交易费用下的效用最大化问题：最优对偶

2022-6-1 12:55:35

交易费用下的效用最大化问题：最优对偶过程与稳定性*Lingqi Gu1,3，Yiqing Lin+2，Junjian YangFakult–at f¨ur Mathematik，Universit–at Wien，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Wien，Australiacentre de Math'ematiques Appliq'ees，'Ecole Polytechnique，f-911 28 Palaiseau Cedex，FranceCollege of Mathematics，福建师范大学，35011 7福州，中国10月13日，2017年摘要本文讨论了具有比例交易成本的市场中基于num'eraire的效用最大化问题。特别是，投资者需要在交割时清算其所有股票头寸。当效用函数和物理概率发生扰动时，我们首先观察原始和对偶值函数的稳定性以及原始和对偶优化器的收敛性。然后，我们研究了最优对偶过程（ODP）的性质，即从对偶域导出对偶问题最优性的过程。当市场由一个连续的过程驱动时，我们通过一系列ODP来构建有限市场中问题的ODP，这些ODP对应于具有小错误参数的问题。此外，我们证明，这种限制性ODP定义了一个sha dow pric e.Keywords。效用最大化问题，交易成本，稳定性，最优对偶过程，影子价格过程MSC2010。91G80、93E15、60G481简介最近，人们对具有恒定比例交易成本的效用最大化问题进行了深入研究。在本文中，我们限制我们的elves用一个基于num'eraire的一般模型来考虑这一问题，其中投资者的目标是解决其最终财富上预期效用的最大化问题。在这个市场中，股票价格是由一个不一定是半鞅的过程驱动的。

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2022-6-1 12:55:38

然而，投资者按价格购买股票，但只收到（1- λ） S出售时，w在这里λ表示恒定的比例交易成本。投资者用可接受的策略交易股票S，并被要求在最后时刻T清算其在股票中的所有头寸。正半线上的效用最大化问题由一组可容许的交易策略a（x）表示：EUVliqT（Д）→ 最大值！，φ = (φ, φ) ∈ A（x），（1.1）*作者衷心感谢奥地利科学基金（FWF）在25815号拨款下、欧洲研究理事会在321111号ERC高级拨款下以及维也纳大学在短期大海外（KWA）下提供的财政支持。这项工作的一部分是在L.Gu和J.Yang访问CMAP期间完成的，由N.Touzi教授主持，感谢他们。+通信人：yiqing。lin@polyt技术。eduwhereД和Д分别表示其在债券和股票中的头寸。对于超越半鞅的无摩擦市场模型，通常存在套利机会，因此效用最大化问题不能很好地解决。然而，交易成本的存在可能会排除此类策略：例如，Guasoni[Gua06]表明，当考虑到任意小比例的交易成本时，分数Black-Scholes模型是无套利的。在这种情况下，可以为具有有限间接效用函数的最大化问题找到最优策略【Gua02】。在比例交易成本λ的情况下，效用最大化的对偶理论可以追溯到[C K96，CW01]的开创性工作，当时S由It^o过程驱动，后来[CS16a，CSY17]将其扩展到效用函数仅支持正半直线的一般框架。

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2022-6-1 12:55:42

此外，我们在类似的上下文中引用了[DPT01、Bou02、BM03、CO 11、Yu17]，但可能具有多变量效用函数。在[CS16a]中，原始问题的解偶bД=（bД，bД）与以下对偶问题的解相关联[V（yYT）]→ 最小值！，Y=（Y，Y）∈ B（1）。（1.2）事实上，问题（1.1）是在[JK95]中引入的一致价格体系存在的假设下解决的。精确地说，一致的p-rice s-y-stem是一对过程Z=（Z，Z），由严格正的martin gale Zan和正的局部鞅Zsuch thatSZt：=ZtZt组成∈ [(1 - λ） S，S]，0≤ t型≤ T、 a.s.在无摩擦市场中，当在（NFLVR）（或（NUPBR））的假设下考虑相同问题时，这些过程扮演“等效局部鞅度量”（或“等效局部鞅定义”）的角色。与[KS99]中的Fatou极限论点不同，对偶问题（1.2）的域B（1）是所有可选的强超鞅的集合，这些超鞅是[CS16b]Znτ中一致价格系统的极限-→ Yτ，在P中，对于所有0≤ τ ≤ T、（1.3）我们指出[CS16a，CSY17]中的对偶结果不仅是静态的，而且是动态的，这意味着可以通过=由，由在B（1）中，其第一个分量Y达到（1.2）的最优性。此外，如果ProcessBy是局部鞅，那么影子市场可以定义为[CS16a]小瓶：=bYbY。从概念上讲，所谓的影子市场是一个无摩擦的市场，由买卖价差之间的一些公关过程驱动[（1- λ） S，S]。如果投资者在交易成本下与无摩擦的S而不是与S进行交易，效用最大化问题（1.1）由相同的交易策略解决，该策略产生相同的最优性。

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2022-6-1 12:55:45

早在文献[CK96]中，就已经研究了ODP和影子价格过程之间的关系。值得一提的是，如果概率空间是有限的，那么such过程总是存在的，参见[KMK11]。然而，它可能无法在一般环境中存在（参见[BCKMK13，CMKS14]中的反例）。关于效用最大化问题（1.1），[CSY17，CPSY17]研究了局部鞅型ODP存在的充分条件，以便在它们的情况下，可以根据[CS16a]的结果构造影子价格。本文讨论了[CS16a，CSY17]中对偶结果的敏感性。特别是，我们考虑的问题是：输入参数（初始财富、投资者偏好等）的微小变化如何对问题的最优策略和最优性施加影响（1.1）？在没有转移成本的框架中，类似于（1.1）的问题的稳定性研究可追溯到[JN04]（另见[CR07]），其中Jouini和Napp证明了LP收敛（p≥ 1）在It^o过程市场中，当效用函数受到扰动时，最优投资-消费策略。然后，将这一结果推广到byLarsen[Lar09]，以考虑一般连续半鞅市场中的类似问题。与[JN04]类似，Larsen对效用函数序列施加了增长条件。另一方面，如果只假设效用函数的路径收敛，他就有一个反例，证明了它在推导值函数连续性方面的效率。（有关此统一可积性（UI）类型条件的详细讨论，请参见[Kv11]）。

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2022-6-1 12:55:48

在[Kv11]中，Kardaras和ˇZitkovi'c不仅允许投资者的偏好发生变化，还允许主观概率发生变化，并获得了prim al和Dual优化器的L稳定性以及值函数及其导数的连续性。最近，Xing在[Xin17]中研究了当目标指数效用函数近似于R或半直线上定义的函数时的问题。[Lv07，Fre13，BK13，Wes16]中研究了另一类稳定性问题（另见[MW13]），其中模型的误判由风险y过程系数的变化表示。本文件组织如下。在第2节中，我们介绍了模型的公式和用c\'adl\'ag价格过程解决问题（1.1）的对偶结果。然后，我们在第3节中进行了敏感性分析，其中我们将[Kv11]中的（UI）条件与交易成本下的上下文相适应。对于受扰动的初始财富序列、投资者偏好和市场主观概率，我们发现了原始和对偶优化器的L-稳定性以及原始和对偶值函数及其导数的连续性。第4.1节致力于研究问题的杜阿尔域（1.2）和ODP的性质，这补充了[CS16a，CSY17]中的结果。特别是，我们为Y显示th∈ B（1），第一分量是局部鞅当且仅当是局部鞅。此外，我们还提供了一个简单的解释，说明了当S是连续的且最优财富过程的运行清算值远离0时，为什么ODP必须是[CSY17]中的局部鞅（见（4.3））。另一个重要的观察结果是，最优对偶过程不是唯一的，这与经典无摩擦理论的结果相反。感谢W。

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2022-6-1 12:55:51

Schachermayer，一个反例被构造成一个简单的几何布朗运动。除了第3节中的静态稳定性结果外，我们还根据上一小节中对ODPs的研究，研究了第4.2节中所谓的动态稳定性。数学上，如果{bYn}n∈若不存在与微扰问题相关的ODP，则至少存在{bYn}n的凸组合∈n在（1.3）的意义上，加入限制条件（x；U，P）。此限制必须是限制问题的ODP。当考虑到[CSY17，CPSY17]的情况时，动态稳定性结果为从扰动问题中构造极限问题的s hadow-price过程提供了一种可能的方法，这在本节第4.3.2节效用最大化问题的公式中进行了研究，我们引入了一个基于num'eraire的市场模型，其中包含交易成本和[CS16a]中获得的现有对偶结果。固定时间范围T>0。市场涉及比例交易成本0<λ<1，换言之，金融代理人必须以较高的要价St购买股票，并且只能收到较低的出价（1- λ）销售时。假设2.1。股票价格过程S=（St）0≤t型≤它是严格正的，c\'adl\'ag，根据过滤的概率空间进行调整(Ohm , F、（英尺）0≤t型≤T、 P）满足光连续性和饱和性的一般条件。此外，我们假设FT-= FTand ST-= ST.备注2.2。附加假设FT-= FTand ST-= 盯着看，以避免在终端时间T进行可能的交易的特殊标记。也就是说，在不丧失一般性的情况下，我们假设价格S在最终时间T不会上涨，而投资者仍然可以清算其持有的STOCK股票，因此我们可以让ДT=0。有关这些假设的更多详情，请参阅，例如，[CS06，备注4.2]或[CS16a，p。

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mingdashike22

2022-6-1 12:55:54

1895].定义2.3。模拟债券和股票单位持有量的交易策略是一个R值、可预测、有限变化过程Д=（Дt，Дt）0≤t型≤t确认满足以下自我融资约束：ZtsdДu≤ -ZtsSudД1，↑u+Zts（1- λ） SudД1，↓u、对于所有0≤ s<t≤ T，其中Д=Д1，↑- φ1,↓表示两个递增过程的差异对ν的规范分解。备注2.4。任何有限的变化过程都是l\'adl\'ag。正如[CSY17]中所指出的，如果价格过程是连续的，我们可以假设交易策略是c\'adl\'ag。定义2.5。固定交易成本的0<λ<1级。对于交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T、我们确定其在时间T的清算价值Vliqt（Д）∈ [0，T]byVliqt（Д）：=ДT+（ДT）+（1- λ） St公司- （^1t）-St.如果Vliqt（Д），则称交易策略Д为可接受≥ 0表示所有0≤ t型≤ T对于x>0，我们用A（x）表示所有可接受的、自我融资的交易策略的集合Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T、从初始捐赠（Д，Д）=（x，0）开始。用C（x）表示终端清算值的凸集SC（x）：=nVliqT（Д）：Д∈ A（x）o L+（P），等于集合ДT：Д=（Д，Д）∈ A（x），ДT=0如【CS16a】所述。我们使用效用函数对代理的偏好进行建模。假设2.6。让U：R+→ R是严格递增、严格凹、光滑函数，满足Inada条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 0，以及[KS99]中引入的“合理渐近弹性”条件，即AE（U）：=lim supx→∞xU′（x）U（x）<1。给定初始禀赋x>0，代理希望在最终时间T:E最大化其预期效用UVliqT（Д）→ 最大值！，φ ∈ A（x）。（2.1）为了避免这种微不足道的情况，我们有以下假设。假设2.7。

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2022-6-1 12:55:57

假设是这样∈C（x）E[U（g）]<∞,对于某些x>0。[C S16a]中关于效用最大化的对偶定理要求假设一致价格系统的存在性，这类似于等价m artin-Galemasures的存在性或无价格市场的一些类似较弱条件。定义2.8。固定0<λ<1。λ-一致价格系统是一个二维严格正过程Z=（Zt，Zt）0≤t型≤Twith Z=1，由一个鞅zan和一个局部鞅Zunder P组成，因此est：=ZtZt∈ [(1 - λ） St，St]，0≤ t型≤ T、 a.s.我们用Zλ（s）表示λ-一致价格体系的集合，我们说，如果Zλ（s）是非空的，则s满足承认λ-一致价格体系的条件（CP sλ）。定义2.9。如果存在严格正过程Z和序列{τn}n，我们说S局部满足条件（CP Sλ）∈Nof【0，T】∪ {∞}-有价值的停止时间，增加到完整性，这样每个停止的过程Zτ为停止的过程Sτn定义一个λ-一致的价格系统。我们称此过程Z为局部λ-一致的价格系统，并用Zloc表示，λ是所有过程的集合。假设2.10。对于所有0<u<λ，股票价格过程局部满足（CP Su）。定义2.11（可选强上马）。一个实值随机过程X=（Xt）0≤t型≤如果（1）X是可选的，则称为可选的强上鞅；（2） Xτ对于每[0，T]值的停止时间τ是可积的；（3）对于所有停车时间σ和τ，0≤ σ < τ ≤ T，我们有xσ≥ E[Xτ| Fσ]。备注2.12。Mertens在[Mer72]中引入的这类过程的概念是对c\'adl\'ag超级鞅的推广。读者还可参考[DM82，附录I]了解这些过程的更多特性。定义2.13。

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2022-6-1 12:56:00

我们用B（y）表示所有可选强超鞅的集合，这是一对非负可选强超鞅y=（Yt，Yt）0≤t型≤Tsuch thatY=y，y=对某些[（1- λ） S，S]-值进程=（eSt）0≤t型≤T、 Y（Д+ДeS）=YД+YД是所有（Д，Д）的非负可选强上乘函数∈ A（1）。相应地，定义（y）=纽约时报：（y，y）∈ B（y）o，对于y>0。备注2.14。在无摩擦的情况下，我们不需要使用supermartingale deflicator的可选版本，因为与交易策略相关的财富过程始终是一个随机积分，这在新的背景下并不一定是真的。s=C（1）和D=D（1）之间的极性 L+（P）在[CS16a，引理A.1]中建立，这意味着C和D在此新上下文中逐字满足[KS99，命题3.1]中列出的条件。因此，【CS16a】中的以下二元性结果是按照【KS99】中的行直接得出的。定理2.15（对偶定理，[CS16a，Th eorem 3.2]）。在假设2.1、2.6、2.7、2.10下，定义原始和对偶值函数asu（x）：=supg∈C（x）E[U（g）]，v（y）：=infh∈D（y）E[V（h）]，（2.2），其中V（y）：=supx>0{U（x）- xy}，y>0，是U的共轭函数。然后，以下语句成立。（i）函数u（x）和v（y）的值为整数值，对于所有x，y>0，且相互共轭ev（y）=supx>0[u（x）- xy]，u（x）=infy>0[v（y）+xy]。函数u和v是连续可微的，且严格凹（分别为凸）且满足yu′（0）=-v′（0）=∞, u′型(∞) = v′(∞) = 0。（ii）对于所有x，y>0，解决方案bg（x）∈ C（x）和BH（y）∈ D（y）存在，是唯一的，取其值a.s.（0，∞). 有bД（x），bД（x）∈ A（x）和bY（y），bY（y）∈ B（y）这样b^1（x）= bхT=bg（x）和byt（y）=bh（y）。

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mingdashike22

2022-6-1 12:56:03

（2.3）（iii）如果x>0和y>0与b y u′（x）=y相关，或与x=-v′（y），然后bg（x）和bh（y）由一阶条件bh（y）=U′关联bg（x）和bg（x）=-V′bh（y）, （2.4）我们有bg（x）bh（y）= xy。特别地，bД（x）bY（y）+bД（x）bY（y）是所有的P-鞅bД（x），bД（x）∈ A（x）和bY（y），bY（y）∈ B（y）满足（2.3）。（iv）最后，我们有v（y）=inf（Z，Z）∈Zloc，λEV（yZT）.备注2.16。与[KS99，命题3.2]（另见[CS16a，附录A]）类似，在（2.2）中定义的v（y）的数量可以通过{ZT:Z]中的元素来近似∈ Zloc，λ}，即v（y）：=infh∈D（y）E[V（h）]=infZ∈Zloc，λE[V（yZT）]。（2.5）我们在此澄清以下章节中稳定性论证的符号。对于物理概率P下的市场效用最大化问题，我们采用B（y）=B（y，P），D（y）=D（y，P），Zλ=Zλ（P），Zloc，λ=Zloc，λ（P）。此外，我们称之为可选的强su渗透系数bY（y），bY（y）∈ B（y）感应BYT（y）=bh（y）最优双过程（ODP）。有时，我们使用校准的过程bY:=（bY，bY）∈ B（1），通过滥用定义，我们仍然称之为ODP。类似地，我们称之为交易策略bД（x），bД（x）∈ A（x）满足VliqTb^1（x）= bg（x）最优原始过程（OPP）。在解决摩擦市场中的效用最大化问题时，我们经常想知道这个市场是否可以被一个产生相同最优策略和效用的无摩擦市场所取代。由于效用最大化问题，这种无摩擦市场被称为影子市场。定义2.17。

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2022-6-1 12:56:06

半鞅=（eSt）0≤t型≤如果（i）eS在买卖价差中取其值，则称为优化问题的影子价格过程（2.1）[（1- λ） S，S]。（ii）对应无摩擦效用最大化问题的解决方案eД=（eД，eД）Ux+Д·eST→ 最大值！，(φ, φ) ∈ A（x；eS）存在，并与交易成本下的解决方案bД=（bД，bД）至（2.1）一致，其中（x；eS）表示无交易成本的价格的所有自我融资和可接受的交易策略集，如[KS99]所示。如果效用最大化双重问题的ODP满足适当的条件，则可以通过该ODP构建影子价格过程。这在【CS16a】中得出结论。提案2.18（【CS16a，提案3.7】）。对于固定x>0，假设定理2.15的所有条件都成立。假设对偶优化器bh（y）等于byt（y），其中u′（x）=y和by（y）∈ B（y；P）：=（bY（y），bY（y））是一对P-局部鞅。然后，严格正半鞅：=bY（y）bY（y）是优化问题（2.1）的影子价格过程。另一方面，每个影子价格过程可以用someODPs的商来表示。以下是在【CS16a】中获得的结果。提案2.19（【CS16a，提案3.8】）。如果存在影子价格，则ODP的影子价格为（bY（y），bY（y））∈ 对偶问题（2.2）的B（y，P）。3静态稳定性对于固定的物理概率测度P和固定的效用函数U，对于任何初始禀赋x，根据定理2.15，原始P问题（2.1）可以通过一些bДT（x；U，P）来解决∈ C（x；P），最优值用u（x；u，P）表示。另一方面，对于双输入y>0，由（V，p）参数化的对偶问题（2.2）p允许通过t（y；V，p）解决∈ D（y；P），最优值用v（y；v，P）表示。

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2022-6-1 12:56:09

在本节中，我们研究了初始禀赋和双重输入的扰动如何影响主问题和对偶问题的最优性投资者效用的变化；o基础市场模型的错误说明。假设投资者效用的变化由一系列扰动函数（Un）n表示∈非真实市场模型的非真实性由概率序列（Pn）n描述∈N、现在，我们介绍这个问题的严格数学公式，其中我们根据[Kv11]f中的假设，考虑具有随机禀赋的无摩擦情况。假设3.1。对于每个n∈ N、 Pn编号~ P和limn→∞Pn=总变化中的P，limn→∞Un=U点方向和xn→ x>0，yn→ y>0。备注3.2。（1）对于每个n，存在Radon-Nikodym导数dpndpE。此外，表示为：=EPdPndP英尺,这是一个P-鞅。很明显，Zloc，λ（P）6= 表示Zloc，λ（Pn）6=, 对于每个∈ N、准确地说，对于任何Z∈ Zloc，λ（P），eZ-1Z∈ Zloc，λ（Pn），对于任何Z′∈ Zloc，λ（Pn），eZZ′∈ Zloc，λ（P）。此外，我们定义ZN：=eZnT=dPndP。（2）那个limn→∞Un=U逐点意味着他们的列根-芬切尔变换序列的逐点收敛，即limn→∞Vn=V点位。的确，{Un}n∈是有限维空间上的一类凹函数。然后，逐点收敛与极限函数域内部的epi收敛相等，而且，Unepi收敛到U相当于共轭序列VN收敛到V（有关更一般的分析，请参见[SW77，RW98]）。（3）由于凸性，序列{Un}n∈N、 {Vn}N∈Nas及其衍生物{U′n}n∈N、 {V′N}N∈n在（0，∞) 达到各自的极限U、V、U′和V′（参见例如。

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2022-6-1 12:56:12

【Roc70，定理10.8和25.7】用于一般性陈述）。在无摩擦的情况下，Larsen在【Lar09，第2.6节】中提到，{Un}n的逐点收敛∈不足以证明值函数的上半连续性和{Un}n收敛序列上的更多结构条件∈n应强制执行。在本论文中，我们介绍了以下假设，其在无摩擦情况下的类似物可在[Kv11，第2.3.2节]中找到。假设3.3。定义：=ZT：（Z，Z）∈ Zloc，λ.存在ZT∈ ZT，因此对于所有y>0的家庭，家庭nznv+n伊兹特赞在…上∈Nis P-uniformlyintegrable。定理3.4。在定理2.15的假设和假设3.1、3.3下，我们对值函数和最优解有以下限制关系：limn→∞u（xn；Un，Pn）=u（x；u，P），limn→∞v（yn；Vn，Pn）=v（y；v，P）；（3.1）limn→∞xu（xn；Un，Pn）=xu（x；U，P），limn→∞yv（yn；Vn，Pn）=yv（y；V，P）；（3.2）limn→∞bхn，0T（xn；Un，Pn）=bхT（x；U，P），limn→∞bh（yn；Vn，Pn）=bh（y；V，P），a.s.（3.3）为了证明这个定理，我们首先需要借助以下命题重新表述对偶问题Vn。提案3.5。Ifeh公司∈ D（y，P），然后对于每个n∈ N、 eheZn公司∈ D（y，Pn）。相反，如果h∈D（y，Pn），然后是heZn∈ D（y，P）。证据在不丧失一般性的情况下，让h∈ D（1，Pn）。通过定义D（1，Pn），存在一个负Pn可选强超鞅（Y，Y），Y=1，YT=h，满足yy∈ [(1 - λ） S，S]和ДY+ДYis是所有Д的非负Pn可选强上鞅∈ A（1）。工程师：=EPdPndP英尺,这是一个P-鞅。显然，eZn=eZnT。必须在P下显示工艺的超可压缩性∈ A（1）。

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可人4

2022-6-1 12:56:16

对于0≤ s<t≤ T和Д=（ДT，ДT）0≤t型≤T∈ A（1），根据Bayes公式，我们有立即（φsYs+φsYs）EZN≥ EPh公司^1tYt+ДtYteZnt公司Fsi。类似地，我们可以展示第一个断言。定理3.4证明示意图。通过将随机禀赋q设置为0，证明将基本分为四个步骤，这与[Kv11]中的证明非常相似。为了避免冗余，我们只需在有交易成本的情况下列出所需的证据和清单。因此，请读者参考[Kv11，第3节]了解更多详细信息。（1）根据命题3.5，对应于由（Un，Pn）参数化的效用最大化问题的对偶问题v（·；Vn，Pn）可以用参数（Un，P）重新表示。精确地说，v（y；Vn，Pn）=infh∈D（y，Pn）EPn[Vn（h）]=EPnhVnbh（y，Pn）i=infh∈D（y，P）EPeZnVn公司赫赞= EP“eZnVnbhn（y，P）eZn！#，其中EznConvergence to 1 in L（P），因而in L（P）；对偶优化器bh（y；Pn）∈ D（y，Pn）和BHN（y；P）∈ D（y，P）达到最大v（y；Vn，Pn）。上述等式对应于[Kv11]中的（3.1）。我们随后可以完全按照[Kv11，第3.2节]的步骤进行，以获得半连续性V（y；V，P）≤ lim信息→∞v（y；Vn，Pn），对于y＞0，其证明依赖于函数{Vn}n的性质∈Nand V以及假设3.1和备注3.2。（2）对偶值函数具有上半连续性属性。事实上，对于任何ZT∈ ZT，y>0，我们需要（y，ZT）：=h类∈ D（y，P）：ZTh∈ L∞,然后，将[Kv11，第3.3节]中引理3.3和3.4对应的交易成本列示如下：引理3.6（比较[Kv11，L emma 3.3]）。修正y>0，让ZT∈ ZT应确保V+（yZT）∈L（P），Thenv（y；V，P）=进给∈eD（y，ZT）EPhV呃i、引理3.7（比较[Kv11，引理3.4]）。假设对于某些f∈ L+，集合{eZnV+n（f/eZn）}n∈Nis P-一致可积。让h∈ L（P）为h≥ f a.s。

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能者818

2022-6-1 12:56:20

Thenlimn公司→∞eZnVn公司h/eZn= V（h）在L（P）中。借助这两个引理，我们可以用[K v 11，第3.3.2节]表示v（y；v，P）≥ lim支持→∞v（y；Vn，Pn），对于y>0。（3）从（1）和（2）中的结果以及v（·；Vn，Pn）和v（·；Vn，Pn）是凸函数的事实，我们可以得出结论，limn→∞v（yn；Vn，Pn）=v（y；v，P）。另一方面，由于u（·；u，P）（resp.u（·；Un，Pn））是v（·；v，P）（resp.v（·；Vn，Pn））的勒让德-芬切尔变换。出于与备注3.2（2）和（3）类似的原因，我们有→∞u（xn；Un，Pn）=u（x；u，P）。从而证明了（3.1）。如（3.2）所示，必须应用u（·；Un，Pn）的ep i-收敛特性→ u（·；u，P）和v（·；Vn，Pn）→ v（·；v，P）并继续讨论次微分的图形收敛性，这与[K v 11，第3.4节]相同。（4）最后，证明了对偶优化器limn的L-收敛性→∞bh（yn；Vn，Pn）=bh（y；V，P）在（3.3）中，我们可以定义一个辅助序列fn：=n-1yZT+（1- n-1） bh（y；V，P）∈eD（y，ZT），对于某些ZT∈ ZT，使V+（ZT）∈ L（P）。显然，fn→L中的bh（y；V，P）。然后，可以按照[Kv11，第3.5.2节]中的程序证明存在一个由{nk}k索引的子序列∈N、这样的胆小鬼→∞Pnk（bh（ynk；Vnk，Pnk）∈ [k]-1，k]，fnkeZnkT∈ [k]-1，k]，bh（ynk；Vnk，Pnk）-fnkeZnkT> k-1） =0，其中在证明[DS94，引理A1.1]时使用的方法的更详细版本起着关键作用。鉴于（2.4）、（3.2）和Mark 3.2.4的动态稳定性，可获得（3.3）的其他部分。在上一节中，稳定性结果仅取决于财富过程的终值以及实现双重最优的可选超级鞅滤波器的终值。在本节中，我们将重点讨论实现最佳化的Whole过程的动力学。

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2022-6-1 12:56:23

特别是，我们将首先研究最优对偶过程的性质，并讨论所谓的动态稳定性。此外，我们构造了一个影子p-rice过程，通过影子价格序列限制由（x；U，p）参数化的问题，该影子价格序列对应于由{（xn；Un，Pn）}n参数化的问题∈N、在本节中，我们需要以下假设，这是影子价格过程存在的必要条件（见[CSY17]）。假设4.1。此外，我们假设股票价格是由一个连续的过程驱动的。4.1可选强上鞅函数的性质在本小节中，我们首先研究可选强上鞅函数的性质，这对于动态稳定性的论证是必要的。为了表示法的简单性，我们只考虑Y：=（Y，Y）∈ B（1）。根据[Mer72]，由于这些过程是可选的强超级马丁格尔，它们允许Doob-Meyer-Mertens分解，这是c\'ad l\'ag超级马丁格尔的Doob-Meyer型分解的类似物，即Yi=Mi- Ai，i=0，1，（4.1），其中Mi是一个c\'adl\'ag局部鞅，Ai是一个非减量l\'adl\'ag可预测过程。我们现在介绍以下命题，它显示了非减损部分A和A之间的关系，即象征性的，（1- λ） StdAt公司≤ dAt公司≤ 标准日期。提案4.2。假设4.1成立，Y：=（Y，Y）∈ B（1）。这些过程允许独特的Doob-Meyer-Mertens分解为（4.1）。设ε+λ≤ 设σ与[0，T]中的耗时值相匹配。定义τε：=inft型≥ σStSσ=（1+ε）或（1- ε)∧ T、然后，对于满足σ的所有停止时间τ≤ τ ≤ τε,(1 - ε)(1 - λ） SσEAτ- AσFσ≤ EAτ- AσFσ≤ （1+ε）SσEAτ- AσFσ.（4.2）备注4.3。

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能者818

2022-6-1 12:56:26

在[CSY17，引理3.5]中可以找到一个类似的引理，该引理给出了一个特殊的超鞅函数的性质（4.2），该超鞅函数构造为局部一致价格系统序列的Fatou限制过程。我们注意到，我们对上述命题的简单证明将不取决于Y的构造，而仅取决于整个过程的超鞅性质∈ A（1）。证据考虑以下交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T∈ A（1）定义为（Дt，Дt）：=(1 - (1 - λ)(1 - ε), 0) , 0 ≤ t<σ；-(1 - λ)(1 - ε），Sσ, σ ≤ t<τε；Vliqτε（Д），0, τε≤ t型≤ T、显然，上述交易策略是λ-自我融资且可接受的。实际上，我们只需要考虑最坏的情况，即股价达到（1- ε） Sσ，那么σ<t≤ T，液化值Vliqt（Д）≥ -(1 - λ)(1 - ε) + (1 - λ） Sσ（1- ε） Sσ=0。通过对可选stron g supermartingale过滤器的定义，我们得到了每个τ∈Jσ，τεK，- (1 - λ)(1 - ε）（Mσ- Aσ）+Sσ（Mσ- Aσ）≥ E-(1 - λ)(1 - ε)Mτ- Aτ+SσMτ- AτFσ.我们可以假设Mand-Mare是真鞅，而不丧失一般性，否则，停止技巧适用。因此，我们获得Aτ- Aσ| Fσ≥ (1 - ε)(1 - λ） SσEAτ- AσFσ.对于其他不平等，让我们定义另一种交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T∈ A（1）乘以（Дt，Дt）：=(λ + ε, 0) , 0 ≤ t<σ；(1 - λ) + λ + ε, -Sσ, σ ≤ t<τε；Vliqτε（Д），0, τε≤ t型≤ T、对于相同的参数，我们对每个σ都有≤ τ ≤ τε，（1+ε）SσEAτ- AσFσ≥ EAτ- Aσ| Fσ,这就结束了证明。以下推论很简单。推论4.4。对于每个可选的强力超级马丁表Y、 Y型∈ B（1），如果第一个分量是局部鞅，那么第二个分量也是局部鞅。备注4.5。实际上，在没有引理4.2的情况下，我们仍然可以得到推论4.4。

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2022-6-1 12:56:28

通过定义允许的交易策略（Дt，Дt）0<t≤T=（1+n，-n）和（Дt，Дt）0<t≤T=（1-n、 n），n∈ N、我们可以完成证明。接下来，我们在[CSY17]的框架下研究了ODP的局部鞅性质。实际上，C zichowsky等人在[CSY17]中发现了一个有效条件，当S是连续的时，它可以保证ODPs的局部鞅性质，也就是说，PPS的清算值过程是a.S.S三次正的，即inf0≤t型≤TbVliqt（bД）>0，a.s.我们将[CSY17]的结果总结为以下命题。提案4.6（【CSY17，提案3.3】）。固定交易成本的0<λ<1级。我们假设假设满足假设4.1和定理2.15的所有假设。此外，我们假设最优原始过程的清算值过程bД=（bДt，bДt）0≤t型≤T∈A（x）严格为正，即inf0≤t型≤TbVliqt（bД）：=inf0≤t型≤Tbхt+（1- λ）（bхt）+St- （bхt）-St公司> 0，a.s.（4.3）设y=u′（x），则存在局部λ-一致价格系统bz∈ Zloc，λ，使得ybZT=bh。备注4.7。在上述主张中，价格过程的连续性至关重要。否则，可以在[CMKS14]中找到反例。最近，论文[CPSY17]证明，如果我们假设“双向交叉”（TWC）的条件，（4.3）成立（定义见Bender[Ben12]）。这种情况意味着所有0<u<1的局部S满意度（CP Su）。（参见[CPSY17]中定理2.3的p屋顶。）[CSY17]中命题ab ove的证明基于OPP清算值的严格正性和[CSY17，引理3.5]（另见引理4.2）。在本文中，我们给出了一个比[CSY17，命题3.3]强一点的命题，然而，它的证明却大大减少了。

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2022-6-1 12:56:31

事实上，命题4.6的结果构造了这样一个ODP，它是一对局部鞅，这对于构造影子价格过程很有帮助，下面的命题指出，所有ODP都是同一框架中的局部鞅。这种说法在小说中是有意义的，因为与无摩擦的情况不同，ODP不再是唯一的（反例将在后面讨论）。提案4.8。固定交易成本的0<λ<1级。在第4.6项假设下，设y=u′（x）和by∈ B（y）是与对偶优化器相关联的可选辅助变量，即byt=bh a.s。那么，bY是局部鞅。换句话说，所有与双重优化器相关的λ-可选超级鞅定义都是一个局部λ-一致的价格体系。证据股票价格过程S是连续的，因此S是局部有界的。我们可以在不丧失一般性的情况下假设OPP（bVliqt）的清算价值为0≤t型≤这是可预测的（否则，考虑交易策略的c\'agl\'ad版本），从inf0开始≤t型≤TbVliqt>0，我们可以找到一系列a.s.增加和发散的停止时间{m}∞m=1，因此，对于每个m∈ N和t∈ [0，T]，我们有BVLIQT∧m级≥m、 m级≤ (1 - λ） St公司∧m级≤ St公司∧m、确定最佳交易策略bД（x），bД（x）∈ A（x）。很容易验证b^1·∧m级-m、 b^1·∧m级∈ A（x）。因此b^1·∧m级-m级bY+b^1·∧MBY是一个可选的强上乘角色。回想一下，bИbY+bИbY是一个鞅，所以bYis是一个可选的强子鞅，最大可达m、阿斯比∈ B（y），由·∧mhas是一个鞅。Sobys是一个局部鞅，根据推论4.4，bYis又是一个局部m artin鞅。备注4.9。与无摩擦情况类似，当S连续时，ODP总是一对局部鞅。也就是说，无论清算价值是否严格为正，ODP的第一个坐标都不会“失去”其质量。

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2022-6-1 12:56:35

如果我们继续进行与[GLY16，附录]类似的论证来证明上述命题，就可以看出这一点。它需要用清算价值过程来代替财富过程。与无摩擦情况不同，我们没有ODP的唯一性，即使是其FirstCoordination。第二坐标ODPs的非唯一性很容易观察到。它可能已经发生在有限的环境中Ohm 如【Sch17，示例2.4】所述。对于ODP第一次合作的不一致性，我们感谢Walter Schachermayer提供以下反例（另见[Sch17]）。示例4.10（Walter Schachermayer）。设W=（Wt）t≥0be an（FWt）t≥0-布朗运动，其中（FWt）t≥0是W在满足通常条件下产生的自然过滤。假设投资者的效用以对数函数U（x）=对数（x）为特征。在下面的内容中，我们首先构建了两个由两个不同过程bS和ˇ驱动的无摩擦市场，并最终找到了一个具有交易成本的市场S，这样bS和ˇS在与S交易时都是这个对数效用最大化问题的影子价格过程。此外，我们证明了BZ=（bS-1、1）和ˇZ=（ˇS-1，1）是此类问题的两个ODP，但BZ 6=ˇZ。构造分为三个步骤：步骤1：定义=exp（Wt+t），t≥ 确定交易成本水平0<λ<，并确定τλ=inf{t:Nt=2（1- λ)} .LetbS是随机区间J0，τλK上N的时变限制，即bSt=Ntan（πt）∧τλ, 0 ≤ t型≤ 1、考虑一个由过程B驱动的无摩擦市场，该市场适用于Ft定义的时变过滤系数：=FWtan（πt）∧τλ. 然后，bZ：=（bS）-1定义一个局部鞅定义域。

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2022-6-1 12:56:37

根据默顿法则，对数效用最大化问题可以通过以下策略来解决：在时间t=0时以价格b=1购买一只股票，在时间t=1时以价格b=2（1）出售- λ）（我们称为“买入-持有-卖出策略”）。步骤2：接下来，我们定义一个过程B的扰动，该扰动将用ˇS表示。为此，我们首先定义一个扰动Bz=（bS）-1，然后将该局部鞅分解为bz=cM+bP，其中cmt：=EhbZFti=2（1- λ），bPt：=bZt-cMt。请注意，BP=1-2λ2(1-λ） andbP=0。因此，bP是一种潜力。设σ：=inft:bPt=1, 然后，停止的局部鞅bpσ是有界的，因此是鞅。此外，P[σ<∞] =1.-2λ2(1-λ).对于δ>0，选择任意Fσ-可测函数F，取[1]中的值- δ、 1+δ]这样f1{σ<∞}=1.- 2λ2(1 - λ）使得f在{σ<∞}. 通过71pt确定潜在的71p=E[f1{σ<∞}| 英尺∧σ], 0 ≤ t型≤ σ、 fbPt，σ≤ t型≤ 1，这也是一个从71p=1开始的局部鞅-2λ2(1-λ）以ˇP=0结束。请注意，0≤ˇPt∈ [(1 - δ） bPt，（1+δ）bPt]，0≤ t<1，a.s.定义Z：=cM+P和s：=（Z）-1、然后，theratioˇStbSt∈ [(1 + δ)-1, (1 - δ)-1]. 很明显，由S驱动的无摩擦市场有一个局部鞅def'Z。这个市场再次具有对数最优策略y是买入-持有-卖出策略的性质。步骤3：定义=最大值（bSt，ˇSt），Mt=（1- λ)-1分钟（英国夏令时，英国夏令时）。有必要假设（1- λ)(1 + δ) < (1 - δ）使mt<mt，0≤ t型≤ 1，a.s.定义bySt=（1- t） mt+tMt，0≤ t型≤ 1，从S=1开始，到S=2结束是连续的和自适应的。很明显，双方仍处于买卖价差[（1- λ） S，S]。因此，很明显，（bZ，1）和（71z，1）都是Zloc，λ（S）中的元素。

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2022-6-1 12:56:40

由于以交易成本交易S只会产生无摩擦的交易forbS或ˇS，因此，对于摩擦对数效用最大化问题而言，以t=0购买一只股票并仅在t=1时出售的交易策略是最优的。通过（2.4），我们可以验证（bZ，1）和（ˋZ，1）都会导致双重优化rbh=2（1-λ).然而，bZ6=ˇZ.4.2最优对偶过程的收敛在本小节中，我们将讨论动态稳定性，这意味着DPS的稳定性。为了简单起见，我们首先考虑初始禀赋和效用函数扰动下的效用最大化问题，同时保持物理概率测度不变，即Pn≡ P.对于每个效用最大化问题u（xn；Un）以及极限问题u（x；u），我们假设命题4.6的所有条件。从上一小节的结果来看，最优对偶过程bYn：=（bYn，0，bYn，1）：=（bY（yn；Vn），bY（yn；Vn））是P-局部鞅的耦合，即bYn∈ ynZloc，λ（P）。提案4.11。对于市场模型和每个效用最大化问题u（xn；Un，P）（简称u（xn；Un））中的效用函数以及限制问题u（x；u，P）（简称u（x；u）），我们假设命题4.6的所有条件。此外，假设Limn→∞Un=U点方向和xn→ x>0。然后，对于与对应于对偶问题sv（yn；Vn）的对偶优化器bhn（即，bYn，0T=bhn）相关联的ODPsbYn：=（bYn，0，bYn，1）序列，存在一对局部鞅bY=（bY，bY）和{bYn}的凸组合子序列∞n=0，仍由{bYn}表示∞n=0，这样对于每[0，T]值的停止时间τ，bYn，0τ，bYn，1τP-→按τ，按τ.此外，车钩∈ yZloc，λ是一个ODP，对应于极限对偶问题v（y；v），byt=bh。证据

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nandehutu2022

2022-6-1 12:56:43

因为对于每个n，bYn∈ ynZloc，λ B（yn），然后根据[CS16b，定理2.7]，存在{bYn}的凸组合的子序列∞n=1，仍由{bYn}表示∞n=1，且optionalstrong supermartingalebY=（bY，bY），对于每个停止时间τ，取[0，T]中的值，（bYn，0τ，bYn，1τ）P-→ （按τ，按τ）。（4.4）根据定理3.4的结果，特别是（3.2）和（3.3），我们得到了，0T=bhnP-→bh=bYT。很明显∈ 因此，它是一个ODP，对应于效用最大化问题u（x；u）。通过应用命题4.8，构造的couplebY=（By，By）是一个局部鞅。备注4.12。如果我们只对每个问题u（xn；Un）和极限问题u（x；u）假设定理2.15中的条件，则上述命题中的结果不具有lo-calmartingale性质。备注4.13。对于更一般的情况，包括物理概率测量的扰动，我们假设与上述命题相同。此外，我们假设∈ N、 Pn编号~ P和limn→∞Pn=总变化中的P。对于每个n，我们在Pn下解决一个效用最大化问题，并提取一个ODPbY（yn；Vn，Pn），bY（yn；Vn，Pn）∈ ynZloc，λ（Pn），它是一对Pn局部鞅。通过改变度量，我们得到（eYn，0，eYn，1）：=bY（yn；Vn，Pn）eZn，bY（yn；Vn，Pn）eZn∈ ynZloc，λ（P） B（yn，P）。（4.5）对于每个n，p过程（eYn，0，eYn，1）是p-局部鞅。此外，根据事实→ 在L（P）和定理3.4中，我们有byt（yn；Vn，Pn）dPndPP-→bh（y，V，P）=bYT（y；V，P），其中右侧是V（y，V，P）的双重优化器。因此，同样根据[CS16b，Theorem2.7]，存在{（eYn，0，eYn，1）}n的凸组合的子序列∈N、也由{（eYn，0，eYn，1）}N表示∈N、使得每次停止时τ取[0，T]中的值，eYn，0τ，eYn，1τP-→按τ，按τ.

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2022-6-1 12:56:46

（4.6）任何此类限制过程由，由∈ yZloc，λ（P）是v（y；v，P）的一个ODP，通过应用命题4.8，它是一对P-局部鞅。备注4.14。回想一下，我们在本文中假设了过滤的美国条件，那么本小节中讨论的每个ODP都有一个c\'adl\'ag修改。这一特性对于影子市场的构建至关重要。4.3影子价格过程的构建本小节致力于通过与扰动问题相对应的一系列影子价格过程来构建极限效用最大化问题的影子价格过程。与前一小节类似，我们首先考虑Pn≡ P、提案4.15。对于每个效用最大化问题u（xn；Un）以及极限问题u（x；u），我们假设命题4.11中的所有条件。对于每个n，假设bsn=bS（yn；Vn）是对应于第n个问题的影子价格过程，可以用bybsn=bYn，1bYn，0表示，其中：=bYn，0，bYn，1∈ B（yn）是一个P-局部鞅。然后，存在一系列的凸组合拜恩∞n=0和限制处理∈ B（y）使得byn在（4.4）的意义上接近tobY。此外，bS:=BYBY定义了限制问题u（x；u）的影子价格过程。证据这个命题可以通过简单地应用命题4.11和命题2.19来证明。备注4.16。对于物理概率测量中出现突变的更复杂的情况，我们转向备注4.13的设置。根据命题2.19，对于每一个n，效用最大化问题u（xn；Un，Pn）都存在一个影子价格过程b，它可以由与该问题对应的一些ODP表示，即bSn（xn；Un，Pn）=By（yn；Vn，Pn）By（yn；Vn，Pn）=eY（y；Vn，P）eY（y；Vn，P），其中序列{（eYn，0，eYn，1）}n∈Nis来自（4.5）。

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