马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

2022-6-6 17:35:24

马尔可夫区域切换模型Shiroyuki Kasahara中区域数的测试*温哥华经济学院英国大学Columbiahkasahar@mail.ubc.caKatsumi华盛顿大学经济学院Tokyoshimotsu@e.u-东京。ac.JP2018January 28 AbstractMarkov制度转换模型已用于经济和金融领域的大量实证研究。然而，马尔可夫区域切换模型中用于检验区域数的似然比检验统计量的渐近分布一直是一个尚未解决的问题。本文推导了似然比检验统计量的渐近分布，该统计量用于检验M regimes的零假设与任意M≥ 1在无效假设和局部备选方案下。我们证明了连续备选方案以n的速率收敛到零假设-正常密度的1/8英寸区域切换模型。建立了参数自举的渐近有效性。关键词：二次均值展开中的可微性；似然比检验；马尔可夫区域切换模型；参数引导。1引言马尔可夫制度转换模型一直是经济和金融领域实证工作的流行框架。继汉密尔顿（1989）的开创性贡献之后，它已被用于数值实证研究，以建模，例如，商业周期（汉密尔顿，2005；莫利和皮格，2012）、股市波动性（汉密尔顿和苏梅尔，1994）、国际股票市场（Ang和Bekaert，2002；Okimoto，2008）、货币政策（Schorfheide，2005；Sims和Zha，2006；Bianchi，2013），和经济增长（Kahn和Rich，2007年）。Hamilton（2008、2016）以及Ang和Timmermann（2012）提供了全面的理论说明和应用调查。区域数是马尔可夫区域切换模型应用中的一个重要参数。

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nandehutu2022

2022-6-6 17:35:27

尽管它很重要，但是，马尔可夫区域中区域数量的测试*本研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会、JSPS Grantin Aid for Scientic research（c）No.17K03653和统计数学合作用户注册研究所（2017 ISM CUR-171）的支持。作者感谢印第安纳大学、伦敦政治经济学院和范德比尔特大学的研讨会参与者提出的有益意见。作者还感谢Chiyoung Ahn出色的研究协助，以及Marine Carrasco、Liang Hu和Werner Ploberger提供的代码。切换模型一直是一个未解决的问题，因为相似比检验统计量（LRTS）的标准渐近分析因参数不可识别、真实参数位于参数空间边界以及Fisher信息矩阵的退化等问题而失效。使用正态密度测试马尔可夫区域切换模型的区域数量（这在经验应用中很流行）带来了进一步的困难，因为正态密度具有一个不受欢迎的数学特性，即关于平均参数的二阶导数与关于方差参数的一阶导数线性相关，导致进一步的奇点。本文针对任意M的M+1区域的交替假设，提出了M区域零假设的似然比检验≥ 1并导出其渐近分布。据我们所知，还没有推导出LRT的渐近分布来测试M寄存器的零假设≥ 为了检验无区域切换的无效假设，即M=1，Hansen（1992）推导了LRT渐近分布的上界，Garcia（1998）也研究了这个问题。Carrasco等人。

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2022-6-6 17:35:30

（2014）针对一般动态模型（包括区域切换模型）中的参数恒定性提出了信息矩阵类型测试。Cho和White（2007）通过将模型改写为双组分混合模型，得出了准LRT的渐近分布，用于测试单政权与两政权的对比，从而忽略了政权的时间依赖性。Qu和Zhuo（2017）扩展了Cho和White（2007）的分析，并推导出LRT的渐近分布，该分布适当考虑了在对潜在政权过渡概率的某些限制下政权的时间依赖性。Marmer（2008）和Dufour及Luger（2017）通过使用LRT的不同方法，对无政权转换的无效假设进行了研究。以上讨论的研究侧重于测试单一制度和两种制度。然而，据我们所知，LRT的渐近分布用于检验M模式的零假设≥ 2仍然未知。文献中的几篇论文考虑了在完全假设下某些参数无法识别时的测试。其中包括Davies（1977、1987）、Andrews和Ploberger（1994、1995）、Hansen（1996a）、Andrews（2001）以及Liu和Shao（2003）等。Chesher（1984）、Lee和Chesher（1986）、Rotnitzky et al.（2000）和Gu et al.（2017）等人在iid环境中研究了adegenerate Fisher信息矩阵的估计和测试。Chen等人（2014年）研究了混合模型中混合概率的统一推断。为了便于本文的分析，我们开发了一种Le Cam的二次平均差分（DQM）展开式，该展开式在丧失识别能力的情况下扩展了似然比，从而选择了Kasahara和Shimotsu（2015）的重新参数化和高阶展开式。

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2022-6-6 17:35:33

在iid设置中，Liu和Shao（2003）在广义得分函数的可识别性损失下开发了DQM扩展。我们对Liu和Shao（2003）进行了扩展，以适应依赖性和异质性数据，并对其进行了修改，以适应参数制度转换的背景Carter和Steigerwald（2012）表明，忽略时间依赖性可能会导致准最大似然估计量不一致。模型。使用DQM型展开比基于泰勒展开到Hessian项的“经典”方法具有优势，因为在马尔可夫区域切换模型中，随着展开顺序的增加，推导高阶展开变得单调乏味。此外，Liu和Shao（2003）没有涵盖具有正态分量的regimeswitching模型，因为他们的理论4.1假设广义得分函数是通过两次扩展似然比获得的，而我们的第6.2节表明，得分函数是正态情况下似然比的四阶导数的函数。我们的方法遵循了Douc等人（2004）[DMR后文]，他们推导了区域切换模型的最大似然估计（MLE）的渐近分布。通过应用缺失信息原理（Woodbury，1971；Louis，1982）并扩展DMR分析，我们将周期密度比的高阶导数表示为周期完整数据对数密度导数的条件期望，即状态变量可观测时的对数密度。

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2022-6-6 17:35:36

然后，通过对有限过去的条件，我们证明了周期密度比的这些导数可以用平稳、遍历和平方可积鞅差序列来近似，并且证明了这种近似满足DQM展开的正则条件。我们首先推导了LRT的渐近零分布，用于测试H：M=1和H：M=2。当区域特定密度不正常时，对数似然函数由重新参数化参数的二阶多项式的二次函数局部近似。当密度正常时，Fisher信息矩阵的失效程度和所需的扩展顺序取决于未识别参数的值；特别是，当潜在状态变量连续不相关时，模型简化为有限混合正态模型，其中需要四阶DQM展开来推导对数似然函数的二次近似。我们将对数似然展开到重新参数化参数的明智选择多项式，其中包括四阶多项式，以获得二次型对数似然函数的一致近似，并在Andrews的结果的基础上，通过在一组约束下最大化二次型，推导出LRT的共有零分布(1999, 2001).推导LRT的渐近零分布，用于测试H：M=MagainstHA：M=M+1≥ 2、我们将一组描述备选模型中真实空模型的参数划分为多个子集，每个子集对应于生成空模型的特定方式。

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2022-6-6 17:35:40

我们证明了LRT的渐近分布以Mrandom变量的最大值为特征，每个变量代表测试每个子集的LRT。我们还推导了局部备选方案下轻轨的渐近分布。Carrasco等人（2014年）表明，其试验的连续局部备选方案为n阶-1/4，其中n是样本大小。在测试有限混合正态回归模型中成分数量的相关问题中，Kasahara和Shimotsu（2015）表明，连续的局部备选方案为n阶-1/8（另见Chen和Li，2009；Chen等人，2012；Ho和Nguyen，2016）。我们表明，未识别参数的值影响相邻本地备选方案的收敛速度。当区域特定密度为正态时，一些相邻的局部备选方案为n阶-1/8，LRT显示出对其具有非平凡的力量。Carrasco等人（2014年）的测试对此类备选方案没有约束力，而Qu andZhuo（2017年）的测试排除了此类备选方案，因为其对参数空间的限制。在零假设和局部选择下，证明了参数引导的渐近有效性。仿真结果表明，我们的自举LRT具有良好的有限样本特性。我们的结果还表明，bootstrap LRT对于测试隐马尔可夫模型中的隐状态数是有效的，因为本文的模型包括了作为特例的隐马尔可夫模型。虽然有几篇论文分析了隐马尔可夫模型极大似然估计的渐近性质，但用于测试隐状态数的LRT的渐近分布一直是一个悬而未决的问题。本文的其余部分组织如下。

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2022-6-6 17:35:43

在介绍了第2节中的符号和假设之后，我们在第3节中讨论了费希尔信息矩阵的简并性和制度转换模型中的可识别性损失。第4节确定了DQM类型扩展。第5节介绍了密度比导数的一致收敛性。第6节和第7节推导了LRT的渐近零分布。第8节推导了局部备选方案下的渐近分布。第9节建立了参数引导的一致性。第10节使用美国GDPper人均季度增长率数据报告了模拟和实证应用的结果。第11节收集了证据和辅助结果。2符号和假设let：=表示“定义等于”允许=> 表示某个空间∏中由∏索引的随机过程序列的弱收敛性。对于矩阵B，设λmin（B）和λmax（B）分别是B的最小和最大特征值。对于k维向量x=（x，…，xk）和矩阵xb，定义| x |：=√xx和| B |：=pλmax（BB）。对于k×1向量a=（a，…，ak）和函数f（a），让af（a）：=(f（a）/一f（a）/ak），并让jaf（a）表示形式的派生集合(j/人工智能ai。aij）f（a）。设I{A}表示一个指示符函数，当A为真时取值1，否则取值0。C表示一个通用的非负有限常数，其值可能会从一个表达式变为另一个表达式。让a∨b：=最大{a，b}和a∧b：=最小值{a，b}。设bxc表示小于或等于x的最大整数，定义（x）+：=max{x，0}。给定序列{fk}nk=1，设νn（fk）：=n-1/2Pnk=1[fk- Eθ*（fk）]。对于由n=1，2，…索引的序列Xnε。

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2022-6-6 17:35:45

.ε，我们写Xnε=Opε（an），如果对于任何δ>0，存在ε>0和M，n<∞ 这样p（| Xnε/an |≤ M）≥ 1.- 对于所有n>n，我们写Xnε=opε（an），如果对于任何δ，δ>0，请参见Leroux（1992），Francq和Roussignol（1998），Krishnamurthy和Ryd\'en（1998），Bickel等人（1998），Jensen和Petersen（1999），Le Gland和Mevel（2000），以及Douc和Matias（2001）。Gassiat和Keribin（2000）表明，当特定密度存在已知且不同的参数值时，用于测试H：M=1和HA：M=2的LRT会出现偏差。Dannemann和Holtzmann（2008）分析了修改后的准LRT，以测试两种状态相对于三种状态的零。存在ε>0，并确保P（| Xnε/an |≤ δ) ≥ 1.- δ对于所有n>n。松散地说，Xnε=Opε（an）和Xnε=Opε（an）分别意味着当ε为sufficientlysmall时，Xnε=Op（an）和Xnε=Op（an）。所有限值均取n→ ∞ 除非另有说明。附录中给出了所有命题和引理的证明。考虑由离散时间随机过程{（Xk，Yk，Wk）}定义的马尔可夫状态切换过程，其中（Xk，Yk，Wk）取一组XM×Y×W中的值，其中Y RQ和W Rqw，B（XM×Y×W）表示相关的钻孔σ场。对于随机过程{Zk}和a<b，定义Zba：=（Za，Za+1，…，Zb）。表示Yk-1： =（Yk-1.Yk公司-s）对于固定整数s和yba：=（Ya，Ya+1，…，Yb）。这里，Yk是一个可观测变量，Xkis是一个不可观测状态变量，Yk-1是作为协变量使用的滞后Yk，WK是弱外源协变量。DMR的模型不包括Wk。假设1。（a） {Xk}∞k=0是一个一阶马尔可夫链，状态空间XM：={1，2，…，M}。（b）对于每个k≥ 1，Xkis独立于（Xk-2，Yk-1，W∞) 给定Xk-1.

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2022-6-6 17:35:49

（c） Foreach k公司≥ 1，Yk有条件地独立于（Yk-s-1.-s+1，Xk-1，周-1，W∞k+1）给定（Yk-1、Xk、Wk）。（d） W∞条件独立于（Y，X）给定的W.（e）{（Xk，Yk，Wk）}∞k=0是一个严格的静态遍历过程。当没有wk时，DMR为（Xk，Yk）在吸积（A2）中的遍历性提供了一个有效条件。为了简洁起见，我们假设（Xk，Yk，Wk）的遍历性。不可观测的马尔可夫链{Xk}称为区域。整数M表示模型中规定的状态数。参数θM=（θM，y，θM，x）属于ΘM=ΘM，y×ΘM，x，RqM的一个紧子集。θM，x包含Xk的转移概率参数，我们用qθM，x（Xk）表示-1，xk）：=P（xk=xk | xk-1=xk-1). 设pij：=qθM，x（i，j），对于i=1，曼德j=1，M- qθM，x（i，M）由qθM，x（i，M）=1确定-颗粒物-1j=1pij。θM，y=（θ，…，θM，γ）包含给定Yk（Yk）的条件密度参数-1，Xk，Wk），由gθM，y（yk | yk）给出-1，xk，wk）：=Pj∈XMI{xk=j}f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）。这里，γ是不随区域变化的结构参数，θjis是随区域变化的区域特定参数，f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）是给定yk的条件密度（yk-1，wk）当xk=j.Letpθ（yk，xk | yk-1，xk-1，wk）：=qθx（xk-1，xk）gθy（yk | yk-1，xk，wk）=qθx（xk-1，xk）Xj∈XMI{xk=j}f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）。我们假设ΘM，y=Θθ×·····×Θθ×γ，真实参数值用θ表示*M、我们作出以下假设，对应于DMR中的（A1）–（A3）。假设2。（a） 0<σ-:= infθM，x∈ΘM，xminx，x∈XMqθM，x（x，x）和σ+：=supθM，x∈ΘM，xmaxx，x∈XMqθM，x（x，x）<每M 1。

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2022-6-6 17:35:54

（b）对于所有y∈ Y、 Y型∈ Ys和假设1（a）–（d）意味着wk在条件上独立于（Xk-1，Yk-1）给定工作-1、w∈ W、 0<infθy∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）和supθM，y∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）<∞.（c） b+：=supθM，y∈Θysupy，y，w，xgθM，y（y | y，x，w）<∞ 和Eθ*（|日志b-（Y，W）|）<∞, 其中b-（y，w）：=infθM，y∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）。如DMR第2260页所述，假设2（a）意味着马尔可夫链{Xk}具有唯一不变分布，并且对所有θM，x一致遍历∈ ΘM，x。为了符号简洁，我们从XM、θM、ΘM等中删除下标M，除非澄清M的特定值很重要。假设1（b）和（c）意味着{Zk}∞k=0：={（Xk，Yk）}∞k=0是一个马尔可夫链，在z上：=X×Ysgiven{Wk}∞k=0，且Zk在条件上独立于（Zk-2，周-1，W∞k+1）给定（Zk-1，周）。因此，DMR的引理1、推论1和引理9即使在{Wk}存在的情况下也会通过∞k=0。因为{（Zk，Wk）}∞k=0是静止的，我们可以并且将扩展{（Zk，Wk）}∞k=0toa平稳过程{（Zk，Wk）}∞k级=-∞在有限的时间内加倍。我们表示{（Zk，Wk）}的概率测度和相关期望∞k级=∞在平稳性下，分别为Pθ和Eθ。在假设1（a）–（d）下，Yn的密度给定X=X，Yan和Wn由pθM（Yn | Y，Wn，X）=Xxn给出∈XnMnYk=1pθM（Yk，xk | Yk-1，xk-1，周）。（1）将条件对数似然函数和平稳对数似然函数定义为\'n（θ，x）：=对数pθ（Yn | Y，Wn，x）=nXk=1log pθ（Yk | Yk-1，Wk，x），`n（θ）：=logpθ（Yn|Y，Wn）=nXk=1logpθ（Yk|Yk）-1，Wk），其中我们使用pθ（Yk | Yk-1，Wn，x）=pθ（Yk | Yk-1，Wk，x）和pθ（Yk | Yk-1，Wn）=pθ（Yk | Yk-1，Wk），根据假设1。注意pθ（Yk | Yk-1，周，x）- pθ（Yk | Yk-1，Wk）=X（xk-1，xk）∈Xpθ（Yk，xk | Yk-1，xk-1，周）×Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1，x）- Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1),和Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1） =像素∈XPθ（xk-1 | Yk-1，周-1，x）Pθ（x | Yk-1，周-1). 设ρ：=1-σ-/σ+∈ [0, 1).

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2022-6-6 17:35:58

附录中的引理11（a）表明，对于所有概率度量，假设1（c）和2（a）也适用于DMR。如Kasahara和Shimotsu（2017）所述，这些假设共同排除了条件密度yk同时取决于当前和滞后制度的模型。Kasahara和Shimotsu（2017）显示了极大似然估计的渐近正态性，同时放宽假设2（a）以允许infθM，x∈ΘM，xminx，x∈XMqθM，x（x，x）=0。根据Kasahara和Shimotsu（2017）的相似假设，可以推导出LRT的渐近分布，尽管推导过程繁琐。DMR使用Pθ和Eθ表示{Zk}上平稳性下的概率和期望∞k级=∞, 因为他们的第7节处理的是从任意分布中提取zi的情况。因为我们假设{（Zk，Wk）}∞k级=∞是固定的，为了简单起见，我们使用了Pθ和Eθ等无上划线的符号。在B（X）和all（yk）上-1，周-1），supAXx号∈XPθ（Xk-1.∈ A | yk-1，周-1，x）u（x）-Xx号∈XPθ（Xk-1.∈ A | yk-1，周-1，x）u（x）≤ ρk-1.（2）因此，pθ（Yk | Yk-1，周-1，x）- pθ（Yk | Yk-1，周-1）以指数速率归零→ ∞. 因此，如以下命题所示，`n（θ，x）和`n（θ）之间的差异以确定性常数为界，`n（θ，x）的最大值和`n（θ）的最大值是渐近等价的。提案1。在假设1和2下，对于所有x∈ 十、 supθ∈Θ|` n（θ，x）- `n（θ）|≤ 1/(1 - ρ） Pθ*-a、如DMR第2263页所述，固定密度pθ（Yk | Yk-1，Wk）对于某些具有自回归的模型，不提供封闭形式。因此，当xf的初始分布服从某些分布ξM时，我们考虑对数似然函数∈ ΞM：={ξ（x）x∈XM：ξ（x）≥ 0和px∈XMξ（x）=1}。通过对数可能性的最大化来确定MLE，θM，ξM：`n（θM，ξM）：=logMXx=1pθM（Yn | Y，Wn，x）ξM（x）！，（3）式中，pθM（Yn | Y，Wn，x）在（1）中给出。

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2022-6-6 17:36:01

我们通过最小的数字来定义制度的数量，以便数据密度允许表示（3）。我们的目标是测试Fisher信息矩阵的H：M=Magainst HA：M=M+1.3简并度和在零假设下的不可识别性。考虑在两个区域模型中测试H：M=1与HA：M=2。零假设可以写成H：θ*= θ*.当θ=θ时，参数θ2，xis未被识别，因为yk在不同区域具有相同的分布。此外，第6节表明，当θ=θ时，关于θ和θ的分数是线性相关的，因此Fisher信息矩阵退化。正态密度马尔可夫区域切换模型的对数似然函数具有进一步的退化性。在第j个区域的Ykin紧随N（uj，σj）的双区域模型中，当Xk连续不相关时，该模型简化为异方差正态混合模型，即当（p，p）=（1，0）时，H:M=1的零假设也成立。我们将假设2（a）从0和1约束pjjaway，因为考虑到Gasiat和Keribin（2000），当por ptends为1时，对数似然函数可能变得无界。p=1- p、 Kasahara和Shimotsu（2015）表明，在异方差正态混合模型中，对数似然函数的一阶和二阶导数是线性相关的，而核心函数是四阶导数的函数。因此，需要将对数似然函数展开四次才能得出分数函数。4可识别性损失下的二次展开当LRT测试制度数量时，在零假设下未识别部分θ。设π表示θ在null下未识别的部分，并将θ拆分为θ=（ψ，π）。

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2022-6-6 17:36:04

例如，在测试H：M=1与HA：M=2时，我们有ψ=θ2，yandπ=θ2，x。我们将条件对数似然函数表示为\'n（ψ，π，x）：=\'n（θ，x），并可互换地使用pθ和pψπ。用ψ表示ψ的真参数值*, 用Γ表示与努尔假设相对应的（ψ，π）集*= {(ψ, π) ∈ Θ : ψ = ψ*}. 设tθ为θ的连续函数，使得tθ=0当且仅当ψ=ψ*. 对于ε>0，确定Γ的邻域*byNε：={θ∈ Θ：| tθ|<ε}。当极大似然估计一致时，LRT的渐近分布由Nε中似然函数的局部性质决定。我们建立了对数似然函数n（ψ，π，ξ）的一般二次展开式：=（3）中定义的n（θ，ξ）围绕n（ψ*, π、 ξ）表示\'n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π、 ξ）作为tθ的二次函数。一旦我们推导出一个二次展开式，LRT的渐近分布可以通过在适当的约束下取其相对于tθ的上确界并使用Andrews（1999，2001）的结果来表征。表示条件密度比bylθkx：=pψπ（Yk | Yk-1，Wk，x）pψ*π（Yk | Yk-1，Wk，x），（4）使\'n（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）=Pnk=1log lθkx。我们假设lθkxc可以围绕lθ展开*kx=1，如下所示。稍微滥用一下符号，让Pn（fk）：=n-1Pnk=1fk和调用νn（fk）：=n-1/2Pnk=1[fk- Eθ*（fk）]。假设3。对于所有k=1。

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2022-6-6 17:36:08

，n，lθkx- 1允许扩展Lθkx- 1=tθsπk+rθk+uθkx，（5）其中tθ满足ψ→ ψ*如果tθ→ 0和（sπk，rθk，uθkx）满足，对于某些C∈ (0, ∞), δ>0、ε>0和ρ∈ （0，1），（a）Eθ*supπ∈Θπ| sπk | 2+δ<C，（b）supπ∈Θπ| Pn（sπksπk）- Iπ|=0<infπ的op（1）∈πλmin（Iπ）≤ supπ∈πλmax（Iπ）<∞, （c） Eθ*[补充]∈Nε| rθk/（| tθ|ψ）- ψ*|)|] < ∞, （d） supθ∈Nε[νN（rθk）/（| tθ|ψ）-ψ*|)] = Op（1），（e）supx∈Xsupθ∈NεPn（| uθkx |/|ψ-ψ*|)j=Op（n-1）对于j=1、2、3、（f）supx∈Xsupθ∈NεPn（| sπk | | uθkx |/|ψ-ψ*|) = Op（n-1），（g）supθ∈Nε|νN（sπk）|=Op（1）。我们首先在Nc附近建立了\'n（ψ，π，x）的展开式/√对于任何c>0。提案2。假设假设假设3（a）–（f）成立。然后，对于任何c>0，supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√n`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）-√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2= op（1）。以下命题将` n（ψ，π，x）展开为ε（x，η）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）≥ -η} 对于某些η∈ [0, ∞). 这一命题有助于推导LRT的渐近分布，因为一致的MLE定义为ε（x，η）。LetAnεc（x，η）：=Anε（x，η）∪ 北卡罗来纳州/√n、提案3。假设假设3成立。然后，对于任何η>0，（a）supx∈Xsupθ∈Anε（x，η）| tθ|=Opε（n-1/2）和（b）对于任何c>0，supx∈Xsupθ∈εc（x，η）`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）-√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2= opε（1）。命题2和命题3的以下推论表明，（3）中定义的“n（θ，ξ）”允许对所有ξ进行类似的扩展到“n（θ，x）”。因此，LRTs的渐近分布不依赖于ξ，并且在拟合ξ时，n（θ，ξ）可能在θ中最大化，或者在θ和ξ中联合最大化。LetAnε（ξ，η）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) ≥ -η} 和Anεc（ξ，η）：=Anε（ξ，η）∪ 北卡罗来纳州/√n、其中包括与任何ξ一致的MLE。推论1。

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2022-6-6 17:36:11

（a）在命题2的假设下，我们有supξ∈Ξsupθ∈北卡罗来纳州/√n |` n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√对于任何c>0，ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2 |=op（1）。（b）在命题3的假设下，对于任何η>0和c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anε（ξ，η）| tθ|=Opε（n-1/2）和supξ∈Ξsupθ∈εc（ξ，η）|` n（ψ，π，ξ）-`n（ψ）*, π, ξ) -√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2 |=opε（1）。5对数密度和密度比导数的一致收敛在本节中，我们建立了近似值，使我们能够将第4节中的结果应用于区域切换模型的对数似然函数。由于奇点的存在，密度比lθkxin的展开式（5）涉及密度比的高阶导数jψlθkx带j≥ 2、注意jψlθkxc可以用对数密度的导数表示，jψlog pψπ（Yk | Yk-1，周，x）。我们表明，这些衍生工具近似于其静态对应物，即在有限过去（Yk）条件下的衍生工具-1.-∞, 工作时间：-∞) 代替（Yk-1，周）。因此，序列{jψlθkx}∞k=0由平稳鞅差序列近似。对于1≤ k≤ n和m≥ 0，letpθ（Yk-m+1 | Y-m、工作时间：-m）：=Xxk-m级∈Xk+m+1kYt=-m+1pθ（Yt，xt | Yt-1，重量，xt-1） Pθ*（十）-m | Y-m、工作时间：-m），（6）表示Yk的固定密度-m+1与{Y上的θ条件相关-m、工作时间：-m} ，其中X-由真实条件平稳分布Pθ得出的mis*（十）-m | Yk-1.-m、工作时间：-m）。Letpθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m）：=pθ（Yk-m+1 | Y-m、工作时间：-m） /pθ（Yk-1.-m+1 | Y-m、工作时间：-1.-m）表示给定Yk的相关条件密度（Yk-1.-m、工作时间：-m）。将密度比定义为lk、m、x（θ）：=pθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m、 X个-m=x）/pθ*（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m、 X个-m=x）。对于j=1，2。

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2022-6-6 17:36:14

, 6, 1 ≤ k≤ n、 m级≥ 0和x∈ 十、定义对数密度和密度比的导数jθ为简洁起见，j\'k，m，x（θ）：=jlog pθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m、 X个-m=x），jlk、m、x（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m、 X个-m=x），j\'k，m（θ）：=jlog pθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m），和jlk，m（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m、工作时间：-m）。以下假设对应于DMR中的（A6）–（A8），并根据我们的设置进行了调整，其中一些元素为θ*X未识别，X是有限的。注意，与qθx（x，x）相关的假设（A6）和（A7）inDMR在我们的情况下成立，因为pij的边界远离0和1。设Gθk：=Pxk∈Xgθy（Yk | Yk-1、xk、Wk）。一般情况下，当N*非常小。假设4。存在一个正实δ，使得在N上*:= {θ ∈ Θ：|θy- θ*y |<δ}以下条件成立：（a）对于所有（y，y，x，w）∈ Y×Y×X×W，gθY（Y | Y，X，W）在N上连续六次可微分*. （b） Eθ*[补充]∈N*supx公司∈X个|jlog gθy（y | y，x，W）| 2qj]<∞ 对于j=1，2，6和Eθ*supθ∈N*|克/克*k | qg<∞ q=6q，q=5q，q=q，其中q=（1+ε）qθ和qg=（1+ε）qθ/ε，对于一些ε>0和qθ>max{3，dim（θ）}。（c）几乎所有（y、y、w）∈ Ys×Y×W，supθ∈N*gθy（y | y，x，w）<∞ 而且，对于几乎所有（y、x、w）∈ Ys×X×W，对于J=1，2，6、存在函数fjy、w、x:Y→ R+在这样的情况下|jgθy（y | y，x，w）|≤ fjy、x、w（y）表示所有θ∈ N*.以下命题表明{j\'k，m，x（θ）}m≥0和{j\'k，m（θ）}m≥0are Lrj（Pθ*)收敛到的Cauchy序列j\'k，∞（θ）Pθ*-a、 s.和Lrj（Pθ*) 均匀分布在θ中∈ N*andx∈ 十、提案4。在假设1、2和4下，对于j=1，6，存在随机变量，但DMR使用相同的符号pθ（·| Yk-1.-m）为了不同的目的。在p。

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2022-6-6 17:36:18

2263和在其他一些（但不是所有）地方，DMR使用pθ（Yk | Yk-1）表示Yk的（普通）平稳条件分布。（Kj，{Mj，k}nk=1）∈ Lrj（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）- j\'k，m（θ）|≤ Kj（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）- j`k，m，x（θ）|≤ Kj（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|j\'k，m（θ）|≤ Mj，kPθ*-a、其中r=6q，r=3q，r=2q，r=3q/2，r=6q/5，r=q.（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、j`k，m，x（θ）和j\'k，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和Lrj（Pθ*) 到j\'k，∞(θ) ∈ Lrj（Pθ*)作为m→ ∞.如以下命题所示，我们可以通过将密度比的导数表示为对数密度导数的多项式，并应用命题4和H¨older不等式来证明密度比导数的一致收敛性。提案5。在假设1、2和4下，对于j=1，6，存在随机变量{Kj，k}nk=1∈ Lqθ（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|jlk、m、x（θ）- jlk，m（θ）|≤ Kj，k（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|jlk、m、x（θ）- jlk，m，x（θ）|≤ Kj，k（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|jlk，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|jlk，m（θ）|≤ Kj，kPθ*-a、 s.（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、jlk、m、x（θ）和jlk，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和Lqθ（Pθ*)到jlk，∞(θ) ∈ Lqθ（Pθ*) 作为m→ ∞. （e） supθ∈N*|jlk，0（θ）- jlk，∞(θ)| ≤ Kj，kkρk-1.*Pθ*-a、当我们将第4节中的结果应用于区域切换模型时，lk，0，x（θ）对应于（5）左侧的lθkxon，sπkin（5）是jlk，0（θ）.命题5和条件期望的支配收敛定理（Durrett，2010，定理5.5.9）暗示了Eθ*[jlk，∞（θ）| Yk-1.-∞] = 0表示所有θ∈ N*.

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2022-6-6 17:36:21

因此{jlk，∞(θ)}∞k级=-∞是一个平稳、遍历且平方可积的鞅差序列，并且{jlk，∞（θ）}j=1满意度假设3（a）（b）（g）。6检验同质性在开发Mcomponents的LRT之前，我们分析了一个更简单的情况，即当数据来自H时，检验零假设H:M=1和HA:M=2。我们假设θ2的参数空间，x=（p，p）的形式为[, 1.- ]对于一个小 ∈ (0, 1/2). 用θ表示单区模型中的真实参数*:= ((θ*), (γ*)). 双区模型给出了真实密度pθ的上升*（Yn | Y，x）如果参数θ=（θ，θ，γ，p，p）位于参数空间Γ的子集中*:= {（θ，θ，γ，p，p）∈ Θ: θ= θ= θ*γ=γ*}.注意，（p，p）在H下未识别。Let\'n（θ，ξ）：=logPx=1pθ（Yn | Y，Wn，x）ξ（x）表示给定初始分布ξ（x）的两种状态对数可能性∈ Ξ，并设^θ：=arg maxθ∈Θ\'n（θ，ξ）表示给定ξ的MLEof，其中ξ从^θ中被抑制，因为ξ并不渐近重要。设^θ表示最大化一个区域对数似然函数\'0，n（θ）：=Pnk=1log f（Yk | Yk-1、工作时间；γ、 θ）在约束θ=（θ，γ）下∈ Θ.我们为^θ和^θ的一致性引入以下假设。假设5（b）对应于DMR的假设（A4）。假设5（c）是单一制度模型的标准识别条件。假设5（d）意味着NPθ之间的Kullback–Leibler散度*（Y | Y-m、 W-m）和pθ（Y | Y-m、 W-m）为0当且仅当θ∈ Γ*.假设5。（a） Θ和Θ是紧凑的*位于Θ的内部。（b）适用于所有（x，x）∈ X和所有（y、y、w）∈ Y×Y×W，f（Y | Y，W；γ，θ）在（γ，θ）中是连续的。（c）如果θ6=θ*, 然后Pθ*f（Y | Y，W；γ，θ）6=f（Y | Y，W；γ*, θ*)> 0.（d）Eθ*[对数pθ（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*[日志pθ*（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θ∈ Γ*.以下命题显示了θ的极大似然估计的一致性*和θ*2，y.提案6。

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2022-6-6 17:36:24

假设假设1、2和5成立。然后，在m=1的零假设下，p→ θ*和infθ∈Γ*|^θ- θ| p→ 设LRn：=2[`n（ξ，ξ）-`0，n（^θ）]表示用于测试H：M=1和HA：M=2的LRT。按照第4节的注释，我们将θ分为θ=（ψ，π），其中π是在无效假设下未识别的部分；ψ的元素在后面描述。在当前设置中，π对应于θ2，x=（p，p）。定义%：=corrθ2，x（Xk，Xk+1）=p+p-1和α：=Pθ2，x（Xk=1）=（1-p） /（2）-p-p）。约束p，p下%和α的参数空间∈ [, 1.-]由Θ%：=[-1 + 2, 1.- 2.] 和Θα：=[, 1.- ], 分别地因为（p，p）到（%，α）的映射是一对一的，所以我们将π重新参数化为π：=（%，α）∈ Θπ：=Θ%×Θα，和letpψπ（···：）=p·······。此后，为了符号简洁，我们抑制Wn，并将pψπ（Yn | Y，Wn，x）写入pψπ（Yn | Y，x）和pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1，wk）为pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1）这样做不会引起混淆。我们通过将推论1应用于\'n（ψ，π，ξ），并用Γ，f（Yk | Yk）表示sπ和tθin（5），导出了LRT的渐近分布-1.γ、 θ）及其导数；sπkinvolves高阶导数和tθ由（重新参数化）的多项式的函数组成。第6.1节分析了YK的制度特定分布不正态且方差未知的情况。第6.2节分析了制度特定分布为正态且制度特定且方差未知的情况。第6.3节处理了方差未知且在不同制度中常见的正态分布。注意，因为Y∞-∞和X∞-∞ψ=ψ时是独立的*, 我们有pψ*π（X∞-∞|Y∞-∞) = Pψ*π（X∞-∞). （7）定义qk：=I{Xk=1}，因此α=Eψ*π[qk]。6.1非正态分布当我们将推论1应用于区域切换模型时，sπkis是jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）（6）中定义了pψπ（Yk | Y）的\'s。

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2022-6-6 17:36:27

为了表达jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）就jf（y | x；γ，θ）通过Louis信息原理（附录中的引理1），我们首先推导出完整数据条件密度pθ（yk，xk | yk）的导数-1，xk-1） =gθ2，y（yk | yk-1，xk）qθ2，x（xk-1，xk）=Pj=1I{xk=j}f（yk | yk-1.γ、 θj）qθ2，x（xk-1，xk）。考虑以下重新参数化。设λν！：=θ- θαθ+ (1 - α)θ!, 所以θθ=ν + (1 - α)λν - αλ!. （8）设η：=（γ，ν）和ψα：=（η，λ）∈ Θη× Θλ. 在一个区域的零假设下，ψα的真值由ψ给出*α:= (γ*, θ*, 0). 从今以后，我们从ψα中去掉下标α。使用ψ的定义，让θ：=（ψ，π）∈ Θψ×Θπ. 通过使用重参数化（8）并注意到qk=I{xk=1}，我们得到了pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1） =gψ（yk | yk-1，xk）qπ（xk-1，xk）和gψ（yk | yk-1，xk）=f（yk | yk-1.γ、 ν+（qk- α)λ). （9）从今以后，让f*kf*k、 g级*k、以及g级*kdenote f（Yk | Yk-1.γ*, θ*), f（Yk | Yk-1.γ*, θ*),gψ*（Yk | Yk-1，Xk），以及gψ*（Yk | Yk-1，Xk），类似地，对于log f*k日志f*k、日志g*k、以及日志g*k、扩展gψ（Yk | Yk-1，Xk）关于ψ=（γ，ν，λ）两次，并在ψ处求值*给予ηg*k=（γ，θ）f*kλg*k=（qk- α)θf*kληg*k=（qk- α)θ（γ，θ）f*kλλg*k=（qk- α)θθf*k、（10）召回率%：=corrθ*（qk，qk+1）。观察QKSatiesθ*（qk- α)= α(1 - α），Eθ*（qk- α)= α(1 - α)(1 - 2α），Eθ*（qk- α)= α(1 - α)(3α- 3α+1），corrθ*（qk，qk+`）=%|`，（11）其中前三个结果来自伯努利随机变量的性质，最后一个结果来自汉密尔顿（1994，第684页）。

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2022-6-6 17:36:31

然后，从（7）和（11）得出*[qk- α| Yn-∞] = 0，Eθ*[（qt- α）（qt- α） | Yn-∞] = α(1 - α） %t-t、 t型≥ t、（12）引理1，log pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1） =对数gψ（yk | yk-1，xk）+对数qπ（xk-1，xk），以及（6）中pψπ（Yk | Y）的定义，我们得到ψpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= ψlog pψ*π（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类ψlog g*t型Yki-k-1Xt=1Eθ*h类ψlog g*t型Yk公司-1i。应用（10）、（12）和g*k=f*kto右侧给出ηpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= （γ，θ）对数f*kλpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= 0. （13）类似地，它遵循引理1、（10）、（12）、（13）和g*k=f*K那ληpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = 0, (14)λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1)= λλlog pψ*π（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类λλlog g*t型Yki-k-1Xt=1Eθ*h类λλlog g*t型Yk公司-1i+kXt=1kXt=1Eθ*λg*甘油三酯*t型λg*甘油三酯*t型Yk公司-k-1Xt=1k-1Xt=1Eθ*λg*甘油三酯*t型λg*甘油三酯*t型Yk公司-1.= α(1 - α)\"θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型#. （15）因为（13）中关于λ的一阶导数等于零，所以ηpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）以及λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）构造了广义分数sπkin推论1。该分数由平稳鞅差序列近似，其中近似误差满足假设3。我们收集了一些符号。回忆ψ=（η，λ）和η=（γ，ν）。对于q×1向量λ和aq×q矩阵s，定义qλ×1向量v（λ）和v（s）asv（λ）：=（λ，…，λq，λ，…，λq，λ，…，λq-1λq），V（s）：=（s/2，…，sqq/2，s，…，s1q，s，…，s2q，…，sq，q-1).（16）注意到α（1- α） α>0∈ α，定义，tλ（λ，π）：=α（1- α） v（λ），t（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！，s%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=ηpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)=γf*k/f*kθf*k/f*k（17）和sλ%k：=V（sλλ%k）和λλ%k：=λλpψ*π（Yk | Yk-1)α(1 - α） pψ*π（Yk | Yk-1)=θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型.

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2022-6-6 17:36:35

（18）这里，s%kin（17）依赖于%，而不依赖于α，并对应于sπkin推论1。以下命题表明，对数似然函数近似为√nt（ψ，π）。设Nε：={θ∈ Θ：| t（ψ，π）|<ε}。设Anε（ξ）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，ξ）-`n（ψ）*, π, ξ) ≥0}和Anεc（ξ）：=Anε（ξ）∪北卡罗来纳州/√n、这里我们从ξ中去掉下标2。我们在第6.1–6.3节中使用εc（ξ）的定义。如第6.2节和第6.3节所示，假设6不适用于正态分布的状态切换模型。假设6。0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（17）中给出。提案7。假设假设假设1、2、4、5和6成立。然后，在m=1的零假设下，（a）supξsupθ∈Anε（ξ）| t（ψ，π）|=Opε（n-1/2); 和（b）对于任何c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√nt（ψ，π）νn（s%k）+nt（ψ，π）I%t（ψ，π）/2= opε（1）。（19）我们继续推导LRT的渐近分布。对于（17）中定义的s%kde，定义η：=Eθ*（sηksηk），Iλ%%：=limk→∞Eθ*（sλ%ksλ%k），Iλη%：=limk→∞Eθ*（sλ%ksηk），Iηλ%：=Iλη%，Iλ。η%%：=Iλ%%- Iλη%I-1ηIηλ%，Iλ。η%：=Iλ。η%%，Zλ%：=（Iλ.η%）-1Gλ。η%，（20），其中Gλ。η%是一个qλ-向量平均零高斯过程，指数为%，cov（Gλ.η%，Gλ.η%）=Iλ。η%%. 确定以下允许值的集合：√nα（1- α） n时的v（λ）→ ∞ 按v（Rq）：={x∈Rqλ：对于某些λ，x=v（λ）∈ Rq}。定义▄tλ%byrλ%（▄tλ%）=输入λ∈v（Rq）rλ%（tλ），rλ%（tλ）：=（tλ- Zλ%）Iλ。η%（tλ）- Zλ%）。（21）以下命题建立了LRT的渐近零分布。提案8。假设假设假设1、2、4、5和6成立。然后，在M=1的零假设下，LRnd→ sup%∈Θ%~tλ%Iλ。η%~tλ%.在命题8中，LRT及其渐近分布取决于因为Θ%=[-1 + 2, 1.- 2.].

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2022-6-6 17:36:38

在这种情况下，可以开发一种EM测试版本（Chen和Li，2009；Chen等人，2012；Kasahara和Shimotsu，2015），该版本不会对pand p的参数空间施加明确的限制；然而，我们将这种扩展留给未来研究。备注1。当应用于马尔可夫状态切换模型时，Carrasco等人（2014）的测试使用了预测的残差θθfk/fk+2Pk-1t=1%k-t型(θ英尺/英尺）(θfk/fk）开θfk/fk，其中两者均在一个区域MLE下进行评估。因此，在非正常情况下，LRT和testsof Carrasco et al.（2014）基于相同的得分函数。6.2异方差正态分布提供了Yk∈ j-th区域中的R遵循区域特定截距ujand方差σj的正态分布。我们将θjintoθj=（ζj，σj）=（uj，βj，σj），并写出j-th区域的密度asf（yk | yk-1.γ、 θj）=f（yk | yk-1.γ、 ζj，σj）=σjφyk公司- uj- $（yk）-1.γ、 βj）σj, （22）对于某些函数$。在许多应用中，$是γ和βj的线性函数，例如，$（yk-1、工作时间；γ、 βj）=（yk-1） βj+wkγ。考虑inKasahara和Shimotsu（2015）引入的以下重新参数化（Kasahara和Shimotsu中的θ对应此处的ζ）：ζζσσ=νζ+ (1 - α)λζνζ- αλζνσ+ (1 - α）（2λσ+Cλu）νσ- α（2λσ+Cλu）, （23）式中，νζ=（νu，νβ），λζ=（λu，λβ），C：=-（1/3）（1+α），C：=（1/3）（2- α），因此C=C- 1、将重新参数化的参数（α除外）收集到一个向量ψα中。如第6.1节所述，我们从ψα中去掉了下标α。让重新参数化的密度begψ（yk | yk-1，xk）=fyk | yk-1.γ、 νζ+（qk- α） λζ，νσ+（qk- α）（2λσ+（C- qk）λu）. （24）Letψ：=（η，λ）∈ ψ=η×λ，其中η：=（γ，νζ，νσ）和λ：=（λζ，λσ）。因为当σj时，正态混合模型的似然函数是无界的→ 0（Hartigan，1985），我们施加σj≥ σ表示小σ> 0英寸ψ。

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2022-6-6 17:36:42

我们继续推导gψ（Yk | Yk）的导数-1，Xk）在ψ处计算*.ψg*kληg*k、以及λλg*kare与（10）中给出的相同，除了λug*k关于λjσ的值乘以2j。gψ（Yk | Yk）的高阶导数-根据Kasahara和Shimotsu（2015）推导出λu的1，Xk）。引理6和正态密度f（u，σ）满足uf（u，σ）=2σf（u，σ），uf（u，σ）=2uσf（u，σ），和uf（u，σ）=2uσf（u，σ）=4σσf（u，σ），（25）我们有λiug*k=diku如果*k、 i=1，4，（26）其中d0k：=1，d1k：=qk- α、 d2k：=（qk- α）（C）- α），d3k：=2（qk- α)(1 - α - qk），d4k:=-2（qk- α） +3（qk- α)(α - C）。它来自Eθ*[qk | Yn-∞] = α、（11），并进行了初步计算*[dik | Yn-∞] = 0，Eθ*[λiug*k | Yk-∞] = 0，i=1，2，3，Eθ*[d4k | Yn-∞] = α(1 - α） b（α），Eθ*[λug*k | Yk-∞] = α(1 - α） b（α）uf*k=α（1- α） b（α）4σσf*k=b（α）Eθ*[λσg*k | Yk-∞],（27）带b（α）：=-(2/3)(α- α + 1) < 0. 因此，Eθ*[λσg*k | Yk-∞] 和Eθ*[λug*k | Yk-∞] 是线性相关的。我们继续推导jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）就jf公司*k、重复导致（13）–（15）的计算并使用（27）得出以下结果。第一，（13）和（14）仍然有效；第二，要素λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）除（1，1）外，在调整后，公式由（15）给出，关于λσ的导数必须乘以2（例如，eθ）*[λσg*k | Yn-∞] = 2.σf*kand Eθ*[λσλug*k | Yn-∞] = 2.σuf*k）；第三λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α） k级-1Xt=1%k-t型uf*tf公司*t型uf*kf公司*k. （28）当%6=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）是一个非退化随机变量，如非正态情况。

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2022-6-6 17:36:45

然而，当%=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）变得等同于0，实际上，关于λu的第一个非零导数是四阶导数。由于这种简并性，我们通过展开\'n（ψ，π，ξ），导出了LRT的渐近分布-`n（ψ）*, π、 ξ）四次。然而，简单地近似n（ψ，π，ξ）是不正确的-`n（ψ）*, π、 ξ）当%6=0时，通过λu的二次函数（和其他项），当%=0时，通过λu的二次函数。这将导致%=0时的不连续性，并且无法提供有效的统一近似。我们通过将\'n（ψ，π，ξ）展开四次，而将\'n（ψ，π，ξ）表示为%λu，λu和其他项，建立了一致近似。对于m≥ 0，定义ζk，m（%）：=Pk-1吨=-m+1%k-t型-12uf*t型uf*k/f*tf公司*k、那么，我们可以将（28）写成λupψ*π（Yk | Yk-1)α(1 - α） pψ*π（Yk | Yk-1） =k-1Xt=1%k-t型uf*tf公司*t型uf*kf公司*k= %ζk，0（%）。（29）注意，ζk，m（%）满足Eθ*[ζk，m（%）| Yk-1.-m] =0，即使在%=0时也是非退化的。在（16）中，将v（λβ）定义为v（λ），但将λ替换为λβ。收集相关参数ast（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！，（30）式中，tλ（λ，π）：=α（1）- α)%λ|||||||||||||||∑+b（α）λu/12λβλ|||||||||||||||, （31）b（α）=-(2/3)(α- α + 1) < 0. 回忆θj=（ζj，σj）=（uj，βj，σj）。与（18）类似，广义得分的要素定义为* sλuβ%ksλuσ%ksλβu%ksλβββ%ksλβσ%ksλσu%ksλβσ%ksλσσ%ksλσ%k=θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型. （32）确定广义得分ass%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=γf*k/f*kθf*k/f*k和sλ%k：=ζk，0（%）/22sλ|||||||||||||||||||||||||||||||||. （33）以下命题建立了对数似然比的统一近似值。假设7。（a） 0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（33）中给出。（b） σ*, σ*> σ.提案9。

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2022-6-6 17:36:49

假设假设1、2、4、5和7成立，第j个区域的密度由（22）给出。然后，在M=1的零假设下，（a）supθ∈Anε（ξ）| t（ψ，π）|=Opε（n-1/2);和（b）对于任何c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√nt（ψ，π）νn（s%k）+nt（ψ，π）I%t（ψ，π）/2= opε（1）。（34）LRT的渐近零分布以2tλGλ的上确界为特征。η%-tλIλ。η%tλ，其中Gλ。η%和Iλ。η%的定义类似于（20）中的定义，但在（33）中定义了s%kde，取tλ和%∈ Θ%在可能值集的限制所暗示的约束下√ntλ（λ，π）为n→ ∞. 该约束由∧λ和∧λ%的并集给出，其中qβ：=dim（β），qλ：=3+2qβ+qβ（qβ+1）/2，且∧λ：={tλ=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ：（t%u，tuσ，tσ，tβu）∈ R×R×R-×Rqβ，tβσ=0，tv（β）=0}，λ%：={tλ=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ：t%u=λu，tuσ=λuλσ，tσ=λσ，tβu=λβλu，tβσ=λβλσ，tv（β）=vβ（λβ），对于某些λ∈ R2+qβ}。（35）注意∧λ%取决于%，而∧λ不取决于%。启发式地，∧∧和∧∧%对应于√当lim infn时，ntλ（λ，π）→∞n1/8 |λu|>0且λu=o（n-分别为1/8）。当lim infn→∞n1/8 |λu|>0，我们有（λσ，λβ）=Op（n-3/8）因为etλ（^λ，π）=Op（n-1/2). 此外，以下可能值的集合√n%λu收敛于R，因为%可以任意小。因此√ntλ（λ，π）的特征是∧∧。定义Zλ%和Iλ。η%如（20）所示，但sπkde如（33）所示。设Zλ0和Iλ。η0表示Zλ%和iλ。η%在%=0时计算。通过λ（~tλ）=inftλ确定▄tλ和▄tλ%∈∧∧rλ（tλ），rλ（tλ）：=（tλ- Zλ0）Iλ。η0（tλ- Zλ0）rλ%（~tλ%）=输入λ∈∧λ%rλ%（tλ），rλ%（tλ）：=（tλ- Zλ%）Iλ。η%（tλ）- Zλ%）。（36）以下命题建立了LRT的渐近零分布。提案10。假设命题9中的假设成立。

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2022-6-6 17:36:52

然后，在M=1的零假设下，LRnd→ 最大{I{%=0}（~tλ）Iλ。η0tλ，sup%∈Θ%（~tλ%）Iλ。η%~tλ%}。备注2。Qu和Zhuo（2017）推导了LRT在%≥ > 0、备注3。我们可以将分析扩展到Andrewsand Ploberger（1994）和Carrasco等人（2014）研究的指数LR型试验。6.3齐次正态分布提供了Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，区域规格为ujbut，方差为σ。我们将γ和θjintoγ=（|γ，σ）和θj=（uj，βj）分开，并写出第j个区域的密度asf（yk | yk-1.γ、 θj）=f（yk | yk-1.γ，θj，σ）=σφyk公司- uj- $（yk）-1.γ，βj）σ, （37）对于某些函数$。考虑以下重新参数化：θθσ=νθ+ (1 - α)λνθ- αλνσ- α(1 - α)λu, （38）式中，νθ=（νu，νβ）和λ=（λu，λβ）。将重新参数化的参数（α除外）收集到一个向量ψα中。从ψα中抑制α，让重新参数化的密度begψ（yk | yk-1，xk）=fyk | yk-1.Иγ，νθ+（qk- α)λ, νσ- α(1 - α)λu. （39）设η=（￠γ，νθ，νσ）；然后，gψ（yk | yk）的一阶和二阶导数-1，xk）关于η和λ的值与（10）中给出的值相同，除了λugψ（yk | yk-1，xk）。我们推导了gψ（yk | yk）的高阶导数-1，xk）相对于λu。从引理6和（25），我们得到ληig*k=d1kθηif*k对于i=0，1，λiug*k=diku如果*k对于i=0，1，4，（40）其中d0k：=1，d1k：=qk- α、 d2k：=（qk- α)- α(1 - α），d3k：=（qk- α)- 3（qk- α)α(1 - α），和d4k：=（qk- α)- 6（qk- α)α(1 - α) + 3α(1 - α). 它来自Eθ*[qk | Yn-∞] = α、（11），并进行了初步计算*[λiug*k | Yk]=0，Eθ*[dik | Yk]=0，i=1，2，Eθ*[d3k | Yk]=α（1- α)(1 - 2α），Eθ*[d4k | Yk]=α（1- α)(1 - 6α + 6α).（41）重复导致（13）–（15）的计算，并使用（41）得出以下结果。

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2022-6-6 17:36:55

第一，（13）和（14）仍然有效；第二，要素λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）由（15）给出，但第（1，1）个元素除外；第三λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1）由（28）给出。此外，附录中的引理8表明，当%=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = α(1 -α)(1 - 2α)uf*k/f*坎德λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k、因为λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） =0当α=1/2和%=0时，我们将n（ψ，π，ξ）展开四次，并用%λu表示，（1- 2α）λu、λu和其他术语，以建立统一近似。收集相关参数ast（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！和tλ（λ，π）：=α（1- α)%λu(1 - 2α)λu(1 - 6α+6α）λuλβλuv（λβ）. （42）确定广义得分ass%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=γf*k/f*kθf*k/f*k和sλ%k：=ζk，0（%）/2sλuk/3！sλuk/4！sλβu%kV（sλββ%k）, （43）式中，ζk，m（%）定义为（29），sλiuk：=u如果*k/f*k对于i=3、4和sλβu%和sλββ%k，如（32）所定义，但使用密度（37）代替（22）。定义为：qβ：=直径（β）和qλ：=3+qβ+qβ（qβ+1）/2，∧λ：={tλ=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ：（t%u，tu，tu，tβu）∈ R×R×R-×Rqβ，tv（β）=0}，λ%：={tλ=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ：对于某些λ，t%u=%λu，tu=tu=0，tβu=λβλu，tv（β）=vβ（λβ）∈ R1+qβ}。（44）以下两个命题对应于命题9和命题10，建立了LRT的对数似然比和渐近分布的统一近似。假设8。0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（43）中给出。提案11。假设假设1、2、4、5和8成立，第j个区域的密度由（37）给出。然后，命题9的陈述（a）和（b）成立。提案12。假设命题11中的假设成立。

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