通过该策略的公式，可以很容易地检查这是否意味着DL=0，因此^πl=^π，从而达到两种场景之间的中点。这就是为什么当影子财富接近Kle时，我们通常会期望受约束的战略能够快速适应变化并发生变化-r（T-t） 。还要注意，p（t，X^πt）~πpis与股票的方差成反比。相应地，对于较高σ，得出了最优约束策略和最优无约束策略之间的差异。为了了解战略在实践中的表现以及它对（终端）财富的影响，我们研究了三种不同的情况。3.2.2不同的场景场景1:X^πT>Kl，XπlT=Kl图10：影子财富越高，^πl的敏感性越高。在这种情况下，我们可以看到股票价值从T=15开始增加，峰值约为T=18。这种增加导致影子财富的增加，这意味着相关看跌期权的价格下降。按照最优Kl约束策略，投资增加。由于影子财富的价值处于敏感区（从t=15开始约为0，见图11），因此该策略显示出明显的峰值，且非常不稳定。然而，无论是与最优策略相比，还是与总体财富成比例，投资金额都处于相当低的水平。此外，投资的“跳跃”反映了股票过去的走势。由于这些大的变动之后往往是较小的股票变动（例如，在t=18.6时，我们的股票价值增加了+30，而在下一个时间段，我们的股票价值减少了-10），因此对最优低约束财富的影响是有限的。这两种影响可能是股票波动性几乎不影响约束最优财富过程的原因。

请注意，我们设定KL=X=1000，这相当高，因此新策略的上行和下行潜力有限，大部分财富都投资于无风险债券。场景2。XπT<Kl，XπlT=Kl图11：对于股票价值的下降，Xπlgoes为零。在第二种情况下，可以看到受约束的策略优于无约束的策略。这里，我们将Kl设置为200，以便更好地观察新策略的行为。由于最优无约束策略包括独立于财富（或股票）的实际价值进行确定性投资，因此在股票价值下降的情况下，它会失败。这就是受限策略的优势所在：它通过减少投资额来减少财富。如果股票的下跌趋势持续下去，那么这种策略就会更加成功。情景3：XπlT>kl图12：如果股票表现良好，第一年对于受限策略^πl错过的上升潜力更为关键。最后一个情景显示了当我们有持续上升趋势时会发生什么。随着影子财富的增加，战略趋同，投资过程几乎相同，因此财富的表现是平行的。因此，由此产生的终端财富之间的差距，即错过的上行潜力的实现，以较低的影子财富价值所发生的情况为特征。由于财富的变化取决于投资金额乘以股票价值的变化，因此应考虑策略和股票增长之间的初始差异。两者都高度依赖于预期速率u，而其他参数可以忽略。

例如，在上述情况下，投资之间的初始差值为2\'692，当Kl>200时，该差值增大（当Kl=1000时，该差值为3\'668），当α>0.0001、r>0.01、σ>0.2的其他合理值时，该差值减小，但当u=0.06时，该差值为8\'486。预计这种投资差异将被同样的高u所放大，从而导致更大的财富差异。这一影响也可以在图13中观察到，在图13中，即使投资的差异在减小，相应财富之间的差距仍在增长，直到t=10左右。请注意，只有在股票持续向好的趋势下（正如我们在上一个场景中所看到的），最优约束策略才会导致最终财富大于Kl。对于更频繁的情况，终端财富正是Kl。因此，我们预计Klin的最终财富分布将出现一个概率质量点。3.3投资限制下Kl策略的简要分析与无下限最优策略类似，我们将投资限制为实际财富的100%最大值。修改2。将修改后的策略^πl，mbe定义为（t，X^πl，mt）∈ [0，T]×R乘以πl，m（T，Xπl，mt）=^πl（t，X^πl，mt）如果X^πl，mt≥ ^πl（t，X^πl，mt）X^πl，mt1如果X^πl，mt<πl（t，X^πl，mt）X^πl，mt和^πl（t，Xt）是命题7中的最优Kl约束策略。由于Kl限制性策略所需的风险股票投资总是比无限制策略所需的风险股票投资小，因此投资限制的绝对影响通常较低。但由于新策略适应了影子财富的功能，而影子财富又取决于股票表现，因此我们可以观察到，财富价值越低，投资金额越低。

因此，就投资金额而言，这种投资受限Kl策略与非受限Kl策略之间的差异将更少地取决于股票的走势。然而，正如前面所看到的，一旦投资被限制在财富的100%，它就会低于最佳值，因此财富增长可能会减少，因为这一过程无法充分利用上升潜力。这会导致更高的机会保持在所需的最佳投资金额之下，因此财富过程更有可能被“困”在较低的价值上。这一过程发生得越早，影响就越大，因此我们将更仔细地观察起始条件。毫不奇怪，我们将看到最终财富与财富初始设定和最优投资之间的联系。可以确定对策略和限制性能影响最大的两个参数：方差σ和下限Kl。一般来说，标准情况是，t=0时所需的投资已经超过了初始财富X。这不容易看出，并且与Kl约束策略的结构有关，因为Xis是计算影子价值X的基础，而影子价值X又决定了初始投资。在图14的图表中，我们将初始投资视为X的函数，并将这两个参数的不同组合的比较线y=X（设定r=0.01，u=0.03，T=20）。

还显示了固定X=1000对应的财富过程（对于30个样本）。Kl=100，σ=0.1Kl=1000，σ=0.1Kl=500，σ=0.3图13：初始投资作为X的函数，固定XOne的财富过程可以观察到，对于小Kl，这些线之间的差异相当大（除了小值X，因为我们设置了X>Kle，大部分可以排除小值X-rT公司≈ 80%Kl），因此对于有投资约束的策略，实际投资将小得多。这将减少财富的流动，因此终端财富将更加集中。对于股票的下跌趋势，投资将接近0，这将是一个优势，因为受投资约束的策略将使最终财富集中在高于Kl的价值上（在这些情况下，没有投资约束的策略的财富将最终达到）。还要注意的是，即使财富过程在一段时间内是相同的，对于投资受限的策略，股票价值的下降将更快地减少投资金额，因此可能的损失被最小化。当然，与此同时，对于股票的上涨趋势，不受投资限制的策略会从更高的投资中获益，从而获得更高的回报。修改策略的另一个相关参数似乎是市场波动率σ。例如，使用σ=0.3而不是σ=0.1，通常会导致初始投资低于初始财富，因此投资受限和非受限策略之间的差异较小。3.4终端财富分布的比较在定性观察之后，我们现在将量化最终财富分布。

我们对无约束最优终端财富分配的差异以及投资约束的影响特别感兴趣。让我们首先看看低约束条件下最优终端财富的理论分布，然后将其与实证结果进行比较。3.4.1理论与经验分布我们首先推导投资者的最终财富理论分布，该分布遵循上一章的最优无约束策略。从命题3，我们得到了p[X^πT≤ x] =P[x^πerT+Tσα+θαWT≤ x] =P【重量】≤ （十）- 施乐- Tθα）αθ]=Φ（dT），其中dT：=（x- 施乐- Tθα）αθ√T、 现在考虑最优策略，即终端财富受到较低的约束。P[X^πlT≤ x] =P【~x^πT+最大值{Kl-~X^πT，0}≤ x] 根据命题4，=P[Kl≤ x | x^πT<Kl]P[| x^πT<Kl]+P[x^πlT≤ x |x^πT≥ Kl]P[XπT≥ Kl]=P【Kl】≤ x] P【~x^πT<Kl】+P【~Kl】≤ X^πT≤ x]=如果X≥ 如果x<Kl，则为Kl0。因此，在Kl约束策略下，最优终端财富的累积分布在Kland有一个概率质量点，它遵循无约束最优策略的终端财富分布，初始财富的影子值为x>Kl。这表示为在Klin CDF处从零跳到正值，下面显示了标准示例的asit（X=1\'000，Kl=800，α=0.0001，r=0.01，u=0.03，σ=0.1和T=20，样本大小1\'000）。图14：^πlIn终端财富的经验分布本例中，最佳终端财富恰好落在较低约束上的概率约为60%，kl越高，该概率增加得越多。因此，作为Kl→ - ∞, 跳跃向左移动，分布收敛于正态分布的影子终端财富分布。

同时，影子值xconverge为X，因此影子财富过程收敛到最优无约束过程。这也可以在下面的理论分位数中定量观察到，其中突出显示了无约束策略作为参考。KlXQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）-∞ - 3\'188.6 9\'221.4 15\'254.2 23\'933.41\'000-10\'701.41\'000 1\'000 1\'000 9\'641.3-1\'000-3\'377.14-1\'000 3\'875.2 9\'908.0 18\'587.2-30\'000 999.5621 3\'188.0 9\'220.9 15\'253.7 23\'932.9表6：不同Kl的X^πLF理论分位数在我们研究投资约束对终端Kl边界的影响之前财富分配，我们希望了解理论分布和经验分布之间的误差（即我们从代码中实现的模拟中获得的误差）。这里，误差主要有两个来源：一个是样本量，它只允许分位数的近似，另一个是步长h，它描述了重新平衡投资组合的频率。后者也在现实生活中发挥作用，因为由于技术、时间和成本的限制，期望持续交易（如理论策略推导中所假设的）是不现实的。为了了解误差的尺寸，我们考虑了一个标准情况（X=1\'000，Kl=100，T=20，α=0.0001，u=0.03，r=0.01，σ=0.1），固定h=0.1，不同的样本大小。

作为参考，X^πlts的理论分位数也以总收益的形式列出。样本s Q0.25（X^πlT）Q0.50（X^πlT）Q0.75（X^πlT）Q0.95（X^πlT）理论回报10%116%719%1\'587%s=1000 0%17%0%-1%s=3000 0%5%-2%1%s=5000 0%12%-1%0%表7：X^πlT（不同样本）的经验量与理论量的偏差lT）由[Qemp，sp（X^πlT）给出- Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT），其中qemp，sp（X^πlT）是从样本量s获得的经验分布中得到的p-分位数。现在我们确定s=3000，并查看不同的步长h。对于读者的方向，h的具体解释是：h=1/10表示“每月一次”，h=1/49表示“每周一次”，h=1/100表示“每周两次”。同样，偏差为[Qemp，hp（X^πlT）-Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT），其中Qemp，hp（X^πlT）是从台阶宽度h获得的经验分布的p分位数。台阶宽度h Q0.25（X^πlT）Q0.50（X^πlT）Q0.75（X^πlT）Q0.95（X^πlT）h=1/10 0%12%~5%~2%h=1/49 0%~4%0%h=1/100 0%~6%~1%1%表8：X^πlT（不同步长）的经验分位数与理论分位数的偏差第一注，理论正态分布的标准偏差非常高（770%），因此样本平均值的标准偏差也是：770%/√000≈ 14%.因此，Q0.50处的偏差值较高，但在合理范围内。在本论文中，计算和时间资源是有限的，但有兴趣进一步研究通过使用更大的样本量减少错误与所需的额外计算资源之间的权衡。

与样本量相比，步长的大小似乎对误差的影响较小，这表明，如果希望获得更多的可信度，重点应该放在样本量上。Q0.25处0%的误差也可以解释，因为该分位数低于下限约束Kl=100，这相当于总回报率为10%。此外，对于较低的Kl，这些结果没有显著变化。例如，如果Kl=-30000，误差范围相似。这尤其意味着，这些观察结果也适用于最优无约束策略的实施。还需要补充的是，代码中阴影值的计算会产生轻微的错误，但因为它通常小于10-我们认为这可以忽略不计。此外，在R中实现的正态随机生成器可能会产生尾部正态分布的不精确性。然而，我们在分位数中看不到这一点。3.4.2投资限制的影响为了评估投资限制至100%所产生的理论分布的差异，我们查看了第3.3节中的三种情况（fixedh=1/49，s=3000）。此处，分位数表示初始财富的总回报，以及Qp：=[Qempp（X^πl，mT）-Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT）（对于qemppt，经验p分位数和Qtheorp理论p分位数）测量偏差。场景分布Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）Kl=100，理论。10%116%719%1\'587%σ=0.1^πl，m110%162%225%343%Qp1004%40%~69%~78%Kl=1000，理论值。100%100%100%964%σ=0.1^πl，m106%128%194%340%Qp6%28%94%~65%Kl=500，理论值。50%50%231%520%σ=0.3^πl，m51%69%223%519%Qp2%39%-3%0%表9：经验、投资受限与。

X^πT的理论分位数（不同情景）这些结果反映了我们在定性分析中看到的行为：对于低Kl，投资约束的影响通常更强。此外，可以清楚地看到下分位数的正效应，这与大于Kl的值周围的浓度有关。对于Kl=1\'000，小分位数的提升不是很强，投资约束的影响可以在中间的值附近检测到，这也与图14一致。请注意，在这两种情况下，提升较低分位数的“价格”是Q0.95的大幅降低。如果我们考虑的是效用的相对损失而不是财富的相对损失，那么这个结果会更糟，这可能是一种更一致的评估回报的方法。例如，在第一种情况下，Q0.5of-0.89的理论效用增加了6%，而Q0.95的理论效用从-0.2下降了255%。然而，在波动性更大的市场条件下，如果对股票投资进行限制，最优Kl约束策略的变化会小得多。为了了解下限终端财富分布是否比最优无界终端财富分布更受100%投资约束的影响，我们查看第2.3节中的情况进行比较。在这里，初始财富设定为股票初始投资最佳策略所需金额的120%、100%和80%。由于策略的收敛性，对于Kl=-30\'000，从^πl，mare得到的结果与从最优（无界）策略^πm.（a）Kl=-30\'000XDistr得到的结果相同。Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）4\'912理论。101%163%224%313%πl，m80%160%215%302%Qp-21%-2%-4%-3%4\'094理论。

97%171%245%351%iπl，m74%158%227%336%Qp-24%-7%-7%-4%3\'275理论值91%183%275%408%nπl，m70%141%238%378%Qp-24%-23%-13%-7%（b）Kl=3\'000XDistr。Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）4\'912理论。82%144%205%293%l，m82%145%205%292%Qp-0%1%0%1%4\'094理论。73%132%206%312%l，m76%133%205%310%Qp4%1%0%-1%3\'275理论。92%95%187%320%πl，m91%183%185%309%Qp0%2%~1%~3%表10：经验的、投资受限的X^πT与理论分位数（变化的Kl）相比，正如预期的那样，投资约束对Kl有界策略^πl的影响较低，只是因为它通常需要较少的投资。特别是，Xis是初始投资^πX的百分比，通常大于^πl（0）X。另一个不同之处是观察到，投资约束对最优无约束策略^π有负面影响，而对^πl有正面影响。这是，因为^π所要求的较高股票投资首先具有更强的上涨潜力。限制这种投资（在表现不佳的情况下，更可能是低分位数）也会降低高回报的可能性，高回报表现为终端财富价值较低。最后，初始值X=3’275对Q0.25的影响特别有趣，因为92%是较低的约束Kl。因此，尽管这里的差异很小，但这表明，如果引入投资限制，终端财富可能会低于较低的限制，在其他情况下，影响可能会更大。4指数效用和上限约束的最优策略KuWe现在将通过为terminalwealth添加一个上界来扩展之前的问题。然后将对由此产生的战略进行定性分析。

为了理解最终的财富分配，我们将采用更具理论性的方法。4.1 Kl-Ku策略的推导在上限和下限约束下，终端财富的最优策略将首先推导出仅存在上限约束的孤立情况下的最优策略。我们会发现，这包括出售看涨期权，并利用额外收入来遵循最佳策略。再加上较低的限制条件，就需要使用一部分新的初始影子财富来购买看跌期权，这将降低其价值。同样，为了简单起见，我们有时会将这种策略称为Ku策略，而结合较低约束的策略称为Kl-Ku策略。4.1.1 Ku策略的推导我们现在来看一种终端财富面临上限Ku的情况∈R[XerT，∞)并使用与之前类似的参数来确定最佳策略。Webegin通过说明修改后的问题。问题3。寻找最优策略^πu∈ A使得e[U（X^πuT）]=supπ∈AE[U（XπT）]和X^πuT≤ 夸。s、 保持。（4.1）通过确定最优终端财富的结构并构建可复制的投资组合，以类似于下限约束的方式解决这一问题。然而，我们首先需要建立一个类似于[5]引理2的陈述。引理1。与问题3的解相对应的最优终端财富给定为：yx^πuT=min{Ku，I（yHT）}，（4.2）其中U是凹的，I是uan的逆，y是正数，使得预算约束E[HTX^πT]=Xholds。证据

该证明类似于[5]中的证明。因为U是凹的，所以我们有U（a）- U（b）≤ U（b）（a）- （b） a、 b类∈ R、 由此，特别是对于任何容许策略π，XπT≤ Ku:E[U（XπT）]- E[U（X^πuT）]≤ E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）]=E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πT≥ Ku]P[X^πuT≥ Ku]+E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]P[XπuT<Ku]。计算第二项：X^πuT<Ku==> X^πuT=I（yHT），由于U（I（yHT））=yHT，我们得到了[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]=E[yHT（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]评估第一项：从X^πuT=min{Ku，I（yHT）}≤ Ku公司==> X^πuT=Kufollows（XπT-X^πuT）=（XπT-Ku）≤ 此外，由于Ui减小，X^πuT≤ I（yHT）它跟随U（X^πuT）≥ U（I（yHT））=yHT。这将导致toE[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT≥ Ku]=-E[U（X^πuT）（X^πuT- XπT）| X^πuT≥ Ku]≤ -E[yHT（X^πuT- XπT）| X^πuT≥ Ku]=E[yHT（XπT- X^πuT）| X^πuT≥ Ku]。总之，我们有[U（XπT）]- E[U（X^πuT）]≤ yE[HT（XπT-X^πuT）| X^πuT≥ Ku]P[X^πuT≥ Ku]+yE[HT（XπT-X^πuT）| X^πuT<Ku]P[X^πuT<Ku]=yE[HT（XπT- X^πuT）]=y（X- 十） =0，因为预算约束对两种策略都适用。所以，E[U（XπT）]≤ E[U（X^πuT）]对于所有可容许策略π，从其下面的语句（4.1）中，为了解决指数效用函数的问题3，我们陈述：命题8。效用函数下问题3的最优终端财富由X^πuT=~X^πT给出- 最大{X^πT- Ku，0}（4.3），其中▄Xπ是（2.15）中的最优无约束财富过程，影子值▄X^π=(-ln（yα）+rT-θT）αe-对于y>0，使得E[HTX^πT]=X.Proof。

利用引理1和命题4证明的符号和结果，我们得到指数函数：X^πuT=min{Ku，I（yHT）}=I（yHT）-最大{I（yHT）-Ku，0}，具有相同的阴影值公式。因此，在这种情况下，最优终端财富与最优策略产生的财富相同，且起始值xmin为行使价格为Ku的看涨期权的支付。这意味着，最优财富过程可以通过看涨期权的复制策略加上第一章中的最优策略来复制。同样，我们首先确定对应于调用函数max{X^πT的payoff的定价函数- Ku，0}：命题9。payoff max{X^πT的看涨期权对应的定价函数- Ku，0}由c（t，~X^πt）=Φ给出(-du）（~X^πt- Kue公司-r（T-t） ）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（du）（4.4），其中Φ（x）为累积正态分布函数，φ（x）为其密度，du=du（t，~x^πt）=（Ku-X^πter（T-t） ）α√T-tθ。证据通过使用与命题5的证明相同的风险中性估值参数和符号，我们得到了t=0c（0，X^π）=e-rTE[（°X^πT- Ku）1{Z>d}]=▄X^πΦ(-d）- Kue公司-rTΦ(-d） +θ√Tαe-rT公司√2πR∞dZe公司-Z/2dZ=Φ(-d） [X^π- Kle公司-rT]+θ√Tαe-rT公司√2πe-d/2，使用该1- Φ（d）=Φ(-d） 。然后，对任何t展开后得出该语句∈ [0，T]。接下来，我们确定复制投资组合。我们陈述第10号提案。定价函数（4.4）的复制组合由策略▄πc（t，▄X^πt）=Φ给出(-du）σ√T-t（φ（du）- Φ(-du）du），（4.5）以及命题9中的duas。证据

首先取c（t，X^πt）的偏导数：ct=e-r（T-t）[-Φ(-du）rKu+θα√T-tφ（d）（r+2（t-t） ）]，cx=Φ(-du），cxx=φ(-du）α√T-tθer（t-t） 使用▄X^πt- Kue公司-r（T-t） =-由于-r（T-t）√T-tθα和取消。由于Xπ是一个Ito漂移扩散过程，我们可以应用Ito引理和getdc={ct+cx（r Xπt+θαe-r（T-t） ）+cxxθ2αe-2r（T-t） }dt+cxθαe-r（T-t） 载重吨。为了满足财富方程的动力学，dc=（rc+～πcθσ）dt+σ～πccdW（t），它需要保持cxθαe-r（T-t） =σИπcc，根据方程式（4.5）。同样，将（4.5）与最优策略相结合会得到想要的结果。提案11。问题3的最优策略由投资额t^πu（t，X^πt）=θασe给出-r（T-t）- c（t，~X^πt）Φ(-du）σ√T-t（φ（du）- Φ(-du）du）（4.6）对于命题9中的影子财富过程^X^πtand du=du（t，^X^πt）。证据定义^πu（t，X^πt）=^πtX^πt- ~πc（t，~X^πt）c（t，~X^πt）由此产生的财富过程是X^πut=~X^πt- c（t，~X^πt），X^πuT=~X^πt- 最大{X^πT- Ku，0}，so（4.3）成立。4.1.2 Kl-Ku策略如果我们结合终端财富的上限和下限约束，我们会得到一个直观的结果，该结果总结在以下命题中（使用前面的符号）。提案12。在t，πl，u（t，X，πt）=πtX，πt+πp（t，X，πt）p（t，X，πt）的股票绝对投资所决定的策略- ~πc（t，~X^πt）c（t，~X^πt），（4.7），前提是X=E【HTX^πl，uT】是一个解toE【U（X^πl，uT）】=supπ∈AE【U（XπT）】和Kl≤ X^πuT≤ 夸。s、 对于Kl<Ku。（4.8）证明。

通过定义^π、^π和^πc，该策略（4.7）导致终端财富^X^πT+max{Kl-~X^πT，0}-最大{X^πT-Ku，0}，这两个参数都满足（3.2）和（4.2）（注意Ku>Kl），从而解决了问题2和问题3。这意味着，如果我们将上限约束添加到终端财富的（先前存在的）下限约束，则影子初始财富X将增加，因为出售看涨期权会带来额外的“资金”。增加的影响将取决于看涨期权的价格，而看涨期权的价格又由履约价格Ku决定。在我们更仔细地研究这一影响之前，我们分别分析了Ku策略的行为，即只面临上限约束的最优策略。4.2 Kl-Ku策略分析与较低约束的情况相反，现在最优策略中包含了看涨期权，其价值随着财富的增加而增加。同时，它也变得非常敏感，因此这将需要在非常短的时间内卖空大量股票。好消息是，随着Kland Kuan的增加，几乎可以肯定会收敛到^πlca，因为这些极端的频率会减少。我们还将在Kuand Kl之间找到一个平衡点。4.2.1 Kl策略分析由于看跌期权和看涨期权的支付是对立的，因此与之相关的策略行为也是对立的。这意味着，例如，如果影子财富的价值上升，则Put期权失去价值，复制策略将增加投资，相当于看涨期权将获得价值，因此其复制策略将减少投资。

因此，不奇怪的是，由于上限约束导致的与最优策略的差异与由于下限约束导致的与最优策略的“反向”差异类似（下面是Ku=2\'000和u=0.03、r=0.01、σ=0.1和T=20的示例）。图15：当前影子财富（在t=19时投资的金额）的差异π-πuin函数这也可以在公式中看到，例如，它认为：-~πc（d）=-Φ(-d） σ√T-t（φ（d）- Φ(-d） d）=-Φ(-d） σ√T-t（φ(-d） +(-d） Φ（d）=-~πp(-d） d∈ R、 有关这些过程的更详细说明和比较，请参见附录。在此，我们将简要概述这一战略对财富过程的影响。可以观察到，随着时间的推移，两种约束策略的行为相似，并且在t的高值上显示出峰值（在附录中，t=17，在前一章中，t=19）。将其与图16中所示的高X^πtas值策略的增加相结合，这些影响加起来就形成了高X^π耐受t。这导致了^πl值非常小（即负），因为最优策略的正投资无法补偿这一极端影响。在下面的例子中，可以看到时间和影子财富如何影响战略和由此产生的财富。图16：^πubecomes负值表示财富增加和接近到期（Ku=1\'250）。在首次从t=0到t=10左右的时间序列中，股票价格、影子财富和相关看涨期权都在适度增长。然而，影子财富的价值从1000年左右增加到5000年左右，这对战略产生了过多的影响，如图16所示。这就是为什么影子财富的适度波动导致战略的变动越来越突出。

这就增加了时间的影响，这一点可以在后面看到。尽管影子财富的变动并不越来越极端，但该策略变得越来越敏感（即使在约为t=17的Xπtat的低值附近）。尽管如此，这一策略似乎运作良好，当股票略微下跌时，对到期股票的强烈负投资就会产生效果。事实上，由于目标是达到一个目标财富库以下，它可能表现得太好了。这可能就是为什么投资在到期前的最后一段时间内大幅降至零的原因。在实践中，强劲的负投资可以解释为卖空和借贷，并可能导致一些问题。首先，交易成本可能成为一个值得考虑的因素，因为该策略要求在短时间内出售和购买大量股票。然后，再平衡将在离散时间内发生，与理论假设相反（在模拟中，步长为h=1/10）。由于该策略非常敏感，因此输出可能与理论结果相差较大（对于较短的h，可能相差较小），在实践中实施该策略之前，对h的影响进行进一步调查将非常有用。最后，在股票表现不佳和价值损失的情况下，terminalwealth本身将为负值。如果没有较低的约束，这似乎不仅会导致债务概率增加，尤其是非常高债务的概率增加。然而，通过为terminalwealth设置较低的约束条件，可以轻松避免此问题。从上限约束的影响来看，通过设置更高的Ku，可以减少^πl，uca的看涨期权相关部分的影响。然而，很难解释选择一个非常高的约束条件，因为遗漏的可能性可能很小。

下一节还将讨论约束的合理选择。对于第一个断言，我们在下一个场景中将Ku设置为3000。图17：股票表现不佳导致投资增加（Ku=3000）。在这里，我们之前看到的影响也在发挥作用，但总体而言，其影响有所减弱。在投资期结束时，我们甚至观察到最优Ku约束策略收敛到最优无约束策略。这是因为两个原因。首先，Ku值越高，影子财富落入其之下的概率越高，这将导致看涨期权的收益为零。其次，在这种情况下，该股票的表现相当糟糕，影子财富的表现也是如此。因此，期权的价格接近于零，尤其是对于接近到期的时间。这再次表明了影子财富价值对战略的重要性：回顾图16，图16展示了一个类似的案例，我们看到，对于0左右的影子财富，投资与最佳无约束战略的差异比5000左右的财富的差异小10倍。同样，“糟糕”的股票表现会导致投资增加^πu，这是有道理的，因为在这种情况下，目标财富不太可能被超过。进一步研究^πu的行为将是有趣的。

但由于投资受限的Ku策略，以及与较低约束的KlKu策略的结合，可能会降低其敏感性，并且由于最终这些策略对我们来说更为实际，我们宁愿仔细研究这两种策略。4.2.2 Kl-Ku战略分析我们现在将终端财富的上限和下限结合起来，并衡量这些限制因素对战略的影响。首先，请注意，Kland Ku确定了总体最优策略^πl，u上的▄πcc（▄X^πt，t）和▄πpp（▄X^πt，t）的权重。此外，它们对▄X的计算至关重要。因此，我们首先测试了一个方向点，以比较Kland Ku。提案13。对于Ku的上界和Kl的下界，对于终端财富，初始财富X以及命题12X中最优约束策略的影子财富解决方案，它认为：Ku+Kl=2XerT==>X=X.（4.9）。证据首先注意Ku=2XerT-kl表示du=Ku-XerT=-（Kl-XerT）=-dl。将其插入认购期权价格的公式中，给出c（0，X）=Φ(-du）（X- KuerT）+θα√T e公司-rTφ（du）=Φ（dl）（X- （2XerT- Kl）erT）+θα√T e公司-rTφ(-dl）=Φ（dl）（Kle-rT公司- 十） +θα√T e公司-rTφ（dl）=p（0，X），因此，t=0时的期权价格是相同的，因此它们相互设置，并保持：X+p（0，X）-c（0，X）=X，因此Xis是影子财富的解决方案。我们稍后将看到，如果所描述的Kuand-Kl之间的关系成立，那么[Kl，Ku]上的终端财富分布将与最优无约束终端财富的分布相同。此外，可以很容易地看出，以相同的金额减少克朗，同时增加克朗，不会对分布产生影响（定义区域的限制除外）。然而，如果Kl+Ku>2XerT，那么X<X，在另一个意义上，这同样适用于不等式。

要了解不同（Kl，Ku）组合的交换方式，请参阅下面的净度，其中X=1\'000（在r=0.01，u=0.03，σ=0.2的设置中）。图18:Kland-Ku函数中的阴影初始财富（X=1000）如果KlandKuvary特别有兴趣降低^πl、Autowards^πt的敏感性，我们现在将更仔细地研究对策略的定性影响。下面的场景是针对20条路径和t=20、r=0.01、σ=0.2和u=0.03的样本进行模拟的。Klis固定为0，为了更好地进行比较，图表中的尺度不适用。（a） Ku=4\'000（b）Ku=2\'443（c）Ku=1\'500图19：随时间和财富过程的投资额，对于^πl，u（不同的Ku）可以观察到，与上限约束相关的策略部分，即^πuc（0，~X^πt）的影响仍然很强，其极低的投资主导了总体策略和财富过程。然而，不同的上限约束之间可能存在差异。在第一种情况下，Ku=4\'000相当大（但在下限Kl=0的情况下，它位于最优策略的50%到75%分位数之间，因此它仍然代表着上行潜力的大幅减少），因此策略的上限部分的权重较小。这一点可以看出，因为很少有战略路径遵循极低的投资，而且集中在向最优战略收敛的一条上线上，这似乎是投资的一个上限。此外，查看终端财富，可以发现两个集中点：Kland-Ku，这表明终端财富分布现在有两个概率质量点。中间的场景代表命题13的设置，其中X=~X。从某种意义上说，这是上下约束的平衡组合，因此投资的负超额更为明显。

从最优财富过程的路径可以推测，股票表现比第一种情况下差得多。由于已知^πUI对Xt的高值特别敏感，因此对于其他模拟，该场景的投资预计会更小。在第三种情况下，上限约束非常低，正如预期的那样，这会导致^πcc（0，^X^πt）对^πl，u产生更大的影响。在这里，从t=0开始，大多数投资都是负面的。不同Kl的情况类似：对于较低的Kl，Ui更接近于^πUa，对于较高的Kl，Ui更接近于^πu。附录中可以找到这方面的说明。如果我们将这两个结果结合起来，设置一个较高的下限约束和一个较高的上限约束，那么总体策略看起来确实更容易接受。

例如，在下面的案例中，我们将Kl=800，KU=5000，初始投资为1000。图20：终端财富分布随时间和财富过程的投资金额（high-Kland Ku）4.3在本节中，我们将看到，为终端财富分布的最优策略添加下限和上限的效果可以描述为初始财富和初始影子财富差异的未来值的分位数的移动。让我们首先计算终端财富的理论分布，遵循受下限约束Kland和上限约束Ku约束的最优策略。P[X^πl，uT≤ x] =P【】x^πT- 最大{X^πT- Ku，0}+最大值{Kl-~X^πT，0}≤ x] 通过命题（12）=P[{x^πT{x^πT}≥ Ku}∩ {X^πT | Ku≤ x} ]+P[{xπT | Kl≤~X^πT<Ku}∩ {X^πT{X^πT}≤ x} ]+P[{x^πT{x^πT<Kl}∩ {X^πT | Kl≤ x} ]，因为Kl<Kuand{x^πT{124; x^πT≥ Ku}∪ {X^πT | Kl≤~X^πT<Ku}∪ {X^πT{X^πT<Kl}是不交集的并，概率为1。对于Kl≤ x<Kuwe然后得到：P[x^πl，uT≤ x] =P[{x^πT | Kl≤X^πT≤ x} ]+P[{x^πT{x^πT<Kl}]=P[~x^πT≤ x} ]- P[~X^πT<Kl]+P[~X^πT<Kl]=P[~X^πT≤ x] 很容易看出，P[x^πl，uT≤ x] =1表示x≥ 宽P[X^πl，uT≤ x] =0表示x<Ku。总之，这导致：P[X^πl，uT≤ x]=P【~X^πT≤ x] 如果Kl≤ x<Ku1如果x≥ Ku0如果x<KlSo，我们将再次在Kland KU边界处找到概率质量点，并且达到这些限值以外的值的概率为零。在这两者之间，终端财富分布遵循影子终端财富的累积分布，即正态分布，即e[~X^πT]=~X^πerT+Tθα，Var（~X^πT）=θαT。由此得出：命题14。

通过引入终端财富的上限和下限，终端财富的分位数的偏移由以下公式得出：▄Qp=Qp+（▄X- 十） erT，（4.10），其中qp是X^πT的分布的p-分位数，~qp是X^πl的分布的p-分位数，uT，Xis是初始财富，~X来自命题12的初始影子财富。证据要查看该声明，首先回顾一下原始的无约束终端财富分布具有正态分布。为了更好的可读性，我们引入了符号E：=E[X^πt]=XerT+TTθα和V：=θα√T然后我们通过分位数的定义得到：Qp=inf{z | P[X^πT≤ z]≥ p} =inf{z | p[X^πT- 电动汽车≤z- 电动汽车]≥ p} =inf{z | p[ZT≤z- 电动汽车]≥ p} ZT：=X^πT- 电动汽车~ N（0,1）=inf{z |Φ（z- 电动汽车）≥ p} 和soΦ（Qp- EV）=p，因为Φ（右）连续。然后我们得到Qp=Φ-1（p）V+E，其中Φ-1（p）是正态分布的p-分位数。对X^πl，uT应用相同的程序~ N（▄E，▄V），其中▄E=▄XerT+Tθα，▄V=V导线至：▄Qp=Φ-1（p）~V+~E=Φ-1（p）V+~XerT+Tθα=Φ-1（p）V+~XerT+XerT+Tθα- XerT=Qp+（￠X- 十） erT。这个结果有一个直观的解释。例如，如果我们只考虑终端财富的上限约束，那么▄X=X+c（0，▄X），因此分位数被t=0时看涨期权价格的未来值精确移动。换句话说：这种策略的结果相当于出售看涨期权（在最优影子过程中）并将收到的钱存入银行账户。对于较低的约束条件，影响是巨大的。从这个意义上讲，constained策略有些微不足道。将此结果与图19相结合，图19说明了上下约束对影子财富的影响，我们可以评估其对最终财富分布的影响。特别是，通过降低Ku来放弃显著的上行潜力，将导致分位数的巨大正移。

表13也反映了这一点，其中显示了固定下限约束Kl=0、σ=0.2、r=0.01、u=0.03和变化上限约束（样本量400）下的经验分位数。例如，将KUA设置为1\'500会导致影子财富几乎是原始初始财富的4倍。因此，分位数显著提高了（3901- 1000）e0.01·20=3543。然而，由于上限约束很低，这只能在Q0.10（XT）中看到。请注意，Ku=2’443是约束相互作用的情况，即边界之间的最终财富分布与无约束财富分布相同（此处，这可参见Q0.25（XT））。KuXQ0.10（XT）Q0.25（XT）Q0.50（XT）Q0.75（XT）Q0.95（XT）无约束1\'000-2\'444 164 3\'067 6\'158 10\'649∞ -1\'038.1 0 0 578 3\'669 8\'1604\'000-288.7 0 1\'493 4\'000 4\'0002\'443 999.7 0 164 2\'443 2\'443 2\'4431500 3\'901.0 1\'100 1\'500 1\'500 1\'500 1\'500表11：Xπl的分位数，uT（不同Ku）5结论使用指数效用实施最优策略时，应特别注意风险规避。首先，在实践中，假设持续的风险厌恶似乎是有问题的。其次，该策略对风险规避参数非常敏感，因此应仔细确定风险规避参数。这种最优无约束策略的一个特征似乎是投资于股票的确定金额。因此，它对初始财富较低的小投资者（约4000人）具有特别的吸引力，但对较高的财富（约10000人）没有明显的影响。

此外，终端财富是正态分布的，这可能是一个优势，因为这是一个众所周知的概念，但它也会导致负退休财富。对退休财富施加限制可能是控制下行风险和提高限额之间回报的有效工具，但其影响取决于其价值的选择。高-低约束将使投资减少到接近于零，而小-低约束可能没有什么意义。除此之外，低约束优化策略似乎适合实施。关于上限约束，可能更容易设置（单个）值，因为较大的值也会显示相应的分位数增量。然而，这种策略涉及大量股票的卖空，至少在实践中，似乎非常敏感。通过设置较低的约束可以减少这种影响，这也是为什么最好在组合中使用约束的原因之一。另一个可能是通过下限约束为上限融资的可能性，在边界之间产生与最优无约束策略相同的分布。将投资限制在财富的100%以内确实避免了负的终端财富，但将其分布改为对数正态分布，即较低的分位数减少。此外，退休财富可以超越上限和下限限制。这种限制的影响程度取决于许多因素，即使在现实情况下，也可能在无影响和完全影响之间变化。由于这是在约束条件下实现最优策略的第一种方法，因此该模型被选择为相当简单。一方面，模拟具有恒定波动性和预期回报且只有一种风险资产的市场可能无法准确反映真实市场的复杂性。

另一方面，投资过程没有考虑投资者的其他要求，如储蓄过程、通货膨胀造成的价值损失或交易成本。尤其是后者可能会产生相当大的影响，因此应予以考虑。6展望未来研究的基础可能是考虑其他更现实的效用函数，并比较结果。由于本论文可以量化限制因素对最终财富分配的影响，并且电力公司也得到了相同的结果，因此可以开始对这些策略进行直接比较。此外，对于投资者来说，估计他们未来的退休需求可能是一项艰巨的任务，并在（相当长的）投资期开始时确定一个约束条件。由于开发的策略涉及期权交易，因此可能会在投资期内的某个时间点提供足够的灵活性来修改约束，进一步研究这种可能性可能会很有趣。为了进一步发展指数效用的最优约束策略，似乎还需要考虑投资者的储蓄过程、交易成本和通货膨胀的影响。附录A6.1 HJBT的推导思路是通过不仅考虑（2.3）中定义的从t=0开始的财富过程，而且考虑任何固定时间t∈ [0，T]。然后，最优策略依赖于时间t和时间t的财富，并通过最优值函数v:[0，t]×R得出终端财富的预期效用+→ R+，（t，y）7-→ V（t，y）：=supπ∈A{E[U（XπT）| XπT=y]}。

（6.1）为了简单起见，我们写E[U（XπT）| XπT=y]=：Et，y[U（XπT）]。设^π和^π为定义在[t，t]×R[y]上的两种策略（称为控制律），∞), 对于执行起点（t，y）∈ [0，T]×R+，使得^π是最优控制律，^π是在短时间h后切换到最优控制律的控制器：^π（s，y）=^π（s）如果t∈ [t+h，t]π（s）如果s∈ [t，t+h）对于固定的任意控制律π∈ A和h>0，使得t+h<t。值函数定义如下：J：[0，t]×R+×A→ R+，（t，y，π）7-→ J（t，y，π）=Et，y[U（Xπt）]（6.2）当然，对于最优策略，值函数与最优值函数相同。比较这两种策略，很明显，最优策略的价值函数在定义上应大于或等于任何其他策略的价值函数，尤其是V（t，y）≥ J（t，y，|π） （t，y）∈ [0，T]×R+。如果∧π取Xπtat time t到Xπt+hat time t+h，则终端时间的预期效用isE[U（X^πt）| X^πt+h=Xπt+h]=V（t+h，Xπt+h）。由于Xπt+his随机性和Xπt=y是固定的，因此它遵循J（t，y，~π）=E[V（t+h，Xπt+h）| Xπt=y]=Et，y[V（t+h，Xπt+h）]。根据该结果，他们的质量V（t，y）≥ Et，y[V（t+h，Xπt+h]（6.3）利用伊藤公式，V（t+h，Xπt+h）可以展开：E[V（t+h，Xπt+h）]=V（t，y）+Et，y[Rt+ht{五、t（s，Xπs）+[（rXπs+πs（u-r） Xπs]五、x（s，xπs）+（σπsXπs）五、x} ds]+Et，y[σπsXπsdW（s）]。如果我们假设有足够的可积性，随机部分就会消失。

方程式（2.7）如下0≥ E[Zt+ht{五、t（s，Xπs）+[（rXπs+πs（u- r） Xπs]五、x（s，xπs）| xπt=y]（6.4）将两侧除以h，得出h的极限↓ 0，设置x=y，然后给出Hamilton-Jacobi-Bellmann方程（HJB），如第1.6.2章求解线性方程。设置边界条件x（0）=x后，我们要求解微分方程dx^πt=[rX^πt+θαe-r（T-t） ]dt+θαe-r（T-t） dWtVia代换dZt：=rdt，dHt：=θαe-r（T-t） dt+θαe-r（T-t） dwt此转换为dx^πt=X^πtdZt+dHtand X（0）=X，可写入X^πt=RtXsdZs+Ht。根据【17】第5章中的定理52，它有一个（唯一）解H（Z）t=（Z） t{H+Rt（Z）-1sd（Hs- [H，Z]s）}，（？）其中，[H，Z]是第2章第6节中定义的二次协变量。首先，注意rztzdz（t）=Rtrdt，henceZt=Z+rt.（6.5），然后根据[17]第2章中的定理37，（Z） 这是表格（Z） t=eZt-[Z，Z]t/2由于[Z，Z]t=0，这就得到了（6.5）（Z） t=eZ+rt（6.6）进一步，从第二次替换中，我们得到：Ht=H+Ztθαe-r（T-s） ds+Ztθαe-r（T-s） dWs。（6.7）将（6.6）、（6.5）、（6.4）插入（？）d[H，Z]t=0给出了一个解x^πt=eZ+rtH+Rte-Z-rs（θαe-r（T-s） ds+θαe-r（T-s） dWs）.在t=0时，我们有X=eZ（H+0），所以我们可以设置Z=0和H=X，并得到X^πt=ertX+erte-rT公司Rte公司-rs（θαersds+θαersdWs）= ertX+et-TRt（θαds+θαdWs）= ertX+et-T（θαT+θαWt），这是命题3中的最优财富过程。注意，为了完成证明，还需要检查Htis是半鞅和Zta连续半鞅。6.3预期效用理论：从彩票到效用函数，效用理论是一种描述人们在结果不确定的情况下的决策的方法，广泛应用于金融经济学。由于这也是本文所用结果的基础，因此本节将简要概述其主要思想。

然而，它们不能反映在所有的完整性和严密性上。除示例外，本总结基于【13】、【10】、【12】和【8】。图21：彩票的例子【9】面临不确定性的情况的基本结构被称为彩票：它有两种可能的结果，每个结果都有一个概率，概率加起来就是一个。为了更接近本文的模型，这可能是一只股票的价值以概率p向su移动，以概率1-p向下移动到sd。当然，决策者不需要参与抽奖，所以问题出现了，他什么时候愿意这样做。这里的一个关键观察是，结果的简单预期值不是描述大多数人决策的合适标准。事实上，在某种程度上，他们更喜欢确定性的结果，而不是不确定的结果，即使彩票的预期价值高于确定性的选择。这种观察通常被称为风险厌恶。为了更详细地评估决策者的风险厌恶，可以比较不同的因素。例如，决策者可能处于这样一种情况：他可以投资两种不同的股票，具有不同的上行和下行可能性以及不同的结果值。然后，他会倾向于一种选择，而不是另一种选择，或者是与众不同。这些偏好由偏好关系描述 假设和具有一些确保一致性的性质（完备性、传递性、单调性、连续性）。此外，假设它们满足所谓的独立公理，即如果一个人更喜欢彩票a而不是彩票B，那么他也更喜欢另一个彩票，这会导致a具有一定的概率p（概率1-p而不是另一个彩票C），而不是导致彩票B具有p（概率1-p而不是另一个彩票C）。