在H0m下，如果θM=θM+1=θ，则（M+1）-区域模型（46）生成真实的M区域密度（45）*并将XK的过渡矩阵简化为真正M政权模型的过渡矩阵。我们通过写入θM+1，xasθM+1，x=（θxm，πxm）重新参数化xkb的转移概率，其中θxm是在H0m下识别的点，而πxm不是在H0m下识别的点。XkunderθM+1的跃迁概率等于Xkunderθ的跃迁概率*M、 xifand仅当θxm=θ*xm。详细推导，包括θ的定义*附录第11.2.5节提供了xmis。定义Υ的子集*对应于H0masΥ*m：=θM+1∈ ΘM+1：θj=θ*jfor 1≤ j<m；θm=θm+1=θ*m；θj=θ*j-1对于h+1<j≤ M+1；γ = γ*; θxm=θ*xm公司;然后，Υ*= Υ*∪ ··· ∪ Υ*Mholds。对于M=M，M+1，设\'n（θM，ξM）：=对数PMx=1pθM（Yn | Y，x）ξM（x）表示给定初始分布ξM（x）的Mregime对数似然∈ ΞM。我们将ξM（x）视为固定值。Let^θM：=arg maxθM∈ΘM\'n（θM，ξM）和^M+1：=arg maxθM+1∈ΘM+1\'n（θM+1，ξM+1）。以下命题表明，极大似然估计在以下意义上是一致的，即^θM+1和Υ之间的距离*概率趋于0。命题13的证明与命题6的证明基本相同，因此省略。假设9。（a） ΘMandΘM+1紧凑*ΘM.（b）Forall（x，x）内部的Mis∈ X和所有（y、y、w）∈ Y×Y×W，f（Y | Y，W；γ，θ）在（γ，θ）中是连续的。（c） Eθ*M[对数（pθM（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*M[对数pθ*M（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θM=θ*M、 （d）Eθ*M[对数（pθM+1（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*M[对数pθ*M（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θM+1∈ Υ*.提案13。假设假设1、2和9成立。然后，在M=M的零假设下，^θMp→ θ*指令infθM+1∈Υ*|^θM+1- θM+1 | p→ 设LRM，n：=2[`n（ξM+1）- `n（^θM，ξM）]表示用于测试的LRT H：M=Magainst HA：M=M+1。

通过分析μM+1时LRT的行为，我们继续推导LRT的渐近分布∈ Υ*m对于每个m。定义Jm：={m，m+1}。注意如果Xk∈ Jkm，则Xk在jm上遵循一个两态马尔可夫链，其转移概率的特征是αm：=Pθm+1（Xk=m | Xk∈ Jm）和%m：=corrθm+1（Xk-1，Xk |（Xk-1，Xk）∈ Jm）。将重新参数化的πxm收集到πxm：=（%m，αm，φm），其中φmd不会影响Xkwhen Xk的转移概率∈ Jkm。详细推导见附录第11.2.5节。定义qkj：=I{Xk=j}；然后，我们可以写出α和%masαm=Eθm+1（qkm | Xk∈ Jm）和%m=corrθm+1（qk-1，m，qkm |（Xk-1，Xk）∈ Jm）。因为∞-∞没有提供区分Xk=m和Xk=m+1的信息如果θm=θm+1，我们可以写入α和%masαm=Eθm+1（qkm | Xk∈ 吉咪，Y∞-∞) 和%m=corrθm+1（qk-1，m，qkm |（Xk-1，Xk）∈ 吉咪，Y∞-∞).（47）7.1非正态分布对于非正态分量分布，考虑以下类似于（8）的重新参数化：θmθm+1=νm+（1- αm）λmνm- αmλm！。将重新参数化的识别参数收集到一个向量ψm：=（ηm，λm），其中ηm=（γ，{θj}m-1j=1，νm，{θj}m+1j=m+2，θxm），因此重新参数化的（m+1）-状态对数似然函数为` n（ψm，πxm，ξm+1）。Letψ*m=（η*m、 λ*m） =（（θ）*M） ，0）表示ψmunder H0m的值。确定ykasgψm（yk | yk）的重新参数化条件密度-1，xk）：=I{xk∈ Jm}f（yk | yk-1.γ、 νm+（qkm- αm）λm）+Xj∈Jmqkjf（yk | yk-1.γ、 θj），其中Jm：={1，…，M+1}\\Jm。让f*mk表示f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 。

它遵循（47）和迭代期望定律*M“I{Xk∈ Jm}（qkm- αm）gψ*m（Yk | Yk-1，Xk）Yn公司-∞#= Eθ*MEθ*Mqkm- αmf*mk公司Xk公司∈ Jm，Yn-∞I{Xk∈ Jm}Yn公司-∞= 0，Eθ*M“I{Xt∈ Jm}I{Xt∈ Jm}（qth- αm）（qth- αm）gψ*m（Yt | Yt-1，Xt）gψ*m（Yt | Yt-1，Xt）Yn公司-∞#= Eθ*MEθ*M（qth- αm）（qth- αm）f*mtf公司*mt公司Xtt公司∈ Jt公司-t+1米，Yn-∞I{（Xt，Xt）∈ Jm}Yn公司-∞=αm（1- αm）%t-tmf公司*mtf公司*mtPθ*M（（Xt，Xt）∈ Jm | Yn-∞), t型≥ t、 （48）如果第二个等式成立，因为gψ*m（Yk | Yk-1，Xk）=f*mkif Xk∈ Jm，最后一个等式成立，因为，条件是{Xtt∈ Jt公司-t+1米，Yn-∞}, Xttis是一个具有参数（αm，%m）的两态平稳马尔可夫过程。让g*0k，q*0k和p*0表示gθ*M、 y（Yk，Xk | Yk-1，Xk-1） ，qθ*M、 x（Xk-1，Xk），和pθ*M（Yk | Yk-1).允许g级*0k表示gθM，y（Yk，Xk | Yk）的导数-1，Xk-1） 在θ评估*M、 y和定义q*0和p*0k类似。重复类似于（10）–（15）的推导，但使用（48）代替（12），我们获得ηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类θMlog（g*0tq*0吨）Yki-k-1Xt=1Eθ*h类θMlog（g*0tq*0吨）Yk公司-1i=θMpθ*M（Yk | Yk-1） /pθ*M（Yk | Yk-1),(49)λmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1) = 0, λmηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1) = 0, (50)λmλmpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） =αm（1- αm）θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+αm（1- αm）k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（51）定义%：=（%。

，%M），通过将（λ，π）替换为（λM，πM）将（λ，π）定义为（17）中的tλ（λM，πM），并将lett（ψM，πM）：=ηM- η*tλ（λm，πm）！，s %k：=▄sηk▄sλ▄%k！，式中，sηk：=ηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） ，▄sλ▄%k：=sλ%k。。。sMλ%Mk,（52）和smλ%mk：=V（smλλ%mk），其中smλλ%mk的定义类似于（18）假设λλ%mk：=θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（53）与（20）类似，定义Iη：=Eθ*M（▄sηk▄sηk），▄Iλ▄%▄%：=limk→∞Eθ*M（▄sλ▄%k▄sλ▄%k），▄Iλη▄%：=limk→∞Eθ*M（▄sλ▄%k▄sηk），▄Iηλ▄%：=▄Iλη▄%，▄Iλ。η%]%:=Iλ%]%-Iλη%~I-1ηИIηλ∧%，~Imλ。η%m：=Eθ*M[Gmλ.η%M（Gmλ.η%M）]，Zmλ%M：=（∧Imλ.η%M）-1Gmλ。η%m，（54），其中Gλ。η%=（（Gλ.η%），（GMλ.η%M））是一个Mqλ-向量平均值为零的高斯过程，cov（Gλ.η%，Gλ.η%）=Iλ。η ~%~%. 注意Gλ。η%对应于投影的残差▄sλ%kon▄sηk。定义▄tmλ%mbygmλ%m（▄tmλ%m）=inftλ∈v（Rq）gmλ%m（tλ），gmλ%m（tλ）：=（tλ- Zmλ%m）~Imλ。η%m（tλ- Zmλ%m）。下面的命题给出了LRT的渐近零分布。在状态假设下，对数似然函数允许在Υ的邻域内进行二次近似*M与命题7中的相似。定义Amnεc（ξ）：={M+1∈ ΘM+1：{`n（ψM，πM，ξ）-`n（ψ）*m、 πm，ξ）≥ 0} ∧ |t（ψm，πm）|<ε}∪ 北卡罗来纳州/√n、 在H下：M=M，对于任何c>0，对于M=1，M、 且在ξ中均匀∈ Ξ和θM+1∈ Amnεc（ξ），`n（ψm，πm，ξ）- `n（ψ）*m、 πm，ξ）-√nt（ψm，πm）νn（s%mk）+nt（ψm，πm）I%mt（ψm，πm）/2=opε（1），其中s%mk：=（￠sηk，（smλ%mk）），I%m=limk→∞Eθ*M（s%mks%mk）。因此，LRT作为Mrandom变量的最大值呈交感分布，其中每个变量表示测试H0m的LRT的渐近分布。表示%mbyΘ%m的参数空间，并设Θ%：=Θ%×。×Θ%M.假设10。0<inf %∈Θ%λ最小值（▄I▄%）≤ sup %∈Θ%λmax（ΘI %）<∞ 对于▄I▄%：=limk→∞Eθ*M（▄s▄%k▄s▄%k），其中▄s▄%k在（52）中给出。提案14。

假设假设假设1、2、4、9和10成立。然后，在H下：M=M，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，Mnsup%m∈百万欧元%（▄tmλ%m）▄Imλ。η%mtmλ%mo、 7.2异方差正态分布在第6.2节中，我们假设Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，区域特定截距和方差的密度由（22）给出。考虑以下类似于（23）的重新参数化：ζmζm+1σmσm+1=νζm+（1- αm）λζmνζm- αmλζmνσm+（1- αm）（2λσm+Cλum）νσm- αm（2λσm+Cλum）,式中，νζm=（νu，νβ），λζm=（λum，λβm），C：=-（1/3）（1+αm），C：=（1/3）（2- αm）。在第7.1节中，我们将重新参数化的识别参数收集到ψm中：=（ηm，λm），其中ηm=（γ，{θj}m-1j=1，νζm，νσm，{θj}m+1j=m+2，θxm）和λm：=（λζm，λσm）。与（24）类似，定义了ykasgψm（yk | yk）的参数化条件密度-1，xk）=Xj∈Jmqkjf（yk | yk-1.γ、 θj）+I{xk∈ Jm}fyk | yk-1.γ、 νζm+（qkm- αm）λζm，νσm+（qkm- αm）（2λσm+（C- qkm）λum）.让g*mk，f*mk，g级*mk，和f*mk表示gψ*m（Yk | Yk-1，Xk），f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） ，则，gψ*m（Yk | Yk-1，Xk），以及f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 。根据（26）和类似于（48）的推导，我们得到了以下与同质性测试中的（27）相对应的结果：Eθ*Mh公司λiumg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i=0，i=1，2，3，Eθ*Mh公司λumg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i=αm（1- αm）b（αm）(uf*mk/f*mk）Pθ*M（Xk∈ Jm | Yk-∞)= b（αm）Eθ*Mh公司λσmg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i、 （55）重复导致（49）–（51）的计算，并使用（55）得出以下结果。第一，（49）和（50）仍然有效；第二，要素λmλmpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 除（1，1）外，当调整λσmb的导数乘以2时，公式由（51）给出；第三λumpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） =αm（1- αm）k-1Xt=1%k-tm公司uf*mtf公司*mt公司uf*mkf公司*mk公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。对于m≥ 0，定义ζmk，m（%m）：=Pk-1吨=-m+1%k-t型-1平方米(uf*mt公司uf*mk/f*mtf公司*mk）Pθ*M（（Xt，Xk）∈Jm | Yk）。

与（32）类似，将综合得分的要素定义为* smλuβ%mksmλuσ%mksmλβu%mksmλββ%mksmλβσ%mksmλσu%mksmλβσ%mksmλσ%mk:=θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（56）与（33）类似，通过重新定义smλ%mkin（52）assmλ%mk，定义（52）中的s%kas：=ζmk，0（%m）/2 2smλuσ%mk2smλσ%mk（smλβu%mk）2（smλβσ%mk）V（smλβ%hk）. （57）定义Imλ。η%mand Zmλ%mas在（54）中，smλ%mk在（57）中定义。设Zmλ0和Imλ。η0表示Zmλ%和Imλ。η%m在%m=0时计算。定义∧λ如（35）中所示，并通过将%替换为%m来定义∧λ%mas。类似于（36），定义▄tm1λ和▄tm2λ%mby rλ（▄tm1λ）=inftλ∈∧∧rmλ（tλ）and rλ%m（∧tm2λ%m）=inftλ∈∧λ%mrmλ%m（tλ），其中rmλ（tλ）：=（tλ- Zmλ0）Imλ。η0（tλ- Zmλ0）和rmλ%m（tλ）：=（tλ- Zmλ%m）Imλ。η%m（tλ- Zmλ%m）。以下命题建立了LRT的渐近零分布。与非正态情况一样，LRT渐近分布为Mrandomvariables的最大值。假设11。当（57）中给出▄s▄%mk时，假设10成立。提案15。假设假设1、2、4、9和11成立，第j个区域的成分密度由（22）给出。然后，在H下：m=m，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，M{max{I{%M=0}（~tm1λ）Imλ。η0tm1λ，sup%m∈Θm%（Θtm2λ%m）Imλ。η%mtm2λ%m}}。7.3同质正态分布在第6.3节中，我们假设Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，具有区域特定截距和公共方差，其密度由（37）给出。LRT的渐近分布是通过使用重新参数化导出的θmθm+1σ=νθm+（1- αm）λmνθm- αmλmνσm- αm（1- αm）λum,与（38）类似，并遵循第6.3节和第7.2节的推导。为简洁起见，我们省略了推导的细节。

在（53）中定义smλλ%mkas，并表示smλλ%mkassmλλ%mk的每个元素=* smλuβ%mksmλβu%mksmλβ%mk！。与（43）类似，通过重新定义smλ%mkin（52）assmλ%mk，在（52）中定义s%kas：=ζmk，0（%m）/2 smλuk/3！smλuk/4！（smλβu%k）V（smλββ%k）, （58）式中smλiuk：=Pθ*M（Xk∈Jm | Yk）uif（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） /f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 对于i=3，4。以下命题建立了LRT的渐近零分布。假设12。当（58）中给出▄s▄%mk时，假设10成立。提案16。假设假设1、2、4、9和12成立，第j个区域的成分密度由（37）给出。然后，在H下：m=m，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，M{max{I{%M=0}（~tm1λ）Imλ。η0tm1λ，sup%m∈Θ%m（￠tm2λ%m）Imλ。η%mtm2λ%m}，其中tm1λ和tm2λ%m定义为命题15，但根据（Zmλ%m，Imλ.η%m，Zmλ0，Imλ.η0）构造，由（58）中给出的smλ%mk和（44）中定义的∧λ和∧λ%mde构成，但在局部替代下用%m.8渐近分布替换%，在本节中，我们推导了局部替代下LRT的渐近分布。当我们关注测试H:M=1和HA:M=2的情况时，很容易将分析扩展到测试H:M=Magainst HA:M=M+1和HA:M=2的情况≥ 2、给定π∈ Θπ，我们定义了一个局部参数h：=√nt（ψ，π），所以h=hηhλ=√n（η- η*)√ntλ（λ，π）！，其中，tλ（λ，π）在不同模型中有所不同，由（18）、（31）和（42）给出。Givenh=（hη，hλ）和π∈ Θπ，我们考虑连续局部替代序列θn=（ψn，πn）=（ηn，λn，πn）∈ η×λ×π使得hη=√n（ηn- η*), hλ=√ntλ（λn，πn）+o（1）和πn- π=o（1）。（59）设Pnθ，xbe{Yk}nk=1上的概率测度，以Y，X和Wn的值为条件。

然后，对数似然比由logdpnθn，xdPnθ给出*,x=`n（ψn，πn，x）- `n（ψ）*, π、 x）=logPxnQnk=1fk（ηn，λn）qπn（xk-1，xk）Qnk=1fk（η*, 0)!,其中，对于非正态分布、异方差正态分布和同方差正态分布模型，fk（η，λ）分别由（9）、（24）和（39）的右侧定义。下面的结果来自Le Cam的第一个和第三个引理，有助于推导Pnθn，x命题17下LRT的渐近分布。假设命题7、9和11的假设分别适用于非正态、异方差正态和同余方差正态分布的模型。然后，在x中均匀∈ 十、 （a）Pnθn，xis相对于Pnθ相互相邻*,x、 （b）根据n，x，我们有log（dPn，x/dPn*,x） =hνn（s%nk）-hI%h+op（1），带νn（s%nk）d→ N（I%h，I%）。8.1非正态分布对于非正态分布，连续局部备选方案的序列由λn=(R)λ/n1/4给出，因为hλ=√nα（1-α） v（λn）=α（1）-α） v（(R)λ）保持不变。以下命题导出了H1n下非正态分布的LRT的渐近分布：（πn，ηn，λn）=（(R)π，η）*,？/λ/n1/4）。提案18。假设命题8的假设成立。对于“π”∈ π和λ6=0，定义hλ：=’α（1- (R)α）v（(R)λ）。然后，在H1n下：（πn，ηn，λn）=（(R)π，η）*,λ/n1/4），我们有→ sup%∈Θ%（~tλ%h）Iλ。η%~tλ%h，其中tλ%定义如（21）所示，但将（21）中的Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hλ。8.2异方差正态分布对于异方差正态分布的模型，特征为（59）的连续局部备选序列包括n阶局部备选序列-1/8.提案19。假设命题10的假设适用于模型（22）。

对于“”%∈(-1, 1), α ∈ （0，1）和||Μ：=（|u，|σ，|β）6=（0，0，0），letHa1n：（%n，αn，ηn，λun，λσn，λβn）=（|%/n1/4，|α，η*,\'λu/n1/8，\'λσ/n3/8，\'λβ/n3/8），Hb1n：（%n，αn，ηn，λun，λσn，λβn）=（\'%，\'α，η）*,？λu/n1/4、？λσ/n1/4、？λβ/n1/4）和定义λ：=？α（1- \'（α）×（\'%\'λu，\'λu\'λσ，b（\'α）\'λu/12，\'λβ\'λu，0，0），hbλ：=\'（1- \'α）×（\'%\'λu，\'λu\'λσ，\'λσ，\'λβ\'λu，\'λβ\'λσ，v（\'λβ））。那么，对于j∈ {a，b}，在Hj1n下，我们有LRnd→ max{I{%=0}（~t1jλh）Iλ。η0t1jλh，sup%∈Θ%（~t2jλ%h）Iλ。η%~t2jλ%h}，其中▄t1jλhand▄t2jλ%hare定义如（36）所示，但将Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hjλ。在局部替代方案Ha1n中，%nConverge为0，λunConverge为0的速度比n慢-1/4. 我们的测试对%=0附近的这些局部备选方案具有非同寻常的威力。相比之下，正如Carrasco et al.（2014）第5节所述，Carrasco et al.（2014）的测试对%=0附近的当地备选方案没有影响力。Qu和Zhuo（2017）提出的测试假设%以零为界，因此他们的测试规则为n。8.3同余正态分布具有同余正态分布的模型的局部备选方案也包括n阶方案-1/8在%=0附近。提案20。假设命题11的假设适用于模型（37）。对于“”%∈(-1, 1), α ∈ (0, 1), α6=0，且|λ：=（|λu，|λβ）6=（0，0），letHa1n：（%n，αn，ηn，λun，λβn）=（|%/n1/4，1/2+α/n1/8，η*,\'λu/n1/8，\'λβ/n3/8），Hb1n：（%n，αn，ηn，λun，λβn）=（\'%，\'α，η）*,？λu/n1/4，？λβ/n1/4），定义haλ：=（1/4）×（？%？λu，αλu, -|||||||||||||Μ/2，|||Μβ||u，0）和hbλ：=||α（1-？）×（？%？λu，0，0，？λβ？λu，v（？λβ））。对于j={a，b}，定义▄t1jλhand▄t2jλ%在（36）中，但将Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hjλ，其中iλ。η%和Gλ。η%由（43）中定义的s%kde构成，∧λ和∧λ%由（44）中定义。

那么，在Hj1n下，我们有LRnd→ max{I{%=0}（~t1jλh）Iλ。η0t1jλh，sup%∈Θ%（~t2jλ%h）Iλ。η%~t2jλ%h}。9参数引导我们考虑以下参数引导，以获得我们LRT的引导临界值cα，带引导p值，用于测试H：M=Magainst HA：M=M+1.1。使用观测数据，计算^θM、^M+1和LRM，n.2。给定θM和ξM，在hw下生成B个独立样本{Yb，…，Ybn}Bb=1，且θM=θM条件为yand Wn的观测值。3、对于每个模拟样本{Ybk}nk=1（Y，Wn），在步骤1中估计^θbM和bM+1as，并让LRbM，n：=2[`n（θbM+1，ξM+1）- `n（^θbM，ξM）]，对于b=1，B、 4。设cα，Bbe为（1- α） 分位数{LRbM，n}Bb=1，并确定引导p值asB-1PBb=1I{LRbM，n>LRM，n}。以下命题显示了测试h的引导临界值cα，bf的一致性：M=1。我们省略了测试H:M的结果≥ 2.很容易将分析扩展到M的情况≥ 2带有更繁琐的符号。提案21。假设命题7、9和11的假设分别适用于非正态、异方差正态和同余方差正态分布的模型。然后，在命题18、19和20.10模拟和经验应用10.1模拟中描述的局部备选方案下，引导临界值cα、B收敛到概率asn和B的渐近临界值，我们考虑以下两种模型：模型1：Yk=uXk+βYk-1+εk，εk~ N（0，σ），（60）模型2：Yk=uXk+βYk-1+εk，εk~ N（0，σXk），（61），其中Xk∈ {1，…，M}，其中pij=p（Xk=i | Xk-1=j）。（60）中的模型1与Cho和White（2007）中使用的模型相似。该模型具有切换截距，但方差参数σ不会在不同区域之间切换。

在（61）中的模型2中，截距和方差参数都会在区域间切换。我们比较了我们的引导LRT的大小和功率特性，以及Cho和White（2007）的QLR测试的大小和功率特性，其中Θu=[-2，2]和Carrasco等人（2014）用ρ进行的supTS检验∈ [-0.9.0.9]. 临界值通过B=199个引导样本的引导计算得出。注意，这种比较有利于LRT而不是supTS测试，因为supTS测试旨在检测包括马尔可夫链在内的一般参数变化。在模型2中，我们将σ的下界设置为σ=0.01^σ，其中^σ是一个状态模型的σ估计值。我们还发现，在对数似然函数中加入惩罚项可以改善LRT的有限样本特性。惩罚项防止σj取极值，并采用以下形式-anPMj=1{σ/σj+对数（σj/σ）- 1}. 我们设置an=20n-1/2并使用无惩罚项的对数似然函数计算检验统计量。由于罚项及其导数是ΘM紧性的op（1），添加该罚项不会影响MLE的一致性或LRT的渐近分布。当数据由H:M=1和（β，u，σ）=（0.5，0，1）生成时，我们首先检查H:M=1和HA:M=2的拒绝频率。表1中的第一个面板报告了启动测试在标称10%、5%和1%水平下的拒绝频率，超过3000次重复，n=200和500。总的来说，所有的测试都有很好的尺寸。表2报告了在名义水平为5%的情况下，三种检验M=1的无效假设的效力。我们通过设置u=0.2、0.6和1.0以及u=-u，而（p，p）=（0.25，0.25），（0.50，0.50），（0.70，0.70）和（0.90，0.90）。

我们为模型1设置σ=1，为模型2设置（σ，σ）=（1.1，0.9）。对于模型1，除（p，p）=（0.9，0.9）的supTS测试外，所有测试的功率均随u的增加而增加。随着（p，p）远离（0.5，0.5），轻轨的功率增加，而QLRT的功率降低。LRT的性能优于supTS和QLR测试，除了（p，p）=（0.25，0.25）的情况下，supTS测试的性能非常好，以及（p，p）=（0.5，0.5）的情况下，QLRT的性能优于LRT，因为在这种情况下，真正的模型是一种有限的混合物。表2的最后三列报告了LRT和SUPTS测试检测具有切换方差的替代模型（即M=2的模型2）的能力。我们没有检查QLRT的功率，因为该测试假设非切换方差。在大多数情况下，TRT比supTS测试具有更强的能力。表1中的第二个面板报告了在零假设下生成数据时，LRT测试H：M=2against HA：M=3的拒收频率，显示其良好的尺寸特性，而QLRT和supTS测试均不适用于H：M=2 against HA：M=3的测试。表3报告了我们的LRT在名义水平为5%时检验M=2的无效假设的能力。在M=3的替代假设下，我们生成了n=500的3000个数据集，将（u，u，u）和（p，p，p）的不同值与pij=（1- j 6=i时，pii）/2，其中weset（β，σ）=（0.5，1.0）用于模型1，weset（β，σ，σ）=（0.5，0.9，1.2）用于模型2。与H：M=1的情况类似，当备选方案离Hor更远时，当潜在状态变得更持久时，LRT测试H：M=2与HA：M=3的能力增加。10.2经验示例使用美国。

从1960年第一季度到2014年第四季度的人均GDP季度增长率数据，我们估计了M=1、2、3和4的具有共同方差（即（60）中的模型1）和具有切换方差（即（61）中的模型2）的制度切换模型，并依次检验了M=Magainst的无效假设，以及M=1、2、3和4的替代假设M=M+1。我们还报告了Akaikeinformation准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC），以供参考，尽管据我们所知，文献中尚未确定AIC和BIC在选择制度数量方面的一致性。表5报告了AIC、BIC和LRT选定的制度数量。对于具有共同方差的模型（60），我们的LRT选择M=4，而AIC和BIC分别选择M=3和M=1。对于具有切换方差的模型（61），LRT和AIC都选择M=3，而BIC选择M=2。表4和图1中的A组报告了M=2、3和4的共同方差模型的参数估计值和处于每个状态的后验概率。在M的不同规格中，u、u、…、，uMare在公共方差模型中被很好地分开，表明每个制度代表一个繁荣或衰退期，具有不同的程度。在图1中，当制度数量指定为M=2时，“衰退”制度（制度1）相对于“繁荣”制度（制度2）的后验概率在2008年雷曼兄弟破产期间急剧上升，然后在2009年后下降。当制度数量规定为M=3时，除了分别对应于制度1和2的“衰退”和“繁荣”制度外，制度3还捕捉到了增长率从低到高快速变化的制度；对于图1中M=3的模型，在2009年末，当美国。

经济开始从雷曼破产中复苏。对于这两种模型，我们通过设置 = 0.05，以防止出现无限可能性问题。当制度数量被指定为M=4时，制度1现在捕捉到增长率从高到低的快速变化，当美国经济增长率在雷曼兄弟破产期间迅速下降时，制度1的后验概率变高。LRT选择了包含四种制度的模型，这些制度反映了雷曼兄弟破产期间美国人均GDP增长率的快速变化。表4和图2的B组分别报告了具有切换方差的模型的参数估计和处于每个状态的后验概率。当制度数量规定为M=2时，两种制度之间的方差参数估计值非常不同，而截距估计值相似，表明制度1是“低波动”制度，而制度2是“高波动”制度。当制度数量为M=3时，不同的制度在增长率和波动率方面反映了美国经济的不同状态。制度1的特点是具有高波动性的截距负值，捕捉到一个衰退期。制度2的特点是利率为正值，波动率低，经济繁荣/稳定。制度3的特点是高截距值和高方差，既反映了增长率的快速恢复，也反映了2009年雷曼兄弟破产后的高波动性。

当模型具有切换方差时，LRT选择具有三种模式的模型。11附录从今以后，为了符号简洁，我们在条件变量和条件密度上抑制Wbafrom，这样做不会引起混淆。11.1命题和推论的证明命题1的证明。这个证明与DMR中引理2的证明基本相同。因此，省略细节。与DMR的唯一区别是（i）我们没有强加DMR的假设（A2），但这并不影响证明，因为假设（A2）没有用于DMR中引理2的证明，以及（ii）我们有Wn，但引理11（a）扩展了DMR的推论1以适应Wk。因此，DMR证明的论点得以通过。命题2的证明。定义hθkx：=plθkx-1、使用2 log（1+x）=2x的泰勒展开式- x（1+o（1））对于小x，我们有，在x中均匀∈ X和θ∈ 北卡罗来纳州/√n、 `n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）=2nXk=1log（1+hθkx）=nPn（2hθkx- [1+op（1）]hθkx）。（62）我们可以用标准LRT给出的切换方差M=3，用从两个自由度的卡方分布获得的临界值，检验模型中σ=σ=σ的无效假设。轻轨S=2×(-297.01+307.39）=20.76，σ=σ=σ的无效假设在1%显著水平上被拒绝，这表明具有切换方差的模型比具有共同方差的模型更合适。如果我们证明supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nnPn（hθkx）- ntθIπtθ/4= op（1）和（63）supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√n | nPn（hθkx）-√ntθνn（sπk）/2+ntθIπtθ/8 |=op（1），（64），因为（62）的右侧等于√ntθνn（sπk）- tθIπtθ/2+op（1）一致inx∈ X和θ∈ 北卡罗来纳州/√n、 我们第一次展示（63）。设mθk：=tθsπk+rθk，因此lθkx- 1=mθk+uθkx。注意Max1≤k≤nsupθ∈北卡罗来纳州/√n | mθk |=最大值1≤k≤nsupθ∈北卡罗来纳州/√n | tθsπk+rθk |=来自假设3（a）和（c）以及引理10的op（1），（65）。

将4Pn（hθkx）写入4Pn（hθkx）=Pn4（lθkx- 1） （plθkx+1）！=Pn（lθkx- 1)- Pn（lθkx- 1） （plθkx+3）（plθkx+1）！。（66）根据假设3（a）（b）（c）（e）（f）和（e | XY |）≤ E | X | E | Y |均匀地∈Nε，Pn（lθkx-1） =tθPn（sπksπk）tθ+2tθPn[sπk（rθk+uθkx）]+Pn（rθk+uθkx）=tθPn（sπksπk）tθ+ζnx，（67），其中ζnx满足∈X |ζθnx |=Op（| tθ| |ψ）-ψ*|) + Op（n-1 | tθ| |ψ-ψ*|) + Op（n-1|ψ -ψ*|).那么，（63）成立，因为supπ∈Θπ| Pn（sπksπk）-Iπ|=op（1），且（66）右侧的第二项由（65）Pn（mθk）=tθIπtθ+op（| tθ|）和假设3（e），C supx限定∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn公司|mθk |+3mθk | uθkx |+3 mθk | uθkx+ C supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn（| uθkx |）≤ op（1）supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn公司mθk+uθkx+ C supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn（| uθkx |）=op（n-1).我们继续展示（64）。考虑hθkx的下列展开式：hθkx=（lθkx- 1)/2 - hθkx/2=（tθsπk+rθk+uθkx）/2- hθkx/2。（68）然后，（64）遵循（63）、（68）和假设3（d）和（e），所述结果如下。命题3的证明。对于第（a）部分，它遵循日志（1+x）≤ x和hθkx=（lθkx- 1)/2 -hθkx/2（见（68））`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）=2nXk=1log（1+hθkx）≤ 2nPn（hθkx）=√nνn（lθkx- 1) - nPn（hθkx）。（69）观察hθkx=（lθkx-1） /（plθkx+1）≥ I{lθkx≤ κ} （lθkx-1)/(√κ+1）对于任何κ>0。因此，Pn（hθkx）≥ (√κ + 1)-2PnI{lθkx≤ κ} （lθkx- 1). （70）将（67）代入（70）givesPn（hθkx）的右侧≥ (√κ + 1)-2tθPn（sπksπk）- Pn（I{lθkx>κ}sπksπk）tθ+ζθnx。（71）根据H¨older不等式，我们得到Pn（I{lθkx>κ}| sπk |）≤ [Pn（I{lθkx>κ}）]δ/（2+δ）[Pn（| sπk | 2+δ）]2/（2+δ）。右侧不大于κ-δ/（2+δ）Op（1）在x上均匀分布∈ X和θ∈ Nε，因为（i）它来自于κi{lθkx>κ}≤ lθkxthat Pn（I{lθkx>κ}）≤ κ-1Pn（lθkx）和SUPX∈Xsupθ∈Nε| Pn（lθkx）-1 |=假设3（d）–（g）中的op（1）和（ii）Pn（supπ∈Θπ| sπk | 2+δ）=来自假设3（a）的Op（1）。

因此，P（supx∈Xsupθ∈NεPn（I{lθkx>κ}| sπk |）≥λmin/4）→ 0为κ→ ∞, 因此我们可以把（71）写成Pn（hθkx）≥ τ（1+op（1））tθIπtθ+op（| tθ|ψ- ψ*|) + Op（n-1） 对于τ：=(√κ + 1)-2/2>0，取κ足够大。因为√nνn（lθkx-1) =√ntθνn（sπk）+Op（1）根据假设3（d）和（e），可以从（69）得出，在x∈ X和θ∈ Nε，-η ≤ `n（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）≤√ntθνn（sπk）-τ（1+op（1））ntθIπtθ+op（n | tθ|ψ）-ψ*|)+Op（1）。（72）设Tn：=I1/2π√ntθ。根据（72），假设3（b）和（g），以及事实ψ- ψ*→ 如果tθ，则为0→ 0，我们得到如下结果：对于任何δ>0，存在ε>0和M，n<∞ 这样的话Pinfx公司∈辛夫θ∈Nε|Tn | M-（τ/2）| Tn |+M≥ 0≥ 1.- δ、 对于所有n>n.（73），重新排列P（·）中的术语得到supx∈Xsupθ∈Nε（| Tn）|-（M/τ））≤ 2M/τ+（M/τ）。取其平方根得到P（supx∈Xsupθ∈Nε| Tn |≤ M）≥ 1.-δ表示常数M，第（a）部分如下。（b）部分来自（a）部分和命题2。推论1的证明。因为对数是单调的，所以我们有infx∈X`n（ψ，π，X）≤`n（ψ，π，ξ）≤ supx公司∈X`n（ψ，π，X）。第（a）部分接着是命题2。对于第（b）部分，请注意我们有θ∈ ε（ξ，η）仅当θ∈ 对于某些x，ε（x，η）。因此，第（b）部分来自命题3。命题4的证明。首先，观察当右侧替换为Kj（k+m）ρb（k+m）时，零件（a）和（b）保持不变-1） /24cand Kj（k+m）ρb（k+m-1） /1340通过使用引理2和引理4，并注意到q=6q，q=5q，q=4q，q=q。例如，当j=2时，我们可以绑定supx∈Xsupθ∈N*|`k、 m，x（θ）- j2`k，m（θ）|自`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+1,12，k，m，x（θ），supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）-I（j）j，k，m（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /24c，KI（j）∈ LrI（j）（Pθ*), r（2）=q=5q，r（1,1）=q/2=3q。第二，让ρ*= ρ1/1340I{ρ>0}和重新定义Kjgivesparts（a）和（b）。部分（c）和（d）来自引理2和4。命题5的证明。首先，我们证明（a）部分。

（b）部分的证明与（a）部分的证明基本相同，因此省略了。请注意ljk，m，x（θ）- ljk，m（θ）=ψjk，m，x（θ）pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）-pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m） 哦+pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）ψjk，m，x（θ）- ψjk，m（θ）,式中，ψjk，m，x（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x），ψjk，m（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m） pθ（Yk | Yk-1.-m） 。根据引理5和H¨older不等式，如果j=1，…，第（a）部分成立，6，存在随机变量（{Aj，k}nk=1，Bj）∈ Lq（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ 0，（A）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|ψjk，m，x（θ）|≤ Aj，k，（B）supx∈Xsupθ∈N*|ψjk，m，x（θ）-ψjk，m（θ）|≤ Bj（k+m）ρk+m-1.*.（74）我们显示（A）和（B）。从（91）我们有，从`k、 m，x，ψk，m，x=`k、 m，x，ψk，m，x=`k、 m，x+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+3`k、 m，x`k、 m，x+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+4`k、 m，x`k、 m，x+3(`k、 m，x）+6`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+5`k、 m，x`k、 m，x+10`k、 m，x`k、 m，x+10`k、 m，x(`k、 m，x）+15(`k、 m，x）`k、 m，x+10`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+6`k、 m，x`k、 m，x+15`k、 m，x`k、 m，x+15`k、 m，x(`k、 m，x）+10(`k、 m，x）+60`k、 m，x`k、 m，x`k、 m，x+20`k、 m，x(`k、 m，x）+15(`k、 m，x）+45(`k、 m，x）(`k、 m，x）+15`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x）和ψjk，误写类似于j\'k，mreplacing因此，（74）项中的（A）项来自命题4（c）和H¨older不等式。（B） of（74）来自命题4（a）（c），关系式ab- cd=a（b- c）- c（a- d） ，an- bn=（a- b） Pn编号-1i=0（an-1.-ibi）和H¨older不等式。对于第（c）部分ljk，m，x（θ）来自于写作ljk，m，x（θ）=[pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）/pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）]ψjk，m，x（θ），并使用（74）和引理5。jlk，m（θ）以类似的参数为界。第（d）部分来自第（a）–（c）部分，Lq的完整性（Pθ*), Markov\'sinequality和Borel-Cantelli引理。

第（e）部分由第（a）部分和第（b）部分组合而成，并让m→ ∞ 第（b）部分。命题6的证明。^θ的一致性来自Newey和McFadden（1994）的定理2.1，因为（i）θ*唯一最大化Eθ*假设5（c）中的log f（Y | Y，W；γ，θ）和（ii）supθ∈Θ| n-1\'0，n（θ）- Eθ*对数f（Y | Y，W；γ，θ）| p→ 0和Eθ*log f（Y | Y，W；γ，θ）是连续的，因为（Yk，Wk）从假设1（e）andEθ来看是严格平稳和遍历的*supθ∈Θ| log f（Y | Y，W；γ，θ）|<∞ 根据假设2（c）。我们接着证明了^θ的一致性。定义，类似于DMR第2265–6页，k、 m，x（θ）：=对数pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x），k、 m（θ）：=对数pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） ，则，k∞（θ）：=limm→∞k、 m（θ），and`（θ）：=Eθ*[0,∞(θ)]. 观察到引理3和4以及DMR的命题2对我们的{k、 m，x（θ），k、 m（θ），k∞（θ），`n（θ，x），`（θ）}在我们的假设下，因为（i）我们的假设1（e）可以取代他们在引理3和4以及命题2的顶部的假设（A2），并且（ii）我们的引理11（a）扩展了DMR的推论1以适应Wk。因此，（i）`（θ）最大化当且仅当θ∈ Γ*根据假设5（d），因为Eθ*[对数pθ（Y | Y-m、 W-m） ]在θasm中一致收敛到`（θ）→ ∞ 根据DMR引理3和支配收敛定理，（ii）`（θ）是DMR引理4的连续引理，（iii）supξsupθ∈Θ| n-1\'n（θ，ξ）-`（θ）| p→ 0与DMR和\'n（θ，ξ）的命题2保持一致∈ [最小n（θ，x），最大n（θ，x）]。因此，infθ∈Γ*|^θ-θ| p→ 0源自Newey和McFadden（1994）的定理2.1，并对`（θ）的最大值是一个集合而不是一个单子这一事实进行了调整。命题7的证明。我们通过将推论1应用于lθkx来证明所述结果- 1（4）中定义了lθkxd。因为lθkx的一阶和二阶导数- 1扮演分数的角色，weexpand lθkx- 1关于ψ直到三阶。设q=dim（ψ）。

对于k×1矢量a，定义ap： =a一··· a（p倍）和一p： =一一···  a（p次）。回想一下，f（x）与x的（p+1）阶泰勒展开式∈ RQ轮x=x*由f（x）=f（x）给出*) +pXj=1j！（十）j） f（x*)（十）- x个*)j+（p+1）！（十）（p+1））f（x）（x- x个*)（p+1），其中x位于x和x之间*, x可能会因元素的不同而不同x个（p+1）f（x）。选择 > 0非常小，因此N是N的子集*在假设4中。对于m≥ 0和j=1，2。，设∧jk，m，x-m（ψ，π）：=ψjpψπ（Yk | Yk-1.-m、 x个-m） j！pψ*π（Yk | Yk-1.-m、 x个-m） ，λjk，m（ψ，π）：=ψjpψπ（Yk | Yk-1.-m） j！pψ*π（Yk | Yk-1.-m） ，和ψ := ψ - ψ*. 使用此符号，展开lθkx- 1围绕ψ三次*当fixingπ给出时，使用ψ∈ [ψ, ψ*],lθkx- 1=∧k，0，x（ψ*, π)ψ+λk，0，x（ψ*, π)(ψ)2+λk，0，x（ψ，π）(ψ)3=∧k，0（ψ*, π)ψ+λk，0（ψ*, π)(ψ)2+λk，0（ψ，π）(ψ)3+ukx（ψ，π），（75），其中ψ可以在∧k，0，x（ψ，π）和ukx（ψ，π）的元素之间变化：=Pj=1[λjk，0，x（ψ*, π)-∧jk，0（ψ*, π)](ψ)j+[λk，0，x（ψ，π）- ∧k，0（ψ，π）](ψ)3、注意到λpψ*π（Yk | Yk-1） =0和ληpψ*π（Yk | Yk-1） =0从（13），我们可以重写（75）aslkθx- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（ψ，π）+ukx（ψ，π），（76），其中s%k定义于（17），rk，0（ψ，π）：=e∧k，0（π）(η)2+λk，0（ψ，π）(ψ)其中e∧k，0（π）表示∧k，0（ψ）的部分*, π） 对应于(η)2、对于m≥ 0，定义vk，m（θ）：=（λk，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π）），定义vk，∞（θ）：=limm→∞vk，m（θ）。为了将推论1应用于lθkx- 1、我们首先展示∈NPn【vk，0（θ）vk，0（θ）】- Eθ*[vk，∞（θ）vk，∞(θ)]= op（1），（77）νn（vk，0（θ））=> W（θ），（78），其中W（θ）是具有Eθ的平均零连续高斯过程*[W（θ）W（θ）]=Eθ*[vk，∞（θ）vk，∞(θ)].

（77）因supθ而保持∈NPn[vk，0（θ）vk，0（θ）- vk，∞（θ）vk，∞（θ）]=提案5中的op（1）和vk，∞（θ）vk，∞（θ）满足统一的大数定律（Newey和McFadden（1994）的引理2.4和脚注18），因为vk，∞（θ）从jlk，m，x（θ）和命题5，以及Eθ*supθ∈N|vk，∞(θ)|< ∞ 来自提案5。（78）因supθ而保持∈Nνn（vk，0（θ）- vk，∞（θ））=来自命题5的op（1）和νn（vk，∞(θ)) => W（θ）来自Pollard（1990）的定理10.2，因为（i）θ的空间是完全有界的，（ii）νn（vk，∞（·））收敛于鞅CLT中的W（·），因为evk，∞（θ）是一个静止的L（Pθ*) 所有θ的鞅差序列∈ N根据命题5和（iii）{νn（vk），∞（·））：n≥ 1} 根据Hansen（1996b）的定理2是随机等连续的，因为vk，∞（θ）在θ和vk中是Lipschitz连续的，∞（Pθ）和Lipschitz系数为inLq（Pθ*) 命题5中的q>dim（θ）。我们继续证明（76）右侧的条款满足假设3（a）–（g）。观察t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. 首先，s%K通过命题5、（77）、（78）和假设6满足假设3（a）、（b）和（g）。其次，rk，0（ψ，π）满足命题5和（78）中的假设3（c）和（d）。第三，ukx（ψ，π）满足命题5（c）的假设3（e）和（f）。因此，所述结果来自推论1（b）。命题8的证明。该证明类似于Kasahara和Shimotsu（2015）的命题3。设tη：=η- η*和tλ：=α（1- α） v（λ），使t（ψ，π）=（tη，tλ）。设^ψπ：=arg maxψ∈Θψ\'n（ψ，π，ξ）表示ψ的MLE，将t（^ψπ，π）拆分为t（^ψπ，π）=（^tη，^tλ），其中我们抑制了^tη和^tλ对π的依赖性。定义G%n：=νn（s%k）。

LetG%n=“GηnGλ%n#，Gλ。η%n：=Gλ%n- Iλη%I-1ηGηn，Zλ。η%n：=I-1λ.η%Gλ。η%n，tη。λ%：=tη+I-1ηIηλ%tλ。然后，我们可以写出（19）assupξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）2[`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ)] - 安(√ntη。λ%) - B%n(√ntλ）= op（1），（79），其中（tη.λ%）=2tη。λ%Gηn- tη。λ%Iηtη。λ%，B%n（tλ）=2tλGλ。η%n- tλIλ。η%tλ=Zλ%nIλ。η%Zλ%n- （tλ- Zλ%n）Iλ。η%（tλ）- Zλ%n）。（80）观察2[`0n（^θ）- `0n（θ*)] = 最大η[2√ntηGηn- ntηIηtη]+op（1）=最大η。λ%An(√ntη。λ%+op（1），将推论1应用于\'0n（θ），并注意到√ntη和√ntη。λ%接近Rdim（η）。结合（79），我们得到，在π中一致∈ π，2[`n（ψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]=B%n(√n^tλ）+op（1）。（81）用B%n定义tλ(√ntλ）=最大值λ∈α(1-α） v（λ）B%n(√ntλ）。那么，我们有2[`n（φψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]=B%n(√ntλ）+op（1），在π中均匀∈ π，因为（i）B%n(√ntλ）≥ 2[`n（^ψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]+op（1）来自tλ和（81）的定义，以及（ii）2[`n（^ψπ，π，ξ）-`0n（^θ）]≥ B%n(√n▄tλ）+op（1），从^ψ（79）的定义，以及▄tλ=op（n-1/2).最后，给出了sup%B%n的渐近分布(√ntλ）源自于将Andrews（2001）的定理1（c）应用于B%n(√ntλ）。首先，Andrews（2001）的假设2基本上适用于B%n(√ntλ）。其次，Andrews（2001）的假设3被（78）和假设6所满足。Andrews（2001）的假设4符合命题7。假设5*Andrews（2001）holdswith BT=n1/2，因为α（1- α） v（Θλ）局部等于锥v（Rq），前提是α（1- α） 所有α>0∈ Θα. 因此，sup%∈Θ%B%n(√ntλ）d→ sup%∈Θ%（~tλ%Iλ.η%~tλ%）源自Andrews（2001）的定理1（c）。命题9的证明。证明类似于命题7。定义∧jk，m，x-m（ψ，π）和∧jk，m（ψ，π），如命题7的证明。

扩展lkθx- ψ周围1/5倍*与（75）类似，当fixingπ给出时，使用ψ∈ [ψ, ψ*],lkθx- 1=Xj=1∧jk，0（ψ*, π)(ψ)j＋∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ukx（ψ，π），（82），其中ukx（ψ，π）：=Pj=1[λjk，0，x（ψ*, π)-∧jk，0（ψ*, π)](ψ)j+[λk，0，x（ψ，π）-∧k，0（ψ，π）](ψ)定义pψπk，0：=pψπ（Yk | Yk-1). 观察（33）满意度%k中定义的s%kde：=ηpψ*πk，0/pψ*πk，0ζk，0（%）/2λuλσpψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0λσpψ*πk，0/2α（1- α） pψ*πk，0λβλupψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0λβλσpψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0V(λβλβpψ*πk，0）/α（1）- α） pψ*πk，0.注意到λpψ*π（Yk | Yk-1） =0和ληpψ*π（Yk | Yk-1） =0从（13）和（14）中，我们可以将（82）重写为，其中t（ψ，π）和s%kde定义在（30）和（33）中，lθkx- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（π）+ukx（ψ，π），（83），其中rk，0（π）：=e∧k，0（π）τ（ψ）+∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ λu[λupψ*πk，0- b（α）λσpψ*πk，0]/4！pψ*πk，0，τ（ψ）是收集{(ψ)j} j=2不在t（ψ，π）中，且∧k，0（π）表示{∧jk，0（ψ）对应元素的向量*, π） }j=2。如果（83）右侧的项满足假设3，则所述结果来自推论1。与命题8的证明类似，定义vk，m（θ）：=（ζk，m（%），∧k，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π））。注意，ζk，m（%）满足命题5，因为中值定理和λupψ*0α（Yk | Yk-1.-m） =0表示ζk，m（%）=[λupψ*%α（Yk | Yk-1) -λupψ*0α（Yk | Yk-1)]/[%α(1-α） pψ*%α（Yk | Yk-1)] = %λupψ*α%（Yk | Yk）-1.-m） /[α（1-α） pψ*\'%α（Yk | Yk-1.-m） “%”的∈ [0, %]. 因此，vk，∞（θ）：=limm→∞vk，m（θ）定义良好，vk，0（θ）和vk，∞（θ）通过重复命题8证明中的论点来满足（77）–（78）。我们继续证明（83）右侧的项满足假设3。观察t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. s%k和ukx（ψ，π）满足假设3，即s%k是vk，0（θ）的线性函数，并在命题7b的证明中使用变元，将假设6替换为假设7。

我们证明rk、0（π）的每个分量都满足假设3（c）和（d）。第一，∧k，0（ψ，π）(ψ)5满足命题5的假设3（c）和（d），（78）和λu=（12λu/b（α））[λσ+b（α）λu/12]- 12（λσ/b（α））λ|||||σ=O（|ψ| | t（ψ，π）|）。第二，λu[λupψ*πk，0- b（α）λσpψ*πk，0]/pψ*πk，0满足引理7（b）中的假设3（c）和（d）。第三，forek、 0（π）τ（ψ），观察ληjpψ*πk，对于任何j，0=0≥ 1鉴于（24）–（27）。因此，ek、 0（π）τ（ψ）写为，带η := η - η*,ek、 0（π）τ（ψ）=(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0+R3kθ+R4kθ，（84），其中R3kθ：=(ψ3） pψ*πk，0(ψ)3/3!pψ*πk，0andR4kθ：=[(ψ4） pψ*πk，0(ψ)4.- λupψ*πk，0λu]/4！pψ*πk，0。（85）（84）中的第一项明显满足假设3（c）和（d）。R3kθ中的术语属于以下三组中的一组：（i）与λσ相关的术语，（ii）与λu相关的术语，或（iii）其他术语。这些项满足假设3（c）和（d），因为项（i）以|ψ| | t（ψ，π）|为界，因为λσ=λσ[λσ+b（α）λu/12]- （λub（α））λuλσ/12，项（ii）以引理7（a）中的%λu为界，而（iii）中的项以|ψ| t（ψ，π）|为界，因为它们包含η或λiμλjσλkβ形式的项，i+j+k=3，i，j 6=3。类似地，R4kθ中的术语满足假设3（c）和（d），因为它们包含η或λiμλjσλkβ形式的项，i+j+k=4，i 6=4。这证明rk，0（π）满足假设3（c）和（d），并且所述结果得到证明。命题10的证明。该证明类似于Kasahara和Shimotsu（2015）命题3（c）的证明。Let（^ψα，^%α）：=arg max（ψ，%）∈Θψ×Θ%`n（ψ，%，α，ξ）表示给定α的（ψ，%）的极大似然估计。考虑集合Θλ：={λ∈ Θλ: |λu| ≥ n-1/8（对数n）-1} 和λ：={λ∈Θλ: |λu| ≤ n-1/8（对数n）-1} ，使Θλ=Θλ∪ Θλ. 对于j=1，2，定义（ψjα，^%jα）：=arg max（ψ，%）∈Θψ×Θ%,λ∈Θjλ\'n（ψ，%，α，ξ）。

然后，在α中一致地，`n（ψα，ψ%α，α，ξ）=maxn`n（ψα，ψ%α，α，ξ），`n（ψα，ψ%α，α，ξ）o。此后，我们抑制了ψα，ψ%α等对α的依赖性。定义B%n（tλ（λ，%，α）），如命题8证明中的（80），但使用（30）和（33）中定义的t（ψ，π）和s%kde，并将（80）中的tλ替换为tλ（λ，%，α）。注意，命题8的证明用当前符号一直到（81），并且G%和I%在%中是连续的。此外，^%=Op（n-1/4（对数n）），因为^%（^λu）=Op（n-1/2）来自提案9（a）和|^λu|≥ n-1/8（对数n）-因此，B^%n(√ntλ（^λ，^%，α））=B0n(√ntλ（^λ，^%，α））+op（1），且在α，2中一致[`n（^ψ，^%，α，ξ）- `0n（^θ）]=最大值{B0n(√ntλ（λ，α），B^%n(√ntλ（^λ，^%，α））}+op（1）。（86）我们继续构造局部等于（35）中定义的锥∧∧和∧∧百分比的参数空间∧∧α和∧∧α%。定义c（α）：=α（1- α） ，表示对应于（31）bytλ（λj，λ%j，α）的tλ（λj，λ%j，α）的元素=^tj%^tj|∑|^tj∑|^tjβ∑|^tjv（β）:= c（α）^%j（λju）λ^λσ（λjσ）+b（α）（λju）/12^λjβ^λjβ^λjσv（λjβ）.注意，^λσ=Op（n-3/8对数n）和^λβ=Op（n-3/8对数n），因为（^tuσ，^tβu）=Op（n-1/2）来自命题9（a）和|^λu|≥ n-1/8（对数n）-此外，^tσ=c（α）（^λσ）+op（n-1/2）因为|λu|≤ n-1/8（对数n）-1.

因此，^tβσ=op（n-1/2），^tv（β）=op（n-1/2），^tσ=c（α）b（α）（^λu）/12+op（n-1/2），^tσ=c（α）（^λσ）+op（n-1/2).（87）鉴于此，设tλ（λ，%，α）：=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ，并考虑以下集合：∧∧∧λα：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tuσ=c（α）λuλσ，tσ=c（α）b（α）λu/12，tβu=c（α）λβλu，tβσ=0，tv（β）=0（λ，%）∈ λ×λ%}，∧∧∧α%：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tuσ=c（α）λuλσ，tσ=c（α）λσ，tβu=c（α）λβλu，tβσ=c（α）λβλσ，tv（β）=c（α）v（λβ∈ Θλ}.因为（86）中的B0n（·）不依赖于%，所以∧∧λα由α索引，但不依赖于%，而∧∧λα%由α和%索引，因为（86）中的B^%n（·）依赖于%。通过B0n确定（∧α，.%α）和∧α%(√ntλ（￠λα，￠%α，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧αB0n(√ntλ（λ，%，α））和B%n(√ntλ（∧α%，%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧∧α%B%n(√ntλ（λ，%，α））。定义Wn（α）：=最大值{B0n(√ntλ（￠λα，￠%α，α）），sup%∈Θ%B%n(√ntλ（∧α%，%，α））}，那么我们有2[`n（ψ，ψ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=Wn（α）+op（1），（88）在α中均匀分布∈ α，因为（i）Wn（α）≥ 2[`n（^ψ，^%，α，ξ）-`0n（^θ）]+op（1），考虑到（^λα，%α，λα%，（86）和（87）的定义，以及（ii）2[`n（^ψ，^%，α，ξ）- `0n（^θ）]≥max{2[maxη\'n（η，～λα，～%α，α，ξ），sup%∈Θ%maxη\'n（η，λα%，%，α，ξ）}-2\'0n（^θ）+op（1）=Wn（α）+op（1），根据（^ψ，^%）的定义。LRT的渐近分布遵循Andrews（2001）的定理1（c）到（B0n(√ntλ（￠λα，￠%α，α）），B%n(√ntλ（∧α%，%，α）））。首先，Andrews（2001）的假设2对B%n的适用性很小(√nt（λ，%，α））。其次，Andrews（2001）的假设3被（78）和假设7所满足。Andrews（2001）的假设4符合命题9。假设5*Andrews（2001）认为BT=n1/2，因为∧∧α局部（在%=0的邻域内，λ=0）等于锥∧∧，且∧∧α%局部均匀地等于锥∧∧%∈ Θ%.

因此，Wn（α）d→ 最大{I{%=0}（~tλ）Iλ。η0tλ，sup%∈Θ%（~tλ%）Iλ。η%~tλ%}根据Andrews（2001）的定理1（c）在α中一致，所述结果如下（88）。命题11的证明。证明类似于命题9。扩展lkθx- ψ周围1 fivetimes*并按照命题9 giveslθkx的证明进行- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（π）+ukx（ψ，π），（89），其中t（ψ，π）在（42）中定义，s%kis在（43）中定义，且满足%k：=ηpψ*πk，0/pψ*πk，0ζk，0（%）/2uf*k/3！f*kuf*k/4！f*kλβλupψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0ev（λβ）pψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0,andrk，0（π）：=e∧k，0（π）τ（ψ）+∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ λu[λupψ*πk，0/pψ*πk，0- α(1 - α)(1 - 2α)uf*k/f*k] /3！+λu[λupψ*πk，0/pψ*πk，0- α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k] /4！，其中，ukx（ψ，π），pψπk，m，以及rk定义中的项，0（π）的定义与命题9证明中的定义类似。如果（89）右侧的项满足假设3，则证明所述结果。t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. s%k和ukx（ψ，π）满足假设3，与命题9的证明相同。对于rk，0（π），First，∧k，0（ψ，π）(ψ)5满足假设3（c）和（d），与命题9的证明类似；λu由λu或λu控制，因为inf0≤α≤1最大{| 1- 2α|, |1 - 6α + 6α|} > 0. 第二，类似于命题9证明中的（84），writee∧k，0（π）τ（ψ）=(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0+~R3kθ+R4kθ，其中~R3kθ：=[(ψ3） pψ*πk，0(ψ)3.- λupψ*πk，0λu]/3！pψ*πk、0和R4kθ定义为R4kθin（85）。术语(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0明显满足假设3（c）和（d）。满足假设3（c）和（d）中的术语，因为它们包含η或λuλβ或λuλβ或λβ。术语inR4kθ满足假设3（c）和（d），因为它们包含η或λi|λ4形式的项-带1的iβ≤ 我≤ 3.

rk，0（π）中的最后两项满足引理8中的假设3（c）和（d）。因此，rk，0（π）满足假设3（c）和（d），所述结果得到证明。命题12的证明。这个证明类似于命题10的证明。Let（ψ，%，α）：=arg max（ψ，%，α）∈（ψ，%，α，ξ）表示（ψ，%，α）的极大似然估计。考虑集合Θλ：={λ∈ Θλ: |λu| ≥ n-1/6（对数n）-1} 和λ：={λ∈ Θλ: |λu| ≤ n-1/6（对数n）-1} ，使Θλ=Θλ∪ Θλ. 对于j=1，2，定义（ψj，αj）：=arg max（ψ，%，α）∈Θψ×Θ%×Θα,λ∈Θjλ\'n（ψ，%，α，ξ），因此\'n（ψ，Γ，%，α，ξ）=maxj∈{1,2}`n（ψj，αj，ξ）。定义B%n（tλ（λ，%，α）），如命题8证明中的（80），但使用（42）和（43）中定义的t（ψ，π）和s%kde，并将（80）中的tλ替换为tλ（λ，%，α）。观察^%=Op（n-1/6（对数n）），因为^%（^λu）=Op（n-1/2）来自提案11（a）和|^λu|≥ n-1/6（对数n）-1、利用命题10导致（86）的论点，我们得到2[`n（ψ，Γ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=最大值{B0n(√ntλ（λ，λ%，α）），B^%n(√ntλ（^λ，^%，^α））}+op（1）。我们继续构造局部等于锥∧∧和∧∧%定义的参数空间（44）。定义c（α）：=α（1-α） ，表示对应于（42）bytλ（λj，λ%j，αj）的tλ（λj，αj）的元素=^tj%^tj^tj^tjβ^tjv（β）:= c（αj）^%j（^λju）（1- 2^αj）（^λju）（1- 6αj+6（αj））（λju）λjβλjuv（λjβ）.注意，^λβ=Op（n-1/3log n），因为^tβu=Op（n-1/2）来自提案11（a）和|^λu|≥n-1/6（对数n）-1、此外，|^λu|≤ n-1/6（对数n）-1.

因此，^tv（β）=op（n-1/2），^tu=op（n-1/2），^tu=op（n-1/2).鉴于此，设tλ（λ，%，α）：=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ，并考虑以下集合：■λλ：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tu=c（α）（1）- 2α）λu，tu=c（α）（1- 6α+6α）λu，tβu=c（α）λβλu，tv（β）=0（λ，%，α）∈ λ×λ%×α}，∧∧∧λα%：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tu=tu=0，tβu=c（α）λβλu，tv（β）=c（α）v（λβ）对于某些λ∈ Θλ}.通过B0n确定（∧、￠%、￠α）和￠λα%(√ntλ（∧，.%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧B0n(√ntλ（λ，%，α））和b%n(√ntλ（∧α%，%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧∧α%B%n(√ntλ（λ，%，α））。∧∧∧局部（在%=0的附近，λ=0）等于锥∧∧，因为当| 1-2α| ≥  > 0表示某个正常量, 我们有tu/tu→ 0为λu→ 0，当α在1/2附近时，我们有1-6α + 6α< 0.∧∧α%局部等于锥∧∧%均匀地在%∈ Θ%.定义值：=最大值{B0n(√ntλ（￠λ，￠%，￠α）），sup（α，%）∈Θα×Θ%B%n(√ntλ（∧α%，%，α））}。按照命题10的证明进行，得到2[`n（ψ，Γ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=Wn+op（1），LRT的共态分布遵循Andrews（2001）的定理1（c）到（B0n(√ntλ（￠λ，￠%，￠α）），B%n(√ntλ（∧α%，%，α））。命题14、15和16的证明。让N*mdenote一个任意的小邻域*m、 andlet^ψmdenote最大化\'n（ψm，πm，ξm+1）的局部极大似然估计∈ N*m、 命题13和Υ*= ∪Mm=1Υ*n（^θM+1，ξM+1）=最大值=1，。。。，M\'n（^ψM，πM，ξM+1），概率接近1。因为ψ*`/∈ N*m对于任何` 6=m，从命题13可以得出^ψm- ψ*m=op（1）。下一步，`n（ψm，πm，ξm+1）- `n（ψ）*m、 πm，ξm+1）允许与\'n（ψ，π，ξ）相同的展开式-`n（ψ）*, π、 ξ）in（19）或（34）。

因此，所述结果来自于将命题8、10和12的证明应用于\'n（^ψm、πm、ξm+1）- `n（ψM，πM，ξM+1）的联合渐近分布- `n（^θM，ξM）}Mm=1。命题17的证明。请注意，根据Pnθ，提案2成立*,根据提议7、9和11的假设。因为θn=（ηn，λn，πn）∈ 北卡罗来纳州/√通过选择c>| h |，它遵循命题2 thatsupx∈十、logdPnθn，xdPnθ*,x个- hνn（s%nk）+高%nh= oPnθ*,x（1），（90），其中，对于非正态分布、异方差正态分布和同方差正态分布的模型，s%kis分别由（17），（33）和（43）给出。此外，νn（s%nk）=> Pnθ下的G%*,x、 其中，G%是平均零高斯过程，cov（G%，G%）=I%%：=limk→∞Eθ*（s%ks%k）。因此，dPnθn，x/dPnθ*,Pnθ下的X分布收敛*,xto exp公司N（u，σ）u=-（1/2）hI%h和σ=hI%h，因此E（expN（u，σ）) = 因此，第（a）部分源自Le Cam的第一引理（参见Lehmannand Romano（2005）的推论12.3.1）。（b）部分源自勒坎的第三引理（参见，例如，莱曼和罗马诺（2005）的推论12.3.2），因为（a）和（90）部分暗示νn（s%nk）logdPnθn，xdPnθ*,x个d→ N-您好%h！，我%I%hhI%hI%h！！根据Pnθ*,x、 命题18的证明。证明遵循命题8证明中的论点。观察hη=0和hλ=√ntλ（λn，πn）在H1n下保持不变。因此，命题17在Pnθn下成立，由H1n乘以，并且，结合Lehmann和Romano（2005）的定理12.3.2（a），命题5和7在Pnθn，x下成立。因此，如果我们替换Gλ，则命题8的证明将通过。η%n=> Gλ。η%和Gλ。η%n=> Gλ。η%+（Iλ%%- Iλη%I-1ηIηλ%）hλ=Gλ。η%+Iλ。η%hλ，所述结果如下。命题19和命题20的证明。这个证明类似于命题18的证明。