最优随机去中心化及其在市场校准中的应用

nandehutu2022

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收藏 2022-06-02

英文标题：
《Optimal Stochastic Decensoring and Applications to Calibration of Market
Models》
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作者：
Anastasis Kratsios
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
Typically flat filling, linear or polynomial interpolation methods to generate missing historical data. We introduce a novel optimal method for recreating data generated by a diffusion process. The results are then applied to recreate historical data for stocks.
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中文摘要：
通常采用平面填充、线性或多项式插值方法来生成缺失的历史数据。我们介绍了一种新的优化方法，用于重新创建由扩散过程生成的数据。然后将结果应用于重建股票的历史数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Optimal_Stochastic_Decensoring_and_Applications_to_Calibration_of_Market_Models.pdf
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能者818

2022-6-2 18:32:17

最优随机去中心化及其在市场模型校准中的应用*2022年3月1日摘要通常采用填充、线性或多项式插值方法来生成缺失的历史数据。我们介绍了一种新的优化方法，用于重建由扩散过程生成的数据。然后将结果应用于重建股票的历史数据。关键词：最优去中心化、随机滤波、回填、时间反转、条件到随机微分方程。1简介许多校准方法通常需要使用大量可用数据。通常，这是通过使用各种不同的技术引导数据来实现的。在此，我们提出并解决了以符合市场中观察到的稀疏价格的方式重新创建历史数据的最佳方法。让βt作为一个RD值的差异过程，对一组D-可观察基准进行建模，其中没有缺失数据。让ηtbe作为一个离散过程，对我们感兴趣的资产价格的真实轨迹进行建模。此外，让Nt是一个泊松点过程，强度为λ，捕捉时间T之前观察到的η的时间，之后不会发出缺失数据。我们将截尾过程的观测价格建模为复合泊松过程yt，由yt给出，它<TZtηs-dNs+It≥TηT.ηT=η+Zth（T，βT，Xt）dt+K（s）dWηT.（1），其中Wη是布朗运动，h，K是适当维数的确定函数。*加拿大魁北克省蒙特勒尔市Maisonneuve Ouest大道1455号康科迪亚大学数学和统计系H3G 1M8。通讯作者：电子邮件：anastasis。kratsios@mail.concordia.caA.Kratsios最优随机去中心2022年3月1日，我们假设观察者是一个时间点≥ T> T。

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大多数88

2022-6-2 18:32:21

（2）利用基准和当前时间，我们希望找到Yt和ηt的X和E的最佳估计值，从而得出我们当前的观察结果。我们的解决方案分为两个步骤。我们首先解决NTS不跳的问题；这代表了在Tsuch之前没有进行任何观察的情况，如初始产品的情况。在第二步中，我们假设n在时间T之前发生跳跃。注意，由于观察者的有利位置在这一时间之后，这些价格时间不是随机的。然而，仅选择与实际价格数据（Ti，ηTi）匹配的路径的问题（其中，t指Ntjumps之前的时间）提出了一个新问题。这可以通过truningto条件随机微分方程来解决。这一理论允许我们对真实世界进行最小程度的测量，直到在填充数据时所有的点都被击中为止。我们首先回顾一些相关的理论。1.1随机筛选数学金融中的一种主要技术，用于预测组合资产的未来变动，是一种随机筛选。随机滤波问题的目的是在已知可观测过程信息的情况下，估计不可观测信号过程x的条件密度π。具体来说，sinceargminZ∈FYtEh（Z- f（Xt））i=Ef（Xt）| FYt,其中FYt，σ{Ys:0≤ s≤ t} 是观测过程Ytup直到时间t命题2.3.3产生的σ-代数。形式上，假设信号过程XT是一个n维扩散过程，遵循formXt=X+Ztb（s，Xs，us）ds+Ztσ（s，Xs，us）dWs的动力学，（3）其中WT是一个m维维纳过程。

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2022-6-2 18:32:24

此外，假设观察过程Ytis一个扩散过程，遵循动力学ηt=Zth（s，Xs，us）ds+ZtK（s）dWηs，（4）其中Wη是一个p维布朗运动，UTI是一个控制域U a Borelsubset of Rq，b：[0，∞) ×Rn×U→ Rn，σ：[0，∞) ×Rn×U→ Rn×m，h:[0，∞) ×Rn×U→ Rq和K：[0，∞) → Rp×比较可测量地图和对照UTI适应过滤FYt。结果表明，最优估计πt（f），Ef（Xt）| FYt根据均方误差，信号密度必须遵循动力学πt（f）=π（f）+Ztπs（Lusf）ds+ZtK（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））d'Bs，（5）A.Kratsios最优随机分权2022年3月1日，其中表示转置运算符，“Bt”是一个FYt布朗运动，称为创新过程，由“Bt”和“Yt”定义-ZtπsK（s）-1husds'Yt，ZtK（s）-1dYs，（6），其中lus是lusf（t，x）给出的微分的最小发生器，ft（t，x）+nXi=1bi（t，x，u）fxi（t，x）+nXi，j=1mXk=1σ（t，x，u）ikσ（t，x，u）jkfxixj（t，x），（7）（有关更多详细信息，请参见提案7.2.9[3]）。1.2条件随机微分方程概率论中的一个经典问题是构造布朗桥。这里，给定的布朗运动是以在预定时间到达预定点为条件的。该一般程序在【1】中开发，其中，对于固定的时间范围T，FT可测量的R值和M变量Y调节XT的轨迹，概率度量ν描述条件轨迹发生的概率。

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kedemingshi

2022-6-2 18:32:27

三元组（T，Y，ν）被称为相应维纳空间上的条件，并作为求和存在于下面。假设1.o对于0≤ t<t，P下的bt定律相对于P | Ft定律是绝对连续的 PY，当(Ohm, Ft，P）被赋予过滤“Ft，Ft B（R），其中B（R）是R和PY上的Borelσ-代数，oSupp（ν）供应商（P），oLPY（R） Lν（R）。在这些假设下，[1，命题2.1]表明，存在一个唯一的概率测度，将Y定律转化为ν，并尊重b边界随机变量的条件期望。此外，从[1，命题2.2]中可以看出，该测度与参考测度P的偏差最小，因为在所有关于P的绝对连续测度中，它的熵最小，其Radon-Nikodym导数的方差最小。A、 Kratsios最优随机去中心20222年3月1日最优随机去中心首先解决了无条件问题。随后，我们解决了完全去中心化问题。2.1最佳回缩原理我们应该有足够的数据在某些时间间隔[1，1+]上校准πt（f），以便某些>0。一旦我们获得了πt（f）的动力学，我们就可以利用π1的动力学来反转时间和回补缺失的数据-t（f）由以下方程式描述。假设2（过滤假设）。o存在一个常数K，使得对于每个x，y∈ Rnsupt，u[|σ（t，x，u）- σ（t，y，u）|+| b（t，x，u）- b（t，y，u）|]≤ K | x- y | supt，u[|σ（t，x，u）- σ（t，y，u）|]≤ K（1+| x |）（8）o对于任何大于0的t，XT有一个密度pt。o对于RNAN的每个i和任何有界开集U，以及任何t>0ZtZUjσi（t，x，u）σj（t，x，u）pt（x）dxdt<∞.o （Xt，Yt）有一个独特的FYt适应解决方案。oK（t）对于每个t都是可逆的。oK（t）和K（t）-1是局部有界的。ob、 σ，h是有界函数。假设3（时间反转假设）。

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2022-6-2 18:32:31

分布导数之和Dxi=1（σ（t，x）σ（t，x）) P（t，x）是局部不可积的。在给定当前信息的情况下，回填问题可以形式化为寻求时间反转条件期望的动力学。也就是说，我们寻求B1定义的过程bt（f）的最优预测动力学-t（f），Ef（Xt）| FYt= 阿格明兹∈L（FYt）Eh（Z- f（Xt））i.现在给出了这个问题的解决方案。A、 Kratsios最优随机去中心2022年3月1日EOREM 2.1（最优回填方程）。假设x和y分别为不等式（3）和（4），假设2和3成立。那么π1的动力学-t（f）表示任何f∈ C1,2b（R，Rn）由dbt（f）=dπ1给出-t（f）=ZttK（1- s）-1.π1-s（hu1-s（f））- π1-s（f）π1-s（hu1-s）dBs+Ztt“-π1-sLu1-旧金山dt公司+K（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））pt（x）#dt，（9），其中Pti是πt（f）的密度，满足SPDEpt=p（x）+Zt（Lut）pt（x）dt+pt（x）K（t）-1（h（t，x，ut）- πt（hut））年初至今- πtK（t）-1间小屋.（10）证明。命题[3，7.2.9]意味着πt（f）的动力学由πt（f）=π（f）+Ztπs（Lusf）ds+Zt给出K（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））学士学位。（11）在过滤假设2下，定理[2，2.3]π1-t（f）是一个离散过程，其最小生成函数由Lut给出=K（1- s）-1.π1-s（hu1-s（f））- π1-s（f）π1-s（hu1-s）+\"-π1-sLu1-旧金山dt公司+K（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））pt（x）#. （12）根据定理2.1[2]，过程πt（f）是Malliavin可微分的，因此我们可以对πt（f）=Rf（x）pt（x）dx进行分部积分，以获得dpt（x）bypt（x）=p（x）+Zt（Lut）的动力学pt（x）dt+pt（x）K（t）-1（h（t，x，ut）- πt（hut））年初至今- πtK（t）-1间小屋dt。（13）最后，请注意，时间从tand开始，而不是从0开始。

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kedemingshi

2022-6-2 18:32:34

使线性时间变化t 7→ t+t，给出结果。在实践中，线性动态的附加假设xy=A（t）Xtdt+D（t）utdt+C（t）dWtdYt=H（t）Xtdt+K（t）dBt，（14）其中A、C、D、H和K分别是维数n×n、n×m、n×K、p×n和p×p的矩阵值函数，UTI是适应于FYt的K维控制，这是常见的，因为此类模型的计算速度和实现的简单性。在这些附加假设下，我们可以简化定理πt（f）的动力学。A、 Kratsios最优随机去中心2022年3月1日EOREM 2.2（Kalman-Bucy回填）。假设Xis高斯，平均值为^x，协方差为^P，方程（14）的解是唯一的，K（t）对于每个t和a（t），C（t），D（t），H（t），K（t），K（t）是可逆的-1是连续的。然后，时间反转条件平均值的动态Xt | FYt比亚迪^X1-t=”-A（t）^Xt+D（t）ut+φ（^Xt，^Pt）（^Pt（K-1tHt））φ（^Xt，^Pt）#dt+^Pt（K（t））-1H（t））d'Btd^Ptdt=A（t）^Pt+^PtA（t）-^PtH（t）（K（t）K（t））H（t）^Pt+C（t）C（t）d？Bt=K（t）-1（dYt- H（t）^Xtdt），（15）bt是FYt布朗运动，φ（u，∑）是均值u和协方差∑的高斯随机变量的密度。证据如果Xt和Yt遵循方程（14）的线性动力学，则理论假设[3，定理7.3.1]Xt的动力学由D^Xt=A（t）Xtdt+D（t）utdt+Pt（K（t）给出-1H（t））d'Btd^Ptdt=A（t）^Pt+^PtA（t）-^PtH（t）（K（t）K（t））H（t）^Pt+C（t）C（t）d？Bt=K（t）-1（dYt- H（t）^Xtdt）。（16）由于^XT遵循线性动力学，且A、B、C、H、K具有确定性，因此XT遵循正常规律，因此具有明确的密度φ。因此，文献[2]中的定理2.3适用于XT的动力学，它产生了方程2.2：在时间T之前，NTI可能大于0的最优随机偏心假设。

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2022-6-2 18:32:37

在给定当前信息的情况下，最优随机去中心问题可以形式化为寻求时间反转条件期望的动力学。也就是说，我们寻求B1定义的过程Ξt（f）的可选投影的动力学-t（f），EPf（Xt）| FYt= 阿格明兹∈L（FYt）EPh（Z- f（Xt））iΞt，dQdPbtQ，argif{H（QkP）| Q<< P和Q（min[I（ξTi=ηTi]）=1）=1。}（17）我们根据Qconditioned和观测数据（Ti，ηTi）Ni=1给出的世界观点来解释Ξtas随机回填料bt，实际上正在实现。因此，随机回填料的这种扰动确保了观测值能够根据2022年3月1日的Ξt.A.Kratsios最优随机去中心假设4（霍曼德条件）及时实现回填料对于每x∈ Rd，方程（9）的SDE对于bt（f）=x有唯一的stron g解，o方程（9）的SDE的半群Pt（x，dt）具有光滑密度。定理2.3（最优随机去中心化）。假设Xt和Yt分别如等式（3）和（4）所述，假设2和3成立。此外，作出假设1以及激素条件4。然后存在唯一度量Q<< P满足（17），使得CSDE与调节（T，Z，δ）π1的动力学相关-t（f）表示任何f∈ C1,2b（R，Rn）由dbt（f）=dπ1给出-t（f）=ZttK（1- s）-1.π1-s（hu1-s（f））- π1-s（f）π1-s（hu1-s）dBsZttφ（t，pt）+”-π1-sLu1-旧金山dt公司+K（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））pt（x）#dt，（18），其中Pti是πt（f）和φ的密度，ptsatisfypt=p（x）+Ztt（Lut）pt（x）dt+pt（x）K（t）-1（h（t，x，ut）- πt（hut））年初至今- πtK（t）-1间小屋0 =φt+x“-π1-sLu1-旧金山dt公司+K（s）-1（πs（hus（f））- πs（f）πs（hus））pt（x）#φ+K（1- s）-1.π1-s（hu1-s（f））- π1-s（f）π1-s（hu1-s）φ+K（1- s）-1.π1-s（hu1-s（f））- π1-s（f）π1-s（hu1-s）φ.（19）证明。

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mingdashike22

2022-6-2 18:32:39

考虑在条件（T-Ti，YTi，ν），其中ν是Rd上的标准高斯度量。命题[1，命题3.1]给出了结果。定理2.3很难直接应用于实践。然而，点（YTi）Ni=1是可测量的。因此，我们通过以下过程对点（YTi）Ni=1进行插值。作为替代方案，我们可以转向一种宽松的插值类型方法。推论2.1。工艺bt定义为：^bt（f）=bt（f）+KXi=1“Yτi+1- bτi+1（f）（τi+1- t）+Yτi+1- bτi（f）（t- τi）τi+1- τiI（τi≤ t型≤ τi+1）#i表示-t型≥ T、 ^T=πT（f），对于1中的每个i，…，ii，K、 ^bτi=YTi，A.Kratsios最优随机去中心2022iii年3月1日具有P-A.s.连续路径。特别是如果存在度量Q<< P使得bt（f）dQdP=^bt，然后h（Q | P）≥ H（Q | P）。（20）证明。属性i- iii通过^bt的构造保持。假设度量Q<< P满足Bt（f）dQdP=^Bt存在。那么等式（20）由[1，命题2.1]成立。3结论我们开发了随机过滤框架的扩展，该框架能够在当前可用市场数据的情况下，以最佳方式捕获和重新创建缺失的历史数据。该方法的工作原理是，在一段时间内，将一项资产与一组流动资产进行基准比较，估计前向过滤器本身，然后通过反向传播过滤器重新创建丢失的数据。通过选择最佳度量来扰动后向滤波器，确保在路径模拟过程中达到流动性点之前的已实现数据点。参考文献【1】Fabrice Baudoin。条件随机微分方程：理论、实例和金融应用。随机过程。应用程序。，100:109–145, 2002. I SSN 0304-4149。[2] 安妮·米勒、大卫·努亚尔特和玛尔塔·桑兹。通过部分整合和时间反转实现融合过程。

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nandehutu2022

2022-6-2 18:32:42

《概率年鉴》，第208-2381989页。[3] 拉蒙·范汉德尔。随机微积分、滤波和随机控制。课程注释。，统一资源定位地址http://www.普林斯顿。edu/rvan/acm217/acm217。pdf，2007年。

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