固定限额下的退休财富：最优策略

2022-6-2 16:53:28

硕士Thesis。Sc.“精算学”课程固定限额下的退休财富：指数效用的最佳策略提交人：监督人：Lena Schütte博士Catherine DonnellyMatriculation编号：08-933-848 Michael SchmutzEmail博士：Lena。schuette@stud.unibas.ch提交日期、地点：2017年1月30日，EdinburgHackKnowledgements感谢Catherine Donnelly博士接受我为爱丁堡Heriot Watt大学的访问学者，如果没有他，本论文就不可能完成。她宝贵的建议和不断的指导，以及对我在这里的所有相关事宜的友好支持，使过去四个月在科学和个人方面都非常令人兴奋和充实。我还要感谢HeriotWatt精算数学和统计部提供了良好的设施，感谢我办公室的同事们创造了一个有趣和激励的氛围。此外，我还要感谢Michael Schmutz博士同意担任我的巴塞尔大学主管，感谢Jolanda Bucher协助我完成行政程序，感谢Matthias Kohlbrenner审阅本文。我们也非常感谢瑞士-欧洲流动计划通过巴塞尔大学流动办公室提供的资助。内容图IV列表表V符号列表VI1简介12指数效用的最优策略32.1最优策略的推导。32.1.1市场模型和Hamilton-Jacobi-Bellman方程。32.1.2指数效用函数的最优策略。52.2最优策略简要分析。72.2.1参数：α和T。72.2.2初始财富和最终财富分配。

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大多数88

2022-6-2 16:53:32

. . . . . . . . . . . 92.3投资限制下最优策略的扩展分析102.3.1初始财富。112.3.2参数：u-r。142.3.3参数：σ。162.3.4参数：r。183指数效用和低约束的最优策略Kl3.1 Kl策略的推导。193.2 Kl战略分析。223.2.1首次观察。233.2.2不同情况。253.3投资限制下Kl战略的简要分析。283.4终端财富分布比较。303.4.1理论与经验分布。303.4.2投资限制的影响。334指数效用和上约束的最优策略Ku4.1 Kl Ku策略的推导。364.1.1 Ku策略的推导。364.1.2 Kl Ku战略。39II4.2 Kl Ku战略分析。404.2.1 Kl战略分析。404.2.2 Kl Ku策略分析。444.3码头财富分配。

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2022-6-2 16:53:36

485结论516展望52附录A 536.1 HJB的推导。536.2求解线性SDE。546.3预期效用理论：从彩票到效用函数。556.4指数效用和风险规避。566.5分析方法：投资限制的影响。576.6最优终端财富分布的分位数。616.7^πland^πu的行为。636.8 Kl-Ku策略：Kl影响的说明。66附录B 686.9 R-模拟代码。68参考文献72IIIList of Figures1风险规避对^π（T=5）初始投资的影响。82风险规避对^π初始投资的影响（变化T）。93^π（变化T）的绝对投资。94^π和^πm的投资和财富过程（变化X）和^πm的最终财富分布。125库存绩效（u-r=0.01和u-r=0.05）。146^π和^πm的财富过程（u-r=0.01和u-r=0.05）。147^πm（u-r=0.01和u-r=0.05）的初始财富总回报直方图158差异^π-π情人时间（投资金额）。239当前影子财富的差异π-πlin函数（在t=19时投资的金额）2410影子财富越高，导致πl的敏感性越高。2511对于股票价值的减少，μπlgoes为零。

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2022-6-2 16:53:39

2612如果股票表现良好，则第一年对于受限策略所错过的上升潜力更为关键。2713初始投资作为X的函数，以及固定X的财富过程。2914^πl终端财富的经验分布。3115当前影子财富（t=19时的投资金额）的差异π-πuin函数4116πUB对于更高的财富和接近到期（Ku=1\'250）而言为负值。4217股票表现不佳导致投资增加（Ku=3000）。4318克兰库姆的影子初始财富（X=1000）。4519^πl，u（不同Ku）随时间和财富过程投资的金额。4620^πl，u（high Kland Ku）随时间和财富过程投资的金额。4821彩票示例【9】。5522参数α=0.0001的指数效用函数。5723 X=10的终端财富直方图；1000; 10’000 . . . . . . . . . . . . 6224随时间变化的|πpp（|X^πt，t）（上线）和|πcc（|X^πt，t）行为。6425当前影子财富函数中∧πpp（∧X^π，17）（上线）和∧πcc（∧X^π，17）的行为。6526^πl，u（不同Kl）随时间和财富过程投资的金额。66IV表1^π……的最终财富经验预期收益和方差列表。102 X^πM的分位数和^π的比较-1=120%、100%和80%。133 X^πmTas总回报分位数和u-r=5%、3%和1%的比较。154个X^πmTas总回报分位数，σ=0.1和0.4（以及变化的u-r）。175个X^πmTas总回报分位数，r=0%，r=-1%（变化u）。186个不同Kl的X^πlf理论分位数。

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2022-6-2 16:53:42

. . . . . . . . . . . . . . . 327经验与X^πlT的理论分位数的偏差（不同样本）328经验与X^πlT的理论分位数的偏差（不同步长）339经验、投资受限与X^πT的理论分位数（不同情景）。3410 X^πT的经验、投资约束与理论分位数（变化Kl）3511 X^πl、uT的分位数（不同Ku）。5012 X^πT的分位数（变化X）。6213 X^πTas总回报的分位数（和变化的u-r）。6314 X^π和X^πmTas总回报的分位数（变化r）。63V符号列表初始财富（独立于战略）最优无约束战略下的二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程二次过程三次过程三次过程三次过程三次过程，m^πl通过投资限制进行修改Xshadow wealthX^πtshadow过程（在Xp（t，X^πt）下的财富过程）影子财富的看跌期权价格（执行价格Kl）πp（t，X^πt）ku复制策略在Xp（t，X^πt）上约束下的终端财富的上界uoptimal策略t）买入期权价格关于影子财富（执行价格Ku）~πcst复制c（t，~X^πt）VI1的策略介绍退休投资的最佳方式是什么？这个问题可能比以往任何时候都更加相关，因为私人和机构投资者面临着一个具有挑战性的低息市场环境和日益增长的退休需求。

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大多数88

2022-6-2 16:53:45

与此同时，这个问题在金融数学和经济学中得到了广泛的研究，并提供了许多有趣的方法。其中，使用财富对投资者的效用而不是简单回报（simplereturn）作为标准似乎最能反映投资者的需求。使期望效用最大化的策略通常被称为最优策略，它们只能通过分析得出少数效用函数。指数效用函数就是其中之一，在本论文中，它将用于确定简单Black-ScholesSetting中的最优策略。除了对由此产生的战略及其对退休财富的影响有很好的了解外，我们特别感兴趣的是在考虑投资者需求的同时提高其潜力。因此，我们的想法是对由此产生的财富引入上限和下限约束：效用理论表明，投资者对较低的财富价值更为敏感，因此他们可能准备放弃一些投资潜力，以换取最低回报的担保。从另一个角度来看，将退休时的财富限制在最大金额（例如，年金的当前价值）可能是有利的，并通过较高的概率获得补偿，以获得低于该最大值的财富的更大回报。本文的目的之一是探讨退休财富上下约束对指数效用最优策略的影响。从这个意义上讲，本文可以看作是对[4]中所做研究的补充，其中考虑了电力效用函数。为了避免债务，本文对最优策略进行了第二次修改。

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2022-6-2 16:53:48

由于最佳策略可能涉及借入资金或卖空，因此存在投资者最终获得负财富的风险。这就是为什么我们希望将投资限制在财富的100%以内。这一限制将在我们制定的现有战略上实施，因此其后果将仅根据实证结果进行评估。我们将循序渐进，逐步调整战略。作为基础，我们将在第2章中使用随机最优控制参数推导出最优无约束策略。然后，我们将根据投资者相关参数对其进行简要分析，并重点分析投资受限的最优策略。第三章研究了终端财富仅面临较低约束的最优策略。这将通过制定双重问题并通过风险中性估值解决。然后，我们将看到得到的最优策略与结合看跌期权的最优无约束策略相对应。在进行一些定性分析之后，我们将实施投资限制，并了解其对战略的影响。最后，重点将放在结果财富的理论分布（无约束）和实施修改策略所产生的误差上。在最后一章中，我们将为问题添加一个上限约束。为此，我们将首先通过之前使用的类似方法，找到上约束的孤立情况的策略。然后，我们将把它与前一章的结果结合起来。结果表明，除了买入看跌期权外，“组合”策略还需要卖出看涨期权。

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nandehutu2022

2022-6-2 16:53:52

为了进一步分析这一策略，我们将首先简要调查上限约束的独立情况，然后尝试概述上限和下限约束的选择如何影响“组合”策略，无论是在定性上还是在终端财富分配方面。最后，附录旨在收集所用理论的背景信息，并进行补充分析以验证实证结果。2指数效用的最佳策略我们将首先找到使终端财富的预期指数效用最大化的策略，并简要分析其结果。此外，该战略还通过对投资金额的限制进行了修改。随后将更详细地研究由此产生的战略和终端财富分布。2.1最优策略的推导在本节中，我们将介绍形式设置，并通过求解表征最优策略的微分方程来推导最优无约束策略。我们将看到，它要求投资于风险资产的金额具有确定性，独立于投资者的财富或股票的表现，但以无风险利率增长。由此产生的终端财富是正态分布的。2.1.1市场模型和Hamilton-Jacobi-Bellman方程我们假设Black-Scholes市场模型由一只风险股票和一只风险自由债券组成，在连续时间间隔[0，T]内可用。整数T>0表示终止时间，例如退休时间。

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可人4

2022-6-2 16:53:55

时间t的债券价格由确定性价格过程{B（t），t给出∈ [0，T]}动态Cdb（T）=rB（T）dt，（2.1），其中r>0是无风险利率，B（0）=1几乎可以肯定（缩写为a.s.）。风险股票在时间t的表现由随机价格过程{S（t），t∈ [0，T]}动态Cds（T）=uS（T）dt+σS（T）dW（T），（2.2），其中σ>0，S（0）=1 a.S.，u>r和W（T）是在完全概率空间上定义的一维标准布朗运动(Ohm, F、 P）。截至时间t的可用信息由filtrationft=σ{W（s），s表示∈ [0，t]}∨ N（P），其中N（P）表示概率空间中所有P-null事件的集合。此外，callπ={π（t）是一个R值、Ft渐进可测过程和rtπ（s）ds<∞ t型∈ [0，T]}一个投资组合，π（T）是T时投资于风险资产的财富比例。我们假设投资者遵循自我融资策略，这意味着财富获得者的损失完全来自投资收益或损失。那么，时间t对应的财富Xπ（t）可以用动力学dxπ（t）=π（t）Xπ（t）dS（t）S（t）+（1）来描述-π（t））Xπ（t）dB（t）B（t）。假设投资者在时间0时以固定的正财富x开始，并将（2.1）和（2.2）代入动态，这将给出财富方程定义的财富过程：dXπ（t）=（rXπ（t）+π（t）（u- r） Xπ（t））dt+σπ（t）Xπ（t）dW（t）和Xπ（0）=X a.s.（2.3），其中X∈ R+。为了更好的可读性，设Xπt：=Xπ（t）和πt：=π（t）。将可接受的投资组合集定义为：={π：Ohm ×【0，T】→ R | Xπ=X a.s。

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2022-6-2 16:53:58

π是一个自筹资金的投资组合}，如果π∈ A、此外，确定状态价格密度过程H（t）：=e-（r+θ）t-θWt.为了说明投资者的问题，我们首先让财富的效用用一个函数（称为效用函数）U:R来描述+→ R、 x 7-→ U（x）。投资者面临的问题定义如下：问题1。找到策略^π∈ A使得e[U（X^πT）]=supπ∈AE[U（XπT）]，（2.4）成立。（2.4）的解^π（称为最优投资策略）是否存在尚不明确。然而，如果是这样，找到最优投资策略的问题就相当于找到一个随机微分方程的解，即汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（HJB）。这在[2]中有详细说明。由于其推导的概要可以在附录A中找到，我们将简单地陈述Hamilton-Jacobi-Bellman方程（HJB）0=五、t（t，x）+supπ[rx+（u-r） πx]五、x（t，x）+σπx五、x（t，x）（2.5）边界条件V（T，x）=U（x）。（2.6）对于简化，符号五、t（t，x）=Vt，五、x（t，x）=Vx，五、x（t，x）=引入了Vxxis。2.1.2指数效用函数的最优策略为了找到HJB的解，需要知道效用函数，因为我们需要设置一个边界V（T，x）=U（x）。我们将使用指数效用，这很方便，因为它简化了许多计算，并由函数u:R定义→ (-∞, 0]，x 7-→ U（x）=-e-αx，对于常数α>0。U描述了投资者如何评估财富x，给出了一个（个人）参数α，我们称之为风险厌恶。请注意，其一阶导数U（x）随着财富的增加而收敛到零，这意味着对效用的贡献减少（即财富越大，额外增加对投资者效用的影响越小）。这种特性被称为效用边际递减。

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可人4

2022-6-2 16:54:01

此外，风险厌恶是恒定的，这意味着投资者对风险的态度与他的财富无关。（指数）效用函数的性质将在附录中进一步讨论，因此现在我们将重点讨论最优策略。因为（2.5）中的上确界与标量函数的最大值f（π）=[rx+（u- r） πx]Vx+σπxVxx，最佳值^π需要满足0=f（^π）=（u- r） xVx+σ^πxVxx t型∈ [0，T]，因此^π=-(u - r） σxVxVxx。（2.7）注意，还需要检查f（^π）=σxVxx<0。因此，使用（2.7），（2.5）可以写为VT+rxVx-(u - r） σ（Vx）Vxx=0。（2.8）对于简化，符号θ：=u- 引入了风险的市场价格rσ。基于类似问题的现有结果（例如[18]），我们建议如下：命题1。值函数v（t，x）=-e-αxer（T-t）-θ（T-t）是HJB的解决方案。（2.9）证明。对于简化定义A（t，x）：=αxer（t-t） +θ（t-t）并写入V（t，x）=-eA（x，t）。然后VT=dA（x，t）dte-A（x，t）=-[θ+αxrer（T-t） ]e-A（x，t），Vx=dA（x，t）dxe-A（x，t）=αer（t-t） e类-A（x，t）和Vxx=-αe2r（T-t） e类-A（x，t），因此f（πt）<0。将Vxx和Vxfrom从上面代入θ（Vx）Vxx得到θαe2r（T-t） e类-2A（x，t）-αe2r（T-t） e类-A（x，t）=-θe-A（x，t），因此Vt+rxVx-θ（Vx）Vxx=0So，V（t，x）满足方程（2.8），因为V（t，x）=-e-αx，它满足指数效用的HJB（2.5）-（2.6）。提案2。最优投资策略由^πt=θX^πtασe给出-r（T-t）。（2.10）证明。自（2.9）：^πt=-θxσVxVxx=θxασe-r（T-t）。因此，命题1成立，根据[2]中的定理19.6（验证定理），V是最优值函数，^π是相应的最优策略。注意，^π取决于时间和财富，所以它不是常数。然而，绝对投资量^πtX^πt=θασe-r（T-t）不取决于投资者的绝对财富。最优策略给出了命题3。

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2022-6-2 16:54:05

最优财富过程由X^πt=X^πert+tθαer（t-T）+θαer（T-T）带X^π=X.（2.11）证明的WT。将（2.10）代入（2.3），我们得到dx^πt=[rX^πt+θαe-r（T-t） ]dt+θαe-r（T-t）载重吨。这是一个线性随机微分方程（SDE），其解的推导见附录6.2。特别是，对于t=t，它如下所示：X^πt=XerT+tθα+θαWT，因此终端财富是正态分布的，E[X^πt]=XerT+tθα，Var（X^πt）=θαt。2.2最优策略简要分析我们将从分析投资者可能影响的因素（即初始投资X、风险规避α和投资地平线T）的最优策略开始。这里将把市场参数r、u和σ视为固定值，但下一节将详细研究其影响。由于最优策略与投资者的风险厌恶参数α成反比，且后者往往取非常低的值，我们将看到它对它特别敏感。此外，初始财富也起着重要作用，因为低风险厌恶可以由高初始财富来弥补，以达到与初始财富相同的预期回报。2.2.1参数：α和TIf如果我们看（2.10）中的公式，可以看出投资策略是逆比例的，因此对X^π和α高度敏感。这可以解释为，投资于股票的比例随着财富的增加而减少，这在边际效用降低的情况下是有意义的。此外，由于α是风险厌恶的一个衡量指标，因此很直观的是，风险财富（即投资于股票）的比例随着α的增加而减少。为了评估参数α的影响，从现在起，我们将考虑投资于t的绝对金额，即^πtX^πt，它独立于X^πt。

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2022-6-2 16:54:08

由于它是确定性的，因此可以通过观察初始投资（t=0）来描述α的影响，因为它在图1中是“标准”设置的一部分（注意，这里的t相当小，但这不会产生太大差异，我们将在后面看到）。显然，对于低风险厌恶，即使α的微小变化也会对投资产生巨大影响。因此，需要特别注意α的选择。图1：风险规避对^π（T=5）初始投资的影响α的哪些值是合理的？尽管风险规避的估计取决于实验环境和使用的方法，但研究表明类似的范围：[6]意大利家庭的中值为0.000708，平均值为0.01978，[3]加州番茄种植者的最佳估计值为0.001（最小值估计值为0.000708），【14】卢旺达平均绝对风险规避率为0.037，中位数为0.0439，参考【7】了解贷款平台上个人投资者的类似值（0.003平均值，0.109中位数）。除了对投资的影响外，还有其他一些原因值得关注α的较小值：通常情况下，设定的目标是有一定意愿投资的人，因此可以排除极高的风险规避。此外，风险厌恶在人群中的分布似乎是右偏的（见[1]），因此中位数0.0007可能是比平均值更好的参考值。然而，0.01和0.001左右的值似乎也是α的现实选择，也应予以考虑。与α相比，（合理）时间范围T的影响相当小。例如，在图2的第二张图中，与^πtX^πt轴的交点为α=0.0004。这导致在10年至30年之间，约250吨股票的初始投资存在差异。

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2022-6-2 16:54:11

随着α的增加，初始投资的变化不会太大，这种差异也不会太大。例如，如果α=0.0007，对于相同的T范围，初始投资的差异为150（而初始投资从1\'400左右变为500左右）。图2：风险规避对^π（变化T）初始投资的影响2.2.2初始财富和终端财富分配在无风险利率r下，投资的绝对金额随时间呈指数增长，与股票表现无关（见图3）。这意味着，如果财富的增长率高于r，那么投资于股票的比例就会下降，从而导致最终财富相对于其预期价值的方差较小。另一方面，对于较小的财富，我们预计会有更高的回报，因为投资于股票的比例更大，预期回报更高（u>r）。图3：随着时间的推移，^π（变化的T）α的绝对投资对投资的财富比例的影响与X的影响程度相同。这意味着，对于初始财富较高但风险厌恶程度较小的投资者，与初始财富较少的高度风险厌恶者一样，会将相同百分比的财富置于风险之中。因此，就初始财富回报率和相对于预期回报率的方差而言，终端财富的分布是“相同的”。换言之：低财富可以通过风险承受能力得到补偿。这可以由经验值证实，如下表所示，在r=0.01、u=0.03、σ=0.1、T=20的情况下。这里，σ（XT）=σML（XT）/uML（XT），其中uML（XT）=E[XT]和σML（XT）是终端财富分布的预期值和标准偏差的绝对值，从1000个样本的最大似然函数中获得。

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2022-6-2 16:54:14

注意，由于X^πt正态分布，50%分位数与预期收益相同。有关其他分位数的更多详细信息，请参阅附录A。（A）α=0.01XE[XT]Xσ（XT）αX10 915%96%0.1201%44%1130%7%10123%1%100122%0%1000（b）α=0.001XE[XT]Xσ（XT）αX10 8\'684%104%0.01938%94%0.1197%45%1130%7%10123%1%100（c）α=0.0001XE[XT]Xσ（XT）αX10 77\'311%115%0.0018\'056%110%0.01938%89%0.1200%46%1130%7%10表1：经验预期收益和方差^π的终端财富注意，T的预期回报是无风险债券利息和股票回报的组合，取决于投资比例。因此，对于更大的X值，收益收敛于无风险债券的确定性收益（e0.01×20=1.22），其方差趋近于零。另一方面，对于较小的初始财富，投资金额远高于初始财富本身（通常较小的α更高），因此预期回报率是初始价值的大倍数。例如，对于α=0.0001和X=10，该策略要求投资16’375的股票和-16’365的无风险资产，这反过来会导致预期的理论绝对回报约为8’012。这意味着，对于小额财富而言，该策略与投资比投资者提供的更多资金有关（即卖空或借贷），而投资者可能希望避免这种情况。2.3投资限制下最优策略的扩展分析在本节中，我们介绍了对风险资产投资的限制，并调查了对最终财富分配的影响。

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2022-6-2 16:54:18

所有这些参数之间的相互作用都很复杂，表明了一种模式：通常，限制会减少较小的分位数，而对较高分位数的影响较小，因为它会将分布变为对数正态分布。对于高初始财富、大u-r和大σ，影响通常更大。对于较小的r和较小的α，投资限制的优势最为明显。除了这种实证方法外，附录6.4中还提供了一种更具理论性的方法。我们首先确定对^πtX^πtin值的限制，以避免最优策略要求的风险股票投资金额超过财富水平：修正1。投资限制让修改后的策略定义为（t，X^πmt）∈ [0，T）×R×πm（T，Xπmt）=πtif Xπmt≥ ^πtXπmt1如果X^πmt<^πtXπmt，其中X^πmt是X^πm=X的相应财富过程，并且是命题2.2.3.1初始财富中的最优策略让我们首先看看初始财富的价值对策略的影响。从直觉上看，该值越高，财富就越不可能低于过程中最优策略所要求的投资金额，因此修改后的策略和原始策略之间的差异应该很小（或者可以为零）。从另一个角度来看，这也意味着投资的财富比例很小，因此该策略（修改或不修改）在整个终端财富分布中只起到很小的作用，因此会改变影响该策略的参数。

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2022-6-2 16:54:21

从定性上看，这可以在以下曲线图中观察到，其中初始财富变化为^π所需金额的120%、100%和80%。人们可以观察到终端财富值从高到低的变化，以减少X和增加投资限制的影响（直方图中的红线是供参考的正态分布）。这也反映在经验最终财富分布的分位数中，其中Qp（X）是由初始财富X，^π得出的p分位数-1=X/（^πX）是初始财富占所需初始投资的百分比，以及（Qp）=Qp（X）/Qp（πX）是相对于Qp（πX）=Qp（100%πX）的分位数变化：XQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）（Q0.25）（问题0.5）（Q0.75）（Q0.95）4\'912 4\'037 7\'549 10\'848 15\'043 134%117%112%107%4\'094 3\'010 6\'450 9\'653 14\'0643\'275 2\'292 4\'660 8\'067 12\'673 76%72%84%90%-1=120%、100%和80%。值得注意的是，Xa的变化对低分位数的影响大于对高分位数的影响：Xby 20%的增加导致25%分位数的增加大于20%，而95%分位数的增加仅为7%。当Xis减少20%时也会发生同样的情况。还可以观察到Xin项对分位数影响的增加和减少之间的不对称性。例如，在Q0.5，我们观察到下降了28%，而只有17%的增长。对于较低的预期收益u和较高的可用性σ，也可以观察到类似的影响。特别是，更高的波动率似乎会导致更大的变化，例如，当σ=40%时，我们会将Q0.25增加到140%，然后降低到72%。分位数变化的原因在于，财富路径失去了上行潜力，而财富路径的上行潜力低于遵循最佳策略所需的数量。

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2022-6-2 16:54:24

而不是投资最优策略所需的全部金额，只有可用的财富可以投资，这通常会导致终端财富的价值较低。初始财富越低，受战略修改限制的路径越多，导致财富越少，从而导致分位数越低。由于表现优异的路径更为罕见，也不太可能受到修改的限制，Xa的变化对它们的影响较小，因此上分位数（即Q0.95）的影响较小。另一个原因可能是，X越大，投资比例越小，因此策略的修改对高端财富的分配影响越小。在这种情况下，即使投资于股票的部分由于修改而表现不佳，这也会产生有限的影响，因为该策略的结果以投资于无风险债券的高比例为主导。分位数变化的不对称性可以用以下解释来解释：当财富下降并保持在最优策略所需的数量以下时，它是100%投资于股票，因此它的分布与股票的分布相同，这是一个对数正态分布。因此，对于较低的Xt，分布更接近对数正态分布，而对于增加的Xit，则收敛于最优终端财富的正态分布。2.3.2参数：u-rIn与最初的策略相反，如果投资金额与股票的表现无关，则投资限制建立了与股票市场的联系。因此，预期收益u、无风险利率r和波动率σ等市场参数将在另一个程度上影响最终财富分布。让我们首先看看市场利率和无风险利率的差异。

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2022-6-2 16:54:27

由于最优策略所需的初始投资金额随u-r的变化而变化，我们将X=πX和r=0.01，并比较不同u和固定α=0.001的结果输出。图5：股票表现（u-r=0.01和u-r=0.05）图6：^π和^πm的财富过程（u-r=0.01和u-r=0.05）由于绝对初始财富在不同情景下有所不同，因此我们查看总回报的数量，而不是绝对终端财富，以进行更好的比较。在下图中，x轴显示了100%的总回报，红线表示正态分布。图7：^πm（u-r=0.01和u-r=0.05）的初始财富总回报直方图。我们再次看到，随着差距的减小，较低分位数的权重增加，表明分布类型发生了变化，而不是简单的值移动。对于经验分位数，假设Qp（u-r）是agapu-r在T=20时初始投资回报的p分位数，并且（Qp）=Qp（u）/Qp（0.03）是相对于间隙u-rof 3%的分位数变化。u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）（Q0.25）（问题0.5）（Q0.75）（Q0.95）5%149%239%314%419%240%213%195%182%3%103%187%268%383%1%58%122%211%322%19%22%26%28%表3:X^πMTA总回报的分位数和u-r=5%、3%和1%的比较与以前一样，我们看到参数变化的影响在较低分位数中更为明显，例如u=5%，Q0.25增加了+140%，而Q0.95只增加了+82%。对于其他参数的不同组合，也可以观察到这种模式，尽管对于较小的初始值和较大的方差，分位数的影响通常更强。

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2022-6-2 16:54:30

同时，这也是最优无约束策略结果差异最明显的地方（例如，在u-r=5%，^π导致Q0.25增加+116%，Q0.95增加+82%，后者与^πm相同。）然后，可以再次观察到u-r的减少和增加效果之间的不对称。例如，如果间隙减少到1/3，则相应的分位数将减少到20%到30%之间的值，而增加2/3将导致较低分位数增加到200%以上（按比例增加将导致166%）。对于其他参数σ和α，其行为类似。这种不对称的原因在于投资约束的应用。一般来说，对于基本的塞塞纳里奥u-r=0.03，大多数财富路径似乎受到约束的影响（见图7），因此终端收益率的分布接近对数正态分布。由于u-r的减少对约束的应用和终端分布没有太大影响，对分位数的影响相当低。相反，u-r的增加可能会导致更多路径表现更好，并且不会受到投资约束的影响，因此终端财富分布将略接近最优终端财富的正态分布。这种分布的变化可以在分位数中观察到，表现为较低分位数（比例过大）的增加，在直方图中，表现为较低u的值向左移动。与之前一样，另一种解释方式是：财富路径越多地遵循策略的受约束部分，所使用的上行和下行潜力就越小，这导致较低价值更加集中，最终形成右偏对数正态分布。

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2022-6-2 16:54:34

还要注意的是，如果^πtxt以较低的比率r<u增长，那么股票（以及财富）和^πtxt之间的绝对差距会随着时间的推移而增长，从而导致切换到修改策略的概率下降。因此，在投资初期，我们观察到原始策略和修改策略之间的大部分差异。如前所述，另一个影响可能与以下事实有关，即高分位数表示高财富，而高分位数又与低投资比例有关，因此受限制的影响较小。请注意，最优策略要求投资于风险资产的金额与u-r成比例。此处的变化对修改后的策略具有与初始财富“反向”变化相同的影响，我们在上一节中考虑了这一点（换言之：策略的修改是否有影响取决于相对于^πX的高度）。然而，在曲线图和数量中无法观察到这一点，因为我们设置了X=^πX.2.3.3参数：σ。目前，我们已经看到，约束对投资的影响越强，最终财富分布越趋向对数正态分布。我们假设，当约束的影响因不同的参数σ或r而改变时，也会发生同样的影响。这就是为什么，而不是如何，我们现在感兴趣的是评估这种限制的影响程度。因此，我们将比较此修改策略与原始策略的最终财富分布的经验分位数。

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2022-6-2 16:54:37

由于投资受限策略的价值可能更受关注，因此此处列出了这些价值，但最佳无约束策略的价值可在附录6.6中找到。我们将α=0.001设为不同的预期收益率，考察了小波动率和高波动率的分位数，r=0.01和X=πX.u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%28%172%354%585%3%17%96%296%532%1%11%52%231%481%（a）σ=0.4u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%209%245%284%340%3%155%195%231%284%1%103%144%181%234%（b）σ=0.1表4：σ=0.1和0.4的X^πMTA总回报的分位数（并变化u-r）不足为奇，对于高方差，终端分布的分布范围更大，对于小方差，终端分布的分布范围更窄。更令人惊讶的是σ=0.4的结果相当令人失望，其中πmyields的结果比表中显示的所有回报的无约束策略更差：峰值在Q0.25，u-r=0.05，28%而不是94%，唯一的例外是特别“糟糕”的表现（即在Q0.25，u-r=0.01，11%而不是-3%）。与受投资约束影响较大的高波动性情景相反，10%的低波动性产生的结果几乎与最优策略相同。当然，在这种情况下，范围通常更小，结果也更低。总的来说，这可能是个好消息，因为我们预计较小的u-r将与较小的风险相关联，σ是一个指标，更大的差距将与更高的波动性相关联。因此，u-r=0.01，σ=0.1。u-r=0.05和σ=0.4可能是实际情况，Q0.5=144%。

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2022-6-2 16:54:40

Q0.5=172%为可接受结果。还要注意的是，方差确实对初始投资量有很大的影响，对于u-r=5%，当σ=0.1时，我们得到^πX=256，而σ=0.4.2.3.4参数时，得到^πX=4\'094：我们在这里考虑零利率和负利率的情况，小波动率σ=0.1，T=20，α=0.001。如前所述，我们设定X=^πX。为了进行比较，100%投资股票和100%投资债券的最终财富的中位数也会列出。请注意，股票的分布是右偏的，中位数小于平均值。uXQ0.25Q0.50Q0.75Q0.95Q0.50（πt≡ 1） Q0.50（πt≡ 0）10%10000 270%302%331%374%739%100%6%6000 189%221%250%293%332%1%1000 84%118%148%191%122%（a）r=0%uXQ0.25Q0.50Q0.75Q0.95Q0.50（πt≡ 1） Q0.50（πt≡ 0）4%6\'107 138%164%188%223%223%82%2%3\'664 104%131%155%190%149%0%1\'221 69%97%122%157%100%（b）r=-1%表5:XπMTA总回报的分位数r=0%和r=-1%（和变化u）自然，无风险利率较低时，初始财富回报较低。然而，在大多数情况下，这仍然比100%投资债券要好。与此同时，与100%投资股票相比，u越超过r，终端财富回报中失去的上行潜力就越大。在上面的例子中，我们设置了X=^πX，但如果我们计算初始财富，并考虑一个风险厌恶程度较低的人，则初始投资金额将较大，因此投资于股票的比例较小。因此，终端财富的回报率将更接近于100%的股票投资，而不是100%的债券投资的回报率。

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2022-6-2 16:54:45

例如，对于α=0.0001，如果r=0且u=10%，则得到Q0.50=675%；如果u=4且r=1%，则得到Q0.50=203%。这意味着上述分位数也反映了投资者的风险规避偏好，与其他选择（如完全投资债券或股票）的比较应考虑到这一点。将这些结果与无限制最优策略进行比较，发现α=0.001时几乎没有差异：这里，对于μπ和u=0.01，在Q0.95=90%时，最大差异为+6%，r=0。但是，对于α=0.0001，这意味着对风险资产的投资要多得多，我们发现了巨大的差异：对于几乎所有的分位数，错过的上行潜力是巨大的。例如，当r=0%时，对于所有考虑的u，其介于200%和1\'510%之间。有趣的例外是u=0.01的较低分位数。在这些情况下，由无限制策略产生的25%的最优终端财富路径的值低于-2%。这就是限制发挥作用的地方，并显示出巨大的优势：对于u=1%和r=0%，Q0.25为82%，对于u=0%，r=-1%，仍为67%（见附录6.5中的表14）。3指数效用和下限约束的最优策略Kl3.1 Kl策略的推导我们现在引入下限约束来限制终端财富，并推导此设置的最优策略。我们将发现，这涉及到按照最优策略（产生影子财富过程）投资初始财富的一部分，并使用另一部分购买看跌期权来对冲这一过程。为了简单起见，我们有时会将其称为asKl策略。我们首先通过约束Kl修改问题1∈ R(-∞,XerT）。问题2。找到最优策略^πl∈ A使得e[U（X^πlT）]=supπ∈AE[U（XπT）]和X^πlT≥ Klholds a.s.（3.1）为了解决这个问题，我们首先确定最佳终端财富。提案4。

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可人4

2022-6-2 16:54:48

对于问题2，最优终端财富的形式为X^πlT=~X^πT+max{Kl-~X^πT，0}，（3.2），其中~X^π是（2.15）中的最优财富过程，其中~X=(-ln（yα）+rT-θT）αe-y>0时的rT（称为阴影值），使得E[HTX^πlT]=x和^πt对应的最优策略。证据该语句直接来自于文献[5]中的引理2。要看到这一点，让I（y）=U0-1（y）=-αln（yα）是U（x）=αe的逆-αx。注意，U是严格递增和凹的。通过引理2，X^πlT=max{K，I（yHT）}=I（yHT）+max{K-I（yHT），0}对于y>0，使得e[HTX^πlT]=X，其中，HT=H（T）是T处的状态价格密度。确定▄X，使I（yHT）=▄X^πT。这是ifI（yHT）的情况=-1α[ln（yα）- （r+θ）T-θWT）]=X ert+Tθα+θαWT因此，我们发现X=（rT-θT-ln（yα））αe-请注意，最优终值财富的结构是无约束财富过程的最优终值加上看跌期权（在此无约束财富过程上）。因此，我们可以通过确定收益率最大的复制投资组合来找到最佳策略-~X^πT，0}T。这将通过风险中性估值参数来实现，类似于[4]。提案5。时间t的价格∈ payoff max{Kl的看跌期权的[0，T]-~X^πT，0}由p（T，~X^πT）=Φ（dl（T，~X^πT））（e）给出-r（T-t）吉隆坡-X^πt）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（dl（t，X^πt））（3.3），其中Φ（X）是累积正态分布，φ（X）是其密度，dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t））α√T-tθ。证据假设市场没有套利且完整。然后存在一个风险中性测度Q，使得WQt：=Wt+θt是标准布朗运动。因此，在q下，贴现财富过程是一个鞅：EQ[e-rtXπt | Ft-1] =等式[e-rt（ertXπ+er（t-T）θαWQt）| Ft-1] =等式[~Xπ+e-rTθαWQt | Ft-1] =▄Xπ+e-rTθαWQt-1=e-r（t-1） Xπt-1.π ∈ A.t型∈ [1，T]。因此，我们可以通过风险中性定价来评估看跌期权。

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2022-6-2 16:54:51

完成此操作之前，请注意：▄X^πT<Kl<==>XerT+θαWQT<Kl<==> WQT<（Kl-XerT）αθ<==> Z<（Kl-XerT）α√Tθ=：d对于替换WQT：=Z√T和Z~ N（0，1）。那么，时间0时看跌期权的价格由以下公式得出：p（0，X）=e-rTEQ[最大值{Kl-~X^πT，0}]=e-rTEQ[（Kl-X^πT）1{X^πT<Kl}]=e-rTEQ[Kl{Z<d}]- e-rTEQ[（℃XerT+θαZ√T）1{Z<d}]=e-rTKlΦ（d）-XΦ（d）-θ√Tαe-rTEQ[Z1{Z<d}]=Φ（d）（e-rTKl公司-X）-θ√Tαe-rT公司√2πRd-∞Ze公司-Z/2dZ=Φ（d）（e-rTKl公司-X）+θ√Tαe-rT公司√2πe-D同样，对于任何t∈ [0，T]这给出：p（T，X^πT）=Φ（dl（T，X^πT））（e-r（T-t）吉隆坡-X^πt）+θ√T-tα√2πe-r（T-t） e类-dl（t，X^πt）=Φ（dl（t，X^πt））（e-r（T-t）吉隆坡-X^πt）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（dl（t，X^πt））表示命题中定义的符号。作为定价函数p（t，~X^πt）的复制投资组合，我们建议命题6。（3.2）中的看跌期权的复制投资组合由▄πp（t，▄X^πt）给出=-Φ（dl）σ√T-t（Φ（dl）dl+φ（dl））（3.4）对于dl=dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t））α√T-命题5中的tθ。证据

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2022-6-2 16:54:54

需要证明的是，p（t，～X^πt）满足～πpfrom（3.4）的财富方程，因为这是一个财富过程，它复制了价格函数p（t，～X～πt），并达到了终值max{Kl-~X^πT，0}，所以▄πp应该是一个合适的策略。为此，通过代换形成偏导数：=dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t））α√T-tθ和dx=αθ√T-t型(-er（t-t））：px=ddX^πtp（t，X^πt）=-Φ（d）+φ（d）dx{Kle-r（T-t）-~X^πt}+θ√T-tαe-r（T-t） φ（d）(-d） dx=-Φ（d）+Φ（d）dx（Kle-r（T-t）-X^πt- e-r（T-t）（吉隆坡-X^πter（T-t））=-Φ（d），pxx=dd（～X^πt）p（t，～X^πt）=φ（d）αθ√T-ter（T-t） andpt=ddtp（t，~X^πt）=φ（d）dt（e-r（T-t）吉隆坡-X^πt）+Φ（d）rKle-r（T-t） +θφ（d）α(√T-tre公司-r（T-t）-√T-te公司-r（T-t））+θα√T-te公司-r（T-t） φ（d）(-d） dt哪个简单（第一学期和最后一学期取消）topt=Φ（d）rKle-r（T-t） +θφ（d）αe-r（T-t）(√T-tr公司-√T-t）。请注意，p（t，~X^πt）是两次可微分的，~X^πt是（2.15）中的微分方程，因此是Ito漂移扩散过程。因此，可以应用伊藤引理，并且dp（t，~X^πt）={Φ（d）rKle-r（T-t） +θαφ（d）e-r（T-t） r√T-t+（rX^πt+θαe-r（T-t）（）(-Φ（θ））}dt+θαe-r（T-t）(-Φ（d））载重吨。然后p（t，~X^πt）满足财富方程dp（t，~X^πt）=（r+~πpθσ）p（t，~X^πt）dt+σ▄πpp（t，~X^πt）dWti ffθe-r（T-t）(-Φ（d））=σ￠πpp（t，X^πt），这是￠πp（t，X^πt）的情况=-Φ（d）σ√T-t（Φ（d）d+φ（d））。结合修改后的无约束问题和复制投资组合的最优策略，给出总体策略。提案7。问题2的最优策略是通过在t^πl（t，X^πt）=θασe时投资于风险资产的金额给出的-r（T-t） +p（t，~X^πt）-Φ（dl）σ√T-t（Φ（dl）dl+φ（dl））（3.5），其中▄X^π是一个最优财富过程，初始财富▄X（命题4的影子值）和命题6中的DLA。我们有时会提到影子财富过程。证据

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2022-6-2 16:54:59

注意，通过定义πl（t，X，πt）=πt，X，πt+，πp（t，X，πt）p（t，X，πt）和（2.3），所得财富过程为X，πlt=，X，πt+p（t，X，πt）。特别是在t=t:XπlT=~X^πt+max{K-~X^πT，0}，因此它在较低的约束条件下产生最优的终值，因此它是一种最优策略。3.2 Kl策略分析为了理解终端财富较低约束对最优策略和财富绩效的影响，我们将首先研究^πl的形式结构。由此，我们可以推断，投资通常低于最优无约束策略所要求的投资，并且在接近终端时变为零。此外，它对Kle周围的影子财富价值最为敏感-r（T-t）。然后，我们观察不同情景下的定性行为，我们可以观察到，Kl策略在股票价值持续下降方面比无约束策略更成功，但在股票价值增加方面表现不佳，在这种情况下，预期回报率放大了差异。3.2.1第一次观察开始时，考虑命题7给出的Kl策略公式。请注意，由于投资金额与初始财富无关（因此，用影子价值xx代替xb对策略没有影响），因此，第一个字母^πt^X^π与最佳无约束策略相同。因此，这一新策略与之前最优策略的差异由第二项p（t，~X^πt）~πp决定。因为p（t，~X^πt）是看跌期权的价格，所以它总是正的。那么，当且仅当f（d）：=Φ（d）d+φ（d）<0时，p（t，~X^πt）~πp>0为合适的d。

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