为了证明这一说法，我们分解了aNasaN=N+1Xi=1RiZ∧-iD（λ）Hj，L（λ）e√-1λ（θN-θi）τ-1Ndλ=：N+1Xi=1aN（i）。自|安|≤ 2jkDk∞π/2i-1by（A.1）（kDk∞表示D）的本质上确界，它足以证明（i）→ 0作为N→ ∞ 对于任何固定i，由于支配收敛定理。当i 6=j时，这遵循（A.3）和有界收敛定理。同时，利用分部积分，我们得到了| aN（j）|≤j+1kDk∞τ-1N |θN- θj |+τ-1N |θN- θj | Z∧-j（| D（λ）Hj，L（λ）|+| D（λ）Hj，L（λ）|）Dλ≤j+1kDk∞τ-1N |θN- θj |+τ-1N |θN- θj | 2πkDk∞+ kDk公司∞Z∧-j | Hj，L（λ）| dλ！。因此我们得到（j）→ 0作为N→ ∞ 根据推论A.1和假设。（b） 从引理6可以证明τmbTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ）Zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ→pj∑T（θj）RjZ∧-jD（λ）cos（bλ）dλas N→ ∞. 使用与上述类似的论证，我们可以从支配收敛定理和（A.3）推导出这种收敛。8.3定理2Noting that r∧的证明-对于任何b，jD（λ）cos（bλ）dλ>0∈ [-,] 通过假设，该定理可以类似于[21]中定理2的证明（使用定理1而不是[21]中的定理1（b）和命题3]）。附录：Daubechies小波滤波器的基本特性该附录收集了Daubechies小波滤波器的一些关键特性，用于证明我们的主要结果。首先，因为对于所有λ，HL（λ）+GL（λ）=2∈ 根据[35]中的公式（69d），我们得到了hl（λ）∨ GL（λ）≤ 所有λ为2∈ R、 （A.1）接下来，对于每个j∈ N、 过滤器（hj，p）Lj-1p=0单位能量：PLj-1p=0hj，p=1（参见[35]第4.6节）。因此，Schwarz不等式产生|ψj（l）|≤ 对于所有l=0，±1，±（Lj- 1). （A.2）第三，Hj，Lwell近似于2j∧-jas L公司→ ∞ 在某种意义上，Liml→∞Hj，L（λ）=（jifλ∈ （πj，πj-1） ，如果λ，则为0∈ [0，πj）∪ （πj-1，π]（A.3），根据[29]中的定理1。

这里，请注意，Lai【29】将Daubechies长度为L的小波滤波器定义为一个滤波器，其功率传递函数由HL（λ）/2给出。最后，我们证明了HLand-GLas衍生物的一个重要性质及其结果。引理A.1。对于任意偶数正整数L，Zπ-π| HL（λ）| dλ=Zπ-π| GL（λ）| dλ=4。（A.4）证明。根据文献〔29〕中定理3的证明，我们得到了gl（λ）=-L- 2升/2- 1.L- 1升-2英寸-1(λ), λ ∈ [0, π].因此我们得到了zπ-π| GL（λ）| dλ=2L- 2升/2- 1.L- 1升-2ZπsinL-1（λ）dλ=2L- 2升/2- 1.L- 1升-2Zπ/2{sinL-1（λ）+cosL-1（λ）}dλ。利用[15]中的公式（3.621.1），我们推断zπ-π| GL（λ）| dλ=4L- 2升/2- 1.（L）- 1） （1/2- 1)!（1/2-1)!（L）- 1)!= 因此，我们在（A.4）中获得了第二个恒等式。（A.4）中的第一个恒等式紧随关系hl（λ）=GL（λ+π）。推论A.1。对于任何j∈ N和偶数正整数L，Z∧-j | Hj，L（λ）| dλ≤ 2j+1j。证据利用莱布尼兹规则，我们推导出| Hj，L（λ）|≤ 4j-1 | HL（2j-1λ）|+2j-1j-2Xi=0i | GL（2iλ）|。（A.5）我们通过（A.1）和引理A.1Z∧得到-j | Hj，L（λ）| dλ≤ 2j-1Zπ-π| HL（λ）| dλ+2j-1j-2Xi=0Zπ-π| GL（λ）| dλ≤ 2j+1j。这就完成了证明。推论A.2。对于任何j∈ N、 偶数正整数L和L=±1，±（Lj- 1） ，|ψj（l）|≤jπl.证明。通过定义，我们得到ψj（l）=2πZπ-πHj，L（λ）e√-1lλdλ。因此，按部分积分得到ψj（l）=-2π√-1lZπ-πHj，L（λ）e√-1lλdλ。因此，注意到| HL |和| GL |都是周期π的周期，我们得到（A.5）|ψj（l）|≤2πl（j-1Zπ-π| HL（2j-1λ）| dλ+2j-1j-2Xi=0iZπ-π| GL（2iλ）| dλ）=2πl（j-1Zj-1π-2j-1π| HL（λ）| dλ+2j-1j-2Xi=0Ziπ-2iπ| GL（λ）| dλ）=2πl（j-1Zπ-π| HL（λ）| dλ+2j-1j-2Xi=0iZπ-π| GL（λ）| dλ）≤jπl，其中我们使用引理A.1和不等式j-2i=0i≤ 2j-1推导最后一个不等式。确认Stakaki Hayashi的研究得到了JSP KAKENHI授权号JP16K03601、JP17H01100的部分支持。

Yuta Koike的研究部分得到了JST CREST拨款号JPMJCR14D7和JSP KAKENHI拨款号JP16K17105、JP18H00836、JP19K13668的支持。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.和Jacod，J.（2014）。高频金融计量经济学。普林斯顿大学出版社。[2] Barlow，M.T.和Yor，M.（1982年）。通过Garsia-Rodemich-Rumsey引理的半鞅不等式及其对局部时间的应用。J、 功能。肛门。49, 198–229.[3] Bartlett，R.P.和McCrary，J.（2019年）。股市的操纵情况如何？微秒时间戳的证据。《金融市场杂志》45，37–60。[4] Barunik，J.和Vacha，L.（2015年）。实现了噪声存在时基于小波的综合方差和跳跃估计。数量。财务部151347–1364。[5] Chan，G.和Wood，A.T.A.（1999年）。平稳高斯向量场的模拟。统计学家。计算机。9,265–268.[6] Chan，K.（1992年）。进一步分析现金市场和股指期货市场之间的超前-滞后关系。财务研究回顾5123–152。[7] Christensen，K.、Podolskij，M.、Thamrongrat，N.和Veliyev，B.（2017）。高频数据推断：Asubsampling方法。J、 计量经济学197245–272。[8] Dalalyan，A.和Yoshida，N.（2011）。非同步协变量估计的二阶渐近展开。安。Henri Poincar\'e Probab研究所。Stat.47748–789。[9] Davies，R.B.（1973）。平稳高斯时间序列的渐近推断。应用程序中的高级。概率。5, 469–497.[10] DeJong，F.和Nijman，T.（1997年）。金融市场之间超前-滞后关系的高频分析。经验金融杂志4259-277。[11] Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994年）。资产定价基本定理的一般版本。数学安。300, 463–520.[12] Dobrev，D.和Schaumburg，E.（2016）。高频跨市场交易：无模型测量和应用。

工作文件。[13] Gathereal，J.和Oomen，R.C.（2010）。零智能实现方差估计。金融斯托克。14, 249–283.[14] Genc,ay，R.、Gradojevic，N.、Selc,uk，F.和Whitcher，B.（2010）。跨时间尺度的信息流动不对称。数量。财务10，895–915。[15] Gradshteyn，I.和Ryzhik，I.（2007）。积分、系列和乘积表。爱思唯尔公司，第七edn。[16] Hafner，C.M.（2012）。交叉相关小波系数及其在高频金融时间序列中的应用。J、 应用程序。Stat.391363–1379。[17] Harris，F.H.d.、McInish，T.H.和Wood，R.A.（2002）。跨交易所的证券价格调整：道琼斯股票公因子成分调查。《金融市场杂志》5277–308。[18] Hasbrouck，J.（1995）。一种证券，多个市场：确定对价格发现的贡献。《金融杂志》第50期，第1175-1199页。[19] Hasbrouck，J.（2018）。高频报价：投标和报价的短期波动。《金融与定量分析杂志》53613–641。[20] Hasbrouck，J.（2019）。高分辨率价格发现。《金融计量经济学杂志》（即将出版）。[21]Hayashi，T.和Koike，Y.（2018）。基于小波的高频超前-滞后分析方法。暹罗J.金融数学。9, 1208–1248.[22]Hayashi，T.和Koike，Y.（2019）。无套利和超前-滞后关系。统计学家。概率。利特。154, 108530.[23]Hayashi，T.和Yoshida，N.（2005）。关于非同步观测扩散过程的协方差估计。伯努利11359–379。[24]Hayashi，T.和Yoshida，N.（2008）。非同步观测扩散过程协方差估计的渐近正态性。安。仪器统计员。数学60, 357–396.[25]Hayashi，T.和Yoshida，N.（2011）。非同步协变过程与极限定理。随机过程。应用程序。

121, 2416–2454.[26]Hoffmann，M.、Rosenbaum，M.和Yoshida，N.（2013）。从非同步数据估计超前滞后参数。伯努利19426–461。【27】Horn，R.A.和Johnson，C.R.（2013）。矩阵分析。剑桥大学出版社，第二版。【28】Huth，N.和Abergel，F.（2014）。高频超前/滞后关系-经验事实。《经验金融杂志》26，41–58。[29]Lai，M.-J.（1995）。与Daubechies小波相关的数字滤波器。IEEE Trans。信号处理。43,2203–2205.【30】Lo，A.W.和MacKinlay，A.C.（1990）。非同步交易的计量经济学分析。J、 计量经济学45181–211。【31】M¨uller，U.A.、Dacorogna，M.M.、Dav\'e，R.D.、Olsen，R.B.、Pictet，O.V.和von Weizs¨acker，J.e.（1997）。不同时间分辨率的波动性-分析市场成分的动态。《经验金融杂志》4213–239。【32】M¨uller，U.A.、Dacorogna，M.M.、Dav\'e，R.D.、Pictet，O.V.、Olsen，R.B.和Ward，J.R.（1993）。分形与内在时间——计量经济学家面临的挑战。技术代表UAM。1993年8月16日，Olsen和Associates。【33】Nason，G.P.、von Sachs，R.和Kroisant，G.（2000）。小波过程和进化小波谱的自适应估计。J、 R.统计Soc。序列号。B统计方法。62, 271–292.【34】Ozturk，S.R.、van der Wel，M.和van Dijk，D.（2017）。分散市场中的日内价格发现。《金融市场杂志》32，28–48。[35]Percival，D.B.和Walden，A.T.（2000）。时间序列分析的小波方法。剑桥大学出版社。[36]Ren\'o，R.（2003）。仔细观察Epps效应。内景J.Thero。应用程序。财务6，87–102。【37】Subbotin，A.（2008）。波动性的多水平标度。未发表的论文。【38】Subrahmanyam，A.（1997年）。多市场交易与股票交易的信息性：一项日内实证分析。

《经济与商业杂志》49，515–531。【39】Tivnan，B.F.、Dewhurst，D.R.、Van Oort，C.M.、Ring，J.H.、Gray，T.J.、Tivnan，B.F.、Koehler，M.T.K.、McMahon，M.T.、Slater，D.M.、Veneman，J.G.和Danforth，C.M.（2020年）。美国股市的碎片化和不效率：来自道琼斯30指数的证据。PLoS ONE 15，e0226968。【40】van der Vaart，A.W.和Wellner，J.A.（1996）。弱收敛和经验过程。斯普林格。[41]Vershynin，R.（2018）。高维概率。剑桥大学出版社。