通过定理2的证明，Rin对门对应的小工具的输出组导出了一个BCY约束的ε-解。由于上述引理仍然成立，如果用ε替换Θ（ε）的每一个实例（由于单调性），它们意味着带有CDSs的C.ε系统的εCεddε是困难的。在这一过程中，我们开发了一种通用方法来说明“粗略”或“离散”版本的PPAD硬搜索问题是困难的。当约化充分忠实于广义电路的广义离散ε-解的结构时，我们将得到一个结果。因此，已经找到对ε与二人游戏的支持并不是图形游戏的特例。然而其他参与者策略的组合（Daskalakis、Goldberg和Papadimitriou，与具有CDS的金融网络一样，不可能进行此类修改，也不可能使用我们的方法。6网络结构上的结构限制区分和搜索问题仍然很难解决。这就减少了这一问题。6.1交易对手风险和基本风险检查表明，我们的小工具，以及所有在第3节和第4节共有三个属性，这三个属性使得金融系统特别简单：游戏的ε指数。Rubinstein（2018）使用samegadgets将其结果扩展为常数ε。由此，我们也得到了常数ε的固定支架的硬度。1.模板链的联合→ 我→ t、 这里是源库和汇库，我是另一个库。无中介：没有银行在同一个参考实体上同时持有和写入CDS。因此，单个参考实体的责任图是（内部或外部）星形图的分离。3.≥1+ε，对于任何相关ε），高于其最大负债，因此，他们不能违约。

此外，只有资本充足的银行才是CDS的编写者。财产1和财产2与之前在金融网络上的许多工作形成鲜明对比，金融网络通常只考虑负债图，其中要么完全忽略参考实体，要么仅将其视为边缘标签，但没有识别，因为我们的硬实例的负债图总是微不足道的。危险见D\'Errico等人（2018年））。然而，根据财产3，除非CDS持有人ε，否则交易对手风险仅为ε错误风险。因此，交易对手风险对回收率没有显著影响。该声明也适用于债务合同。因此，Fromand必须由基本风险驱动：命题2。银行i的资产定义为asai（r）的清算模型：=ei+Xj∈北卡罗来纳州j、 i+Xj，k∈Nckj，i（1- rk）。在第5节中，我们认为源银行的错误可能会产生很大的影响，因为概念/ε计算上的错误不会显著影响我们的小工具的输出。Leduc、Poledna和Thurner（2017）研究。上述命题的证明是通过重新查看我们的小工具证明来实现的，因此省略了。在源库，证明变得稍微容易些。总的来说，我们现在已经看到，财产3的第二部分所说明的计算复杂性，是由银行资产负债表资产方面而非负债方面的基本风险进一步驱动的。从数学上讲，它是2.3；在没有交易对手风险和所有相关负债的上述模型中，1，F来自上述的复杂性，因此似乎有希望研究结构限制，在这种限制下，单调性得以恢复。这就是我们在下面所做的。6.2裸体CDS网络，我们需要考虑所有潜在的CD作者，以确定什么是覆盖的和裸体的CD位置。

因此，我们根据之前的工作得出以下技术定义。定义8（有盖和无盖CDS头寸；Schuldenzucker、Seuken和Bat.XN、e、c、α、βjCDS头寸朝向另一家银行k ifXi∈Ncki，j≤ ck、 j.否则，JH将向SK显示一个裸CDS位置。如果没有一家银行对另一家银行持有裸CDS头寸，则Xhas没有裸CDS。如果JH对SKA持有覆盖CDS头寸，并且KDE的回收率、CDS作者的JK回收率），但其在债务中也收到了较低的付款，Poledna和Thurner（2017）也限制了他们对覆盖CDS的关注，如下所述。这就是为什么他们论文中出现的计算问题并不难解决的原因。来自K的病态。因此，有担保的CDS起着违约保险的作用，而无担保的CDS通常被视为违约投机。关于没有裸CDS的金融系统的示例，请参见附录a。这也表明，即使没有裸CDS，所有解决方案仍然可能是非理性的，因此我们仍然需要考虑近似问题。我们在之前的工作（Schuldenzucker、Seuken和Battiston，2019）中展示了多项式时间：定理6。对于任何没有裸CDS的金融系统X=（N，e，c，α，β）和任何ε>0，由R=（1，…，1）和rn+1=F（rn）定义的迭代序列（rn）在| N |·/ε步骤后达到更新函数的ε-近似固定点。特别是，该定义是一个完全多项式时间近似方案（FPTAS），用于在没有NakedCDS的金融系统中寻找ε-解的总搜索问题。证据在Rni不是ε-近似固定点的每个步骤中，一些成分RniεFr|N |·/ε，因为评估F和测试ε-近似固定点显然可以是εFε（命题1）。上述结果扩展到稍大一类的网络。

在Schuldenzucker、Seuken和Battiston（2019）中，我们定义了一种称为有色依赖的结构→ jexists wheneverFj（r）依赖于ri（一些边可能是误报）。FTheorem 6表明该算法是不含红色循环的FPTA。例如，一家银行可能会在一个与其债务人关系密切的实体上持有无担保的CDS，因此CDS持有人仍然不会从参考实体的违约中获利。这可能也是未来工作的一个有希望的主题，但超出了本文的范围。7结论在本文中，我们研究了金融网络中存在的清算问题，即一致解是NP完全的，当存在故障时，找到近似解或找到一组一致的违约银行是困难的问题。Hardnessare present允许FPTA。金融系统中银行与CDS之间的相互作用至少与理解布尔电路和广义电路的结构一样具有挑战性。复杂性依赖性。这些见解与监管政策相关。2008年后的监管改革边缘要求要求交易对手保留一个“缓冲账户”，从中可以确定合同价值的变动。强制使用中央交易对手（CCP）通过资本化程度较高的中央节点重新路由所有合同。投资组合comrisk。CCP和投资组合压缩修改了网络结构，但它们保留了非中介机构的所有参考实体-持有人关系。本文的研究结果。另一项可能不会影响我们问题硬度的政策是监管资本约束。在我们的模型中，这意味着需要最低水平γ∈相对于最大负债而言，外部资产的回收率为[0,1]。因此，银行可能的回收率为[αγ，1]，而不是[0,1]。

我们认为，有关不同市场改革的详细信息，可以直接修改见金融稳定委员会（2017）。Benos、Wetheriltand Zikes（2013）提供了一个易于理解的介绍。约束可能无法消除我们描述的复杂性。根据我们在第6.2节中的结果，可以消除复杂性的是禁止所有裸CDS。这一想法已成为2008年危机后公众辩论的一部分（例如，见索罗斯（2009）和路透社（2009））。在2011年欧洲主权债务危机期间，事实上，这一禁令是针对主权国家CDS的子集实施的。禁令将一直持续到今天（欧盟委员会，2011年；欧洲证券和市场管理局，2017年）。我们在这里描述的政策含义呼应了Schuldenzucker、Seuken和Battiston（2019）关于解决方案存在性的早期结果。Banerjee、Bernstein和Feinstein（2018）或多重到期模型（Kusnetsovand Veraart，2019），当债务和CDS在不同时间点到期。未来的工作应研究金融网络的哪些经验特性可能使CDS的清算问题可行。例如，如果引用实体的数量与银行的数量相比很小，那么我们可能能够利用和单调性。当裸CDS的份额是正的，但很小时，类似的方法可能是可行的。所有这些性质都与我们的硬度证明中的构造不兼容，这给高效算法的出现带来了希望。具有多项式最坏情况下的运行时间，但在实际问题中速度很快快速组合算法。例如，我们可以在defaultiteration上执行迭代，在策略支持上执行迭代，以计算纳什均衡。

根据第5节的结果，任何这样的算法都可能意味着在离散赋值上迭代的组合算法。有关详细信息，请参见Bolton和Oehmke（2015）。图11唯一解决方案不合理的金融系统。设α=β=1（无违约成本）。B具有CDS的金融系统可能只有非理性精确解的CAA示例图11显示了一个金融系统，其唯一的精确解是非理性的。Toair公司≤ 里尔r、 iA，Br正在清除i fff rA=rB，rB=2- rA，rC，方程式由a=1给出-√, rB=2-√2.B比较我们的广义电路定义toRubinstein（2018）C=C×1gate。其次，使用第3节中的小工具进行近似运算的其他布尔门，Schuldenzucker和Seuken（2019）在使用比较门和算术门时展示了这一点。为了简化分析，我们省略了这些门。具有两个输入端的比较门，其中x【v】=0±εifx【a】<x【b】-ε和x[v]=1±εifx[a]>x[b]+ε。我们可以使用ε仅增加常数因子的一元方差来模拟二进制比较门。要看到这一点，请构造一个子电路。不过，近似布尔值的定义比我们在第3节中所做的定义要弱。有关讨论，请参见Schuldenzucker和Seuken（2019）。对应于表达式+ （a）- （b）- （b）- a） 0和1处的UTrunction。然后将aC>1/2gate与inputu和outputv相加。如果x是ε-解，则x[u]=拞u±5ε，其中拞u：=+ [x[a]- x【b】]- [x[b]- x【a】]=+ x【a】- x【b】.请注意，u-/2=最小值（1/2，最大值(-1/2，x【a】- x【b】）。

由此得出εε</vε的小工具：=5ε。致谢我们要感谢（按字母顺序）维托·博沙德、余成、康斯坦丁·奥斯（Constantinos）参加2016年EC和2017年ITCS的与会者。所有作者都非常感谢欧盟sFP7和地平线2020未来与新兴研究与创新计划的财政支持。此外，Stefano Battiston感谢瑞士国家基金会通过宏观经济效率与稳定工作组提供的资金。参考Acemoglu、Daron、Asuman Ozdaglar和Alireza Tahbaz Salehi。金融网络的风险和稳定性。”《美国经济评论》，105（2）：564–608。Robert M.Anderson，《数学学会》，296（1）：229–237。Arinaminpathy、Nimalan、Sujit Kapadia和Robert M.May。109(45): 18338–18343.Arora、Sanjeev、Boaz Barak、Markus Brunnermeier和Rong Ge。2011年，《金融产品中的计算复杂性和信息不对称》ACM通讯，54（5）：101–107。班纳吉、如来、亚历克斯·伯恩斯坦和扎卡里·范斯坦。2018年，“金融网络中的动态清算和传染”工作文件，https://arxiv.org/abs/1801.02091.Bank用于国际结算。2018年。“半年度OTC衍生品统计，credithttp://stats.bis.org/statx/srs/table/d10.4？p=20181，2019年4月30日检索。Bardocia、Marco、Stefano Battiston、Fabio Caccioli和Guido Caldarelli。“金融网络不稳定的途径。”《自然通讯》，8:14416。巴塞尔银行监管委员会。2014年，“全球系统重要性银行评估方法-分数计算”2019年5月7日检索，https://www.bis.org/bcbs/publ/d296.htm.Battiston，斯特凡诺，圭多·卡尔达雷利，罗伯特·M·梅，塔里克·鲁克尼和约瑟夫·E·斯蒂格利茨。2016年，“金融网络复杂性的代价。”美国国家科学院学报，113（36）：10031–10036。Benos、Evangelos、Anne Wetherilt和Filip Zikes。2013

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