高频下超前-滞后关系的多尺度分析

2022-6-1 05:55:43

高频金融市场领先-滞后关系的多尺度分析Takaki Hayashi*+Yuta Koike§+P2020年5月11日摘要我们提出了一种新的估计程序，用于以非同步方式观察到的高频金融资产的逐标超前滞后关系。建议的估计程序不需要对原始数据集进行任何插值处理，并且适用于具有最高时间分辨率的数据集。在我们之前的工作【21】中开发的连续时间框架下，显示了拟议估计量的一致性。对NASDAQ-100资产报价数据集的实证应用在不同的时间尺度上确定了两种类型的超前-滞后关系。关键词：布朗运动；互协方差估计；Daubechies小波滤波器；非同步数据；随机波动率；小波。1简介金融市场容纳了多样化的参与者群体。他们有不同的资金来源、不同的时间范围和不同的风险态度，信息的质量和数量也不同。穆勒（M¨uller）等人（32）认为，这种差异刻在每个不同时间尺度的价格形成中。它们可能导致金融市场中嵌入多尺度结构。本文旨在研究金融市场的这种多尺度结构，这种结构可以在很短的时间内存在。特别是，我们将利用高频数据研究金融资产之间的超前-滞后关系。识别资产之间的超前-滞后关系对于理论和实践都至关重要；这种关系的存在可能意味着理论家的金融市场效率低下，但也可能为市场参与者提供赚取“超额”利润的机会。

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2022-6-1 05:55:46

因此，在金融文献中进行超前-滞后分析很自然。自90年代以来，随着高频数据变得越来越容易访问，超前-滞后关系*庆应义塾大学工商管理研究生院，4-1-1 Hiyoshi，Yokohama 223-8526，日本+东京都会大学社会科学研究生院工商管理系，丸内町大厦18楼，1-4-1丸内町，Chiyoda ku，Tokyo 100-0005，日本科学技术厅§东京大学数学与信息中心和数学科学研究生院，地址：3-8-1 Komaba，Meguro ku，Tokyo 153-8914日本P统计数学研究所，地址：10-3 Midori cho，Tachikawa，Tokyo 190-8562，Japan，作者研究了高频数据，如【6，10，28，36】。同时，对高频财务数据进行了多尺度分析；e、 g.，[4、14、19、31、37]。然而，这些文章的主要兴趣是资产波动率的估计。在高频域对超前-滞后关系进行多尺度分析的工作很少；哈夫纳（Hafner）[16]是一个例外，他研究了IBM股票高频交易数据的回报、持续时间和交易量之间的超前-滞后关系的多尺度结构。据我们了解，进行多尺度分析的研究的主要重点是实证应用本身，而不是开发新的估计方法。他们采用的方法在理论上是基于“经典”离散时间序列的，这些离散时间序列似乎更适合具有更长时间范围的每日或低频数据。一方面，高频财务数据的分析应集中在短期内，即一天或更短的时间内。

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mingdashike22

2022-6-1 05:55:49

因此，目前尚不清楚是否可以毫无保留地将这种“经典”方法合理应用于高频金融数据。另一方面，连续时间建模为分析短期内观察到的高频数据提供了一个方便而强大的框架（参见ait-Sahalia和Jacod[1]）。有鉴于此，在【21】中，作者开发了一个连续时间框架，专门用于对高频数据中的超前-滞后关系进行多尺度分析。在那里，他们引入了两个具有逐尺度相关结构的布朗运动带B。更准确地说，他们已经证明，对于任何Rj∈ [-1，1]和θj∈ R（j=0，1，…），存在一个二元高斯过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R）具有平稳增量，使得（I）两个带裸露的双边布朗运动，（II）B的交叉谱密度由f（λ）给出=∞Xj=0Rje-√-1θjλ∧j（λ），λ∈ R、（1）式中∧j=[-2j+1π，-2jπ）∪ （2jπ，2j+1π）对于每个j∈ Z、频带∧jc对应于2-1月2日-时域中的j+1。此外，请注意，如果Wt=（Wt，Wt）（t∈ R）是一个双边的二元布朗运动，相关系数为R，对于θ∈ R工艺（Wt，Wt-θ）（t∈ R）具有交叉谱密度Re-√-1θλ(λ ∈ R）。因此，我们可以认为B带与时间滞后θjin之间存在超前滞后关系，时间尺度介于2-詹德-j+1。因此，在该模型下，我们可以通过根据观测数据估计参数θjj来理解超前-滞后关系的多尺度结构。本文的主要贡献是基于B波段（波动率调制版本）的非同步观测，开发一种新的参数θjb估计方法。

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2022-6-1 05:55:52

在上述[21]中，作者提出了另一种估算程序，该程序要求根据规则网格进行数据插值，其大小等于最快市场参与者（将）行动的最新时间分辨率。当以亚毫秒的时间精度分析数据集时，通常希望该最小分辨率比实际时间精度更粗糙（例如，参见第6节）。如果是这样，那么这种中间数据插值步骤不可避免地会丢弃大量数据。即使在这种情况下，本文中新提出的程序也不需要对原始数据进行任何插值处理，并且能够有效地使用它们。此外，理论分析和数值实验表明，当采样时间在合理程度上不同步时，新的估计量可能比基于插值的估计量具有更好的性能。纳斯达克100数据集的实证应用在不同的时间尺度上确定了两种类型的超前-滞后关系。据我们所知，这一观察结果在实证文献中是新的，表明了新估计方法的潜在有用性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细介绍了本文考虑的理论背景。第3节介绍了我们的新估算程序。我们发展了与第4节中提出的估计量相关的渐近理论。在第5节中，我们通过蒙特卡罗实验评估了所提出估计量的有限样本性能，在第6节中，我们将我们的程序应用于实证数据集。第7节总结全文。所有证据收集在第8.2节设置中。我们让最新时间分辨率对应于τN：=2-N-1对于某些N∈ N、我们假设τNis与数据的观测频率相当。

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2022-6-1 05:55:55

我们将在高频环境下发展一种渐近理论，即当N趋于完整，或时间分辨率缩小到零，而整个观测间隔的长度保持不变时。如引言所述，我们的理论框架是基于一个二元高斯过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R）具有满足性质（I）–（II）的平稳增量。由于我们主要对接近近期分辨率的标度下的超前-滞后关系感兴趣，因此可以方便地“重新标记”参数rj和θjin（1）的指数，以便近期分辨率τN与水平j=1相关，同时我们考虑渐近理论，使N趋于一致。因此，如[21]中所述，我们将性质（II）替换为以下性质：B的交叉谱密度由fn（λ）=N+1Xj=1Rje给出-√-1θjλ∧N-j+1（λ），λ∈ R、（2）我们还假设θj∈ (-δ、 δ）对于δ>0的每个j。现在，对于每个ν=1，2，我们考虑对数价格过程Xν=（Xνt）t≥由Xνt=Xν+ZtσνsdBνs，t给出的ν-th资产的0≥ 0，（3）其中（σνt）t≥0是一个适应过滤（Fνt）的c\'adl\'ag过程，使得过程（Bνt）分别是一维（Fνt）-布朗运动。在采样时间为0时，我们在区间[0，T+δ]上观察到过程Xν≤ tν<tν<···<tνnν≤ T+δ。采样时间（ti）ni=0和（ti）ni=0是独立于（X，X）且隐式依赖于N的随机变量，因此Rn：=maxν=1,2maxi=0,1，。。。，nν+1（tνi- tνi-（1）→pas编号→ ∞, 我们设置tν的地方-1： =0和tνnν+1：=t+δ，对于每个ν=1，2。备注1。我们的模型通常不是半鞅模型，因此，由于众所周知的资产定价基本定理（参见。

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2022-6-1 05:55:58

[11]).然而，如果我们考虑市场摩擦，如离散交易或交易成本，我们可以证明我们的模型没有套利；详见【22】。3估计器的构造我们的目标是根据离散观测数据（Xti）ni=0和（Xti）ni=0估计每个j的参数θj1。我们首先介绍一些符号。对于每个ν=1，2，我们将观测时间（tνi）nνi=0与间隔∏n={（tνi）的集合相关联-1，tνi）：i=1，nν}。我们将系统地使用符号I（resp.J）表示∏N（resp.N）的元素。对于间隔H [0, ∞), 我们设置H=sup H，H=inf H，| H |=H- H、此外，我们设置v（H）=VH- VHA对于随机过程（Vt）t≥0，对于实数θ，Hθ=H+θ。现在我们解释如何构造估计量。为了解释构造背后的想法，我们将重点放在σνs的情况下≡ 1表示ν=1，2。参数θjis是scalecross协方差函数ρN的尺度的唯一最大化子-带B之间的j+1（θ），由ρN定义-j+1（θ）=EZ∞-∞ψLPN-j+1（s- u）星展银行Z∞-∞ψLPN-j+1（s- u-θ）星展银行, θ∈ R、式中，ψLPk（s）=2k/2ψLP（2ks）表示k∈ Z和ψLP表示Littlewood-Paley小波：ψLP（s）=（πs）-1（sin（2πs）- sin（πs））（详见【21】第2.2-2.3节）。基于这一事实，我们首先构造了一个合理的协方差估计量bρN-ρN的j+1（θ）-j+1（θ），然后为θjas a | bρN的最大化子构造超前滞后估计量bθj-j+1（θ）|如[26]所示。估计量bρN构造背后的思想-j+1（θ）如下所示。LetUN（θ）是fN（λ）的傅里叶逆变换。那么我们有ρN-j+1（θ）=2-N-j+1（联合国* ψLPN-j+1）（θ）=Z∞-∞UN（θ- s） ψLP（2N-j+1s）dS的卷积定理。

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2022-6-1 05:56:01

这建议我们考虑以下ρN的估计值-j+1（θ）：bρN-j+1（θ）：=bρNN-j+1（θ）=Lj-1Xl码=-Lj+1磅（θ- lτN）ψj（l），其中bun（θ）是UN（θ）的估计量，ψj（l）是ψLP（2N）的近似值-j+1lτN）（事实证明，与ds相关的因子τN是不必要的，因为2N-j+1τN=2-jdoes在我们的渐近设置中不趋向于0），这两个值在下面明确定义。由于UN（θ）可能被视为“dB和dB之间的互协方差函数”，我们采用了Hoffmann等人[26]引入的以下估计器asbUN（θ）：bUN（θ）=（PI∈πN，J∈∏N:I≤TX（I）X（J）K（I，J-θ）如果θ≥ 0，PI∈πN，J∈∏N:J≤TX（I）X（J）K（Iθ，J）如果θ<0，我们设置K（I，J）=1{I∩J6=}对于两个区间I和J，ThisbUN（θ）可以被视为x和Xat收益之间的经验互协方差估计量，即Hayashiand Yoshida[23]处理非同步采样时间的方法计算的滞后θ。同时，Fourier反演公式得到ψLP（2N-j+1lτN）=jτN2πZ∞-∞e√-1lτNλ∧N-j+1（λ）dλ=2πZπ-πe√-1lλ·2j∧-j（λ）dλ，所以（ψLP（2N）的传递函数-j+1lτN））l∈Zis 2j∧-j（λ）。特别地，ψj（l）很好地逼近ψLP（2N-j+1lτN）如果（ψj（l））Lj的传递函数-1升=-Lj+1井近似于2j∧-j（λ）。我们构造了这样一个序列（ψj（l））Lj-1升=-Daubechies小波滤波器的Lj+1，如下所示。有关Daubechies小波的详细信息，请参阅[35]第4.8节（另见附录A）。Let（hp）L-1p=0be（偶数）长度L的Daubechies小波滤波器，其功率传递函数HL（λ）=PL-1p=0hpe-√-1λp |由hl（λ）=2 sinL（λ/2）L/2给出-1Xp=0L/2- 1+ppcos2p（λ/2），λ∈ R、相关缩放过滤器（gp）L-1p=0通过正交镜像关系定义为gp=(-1） p+1hL-p-1，p=0，1，L- 1，因此其功率传递函数GL（λ）=PL-1p=0gpe-√-1λp |满足GL（λ）=HL（λ- π).

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大多数88

2022-6-1 05:56:04

然后，对于每个j，我们构造相关的j级小波滤波器（hj，p）Lj-1p=0，h1递归，p=HPP=0，1，L- 1和hj，p=PLj-1.-1q=0gp-2qhj-1，qf对于p=0，1，Lj公司- 1，其中Lj=（2j-1）（L）-1） p为+1且gp=0/∈ {0，1，…，L-1}. 现在我们定义了序列（ψj（l））Lj-1升=-Lj+1byψj（l）=Lj-1.-|l | Xp=0hj，phj，p+| l |，l=0，±1，±（Lj- 1).这些量与Nason等人[33]的自相关小波相同（见[33]的定义3）。传递函数Hj，L（λ）=PLj-1升=-Lj+1ψj（l）e-√-（ψj（l））Lj的1lλ-1升=-Lj+1由hj给出，L（λ）=HL（2j-1λ）j-2Yi=0GL（2iλ），λ∈ R（参见[33]中的等式（28））。特别地，Hj，L（λ）很好地逼近2j∧-j（λ）为L→ ∞ （见（A.3）），因此ψj（l）可用ψLP（2N）的近似值-j+1lτN）。最后，对于每个j∈ N我们定义了估计量bθj：=bθnj，对于θjas，求出以下方程的解：bρN-j+1（bθj）= 最大θ∈GN | bρN-j+1（θ）|。这里，我们最大化函数bρN-关于有限网格上θ的j+1（θ）={lτN:l∈ Z、 | l |≤ ΓN}与[26]中的某个正整数ΓNas。我们使用的符号（hp）表示小波滤波器，（gp）表示缩放滤波器，如下所示【35】。请注意，文献中经常使用反向旋转。备注2。考虑到Daubechies小波滤波器的长度L，我们仍然可以选择（hp）L-1p=0，如外部相位小波和最小不对称小波（参见[35]第4.8节）。然而，通过定义，它们都具有相同的功率传递函数HL（λ），so（ψj（l））Lj-1升=-Lj+1仅取决于Daubechies小波滤波器的长度L。4函数f的渐近定理∈ L（R），我们用Ff表示f：（Ff）（λ）=Z的傅里叶变换∞-∞f（t）e-√-1λtdt，λ∈ R、我们施加以下条件来推导渐近结果。假设1。有一个常数γ∈ （0，1）使得σν几乎可以肯定，对于每个ν=1，2，都有γ-H–older连续采样路径。假设2。

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2022-6-1 05:56:07

（i） rN=Op（τξN）作为N→ ∞ 对于任何ξ∈ (0, 1).（ii）存在常数α>1，β∈ （0，1），Q＞1与绝对连续实值函数D[-π、 π]使得τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θN）- D（λ）Qidλ=O（ταN）作为N→ ∞ 对于满足θN的任意实数序列（θN）∈ 对于每N，其中m=dβNe，DNk（λ，θ）=（2πτmτNPI，J:I∈Im（k）（F1I）（λ/τN）（F1J-θ)(-λ/τN）K（I，J）-θ）如果θ≥ 0,2πτmτNPI，J:J∈Im（k）（F1Iθ）（λ/τN）（F1J）(-λ/τN）K（Iθ，J），如果θ<0且Im（K）=[Kτm，（K+1）τm）。此外，对于几乎所有λ，D（λ）>0∈ [-π、 π]和D，D∈ L∞(-π, π).满足假设2的最简单情况是等距同步采样情况，即ti=ti=iτN/a，对于每个i，一些a∈ N、在这种情况下，我们可以很容易地看到dnk（λ，θ）=a2πe-√-1λ/年- 1λ对于任何θ∈ GN。因此，假设2满足，D（λ）是上述等式右侧的数量。另一个例子是Lo和MacKinlay[30]的抽样方案，如以下命题所述：命题1。让a∈ N、假设，对于每个ν=1，2，观测时间（tνi）Nνi=0是{iτN/a：i=0，1，…，b（t+δ）aτ-1Nc}使用成功概率为1的伯努利试验- πν(0 ≤ πν< 1). 然后，假设2满足d（λ）=aπλ<“（1- π)(1 - π)(1 - e-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）#=a（1- cos（λ/a））πλ（1- π)(1 - π)(1 + π+ π- ππ（2 cos（λ/a）+1））| 1- πe-√-1λ/a | | 1- πe-√-1λ/安|。（4）现在我们陈述渐近结果。第一个结果涉及估计量bρN的渐近行为-j+1（θ），可以看作是[26]定理1中命题3-4的对应项。设j为正整数。假设假设1-2满足。

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大多数88

2022-6-1 05:56:10

假设也是这样→ ∞ 和（LτN）γlog L→ 0作为N→ ∞ 如果序列vN>0满足τ-1NvN→ ∞ 作为N→ ∞, thenmaxθ∈GN：|θ-θj|≥vN | bρN-j+1（θ）|→pas编号→ ∞.（b）设（θN）为实数序列，使得∈ GNandτ-1N（θN- θj）→ b作为N→ ∞ 对于某些b∈ R、 ThenbρN-j+1（θN）→pj∑T（θj）RjZ∧-jD（λ）cos（bλ）dλas N→ ∞, 式中，∑T（θ）=（RTσsσs+θds ifθ≥ 0，RTσs-θσsds，否则。下一个定理涉及估计量的一致性bθjand可以看作是[26]中第1项定理2的对应项。设j为正整数。假设假设1-2满足。也假设→ ∞ 和（LτN）γlog L→ 0作为N→ ∞ 对于每个N，（ΓN+Lj）τN<δ。如果序列vN>0满足τ-1NvN→ ∞ 作为N→ ∞, 然后-1N（bθj- θj）→pas编号→ ∞, 假设Rj6=0，∑T（θj）6=0 a.s.特别是，我们有bθj→pθjas N→ ∞ .定理2表明，所提出的估计量bθjenjoy与[26]中的leadlag估计量具有相似的渐近性质。值得注意的是，我们的估计值达到了与Hoffmann等人[26]的估计值相同的收敛速度，因此我们在设置中没有成本来分离多个超前-滞后关系。备注3。我们的结果中给出的收敛速度比[21，定理2]中给出的收敛速度要好，后者给出了θj的不同估计量的收敛速度。这种改进不是由于我们对估计量的新构造，而是由于Daubechies小波（在卷积a.1中给出）的一个特殊性质的增益，这在[21]中被忽略。备注4。对于非同步数据，我们的估计器的性能预计优于[21]的估计器。为了看到这一点，让我们考虑命题1中考虑的Lo MacKinlay抽样方案，a=1。那么，bρN-j+1（θj）概率收敛到ρ[1]j：=2j∑T（θj）RjR∧-jD（λ）dλ为N→ ∞, 式中，d（λ）由（4）给出。

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2022-6-1 05:56:13

同时，bρN的对应物-[21]中的j+1（θj）概率收敛到ρ[2]j：=j∑T（θj）RjR∧-jD（λ）Dλ为N→ ∞, 式中▄D（λ）=2πe-√-1λ- 1λ<(1 - π)(1 - π)(1 - πe-√-1λ)(1 - πe-√-1λ).参见[21]中的定理1（注意bρN-j+1（θj）基本上是由[0，T+|θj |]上的观测值构造而成。一个简单的计算显示|ρ[1]j |- |ρ[2]j |=（1- π)(1 - π)(π+ π- 2ππ）×2j∑T（θj）| Rj | Z∧-jsinλπλ| 1- πe-√-1λ||1 - πe-√-1λ| dλ，当∑T（θj）| Rj |>0和π时，始终为非负且严格为正∧ π> 0. 因此，我们可以预期，当观测不同步时，我们的互协方差估计器可以更好地识别真实相关图的峰值。在下一节中，我们将提供数字证据来支持这一论点。5模拟研究在本节中，我们通过蒙特卡洛研究评估了拟议估计量bθjb的有限样本准确性。我们设定N=14，T=Nτnw，N=30000。我们用以下两种波动过程场景模拟模型（3）：场景1恒定波动。σν≡ 1表示ν=1，2。情景2具有杠杆效应的随机波动率。采用Heston模型生成每个ν=1，2的波动过程σνt：过程vνt=（σνt）是以下随机微分方程的解：dvνt=κ（η- vνt）dt+ξpvνt（ρdBνt+p1- ρdWνt），其中Wν是标准维纳过程，初始值vν是从过程vνtin的平稳分布中随机抽取的，即vν~ γ（2κη/ξ，2κ/ξ）。我们假设过程B和W是相互独立的。参数κ、η、ξ和ρ在[7]中选择：κ=5、η=0.04、ξ=0.5和ρ=-0.5.光谱密度（2）的参数如表1所示。以与[21]中相同的方式对过程B的路径进行模拟。即，我们模拟了二元平稳高斯序列kB：=B（k+1）τN- BkτN（k=0，1，…）。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:56:16

n- 1）通过[5]的多元循环嵌入方法，近似值如下：[kBk+磅]≈ τNJ+1Xj=1J-j+1RjψLP（2J-j+1（lτN- θj））。请注意，第1221页（共[21]页）中显示的第一个和第二个方程式中存在拼写错误：其右侧的第j个总和应乘以2j。自版本1.10.2起，该模拟方案已在R包yuima中作为函数SimbMillag实现。R包yuima还包含函数wllag，通过scalelead滞后时间估计器Bθj实现我们的尺度。表1：谱密度参数（2）j 1 2 3 4 5 6 7 8 9–15Rj0.3 0.5 0.7 0.5 0.5 0.5 0θj/τN-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10 0我们使用第4节中a=1的Lo MacKinlay采样方案来生成采样时间（ti）ni=0和（ti）ni=0。我们将πx为π=1/4，将π变为π∈ {1/4, 1/2, 3/4}. 回想一下，πν是第ν个资产Xν发生观测缺失的可能性。π值越大，观察到的Xν越少，使得非同步程度越高。我们使用L=20作为Daubechies小波滤波器的长度，并设置GN={LτN:L∈ Z、 | l |≤ 100}. 为了进行比较，我们还计算了[21]中提出的θj的估值器，其中每一个都被定义为基于插值同步数据的相应所谓小波互协方差估值器的最大化器（我们称之为“WCCF”）。这里，计算小波互协方差估值器需要指定Daubechies小波，我们使用长度为20的最小不对称小波。我们在每个场景的三个实验条件中分别运行1000次蒙特卡罗迭代。表2报告了情景1中每个实验估计值的样本中值和中间溶质偏差（MAD）。从表2中我们可以看出，在π=1/4的情况下，两个估计器在j级准确估计真实值≤ 7.

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2022-6-1 05:56:18

从理论上讲，由于对比度函数| bρN，估计量的精度随着j的增加而下降，这是自然而然的-j+1（θ）|，θ∈ GNgets FLatter为Lj=（2j-1）（L）-1） +1增加。在π=1/2和π=3/4的情况下，WCCF估计量明显偏向于j水平≥ 3，估计量bθjstill保持良好的精度。因此，我们的新估计器可以处理具有相当高程度非同步性的高频数据，这在理论上可以从备注3中的论证中预期。表3显示了场景2中的模拟结果。

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2022-6-1 05:56:21

如表所示，波动率中存在的时间变化和杠杆效应不会影响拟议估计量的性能，这与获得的渐近理论一致。表2：场景1j 1 2 3 4 5 6 7 8中的模拟结果为真-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10π=1/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）π=1/2bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) -1 (0) -2 (0) -4 (1) -6 (3) -8（9）π=3/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) 0 (0) 0 (0) -2 (1) -4 (3) -7（9）该表报告了情景1中估计值的中位数和中位数绝对偏差（括号内）（除以τN）。表3：场景2j中的模拟结果1 2 3 4 5 6 7 8正确-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10π=1/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）π=1/2bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) -1 (0) -2 (0) -4 (1) -6 (3) -8（9）π=3/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) 0 (0) 0 (0) -2 (1) -4 (3) -6（9）该表报告了情景2中估计值的中位数和中位数绝对偏差（括号内）（除以τN）。6实证应用在本节中，我们将所提出的方法应用于美国股市的实际高频数据。我们研究在多个交易所同时交易的单个资产的报价更新之间的超前-滞后关系。当前分析选择的交易所是纳斯达克和BATS。2015年，我们重点关注纳斯达克100指数成份股，共有108项资产。源是每日TAQdatabase，其时间精度为一微秒。

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2022-6-1 05:56:24

样本期为2015年8月的整个月份，包括21个交易日。我们使用9:45至15:45之间记录的报价数据。也就是说，我们会公布开盘后的第一分钟和最后15分钟，以避免交易日开始和结束时经常观察到的异常行为。为了从报价数据构建对数价格过程，我们计算微观价格的对数（参见[13]中的等式（2.2））。如[3，20]所述，每日TAQ数据库为每条记录提供两种时间戳。一个表示交易所匹配引擎记录报价更新的时间，另一个表示证券信息处理器（SIP）处理报价更新的时间。此后，我们将前面的时间戳称为参与者时间戳，将后面的时间戳称为SIP时间戳，如下所示[3]。在本分析中，我们主要关注SIP时间戳，因为它是由NASDAQ管理的单个SIP（“NASDAQ SIP”）分配的，因此不会导致时钟同步问题。然而，我们稍后将考虑超前-滞后时间的年龄效应。为此，我们需要考虑纳斯达克SIP和各交易所之间的报告延迟，要求我们处理参与者时间戳。由于每个hexchange都有义务将其时钟与UTC同步到100us以内，因此我们将下一次的时间分辨率设置为τN=100us。然后我们取gn={-10.0ms，-9.9ms，-0.1ms，0.0ms，0.1ms，9.9ms，10.0ms}作为搜索网格。我们使用L=20作为Daubechies小波滤波器的长度。为了进行比较，我们还计算了以下两种超前-滞后时间估计值Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida（HRY）估计器【26】：该估计器被定义为网格GN上的un（θ）的最大化器：bθHRY=arg maxθ∈GN | bUN（θ）|.oDobrev Schaumburg（DS）估计量【12】：该估计量的构造如下。对于每个ν=1、2和每个t≥ 0，如果t，则设置Iνt=1∈ {tνi:i=0，1。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:56:27

. , nν}，否则Iνt=0。然后我们定义（θ）=min{n，n}∞Xk=1IkτNIkτN+θ这与确定资产价格发现实际发生的特定交易所的问题密切相关。这一问题是金融计量经济学的基本问题之一，在文献中得到了广泛的研究；见。g、 [17,18,20,34,38]。还可以合理地假设市场参与者在100us或更慢的时间尺度上作出反应，因为在此处考虑的交易所之间传输信息至少需要100us左右；参见【39】中的表2。对于每个θ∈ R、现在，DS估计器bθDS被定义为网格GN上X（θ）的最大化器：bθDS=arg maxθ∈GNX（θ）。6.1结果图1显示了bθHRY、bθj（1）的超前滞后时间估计直方图≤ j≤ 7）和Bθds108项资产，每个交易日进行评估。这里，横轴以毫秒表示，正值表示纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。我们看到，j=1、2、3级的BθJat估计值在小正值处有尖锐的峰值，而j=4、5、6、7级的估计值有两个峰值，分别位于正值和负值处。bθhry的估计值在0左右有一个峰值，但呈负偏态。BθdS的估计值在一个很小的正值处有一个非常尖锐的峰值，这表明纳斯达克在交易活动中对蝙蝠的领导是一致的。这些观察结果表明，较低水平j=1、2、3（对应于0.1ms和0.8ms之间的时间尺度）的Bθja估计值可能与BθDS的估计值有关，而较粗水平j=4、5、6、7（对应于0.8ms和12.8ms之间的时间尺度）的Bθja负估计值可能与BθHRY的估计值有一定联系。为了证实第一项索赔，我们计算了表4左面板中j=1、2、3和Bθd的Bθj估计值的汇总统计数据。

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2022-6-1 05:56:30

如表所示，BθDs的估计值集中在θ=0.3ms，其他估计值主要分布在这个提前期滞后时间附近。现在，根据[12]，我们认为0.3ms的值来自地理原因。首先，我们注意到，我们的分析基于纳斯达克SIP设置的时间戳，它们包含从每家交易所传输报价更新时的报告延迟：有关更多详细信息，请参见[3，20]。特别是表A。[3]中的1表示，由于BAT的报告延迟不同，其SIP报价更新将基本滞后于NASDAQ的报价更新，超前滞后时间约为0.2ms。为了验证这一点，我们使用参与者时间戳而不是SIP时间戳来重新评估j=1、2、3和bθds的EBθj1。结果报告在表4的右面板中。该表显示，BθDs的估计值集中在θ=0.1ms，支持上述讨论。我们推测，0.1ms的值源自纳斯达克和BATS交易所匹配引擎之间的传输时间：前者位于新泽西州卡特雷特，而后者位于新泽西州塞考克斯的Equinix数据中心。Carteret和Secaucus之间的最快传输时间估计约为0.1ms；参见【39】中的表2。现在我们来谈谈第二个要求。表5的面板A显示了j=4、5、6、7时Bθj的正负估计以及BθHRY的整体估计的汇总统计数据。在这里，表中的“斯皮尔曼”行表示斯皮尔曼的秩相关系数与BθHRY的估计值。皮尔曼秩相关系数的这些值表明，j=5、6、7时Bθj的负估计值与BθHRY的负估计值有一定的关系。

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2022-6-1 05:56:33

如果我们将重点放在基于更大样本量的估计上，这一点会更加明显：表5的面板B显示了根据超过50000个报价更新的样本计算的上述估计汇总统计数据。综上所述，我们从上述分析中推断出纳斯达克和巴特斯交易所对纳斯达克100指数资产的超前-滞后关系如下：一方面，最快的交易员对Bθdscapture跨市场交易活动的超前-滞后时间估计及其值来自两个交易所数据中心之间的地理距离。在这个最新的时间尺度上，纳斯达克交易所通常将BATS交易所置于首位。另一方面，Bθhry的超前-滞后时间估计基本上捕获了以毫秒为单位的时间尺度上相对较慢的交易者的交易活动。在这个相对粗糙的时间尺度上，蝙蝠队领先纳斯达克，尽管蝙蝠队落后纳斯达克的情况不容忽视。我们的新估计量在一定程度上成功地在不同的时间尺度上分离了这两种类型的超前-滞后关系。

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2022-6-1 05:56:36

据我们所知，这一经验观察在文献中是新的，这是我们提出的多重滞后时间估计方法首次得出的。图1:NASDAQ-100资产的每日超前滞后时间估计直方图0 50 150j=1θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.6 8.80 100 200j=2θ（ms）-9.8-6.7-4.-1.4 1 3 5.4 8.90 100 200 300j=3θ（ms）-9.9-7.-4.4-1.3 1 3 5 7.1 9.60 100 250j=4θ（ms）-10-7.-4.4-1.3 1 3 5.3 7.90 100 200j=5θ（ms）-10-6.7-4.-1.4 1 3 5 7 90 50 100 150j=6θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.1 7.6 100 20 60j=7θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5 7 90 40 80 140 HRYθ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.4 8.20 400 800DSθ（ms）-9.9-6.7-3.2-0.1 4.2 6.9 9.4该图显示了每日超前-滞后时间估计的直方图bθj（1≤ j≤ 8），bθHRYandbθDSofquote在纳斯达克和BATS交易所之间的更新，计算了2015年8月纳斯达克-100的所有组成股票。通过计算微观价格构建价格过程。横轴以毫秒表示。虚线表示0毫秒。正超前滞后时间估计意味着纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。表4:j=1、2、1、2时的bθj估计值汇总统计，3和BθDSSIP时间戳参与者时间戳j=1 j=2 j=3 DS j=1 j=2 j=3 DS1st四分位数-0.20 0.00 0.00 0.20-0.10-0.20-0.20-0.20-0.10 Median 0.20 0.30 0.20 0.30 0.10 0.00 0.103rd四分位数0.60 0.50 0.60 0.30 0.20 0.30 0.30 0.40 0.40 0.40 0.00 0.30 0.30-0.10 0.10此表报告了四分位数和每日超前-滞后时间估计的模式Bθj（j=1，2，3）和BθDS（DS）NASDAQ和BATS交易所之间的报价更新，2015年8月计算NASDAQ-100的所有组成股票。这些值以毫秒表示。正的超前-滞后时间估计意味着纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。

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大多数88

2022-6-1 05:56:40

左面板用于基于SIP时间戳的估计。右面板用于基于参与者时间戳的估计。表5：j=4、5、6、6时的Bθj估计值汇总统计，7和bθHRYPanel A：所有估计值负值j=4 j=5 j=6 j=7 j=4 j=5 j=6 j=7 hry1第一个四分位数-0.40-0.70-1.60-3.50 0.30 0.60 1.80 4.10-1.30 median-0.30-0.60-1.30-3.00 0.80 1.30 2.60 4.70-0.403rd四分位数-0.20-0.40-0.90-2.20 1.00 1.70 3.20 5.60 0.10模式-0.20-0.70-1.60-3.20 0.10 1.40 2.60 4.80 0.00Spearman 0.22 0.45 0.52 0.51-0.13-0.10-0.09-0.00 1.00#样本1188 1543 1634 1560 897 634 618 700 2268 B组：基于NASDAQ中50000多个报价更新的估计负值正值j=4 j=5 j=6 j=7 j=4 j=5 j=6 j=7 HRY1第一个四分位数-0.30-0.70-1.60-3.40 0.10 0.20 2.40 4.40-1.00 EDIAN-0.20-0.50-1.30-2.90 0.40 1.30 2.70 4.80-0.403rd四分位数Ile-0.10-0.30-0.80-2.10 0.90 1.60 3.10 5.730.00Mode-0.20-0.60-1.40-3.20 0.10 0.10 2.50 4.80 0.00Spearman 0.44 0.69 0.73 0.75-0.35-0.36-0.04 0.05 1.00#样本667 913 990 977 415 251 220 244 1223此表报告了对Bθj（j=4、5、6、7）的负估计和正估计，以及对纳斯达克和BATS交易所之间报价更新的BθHRY（HRY）的整体估计，计算2015年8月纳斯达克100指数所有成份股。正超前-滞后时间估计意味着纳斯达克领先BAT，反之亦然。四分位数和模式的值以毫秒表示。“斯皮尔曼”一行报告了斯皮尔曼的秩相关系数和BθHRY的估计值。行“#of estimates”（估计数）报告为其评估汇总统计数据的超前滞后时间估计数。面板A中的值使用所有估计值进行评估。

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2022-6-1 05:56:42

面板B中的值基于NASDAQexchange中超过50000个报价更新的样本的估计值。7结论在本文中，我们提出了一种新的估计方法，用于基于两个资产在非同步观测时的高频观测数据，对两个资产之间的超前-滞后关系进行多尺度分析。关键思想是我们新构造了逐尺度互协方差函数的估计量，我们将小波变换应用于经验互协方差函数，而不是原始观测数据。我们还发展了一个相关的渐近理论，以获得在我们之前工作中提出的建模框架中建议的估计量的一致性[21]。与文献[21]中提出的估计方法相比，新提出的方法本质上采用了与小波文献中传统方法相同的方法，因为它可以更有效地处理整个数据，所以更适合应用于不规则空间的高频金融数据。仿真研究确实表明，所提出的估计器对于非同步观测数据的性能要比之前的估计器好得多。实证结果表明，新方法可以让adeep深入了解金融市场中的高频超前-滞后关系。特别是，我们分别在较短和（相对）较粗的时间尺度上确定了两种类型的超前-滞后关系。8证明8.1命题的证明1我们首先证明一些引理。让我们设置∧∏νN=∏νN∪ {（0，tν]，（tνn，t+δ]}对于ν=1，2和￠rN=（supI∈∏N | I |）∨ （supJ∈∏N | J |）。我们用P∏（对应E∏）表示给定（ti）ni=0的条件概率（对应条件期望）。引理1。出租$∈ （0，1）并设置q=d$N e。假设θN≥ 0表示所有N。

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2022-6-1 05:56:45

然后，在命题1的假设下，有一个常数C>0，只依赖于T，π，这样E∏2πτmτNXJ∈∏N（F1I）（λ/τN）（F1J）-θN）(-λ/τN）K（I，J）-θN）-τNπτmλ<1.- e-√-1λτ-1N | I|1.- π1 - πe-√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1对于任何N∈ N、任意λ∈ R和任意I∈∏确保Tτq≤ I<I≤ T（1- τq）。证据固定λ∈ R和I∈∏n满足Tτq≤ I<I≤ T（1- τq）任意。SetJI=[J∈∏N:K（I，J-θN）=1J-θN，那么我们有2πτmτNXJ∈∏N（F1I）（λ/τN）（F1J）-θN）(-λ/τN）K（I，J）-θN）=2πτmτN（F1I）（λ/τN）N（F1[JI，I））(-λ/τN）+（F1I）(-λ/τN）+（F1[I，JI））(-λ/τN）o=：I+II+III。首先我们考虑I。我们可以将其重写为I=τN2πτmλe-√-1λτ-1N | I|- 1.1.- e-√-1λτ-1N（I-JI）.（ti）ni=0，aτ条件下-1N（I- JI）遵循几何分布，成功概率为1- π从上方被aτ截断-1镍。更精确地说，我们有p∏（aτ-1N（I- JI）=k）（πk（1- π）如果k=0，1，aτ-1NI- 1，πaτ-1NIif k=aτ-1镍。因此，我们得到∏h1- e-√-1λτ-1N（I-JI）i=1- (1 -π） aτ-1NI-1Xk=0πke-√-1λk/a- πaτ-1NIe公司-√-1λτ-1NI=1- πaτ-1NI-(1 - π)(1 - πaτ-1NIe公司-√-1λτ-1NI）1- πe-√-1λ/a+πaτ-1NI（1- e-√-1λτ-1NI）=π（1- e√-1λ/a）1- πe-√-1λ/年- πaτ-1NI1- e-√-1λτ-1NI- π（e-√-1λ/年- e-√-1λτ-1NI）1- πe-√-1λ/a+πaτ-1NI（1- e-√-1λτ-1NI）。因此，存在一个常数C>0，仅取决于T，π，因此E∏[I]-τN2πτmλe-√-1λτ-1N | I|- 1.π(1 - e-√-1λ/a）1- πe-√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N。这里，我们使用不等式| 1- e-√-1x |≤ |x |保持所有x∈ R、接下来我们考虑III。我们可以将其重写为asIII=τN2πτmλ1.- e√-1λτ-1N | I|e√-1λτ-1N（JI-（一）- 1..现在，一个与上述类似的论点得出E∏[Ⅲ]-τN2πτmλ1.- e√-1λτ-1N | I|π（e√-1λ/年- 1)1 - πe√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N，其中C>0是一个常数，仅取决于T，π。

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mingdashike22

2022-6-1 05:56:48

因此我们有E∏[Ⅲ]- E∏[I]≤ （C+C）τ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N。最后，我们得到e∏[II]=II=τNπτmλ1.- <他-√-1λτ-1N | I | I.因此，只需简单的计算即可得到所需的结果。命题1的证明。首先，类似于等式（36）形式[8]的证明，我们可以证明任何p>0时，[rpN]=O（τpN | logτN | p）（5）。特别是，假设2（i）成立。接下来，取一个常数β∈ （0，1）任意。我们用这个β证明了存在常数α，Q>1，这样假设2（ii）就成立了。为便于说明，我们假设θN≥ 0表示所有N（此假设可以轻松删除）。设置▄DNk（λ，θ）=2πτmτNXI∈∏N，J∈∏N:I∈Im（k）（F1I）（λ/τN）（F1J-θ)(-λ/τN）K（I，J）-θ).可以很容易地检查τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θN）-DNk（λ，θN）pidλ=O（τpNτ-pm）作为N→ ∞ 对于任何p>1。因此，有必要证明存在常数α，Q>1，使得τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEDNk（λ，θN）- D（λ）Qdλ=O（ταN）（6）作为N→ ∞. 对于证明，我们采用了与[8]中命题6的证明类似的策略。设$bea数，使β<$<1，并设置q=dN$e。设e为区间Iq+2（u）至少包含{ti:i=0，1，…，n}的一个点，以及{ti:i=0，1，…，n}的一个点的事件，对于everyu=0，1，bTτ-1q+2c- 1、我们有P（Ec）≤ Tτ-1q+2（πaτ-1Nτq+2+πaτ-1Nτq+2）。（7）在下文中，我们用eat表示给定事件A的条件期望∈ Z+和λ∈ R、我们设置ηNu（λ）=2πτmτNXI∈∏N，J∈∏N:I∈Iq（u）（F1I）（λ/τN）（F1J-θ)(-λ/τN）K（I，J）-θ).然后，我们分解∧DNk（λ，θN）- D（λ）为▄DNk（λ，θN）- D（λ）=EE公司（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）- D（λ）+（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qu是奇数ηNu（λ）- EE[ηNu（λ）]+（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qu为偶数ηNu（λ）- EE[ηNu（λ）]=: INk（λ）+IINk（λ）+IIINk（λ）。首先我们考虑墨水（λ）。

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2022-6-1 05:56:51

使用不等式| e√-1台- 1| ≤ |x |保持x∈ R、我们有ηNu（λ）|≤ 3(2π)-1τ-1mτN（τ-1NrN）{I∈∏N:I∈ 智商（u）}。因此，注意到ti- ti公司-1.≥ τN/a，每i=1，n- 1，我们得到|ηNu（λ）|≤ 3(2π)-1aτ-1mτq（τ-1NrN）。（8）因此，我们有（5）和（7）EE公司（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）- E（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）= Oτmτ-1季度E[τ-1mτq（τ-1NrN）]P（Ec）+E[τ-1mτq（τ-1NrN）Ec]= OτNE【rN】P（Ec）+qE【rN】pP（Ec）= O|对数τN |τ-1q+2qπaτ-1Nτq+2+πaτ-1Nτq+2作为N→ ∞ 在λ和k中一致。此外，引理1，（5）和（8）表示（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）=τNπτmλ<EXI∈∏N:I∈Im（k）1.- e-√-1λτ-1N | I|1.- π1 - πe-√-1λ/年+ O（τ$-βN | logτN |）在λ和k中均匀分布。因为aτ-1N（ti- ti公司-1）是i.i.d.变量，其分布为成功概率为1的几何分布- π、瓦尔德认同感（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）=τNπτmλ<“Eh#{I∈∏N:I∈ Im（k）}i（1- π)(1 - e-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）#+O（τ$-βN | logτN |）=D（λ）+O（τ$-βN | logτN |）在λ和k中均匀分布。因此，我们得到|墨水（λ）| p= |油墨（λ）| p=O（τ($-β） pN | logτN | 2p）在λ和k中均匀分布，对于任何p>1。接下来我们考虑IInk（λ）。通过构造（ηNu（λ））u:oddis有条件地独立于E。因此，Burkholder-Davis-Gundy不等式，（5）和（7）–（8）yieldehIINk（λ）pi=O（τmτ-1季度）p/2小时τ-1mτq（τ-1NrN）圆周率= O(τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p对于任何p>1，在λ和k中一致。此外，（7）–（5）表示EEc[| IINk（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。因此，我们得到E[| IINk（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。一个类似的参数产生E[| iink（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。毕竟，我们有τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θN）- D（λ）pidλ=O（τ($-β） p/2N | logτN | 2p）对于任何p>1。现在我们取Q>1，这样（$- β） Q>4并设置α=（$- β）问题4。

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2022-6-1 05:56:54

然后（6）保持。8.2定理1的证明首先，我们注意到，例如在[21]第7.3节开头提出的标准本地化程序允许我们假设存在一个常数K>0，使得|σt |+|σt |≤ K、 |σt- σs |+|σt- σs |≤ K | t- s |γ（9）对于任何t，s≥ 在整个验证过程中为0。接下来我们介绍一些符号。对于每个k∈ Z+和θ∈ (-δ、 δ），we setbUNk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）X（I）X（J）k（I，J）-θ）如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）X（I）X（J）k（Iθ，J）如果θ<0且Cnk（θ）=（σkτmσ（kτm+θ-rN）+ifθ≥ 0，σ（kτm-θ-rN）+σkτmifθ<0andeUNk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）B（I）B（J）k（I，J）-θ）如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）B（I）B（J）k（Iθ，J）如果θ<0且Unk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）E∏B（I）B（J）K（I，J-θ）如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）E∏B（I）B（J）K（Iθ，J）如果θ<0，其中E∏表示给定的条件期望（ti）ni=0和（tj）nj=0。对于随机变量Y和p>0，我们设置kY kp，π=（E∏[| Y | p]）1/p。此外，我们还用kY kψ表示，基于函数ψ（x）=ex-1关于给定的条件概率∏：kY kψ，∏：=infC>0:E∏ψ|Y | C≤ 1..在本小节中，我们编写了一个。b对于两个实数a，b如果a≤ Cb对于某些常数C>0，仅依赖于K引理2。在定理1的假设下，存在一个常数C>0，仅依赖于K，这样铺位（θ）- cNk（θ）eUNk（θ）ψ,Π≤ C（τm+rN）1+γ，对于任何N∈ N、 k级∈ Z+和θ∈ (-δ, δ).证据根据对称性，考虑θ的情况就足够了≥ 0.首先，我们将[24，25]中使用的所谓简化程序应用于（I）I的每一个实现∈πNand（J-θ） J∈πN（另见文献[8]中引理2的证明）。我们定义了一个新的分区∏Nas如下：I∈∏Nif且仅当I∈ 与∏有非空交点，与∏有两个不同的间隔，也没有J∈ πn确保I是包含在J中的∏n的所有区间的并集。

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2022-6-1 05:56:57

我们还定义了一个新的分区∏Nas，如下所示：J∈∏Nif且仅当J∈ ∏与J-θ与∏有两个不同区间的非空交点，也没有I∈ ∏确保J是J的所有间隔的并集∈ ∏确保J-θ包含在I中。由于双线性，在这个过程中，bunk（θ）和bunk（θ）都是不变的。由于其定义，此应用程序也会更改RNI。此外，通过构造，我们得到了maxj∈∏NXI∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3，最大值∈∏NXJ∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3、因此，为了证明，我们可以将（∏N，πN）替换为（∏N，∏N）。这允许我们假设Maxj∈∏NXI∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3，最大值∈∏NXJ∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3.（10）在整个证明过程中，不丧失一般性。我们转向证据的主体。我们将目标量分解为bunk（θ）- cNk（θ）eUNk（θ）=XI，J:I∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBsX（J）+σkτmB（I）ZJ（σs- σ（kτm+θ-rN）+）dBsK（I，J-θ） =：AN+BN。让我们考虑一个。对于每个p≥ 1，Minkovski和Schwarz不等式yieldkANkp，∏≤十一、 J：我∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBsX（J）p、 ∏K（I，J-θ)≤十一、 J：我∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBs2p，πX（J）2p，∏K（I，J-θ).因此，[2]和（9）中的命题4.2暗示Kankp∏。pXI，J:I∈Im（k）supkτm≤s≤（k+1）τm+rN |σs- σkτm|2p，∏p | I | J | K（I，J-θ). p（τm+rN）γXI，J:I∈Im（k）（| I |+| J |）k（I，J-θ).因此，我们得到了kANkp，π。p（τm+rN）1+γ乘以（10）。因此，我们得出kANkψ，π。（τm+rN）1+γ，根据[41]中的命题2.7.1。根据对称性，我们也有kBNkψ，π。（τm+rN）1+γ。这就完成了预防。引理3。对于任何I∈ ∏与J∈ πN，| E∏[B（I）B（J）]|≤N+1Xj=1N-j+1（| I |∧ |J |）ZI-J+θjI-J+θJ |ψLP（2N-j+1t）| dt。证据由于B具有交叉谱密度fN，因此e∏[B（I）B（J）]=2πZ∞-∞（F1I）（λ）（F1J）(-λ） fN（λ）dλ=2πN+1Xj=1RjZ∞-∞（F1I）（λ）（F1J）(-λ） e类-√-1θjλ∧N-j+1（λ）dλ=2πN+1Xj=1RjZ∞-∞（F[1I* 1.-J] ）（λ）e-√-1θjλ∧（λ/2N-j+1）dλ，其中* 表示卷积。

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2022-6-1 05:57:00

因此，Parseval的恒等式yieldsE∏[B（I）B（J）]=N+1Xj=1Rj·2N-j+1Z∞-∞（1I* 1.-J）（t- θj）ψLP（2N-j+1t）dt=N+1Xj=1Rj·2N-j+1Z∞-∞|我∩ （J）- θj+t）|ψLP（2N-j+1t）dt。自| I起∩ （J）- θj+t）|≤ |I |∧ |J |和I∩ （J）- θj+t）6= 除非我- J+θJ≤ t型≤ 我- J+θJ，我们得到了期望的结果。引理4。在定理1的假设下，有一个普适常数C，使得eUNk（θ）- UNk（θ）ψ,Π≤ Cφ，对于任意N∈ N、 k级∈ Z+和θ∈ (-δ、 δ），式中φN：=qrN（τm+rN）1+rNτ-1N |对数τN|.证据同样，根据对称性，有必要考虑θ的情况≥ 此外，在引理2的证明中，我们可以假设（10），而不丧失一般性。设置ZN：=（B（I））I∈∏N:I∈Im（k），B（J））J∈∏N:J∈Im（k））>，andAN=0 KNK>N！，KN=（K（I，J-θ） /2）（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k），其中▄Im（k）=Im（k）+θ-注册护士。那么我们有了unk（θ）-UNk（θ）=Z>NANZN-E∏[Z>NANZN]。因此，通过[21]中的引理13，有一个普适常数c>0，使得keunk（θ）- UNk（θ）kψ，π≤ cqE∏[| eUNk（θ）- UNk（θ）|]。设∑Nbe为zn的∏条件协方差矩阵，设CN=∑1/2NAN∑1/2N。那么我们有e∏[| eUNk（θ）- UNk（θ）|]=2kCNkF，其中k·kf表示矩阵的Frobenius范数。因此，一旦我们证明KCNKF≤ cφN（11），对于某些普适常数c＞0。根据[27]和（10）中的定理5.6.9，我们得到了kANksp≤. 因此，[9]yieldkCNkF附录ii中的不等式（ii）–（iii）≤k∑NkF=XI∈∏N:I∈Im（k）E∏B（一）+XJ公司∈∏N:J∈Im（k）E∏B（J）+X（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）≤rN（τm+rN）+X（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）.通过引理3和两次使用Schwarz不等式，我们得到E∏B（I）B（J）≤ （N+1）N+1Xj=1N-j+1（| I |∧ |J |）（| I |+| J |）ZI-J+θjI-J+θJψLP（2N-j+1t）dt≤ 2（N+1）rNN+1Xj=1N-j+1 | I | ZI-J+θjI-J+θJψLP（2N-j+1t）dt。因此我们有x（I，J）：I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）≤ 2（N+1）rN（τm+rN）N+1Xj=1N-j+1≤ 8（N+1）rN（τm+rN）τ-1N。这就完成了（11）的证明。引理5。

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