资组合的实际表现不符合预期，并且在下一次续签时将应用保费增加。任务T1-T3的解决方案有几个难点。

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2022-5-25 07:29:17

在实践中，汽车或家庭保险等关键保险的市场风险非常复杂。实践中使用的典型f如下（为简单起见，只考虑两个参数）f（x，y）=minM、最大值（eax+bx，M+mx+my）.（1.1）即使我们知道P*解T3，当f的结构*) 如（1.1）所示，则存在最优f*这正好是P*一般来说，我不能保证。请注意，由于技术原因，精算师可以更改确定f的系数，例如a、b等，但由于实施成本巨大，在准备新的净资产时，通常会固定资产负债表的结构，即（1.1）中f的形式。本文的主要目的是讨论各种数学问题，这些问题导致精算任务T1-T3的最优解。此外，我们还分析了阿里夫和特优优化3续费业务的优化问题的最终实现。与新业务相关的优化问题涉及面更广，因此将在未来的贡献中进行处理。为此，我们观察到，在过去10年中，欧洲的许多保险公司已经使用了价格优化技术（主要是通过咨询公司）。到目前为止，文献中还没有对此类应用中解决的优化问题进行精确的数学描述。最近的贡献主要集中在价格优化问题上，主要是从道德和监管的角度来看，见[5，6]。

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2022-5-25 07:29:20

值得注意的是，保险和再保险业务中的最优问题与本文中处理的问题没有直接关系，已经在不同的背景下进行了讨论，请参见[7、8、9、10、11、12、13]和其中的参考文献。本文其余部分的简要组织：第2节从保险人的角度描述了不同的优化设置。在第3节中，我们提供了问题T1的部分解决方案。第4节描述了用于解决优化问题的不同算法，以及第5.2节中介绍的电机业务线的一些保险应用程序。目标函数和业务约束2。1、理论设置。为简单起见，在不丧失一般性的情况下，我们假设更新时间固定为所有i=1，N已在投资组合中投保的投保人，第i位投保人支付当前保险期的保险费。每个投保人可以在不同的保险期内投保。在不丧失一般性的情况下，我们假设在续签时，每个保险合同都有续签一年的选择权，续签保费为Pi+τi。假设第i份合同的终止概率是Pi的函数。在续约时，通过改变保费，取消概率将取决于保费前的变化，例如τi和初始保费Pi。因此，我们将假定该概率由πi（Pi+τi）=ψi（Pi，δi）给出，其中τi=Piδi，（2.1），其中ψiis是一个严格正的单调函数，最终取决于i。

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能者818

2022-5-25 07:29:22

这是logistic回归中常见的一种假设，其中ψiis是logit函数（也称为expit）的逆函数，或ψiis是单变量分布函数。为了考虑差价和保费优化任务中的取消概率，精算师需要知道/确定任何δi的πi（Pi+τi）∈ i、在哪里iis premiumwith 0的可能更改范围∈ i、 πi的估计很困难，例如可以使用logistic回归进行处理，见第4节。详情请参见下文1.2。在实践中，根据市场地位和公司战略，可以使用不同的目标函数来确定最佳精算tari ff或市场tari ff。我们在下面讨论了两个重要的目标函数：O1）最大化未来预期保费量@R：在我们的模型中，所讨论投资组合的当前保费量为V=PNi=1Pi，而在完全续期的情况下，保费量为isPNi=1P*i=PNi=1（Pi+τi）。由于并非所有保单都可以续保，让我们用N@Rthe将续订的保单数量。由于我们可以将每个合同视为独立风险，thenN@R=NXi=1Ii，4易州白，恩克勒杰德·哈索尔瓦，吉尔达斯·拉托沃米里亚，和马萨·塔姆拉兹，在p{Ii=1}=πi（Pi+τi）的独立B ernoulli随机变量中，1≤ 我≤ N、显然，要更新的投资组合的预期百分比由θ（τ，…，τN）=E给出{N@R}N=NXi=1E{Ii}N=NNXi=1πi（Pi+τi）。（2.2）R时的溢价量（随机）将表示为V@R.它是简单给出的byV@R：=NXi=1Ii（Pi+τi）。因此，目标函数由（设置在τ=（τ，…，τN）以下）qvo l（τ）：=E给出{V@R}=NXi=1（Pi+τi）E{Ii}=NXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）。（2.3）注意，P。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:29:26

，Pn已知，因此将仅针对τi进行优化。O1’）最小化V@R：如果V@Ris大，w孔更新过程可能会被破坏。因此，沿O1的方差最小化V@Ris重要的在这个模型中，我们有qvar（τ）：=V ar(V@R)=NXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）[1- πi（Pi+τi）]。（2.4）O2）最大化R时的预期保费差异：每个投保人的保费差异R为τi，因此在续保时，我们有pni=1Iiτi。该随机变量的经验为简单qdif（τ）=E（NXi=1Iiτi）=NXi=1τiπi（Pi+τi）。（2.5）制定其他目标函数并不困难，例如与经典破产概率、巴黎破产或保险公司的未来偿付能力和市场地位相关的目标函数。此外，可以在多个保险期间制定目标函数。由于保险业务的性质，有几个约束条件需要考虑，例如参见【14】和其中的参考文献。通常，最重要的业务约束与公司的战略和具体的保险市场有关。我们制定了以下几个重要约束条件：C1）预期保留水平@R应从下到下：虽然续期时的利润和溢价量很重要，但所有保险公司都有兴趣将大多数保单持有人保留在其投资组合中。因此，预期保留金水平通常有一个下限l ∈ 续订时为[0.7，1]。比如说l = 90%意味着不续签合同的客户的预期百分比不应超过10%。

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何人来此

2022-5-25 07:29:28

在数学术语中，这被公式化为θrlevel（τ）=E{N*}N≥ l.（2.6）C2）一个简单的约束条件是要求续期保费P*i与“旧”i没有太大区别，即τiPi∈ [a，b]，τi∈ 【A，B】，1≤ 我≤ N（2.7），例如a=-5%，b=10%，A=-50，B=300。关税和保险费优化5其他一些约束条件，包括与声誉风险相关的约束条件、捆绑代理准备金水平的降低以及忠诚客户的流失，都可以类似地制定，因此将不予详细处理。2.2。实际设置。在保险实践中，还需要考虑优化本身的成本（精算和其他资源）。此外，由于续期时的保费总额很大，如果非最佳续期tari fff对当前tar fff有显著改善，则值得关注。因此，对于实际实施，我们需要重新定义目标函数。对于给定的正常数c，sayc=1′000，我们将（2.3）重新定义为qcvo l（τ，…，τN）：=cjE{V@R}/ck=cjNXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）/ck，（2.8），其中十、表示小于x的最大整数。同样，我们重新定义（2.9）ascjV ar(V@R)/ck=cjNXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）[1- πi（Pi+τi）]/ck。（2.9）最后，（2.5）可以写成qcdif（τ，…，τN）=cjNXi=1τiπi（Pi+τi）/ck。（2.10）出于实施目的和业务限制，可以假设τi是特定的给定数字。因此，对（2.7）的修正如下δi：=τiPi∈ 【a、b】∩ （c）-1Z），τi∈ 【A、B】∩ （cZ），1≤ 我≤ N、（2.11）其中c>0，例如c=100。对目标函数和约束条件的此类修改表明，对于实际实施而言，所关注的优化问题没有唯一的最优解决方案。备注2.1。i）在本文中，我们并不直接涉及分销渠道。

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2022-5-25 07:29:31

例如，如果有两项政策说第i项和第k项通过不同的分配渠道更新，那么可能会对每项政策适用不同的约束。此外，取消概率可能会有所不同，即使是在两个投保人具有相同风险的情况下。因此，为了允许不同的分销渠道，我们只需要调整约束条件并假设适当的取消模式。ii）从实用的角度来看，ψi是通过使用逻辑回归等方法估计的。随机情况下，客户在续约时获得的保费高于/低于其Pi，即τi是根据某些规定的分布函数随机选择的。将逻辑回归应用于所获得的数据（续约/不续约）可以解释在由捆绑代理主导的保险市场中，取消（或续约）的风险因素以及其他预测因素（社会地位等）的概率。这种方法很难应用。iii）不同的投保人可以在不同时期续保。这种情况包含在我们的上述假设中。iv）大多数tari ff，例如MTPL，由数百个系数组成（通常超过400个）。由于产品结构相似，advanced tari ff含有许多单个细胞，平均20万个。然而，这些塔里夫尔大多是空的。例如，生活在一个非常小的村庄里的一位90岁的女士为一辆法拉利投保了第三方物流风险，这是非常罕见的。考虑到这一点，通常情况下，实际优化问题中的相关数字N不超过50000。我们的算法和仿真方法对suchN非常有效。6宜州白、恩克列德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹3。

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2022-5-25 07:29:34

T1-T3的解决方案精算任务T1-T3的主要困难在于ψi的复杂性，因为这些函数是：a）在一般情况下未知，b）难以估计过去的数据是否部分可用，c）即使这些函数已知，约束条件C1-C2和目标函数O1，O1\'，O2也是非凸的。我们接下来讨论T1的部分解：问题T1a：给定P，PN，确定τ*= （τ）*, . . . , τ*N）这样qvo l（τ*) 是最大值，qvar（τ*) 在约束θrlevel（τ）下最小（3.1）≥ l, δi=τiPi∈ 【a，b】，1≤ 我≤ N、问题T1b：确定f*来自P*, . . . , P*N、 T1b的解（近似解）很容易推导出来。给定P*, . . . , P*N、既然市场tari fff的结构是已知的，那么f*可通过运行非线性回归分析（近似）确定。因此，下面我们重点讨论T1a。因此，我们将在这里讨论的主要问题是如何确定最佳保费P*我在续约。在保险实践中，函数ψi，i≤ n可以假定为分段线性且不递减。这种假设确实合理，因为对于非常小的τiorδi，投保人不会意识到保费变化。如果在续约时，竞争也会修改新的业务保费，则后一种假设可能会被违反。为简单起见，我们将在分析中排除这些情况，因此我们假设接受续约的决定不受竞争对手的影响。我们在下面列出了ψi的一些易于处理的选择：Ma）假设对于给定的已知常数πi，ai，biψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi），1≤ 我≤ N、实际上，πi，ai，b需要估计。

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2022-5-25 07:29:38

显然，b′等于0的情况非常简单且易于处理。顺便注意，上述模型的一个扩展是允许根据δi.Mb的符号来区分A和B）一个由通常用于估计取消概率的逻辑回归模型驱动的选择是expit函数，即ψi（Pi，δi）=1+c-1ie-Tiδi，1≤ 我≤ N、其中，ci、Ti是已知常数（在应用中估计）。我们注意到，模型Ma）可以看作是模型Mb）的近似值。Mc）一个简单的规范是，仅对δi的少数值给出ψ，如下所示。n apolicyholder i的说明性数据如3所示。Tariff&PREMIUM优化指数δi（in%）-20%-15%-10%-5%0%5%10%15%20%Pi（1+δi）80 85 90 95 100 105 110 115 120ψi（Pi，Piδi）0.999 0.995 0.990 0 0.975 0.950 0.925 0.900 0.875 0.825表3.1。续保概率是第i个投保人保费的函数。模型Ma）简单且易于处理，可以将n视为更复杂模型的近似模型。此外，它还导致了对目标函数的一些重要简化。玩具模型1：我们假设P=P=····=PN。这使得目标函数得以简化。玩具模型2：假设任意i的ψi（P，δ）=ψ（P，δ）≤ N，即，我们假设所有保单持有人在取消概率方面具有相同的行为。4、优化算法4。1.O1）最大化未来预期保费量@R。在本节中，我们用t=0表示当前时间，用t=1表示续约时间。我们考虑这样一种情况，即保险公司希望最大限度地提高未来预期保费量，同时将其投资组合中的最低投保人数保持在t=1。因此，我们表示为l 保留级别。

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2022-5-25 07:29:42

Nl 就是保险人希望在其投资组合中保留的最小投保人数量@R。在这方面，优化问题可以表示为s followsmaxδNXi=1Pi（1+δi）ψi（Pi，δi），主题toNNXi=1ψi（Pi，δi）>l.（4.1）4.1.1。更新概率ψias in Ma）。我们考虑以下情况，即形式ψi的更新概率ψiis：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi），如Ma中所定义）。o设置bi=0，我们得到ψi：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi），其中条件ψi∈ （0，1）应适用于所有投保人i≤ N事实上，当我∈ （1）-πi，πi- 1）就我而言≤ N、由于bi=0，那么（4.1）只是一个受线性约束的质量规划（QP）问题，可以重写为以下内容：maxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi），subject toNNXi=1πi（1+aiδi）>l.（4.2）（4.2）当且仅当其目标函数为凹函数时才具有最大值。然而，当Nai<0时，这是令人满意的。因此，我们假设ai∈ （1）-πi，0）对于任何i≤ N、为了求解（4.2），我们使用附录A中总结的二次规划方法。此后，我们将假设bi6=0，这意味着形式为ψi的ψiis：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi）。8易州白、恩克勒杰德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托弗里亚和迈萨·塔姆拉泽拥有该ψi∈ （0，1）当且仅当A和B满足以下条件时成立人工智能∈最大值（1-πi，-1.- bi），min（1+bi，πi- （1）,bi公司∈ (-1，0）。此外，（4.1）可以重写为asmaxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+（ai+bi）δi+biδi），主题toNNXi=1πi（1+aiδi+biδi）>l.（4.3）显然，（4.3）是一个受非线性约束的非线性优化问题。文献中讨论的解决这类优化问题的最常用方法是序列二次规划法（SQP），参见【15、16、17】。它是一种迭代方法，生成一系列在每次迭代时要求解的数值程序。

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2022-5-25 07:29:46

通常，在给定的迭代xk中，（4.3）由受线性约束的QP子问题建模，后者的解用作构建新迭代xk+1的搜索方向。这种情况下的优化问题由minδf（δ）=-NXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+（ai+bi）δi+biδi），受g（δ）=-NXi=1πi（1+aiδi+biδi）+Nl ≤ 0，（4.4），其中f和g是连续的，可二次区分。解决（4.4）所需的主要步骤见附录B。4.1.2。更新概率ψias，单位为Mb）。我们考虑了Mb）的情况，其中更新概率由逻辑回归模型确定，并由ψi：=ψi（Pi，δi）=1+c给出-1ie-Tiδi，1≤ 我≤ N、 Ci是一个常数，取决于保费变动前的续期概率πi，由Ci=πi1给出- πi和Ti<0是一个常数（在应用中估计），用于衡量保单持有人相对于保费变化的弹性。| Ti |越大，投保人对保费变动的弹性就越大。在这方面，优化问题可以表示为如下最大δNXi=1Pi（1+δi）/（1+e-Tiδi/ci），受试者toNNXi=11/（1+e-Tiδi/ci）>l.（4.5）（4.5）是受非线性约束的非线性优化问题。因此，为了找到最佳解决方案δ，我们使用附录B中所述的SQP算法。电价和保费优化9备注4.1。应该注意的是，当δiis的范围接近0时，Mb）可以近似为Ma）。在这种情况下，ψi（Pi，δi）=ci1+ci1+ciTi1+ciδi-Ti（ci- 1） 2（1+ci）δi,式中，πi=ci1+ci，ai=cit1+ci，bi=-Ti（ci- 1） 2（1+ci）。（4.6）4.1.3。更新概率ψias in Mc）。最后，我们考虑了Mc）情况，其中最优解δi的值来自离散集。此外，根据δifor i，为每个投保i计算续保概率ψiat time 1≤ N、如表3所示。1.

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2022-5-25 07:29:49

在本节中，我们将处理混合离散非线性规划（MDNLP）优化问题。在这方面，我们考虑离散集D={-20%，-15%，-10%，-5%、0%、5%、10%、15%、20%}，对应于δican取的最佳值。因此，（4.1）可重新表示为以下最小δf（δ）=-NXi=1Pi（1+δi，j）ψi，j（Pi，δi，j），受g（δ）=-NXi=1ψi，j（Pi，δi，j）+Nl 6 0对于j=1，9和δ∈ DN。（4.7）一般来说，由于离散空间是非凸的，这类优化问题很难解决。文献中讨论了（4.7）分辨率的几种方法，见【18】。文献[19]提出了一种新的方法来解决受非线性约束的MDNLP优化问题。它需要通过在每个点迭代δk处评估的一系列混合离散线性问题来近似原始非线性模型。此外，还引入了一种通过使用惩罚函数来解决MDNLP的新方法，有关详细信息，请参阅最近的贡献【20，21】。附录C.4.2中描述了解决此类优化问题的算法。保留水平@R的最大化。我们考虑保险人希望保留投资组合@R中最大数量的投保人的情况。因此，优化问题在于找到最佳保留水平@R，同时在时间1时将投资组合中的预期保费增加一定量，例如C。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:29:53

因此，可将优化问题计算为suchmaxδNNXi=1ψi（Pi，δi），受E（P*) > E（P）+C，（4.8），其中E（P*) =PNi=1Pi（1+δi）ψi（Pi，δi）是R时的预期溢价量，E（P）=PNi=1Piπi是时间0时的预期溢价量，C是固定金额，可表示为时间0时预期溢价量的百分比；它代表了在续约时增加保费量的一种负荷。在or de r to solve（4.8）中，我们使用附录B.10 YIZHOU BAI、ENKELEJD HASHORVA、GILDAS RATOVOMIRIJA和MAISSA TAMRAZ5中描述的SQP算法。保险应用在本节中，我们考虑一个数据集，该数据集描述了保险组合中汽车业务线的生产情况。我们假设保费呈指数增长。此外，时间0时的更新概率，πifor i=1，N、由保险公司根据历史数据对每类投保人进行了解和估计。假设保单持有人在续保时的行为未知，则时间1的续保概率ψi取决于πi和δifori=1，N、如果δiis为正，则ψi增加，而如果δiis为负，则保单持有人更有可能在时间1续保，从而产生更大的ψi。在以下段落中，我们将给出与上一节中描述的现有优化问题相关的一些结果。5.1。优化问题Ma）。5.1.1。最大化R的预期溢价量。我们首先考虑（4.2）中定义的优化问题。在这种情况下，更新概率ψiis定义为Ma），并将bi=0设置为i=1。

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2022-5-25 07:29:56

N假设i的ai<0≤ N，当δiis为负时，续保概率ψii增加，当δiis为正时，续保概率ψii减少，从而完美地描述了保单持有人的行为，这些保单持有人的保费在R时会相应增加。下表描述了10000名保单持有人的一些数据统计。2005年第1季度第491季度第909季度第0分钟时的溢价1\'605最大值9\'061否。Obs公司。10\'000表示1\'204Std。开发990表5.1。汽车业务的生产统计。我们认为保险公司希望将85%的投保人保留在其投资组合中@R。通过在Matlab中使用函数quadprog求解（4.2），我们获得了每个投保人的最佳δ。接下来，我们考虑两种场景：场景1保险人希望在其投资组合中保留75%的投保人@R，场景2保险人希望在其投资组合中保留85%的投保人@R.Table5。以下2总结了当解决（4.2）和排除这两种情况对预期保费量和预期保单持有人数量的影响时的最佳结果portfolio@R.TARIFF&保费优化11保留水平的限制条件δ（%）（-10,20）（-20,30）（-10,20）（-20,30）的75%-85%范围预期保费量@R（%）15.78 23.03 8.70 12.96预期保单数量@R（%）-3.52-5.25-0.16-0.16平均最优delta（%）19.99 29.90 7.97 11.89增加数量10\'000 6\'196 6\'528减少数量-3\'804 3\'472表5.2。场景测试。场景1两个边界的最佳δ大致对应于区间的最大值（上界）。这主要是因为保险公司只想保留75%的投资组合@R。

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2022-5-25 07:29:59

因此，他的主要目标是在时间1时最大化预期溢价量。情景2对于85%的留存水平，表5.2显示了预期保费量的增加，这不如情景1中观察到的重要。然而，投资组合中的预期投保人数量@R更高，与t=0时大致相同。此后，我们将考虑85%的保留率。通常，在实践中，汽车保险投资组合的规模超过10000名投保人。然而，当N较大时，使用描述的算法解决δ的优化问题需要大量时间和大量计算，并且可能会给保险公司带来成本。因此，克服这个问题的一个想法是将原始投资组合拆分为子投资组合，并计算子投资组合的最佳δ。在我们的案例中，分割可以考虑的一个标准是保费金额。然而，在实践中，保险公司有一个更详细的数据，因此每个投保人的信息更多，因此对分割感兴趣的因素是投保人的年龄、汽车品牌、汽车价值。表5：。3和表5。下面4条描述了将原始投资组合分别拆分为3和4个子投资组合时的结果。百分比范围内的增长率平均最优δ预期保单数预期保费量<600 8.60%~0.27%~9.17%（600,1200）7.29%~0.03%~8.25%~1′200 8.05%~0.17%~8.99%，分割后8.00%~0.16%~8.84%，分割前7.97%~0.16%~8.70%，差异0%~0.13%，表5.3。

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2022-5-25 07:30:02

分为3个子投资组合。12宜州白、恩克勒杰德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹在%@RPremium范围内的平均最优δ预期保单数量预期保费量<500 8.99%~0.34%~9.50%（500，800）6.27%~0.15%~7.41%（800，1400）7.66%~0.09%~8.49%~1\'400 8.47%~0.26%~9.31%，拆分后7.99%~0.16%~8.95%，拆分前7.97%~0.16%~8.70%，差异0%~0.23百分比表5.4。分为4个子投资组合。在表5中。3和5.4中，我们认为保险人希望在每个子投资组合中保留85%的投保人，从而保留原始投资组合的85%。然而，在实践中，对保留水平@R的限制对于每个子投资组合都是特定的，这取决于投保人的决策，即他是否希望在其投资组合@R中保留保费金额较大或保费金额较小的保单。在这一规则中，保险公司对每个子投资组合的预期保单数量设置约束，以便整个投资组合的约束大约等于85%。分成3、4个子投资组合的误差相对较小，预计溢价额@R的误差分别为-0.13%和-0.23%。应注意的是，误差幅度随着拆分数量的增加而增加。备注5.1。在以下章节中，我们将保险组合的规模限制为1000名投保人，因为此后用于解决优化问题的算法基于迭代过程，需要大量计算和时间。因此，一个解决大小为n且为n的保险组合的优化问题的想法≥ 1000是将原始投资组合拆分为子投资组合，并计算子投资组合的最佳结果，如前一节所述。5.1.2。最大限度地提高保费金额，最大限度地减少保费金额的差异。

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2022-5-25 07:30:05

与马科维茨（Markowitz）[22]提出的金融资产配置优化问题类似，最大聚合预期保费和总赚取保费的最小方差之间的每种形式的权衡；另请参见【2 3】，了解不同的最优条件。我们将在下一个表5中显示。5保留水平和保费变动可能范围的不同约束的最佳结果。关税和保费优化13保留水平约束75%85%δ（%）（-10,20）（-20,30）（-10,20）（-20,30）总预期未来保费@R（%）103.57 103.66 99.90 103.90总未来保费@R（%）的方差109.76 113.08 98.41 101.05预期保单数量@R（%）98.95 98.84 99.98 99 99.99平均最优δ（%）6.13 6.82 1.68 1.98平均最优增量（%）18.50 26.92 11.82 20.32平均最佳减少（%）-8.33-16.32-8.92-17.10增加次数53 9 535 511 510减少次数461 465 489 490表5.5。体积和方差目标优化结果。可以看出，最优方差@R随着可能保费变化δ的范围而增大。例如，当保险人希望保留7.5%的投保人时，δ的方差从109.76增加到109.76∈ (-δ为10%，20%）至113.08∈ (-分别为20%、30%。此外，方差@R的增加与预期量@R的增加有关。这意味着投资组合的风险越高，保险公司收取的保费就越多。5.1.3。最大化保留水平@R。我们在此认为，保险人希望最大化其保留水平，同时将预期保费额@R增加一定金额C，以覆盖保险公司的运营成本和其他费用。

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2022-5-25 07:30:09

C可以表示为在时间0时加载预计的高级卷。在实践中，支付公司费用所需的金额由保险公司确定。如前所述，C可以表示为时间0时预期保费量的百分比。因此，我们考虑了三种不同的荷载：9%、10%和11%，从而在时间0时分别为预期保费量增加了85000、95000和105000。此外，我们考虑δ的两个范围，δ∈ (-10%，-20%）和δ∈ (-20%，-30%）。对预期保费量的约束条件@R C=85′000 C=95′000 C=105′δ（%）（-10,20）-20,30（-20,30）-10,20（-20,30）预期保单数@R（%）-2.19-2.06-2.50-2.36-2.82-2.67预期保费量@R（%）8.90 8.90 9 9 5 9.95 11.00 11.00平均最优δ（%）13.92 15.82 15.12 17.23 16.60 18.64表5.6。场景测试-保留表5。6表明，当C增加时，R的预期投保人数减少，而平均最优δ增加。5.2。优化问题Mb）。我们考虑（4.5）中定义的优化问题，其中更新概率ψiis定义为Mb）。如第4节所述。1.2，描述保单持有人在保费变动时的行为。例如，让我们考虑一个投保人，他在没有保费变化的情况下续保的可能性πiis 0.95。在本节中，我们只考虑保险人希望最大化R的预期保费量的情况。

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2022-5-25 07:30:12

假设保留水平的限制为85%。14第5.1.1节中所述的益州白、恩克列德·哈索尔瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和迈萨·塔姆拉萨斯，保险公司更有可能增加保费金额较小的投保人的保费，并减少保费金额较大的投保人的保费。在续保时，保险人设定了他希望保留在投资组合中的预期投保人数量的约束。他的决定是基于他预期的最高保费金额@R。通常，当保留水平较低时，预期保费金额@R比保留水平较高时更大。因此，我们考虑两种情况：情况1保留级别为75%，情况2保留级别为85%。下表总结了解决（4.5）不同约束条件时的最佳结果。保留水平的限制75%-85%δ（%）（-10,20）-20,30（-10,20）-20,30）预期溢价量@R（%）17.84 26.45 4.50 6.48预期保单数量@R（%）-0.93-1.41-0.02-0.02平均最优增量（%）20.00 30.00 10.70 16.09增加数量1\'000 703 736减少数量-297 264表5.7。场景测试。情景1表5.7显示，所有投保人的保费都会增加，整个投资组合的平均最优δ对应于δ两个边界的保费最大变化。场景2如表5所示。7，预计投保人数量@R与保费变动前大致相同。然而，由于两个界限的平均最优δ较低，因此预期保费量的增长低于inScenario 1。备注5.2。

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2022-5-25 07:30:16

应注意的是，对于δ相对较小的情况（参考备注4.1），以Mb为单位的更新概率可近似为以Ma为单位的更新概率。因此，让我们考虑δ∈ (-5%，5%）和保留水平l = 85%@R。下表描述了使用logit模型Mb）和Ma中定义的多项式模型时的最佳结果。模型Logit多项式差异预期保费量增长率为1.53%0.47%1.04%R预期保单数量增长率为-0.02%0.02%0%平均最优增量2.97%1.30%增加数796 619减少数204 381表5.8。Ma）和Mb之间的比较）。表5.8显示，对于δ的小范围，从MB）获得的实际结果与从Ma）获得的近似结果之间的差异相对较小，对于预期保费量@R，差异约为1%，对于预期投保人数量@R，差异为0%。因此，当δ的范围趋向于0.5.3时，近似值趋向于实际值。玩具模型。在本节中，我们考虑两个玩具模型。第一个模型包括在所有投保人之间设置相同的保费金额。而在第二个模型中，我们假设15保单持有人在时间0时具有相同的续保概率，无论其保费金额如何。对于这两种模型，我们计算了与以下场景相关的最佳结果：–场景1最大化R的预期保费量，–场景2最大化预期保费量并最小化相应的variance@R，–情景3最大化保留水平@R.–玩具模型1所有保单持有人的保费保持不变。

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2022-5-25 07:30:19

我们认为，对于所有i，Pi=P=200≤ N优化问题场景1场景io 2场景3约束85%85%C=20000预期保费量@R（%）7.95 1.96 11.76预期保单数量@R（%）-0.02 0-1.34平均最优增量（%）7.02 1.79 12.55表5.9。玩具模型1–玩具模型2所有投保人的概率π均为0。优化问题情景1情景io 2情景3约束85%85%C=2000预期保费金额@R（%）17.33 17.33 7.78预期保单数量@R（%）-2.22-0.73-0.03平均最优增量（%）20.00 6.57 0.24表5.10。玩具模型2。当根据每个投保人在时间0的pr e miumamounts或续保概率将por TFolio拆分为子投资组合时，这些结果很有意义。5.4。优化问题Mc）和模拟研究。在本节中，我们考虑每个被保险人i的续保概率ψi固定的情况，如表3.1所示。为了解决优化问题（4.1），我们使用附录C中描述的MDNLP方法。下表总结了10000名投保人的投资组合在续保时保留水平的不同约束下的最佳结果。保留水平约束（%）85 87.5 90 92.5 95 9 7.5预期保费增长率（%）5.92 5.92 5.34 4.19 2.22-1.24预期保单数量增长率（%）-7.89-7.89-5.26-2.63 0.00 2.63平均最优增量（%）15.00 10.00 4.82-0.51-6.37表5.11。场景测试离散优化表5。11表明，当保留级别增加时，预期的保单数量会增加，而预期的保费量会减少。事实上，平均最佳δ从85%的保留水平的15%逐渐降低到97.5%的保留水平的-6%。

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2022-5-25 07:30:23

此外，可以看出，对于95%的保留水平，优化对预期警察数量的影响微乎其微16宜州白、恩克勒杰德·哈索尔瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和MAISSA TAMRAZand premium volume@R，因为平均最优δ近似为零。因此，在这种情况下不需要优化。除了MDNLP方法外，我们还实施了一种模拟技术，该技术包括模拟每个投保人的最低保费变化δ，如以下伪算法所述：–步骤1：基于δ的所选先验分布，为每个投保人提供充足的保费变化，–步骤2：重复步骤1，直到满足对保留水平的约束，–步骤3：重复步骤2 m次，–步骤4：在m个模拟中，取模拟的δ，给出最大预期收益。接下来，我们给出了相同投资组合通过1000个模拟得到的优化结果。我们应该考虑δ的先验分布的三种不同假设，即：–情况1：基于均匀分布的模拟在这种模拟方法中，我们假设δ的先验分布是均匀分布的。Ashighlighted在表9中。1-9.2，选择均匀分布的参数和保费变化的可能值，以满足保留水平的约束。我们在表5.12中给出了模拟结果。保留水平限制（%）85 87.5 90 92.5 95 97.5预期保费增长率（%）5.13 5.11 4.02 1.87-0.55-4.10预期保单数量增长率（%）-10.32-6.64-5.24-2.61 0.04 2.73平均最优增量（%）17.30 12.62 9.95 4.87-0.36-6.52表5.12。

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2022-5-25 07:30:26

场景测试-模拟方法：均匀分布案例2：基于实际经验的模拟在这种情况下，我们假设δ的先验分布基于每个保单持有人的历史保费变化r。保留水平约束（%）85 8 7.5 90 92.5 95 97.5预期保费增长@r（%）5.50 5.08 4.10 1.98-0.87-3.75预期保单数量增长@r（%）-9.19-7.70-5.26-2.63 0.47 2.77平均最优增量（%）16.2 13.9 10.0 4.92-1.17-6.25表5.13。情景测试-模拟方法：实践经验-案例3：基于MDNLP结果的模拟我们使用从MDNLP算法获得的最佳δ分布作为先验分布。表5：。下文4总结了最佳结果。保留水平约束（%）85 87.5 90 92.5 95 97.5预期保费量增长率（%）5.92 5.92 3.90 1.61-0.91-4.05预期保单数量增长率（%）-7.89-7.89-5.26-2.63 0.00 2.63平均最优增量（%）15.00 10.00 4.82-0.51-6.35关税和保费优化17表5.14。场景测试-模拟方法。可以看出，模拟结果与表5.11.6中所示的MDNLPalgorithm近似相同。附录A：约束二次规划我们将介绍本文中使用的二次规划方法的下一步步骤。步骤1：（4.2）可重新表示为如下最小δf（δ）=δQδ+cδ、 g（δ）=Aδ≤ b、（6.1）式中δ=（δ，…，δN）c是一个向量，描述了由c=(-πP（1+a），-πNPN（1+aN））.这里Q是一个对角正定义矩阵，描述由Q确定的f的二次项的系数=-2πPa0 0。00-2πPa0。00。-2πiPiai。00 0 0。

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2022-5-25 07:30:29

-2πNPNaN.由于（6.1）只有一个约束，因此A是与g的线性系数相关的向量，由A=-（πa，πa，…，πNaN）,最后，b=Nl -PNi=1πi。应注意，在（6.1）的解中未考虑目标函数f的常数项。步骤2：设L（δ，λ）=f（δ）+λg（δ）是（6.1）的拉格朗日函数，其中λ是拉格朗日乘子。鉴于Q是一个正定义的matr ix，如果满足给定向量（δ*, λ*)L（δ*, λ*) = 0，λ*g（δ*) = 0，g（δ*) ≤ 0，λ*≥ 0.（6.2）18易州白、恩克列德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹备注6.1。在问题T1a的设置中，保险人的目标是最大化保费金额并最小化相应的方差，优化问题可以表示为以下内容：maxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi），minδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi）（1- πi（1+aiδi）），受试者toNNXi=1πi（1+aiδi）>l.（6.3）7。附录B：（4.4）步骤1的解：L et L（δ，λ）=f（δ）+λg（δ）是（4.4）的拉格朗日函数，其中λ∈ R是拉格朗日乘子，（δ，λ）是解的初始估计。应该注意的是，SQP不是一种可行的点法。

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2022-5-25 07:30:32

这意味着无论是初始点还是后续迭代都不应该满足优化问题的约束。步骤2：为了找到下一个迭代点（δ，λ），SQP确定一个步骤向量s=（sδ，sλ）在（δ，λ）评估的QP子问题的（sδ，sλ）解，并定义在（7.1）分钟以下Hs+f（δ）s、受制于g（δ）s+g（δ）≤ 0，其中H是L的Hessian matr ix的近似值，f和g分别是目标和约束函数的g半径。Hess ian matr ix H在每次迭代时都会通过BFGS quazi-Newton公式进行更新。SQP方法保持了Hessian矩阵近似的稀疏性及其正有限性，这是唯一解的必要条件。步骤3：为了确保SQP方法收敛到全局解，后者使用价值函数φ，其减少意味着朝着解的方向前进。因此，步长由α表示∈ （0，1），以保证每次迭代后φ的减少，从而φ（δk+αsk）≤ φ（δk），其中φ（x）=f（x）+rg（x）和r>|λ|。步骤4：新点迭代由（δ，λ）=（δ+αsδ，λ+αsλ）给出。如果（δ，λ）满足KKT条件（6.2），则SQP在t点收敛。如果不是，则设置k=k+1并返回步骤2。备注7.1。需要注意的是，（6.2）中定义的KKT条件被称为一阶最优条件，参见例如[20]。因此，如果，对于给定向量（δ*, λ*), 满足KKT条件，则（δ*, λ*)是局部最小值（4.4）。电价和保费优化198。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:30:35

附录C：MDNLP优化问题（4.7）步骤1：假设ψiis是离散的，并且取决于δi的值，我们假设ψican可以写成δias的函数，紧跟在ψi（δi）=-0.9775δi- 0.4287δi+0.9534δi∈ 然后将D（4.7）视为一个连续优化问题，并使用前面描述的其中一种方法找到最优解。我们用δ表示*连续最优解。步骤2：设δ为δ的向上舍入向量*对于集合D的邻近离散值，δ被视为初始点迭代。如果δ不是（4.7）的可行点，则（4.7）由δ处的混合离散线性优化问题近似，并由minδ给出f（δ）（δ- δ），受g（δ）+g（δ）（δ- δ） 6 0和δ∈ DN。（8.1）步骤3：（8.1）通过使用线性规划方法和分枝定界法进行求解，详情请参见【24】。我们用δk表示新的点迭代。如果δkis可行且δk- δk-1 | |<如果>0小，则停止迭代。否则k=k+1并返回步骤2。备注8.1。如果对于某一点迭代δ，满足（4.7）的约束，且δ∈ DNthenδ是优化问题的可行解。通常，由于存在多个局部极小值，很难找到MDN LP优化问题的全局极小值。因此，δ*如果δ*可行且f（δ*) ≤ f（δ）表示所有可行的δ9。附录D：模拟的事先分发9。1、基于均匀分布的模拟（模拟案例1）。下表描述了δ的范围及其基于不同保留水平的各自分布。保留水平（%）85 87.5 90δ（%）{15，20}{10，15}{0，5，10，15}先验分布U（0.85，0.99）U（0.90，0.99）U（0.04，0.68）的范围表9.1。

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