无套利和超前-滞后关系

2022-6-2 19:59:51

无套利和超前滞后关系*+Yuta Koike§+P2017年12月29日摘要一对资产回报之间存在时滞互相关，称为超前滞后关系，是金融经济指标中一个众所周知的程式化事实。最近有人提出了一些连续时间模型来考虑超前-滞后关系。只要存在超前-滞后关系，这种模型就不允许半鞅，因此它允许无市场摩擦的轨道。在本文中，我们证明，如果我们考虑市场摩擦，例如后续交易的最小等待时间或交易成本，它们是没有套利的。关键词：套利；Cheridito类；有条件的完全支持；离散交易；超前-滞后关系；交易成本。1简介金融中无套利被视为金融市场的固有属性之一。对于理想化市场，没有套利的特点是存在一个等价的鞅测度（参见Delbaen和Schachermayer[15]）。因此，在这种市场中，价格过程必然遵循无套利假设下的半鞅，因为半鞅性质在测度变化下是不变的。然而，实证研究偶尔会提出一些证据来证明这一结论。多个资产回报之间存在的交叉相关性，即所谓的超前-滞后关系，是此类证据中的代表性现象之一。长期以来，金融市场超前-滞后关系的实证研究一直受到金融计量经济学的关注。一个值得注意的例子是股票指数和指数期货之间的领先-滞后关系，在这里，许多作者报告说，未来领先于指数（参见。

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2022-6-2 19:59:54

[8, 14, 27, 33, 50]). 更一般而言，资产及其衍生产品之间的超前-滞后关系已在多篇文章中进行了研究，如【5，13】。此外，人们普遍认为，大型企业的回报往往会导致小型企业的回报（参见[12、36、42]）。此外，Ren\'o【43】指出*庆应义塾大学工商管理研究生院，4-1-1 Hiyoshi，横滨223-8526，日本+东京都会大学社会科学研究生院工商管理系，丸内町大厦18楼，1-4-1丸内町，Chiyoda ku，Tokyo 100-0005日本CREST，日本科技厅§东京大学数学科学研究生院，3-8-1小坂，东京美谷153-8914日本P统计数学研究所，10-3 Midori cho，Tachikawa，Tokyo 190-8562，Japanout超前-滞后关系在解释Epps效应中起着关键作用，另一个以Epps命名的著名经验事实【16】。填补上述理论含义和实证建议之间差距的一种常见方法是考虑各种市场摩擦。交易时间的离散性是此类摩擦的主要来源之一，文献对此进行了深入研究。该领域的先驱工作是Cheridito[9]，该研究表明，如果我们对后续交易施加（常数）最小等待时间，则（几何）分数布朗运动（fBm）模型不允许套利。由于除非赫斯特指数为1/2，否则离岸价格指数不是半鞅，因此该结果超出了无摩擦市场无套利的传统特征的范围。Jarrow等人将这种限制类型的交易策略称为“Cheridito类”。

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2022-6-2 19:59:57

[29]，他们提供了一个市场特征，该市场由一个无风险资产和一个风险资产组成，不允许在Cheridito类别中进行套利（参见[29]中的引理1]）。这一结果已扩展到Sayit中多风险资产的情况【47】。还有一些文章试图放宽对后续事务施加最小等待时间的要求。例如，Bender等人[4]引入了一类新的策略，称为延迟简单策略，粗略地说，它允许后续交易的最小等待时间在某种程度上是随机的。他们给出了延迟简单策略类中无套利市场的特征。更广泛地说，本德（Bender）[2]承认了所有简单的策略，并给出了此类类别中无套利的特征。市场摩擦的另一个主要来源是交易成本的存在。对于离散时间模型，Kabanov和Stricker【32】、Kabanov等人【30】和Schachermayer【49】已经建立了交易成本下无套利的充分表征。对于连续时间模型，Guasoni[19]为市场在恒定比例交易成本下无套利提供了充分条件。作为一个特例，它表明几何fBm模型在交易成本下没有套利。【19】的结果由几位作者进一步证实，如【3、20、21、22、48】。特别是，Guasoni等人[22]证明了在连续和一种风险资产情况下，在不稳定的比例交易成本下资产定价的基本定理的一个版本。Guasoni等人。

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2022-6-2 20:00:00

[20] 将这一结果推广到价格过程可能不连续且交易成本不恒定的情况。然而，据我们所知，没有研究在市场摩擦下具有超前-滞后关系的市场模型的无套利性质的工作。本文的目的是阐明这个问题，我们特别关注连续时间模型。最近，Hoffmann等人[26]提出了连续时间的超前-滞后模型（另见Robert和Rosenbaum[45]），该模型基于布朗运动驱动的建模，并将传统It^o过程作为特例包含在内，因此它很容易与传统的数学金融理论兼容。随后，几位学者（如[1、5、7、27]对相关模型进行了实证研究，以及[6、11、23、24、34、35]从统计学角度对相关模型进行了研究，但在数学金融方面没有任何工作。我们打算在这项工作中弥合这两个领域之间的差距。本文的组织结构如下。第2节简要回顾了现有文献中市场摩擦下的一些无套利结果。第3节介绍了本文获得的主要结果。所有的证据都收集在第4节。x的符号=（x，…，xd）∈ Rd，我们用kxk表示x的欧几里德范数，即kxk=Pdi=1（xi）。Lebesgue表示R上的Lebesgue测度。对于拓扑空间Ξ，我们写B（Ξ）是Ξ的Borelσ场。给定d维过程X=（Xt）t∈[0，T]，我们用Xi=（Xit）T表示X的第i分量过程∈[0，T]对于每i=1，d、 2市场摩擦下的无套利：回顾我们考虑一个贴现市场，其中一个是无风险资产，另一个是在有限时间范围内交易的风险资产[0，T]。无风险资产被用作一个数字，因此被假定为始终等于一。

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何人来此

2022-6-2 20:00:04

风险集由d维随机过程S=（St）T建模∈[0，T]在过滤概率空间中定义(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）满足过滤的完整性和正确连续性的通常条件。我们假设S是c`adl`ag，适用于具有简单策略的F.2.1交易。首先，当我们将可接受策略的类别限制为离散时，我们回顾了一些无套利结果。我们提到Bender等人[4]的第3.3–3.4节为单变量情况下的这一主题提供了极好的调查（和一些原始结果），重点是由（混合）分数布朗运动驱动的模型。定义2.1。（a） d维过程Φ=（Φt）t∈如果其形式为ΦT=φ{0}（T）+n，则称之为简单策略（关于F）-1Xj=0φj（τj，τj+1）（t），t∈ [0，T]，（2.1），其中n∈ N、 0=τ≤ τ≤ · · · ≤ τnare a.s.有限F-停止时间，φjis a d维Fτj每j=0，1，…，可测量的随机向量，n、我们用S（F）表示关于F的所有简单策略集。（b）如果存在常数h>0，使得τj+1，则称形式（2.1）的简单策略Φ属于cheridto类（关于F）- τj≥ h对于所有j=0，1，n- 我们用L（F）表示属于Cheridito类的关于F的所有简单策略集。备注2.1。“Cheridito类”这个名字是Jarrow等人的作品【29】，它来自Cheridito的开创性工作【9】：见备注2.2。在本文中，我们只考虑了自我融资策略。由于市场已经贴现，这意味着形式（2.1）的简单策略Φ的价值过程与初始资本v∈ R是给定的yvt（Φ；v）=v+n-1Xj=1φj（St∧τj+1- St公司∧τj），t∈ [0，T]。定义2.2。如果P（VT（Φ；0），一个简单的策略Φ称为套利≥ 0）=1和P（VT（Φ；0）>0）>0。备注2.2。

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大多数88

2022-6-2 20:00:07

Cheridito[9]已经证明，（几何）分数布朗运动模型的Cheridito类中没有套利。现在，我们提出了一个充分的条件，让市场在Cheridito类中没有套利，Sayit[47]对此进行了调查。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维c\'adl\'ag F适应过程。对于任意两个停止时间τ，τ使得τ≤ τa.s.，我们设置a+i={Xiτ<Xiτ}，a-i={Xiτ>Xiτ}，i=1，d、定义2.3。我们说，对于任何h，X满足关于L（F）的联合F条件上下（CUD）条件∈ （0，T）和任意两个停止时间τ≤ 带τ的τ≥ τ+h a.s.，和任何B∈ Fτ，当P（B）>0时，以下保持sp\\我∈IBAαii∩ B> 0，每当IB6=, 其中α，αd∈ {+, -} IBis是所有k的集合∈ {1，…，d}使得P（{Xkτ6=Xkτ}∩ B） >0。备注2.3。Jarrow等人【29】首次将上述情况考虑到单变量情况。Bender等人将“CUD条件”命名为“CUD条件”。Sayit【47】已经证明，该条件对于Cheridito类别中没有套利是足够的：命题2.1（【47】，命题1）。如果S满足关于L（F）的联合F-CUD条件，则Cheridito类中不存在套利。备注2.4。在d=1的情况下，命题2.1的相反情况也适用于[29]的引理1。然而，当d>1时，命题2.1的逆命题不一定成立；见【47】第617页。我们注意到，联合F-CUD条件在严格单调函数的分量变换下是不变的：命题2.2（[47]，命题2）。对于每个i=1，d、让fi：R→ R是严格单调函数。当且仅当d维过程（F（St）。

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大多数88

2022-6-2 20:00:11

，fd（Sdt））（t∈ [0，T]）满足关于L（F）的联合F-CUD条件。最后，我们对简单策略的无套利结果做了一些评论。备注2.5。Bender[2]已经给出了一个必要且充分的条件，当S连续时，市场S在所有简单策略的S（F）类中不存在任何风险。此外，利用Bender[2]的结果，Peyre[41]证明了分数布朗运动市场在S（F）类中不存在套利。2.2交易成本下的交易在考虑交易成本的情况下，我们审查了一些无套利结果。这里，我们关注恒定比例交易成本，并采用Guasoni[18]的设置（另请参见[19，48]）。关于这一主题的综合论述，请参见【31】。在本小节中，我们假设S是准左连续的（参见第一章，定义2.25 of[28]）。设ε>0。对于d维左连续F自适应过程Φ=（Φt）t∈[0，T]通过细分，我们用ε-交易成本（零初始资本）定义Φ的价值过程，vεT（Φ）=dXi=1ZtΦisdSis-dXi=1εZTSISSDTV（Φi）s+ε|Φit | Sit, t型∈ [0，T]。这里，对于每个i=1，d、 TV（Φi）=（TV（Φi）t）t∈[0，T]是Φi的总变化过程，积分Φisdsis定义见[18]的定义2.2。定义2.4。设ε>0，Φ为具有有限变化的d维左连续F适应过程。（a）如果存在常数M>0，使得vεt（Φ），则Φ称为ε-交易成本的容许策略≥ -所有t类硕士∈ [0，T]。我们用ε交易费用写出了所有可容许策略的ε类。（b）如果P（VεT（Φ），Φ称为ε-交易成本的套利≥ 0）=1，P（VεT（Φ）>0）>0。备注2.6。

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2022-6-2 20:00:14

上述定义中可容许策略的左连续性可以放宽到可预测性，因为对于任何F-可预测过程Φ=（Φt）t∈[0，T]通过有限的变化，它认为VεT（Φ）=VεT（Φ-) a、 s.适用于所有t∈ [0，T]和ε>0，根据[18]的命题2.5，其中Φ-= （Φt-)t型∈[0，T]。现在，我们给出了一个充分条件，对于任何ε>0的ε-交易成本为a类ε的S没有套利，这称为粘性。定义2.5。d维c ` adl ` ag F自适应过程X=（Xt）t∈如果对于任何T，则称[0，T]为粘性（相对于F）∈ [0，T）和δ>0，Pd\\i=1（supu∈[t，t]|秀- Xit |<δ）| Ft！>0 a.s.上述粘性定义源于Bender等人的定义2.2。然而，正如【3】中备注2.1所指出的，这一定义相当于Sayitand Viens中的联合粘性概念【48】。更准确地说，我们有以下结果：引理2.1（[3]，引理3.1）。如果一个d维c`adl`ag F自适应过程X=（Xt）t∈[0，T]是粘性的，对于任何F-停止时间τ：Ohm → [0，T]和任何Fτ-可测非负随机变量η，我们有Pd\\i=1（supu∈【τ，T】|秀- Xit |<η）| Fτ！>0 a.s.{η>0}。备注2.7。粘性最初是在Guasoni[19]对单变量情况的定义2.2中引入的。还表明分数布朗运动是粘性的（文献[19]的命题5.1）。引理2.1和[48]的命题2暗示，粘性在连续变换下是不变的：命题2.3。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维c\'adl\'ag F适应过程。同样，让f:Rd→ Rdbe是一个连续函数，定义d维过程Y=（Yt）t∈[0，T]y=f（Xt，…，Xdt），T∈ [0，T]。如果X是粘性的，那么Y也是粘性的。注意到上述结果，我们从Sayit和Viens[48]的命题1得到以下结果：命题2.4。

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2022-6-2 20:00:17

假设Sit>0，然后Sit-> 每i=1，…，0，d和每个t∈ [0，T]。如果S是不确定的，则S在所有ε>0的情况下，ε-交易成本都在A类ε中，没有套利。接下来，我们回顾了一致价格体系（CPS）的概念，它在考虑具有比例交易成本的模型时起着重要作用。定义2.6。设ε>0。d维F适应过程M=（Mt）t∈如果以下条件成立，则称为S的ε-一致价格体系（ε-CPS）：（i）我们有SIT1+ε≤ 麻省理工学院≤ （1+ε）Sita。s、对于任何i∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]。（ii）存在概率度量Q(Ohm, F）等价于P，使得M是Q下的d维Fmartingale。正如Guasoni等人[21，22]所讨论的那样，CPS的存在为解决任意性和超复制问题提供了有用的工具。作为一个例子，我们证明了C-P的存在意味着在无风险意义上没有套利。定义2.7。设ε>0。具有有限变量的d维左连续F适应过程Φ称为ε-交易成本在无干扰意义下的容许策略，如果常数TM>0，则Vεt（Φ）≥ -M（1+Pdi=1Sit）a.s.适用于所有t∈ [0，T]。我们将ε-交易成本写为无风险意义下的所有可采策略的类。有关可接受策略定义的讨论，请参见【21】的备注2.17。下面的结果来自于[19]的引理2.1和[51]的定理2.6：命题2.5。假设每i=1，…，Sit>0，d和每个t∈ [0，T]。如果S对某些ε>0有一个ε-CPS，那么S就没有ε-交易成本在类▄Aε中的套利。备注2.8。对于值过程Vε（Φ）和可容许类aε的定义略有不同，Guasoni等人【22】表明，命题2.5的相反定义也适用于d=1的情况。最后，我们指出Bender等人。

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nandehutu2022

2022-6-2 20:00:20

[3] 已经证明，只要S是连续的，粘性就足以证明Cps的存在：命题2.6（[3]，定理2.1）。假设S是连续的。如果S是粘性的，那么S对于任何ε>0.2.3的条件完全支持性质都有ε-CPS。在前面的小节中，我们看到联合F-CU D条件（分别为粘性）对于在Cheridito类中没有套利的市场（分别为在比例交易成本下）是足够的。在这一小节中，我们给出了一个方便的性质，它同时暗示了联合F-CUD条件和粘性。在本小节中，我们不要求过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）满足通常的假设。对于-∞ < a<b<∞, 我们用C（[a，b]，Rd）表示从[a，b]到Rd的所有连续函数的空间，具有统一的拓扑结构。此外，我们设置Cx（[a，b]，Rd）={f∈ C（[a，b]，Rd）：f（a）=x}表示x∈ Rd.让我们回顾一下在度量空间上定义的概率度量支持度的概念：定义2.8。设Ξ为可分度量空间。对于（Ξ，B（Ξ））上的概率度量u，u的支持度定义为Ξ的最小闭集C，使得u（C）=1（根据第二章，定理2.1，这样的集C总是存在的）。我们用suppu表示u的支持。现在，我们介绍条件完全支持属性的概念：定义2.9。一个d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈据说[0，T]对F ifsupp LP（（Xt）T）具有条件完全支持（CFS）∈[t，t]| Ft）=任何t的CXt（[t，t]，Rd）a.s∈ [0，T），其中LP（（Xt）T∈[t，t]| Ft）表示（Xt）t的正则条件律∈P下的[t，t]onC（[t，t]，Rd），给定Ft。我们在表1中列出了一些具有CFS的过程（在一些合理的假设下）。如[39]所述（见[39]的备注2.4（ii）），CFS属性等同于所谓的条件小球属性：引理2.2。

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2022-6-2 20:00:23

对于d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈[0，T]，以下两个条件是等效的：（i）X具有关于F的CFS。（ii）对于任何T∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，Rd）和ε>0，Psupt∈[t，t]kXt- Xt公司- f（t）k<ε| Ft！>现在，[47]的命题3和[3]的备注2.2得出以下结果：命题2.7。如果d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈[0，T]对于F具有CFS，那么X满足联合F-CUD条件，并且对于F具有粘性。为了结束本节，我们列举了一些关于CFS性质的有用结果。第一个结果是上述引理和引理[37]中的引理2.2的直接结果：引理2.3。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维连续F-适应过程。设G=（Gt）t∈[0，T]是F的过滤，以便Ft GT适用于所有t∈ [0，T]。然后，如果X具有与G相关的CFS，则X具有与F相关的CFS。下一个是引理2.3的多元扩展，引理来自【37】，该引理表明CFS属性在以通常方式增加过滤的情况下是可变的（参见【44】第45页，了解通常增加过滤的定义）。这个证明是原始证明的简单扩展，我们省略了它。引理2.4。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维连续F-适应过程。然后，X有关于F的CFS当且仅当它有关于F的通常增广的CFS时。第三个是引理3.1的直接多元扩展。对于d维进程X=（Xt）t∈[0，T]我们写FX=（FXt）T∈[0，T]X.引理的自然过滤2.5。设X=（Xt）t∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]是d维连续过程，可能定义在不同的概率空间上。

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nandehutu2022

2022-6-2 20:00:26

如果X和Y在C（[0，T]，Rd）上的定律相等，那么X有关于FXif的CFS，并且仅当Y有关于FY的CFS。最后一个是引理3.2从[17]的简单多元扩展（另见[39]的备注2.4（iii））：引理2.6。设X=（Xt）t∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]是相互独立的d维连续自适应过程。如果X对外汇有CFS，那么X+Y对其自然过滤也有CFS。3具有超前-滞后关系的无套利3.1 Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型Hoffmann等人【26】提出了一种新的连续时间模型，用于建模超前-滞后关系。粗略地说，他们的模型由一个半鞅和另一个“延迟”半鞅组成。在下文中，我们对本文重点关注的模型的简化版本进行了更精确的描述。设B=（Bt）t∈[0,∞)B=（Bt）t∈[0,∞)是两个标准的布朗运动，使得e[（Bt- Bs）（Bt+θ- Bs+θ）]=0的Ztsρ（u）du≤ s<t<∞, 式中θ≥ 0和ρ：[0，∞) → [-1，1]是一个确定性函数。从形式上讲，可以按以下方式构建此类和B。设Wk=（Wkt）t∈[0,∞), k=0，1，2，3，是相互独立的标准维纳过程。我们定义了工艺带Bby（Bt=Rtsign（ρ（u））p |ρ（u）| dWu+Rtp1- |ρ（u）| dWu，Bt=Wt∧θ+R（t-θ） +p |ρ（u）| dWu+R（t-θ） +p1- |ρ（u）| dWu（3.1）表1：具有CFS的过程（在一些合理的假设下）过程源单变量过程分数布朗运动Guasoni等人[21]，命题4.2综合过程Guasoni等人[21]，引理4.5Brownian移动平均Cherny[10]，定理1.1It^o过程Pakkanen[37]布朗半平稳过程Pakkanen[38]，推论3.1具有固定增量的高斯过程Gasbarra等人【17】，定理2.1多元过程扩散过程Guasoni等人。

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2022-6-2 20:00:30

[21]，示例4.1可能具有不同赫斯特参数的独立FBM Sayit和Viens[48]，命题3多维It^o过程Herczegh等人[25]，定理2多元布朗移动平均Pakkanen等人[39]，定理2.7≥ 0、检查这些频带是否符合所需频带并不困难。现在，对于每个ν=1，2，第ν个风险资产的（贴现）对数价格过程由xνt=Aνt+Ztσν（u）dBνu，t给出∈ [0，T]，其中σν∈ L（0，T）和Aν=（AνT）T∈[0，T]是一个连续的过程。在原始文献[26]中，假设过程Aν是有限变化的，但在本文中，我们将假设Aν独立于过程B。让我们考虑二元过程X=（X，X）。作为过滤F，我们考虑通常的外汇增持。以下命题建立了关于F命题3.1的X的CFS性质。假设过程A=（A，A）独立于B。也假设Leb（{t∈[0，T]：σν（T）=0}）=0表示ν=1、2和Leb（{T∈ [0，T]：|ρ（T）|=1}）=0。然后，过程X具有关于F的CFSwith。让我们回顾一下，对于每一个ν=1，2，第ν-th风险资产的（贴现）价格过程由vνt=exp（Xνt），t给出∈ [0，T]。将上述命题与P命题2.1–2.3和2.5–2.7相结合，我们得到了Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型的以下无套利性质：定理3.1。在命题3.1的假设下，以下陈述成立：（a）市场S在Cheridito类中没有套利。（b）对于任何ε>0的市场，S都有一个ε-CPS。

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2022-6-2 20:00:33

因此，对于任何ε>0.3.2且具有一般超前滞后结构的布朗运动，S在类Aε中没有ε-交易成本的套利。为了扩展Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型，Hayashi和Koike【23】研究了两个布朗运动的可能超前滞后结构，并得出以下结果：命题3.2（【23】，命题2）。假设一个可测函数f:R→ C满意KFK∞≤ 1（3.2）和f（λ）=f(-λ）几乎所有λ∈ R、（3.3）然后有一个二元高斯过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R）具有固定增量，使得（i）两个带裸露的双边布朗运动，（ii）f是B的交叉谱密度。也就是说，EBTB=2πZ∞-∞（e）-√-1λt- 1）（e）√-1λs- 1）任意t，s的λf（λ）dλ∈ R、相反，如果一个二元过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R）当平稳增量满足条件（i）时，有一个可测函数f:R→ C满足（3.2）–（3.3）和条件（ii）。本小节的目的是提供一个充分的条件，使由上述命题所述过程B驱动的市场在市场摩擦下无套利。更正式地说，设f是满足（3.2）–（3.3）和Bt=（Bt，Bt）（t）的可测函数∈ R）是一个具有满足条件（i）–（ii）的静态增量的二元高斯过程。我们考虑具有两项风险资产的市场，其中第ν项风险资产的（贴现）对数价格过程由xνt=Aνt+σνBνt，t给出∈ [0，T]（3.4），σν>0且Aν=（AνT）T∈[0，T]是每个ν=1，2的连续过程。因此（折扣）价格过程S=（St）t∈风险资产的[0，T]由SνT=exp（XνT），T给出∈ [0，T]对于每个ν=1，2。作为过滤F，我们采用过程X=（X，X）的自然过滤的通常增强。提案3.3。假设过程A=（A，A）独立于B。也假设z∞λlog（1- |f（λ）|）λdλ>-∞ （3.5）对于某些λ>0。

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2022-6-2 20:00:36

那么，过程X具有关于F的C FS。备注3.1。（3.5）islim supλ的充分条件→∞|f（λ）|<1。在信号处理语言中，| f（λ）|被称为相干性，并用作频带B之间频率相关性的度量。因此，上述条件可以解释为要求两个过程在高频下不应完全相关。现在，类似于上一小节，我们得到以下结果：定理3.2。在命题3.3的假设下，以下陈述成立：（a）市场S在Cheridito类中没有套利。（b）对于任何ε>0的市场，S都有一个ε-CPS。因此，对于任何ε>0的情况，S在ε-交易成本为~Aε的情况下没有套利。作为特例，我们得到了[23，24]中考虑的模型的无套利性质。在这些论文中，为了考虑金融市场的潜在多尺度结构，考虑了以下交叉谱密度：f（λ）=∞Xj=0Rje-√-1θjλ∧j（λ），λ∈ R、其中Rj∈ [-1，1]，θj∈ R和∧j=[-2jπ，-2j-1π) ∪ （2j-1π，2jπ]对于j=0，1。在这种情况下，当lim supj→∞|Rj |<1.4证明4.1命题证明3.1首先，通过引理2.4，足以证明X具有关于FX的CFS。此外，通过引理2.6，我们可以假设≡ 0而不丧失通用性。此外，由于引理2.5，为了证明我们可以考虑过程B带的特殊实现，因此我们考虑（3.1）给出的实现。确定双变量过程Y=（Yt）t∈[0，T]和Z=（Zt）T∈[0，T]byYt=YtYt=Rtσ（u）p1- |ρ（u）| dWuRt∧θσ（u）dWu+R（t-θ） +σ（u）p1- |ρ（u）| dWu！和Zt=Xt- Ytfor t公司∈ [0，T]。通过构造，Y和Z是独立的。因此，通过引理2.6证明Y相对于FY具有CFS。设置gt=σ（Wu:u≤ t）∨ σ（Wu∧θ： u型≤ t）∨ σ（W（u-θ） +：u≤ t），t∈ [0，T]，我们有FYt GT每t∈ [0，T]。

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2022-6-2 20:00:39

因此，通过引理2.2–2.3，足以说明PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| Gt！>任何t均为0 a.s∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，R）和ε>0。自（年初至今）- Yt）t∈[t，t]独立于Gt，这源于PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε！>由于Yan和Y之间的独立性，一旦我们证明了psupt，我们就得到了这个不等式∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<ε！>0（4.1）表示ν=1，2，其中fν表示f的第ν个分量函数。此外，我们可以很容易地看到，考虑t=0的情况是不够的。然后，（4.1）对于ν=1，立即遵循[37]中的引理3.1。此外，如果θ≥ ν=2的T，（4.1）也来自于[37]的引理3.1，因为Yt=Rtσ（u）dWuforall T∈ [0，T]。否则，请注意PSUPT∈[0，T]| Yt- Y- f（t）|<ε！≥ Psupt公司∈[0,θ]Ztσ（u）dWu- f（t）<ε!×Psupt∈[0，T-θ]Ztσ（u）p1- |ρ（u）| dWu- {f（t+θ）- f（θ）}<ε!,通过[37]中的引理3.1，我们再次得到了ν=2的（4.1）。4.2命题证明3.3引理4.1。设Y=（Yt）t∈[0，T]是一个d维连续随机过程，使得Y，Ydare独立。那么，Y有关于FYif的CFS，并且只有当Yν有关于FYif的CFS，对于所有ν=1，d、证明。“如果”部分是显而易见的，因此我们证明了“只有如果”部分。通过引理2.2，it足以证明∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| FYt！>任何t均为0 a.s.（4.2）∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，Rd）和ε>0。对于每个ν=1，d、我们用fν表示f的ν-th坐标函数。此外，Fν表示由过程Yν生成的σ场。由于Y，我是独立的，我们有PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| FYt！≥ Pd\\ν=1（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| FYt！=E“Pd\\ν=2（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| FYt∨ Fnsupt公司∈[t，t]| Yt-年初至今-f（t）|<εdo | FYt#=Pd\\ν=2（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| d\\uν=2FYνt！Psupt公司∈[t，t]| Yt- 年初至今- f（t）|<εd | FYt！=·····=dYν=1支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd | FYνt！，因此，对于每个ν=1，…，Yν相对于FYν的C FS性质。

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2022-6-2 20:00:42

. , d收益率（4.2）。命题证明3.3。通过引理2.4，就足以证明X对于FX有C FS。此外，通过引理2.6，我们可以假设≡ 0而不丧失通用性。我们首先构造一个适合我们目的的B实现。为了实现这一点，我们使用了Schwartz广义函数的一些概念。关于它们的详细信息，请参阅【46】第6–7章。首先，定义函数g:R→ C byg（λ）=（f（λ）/| f（λ）|如果| f（λ）| 6=0，否则为0。g显然是可测的。接下来，让我们用S表示R上所有（复数）快速递减函数的集合。同时，L（R）表示所有复数平方可积函数的空间。对于函数u∈ L（R）、^u和^u分别表示u的傅里叶变换和傅里叶逆变换。这里，当u是可积的时，^u由^u（λ）=R给出∞-∞u（t）e-√-1λtdt，λ∈ R、然后，我们定义函数α：S→ C乘以α（u）=R∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）| g（λ）dλ表示u∈ S、这可以通过（3.2）来定义。α是R上的一个回火广义函数。此外，如果u∈ S是实值，然后是α（u）∈ R、实际上，我们有α（u）=Z∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）|·g（λ）dλ=Z∞-∞ˇu(-λ） p | f(-λ） | g(-λ） dλ=α（u）乘以（3.3）。现在，对于任何u∈ 我们有[α* u=bubα=bup | f | g in S*, 因此[α* u∈ L（R）。因此，α* u∈ L（R）和kα* ukL（R）=（2π）-1kbup | f | gkL（R）≤ kukL（R）由Parseval恒等式和（3.2）表示。因此，有一个（唯一的）连续函数|α：L（R）→ L（R）使得α（u）=α*u代表任何u∈ S、 Bycontinuity▄α（u）是实数，只要u是实数∈ L（R）。我们还通过设置β（u）=R来定义R上的回火广义函数β，γ∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）| dλ和γ（u）=R∞-∞ˇu（λ）p1- |f（λ）| dλ表示u∈ S

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kedemingshi

2022-6-2 20:00:45

然后，一个与上述类似的论点意味着存在连续函数β：L（R）→ L（R）和|γ：L（R）→ L（R）使得β（u）=β* u和￠γ（u）=γ* u代表任何u∈ 只要u是实数，那么▄β（u）和▄γ（u）都是实数∈ L（R）。现在让（Wkt）t∈R（k=1，2，3）是三个独立的双侧标准布朗运动。然后确定工艺（Bt）t∈兰特（Bt）t∈RbyBt=（R∞-∞α（1（0，t））（s）dWs+R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsif t≥ 0,-R∞-∞α（1（0，t））（s）dWs-R∞-∞γ（1（t，0））（s）dW依次，Bt=（R∞-∞β（1（0，t））（s）dWs+R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsif t≥ 0,-R∞-∞β（1（0，t））（s）dWs-R∞-∞Иγ（1（t，0））（s）dW左右。我们证明了这个过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R）是所需过程的实现。首先，它证明了带裸实值和高斯。此外，因为它认为^Оα（u）=^up | f | g，^Оβ（u）=^up | f |和^Оγ（u）=^up1- |f |在L（R）中表示任何u∈ L（R），ν=1，2和t，s∈ R、我们有[BνtBνs]=| t |∧ |s |如果ts≥ 0和E[BνtBνs]=0，否则由Parseval标识。特别是，由于Kolmogorov连续性定理，我们可以假设过程Bν是连续的。因此，B带满足条件（i）。条件（ii）也遵循Parseval标识。这尤其意味着二元过程Bt=（Bt，Bt）是平稳增量。因此，过程B被证明是期望过程的实现。我们转向证据的主体。让我们定义双变量过程Y=（Yt）t∈[0，T]和z=（Zt）T∈[0，T]byYt=YtYt=R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsR∞-∞γ（1（0，t））（s）dWs！和Zt=Xt- Ytfor t公司∈ [0，T]。通过构造，Y和Z是独立的。此外，我们可以很容易地检查，对于每个ν=1，2，Yν是高斯的，并且是光谱密度为1的平稳增量- |f |。特别是，由于Kolmogorov连续性定理，我们可以假设过程Y是连续的。因此，过程Z也是连续的。

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2022-6-2 20:00:48

因此，通过引理2.6可以证明Y相对于FY具有CFS。通过建设，我们是独立的。因此，通过引理4.1，就足以证明对于每个ν=1，2，Yν相对于FYν有C FS。因为Yν是一个具有平稳增量的连续高斯过程，其谱密度为1- |f |，期望的结果来自于[17]的定理2.1。这就完成了证明。致谢我们感谢Dacheng Xiu向我们询问具有leadlag关系的模型的无套利性质。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号JP16K03601、JP16K17105、JP17H01100的支持。参考文献[1]Alsayed，H.和McGroarty，F.（2014）。跨国际指数期货的超高频算法套利。J、预测。33, 391–408.[2] Bender，C.（2012年）。简单套利。安。应用程序。概率。22, 2067–2085.[3] Bender，C.、Pakkanen，M.S.和Sayit，H.（2015）。粘性连续过程具有一致的p-rice系统。J、应用程序。概率。52, 586–594.[4] Bender，C.、Sottinen，T.和Valkeila，E.（2011年）。随机金融中的分数过程模型。惯性导航与制导。Di Nunno和B.Oksendal，eds.，Advanced mathematical methods for Finance，第3章。斯普林格，第75-103页。[5] Bollen，N.P.、O\'Neill，M.J.和Whaley，R.E.（2017）。摇摆尾巴：波动率指数市场的日内价格发现。期货市场杂志37431–451。[6] Buccheri，G.、Corsi，F.和Peluso，S.（2017年）。隐藏领导者：在多变量价格形成框架中识别高频铅-铅-铅结构。工作文件。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=2938619。[7] Cero n，A.、Cur ini，L.和Iacus，S.M.（2016）。推特领域的一级和二级议程设置：意大利政治辩论的应用。《信息技术与政治杂志》第13期，第159-174页。[8] Chan，K.（1992年）。

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