我们首先介绍一组最终财富，包括从资本x开始扔掉钱的可能性∈ RCTx：={Vx，φT，φ∈ Φ} - W0，+T。在续集中，我们将写X∈ CTxif存在一些φ∈ Φ和Z∈ W0，+Tsch thatX=Vx，φT- Z QT-q.s.在引理5.1的假设下，集CTxhas是一个经典闭包性质（在QT准肯定意义下，参见【Bouchard and Nutz，2015，定理2.2】）。请注意，注释3.4中的相同注释适用。引理5.1假设假设2.3和2.4成立。修复somez∈ 兰德letB∈ WT这样B/∈ CTz。然后存在一些ε>0，使得infφ∈ΦsupP∈QTP（Vz，φT<B- ε) > ε. （16） 证明。假设（16）不成立。那么，对于所有n≥ 1，存在一些φn∈ P处的Φth（Vn<B-n）≤对于所有P∈ QT，其中Vn：=Vz，φnT。设置KN：=越南-B-n{Vn≥B-n}∈ W0，+T，然后Vn-千牛∈ CTz。此外，对于所有P∈ QT，P（| Vn-千牛-B |>n）=PVn<B-n≤n、 因此limn→+∞支持∈QTP（| Vn- 千牛- B |>n）=0。如果我们证明存在子序列（nk）k≥1如此（Vnk- Knk）k≥1接近B QT-q.s.（即在QT全测量集上），【Bouchard和Nutz，2015，定理2.2】意味着B∈ CTz。这种矛盾将得到证明。因此，η>0并考虑子序列（Vnk- Knk）k≥1此类atsupP∈QTP（Ak）≤K此处Ak：=|Vnk公司- Knk公司- B |>nk.AsPk公司≥1支持∈QTP（Ak）<∞, Borel-Cantelli的容量引理（见【Denis et al.，2011，引理5】）表明∈QTP（lim supkAk）=0。因此OhmT\\lim supkak是一个QT全量测集，其上| Vnk（·）- Knk（·）- B（·）|≤ η对于足够大的k是正确的。在适当的假设下，下一个命题确定，无论策略是什么，从资本x开始的时间T的财富是一致有界的。引理5.2假设2.1、2.3、2.4和2.6成立。那么，对于allx∈ R、 φ∈ A（0，x）和0≤ t型≤ T、 | Vx，φT（·）|≤ |x | Mt（·）Qt-q.s（17），其中m：=1，Mt（ωt）：=Qts=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs-1).

此外，对于所有0≤ t型≤ Tand0<r<∞.证据我们使用了类似于[Blanchard和Carassus，2018，定理3.6]证明中的论证。让x≤ 0和φ∈ A（0，x）。然后V0，φT≥ 0 QT-q.s，由NA（QT）和[Blanchard和Carassus，2018，Lemma A.33]，V0，φt≥ 0 Qt-q.s和V0，φt=0 Qt-q.s。So（17）基本成立。So fix x>0和φ∈ A（0，x）。适用于所有1≤ t型≤ T和ωT-1.∈ Ohmt型-1NA（回顾命题2.5，定义Ohmt型-1NA），我们用φ表示⊥t（ωt-1） φt（ωt）的正交投影-1） 关于向量空间Dt（ωt）-1） （参见提案2.5）。我们都有ωt-1.∈ Ohmt型-1NAthatφt（ωt-1)St（ωt-1, ·) = φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，·）Qt（ωt-1） -q.s.（18）见【Blanchard和C arassus，2018年，备注3.1 0】。作为Vx，φT≥ 0 QT-q.s.假设2.1、2.3和2.4成立，【Blanchard and d Carassus，2018，引理A.33】与【Nutz，2016，引理3.4】和Ht一起适用-1： ={ωt-1.∈ Ohmt型-1，Vx，φt-1（ωt-1） +φt（ωt-1)St（ωt-1, ·) ≥0 Qt（ωt-1） -q.s.}∈ 卑诗省(Ohmt型-1） 是Qt-1-全尺寸套件。立即修复一些1≤ t型≤ T，ωT-1.∈Ht公司-1.∩ Ohmt型-1NA。我们证明了t |φ⊥t（ωt-1)| ≤|Vx，φt-1（ωt-1） |αt-1（ωt-1). （19） 如果φ⊥t（ωt-1） =0无需证明，可以假设φ⊥t（ωt-1) 6= 0. 首先，使用（1 8）和ωt-1.∈ Ht公司-1.∩ Ohmt型-1NA，我们得到Vx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1, ·) ≥ 0 Qt（ωt-1） q.s.（20）现在，我们从矛盾的角度出发，假设（19）不成立。LetB：={φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1, ·) < - αt-1（ωt-1)|φ⊥t（ωt-1)|}.根据命题2.5，存在一些Pφ∈ Qt（ωt-1） 使得Pφ（B）>αt-1（ωt-1) > 0.但是，对于所有ωt∈ BVx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）<Vx，φt-1（ωt-1)| - αt-1（ωt-1)|φ⊥t（ωt-1） 与（20）相矛盾，因此（19）成立。现在，我们用归纳法证明（17）对al l 0成立≤ t型≤ T对于t=0，这是微不足道的。假设对于某些t≥ 1、存在一些Qt-1-完整测量集Ohmt型-1.∈ 卑诗省(Ohmt型-1） 其中（17）在t阶段为真- 1.

允许OhmtEQ：={（ωt-1，ωt）∈ Ohmt型-1× Ohmt、 φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）=φt（ωt-1)St（ωt-1，ωt）}。很明显OhmtEQ公司∈ 卑诗省(Ohmt） 。对于某些P=Pt-1. pt公司∈ Qt，（18）和Fubini定理（见[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.45 p175]）暗示P(OhmtEQ）=1（回想一下Ohmt型-Qt的1NAis-1完全测量）。挫折Ohmt型-1： =eOhmt型-1.∩ Ht公司-1.∩ Ohmt型-1纳安德Ohmt=OhmtEQ公司∩bOhmt型-1× Ohmt型.很明显，EOhmt型∈ 卑诗省(Ohmt） 并且是Qt全尺寸集。对于所有ωt=（ωt-1，ωt）∈eOhmt | Vx，φt（ωt-1，ωt）|=| Vx，φt-1（ωt-1) + φ⊥t（ωt-1)St（ωt-1，ωt）|≤|Vx，φt-1（ωt-1)|1 +|St（ωt-1，ωt）|αt-1（ωt-1)≤xMt公司-1（ωt-1)1 +|St（ωt-1，ωt）|αt-1（ωt-1)证明了（17）。对于所有0≤ r<∞ 和1≤ s≤ TSs，αs∈ Wrs（见假设2.6），因此所有1≤ t型≤ T我们现在可以证明定理3.14和3.15了。定理3.14和3的证明。15、让G∈ W0，boTand b≥ G处0个≥ -b QT-q.s.和fix部分x>0。我们证明了第一个定理3.14和定理3.15的第一项。正如【Carassus和R'asonyi，2006】中所述，对于某些αn>0，βn，我们可以将Unby^Un：=αnUn+β替换为∈ R、 如果Unis凹，严格在折痕中或两次连续可微，则^Unwill显示相同的特性。因此，在定理3.14的假设下，^unar是凹的，满足假设2.6。此外，Unand^Un的绝对风险规避和效用无差异价格（将用^pn（G，x）表示）是相同的（参见（6）、（9）和（10））。因此，足以证明limn→+∞^pn（G，x）=π（G）。作为U′n（x）∈ (0, ∞) （回想一下，Unis是凹的且严格递增），我们选择αn=U′n（x）和βn=-Un（x）U′n（x），导致所有n的^Un（x）=0和^U′n（x）=1≥ 注意，在定理3.15第1项的假设下，^una是凹的，存在一些N>1和k>0，使得^Un（x）≤ k代表所有n≥ N和X∈ R、 我们用^un（G，x）表示^un的值函数。α和βnimpliesthat 0的选择∈ A（^Un，0，x）和该^Un（0，x）≥ infP公司∈QTEP^Un（x）=0。

（21）我们首先处理π（G）=+∞. 定义所有z∈ R、 n个≥ 1. = A（G，z）=A（^Un，G，z）和^Un（G，x+z）=-∞ （见（9））。所以，（10）和（21）表明^pn（G，x）=+∞适用于所有n≥ 1、权利要求得到证明。现在假设π（G）<∞. 命题3.13适用于^pn（G，x）≤ π（G）<∞ 安德林→+∞^pn（G，x）=如果lim infn^pn（G，x），π（G）将保持不变≥ π（G）。假设情况并非如此。因此存在子序列（nk）k≥1和一些η>0，如t^pnk（G，x）≤ π（G）- η表示所有k≥ 1、由于x>0，我们可以假设η<x。通过定义^pnk（G，x），我们得到了^unk（G，x+π（G）- η) ≥ ^unk（0，x）。如果limk→+∞^unk（G，x+π（G）- η) = -∞ 已证明，lim infk→+∞^unk（0，x）=-∞ 遵循并反驳（21）。所以，还需要证明limk→+∞^unk（G，y）=-∞ y：=x+π（G）- η ∈ （π（G），x+π（G））。首先我们证明x+G/∈ CTy公司。事实上，如果不是这样，则存在一些X∈W0，+接地φ∈ Φ，使得x+G=Vy，φT- X QT-q.s.因此G≤ Vy公司-x、 φTQT-q.s.安迪- x个≥ π（G）如下：矛盾。应用引理5。1，我们得到一些ε>0，使得infφ∈ΦsupP∈QTP（Aφ）>ε，其中Aφ：={Vy，φT<x+G- ε}. 注意，我们总是可以假设x>ε。因此，对于所有φ∈ Φ，存在一些Pε，φ∈ Pε，φ（Aφ）>ε时的qt。命题3.7和定理3.3暗示，对于所有n≥ 1，A（^Un，G，y）=A（G，y）6= 因为y>π（G）。选择一些φ∈ A（G，y）。我们首先假设定理3.14的假设。利用^Un的单调性，回忆G（·）≥ -b QT-q.s.，（7）和引理5.2，我们得到所有n≥ 1 thatEPε，φOhmT\\Aφ^Un（Vy，φT（·））- G（·））≤ EPε，φ^U+n（Vy+b，φT（·））≤^U+n（x）+供应∈QTEPVy+b，φT（·）^U′n（x）≤ （| y |+b）支持∈QTEP（MT（·））≤ （x+|π（G）|+b）| | MT |=：K<∞. （22）在定理3.1 5第1项的假设下，（22）中上述性质的最后一个有界仍然是K=K和n的val id≥ N、 现在，作为^Un（x- ε) ≤^Un（x）=0我们得到EPε，φAφ^UnVy，φT（·）- G（·）≤^Un（x-ε） EPε，φAφ≤ ε^Un（x- ε).

（23）因此（22）和（23）意味着对于所有n≥ NinfP公司∈QTEP^UnVy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φ^UnVy，φT（·）- G（·）≤ K+ε^Un（x- ε).因为所有φ都是这样∈ A（G，y）=A（^Un，G，y），^Un（y，G）≤ K+ε^Un（x- ε） 以下为alln≥ N最后，【Carassus和R’asonyi，2006，引理4】（使用^Un的凹度）暗示limn→+∞^Un（x- ε) = -∞ 因此limn→+∞^un（G，y）=-∞ 如所述。现在我们证明定理3.15的第二项。该证明类似于定理3.15的第一个证明，我们只说明了主要的变化。首先，我们不修改函数Un。设k>0为Un（x）≤ K适用于所有n≥ N和x∈ R、 作为0∈ A（Un，0，x）表示所有n≥ 修女（0，x）≥ Un（x）>infn≥修女（x）>-∞,这是（21）的挂件。如果π（G）=+∞ 上述参数同样适用。假设π（G）<+∞: 提案3.13仍然适用，且^pn（G，x）≤ π（G）。固定φ∈ A（G，y）和设y，Aφ和Pε，φ与前面一样：我们直接证明limn→+∞un（G，y）=-∞. 固定一些J>0和CJ：=ε（J+k）。作为limn→+∞Un（x- ε) = -∞, 存在NJ≥ N因此，对于所有N≥ NJ，Un（x- ε) ≤ -CJ。EPε，φUnVy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φOhmT\\AφUn（Vy，φT（·））- G（·））+EPε，φAφUnVy，φT（·）- G（·）≤ k+Un（x- ε） Pε，φ（Aφ）≤ k+Un（x- ε)ε ≤ -J、 因此，由于nj不依赖于φ，我们得到了所有n的that≥ NJ，un（y，G）≤ -J5.2命题3.20的证明和命题3.21命题3.20的证明。修复一些P∈ QT和G∈ W+T（U）。作为EPU-（G（·））<+∞, G∈ W0，+和U不增加，EPU（G（·））-U（0）≥ 0（注意，U（0）处的th可能等于-∞). P（G（·）<∞) = 1和U严格增加U（G（·））<limy→+∞U（y）P-a.s.与EPU+（G（·））一起<+∞, 一个在EPU（G（·））- U（y）<0表示y足够大，中间值定理暗示（12）成立。现在EPU（G（·））≥ 所有P的U（0）∈ QT表示infP∈QTEPU（克（·））- U（0）≥ 0（重新调用该支持∈QTEPU-（G（·））<∞).

此外，对于某些P∈ QTas infP∈QTEPU（克（·））-U（y）≤EPU（G（·））- U（y）<0对于足够大的y，中值定理暗示（1 3）。现在对于任何Q∈ QT，（12）表示tha tU（infP∈QTe（G，P））≤ U（e（G，Q））=等式（G（·））。这对于任何Q都是正确的∈ QT，so（13）表示u（infP∈QTe（G，P））≤ infP公司∈QTEPU（G（·））=U（e（G））和infP∈QTe（G，P）≤ e（G）遵循U的严格单调性。现在对于任何Q∈ QT，（12），（13）和Jensen不等式意味着u（e（G））=infP∈QTEPU（克（·））≤ eq（G（·））=U（e（G，Q））≤ U（方程（·））。因此，通过U，e（G）的严格单调性≤ e（G，Q）≤ 等式（·）和，因为这对allQ是正确的∈ QT，我们发现（G）≤ infP公司∈QTe（G，P）≤ infP公司∈QTEPG（·）。命题3.2 1的证明。我们将[F¨ollmer and Schied，2002，Proposition2.47]的证明改编为多先验框架。1、我们首先表明，如果所有x>0，则rA（x）≥ rB（x），然后eA（G，P）≤ eB（G，P）表示所有G∈ W+T（UA，B）和P∈ QT。这意味着eA（G）≤ eB（G）使用命题3.20。固定体G∈ W+T（UA，B）和P∈ QT。设D：=UB（（0，∞))  (-∞, ∞) 和定义F:D→ R byF（y）=UAU-1B（y）. 然后在DF′（·）=U′A（U-1B（·））U′B（U-1B（·））和F′（·）=U′A（U-1B（·））U′B（U-1B（·））rB（U-1B（·））- rA（U-1B（·））. （24）作为U-D上1B（·）>0，对于所有x>0，F在D上增加且凹，且UA（x）=F（UB（x））。现在让δ：=UB（0）∈ [-∞, ∞) 是D的下限。我们区分两种情况。如果δ>-∞ , 我们通过δ中的连续性来扩展F，设置F（δ）=UAU-1B（δ）= UA（0）∈[-∞, ∞). 很明显，F（δ）≤ F（y）代表所有y∈ [δ, +∞), F在δ上是凹的+∞)UA（x）=F（UB（x））也适用于所有x≥ 现在，利用（12）和Jensen\'sinequality，我们得到了thatUA（eA（G，P））=EPUA（G（·））=EPF（UB（G（·）））≤ F（EP（UB（G（·））））=F（UB（eB（G，P）））=UA（eB（G，P））。（25）由于ua严格递增，我们得到eA（G，P）≤ eB（G，P）如所述。现在我们处理δ=-∞. 第一个P（G>0）=1。

实际上，如果P（G=0）>0，EPU-B（G（·））=EPU-B（G（·））1{G>0}（·）+U-B（0）P（G=0）=+∞, 我们已经排除的一个案例。因此P（G>0）=1。此外，eA（G，P）和eB（G，P）为正。Else UA（eA（G，P））=-∞而EPUA（G（·））≥ -EPU-A（G（·））>-∞. 因此，前面的参数适用，我们也得到eA（G，P）≤ eB（G，P）。2、假设所有G的eA（G）<eB（G）∈ W+T（UA，B），并且存在一些x>0，使得ra（x）<rB（x）。通过连续性，存在α>0，使得（x）上的rA（x）<rB（x-α、 x+α）。我们可以在x上选择α这样的th- α > 0. 设I：=（UB（x- α） ，UB（x+α）） D、 那么F在I上是三次凸的（见（24））。FixeG公司∈ W+T（UA，B）和集合G：=x-α+2αeGeG+1∈ W+T（UA，B）。很明显，G（·）∈ （十）-α、 x+α）。如（25）所示，利用Jensen不等式，F在I上（严格）凸的事实，我们可以得到任何P∈ QTUA（eA（G，P））=EPF（UB（G（·）））≥ F（EP（UB（G（·）））=UA（eB（G，P））。（26）这意味着eA（G，P）≥ eB（G，P）表示所有P∈ QT，因此eA（G）≥ eB（G）：矛盾。注意，如果P是这样的，那么可以找到一些非常数的eg，那么（26）中的不等式是严格的，并且可以得到eA（G，P）>eB（G，P）。6随机效用函数的扩展随机效用函数适用于非常普遍的情况，即代理人的偏好不仅取决于其财富，还取决于路径。在开始日期，代理可能不知道她的效用函数将如何依赖于她的财富。此外，她的效用函数的形状随着上下文的变化而变化，并且可以随着信息的更新而更新。例如，如果市场表现出下跌趋势，她可能会变得更加厌恶风险，并在相反的情况下承担更多风险。这种行为经常在金融市场中观察到。

依赖于状态的效用函数的一个例子是【Musiela和Zariphopoulou，2005】中介绍的远期投资绩效过程，参见【Kallblad等人，201 7】，了解对多重先验框架的扩展。定义6.1随机效用函数U：OhmT×（0，∞ ) → R∪{-∞} 每x>0，U（·，x）满足以下条件i）：OhmT→ R是普遍可测的，ii）对于所有ωT∈ OhmT、 U型ωT·: (0, ∞) → R在（0，∞) 而这样的UωT，xω>-∞ 对于某些xω>0。我们在0中通过（右）连续性扩展U，并设置U（·，x）=-∞ 如果x<0。下一个示例显示了随机效用函数，因此ωT·是凹的，严格递增且在（0，∞).示例6.2假设代理分析了相对于（随机）参考点B的收益或损失，而不是如[Kahneman和Tversky，1979]所建议的相对于零的收益或损失。LetU b e a满足假设3.5和b的非随机凹函数∈ W∞,+所有ωT的Tand集∈ OhmT、 x个≥ 0，U（ωT，x）=U（x+| | B||∞-B（ωT））和U（ωT，x）=-∞ 对于x<0。第二个例子建议考虑随机绝对风险规避。其思想是使用具有随机系数的经典效用函数。例如，我们可以考虑U（ωT，x）=xβ（ωT）或U（ωT，x）=-e-x的β（ωT）xf≥ 0（和U（·，x）=-∞ 对于x<0），其中β，β∈ 0<β（·）<1，β（·）>0 QT-q.s。我们可以想象β的各种情况（很容易适应β）：P下的β定律可以均匀分布在所有P∈ QT（带βPmax≥ βPmin>0），或者对于al l P，它可以遵循参数λP>0的泊松定律∈ QT。它也可以是一些市场参数的函数，用于模拟代理根据市场条件更新其效用函数的情况。让（Un）n≥1满足定义的效用函数序列6。1.

以下定义（9）适用于一般随机用途。un（G，x）：=supφ∈A（Un，G，x）infP∈QTEPUn公司·, Vx，φT（·）- G（·）定理3.14对随机效用函数的推广将针对某些固定x>0进行说明，并需要一些进一步的假设。第一种方法取代了绝对风险厌恶与内部一致性的收敛：Un（·，x）到-∞ 关于infP∈所有0<x<x的QTP。引理6.7对此进行了解释，其中我们还给出了替代条件to（27）。它还需要从x中的假设下得到一些一致的有界性。假设6.3我们得到了supn | | U-n（·，x）| |<∞ 对于所有0<x<xandM>0，limn→+∞infP公司∈QTP（Un（·，x）≤ -M） =1。（27）第二个假设允许从上述效用函数中确定无界函数的可积性问题，并指出无界函数具有充分的可测性和正则性。所有ωT的假设6.4∈ OhmT、 U型ωT·是凹的且在（0，∞). 存在一些x≥ x和一些q>1的that tsupn | | U+n（·，x）| |<∞ 和supn | | U′n（·，x）| | q<∞.定理6.5假设假设2.1、2.3和2.4成立。让（Un）n≥1满足定义6.1和letG的随机效用函数序列∈ W0，机器人。假设假设6.3适用于somex>0。假设存在一些>1和b∈ W1，+Tsuch thatUn（·，x）≤ B（·）QT-q.s.对于所有x>0和n≥ 假设2.6和6.4也不成立。Thenlimn公司→+∞pn（G，x）=π（G）。例6.6我们给出了定理6.5的一个具体例子。适用于所有n≥ 1，设Rnbe arandom变量均匀分布在所有P的[bn，bn]中∈ bn>0的QT，limn→+∞bn公司=+∞. 设置为所有ωT∈ OhmTUn（ωT，x）=-e-Rn（ωT）（x-1） 对于x≥ 0和Un（ωT，x）=-∞ forx<0。我们选择x=1。当所有M>0和d 0<x<1时，Un（·，x）≤ -M当且仅当ifRn（·）≥ln M1-x。

作为limn→+∞bn=+∞, 假设6.3经过验证。我们简要概述了定理3.14（和定理3.15）的证明是如何修改的。证明的结构类似于定理3.15第2项的结构，特别是我们没有修改函数Un。在定理6.5的假设下，命题3.7（即命题3.13）仍然有效，将（8）替换为下面的（28）。首先假设假设2.6和6.4是正确的。用g（7）表示Un（ωT，·）（回忆x>0），我们得到所有x>0，ωT∈ OhmT、 对于所有P∈ QTEPU+n（.，Vx，φT（.））≤ 支持∈QTEPU+n（·，x）+支持∈QTEPVx，φT（·）U′n（·，x）≤||U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）U′n（·，x）||≤||U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）| | p | | U′n（·，x）| | q≤supn | | U+n（·，x）| |+| x | | | MT（·）| | psupn | U′n（·，x）| | q=：K（x，x）<∞ , （28）其中引理5.2，MT∈ 已使用WpT（其中p verifiesp+q=1）、假设6.4和【Denis等人，2011年，命题16】。现在，如果假设2.6和6.4不成立，但存在一些B∈ W1，+Tsuch thatUn（·，x）≤ B（·）对于所有x>0和n≥ N，则（28）中的最后一个边界属性仍然有效，forK（x，x）=| | B（·）| |。备注n如何显示0∈ A（Un，0，x）表示所有n≥ N（回想一下，x>0和（28））。现在假设6.3意味着对于所有n≥ 修女（0，x）≥ infP公司∈QTEPUn（·，x）≥ -supn | | U-n（·，x）| |>-∞.让G∈ WBO和b≥ 0，使G≥ -b QT-q.s.Letφ∈ A（G，y）和let y，Aφ和Pε，φbeas在定理3.14和3.15的证明中。我们使用thatEPε，φ来代替（22）（回忆一下（28））OhmT\\AφUn（·，Vy，φT（·）- G（·））≤K（x，x+|π（G）|+b）。（29）获得的论据（23）更为复杂。

首先，fix some J>0，setCJ：=εJ+K（x，x）+K（x，x+|π（G）|+b）和BJ，n：={Un（·，x- ε) ≤ -CJ}。我们应用假设6.3（回忆x>ε时的th），并获得一些NJ≥ N（不依赖于φ），因此对于所有N≥ NJ，Pε，φ（BJ，n）≥ infP公司∈QTP（BJ，n）>1-ε.那么，对于所有n≥ NJ，Pε，φ（BJ，n∩ Aφ）>ε（回想一下Pε，φ（Aφ）>ε），我们得到epε，φAφUn·, Vy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φAφ∩BJ，nUn（·，x）- ε） +EPε，φAφ\\BJ，nUn（·，x）≤-εCJ+K（x，x）=-J- K（x，x+|π（G）|+b），使用（28）和CJ的定义。将前面的方程与（29）相结合，我们得到了所有n≥ NJinfP公司∈QTEPUn公司·, Vy，φT（·）- G（·）≤ EPε，φUn·, Vy，φT（·）- G（·）≤ -J、 由于nj不依赖于φ，我们得到了所有n≥ NJ，un（y，G）≤ -J、 因为这对所有J来说都是真的≥ 0，limn→+∞un（G，y）=-∞ 证明是完整的。我们现在把（27）和绝对风险厌恶的收敛联系起来。从现在起，我们取一系列满足假设6.1的效用函数，所有ωT∈ OhmT、 联合国ωT·是凹的且在（0，∞). 绝对风险规避的推广（见（6））isrn（ωT，x）：=-U′n（ωT，x）U′n（ωT，x）。引理6.7假设supnkun（·，x）k<+∞还有一些东西≥ 1，严格正随机变量λ和一些确定性函数（ρn）n≥1所有人都是这样≥ N、 U′N（·，x）≥ λ（·），rn（·，x）≥ ρn（x）和limn→+∞ρn（x）=+∞对于allx∈ （0，x.），则（27）成立。证据假设所有ε>0，使得x>ε且a ll C≥ 0，我们有那个Limn→+∞infP公司∈QTP（Zxx-εU′n（·，v）dv<-Cε）！=首先，我们要证明（27）是正确的。在x>ε和M>0处固定一些ε>0，例如th。

对于所有ωT∈ OhmTUn（ωT，x- ε） =Un（ωT，x）-Zxx公司-εU′n（ωT，U）du。利用U′n（ωT，·）是非负的、非递增的，我们得到了U′n（ωT，x- ε） +εU′nωT，x-ε≤ Un（ωT，x- ε） +Zx-εx-εU′n（ωT，v）dv≤ Un（ωT，x）。诺温ωT，x-ε= U′n（ωT，x）-Zxx公司-εU′n（ωT，v）dv≥ -Zxx公司-εU′\'n（ωT，v）dv和all-togetherUn（ωT，x- ε) ≤ |Un（ωT，x）|+εZxx-εU′n（ωT，v）dv。我们假设一些η>0，并表明存在一些Nη>0，因此对于所有ninfP∈QTP（| Un（·，x）|≤ Nη）>1-η.作为supnkUn（·，x）k<+∞, 【Denis等人，2011年，引理13】暗示对于ll k≥ 1支持∈QTP（| Un（·，x）|>k）≤ksupP公司∈QTEP（| Un（·，x）|）≤ksupnkUn（·，x）k。因此存在Nη>0，使得∈所有N的QTP（| Un（·，x）|>Nη）<η。从（30）开始，C=2（Nη+M），存在N=N（η，M，ε），所有N≥ N，infP∈QTP（Un（·，x- ε) ≤ -M）≥ infP公司∈QTP{| Un（·，x）|≤ Nη}∩（Zxx-εU′n（·，v）dv<-2（Nη+M）ε）！≥ infP公司∈QTP（{| Un（·，x）|≤ Nη}）+infP∈QTP（Zxx-εU′n（·，v）dv<-2（Nη+M）ε）！- 1 > 1 - η.因此，（27）对于所有x=x都被证明- ε > 0.我们只有（30）的证明。回到引理的假设，有≥ 1和严格正随机变量λ，使得U′n（·，x）≥ λ（·）表示所有n≥ N、 所以我们得到了ZXX-εU′n（·，v）dv=-Zxx公司-εU′n（·，v）rn（·，v）dv≤ -λ（·）Zxx-εrn（·，v）dv。因此，要证明（30）是正确的，就足以证明Limn→+∞infP公司∈QTPλ（·）Zxx-εrn（·，v）dv>Cε！=1.（31）对于所有x∈ （0，x）limnρn（x）=+∞, 我们明白了→+∞Rxx-ερn（v）dv=+∞ 由Fatou\'sLemma提供。现在（31）作为rn（·，x）成立≥ ρn（x），对于n≥ N和x∈ （0，x）。备注6.8 1。我们指出为什么在我们的证明中我们不能直接使用limn的假设→+∞rn（·，x）=+∞ 而不是假设6.3。

确实是limn→+∞rn（ωT，x）=+∞ 对于llx∈ （0，x），ωT∈ OhmT用Fatou引理表示，对于所有ωT∈ OhmT、 al l k存在ωTsuch th at≥ NωT，λ（ωT）Rxx-εrn（ωT，v）dv>Cε，这意味着OhmT=∪n∩k≥n（λ（·）Zxx-εrk（·，v）dv>Cε），使用【Denis等人，2011年，定理1】，这意味着→+∞支持∈QTPλ（·）Zxx-εrn（·，v）dv>Cε！=但这并不意味着（31）是正确的，因此我们不能像表6.7中的证明那样得出（27）是正确的结论。2、在引理6.7的证明过程中，我们看到如果supnkUn（·，x）k<+∞, （27）符合其他假设。当然（30）意味着（27）成立。2、如果存在一些N≥ 1和严格正随机变量λ，使得u′n（·，x）≥ λ（·）对于所有n≥ N，则（31）也意味着（27）。如果进一步的U′n（ωT，·）对于所有n都是非递减的≥ N和ωT∈ OhmT、 thenlimn公司→+∞infP公司∈QTPλ（·）rn（·，x）>2Cε= 1、（32）表示（27）成立。确实对于最后一个断言，因为对于所有n≥ N和ωT∈ OhmT、 U′n（ωT，·）i不递减，U′n（ωT，x）≥ λ（ωT），我们得到tha tZxx-εU′n（·，v）dv≤εU′n（·，x）=-εU′n（·，x）rn（·，x）≤ -ελ（·）rn（·，x）。因此，（32）意味着（30）和（27）成立。请注意，幂效用函数或指数效用函数（具有随机系数，精确条件见示例6.2）是U′n（ωT，·）对于所有n和ωT都不递减的示例∈ OhmT、 备注6.9我们重新讨论了确定性等价的概念（见命题3.20），但针对u-ni和多重e-priors框架中的随机效用函数。让G∈ WT使0≤ G（·）<+∞ QT-q.s.并假设U是验证定义6.1的效用函数，并且对于所有ωT∈ OhmT、 U型ωT·是凹的且在（0，∞). 此外，假设supP∈QTEPU-（·，y）<+∞ 对于所有y>0，EPU+（·，1）<+∞ 和EP | U（·，G（·））|<+∞ 对于所有P∈ QT。

然后o对于所有P∈ QT，存在唯一常数e（G，P）∈ [0, +∞) 使EPU（·，e（G，P））=EPU（·，G（·））。o如果进一步G∈ W∞,+T、 支持∈QTEPU-（·，G（·））<∞ 和infP∈QTEPU′（·，z）>0对于所有z>0，则也存在唯一的e（G）∈ [0，| | G||∞) 这样的影响∈QTEPU（·，e（G））=infP∈QTEPU（·，G（·）），在这种情况下，我们有e（G）≥ infP公司∈QTe（G，P）。我们称e（G）为G的多重先验确定性等价物。至于命题3.20，（省略）证明依赖于仔细应用中间值定理。参考B。Acciaio和I.Penner。金融学高级数学方法中的动态凸风险度量，第1章。Springer Verlag，柏林，2011年。B、 Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学金融学硕士，26（2）：233–251，2013年。C、 D.Aliprantis和K.C.边界。有限维分析：搭便车指南。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。Spring er Verlag，柏林，第3版，2006年。P、 Artzner、F.Delben、J.M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。MathematicalFinance，9:203–227，1999年。M、 Avellaneda，A.Levy和A.第。在波动性不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用数学金融，2（2）：73–881996。P.班克，Y.多林斯基和S.G.好的。具有非线性交易成本和波动不确定性的超级复制。《应用概率年鉴》，26（3）：1698–17262016。D、 巴特尔。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。《应用概率年鉴》，29（1）：577–61219。M、 Beiglbockock、P.H enry Labore和F.Penkner。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。财务Stoch。，17(3):477–501, 2013.B、 Bensaid，J.P。

Lesne、H.Pages和J.Scheinkman。具有交易成本的衍生资产定价。数学金融，2（2）：63–861992。D、 P.Bertsekas和S.Sh reve。随机最优控制：离散时间情况。雅典科学院，2004年。T、 R.Bielecki、I.C ialenco和M.Pitera。离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性调查：Lm度量视角。概率、不确定性和定量风险，2（3），2016年。R、 Blanchard和L.Carassus。无边界函数的多先验离散时间投资。《应用概率的nals》，88（2）：241–2812018。R、 Blanchard和L.Carassus。无多优先级套利。arxiv，2019年。B、 布查德。随机控制及其在金融中的应用。巴黎大学博士论文，2000年9月。B、 Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》，25（2）：823–8592015。M、 Burzoni，M。Frittelli和M.Magis。不确定离散时间市场中的通用套利聚合器。《金融与随机》，20（1-50），2016年。五十、 Carassus和M.R'asonyi。公用设施无差别价格与超级复制价格的趋同。运筹学数学方法，64:145–1542006。五十、 Carassus和M.R'asonyi。效用无差异价格与超级复制价格的趋同：整个实线案例。数学应用学报，96（119-135），2007a。五十、 Carassus和M.R'asonyi。当经营者的偏好发生变化时，最优策略和基于效用的价格就会趋同。运筹学数学，32:102–117，2007年b。五十、 Carassus和M.R'asonyi。保留价格的风险规避渐近。《金融年鉴》，7（3）：375–3872011年。五十、 Carassus和T.Vargiolu。超级复制价格：可以。Esaim：《会议记录与调查》，2018年第64期。五十、 Carassus、J.Obl\'oj和J.Wiesel。

健壮的超级复制问题：dynamicapproach。《暹罗J.金融数学》，10（4）：907–941199年。R、 卡莫纳。无差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009年。S、 Cerreia Vioglio、F.Maccheroni、M.Marinacci和L.Montrucchio。不确定性厌恶参考。《经济理论杂志》，146（4）：1275–1330，2011年。S、 Cerreia Vioglio、F.Maccheroni和M.Marinacci。看跌期权——平价和市场摩擦。《经济理论杂志》，2015年第157期。P、 Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi。离散时间下鲁棒定价和Hedginging的性质公式。巴纳赫J.数学。分析。，11 (1):72–89, 2017.S、 科恩。一般空间中次线性期望的准肯定分析、否定和对偶表示。《概率电子杂志》，17（62），2012年。A、 M.G Cox和J.Obl\'oj。双触式障碍期权的稳健对冲。暹罗J.Finan。数学2： 141–1822011a。A、 M.G Cox和J.Obl\'oj。双重非接触期权的稳健定价和对冲。《金融与随机》，15（3）：573–6052011b。J、 C.Cox、S.A Ross和d M.Rubistein。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，第7期（229-264），1979年。J、 Cvitani\'c和I.Karatzas。用对冲组合对冲或有债权。安·阿尔索夫应用概率，2（4）：767–8181992。J、 Cvitani\'c、H.Pham和N.Touzi。组合约束下随机波动模型的超级复制。《应用概率杂志》，2（52 3-545），1999年。R、 C.Dala ng，A。Morton和W.Willinger。随机证券市场模型中的等价martin-gale测度和noarbitrage。期刊随机和随机报告。，29:185–201, 1990.M、 H.A.Davis和D.Hobson。交易期权价格的范围。《数学金融》，17（1）：2007年1月14日。F、 Delbaen和W.Schachermayer。套利的数学。Springer Finance，2006年。F、 Delbaen，P.Grandits，T.Rheinl¨ander，D.Samperi，M。

Schweizer和Ch.Stricker。指数对冲和熵惩罚。《数学金融》，12:99–12，2002年3月。五十、 丹尼斯和C·M·阿蒂尼。模型不确定性条件下未定权益定价的理论框架。《应用概率年鉴》，16（2）：827–8522006。五十、 Deni s、M.Hu和s.Peng。与次线性期望相关的函数空间和容量：G-布朗运动路径的应用。潜力分析，34（2）（139-161），2011年。Y、 多林斯基和H.M.索纳。连续时间的最优运输和鲁棒套期保值。概率论及相关领域，160（1）：391–4272014。N、 El Ka roui和M.-C Quenez。不完全市场中连续索赔的动态规划与定价。暹罗J.控制优化。，33(1):29–66, 1991.D、 埃尔斯伯格。风险、我的双重性和野蛮公理。《经济学季刊》，75（4）：643–6691961。五十、 G.Epstein和S.Ji。连续时间内的不确定性、可能性和效用。《数学经济学杂志》，5 0:269–2 82，2014年。五十、 G.Epstein和M。施耐德。递归多优先级。《经济理论杂志》，113（1）：1-31，2003年。H、 F¨ollmer和A.Schied。随机金融：离散时间导论。Walter deGruyter&Co.，柏林，2002年。F、 Giammarino和P.M.Barrieu。具有不确定性厌恶偏好的无差异定价。《数理经济学杂志》，第49（1）期，2013年。一、 吉尔博亚。不确定性决策理论。经济计量学会专著，200 9。一、 Gilboa和D.Schmeidler。具有非唯一先验的最大最小期望效用。《数学经济学杂志》，18（2）：141-1531989年。五十、 P.Ha nsen和T.J.Sergent。鲁棒控制和模型不确定性。《美国经济评论》，91，2001年。J、 M.H arrison和D.M.K代表。多期证券市场中的鞅与套利。《经济理论杂志》，20（3）：381-4081979。J、 M.Harrison和S.R.Pliska。

马丁加·莱斯和连续交易理论中的随机积分。随机过程及其应用，11（3）：215–26 0，1 981。五、 亨德森。利用效用最大化对非合同资产的债权进行估价。《数学金融》，12:351–3732002。D、 霍布森。回望期权的稳健对冲。《金融与随机》，2:329–3471998。R、 Hodges和K.Neuberger。交易成本下未定权益的最优复制。修订版。未来市场。，8:222–239, 1989.D、 K ahneman和A.Tversky。前景理论：风险决策分析。《计量经济学》，47:263–2911979。S.卡尔布拉德、J.奥布洛伊和T.扎里波普卢。模型不确定性下的动态一致性投资：稳健远期标准。《金融与随机》，2017年出版。F、 骑士。风险、不确定性和利益。马萨诸塞州波士顿：哈特、沙夫纳·马克思；霍顿·米夫林公司，1921年。D、 克雷普斯先生。商品数量众多的经济体中的套利和均衡。《数理经济学杂志》，8（1）：15–351981年。F、 里昂。不确定的波动性和衍生品的无风险合成。《应用金融杂志》，2:117–133，1995年。F、 Maccheroni、M.Ma rinacci和A.Rustichini。环境厌恶、鲁棒性和偏好的变化表示。《计量经济学》，74（6）：144 7–14982006。R、 M ehra和E.C.普雷斯科特。股本溢价：一个骗局。《货币经济学杂志》，15（2）：145–16 1，1985年。M、 一夫多妻制。基于效用的对冲基差风险策略的绩效。QuantitativeFinance，4（244-255），2004年。M、 Musi ela和Th。扎里波普劳。无差异定价，向后和向前公用事业以及相关的无差异定价系统：binomialmodel的案例研究。普林斯顿大学出版社，2005年。M、 努茨。离散时间模型不确定性下的效用最大化。MathematicalFinance，26（2）：252–2682016。S、 彭。

倒向随机微分方程、非线性期望及其应用。R.Bhatia，《国际数学大会论文集》，第1卷，第393-432页。《世界科学》，Sin gapore，2011年。J、 普拉特。小规模和大规模的风险规避。《计量经济学》，32:122–135，1964年。M、 Rasonyi和L.Stettner。离散时间金融模型中效用最大化问题最优投资组合的存在性。In：Kabanov，Y。；L ipster，R。；Stoyanov，J.（编辑），《从随机微积分到数学金融》，斯普林格出版社。，第589-6082006页。F、 里德尔。具有多个优先级的最优停止。《计量经济学》，77（3）：857–9082009。F、 里德尔。无概率先验假设的金融。ArXiv，2011年。R、 Rouge和N.El Karoui。通过效用最大化和熵定价。数学金融学硕士，10（2）：259–2762000。五十、 萨维奇。统计学的基础。威利，纽约，1954年。H、 Mete Soner、N.Touzi和J.Zhang。通过聚集的准确定随机分析。《概率电子杂志》，16（67）：1844-18792011。J、 冯·诺依曼和O·摩根斯坦。博弈论与经济行为。普林斯顿大学出版社，1947年。