动态市场诱发羊群现象的粒子模型

2022-6-2 17:16:17

由动态市场信号Yeong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUNAbstract诱发的放牧现象的粒子模型。在本文中，我们研究了金融市场中的羊群现象，其产生于（1）市场参与者之间的非协调集体互动和（2）市场参与者对动态市场信号的同时反应的综合影响。通过将资产的预期回报率和资产的有利性解释为相空间中的位置和速度，我们构建了一个基于代理的金融羊群行为粒子模型。然后，我们使用该模型定义了两种类型的羊群函数，并证明它们分别满足Gronwall类型估计和LaSalle类型不变性，从而导致市场参与者的羊群行为。通过各种数值试验对这些结果进行了数值验证。1、简介在自然界[7、8、14、16、35]和社会[5、9、19、25]中经常观察到集体行为，如聚集、流行、时尚、群居和放牧。在这些不同类型的集体行为中，通过根据周围的粒子调整速度的过程来对齐速度的FLOCKING现象最近取得了一些进展。已经提出了一些模型，如Cucker-SmalModel（16、17）或Viseck模型（34），并且已经发展了许多成功的数学理论来理解这些模型（13、15、21、22、23、24、30）。在本文中，我们使用粒子模型研究了金融市场中出现的羊群行为。放牧一词在几种不同的上下文中使用。理解它们最基本的意义是个体的聚集行为，形成一个群体并作为一个群体移动。

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2022-6-2 17:16:21

因此，与FLOCKING现象不同，调整也发生在位置变量之间，因此，位置和速度之间的相互作用可能在动力学中发挥重要作用。在金融和经济领域，羊群效应通常被用来描述市场参与者越来越倾向于跟随市场趋势的现象，即使他们自己的观点、信息、好感或本能反对这种趋势。表达“信息级联”也经常使用。在传统经济学和金融学中，假设所有代理人都是理性的，所有信息都已经反映在价格上（有效市场假说），这意味着没有泡沫[4、29、31、32]。然而，正如我们在1637年的图利马尼亚、1711-1720年的南海泡沫、2000年的股市繁荣和2007年的美国房地产市场金融危机中所看到的那样，出现了许多非理性事件，如泡沫和崩溃。目前尚不清楚这些现象是否完全是由放牧引起的-O、 Bae得到了基础科学研究项目的支持，该项目由韩国国家研究基金会（NRF）资助，由教育、科学和技术部资助（2015R1D1A1A01057976）。S、 -B.Yun通过教育、科学和技术部资助的韩国国家研究基金会（NRF）获得基础科学研究项目（NRF-2016R1D1A1B03935955）的支持。2 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun是市场参与者的行为，但放牧在这些现象的形成过程中起着至关重要的作用。先前关于金融中羊群行为的研究主要基于序列分析[4、5、6、9、10、26、27]，其中分析了第一个参与者的决策对后续参与者行为的影响。

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2022-6-2 17:16:24

（见第2节。）在本文中，我们研究了由对其他参与者的同时反应和动态市场信号引起的羊群现象。“动态”一词是指（1）信号随时间变化，或（2）信号由市场参与者的动态决定。为此，我们引入了两个变量：xi（t）：第i个市场参与者预期的资产随时间t的回报率，以及vi（t）：第i个市场参与者在时间t对这些资产的偏好。这两个变量发挥了自推进粒子在相空间中的位置和速度的作用，并使我们能够导出一个粒子模型，给出回报率之间的动态关系，有利性和市场信号。（见第2节。）然后，通过推导两个分别满足Gronwall型不等式和LaSalle型不变性条件的Lyapunov型herding泛函，分析了系统的羊群性质。（见第3、4、5节。）在堵塞模型中，多个粒子占据同一位置被认为是不可取的【2、12、16、17】。相反，我们允许“粒子”占据相同的x和v。这种重叠对应于对预期回报率和特定资产偏好的共识，这正是我们试图建模的。本文概述如下：在第二节中，我们推导了一个描述由动态市场信号引起的羊群现象的粒子模型。还从财务定价模型的角度给出了我们的模型的动机。第三节介绍了我们的主要羊群定理。第4节和第5节则专门用于证明主要结果。在第6节中，我们提供了一些相关的数值模拟。第7.2节讨论了结论和未来可能的项目。

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2022-6-2 17:16:27

金融羊群行为的粒子模型假设有N个市场参与者和M个资产，如股票或真实估值。对于隐含性，我们假设没有新的参与者或资产进入或离开市场。然后我们定义（t）=xi（t），····，xMi（t）∈ RMAD vi（t）=vi（t），···，vMi（t）∈ RM，（i=1，···，N）按以下方式：oxi（t）：市场参与者i预期的资产回报率1，····，M超时t.ovi（t）：市场参与者i在时间t对这些资产1，···，M的偏好。我们表示x（t）=x（t），x（t），····，xN（t）∈ RMNand v（t）=v（t），v（t），····，vN（t）∈RMN。很自然地，我们会假设，如果对回报率的预期上升，市场参与者可能会以更有利的方式考虑资产的价值，而当回报率下降时，市场参与者会以相反的方式考虑资产的价值。在这方面，我们将XIND vibydxidt=vi.（i=1，···，N）联系起来。为了描述vi的动态，我们假设市场参与者对市场趋势非常敏感，市场中普遍存在模仿策略，经济学家和市场参与者都认为这在一定程度上是正确的。我们通过以下三种方式假设有利性受到其他参与者评估的影响，从而为羊群现象3建立了此假设粒子模型：（1）其他参与者对资产预期回报率的评估：NNXj=1φij（xj- xi）。（2）其他玩家对资产的偏好：NNXj=1φij（vj- vi）。在（1）和（2）中，φij是播放器i和播放器j之间的通信速率，其精确形式如下所示。（3）来自市场的各种信号也会影响参与者的意见和决策。当市场经历剧烈的转型或动荡时，例如1997年的亚洲金融危机和2008年的次贷危机，可以更清楚地观察到这种影响。

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2022-6-2 17:16:30

为了系统地表述此类信号，我们引入了一个函数w（x，t），我们称之为“动态市场信号”，并假设资产的有利性受到预期回报和信号之间差异的影响：w（x，t）- xi（t）。下面将考虑w的明确示例。通过综合上述三种影响，我们得出了我们的主要模型：dxidt=vi，dvidt=λxNNXj=1φijxj（t）- xi（t）+λvNNXj=1φijvj（t）- 六（t）+ λww（x，t）- xi（t）,（2.1）式中λx，λvandλware相互作用强度。可以为通信速率φij做出多种选择，这决定了市场上其他参与者对一个参与者的预期回报率和好感的影响程度。在本文中，我们使用φij：=φ（xi，xj）=1+| xi- xj公司|γ>0时为γ。我们注意到，为了使该模型更真实，应考虑噪声的影响：dxidt=vi，dvi=λxNNXj=1φijxj（t）- xi（t）dt+λvNNXj=1φijvj（t）- 六（t）dt+λww（x，t）- xi（t）dt+σidWit、4 hyong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE yun，其中σi是波动性，而wit是M维布朗运动。然而，在本文中，我们忽略了噪声的影响，仅考虑（2.1）以简化和清晰。我们把它作为一个未来的项目。动态市场信号w（x，t）的示例：我们可以根据市场情况选择各种类型的动态市场信号数学表达式。一些财务上有趣的例子是：（a）市场参与者无法应对的市场大趋势。（例如：市场的突然动荡，如经济危机或外汇汇率的涨跌）在这种情况下，我们将w=w（t）设为时间的给定函数。（b）来自像Warren Buffett这样的知情市场参与者的不对称信息或信号。

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2022-6-2 17:16:33

在不丧失普遍性的情况下，我们可以将流动玩家设定为（x，t）=x。也就是说，流动玩家的预期回报率是市场中的一个强大影响因素（c）平均市场预期、市场气氛或一些平均指数，如道金斯指数，据信反映了这种平均市场预期，在这种情况下，我们可以定义新的（x，t）=nnxixixi。我们将表明，这些信号引起的放牧行为可以用简单的方式来解释。（见第3节。）模型的财务动机：我们现在提供模型的财务动机（2.1）。为此，我们回顾了资产价格S（t）的几何布朗运动：dSS=udt+σdWt，其中u是瞬时预期收益率，σ是波动率，wt是一维布朗运动。然后应用伊藤公式：s（t）=s（0）eRtu（s）-σ（s）ds+Rtσ（s）dWs，并取期望值E[·]到s（t）以得到E[s（t）]=s（0）eRtu（s）ds，或等效地，ddtlog E[s（t）]=u（t）。（2.2）根据【28】，预期收益率u由以下随机微分方程du=a生成θ - udt+ΔσdWt，（2.3），其中第一项表示预期回报率随调整速度a向正常回报率θ的长期回归调整，第二项放牧现象粒子模型5是误差学习型预期回报率随调整速度δ的短期外推调整。

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2022-6-2 17:16:37

将（2.3）与（2.2）耦合，我们得到以下系统：ddtlog E[S]=u，du=a（θ- u）dt+ΔσdWt。这可以推广到多变量系统：（i=1，···，N）ddtlog E[Si]=ui，dui=a（θi- ui）dt+ΔσidWit。用（xi，vi）重写（log E[Si]，ui），取δ=0，我们可以表示为一个分词模型：xi=vi，vi=aθi- 不及物动词.现在，如果我们做出以下选择：a=λv，θi（t）=NNXj=1vj，我们恢复我们的羊群模型（2.1），λx=λw=0，φij=1。金融学中关于羊群行为的研究简要回顾：文献[4、5、6、9、10、27]对金融中的羊群行为进行了广泛研究。羊群行为主义是指人们盲目遵从他人的决定。如果前任的行为影响到一个人的（1）支付结构，从而导致更高的支付（支付外部性）和/或（2）他对世界状态的概率评估，从而支配私人信号（信息外部性），那么模仿某人的行为可能是合理的。如果代理人模仿其前任的决定，即使他自己的信号可能建议他采取不同的行动，也会发生信息外部性导致的羊群效应。这种羊群效应也会导致信息级联。

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2022-6-2 17:16:40

在文献[5]中，定义了投资者羊群效应和信息级联的概念：o信息级联发生在时间t内，此时np（ht | V，ht）=P（ht | ht）五、 ht.o当Vθ（xθ）<Vm<Vtmor时，如果拥有私人信息xθ的交易者在t时买入，如果他在Vθ（xθ）>Vm>Vtm时卖出，则在t时从事羊群行为；而购买（或出售）则是严格优先于其他行为的。这里，P（·|·）表示条件概率，V表示新信息的价值，hts是时间t之前的行动历史，hts是到达时间t的交易员（市场参与者）采取的行动（买入或卖出），xθ是交易员θ的私人信息，Vtm：=E[V | Ht]是造市商对给定公共信息资产的预期价值，我们有时称之为价格，而Vtθ（x）：=E[V | Ht，xθ=x]是知情交易者θ的预期值。在信息级联中，有关资产的新信息不会影响市场参与者的决策。上述[5]中关于购买羊群行为的技术定义可以表达为以下三个步骤：（1）最初交易者的评估低于资产的市场价值，因此他倾向于出售。（2）然而，资产的市场价值仍在增长。（3）交易者必须无视自己的评估而购买资产。文献[5]还表明，无论羊群行为是否影响资产价格，资产价格肯定会影响羊群行为。尽管市场参与者是顺序决定还是同时决定会产生很大差异，但大多数羊群模型都是按顺序研究的。据作者所知，6 Hyong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yuno还没有提出粒子模型，将其解释为一个同时对其他参与者和市场信号做出反应的动力系统。

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2022-6-2 17:16:44

相关研究可在[1，3]中找到，其中使用Cucker-Smale类型模型考虑了波动性的锁定行为。作为相关工作，我们提到了[18，20]，其中提出了Boltzmann型动力学方程来模拟市场的动态，并通过公共信息和羊群效应的综合作用来理解泡沫和崩溃的形成（另见[33]），在[11]中，引入了Keller-Siegel型宏观放牧模型来模拟人群的放牧行为。3、主要结果在本节中，我们介绍了我们的主要结果。为了便于证明，我们从简化模型开始。3.1. 集中放牧模型：我们首先记录平均运动的一个简单结果。让xc，vc分别表示平均预期收益率和平均有利性：xc（t）=NNXi=1xi（t），vc（t）=NNXi=1vi（t）。这些平均量按照以下简单系统演化：引理3.1。xC和vcsatisfyddtxc（t）=vc（t），ddtvc（t）=λw（w（x，t）- xc（t））。证据因为所有1的φij=φji≤ i、 j≤ N、我们从对称参数（3.1）得到NXi=1NXj=1φij（xj- xi）=NXi=1NXj=1φij（vj- vi）=0。使用这些恒等式，NPNi=1w（x，t）=w（x，t），我们通过将（2.1）与1相加得到所需的结果≤ 我≤ N我们将证明（x，v）的大时间行为由（xc，vc）控制。鉴于此，我们替换xi（t）- xc（t）→ ^xi（t），vi（t）- vc（t）→ ^vi（t），在我们的模型（2.1）中，得到d^xidt=^vi，d^vidt=λxNNXj=1^φij^xj（t）- ^xi（t）+λvNNXj=1^φij^vj（t）- ^vi（t）- λw^xi（t），（3.2），其中^φij：=φ（^xi，^xj）。注意，对于所有t，^xc（t）=^vc（t）=0≥ 0。（3.3）从现在起，为了清晰和简单，我们只研究这个集中式版本。羊群现象的粒子模型73.2。两种放牧泛函：我们定义了两种放牧能量，并改进了它们的衰减特性。

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2022-6-2 17:16:47

Eis的定义基于对参数和初始配置的严格假设，但可以推导出明确的指数放牧率（定理3.3）。对于E，这种明确的放牧率不可用，但对参数和初始配置的限制可以放宽很多（定理3.6）。为了说明我们的主要定理，我们首先需要定义一些在本文中保留的符号l偏差和协方差泛函：X（t）=NXi=1 | xi（t）|，V（t）=NXi=1 | vi（t）|和c（X，V）（t）=NXi=1^xi（t）·vi（t）。o加权偏差和加权协方差泛函：Xφ（t）=NNXi=1NXj=1^φij | xi（t）- ^xj（t）|，Vφ（t）=NNXi=1NXj=1^φij | vi（t）- ^vj（t）| and cφ（X，V）（t）=NNXi=1NXj=1^φij（^xi（t）- ^xj（t））（^vi（t）- ^vj（t））。我们定义了市场的羊群行为：定义3.2。设（^x（t），^v（t））为（3.2）的解。那么，我们说放牧现象发生在→∞|^xi（t）- ^xj（t）|=0和极限→∞|^vi（t）- ^vj（t）|=0，对于所有i 6=j。我们现在陈述我们的主要定理。3.3. 主要结果I-指数羊群效应：通过（t）=λwX（t）+2λx（λx+λw）λvC（x，V）（t）+V（t）确定市场的羊群效应能量。定理3.3。设γ>0。假设相互作用强度λx，λvandλw满足λvλxλw>1。（3.4）假设初始配置满足Maxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|<vuutλvλxλw！2/γ- 1（3.5）和（0）<1.-Mλwmaxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|，（3.6），其中MdenotesM=（1+4 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|）γ。（3.7）8 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun然后，放牧功能性埃德加群岛指数快速：E（t）≤ e-κtE（0），其中衰减率κ由κ=δmin显式给出, -1 +λvλxλwM2λx（λx+λw）λvand 0<δ<1是在证明中选择的常数。此外，我们有maxi，j^xi（t）- ^xj（t）|<2 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|（3.8）对于所有t≥ 0、备注3.4。（1）在定理3.3的条件下，Eis总是非负的。

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2022-6-2 17:16:50

（2）满足上述条件（3.5）和（3.6）的（x，v）集合为非空。这些备注的证明将在第4节末尾给出。一个直接的推论是，市场呈现出指数级的快速羊群现象。推论3.5。在定理3.3中的假设下，放牧在市场上以指数形式发生：|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 总工程师-κtE（0），| vi（t）- ^vj（t）|≤ 总工程师-κtE（0）（1≤ i、 j≤ N） forC=（2- M） λwand C=4Mλw2Mλw- α.这里，α表示α=2λx（λx+λw）λ，由（3.7）定义。3.4. 主要结果II-无衰减率的放牧：我们定义了另一个市场能量E（t），即使没有λx、λv、λw>0和初始配置的任何限制，它最终也会消失。首先，我们定义γ（t）：=NNXi=1NXj=1（1+|^xi- ^xj |）r-2.- 1., （0<γ<2）NNXi=1NXj=1log（1+| xi- ^xj |），（γ=2）NNXi=1NXj=11.-（1+|^xi- ^xj |）r-2.. （γ>2）（3.9）注意Sγ（t）≥ 0表示所有t≥ 现在，对于任何λx、λv、λw>0的情况，我们通过（t）定义市场的放牧能量：=λwX（t）+v（t）+λxβ-1γSγ（t），其中βγ>0表示βγ=2.- γ, (0 < γ < 2)2, (γ = 2)γ - 2.（γ>2）羊群现象的粒子模型9定理3.6。对于初始数据{xi（0），vi（0）}Ni=1的任何正常数λx，λvandλww，E（t）随着t趋向于∞.备注3.7。（1）对于任何正常数λx，λvandλw，Eis为非负。（2）定理3.6概括了定理3.3，即我们不对初始配置施加任何限制，也不对参数λx、λvandλwe施加任何限制。然而，在这种情况下，显式放牧率不可用。这导致了以下普遍的羊群现象，这种现象无条件成立。推论3.8。在定理3.6中的假设下，市场中会出现羊群现象：limt→∞|^xi（t）- ^xj（t）|=0，极限→∞|^vi（t）- ^vj（t）|=0。(1 ≤ i、 j≤ N） 4。

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2022-6-2 17:16:55

定理3.3的证明：指数快速羊群在深入研究主要定理的证明之前，我们建立了几个技术引理。引理4.1。我们有DDTX（t）=2C（X，V）（t），ddtV（t）=-2λwC（X，V）（t）- λxCφ（X，V）（t）- λvVφ（t）。证据第一个恒等式是直接的：ddtNXi=1 |^xi（t）|=2NXi=1^xi（t）·^vi（t）。对于第二个，我们计算dTnxi=1 | vi（t）|=2NXi=1^vi（t）·- λw^xi（t）+λxNNXj=1^φij（^xj（t）- ^xi（t））+λvNNXj=1^φij（^vj（t）- ^vi（t））≡ I+II+III。那么，很明显，I=-2λwNXi=1^xi（t）·^vi（t）。根据（3.1），我们有ii=2λxNNXi=1NXj=1^φij^vi·（^xj- ^xi）=-λxNNXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj）。10 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun类似地，III=2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi·（^vj- ^vi）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |。因此，ddtNXi=1 |^vi（t）|=-2λwNXi=1^xi·^vi-λxNNXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj）-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |。我们还需要考虑C（X，V）（t）引理4.2的时间演化。对于任何t>0ddtC（X，V）（t）=V（t）- λwX（t）-λxXφ（t）-λvCφ（X，V）（t）。证据SeeddtNXi=1^xi（t）·^vi（t）=NXi=1d^xidt·^vi+^xi·d^vidt≡ I+II。I的计算是直接的：I=NXi=1 | vi |。对于II，我们认为i=NXi=1^xi·n- λw^xi（t）+λxNNXj=1^φij（^xj（t）- ^xi（t））+λvNNXj=1^φij（^vj（t）- ^vi（t））o≡ 二+二+二。然后我们计算每个项。IIISII=-λwNXi=1 | xi（t）|。根据（3.1）中羊群现象的粒子模型11和一个简单的对称参数，我们得到≡λxNXiXj^φij^xi·（^xj- ^xi）=-λxNXiXj^φij^xi·（^xi- ^xj）=-λx2NXiXj^φij |^xi- ^xj | andII≡λvNXiXj^φij^xi·（^vj- ^vi）=-λvNXiXj^φij^xi·（^vi- ^vj）=-λv2NXiXj^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj），因此ii=-λwNXi=1 |^xi|-λx2NXiXj^φij |^xi- ^xj|-λv2NXiXj^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。4.1.

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2022-6-2 17:16:59

定理3.3的证明：我们将证明分为以下两个步骤：步骤1：步骤1用于证明以下声明：声明：定义T>0 byT=支持∈ R+maxi，j|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 2 maxi，j|^xi（0）- ^xj（0）| o.那么我们有ddte（t）≤ -κE（t）表示0≤ t<t。这里，κ>0是定理3.3中定义的常数。证据回想一下推论3.5中对α的定义：α：=2λx（λx+λw）λv.12 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUNThen，通过引理4.1和引理4.2，我们得到了ddte（t）=2λwC（x，v）+α五、- λwX-λxXφ-λvCφ（X，V）+- 2λwC（X，V）- λxCφ（X，V）- λvVφ= αV- αλwX-αλxXφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ.（4.1）现在，使用x（t）=NXi=1^xi·^xi=NXi=1（^xi- ^xc）·^xi（^xc=0）=NNXi=1NXj=1（^xi- ^xj）·^xi=2NNXi=1NXj=1 |^xi- ^xj |=2NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj |+Xφ（t），我们得到-αλwX=-αλwX-αλwX=-αλwX-αλw4NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj|-αλwXφ（t）。因此，我们从（4.1）ddtE（t）=αV-αλwX-αλw4NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj|-αλx（1+λw2λx）xφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ≤ αV-αλwX-αλx（1+λw2λx）xφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ≡ αV-αλwX+R。羊群现象的粒子模型13为了简单起见，我们设定L=1+λw2λxf，计算机=-αλxLXφ+λvλx+αCφ（X，V）+2λVλXαVφ= -αλxLXφ+Lλvλx+αCφ（X，V）+4Lλvλx+α）vφ+λvλw2λxVφ= -αλxLNNXi=1NXj=1^φij（^xi）- ^xj）+2Lλvλx+α（六）- ^vj）+λvλw2λxVφ≤ -αλvλw4λxVφ。（4.2）由于我们是assumingmaxi，j|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 2 maxi，j|^xi（0）- ^xj（0）|，我们有^φij≥ Mfor Mde如（3.7）所述。

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2022-6-2 17:17:03

因此，Vφ=NNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj|≥MNNXi=1NXj=1 |^vi- ^vj |=2MNNXi=1NXj=1（^vi- ^vj）^vi=2MNXi=1（^vi- ^vc）^vi=2MNXi=1 | vi |，（^vc=0），由（4.2）R得出≤ -αλvλw2λxMV。最后，我们回到（4.1）中，通过这些计算导出dTe（t）≤ -αλwX-- 1+λvλw2λxMαV≤ -2λx（λx+λw）λvmin, -1 +λvλxλwM（λwX+V）。（4.3）接下来，我们需要证明存在δ>0，这样-（λwX+V）≤ -δ（λwX+αC（X，V）+V），（4.4）14 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun，相当于发现δ，即（1- δ)λwX-δ1 - ΔαC（X，V）+V≥ 如果δ（1- δ)α- 4λw≤ 回顾α的定义，可以将其改写为δ（1- δ)≤ λwλvλxλwλx+1,对于非常小的δ>0，这是正确的。现在，通过选择δ，我们可以结合（4.3）和（4.4）来闭合所需的Gronwall不等式：ddtE（t）≤ -2λx（λx+λw）λvmin, -1 +λvλxλwMδE（t）。第2步：我们现在证明T延伸到完整性：声明：T=∞, 即maxi，j |^xi（t）- ^xj（t）|<2 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|对于所有t>0。证据我们首先将（3.5）改写为λvλxλwM>1并使用λx和λwto的正性get2λwM>4λx（λx+λw）λv=α，或等效0<α2Mλw<1。有了这一点，以及0<M<2这一事实，从M的定义中可以看出，0≤1.-MλwX（t）≤1.-MλwX+MλwNXi=1^xi+αMλw^vi+1.-α2Mλw五=1.-MλwX+MλwX+2αMλwC（X，V）+αMλwV+1.-α2MλwV=λwX（t）+2λx（λx+λw）λvC（x，V）（t）+V（t）=E（t）。（4.5）羊群现象的粒子模型15因此，将其与权利要求1的结果相结合，我们得到X（t）≤E（0）（1）-M） λwe-κt.（4.6）现在，与上述说法相反，假设存在|^xi（t）- ^xj（T）|=2 maxi，j^xi（0）- ^xj（0）|（4.7）对于某些T>0。

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2022-6-2 17:17:08

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2022-6-2 17:17:11

当γ6=2时，我们有ddtnxi=1NXj=1（1+|^xi- ^xj |）r-2= (2 - γ） NXi=1NXj=1（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）1+|^xi- ^xj|γ= (2 - γ） NXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。对于γ=2，我们类似地计算了dtnxi=1NXj=1log（1+| xi- ^xj |）=2NXi=1NXj=1（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）（1+|^xi- ^xj |）=2NXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。引理5.2。对于λx，λv，λw>0，我们有（1）一阶导数：E（t）=-λvVφ（t）。羊群现象的粒子模型17（2）二阶导数：E（t）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |+2^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj.（3）三阶导数：E（t）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj|-λvNNXi=1NXj=1^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj-λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj·^vi- ^vj-λvNNXi=1NXj=1^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj.证据（1）我们区分E（t）并使用引理5.1获得DDTλwX+V+λxβγSγ= 2λwC（X，V）+- 2λwC（X，V）- λxCφ（X，V）- λvVφ+λxβγβγCφ（x，V）=-λvVφ。（2）和（3）中的身份直接来自差异-r.h.s.中的λvVφ。引理5.3。修复t>0。假设{vi（t）}i=1，。。。，Nare都相同，但{xi（t）}i=1，。。。，纳雷诺。也就是说，Xi，j | vi（t）- ^vj（t）|=0，Xi，j | Xi（t）- ^xj（t）| 6=0。然后，Evanish在t:E（t）=E（t）=0时的一阶、二阶导数，以及Eis在t:E（t）<0时的三阶导数严格为负。证据从引理5.2（1）和（2）中可以清楚地看出，E（t）=E（t）=0。对于E（t），回想引理5.2（3），当{vi（t）}i=1，。。。，Nare完全相同，除了r.h.svanishes中的第三个术语，yieldingE（t）=-2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj.（5.2）18 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun因此，我们的目标是证明右手边不是零。

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2022-6-2 17:17:14

为此，wenote从（3.2）中得知^vi- ^vj=-λw（^xi- ^xj）+λxNNXk=1^φik（^xk- ^xi）+λvNNXk=1^φik（^vk- ^vi）-λxNNXk=1^φjk（^xk- ^xj）-λvNNXk=1^φjk（^vk- ^vj），在我们相同的有利性假设下，其减少到^vi- ^vj=-λw（^xi- ^xj）+λxNNXk=1^φik（^xk- ^xi）-λxNNXk=1^φjk（^xk- ^xj）。现在，对于向量^xi，让^xkidenote表示^xi的第k个元素。也就是说，^xi=（^xi，^xi，…，^xMi）。然后，根据我们的假设，我们可以找到i6=jand，这样mini^xdi=^xdi<xdj=maxi^xdiand^xdi≤ ··· ≤ ^xdj。对于i，jand d的这种选择，我们有^v0di- ^v0dj=-λw^xdi- ^xdj+λxNNXk=1^φik（^xdk- ^xdi）-λxNNXk=1^φjk（^xdk- ^xdj）>0。我们现在回到（5.2）来观察这个结果，以获得期望的结果：E（t）=-2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj≤ -2λvNNXi=1NXj=1^φij^v0di- ^v0dj≤ -2λvN^φij^v0di- ^v0dj< 05.1. 定理3.6的证明：我们首先回顾LaSalle[36]提出的以下不变性原则：定义5.4。[36]如果从M开始的每个解对于所有t都保持M，则称集M是不变的。也就是说，x（0）∈ M=> x（t）∈ M代表所有t。定理5.5。[36]考虑微分方程组（5.3）˙x=F（x），其中x（t）=x（t），xN（t）F是一个向量场。设L（x）是一个标量函数，所有x的第一部分都是连续的。假设i）L（x（t））>0，所有x 6=0，ii）˙L（x（t））≤ 所有x为0。羊群现象的粒子模型19设E为所有点的集合，其中˙L（x）=0，M为E中包含的最大不变集。然后，所有t的（5.3）有界的每个解≥ 0接近M作为t→ ∞.现在我们开始定理3.6的证明。首先，回想一下羊群函数E（t）是非负的：E（t）≥ 0，并且仅当^x（t）=^v（t）=0时消失。我们还有（5.4）E（t）=-λvVφ（t）≤ 只有当{vi}i=1，…，等式成立，。。。，鼻孔完全相同。（5.4）也意味着解的有界性。因此，Esatis证明了定理5.5的条件。

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2022-6-2 17:17:17

现在，将E定义为Vφ（t）的零空间：E：=（^x，…，^xN，^v，…，^vN）∈ R2MN |^v=····=^vN.由于我们考虑的是集中式模型，且^vc（t）=0，E实际上为：=（^x，…，^xN，^v，…，^vN）∈ R2MN |^v=···=^vN=0.设M是E中的最大不变性集。鉴于上述不变性定理，我们的目标是证明M是平凡的：M= 百万南非兰特。（5.5）对于这一点，相反地，假设存在一个开放区间I和一个解{xi（t），^vi（t）}Ni=1到（3.2），在M中，使得xi，j^xi（s）- ^xj（s）| s为6=0∈ 一、由于{^xi（t），^vi（t）}Ni=1∈ E根据定义，我们有^v（t）=····=^vN（t）=0，根据引理5.3，E（t）的一阶和二阶导数消失，而三阶导数E（t）在I上保持严格的负：E（t）=E（t）=0，E（t）<0。因此，对于任何[t，t] 一、我们从泰勒定理得到0=E（t）=E（t）+（t- t） E（t）+Ztt（t- s） E（s）ds=Ztt（t- s） E（s）ds<0，这是一个矛盾。这证明了（5.5）。然后，期望的结果来自Theorem5.5.20 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUN6。数值模拟在这一部分中，我们提供了三个数值测试来证明市场中的羊群行为。在测试1中，我们在参数和初始数据选择不同的情况下（M=1，N=5），对定理3.3和定理3.6进行了数值验证。在测试2中，我们给出了二维问题（M=2，N=4）的数值解（3.2）的轨迹，以可视化多维情况下的羊群现象。在测试3中，我们给出了每个变量x和v的二维直方图，其中M=2，N=500，用于模拟大量玩家。在所有模拟中，我们采用四阶龙格-库塔方法进行时间演化，时间步长固定。6.1. 数值试验1。

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2022-6-2 17:17:20

我们回顾了在整个测试1中，第2节和第fix节中呈现的三种动态市场信号场景asw（x，t）=4 cos（4t），w（x，t）=x（t），w（x，t）=NNXi=1xi（t）。为简单起见，我们考虑五个市场参与者N=5，一个资产M=1。在下面的数值测试1-1和1-2中，初始数据（xi（0），vi（0））是随机选择的，唯一的区别是选择x（0）：测试1-1:x（0）=10，测试1-2:x（0）=-选择x（0）=10表示最初市场参与者x对市场持积极态度，选择x（0）=-10表示相反。这是为了比较流动参与者x（t）在市场上的评估影响。在测试1-3中，我们考虑了与不满足定理3.3条件的初始配置相对应的解的动力学。我们观察到，定理3.3的基本特征被打破了，但定理3.6的结果仍然成立。证明了定理3.3中的条件是必要的。（见备注3.7。）在整个测试1-1至1-3中，我们考虑非集中模型（2.1）的数值解，以清楚地表明（xc，vc）对放牧动力学的影响。6.1.1. 数值试验1-1：（x（0）=10的情况）在本试验中，我们选择γ=1.5，λx=0.1，λv=3和λw=2，它们满足参数假设（3.4）。初始数据在中随机选择[-10, 10] × [-10，10]以满足定理3.3中的（3.5）和（3.6）。我们获得了与三种情景对应的原始非集中放牧模型（2.1）的数值解，并将其分别绘制在图1、2和3中。最终时间取T=6。在图1中，在w（x，t）=4 cos（4t）的情况下，我们计算x和v。我们观察到，t=4后，xi、vitend显示出类似的模式。我们还看到平均支持率vcmovesup和down。

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2022-6-2 17:17:23

由于市场信号是一种振荡模式，因此观察到市场参与者往往频繁改变主意的这种情况是很自然的。在图2中，当w（x，t）=x时，提供了x和v的行为。我们看到，第二种情况的数值解与图1中所示的数值解相比，显示了非常不同的阶段，即使它们从相同的初始随机数据开始。t=4后，每个变量将收敛到约4的固定常数，这导致xi线性增加。图3显示了w（x，t）=NPNi=1xi（t）时x，v的行为。我们观察到VCS保持不变。回顾引理3.1意味着DDTVC（t）=0，在这种情况下，有这样一个固定常数vc是很自然的。我们可以观察到，它还显示了t=4后的集体行为。羊群现象的粒子模型21图1。w（x，t）=4 cos（4t）图2。w（x，t）=x（t）我们现在检查两个羊群能量的演化：E（t）和E（t）。在图4a和4b中，我们分别绘制了对数意义下的E（t）和E（t）。我们观察到，每个放牧能量朝着0单调递减。在图4c中，验证了maxi，j | xi（t）- xj（t）|无法获得界2 maxi，j | xi（0）- xj（0）|适用于所有t≥ 0，如（3.8）所保证。6.1.2. 数值试验1-2：（x（0）=-10）在本测试中，我们将x（0）替换为asx（0）=10→ x（0）=-10，所有其他初始配置和参数已确定。注意，新的初始条件也满足定理3.3的条件。在图5、6和7中，我们分别将T=6的每个场景的数值解绘制为（2.1）。在所有这些图中，我们观察到预期回报率和优惠率中的羊群现象。22玄OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图3。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图4。

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2022-6-2 17:17:28

羊群能量和边界与测试1-1相比的主要差异如图6所示，其中我们清楚地看到了参与者xin对资产负面评估的影响，与图2相比，流动市场参与者对资产回报率的负面评估（x（0）<0）导致预期回报率不断下降，和vc负值的出现，即使我们最初有vc（0）>0。在图8a、图8b和图8c中，我们可以看到，每一个放牧能量都是十节律的，均匀束缚的2 maxi，j | xi（0）- xj（0）|无法为allt获得≥ 0，如试验1-1.6.1.3所示。数值试验1-3。（消除对参数的限制）在这项测试中，我们提供了一个数值示例，表明即使对参数的限制和对定理3.3的初始配置没有得到满足，放牧行为仍然会发生，正如定理3.6所保证的那样。为此，我们选择γ=1，λx=2，λv=1，λw=0.5。由于定理3.6中对初始数据没有限制，我们在[-15, 15] × [-15, 15]. 图23中，羊群现象的粒子模型见图5。w（x，t）=4 cos（4t）图6。w（x，t）=x（t）9-11，我们绘制了（2.1）到t=15的数值解。这些图表明，出现了预期的羊群现象。然而，我们观察到，定理3.3的各种重要特征并不成立。图12a显示E（t）不再单调递减，甚至可能超过E（0）。我们观察到E（t）可以取负值。在图12c中，我们还可以看到maxi，j | xi（t）-xj（t）|可以超过2个最大值，j | xi（0）-xj（0）|在这种情况下，这意味着第4节中定理3.3的证明失效。同时，在图12b中，即使初始数据相同，E（t）也单调地向0递减。6.2.

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可人4

2022-6-2 17:17:31

数值试验2：在本试验中，我们考虑了集中放牧模型（3.2）数值解的轨迹，以可视化解的动力学。我们选择γ=2、λx=1、λv=1和λw=1，这不符合定理3.3的条件。牧民24 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图7。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图8。羊群能量和边界现象仍然由定理3.6保证。为便于模拟，我们将资产数量和参与者数量取为M=2，N=4，并从中选取初始数据[-5, 5] × [-5，5]使得xc（0）=vc（0）=0。图13-17显示了每个SIND VIUP最终时间T=25的轨迹。在每个图中，“o”和“x”分别代表每条轨迹的终点和起点。这些图显示了随着时间的推移，仙德维沃的结构是如何变化的。尽管它们的运动看起来很复杂，但每一步的波动都会越来越小，最终导致羊群现象。6.3. 数值测试3：在这个测试中，我们模拟了大量玩家处理两个资产（M=2，N=500）的行为。我们设置γ=1.5、λx=1、λv=1和λw=1，并从中选择初始数据[-5, 5] × [-5，5]至bexc（0）=vc（0）=0。羊群现象的粒子模型25图9。w（x，t）=4 cos（4t）图10。w（x，t）=x（t）我们将最终时间取为t=20。与测试2一样，我们考虑集中模型（3.2）的数值解。在图18-22中，我们分别绘制了xiand viat t t=0、5、10、15和20的直方图。在每个直方图中，每个边界单元统计其指定区域中的异常值数量。例如，左上角的单元格统计(-∞, -5) × (5, ∞).我们可以看到，除了图18，在t=5、10、15和20时没有异常值。

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2022-6-2 17:17:34

随着时间的推移，SIND VIA分别集中在中心（0，0）和（0，0）。在图22中，我们观察到，所有市场参与者都有相似的预期回报率和偏好，足以容纳在一个像素内。26玄OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图11。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图12。放牧能量和边界7。结论和未来工作在本文中，我们将收益率和偏好性重新解释为相空间上的相点，并推导了一个基于agent的羊群现象粒子模型。然后利用该模型证明了由各种动态市场信号诱导的羊群行为。我们还提供了各种数值模拟来验证和可视化这些结果。这项工作可以在多个方向上发展或扩展。首先，在下一个待办事项列表中，带噪声的粒子模型排在第一位。在本文中，为了清晰起见，我们将自己限制在无声的情况下。其次，在加入碰撞避免机制后，我们的模型可以自然修改为粒子、动物、细菌、个人、无人驾驶车辆等的放牧或群集行为模型。第三，我们没有考虑球员可以根据资产价格进入或离开市场的情况。这似乎也是有趣的未来可能的工作。最后，该模型的动力学和流体动力学限制以及在这些水平上验证放牧现象将在未来的工作中处理。羊群现象的粒子模型27图13。t=0至5图14。t=5至10图15。t=10至1528 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图16。t=15至20图17。t=20至25确认。作者感谢Jane Yoo的认真讨论和有益的评论。参考文献【1】S.Ahn、H.-O.Bae、S.-Y.Ha、Y.Kim和H。

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2022-6-2 17:17:37

Lim，将锁定机制应用于随机波动率建模，数学。适用的模型方法。Sci。23 (2013) 1603–1628.[2] S.Ahn，H.Choi，S-Y.Ha，H.Lee，关于Cucker-Smale型堵塞模型的碰撞避免初始配置，Common。数学Sci。10 (2012) 625–643.[3] H.-O.Bae、S.-Y.Ha、Y.Kim、S.-H.Lee、H.Lim和J.Yoo，股票市场中具有制度转换机制的波动性波动的数学模型，数学。适用的模型方法。Sci。25(2015) 1299–1335.[4] D.Abreu和M.K.Brunnermeier，《泡沫与崩溃》，计量经济学71（2003）173–204。[5] C.Avery和P.Zemsky，《金融市场中的多维不确定性和羊群行为》，Amer。生态的。修订版。(1998) 724–748.羊群现象的粒子模型29图18。t=0图19。t=5图20。t=1030 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图21。t=15图22。t=20【6】A.V.Banerjee，一个简单的羊群行为模型，夸尔。J、生态。107 (1992) 797–818.[7] A.B.T.Barbaro、K.Taylor、P.F.Trethewey、L.Youse ff和B.Birnir，《中上层鱼类动力学的离散和连续模型》，数学。计算机。模拟。79 (2009) 3397–3414.[8] N.Bellomo、A.Bellouquid、J.Nieto和J.Soler，《多细胞生长系统的多尺度生物组织模型和FLUX限制趋化性》，数学。适用的模型方法。Sci。20 (2010) 1179-1207.[9] S.Bikhchandani、D.Hirshleifer和I.Welch，《时尚、时尚、习俗和文化变化的信息级联理论》，J.Poli。生态的。100 (1992) 992–1027.[10] M.K.Brunnermeier，《不对称信息下的资产定价、泡沫、崩溃、技术分析和羊群效应》（牛津大学出版社，2001年）。[11] M.Burger、P.Markowich和J.-F.Pietschmann。群体运动和羊群模型的连续极限：分析和数值模拟，Kinet。关系。型号4（2011）1025–1047。[12] J.A。

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2022-6-2 17:17:41

Carrillo，Y.-P.Choi，P.B.Mucha，J.Peszek，《奇点Cucker-Smale相互作用中避免碰撞的尖锐条件》，非线性分析。真实世界应用程序。37 (2017) 317-328.[13] J.A.Carrillo、M.Fornasier、J.Rosado和G.Toscani，《kineticCucker-Smale模型的渐近膨胀动力学》，SIAM J.Math。肛门。42 (2010) 218–236.放牧现象的粒子模型31【14】A.Cavagna、A.Cimarelli、I.Giardina、G.Parisi、R.Santagati、F.Stefanini和R.Tavarone，从经验数据到个体间相互作用：揭示集体动物行为的规则，数学。适用的模型方法。Sci。20 (2010) 1491-1510.[15] Y.-P.Choi，S.-Y.Ha和Z.Li，库克-斯梅尔膨胀模型及其变体的紧急动力学。活性粒子。第1卷。理论、模型和应用进展，299–331，模型。模拟。Sci。工程技术。（Birkhuser/Springer，Cham，2017）。[16] F.Cucker和S.Smale，《突发行为》，IEEE Trans。自动装置。控制52（2007）852-862。[17] F.Cucker和S.Smale，关于涌现的数学，日本。J、数学。2 (2007) 197-227.[18] M.Delitala和T.Lorenzi，《利用公共信息和放牧进行价值估算的数学模型》，Kinet。关系。型号7（2014）29–44。[19] A.Devenow和I.Welch，《金融经济学中的理性羊群》，欧洲。经济。修订版。40 (1996) 603–615.[20] B.During，A.Jungel和L.Trussardi，一个具有非理性和放牧的经济价值估算动力学方程，Kinet。关系。型号10（2017）239–261。[21]P.Degond和S.Motsch，《具有取向相互作用的自驱动粒子的连续极限》，数学。适用的模型方法。Sci。18 (2008) 1193-1215.[22]S.-Y.Ha，K.Lee和D.Levy，《随机Cucker-Smalesystem中时间渐近膨胀的出现》，Common。数学Sci。7 (2009) 453-469.[23]S-Y.Ha，J.G。

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2022-6-2 17:17:44

Liu，一个关于Cucker Smale flocking动力学和平均场极限的简单证明，Common。数学Sci。7 (2009) 297-325.【24】S.-Y.Ha和E.Tadmor：从粒子到FLOCKING的动力学和流体动力学描述，Kinet。关系。型号1（2008）415-435。[25]C.S.Hemphill，J.Suk，《时尚的法律、文化和经济学》，斯坦。五十、修订版。61 (2009) 1147–1200.【26】S.Hwang和M.Salmon，《市场压力与放牧》，J.Empil。芬南。11 (2004) 585–616.[27]I.H.Lee，《市场崩溃与信息保证》，修订版。经济。螺柱。65 (1995).[28]R.C.Merton和P.A.Samuelson，《连续时间金融》（Blackwell Publishing，1992）。【29】P.R.Milgrom和N.Stokey，《信息、贸易和常识》，J.Econ。理论26（1982）17–27。【30】S.Motsch和E.Tadmor，自组织动力学及其膨胀行为的新模型，J.Stat.Phys。144 (2011) 923-947.【31】M.S.Santos和M.Woodford，《理性资产定价泡沫》，计量经济学65（1997）19–57。[32]J.Tirole，《理性预期下投机的可能性》，计量经济学50（1982）1163–1182。【33】G.Toscani，《意见形成的动力学模型》。公社。数学Sci。4 (2006), 481–496.[34]T.Vicsek；A、捷克；E、 Ben Jacob，I.Cohen和O.Shochet，《自驱动粒子系统中的新型相变》，Phys。修订版。莱特。75 (1995) 1226-1229.[35]J.Toner和Y.Tu，《羊群、牛群和学校：牲畜数量理论》，Phys。修订版。E58（1998）4828-4858。[36]J.P.LaSalle，Liapunov第二种方法的一些扩展，IRE Trans。

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