介绍 作为对称微分算子，我们有{|ibX′型|≤w}- 1{|iX′|≤w}= 1{|ibX′型|≤w} {|iX′|≤w}≤ 1{|iX′-w|≤|ψi（bθ）|}≤ 1{|iX′-w|≤序号}。现在，让γ∈ （(R)ω，1/2）和q>0，因为{|iX′- w |≤ 序号}∩ {|iX′|≤ n-γ} =  对于n largeenough，我们自动{|iX′-w|≤序号}≤ 1{|iX′|>n-γ}≤ nγq|iX′| q，亨西{|ibX′型|≤w}- 1{|iX′|≤w}≤ nγqE|iX′| q≤ Cnq（γ-1/2），取q足够大，我们得到（55）。最后，我们证明了I=oP（1）。II的证明是相似的。首先注意，由于X′是连续的，ψi（bθ）<K/n，我们可以按照与f或（46）相同的推理路线去掉指示函数。除此之外，下列论点与（55）的论点相似，如果1{|ψI，I渐近不受影响-1（bθ）|<|我-总和中存在1X′|}。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设i=πn1/2nXi=2iX′{|ψi-1（bθ）|<|我-1X′|}我-1bX′-我-1倍\'+ oP（1）。接下来，我们使用| y |的恒等式将I分解如下≤ |x |，| x+y |- |x |=带sgn的ysgn（x）通常的符号函数：I=πn1/2nXi=2ψI-1（bθ）iX′新加坡元(我-1X′）1{|ψi-1（bθ）|≤|iX′|}+oP（1）。同样，指示器功能可以删除，因为其补码事件可以忽略不计（它可以通过例如C|iX′| p/NP对于C可能依赖于p的任何p），其产生近似值i=πn1/2nXi=2ψi-1（bθ）iX′新加坡元(我-1X′）+oP（1）=πn1/2（bθ- θ） TnXi=2θψi-1(θ)iX′新加坡元(我-1X′）+oP（1），其中第二步是中值定理的另一个应用（如定理证明2）。

现在请注意，s标准参数yieldP[sgn(我-1X′）6=sgn(我-1W）]=oP（n-p） 安第斯山脉||iX′|-|σti-2.iW | | p≤ E类|iX′- σti-2.iW | p≤ 中国大陆-p对于任何p>0（其中常数C可能依赖于p）和我们使用的（14），因此使用bθ- θ=OP（n-1） givesI=πn1/2（bθ- θ） TnXi=2σti-2.θψi-1(θ)iW公司新加坡元(我-1W）+oP（1），以条件为中心且增量不相关，Var[|iW | sgn(我-1W）| Fi-2] =O（n-1） ，因此Pni=2σti-2.θψi-1(θ)iW公司新加坡元(我-1W）=OP（1）。因此，再次使用thatbθ-θ=OP（n-1） ，我们有我→P0.6.5推论8的证明通过定理7的稳定收敛性，证明相当于表明\\AV AR是一致的，这实际上是在特例g（x）=x中定理11的推论。6.6根据Potiron和Mykland（2017）附录a.2（第30页）的开始讨论以及Mykland和Zhang（2009）第1408页的命题1，定理9的证明，我们可以在不丧失一般性的情况下，假设价格过程X是连续的，则漂移bt为null。首先，请注意，（37）是（36）以及定理1（第25页）Inpoiron和Mykland（2017）的直接结果。因此，我们只需要显示（36）。我们现在提供（36）的证明，即α-1bΞ=α-1eΞ+oP（1）。首先，请注意，根据Potiron和M ykland（2017）中的备注5（第25页），n1/2和α-它们的顺序是相同的，因此有必要证明n1/2bΞ=n1/2eΞ+oP（1）。其次，我们必须重新表达Hayashi Yoshida估计量（35）。为此，我们遵循Potiron和Mykland（2017）第4.3节的开头，并介绍了HayashiYoshida文献中的一些（常见）定义。

对于任何正整数i，我们考虑第一个资产的第i个采样时间t（1）i。我们定义了两个相关的随机时间t-i和t+i，分别对应于严格小于t（1）i的第二个资产的最近采样时间，以及（不一定严格）大于t（1）i的第二个资产的最近采样时间。正式定义为-= 0，（56）吨-i=i的最大值{t（2）j:t（2）j<t（1）i}≥ 1，（57）t+i=最小{t（2）j:t（2）j≥ t（1）i}。（58）重新排列（35）中的术语，使用Ξ=Xt+i<t九（1）（X（2）t+i- X（2）t-我-1） +oP（n-1/2). （59）我们推断n1/2bΞ=n1/2Xt+i<tibX（1）（bX（2）t+i-bX（2）t-我-1） +oP（1），=n1/2eΞ+n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））+ n1/2Xt+i<t九（1）（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））+ n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t+i- X（2）t-我-1） +oP（1），：=n1/2eΞ+I+II+III+oP（1）。我们的目的是证明I=oP（1），II=oP（1）和III=oP（1）。我们从I开始，φ是Cinθ，因为maxikQtik是有界的，I≤ Cn1/2N | bθ- θ|，这是Potiron和Mykland（2017）中的oP（1）（18）、备注5（第25页）和引理8（第31页）。至于II，Li等人（2016）在波动率案例中对定理2（第46页）的证明只进行了一次修改。在引用的论文中证明（69），自（φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2))) -（φ（Q（2）t+i，bθ（2））-φ（Q（2）t-我-1，bθ（2）））如果Fti不可测量，我们需要使用θ附近的泰勒展开。

更具体地说，让我们证明（69），并根据引用论文的符号，我们定义：FN（θ）=N（1）Xi=1（φ（Q（2）t+i，θ）- φ（Q（2）t-我-1, θ)) - （φ（Q（2）t+i，θ（2））-φ（Q（2）t-我-1, θ(2)))|{z}χi（θ）Zt（1）it（1）i-1σ（1）tdW（1）t |{z}Mc，（1）我注意到，通过与（49）相同的泰勒展开式和相同的推理，我们直接得到θ的∈ Θ使得|θ- θ| ≤ K/N，对于某些θ∈ [θ，θ]，Nl | FN（θ）-FN（θ）| 2l≤ ClNl |θ- θ| 2lN（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升+N（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2l |θ- θ| 2l.现在，使用第一项是Ht鞅增量和Burkholder-Davis-Gundy不等式yieldsE的和N（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升≤ 总工程师N（1）Xi=1|θχi（θ）|it（1）l≤ C、 同样，Jensen不等式应用于测度（N（1））-1PN（1）i=1，的有界性|θχi（θ）|，直接计算力矩Mc，（1）iyieldEN（1）Xi=1θχi（θ）Mc，（1）i2升≤ CN2l-1EN（1）Xi=1Mc，（1）i2升≤ CNl公司。结合|θ- θ| ≤ K/N，这给出了一个简单的supθ∈Θ||θ-θ|≤K/N | FN（θ）-FN（θ）| 2l→ 0这是Li等人（2016）的（69）。然后，我们可以按照Liet al（2016）中定理2（第46页）的证明进行。我们转向III，它的处理稍微复杂一些。我们将第二资产的增量分解为三部分，并重写III asIII=n1/2Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t+i- X（2）t（1）i）+Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t（1）i- X（2）t（1）i-1） +Xt+i<tψ（1）i（bθ（1））（X（2）t（1）i-1.- X（2）t-我-1):= n1/2（IIIA+IIIB+IIIC）。IIIa的问题在于它不适合简单的过滤。为了避免这种困难，我们需要再次重新排列求和的条件。我们遵循Potiron和Myk land（2017）（第4.3节）的规定，确定了新的采样时间t1Cias t1C：=t（1），并递归地确定了i的任何非负整数1ci+1：=mint（1）u：存在j∈ N s uch that t1Ci≤ t（2）j<t（1）u.

（60）与（56）、（57）和（58）类似，我们引入以下时间t1c，-:= 0，（61）t1C，-我-1： =最大{t（2）j:t（2）j<t1Ci-1} 对于i≥ 2（62）t1C，+i-1： =最小{t（2）j:t（2）j≥ t1Ci-1} 对于i≥ 1.（63）根据这一定义，我们可以重写IIIAasIIIA=Xt1C，+i<t（φ（Q（1）t1Ci，bθ（1））-φ（Q（1）t1Ci-1，bθ（1）））-（φ（Q（1）t1Ci，θ（1））-φ（Q（1）t1Ci-1, θ(1)))（X（2）t1C，+i- X（2）t1Ci）{z}Mi（bθ（1）），其中Mi（θ）是Ft1Ci+1-可测的。根据中值定理，我们还有一些θ∈ 【θ（1），bθ（1）】即n1/2N（1）Xi=1Mi（bθ（1））=n1/2（bθ（1）- θ（1））TN（1）Xi=1θMi（θ（1））+n1/2（bθ（1）- θ（1））TN（1）Xi=1θMi（θ）（bθ（1）- θ(1)).按照与波动率案例中（49）证明相同的推理路线，我们可以证明这两项的概率为0，因此我们已经证明n1/2IIIA=oP（1）。其他两个术语III和III不需要重新排列术语。具体而言，n1/2IIB可以在Li等人（2016）定理2（第46页）的证明之后显示为oP（1）。关于第三项n1/2IIc，我们可以使用泰勒展开式证明它是oP（1），与IIIA类似。6.7推论10的证明尽管引入的数量涉及到正式定义negAB和AV AR，但证明方式与推论4中（30）的证明方式相同，以及Potiron和Mykland（2017）的技术和估计。6.8定理11的证明在整个过程中，我们使用符号kn，n、 Wn分别代替k， 为了强调它们对n的依赖性，我们必须知道n1/2bΞ-eΞ′= oP（1），其中bΞ=n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bci）-2kndXj，k，l，m=1jk，lmg（bci）bcjlibckmi+bcjmibckli, （64）BCLMI=knnkn公司-1Xj=0i+jbXli+jbXm{ki+jbXk≤wn}。（65）我们首先表明，我们可以在不丧失一般性的情况下假设X是连续的，即在所有表达式中用X′替换X。为此，考虑bΞ′和bc′，估计量应用于连续部分X′，而不是X。

在不丧失一般性的情况下，我们假设X、bθ和θ是一维量。多维情况可以通过简单的调整推导出来。引理18。我们有1/2bΞ-bΞ′→P0.证明。回想一下，我们有关键分解ibX=iX（bθ）=iB+ψi（Bθ）{z}iB′型+iMc+iJ，（66）其中，我们记得Bt=Rtb′sds。现在，我们应用与定理7的证明完全相同的推理路线。我们再次更换iB由iB′和Fiby Gi=Fi∨ σ{Qti，0≤ 我≤ n} 在Jacod和Protter（2011）的lemma 13.2.6证明（第384页）中，保留了所有的条件估计，因此引理在ψi（bθ）项存在时仍然有效。当F（x）=x，k=1，p′=s′=2，s=1，θ=0时，这直接产生所有q≥ 对于某些缩小到0的确定性序列，我们得到了|ibX公司|{|ibX公司|≤wn}- |ibX′型|{|ibX′型|≤wn}q≤ 可以（第2季度-r） ω+1n。（67）作为副产品，我们还推断bci公司-bc′iq≤ 可以（第2季度-r） ω+1-qn。（68）此外，再次替换Fiby GiandiB由iB′在计算中，我们还可以看到，在存在ψi（bθ）的情况下，Jacod和Rosenbaum（2013）中（4.10）的第二个不等式仍然成立，即引入αi=|ibX′型|-σtin、 我们有| E[αi | Gi]|≤ C2月3日。（69）现在，根据Jacod和Rosenbaum（2013）中引理4.4的证明（第1479页，案例v=1），n1/2bΞ-bΞ′→P0是我们的估计（68）和（69）以及g上的多项式条件（40）的直接结果。从现在起，凭借引理18，我们只需证明n1/2（bΞ′-eΞ′）→P0。我们现在想说明，在B′的定义中，我们可以用c′i代替bc′ib，其中c′lmi=knnkn公司-1Xj=0i+jbX′li+jbX′m{|i+jX′型|≤wn}，（70），即指示符函数应用于X′本身而不是X′。我们首先提出了一项技术性备忘录。引理19。我们有，任何我∈ {1，···，n}，任意j∈ {1，···，3}，和任何q≥ 1，E|jg（bc′i）| q≤ C和E|jg（c′i）| q≤ C、 证明。

根据（40），证明对于任何q≥ 1，E | bc′i | q≤ C和E | C′i | q≤ C、 此外，自| bc′i | q≤ C（| bc′i-c′i | q+| c′i- eci | q+| eci | q），以及作为E | eci | q≤ C作为Jacod和Rosenbaum（2013）（第1476页）中的（4.11）和假设（H）中C的有界性的一个简单结果，它能够显示C′i的LQ有界性-c′i=knnkn公司-1Xj=0|i+jbX′|{|i+jbX′|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}（71）andc′i-eci公司≤千牛nkn公司-1Xj=0i+jX′ψi+j（bθ）1{|i+jX′型|≤wn}+knnkn公司-1Xj=0ψi+j（bθ），（72）：=i+II。我们首先展示了（71）的LQ有界性。首先回顾一下，在（55）中，我们证明了{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}≤ n-对于任何大于0的β。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式和Jensen不等式，我们很容易得到E | bc′i-c′i | q≤ 考虑到β足够大。我们现在证明了（72）的LQ有界性。应用于| k的Jensen不等式-1nkn-1Xj=0i+jX′ψi+j（bθ）| q，我们有e | i | q≤Cnqknkn公司-1Xj=0E|i+jX′q |ψi+j（bθ）| q |{z}C/nq≤ 中国大陆-问题2。对于II，我们有| II | q≤CnqknEkn-1Xj=0 |ψi+j（bθ）| 2q≤ 中国大陆-q、 这样就得到了c′i的lq有界性-eci，它总结了证据。引理20。设Ξ′定义为B′，其中bc′i被c′i代替。然后1/2bΞ′-Ξ′→P0.证明。我们有1/2bΞ′-Ξ′= n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）（73）+n1/2n2kn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（bc′i）,h（x）=2时g（x）x，所以证明我们的主张归结为表明（73）右侧的两个项都可以忽略不计。对于第一个，我们有/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）≤千牛n【T】/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0|g（ai，j）||i+jbX′|{|i+jbX′|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}对于一些（随机的）ai，jsuch认为| ai，j |≤ |bc′i |+| c′i |通过中值定理。现在，通过引理19和g是多项式增长的f作用，我们得到E|g（ai，j）| q≤ C表示任何q≥ 因此，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们将得到1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（bc′i）-g（c′i）→如果我们可以证明/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0呃|i+jbX′|{|i+jbX|≤wn}- 1{|i+jX′型|≤wn}我1/2=o（knn-1/2），即。

该【T】/n]-kn+1Xi=1呃|ibX′型|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=o（n-1/2).回顾|ibX′型|≤ C类(|iX′|+|ψi（bθ）|），我们有[T/n]-kn+1Xi=1呃|iX′|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=O（n-β/4）=o（n-1/2）由于β可以取任意大，再次使用Cauchy-Schwarz不等式以及E|iX′| q≤ 中国大陆-q/2和（55）。最后，立即证明/n]-kn+1Xi=1Eh |ψi（bθ）|{|ibX′型|≤wn}- 1{|iX′|≤wn}我1/2=零n-1/2,假设|ψi（bθ）|≤ （73）右边的第二项在同一条路上得到了证明。在一维设置中，我们现在为θ引入以下符号∈ Θ：c′i（θ）=knnkn公司-1Xj=0|i+jX′（θ）|{|i+jX′型|≤wn}，我们回忆起∈ {1，···，n}，iX′（θ）=iX′+ψi（θ）。注意c′i=c′i（bθ），andeci=c′i（θ）。我们需要：=n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（c′i）-g（eci）.通过中值定理和链式法则，我们得到了一些θ∈ [θ，bθ]，En=2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′型θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}+n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}+n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0θψi+j（θ）{|i+jX′型|≤wn}+2n1/2knn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））千牛-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn},:= I+II+III+IV。我们现在证明每个术语都是oP（1）。引理21。我们有i=2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}→P0.证明。自假设（H）屈服强度2n1/2kn（bθ- θ） =OP（k-1nn-1/2），必须证明/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jX′型θψi+j（θ）1{|i+jX|≤wn}=oP（knn1/2）。（74）回顾分解i+jX′=i+jB+i+jMc，我们首先表明，当i+jX′替换为i+jMc。

在这种情况下，由于控制1{|i+jMc|≥wn}≤w-1n|i+jMc |，Burkholder-Davis-Gundy不等式，H"older不等式，以及以下事实|g（eci）|是以引理19为界的LQ，可以移除指示函数而不损失一般性。因此，Introductingan=[T/n]-kn+1Xi=1g（eci）kn-1Xj=0i+jMcθψi+j（θ），and bn=[T/n]-kn+1Xi=1g（cti）kn-1Xj=0i+jMcθψi+j（θ），我们证明- Bn=oP（knn1/2）和Bn=oP（knn1/2）。我们有一些ξi∈ [eci，cti]，| An- Bn |≤[T/n]-kn+1Xi=1g（ξi）|eci公司- cti | kn-1Xj=0|i+jMc||θψi+j（θ）|。此外，根据Jacod和Rosenbaum（2013）（第1476页）中的（4.11），我们得到了估计的eci- cti | i≤ Ck-1n+knn. （75）因此，通过应用霍尔德不等式g（ξi）是以引理19为界的lq，对于任何q≥ 1： E类[|i+jMc | q|θψi+j（θ）| q]≤ CE公司[|i+jMc | q]≤ 中国大陆-问题2，我们推断- Bn |≤ Cknn1/2k-1n+knn1/2=oP（knn1/2）。至于Bn，我们注意到它可以表示为关于过滤Ht=Ft的鞅增量之和∨σ{Qti，i=0，····，n}，我们有Bn=P[T/n] i=1χi，其中χi=iXl=（i-kn+1）∧1.g（σtl）θψi（θ）iMc。因此，根据Jacod和Protter（2011）第56页的属性（2.2.35），证明Bn=oP（knn1/2）归结为表明ebn：=n-1公里-2n[T/n] Xi=1Eχi→ 现在，利用c的有界性，我们得到了eχi≤ CknE公司θψi（θ）(iMc）≤ Cknn公司-因此，EBN=OP（n-1） 当更换时，这证明了（76）和（74i+jX′byi+jMc。最后，我们考虑漂移项的情况i+jB代替i+jX′紧随着E|i+jB | k≤ 中国大陆-k对于任何k≥ 引理22。我们有II=oP（1），III=oP（1），IV=oP（1）。证据证明第一项索赔等同于证明FII：=[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}=oP（knn3/2）。再次注意，通过假设（H）和θ属于紧集的事实，我们得到|θψi+j（θ）|≤C

图塞金融情报机构≤ C[T/n]-kn+1Xi=1E|g（c′i（θ））| kn-1Xj=0|i+jX′（θ）|≤ C[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0Eg（c′i（θ））1/2E类|i+jX′（θ）|1/2≤ Cknn1/2=oP（knn3/2），其中我们使用引理19，并且对于任何q≥ 1，E|i+jX′（θ）| q≤ CE类|i+jX′q+E(θ - θ） q |{z}≤K/nqsupθ∈Θ|θψi（θ）| q |{z}≤K≤ Cn-q/2+n-q. （77）对于第二个权利要求，我们有（将指示符函数从上方限定为1）估算值II≤[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））kn-1Xj=0θψi+j（θ）≤ Ckn[T/n]-kn+1Xi=1|g（c′i（θ））|{z}OP（n）=OP（knn）=OP（kn3/2），因此III=OP（1）。最后我们证明了IV=oP（1），即FIV：=[T/n]-kn+1Xi=1g（c′i（θ））千牛-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}= oP（knn1/2）。（78）通过Cauchy-Schwarz不等式和|θψi+j（θ）|≤ C、 我们得到了支配地位≤ CknE公司[T/n]-kn+1Xi=1|g（c′i（θ））| kn-1Xj=0|i+jX′（θ）|≤ Ckn[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0Eg（c′i（θ））1/2 |{z}≤CE类|i+jX′（θ）|1/2 |{z}O（n-1)≤ Ckn=o（knn1/2），其中我们使用了（77）和q=4，我们完成了。类似地，我们通过中值定理得到nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）等于2n1/2kn（bθ- θ） [T/n]-kn+1Xi=1h（c′i（θ））kn-1Xj=0i+jX′（θ）θψi+j（θ）1{|i+jX′型|≤wn}。引理23。我们有1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）→P0.证明。假设（H）我们有n1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1h（c′i）-h（eci）≤Cn1/2kn[T/n]-kn+1Xi=1kn-1Xj=0E|h（c′i（θ））||i+jX′（θ）|.自从h也是多项式增长的，我们推导出对于引理19，对于任何q≥ 1，E|h（c′i（θ））| q≤ C、 Cauchy-Schwarz不等式的一个应用n1/2nkn[吨/n]-kn+1Xi=1{h（ci）-h（eci）}≤ C/kn→ 我们现在证明这个定理。定理11的证明。回想一下，通过引理18，我们只需要证明n1/2（bΞ′）-eΞ′）→P0.Wehaven1/2bΞ′-eΞ′= n1/2bΞ′-Ξ′+ n1/2Ξ′-eΞ′.根据引理20，上述第一项可以忽略不计。

此外，sincen1/2Ξ′-eΞ′= n1/2n【T】/n]-kn+1Xi=1g（c′i）-g（eci）+n1/2n2kn[吨/n]-kn+1Xi=1h（eci）-h（c′i）,断言n1/2Ξ′-eΞ′→P0是引理21、引理22和引理23的直接结果。结合Jacod和Rosenbaum（2013）中的定理3.2（第1469页，适用于X′），这就产生了中心极限定理。6.9推论的证明12通过Slutsky引理，我们需要证明的是→PAV-AR.给出了AV-AR的形式，可以使用与一般定理完全相同的推理路线来显示这一点，在所有估计中用g-byh代替g，并将结果与Jacod和Rosenbaum（2013）中的推论3.7相结合，以代替第3.2条，但在估计之前没有n1/2的缩放，也没有偏差项。由于g的Cproperty在处理引理23中的偏差项时只使用了一次，因此h仅属于类Cis这一事实没有问题。6.10定理14和推论15的证明在Vetter（2015）中，作者介绍了Sai=2nknxj=1Z（i+j）T/n（i+j-1） 电话号码（Xs- X（i+j-1） T/n）dXsandBi：=nknZ（i+kn）T/niT/nσsds。因此，我们定义：=2nknxj=1（Z（i+j）T/n（i+j-1） 电话号码（Xs- X（i+j-1） T/n）dXs+ψi+j（bθ）i+jX），bBi：=nknZ（i+kn）T/niT/nσsds+knXj=1ψi+j（bθ）,以及一些任意p的近似增量≥ 1和1≤ l≤ J（p）：=[[nt/T-2kn】/（（p+2）kn）]，其中，[x]定义为x，eAi+kn的函数-eAi：=nknσal（p）T/nknXj=1i+kn+jW- i+jW,andeBi+kn-息税前利润：=nknZ（i+kn）T/niT/neσal（p）T/n（W′（s+knT/n）- W′s）ds，其中al（p）：=（l- 1） （p+2）kn。请注意，bci=bAi+bBi，因此bΞ可与上述数量联系如下：bΞ=[T/n]-2knXi=02kn（bAi+kn-bAi+bBi+kn-bBi）-knbqi公司.

（79）还应注意，近似增量与信息过程和ofbθ无关。现在请注意，Vetter（2015）中的一般证明分以下两个步骤进行计算偏差Ai+kn的估计值-艾岛-（eAi+kn-eAi），Bi+kn-Bi公司-（息税前利润+千牛-eBi）和eqi-Rti+1tiσsds.o在所有遇到的表达式中，系统地使用之前的估计值将Ai（分别为Bi、eqi）替换为其对应项Ai（分别为eBi、Rti+1tiσsds）。由于EAI、eBiandRti+1tiσsds独立于信息处理和Bθ，第二步在我们的设置中保持不变，并且在Vetter（2015）的证明中没有修改。因此，为了证明该定理，我们所要做的就是调整第一步，替换Ai、Biand eqibybAi、Bbian和bqi。更准确地说，我们在Vetter（2015）中采用引理A.1和（A.8）p.2411证明中的第二个方程（对应于eqibyRti+1tiσsds的近似值），如下所示（在下一个引理中，回忆一下eaiandebi依赖于某些参数p≥ 1).引理24。我们有任何r≥ 1，p≥ 1和任何i∈ {al（p），····，al（p）+pkn}EhbAi+kn-bAi公司- （eAi+kn-eAi）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2，EhbBi+kn-bBi公司- （息税前利润+千牛-息税前利润）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2，EhbAi+kn-bAi公司国际扶轮社≤ 中国大陆-安第斯2号公路bBi+kn-bBi公司国际扶轮社≤ 中国大陆-r/2。此外，我们有统一的∈ [0，T]rnknE[t/n]-2knXi=1knbqi-knZtσsds= o（1）。证据根据Vetter（2015）中的引理A.1，证明我们有bAi+kn-bAi公司- （Ai+kn- Ai）国际扶轮社≤ C（pn-1） r/2和BBI的类似声明。自|ψk（bθ）|≤ 所有1的K/n≤ k≤ n、 我们得到了bAi+kn-bAi公司- （Ai+kn- Ai）国际扶轮社≤rnrkrnE公司knXj=1nψi+kn+j（bθ）i+kn+jX- ψi+j（bθ）i+jXor,≤CnrknknXj=1Ehψi+kn+j（bθ）i+kn+jXr+ψi+j（bθ）i+jXri，≤CknknXj=1E[|i+kn+jX | r+|i+jX | r]|{z}≤中国大陆-r/2，≤ Cpr/2n-r/2，自p起≥ 1，其中我们在第二步使用Jensen不等式和控制|ψi（bθ）| r≤ C/N在第三步。

其他三个不等式的证明和逼近可以通过相似计算来完成。现在，为了证明定理14，有必要严格遵循Vetter（2015）中定理2.6的证明，替换所有Ai，BiandP[t/n]-2kni=1knbqibybAi，bBiandknRtσsds，相应地，引理A.1的所有应用以及上述Bkiby引理24的近似值。类似的推理得出推论15。参考a"it-Sahalia Y，Mykland PA，Zhang L（2005）在存在市场微观结构噪声的情况下，对连续时间过程进行采样的频率。金融研究回顾18（2）：351–416Almgren R，Chriss N（2001）《投资组合交易的最佳执行》。《风险杂志》3:5–40Altmeyer R，Bibinger M（2015）准有效谱共变性估计的泛函稳定极限定理。随机过程及其应用125（12）：4556–4600 Andersen TG、Bollerslev T、Diebold FX、Ebens H（2001a）已实现股票收益波动率的分布。《金融经济学杂志》61（1）：43–76Andersen TG、Bollerslev T、Diebold FX、Labys P（2001b）《已实现汇率波动的分布》。《美国统计协会杂志》96（453）：42–55Andersen TG，Dobrev D，Schaumburg E（2014）综合四次度估计的稳健邻域截断方法。计量经济学理论30（1）：3–59 Andersen TG、Cebiroglu G、Hautsch N（2017）《波动性、信息反馈和市场微观结构噪音：两种制度的故事》。可用工作文件athttps://papersssrncom/sol3/paperscfm?abstract_id=2921097AndersenTG、Thyrsgaard M、Todorov V（2019）日内波动的时变周期性。《美国统计协会杂志》114（528）：1695–1707巴恩多夫-尼尔森OE，谢泼德N（2002a）《已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用》。

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