在前面的例子中，这可能意味着如果投资者更喜欢A股而不是B股，那么他也会更喜欢A股和C股的投资组合，而不是B股和C股的投资组合。这一公理暗示了效用理论的一个主要结果，即表示定理，它量化了不确定性情况下的偏好。由于独立性公理允许“连续混合”彩票，因此每个彩票都可以追溯到与某个值的比较，即具有概率为1的特定输出的彩票。在我们的例子中，这将是对无风险资产投资的某种价值（它不是预期价值）。该定理指出，任何彩票的数字都是彩票输出函数的线性组合形式，由其概率加权。换言之：决策者对结果不确定的情景的偏好可以通过这些结果上函数的期望值来描述（称为效用函数）。在我们的例子中，这意味着，如果股票的预期效用至少是无风险资产的预期效用（为同一时期投资）：pU（Su）+（1），决策者将投资股票- p） U（Sd）≥ E[U（er）]=U（er）。6.4指数效用和风险规避效用函数的一个特性是在任意变换上的不变性（称为基数），因为相同的偏好关系在类似意义上的彩票变换上是不变性的。这就是为什么不用-e-RX用于描述指数效用，通常也是形式1- e-使用rxis。因此，效用函数的值无法以绝对方式进行解释。

然而，它们可以用来量化个人所表现出的风险厌恶的“程度”。Arrow和Pratt【16】发现，效用函数越凹，对应的确定性等价物就越高。这是一种无风险的替代结果，可以被视为等同于投资者对固定彩票的预期效用。对于相同的风险情况，投资者越是厌恶风险，其确定的等价性就越小。作为一个极端的例子，想想一个高度厌恶风险的人，即使负的无风险利率实际上会减少他的财富，他仍然更喜欢这种选择，而不是预期回报率有吸引力的股票结果的不确定性。但为了降低利率，在某个时候，甚至他也可能愿意投资风险资产。这种利益将被视为等同于股票的确定性。由于可以证明，如果一个效用函数被一个凹函数变换，那么它的确定性等价物将减少，因此建立了从风险厌恶到效用函数凸性的联系。这推动了风险规避措施的定义（[16]中的（6）），称为绝对风险规避系数：ρ（x）：=-U（x）U（x）很明显，对于指数效用，这给出了ρ（x）=α，因此风险规避是恒定的，不会随着财富的增加而改变。

这一特性被称为CARA（恒定绝对风险厌恶），也是指数效用通常被认为不现实的主要原因（例如，[6]也通过查看经验数据得出此结论）。图22：参数α=0.00016.5的指数效用函数分析方法：投资限制的影响为了在更抽象的水平上评估限制对100%currentwealth股票投资的影响，我们试图找出两种“极端”情景的概率：第一种是最优财富过程X^π不受投资限制的影响，因此其最终财富分布与原始策略中的财富分布相同。另一种情况是，初始财富低于最优策略^π所要求的投资金额（因此该策略受到修改的约束），财富永远不会超过^πt所定义的限制。然后，它完全遵循股票的运动，并导致对数正态分布。对于第一种情况，我们声明：结果1。假设修改1（投资限制）对命题2给出的最优财富过程没有影响的概率由以下公式得出：P[Xt>^πtX^πtt型∈ [0，T- 1] ]=T-2Yt=0Φ（Ct+θ√t+1）（6.8）对于Ct：=αθXerT+θt-σ，并假设X>^πXProof。我们想计算Xπt总是大于投资的概率：P[Xπt>XπtXπtt型∈ [0，T- 1] ]为了简单起见，我们每年迭代一次时间步长，但对于任意步长h，该方法也应通过设置t+h而不是t+1等来工作。P[X^πt>X^πtX^πtt型∈ [0，T- 1] ]=P[X^πT-1> ^πT-1X^πT-1 | X^πT-2> ^πT-2X^πT-2] P[Xt>^πtX^πtt型∈ [0，T- 2] ]=P[X^πT-1> ^πT-1X^πT-1 | X^πT-2> ^πT-2X^πT-2] · ..

·P[X^π>^πX | X>^πX]=QT-2t=0P[X^πt+1>X^πt+1 X^πt+1>X^πt>πtXπt]，（？）假设P[X>πX]=1。由于X^πt遵循（2.11）给出的财富过程，我们有：P[X^πt+1>X^πt+1>X^πt>X^πt=P[X^πer（t+1）+（t+1）θαer（t+1-T）+θαer（T+1-T）Wt+1>θασe-r（T-（t+1））| Xert+tθαer（t-T）+θαer（T-T）Wt>θασe-r（T-t） ，其中WT是标准布朗运动。对于Ct：=αθXerT+θt-σ和Wt+1- 重量：=Z~ N（0,1），这个简化了toP[Ct+θ+Wt+Z>0 | Ct+Wt>0]=P[θ+Z>-（Wt+Ct）]=P[θ+Wt+1- 重量>-Wt公司- Ct]=P[重量+1>-计算机断层扫描- θ]= 1 - Φ(-Ct+θ√t+1），自WT+1起√t+1~ N（0,1），=Φ（Ct+θ√t+1）将其插入（？）给出结果。通过找出极限，我们得到：结果2。它保持：limθ→0P[Xπt>^πtX^πtt型∈ [0，T- 1] ]=1（6.9）limθ→∞P[X^πt>^πtXtt型∈ [0，T- 1]] =1如果u- 如果u，r>10- r<T-1（6.10），对于结果1和θ=u的情况- 风险的市场价格。证据首先介绍符号Φt：=Φ（αθXerT+θ（t+1）-σ√t+1）现在显示（6.6）：θ↓ 如果u，则为0- r↓ 0和/或σ↑ ∞在这两种情况下，limθ→0αθXerT+θ（t+1）-σ√t+1=∞, 因此limθ→0Φt=1，用（6.5）得出结果。对于（6.7）：θ→ ∞ 情况是否如此- r→ ∞ 或如果σ↓ 第一种情况类似于6.6的证明。第二种情况可以写成limσ→0ασ(u - r） XerT+limσ→0[θ（t+1）-σ]√t+1=√t+1limσ→0ασ(u - r） 施乐+√t+1limσ→0((u - r） （t+1）- 1σ)=√t+1limσ→0((u - r） （t+1）- 1σ) =∞ 如果（u- r） （t+1）- 1 > 0-∞ 如果（u- r） （t+1）- 1<0So，limσ→0Φt=1如果u- r>（t+1）0如果u- r<（t+1）因此qt-2t=0Φt=1如果u- 如果u，r>10- r<T-1对于第二个场景，我们得到：结果3。比例2给出的最优财富过程完全受修正1（投资限制）限制的概率由p[Xt<πtXt]给出t型∈ [0，T- 1] ]=T-2Yt=0Φ（￠在σ处）√t+1）（6.11）对于At：=ln（θσαX）- r（T-t型- 1) + (u -σ） （t+1）并假设X<πXProof。

第二种极端情况是，财富X^πtalways低于最优策略所需的投资金额。我们有：P[X^πt<X^πtX^πtt型∈ [0，T- 1] ]=QT-2t=0P【X^πt+1<πt+1X^πt+1<X^πt<tXπt】，原因与之前相同。由于X^π的运动与股票的运动相同，因此它遵循P[X^πt+1<πt+1X^πt+1<Xt<πtX^πt]=P[Xe-(u-σ） （t+1）+σWt+1<θσαe-r（T-t型-1） | Xe-(u-σ） t+σWt<θσαe-r（T-t） ]=P【ln（X）- (u -σ） （t+1）+σWt+1<ln（θσα）- r（T- t型- 1） | ln（X）- (u -σ） t+σWt<ln（θσα）- r（T-t） ]=P[-(u-σ） +σWt+1<r+At |σWt<At]，At：=ln（θσα）-r（T-t）-ln（X）+（u-σ） t=P[0<At- σWt+σWt+（u-σ） +r- σWt+1 | 0<At- σWt]=P[在- σWt>-（σWt+（u-σ） +r- σWt+1）]=P[-σWt+1>-(u -σ) - r- At]=P【重量+1<在σ处】，对于▄At=在+r+（u-σ） =Φ（￠Atσ）√t+1）接受限制导致：结果4。它保持苗条θ→0P[Xt<πtXtt型∈ [0，T- 1] ]=0（6.12）limθ→∞P[Xt<πtXtt型∈ [0，T- 1] ]=1（6.13），对于结果1和θ=u的情况- rσ风险证明的市场价格。注意limu-r→0或σ→∞ln（u- rσα）=limx→0ln（x）=-∞ ,so limθ→0At=limθ→0（ln（u- rσα）+（u-σ） （t+1））- r（T-t）-ln（X）+r=-∞在σ的情况下→ ∞, 我们可以应用H^opital和getlimσ→∞在σ√t+1=limσ→∞-2σ- σ（t+1）√t+1=-∞因此，limθ→0Φ（￠At）√t+1σ）=0。另一方面，我们有θ→ ∞ 如果u- r→ ∞ 或σ→ 0。两者都可以很容易地计算，并给出结果（2.23）。结果2和4似乎与实证观察结果相矛盾，在实证观察中，我们看到限制对股票投资的影响越来越大，波动性越来越大，u-r越来越低。然而，这也可能表明限制可能不是评估这些影响的合适概念。例如，如果θ→ 0，结果4的投资，即πt，变为零，因此也是初始财富，因为假设P[X<πX]=1。但（2.3）中提到了这个案例。

对于σ→ 0，极限似乎是有意义的：在极限中，财富过程是确定的，因此它只取决于初始条件。由于我们假设结果2为P[X>^πX]=1，结果4为P[X<^πX]=1，因此限制似乎合理。特别是，我们发现间隙u-r需要足够大。否则，投资于股票的决定性金额的增长速度将快于Xπ并在某一点上超过它。还要注意的是，这两种情况通常不会以相同的速度收敛。例如，如果我们将X=Xπ设置为能够进行比较，那么对于“现实”设置（α=0.001，r=0.01，u=0.04，σ=0.1，T=20），第一种情况的概率为1.54%，而第二种情况的概率为10.37%。这表明，一旦财富落在最佳投资策略之下并遵循修改后的策略，它就更有可能坚持下去并保持在最佳投资曲线之下。这与我们的观察结果一致，尤其是最终财富的分布更集中于较低的分位数。6.6最优终端财富分配的分位数为了更详细地描述X^πT的CDF，下面列出了一些经验分位数。

为了得到这些，使用了3000条路径的样本和0.1的步长（用于投资时间t的迭代）。为了比较，X^πT的理论CDF~ N（XerT+Tθα，θαT）也被列出。注意，这些值也仅取决于Xα（对于以下值，α设置为0.001）。其他参数固定为r=0.01u=0.03，σ=0.1，T=20，α=0.001。终端财富量25%50%75%95%10 182 818 1\'404 2\'300291 928 1\'514 2\'4101\'403 1\'990 2\'612 3\'49012\'426 13\'018 13\'618 14\'547122\'297 122\'934 123\'520 124\'416初始财富量回报25%50%75%95%1\'815%8\'179%14\'037%23\'001%291%928%1\'514%2\'410%140%199%261%349%124%136%145%122%123%124%124%理论终端财富数量25%50%75%95%209 812 1\'415 2\'283319 922 1\'525 2\'3931\'418 2\'021 2\'625 3\'49312\'411 13\'014 13\'617 14\'485122\'337 122\'940 123\'544 124\'411p。一

初始财富分位数回报率（连续复合）25%50%75%95%14%22%25%27%5%11%14%16%2%3%5%6%1%1%2%2%1%1%1%1%1%1表12:XπT分位数（变化X）不同初始财富的最优终端财富经验分布如下所示。图23:X=10的终端财富直方图；1000; 10\'000这些是不同挥发物的分位数（见第2.3.3节）：u-r XQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%256 94%248%392%599%3%15445%199%343%549%1%51-3%150%294%500%（a）σ=0.4u-r XQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%4\'094 211%245%285%340%3%2\'456 159%197%232%284%1%819 110%148%183%235%（b）σ=0.1表13:X^π总分位数回报（和变化u-r）ur策略Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）1%0%0π-2%309%602%1\'024%1%0%0πm82%112%149%228%0%1%2%253%493%838%0%1%0πm67%91%122%187%（a）σ=0.1表14:Xπ和XπMTA的分位数S总回报率（变化r）6.7πlandπuIn的行为为了说明最优策略在以下条件下的定性行为：终端财富的上限或下限更详细地说，我们将关注与以下给出的最优策略的差异：-~πcc（~X^πt，t）和~πpp（~X^πt，t）。例如，我们将Kl=800，Ku=1\'250，市场条件r=0.01，σ=0.1，u=0.03。首先，我们感兴趣的是这些策略在一段时间内的行为。因此，我们的fixx^πt为1\'000，请记住，该值可能不现实，因为初始影子财富x x是根据初始财富计算的，可能会有很大的变化。第二，我们预计随着时间的推移，会发生Xπtto变化。

当然，由于它是随机的，价值未知，但我们预计它会增长（它遵循一个最优财富过程，见命题3）。图24：随时间变化的▄πpp（▄X^πt，t）（上线）和▄πcc（▄X^πt，t）的行为在这里，我们称p（▄X^πt，t）为“期权”，其复制策略▄πp为“策略”，与看涨期权相当。正如右图和公式所示，总体战略是这两个因素的产物。因此，对于较小的t，期权的价值更具支配性，随着时间越来越接近成熟度，策略的影响也越来越大，从而形成一条曲线，其峰值约为t=17。通常，在t=t时，期权的价值与其支付金额相同。在所考虑的情况下，Kl<X^πt<Ku，因此不会行使期权，其收益为零。但它不需要像这样，对于其他执行价格和固定的当前影子财富，期权的价值确实可以收敛到正值。现在，我们将在t=17时确定时间，并查看当前影子财富的影响^x^π。图25:currentshadow-wealth函数中▄πpp（▄X^π，17）（上线）和▄πcc（▄X^π，17）的行为在右侧可以看到类似于第3.2节和第4.2节所示的行为。这是复制策略和选项相互作用的“反向”行为的结果。收敛性也可以很容易地从∧πpand∧πc.lim∧X^πt公式中推导出来→∞~πc（~X^πt）=lim ~X^πt→-∞§πp（§X^πt）=0fora fixedt∈ [0，T]。（6.14）证明。通过定义du（~X^πt）=Ku-X^πter（T-t） 我们有du（~X^πt）→ -∞ 如果▄X^πt→ ∞.因此，lim▄X^πt→∞~πc（~X^πt）=limdu→-∞Φ(-du）σ√T-t（φ（du）- Φ(-du）du）=0，因为limdu→-∞Φ(-du）=1和limdu→-∞φ（du）=0。

根据第4.2.1节可知▄πc（d）=-~πp（d）。就期权的行为而言，也可以很容易地看出limX^πt→-∞p（~X^πt，t）=lim ~X^πt→-∞e-r（T-t） 等式[最大值{Kl-X^πT，0}| X^πT]=∞ andlim▄X^πt→∞e-r（T-t） 等式[最大值{Kl-XπT，0}|X^πT]=0.6.8 Kl-Ku策略：Kl影响的说明绘制这些图是为了检查Kla的影响如何影响策略。