另一方面，对于x=（xi，···，xi（一）∈ DIJ′，它认为（xk，···，xkl）∈ （Kk+Xj∈J′Cj，k，∞) ×···×（Kkl+Xj∈吉隆坡J’Cj，∞) （5） 自从{k，··，kl} I\\J′。Letj公司*:= argminj公司∈Jσ-1（j）。然后σ-1（j）<σ-1（j*)暗示j∈ J′∩ 因此{J：σ-1（j）<σ-1（j*)}  J′。现在我们看到t（4）和（5）不兼容，这意味着DIJ∩ 迪杰是空的。此外，我们设置di：=[i∈I{Ki}×Yj6=I（Kj，∞).那么我们有下面的引理3，让J，····，Jkbe这样 6=Jk（···（J，和setHJ，···，Jk：=DJk×AJk-1Jk×···×AJJ。然后它保持thatDII=HI \\6=J（I（HI，J \\6=J（J（HI，J，J \\6=J（J（HI，J，J，J \\···））（6），因此对于B（DI）上的任何测量，u（DII）=u（HI）+X6=J（I(-1） u（HI，J）+XJ（IX6=J（J(-1） u（HI，J，J）+···+XJ（I···X6=J我-1（J我-2(-1)我-1u（HI，J，···，J我-1).（7） 证明。我们首先提供的数据=∪JIDIJ。（8） 很明显，包括钻机右侧。假设x∈ DI。然后，对于唯一i，xi=ki，对于j 6=i，xj>kj。如果存在j 6=i，那么xj≤ Kj+Ci，j，我们将其重命名为j。否则，（xj）j∈I \\{I}∈ AI{i}和sox∈ DI{i}。在I{I，j}中，如果我们能找到j，那么xj≤ Kj+Ci，j+Cj，j，我们将其命名为j。否则为x∈ DI{i，j}。此程序可在大气中重复我- 1次，当我们有x∈ DII。所以在任何情况下x∈ ∪JIDIJ。接下来，观察DII=DI \\J（IDIJ=DI \\J（I（DJJ×AIJ）乘以（8）和引理2。通过将（8）t应用于DJJ，并通过引理2，我们得到了hatdii=DI \\J（I）（DJ×AIJ）\\J（J（DJJ×AJJ）×AIJ.通过将（8）应用于DJJand引理2，依此类推，我们最终得出（6）。3.3第一个主要结果 6=J（I，并定义一系列度量值hij（x，a，S）：=P（dI（τI（1））=J，XI \\JτI（1）∈ A、 τI（1）∈ S | XI=x），hI（x，S）=P（dI（τI（1））=I，τ（1）∈ S | XI=x），and qi（x，A，S）=P（XIτI（1）-∈ A、 τI（1）∈ S | XI=x）表示x∈气∈I（Ki，∞), A.∈ B（DI）和S∈ B[0，∞).

最后一个是过程在边界上的调和测度气∈I（Ki，∞) = DI。我们的第一个主要结果将（dI（τI（1））、τI（1）、XI \\JτI（1））的联合分布与调和测度Q相关联。定理4我们得到了hij（x，A，S）=QI（x，DJJ×sIJ（A），S）（9）和hi（x，S）=QI（x，DII，S）。（10） 在这里，sIJis是由Sij（xi，i）定义的RI的转变∈ I\\J））=（（xi+Xj）∈JCj，i））。（11） 证明。由于{dI（τI（1））=J，XI \\ JτI（1），所以从引理1中几乎可以清楚地看出公式（9）∈ A、 τI（1）∈ S} =（XIτI（1）-∈[σ∈SJDJ，σ×sIJ（A））∩ {τI（1）∈ S} 对于S∈ B（0，∞). 公式（10）也从引理1.4传染病联合分布和传染概率公式中清晰可见。在本节中，我们感兴趣的是按固定时间（以Nt表示）的违约公司数量分布，以及某些特定公司的违约时间分布。这些分布对于CDO或CDS等信贷衍生品的定价非常有用。表示Ij：=I\\j]l=1d（τI（l））=Ij- d（τI（j））第j次传染期后存活的企业的随机指数集τI（j），j=1，2，···，一、 设U=τI（1），U=τI（2）- τI（1）。。。，Uk=τI（k）- τI（k- 1)... 是连续默认值之间的到达时间间隔。Welet用户界面=∞ 如果τ（i）=∞.由于企业价值演化的马尔可夫性，我们得到以下结果（XIj，τ（j），Ij）。定理5设Jj Ij公司- 1be非空se t，Aj∈ B（合格中介机构∈Ij[千，∞)), andSj∈ B（[0，∞)), 对于j=1，2，···，n*.

（i） 我们有“更新Markovproperty”：对于m=1，···，n*,PXImτJ（m）∈ Am，d（τI（m））=Jm，τI（m）∈ Sm{XIjτI（j），Ij，τI（j）；j<m}=PXImτI（m）∈ Am，d（τI（m））=Jm，τI（m）∈ Sm | XIm-1τI（m-1） ，即时消息-1，τI（m- 1),（ii）转换概率由谐波测度asP描述XImτI（m）∈ Am，d（τ（m））=Jm，τI（m）∈ Sm | XIm-1τI（m-1） ，即时消息-1，τI（m- 1)= 他-1Jm（XIm-1τI（m-1） ，Am，Sm- τI（m- 1） ）=QIm-1（XIm-1τI（m-1） ，DJmJm×sIm-1Jm（Am），Sm- τI（m- 1))).（iii）因此，我们有{XIjτI（j）∈ Aj，d（τI（j））=Jj，Uj∈ Sj；j≤ m} | XI=XI=ZA×···×AmmYj=1hIj-1JjxIj公司-1j- 1、dxIjj、Sj=ZQmj=1sIj-1Jj（Aj）mYj=1QIj-1.（sIj-2Jj公司-1)-1（xIj-2\\Jj-1=Ij-1j- 1） ，DJjJj×dxIj-1\\Jj=Ijj，Sj,式中，I=I，Ij：=I\\j]l=1Jl，j=1，2，···，m≤ n*,和sI*J**是否在上一节中定义为（11）的移位，以及sI-1.*是身份地图。证据第一个断言（i）从X的马尔可夫性质中可以清楚地看出。第二个断言也是时间齐次性质和定理4的直接结果。第三个是通过结合（ii）和renewalMarkov性质（i）得到的。因此，我们可以得到关于两个连续默认值之间的到达时间和下一个默认值指数集的“边际分布”。J，···，Jm的推论6 我会 6=Jcm（···（Jc，和S，···Sm∈B（[0，∞)),P（{Uj∈ Sj，d（τI（j））=Jj；j≤ m} ）=mYj=1ZAIj-1JjQIj-1.（sIj-2Jj公司-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，Sj,其中AI*J**是上一节定义为（3）的集合。推论6是确定一些重要分布的重要关键，例如给定时间的违约公司数量、给定公司的违约时间或第m次违约时间。

以下命题提供了给定固定时间内违约企业数量的分布。命题7，k=1。。。，n、 我们有p（Nt=k | XI=XI）=kXm=1X向上的≤mJp=kZu+···+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，duj.证据因为事件{Nt=k}可以表示为asUkm=1{τI（m）≤ t<τI（m+1），（I \\Im）=Pmp=1#d（τI（p））=k}，我们得到了p（Nt=k | XI=XI）=kXm=1PτI（m）≤ t<τI（m+1），mXp=1#d（τI（p））=k | XI=XI=kXm=1X向上的≤mJp=kP（mXj=1Uj≤ t<m+1Xj=1Uj，d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI）。（12） 通过应用推论6，我们得到（12的和）=Zu+···+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×dxj，duj.我们还可以得到第m次传染时间的分布函数。命题8，对于m=1。。。，n、 我们有p（τ（m））>t | XI=XI）=m-1Xk=1X#k-1i=1Ii<nZu+····+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×dxj，duj.（13） 证明。我们有p（τI（k）>t（XI=XI）=kXm=1P（τI（m- 1) ≤ t<τI（m）| XI=XI）=kXm=1X#UJp<nP（τI（m- 1) ≤ t<τI（m），d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI）。使用与命题7相同的技术，我们得到了公式13。当且仅当指数k在时间t之前始终小于所有默认集d（τI（p）），则第k家公司在时间t之前仍然存在。因此，我们可以得到一组公司在时间t之前的生存概率，即9让k 我是一个非空集。那么我们有p（τk>t，k∈ K | XI=XI）=n-KXm=0Xpl=1Jl∩K级=祖+···+嗯≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，duj.证据

该公式可以通过notingP（τk>t，k）以与前面命题类似的方式获得∈ K | XI=XI）=n-KXm=0Xpl=1Jl∩K级=P（τI（m）≤ t<τI（m+1），d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI），其中我们理解J= 当m=0.5独立5.1“调和测度”的模型时，我们所需的联合分布是从“调和测度”QI中获得的。在这一节中，我们在Xi之间强加独立。那么它实际上是用Xito[Ki]的调和测度表示的，∞), 我∈ 一、 让我们更准确地说。设▄X是一种业务照常流程，给定为▄Xit=xi+Zt（σi（▄Xis）dWi+ui（▄Xis）dt），▄τibe其默认时间：▄τi：=inf{s>0：▄Xis≤ Ki}。我们假设（△τi，△Xi）的每个分布都有一个密度，并且putpj（Xi，s）=P（△τi）∈ ds | Xi=Xi）ds，and qi（Xi，yi，s）=P（△τi>s，△Xis∈ dyi | Xi=Xi）dyi，代表Xi，yi∈ [Ki，∞) s>0。“调和测度”，即XIτ（1）的分布，可通过以下引理10获得∈ B（G）和S∈ B（0，∞),Q（x，A，S）=ZSXipi（xi，S）dsZAδKi（dyi）Yj6=iqj（xj，yj，S）dyj，（14），其中δ*狄拉克三角洲在*.证据（14）的左侧=ZSXiP（{τi∈ ds}∩j6=i{τi<τj，~X▄τj∈ A} ）=ZSXiZAδKi（dyi）P（|τi）∈ ds，s<τj，~Xjs∈ d yj，j 6=i）。Xi独立后∈ 一、 我们有理想的关系（14）。We putgIJ（xI，A，s）：=ZQi∈我，我，∞)∩阿伊∈I\\Jqi（xi，yi+Xj∈JCj，i，s）dyi，andgJI（xI，s）：=gIJ（xI，RI，s）=再益∈I\\Jqi（xi，yi，s）对于s>0和A∈ B（RI\\J）。因为这里有一个密度，我们会写，稍微滥用旋转，hI（xI，s）=hI（xI，ds）/ds≡ P（dI（τI（1））=I，τI（1）∈ ds | XI=XI）/ds，s>0。非空J（i，S）的定理11（i）∈ B（0，∞), 和A∈ B（RI），hIJ（x=xI，A，S）=ZShJ（xJ，S）gIJ（S，xI，A）ds。（15） （ii）对于s>0，hI（x=xI，s）=xI∈Ipi（xi，s）！1 +我-1Xm=1(-1） mXIm（…（I（I：=ImYl=1gIl-1Il（xIl-1英寸（秒）.（16） 证明。（i） 需要显示A=Qi的时间∈I\\J（ai，bi）。

通过组合（9）和引理10，我们可以看到t ha thIJ（S，Yi∈I\\J（ai，bi））=ZSXi∈Jpi（s）ZDJJδKi（dxi）Yj∈J \\{i}qj（s，xj）dxj×Yi∈I\\JZ（ai+Pj∈JCj、i、bi+Pj∈JCj，i）∩（Ki+Pj∈JCj，我，∞)qi（s，xi）dxi=ZShJ（s）ZQi∈我，我，∞)∩（爱，比）易∈I\\Jqi（s，xi）-Xj公司∈JCj，i）dxds。因此，我们得到了（15）。（ii）等式（16）是定理4中（10）和引理3中（7）的直接结果，以及关系gij（s，x=xI=ZAIJYi）∈我\\Jqi（s，xi，yi）dyi。参考Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Sa lehi，A.（2015），“金融网络中的系统风险和稳定性”，《美国经济评论》105（2），564–608。Acharya，V.V.、Pedersen，L.H.、Philippon，T.和Richardson，M.（2017），《衡量系统性风险》，金融研究评论30（1），2–47。Chong，C.&Kl–uppelberg，C.（2015），“异质网络中的部分平均场限值”，a rXiv预印本arXiv:1507.01905。Chong，C.&Kl–uppelberg，C.（2016），“金融系统中的传染：Abayesian网络方法”。Cont，R.，Moussa，A.等人（2010），“银行系统的网络结构和系统风险”。Elliott，M.、Golub，B.&Jackson，M.O.（2014），《金融网络与传染》，美国经济评论104（10），3115–3153。Fouque，J.-P.&Sun，L.-H.（2013），《系统风险手册》，第444–452页。Huang，X.，Zhou，H.&Zhu，H.（2009），“主要金融机构系统性风险评估框架”，《银行与金融杂志》33（11），2036-2049年。Jarrow，R.A.和Yu，F.（2 001），“交易对手风险与可违约证券的定价”，《金融杂志》第56（5）期，1765-1799年。Leland，H.E.&Toft，K.B.（1996），“最优资本结构、内生破产和信贷利差期限结构”，《金融杂志》51（3），987–1019。Rogers，L.C.和Veraart，L.A.（2013），“银行间网络中的故障和救援”，管理科学59（4），882–898。