请注意，对于j∈ {a，b}，hjη=0和hjλ=√ntλ（λn，πn）+o（1）在Hj1n下保持不变。因此，命题17在Pnθn下成立，由Hj1n拟合，所述结果来自于重复命题18的proof论点。命题21的证明。我们只对M=1的非正态分布模型提供证明，因为其他模型的证明是相似的。该证明遵循Lehmann和Romano（2005）中定理15.4.2的证明中的论点。将Cη定义为满足{ηn}的序列集√n（ηn- η*) → hη对于某些特定的hη。用^ηn表示一个区域模型参数的MLE。对于H下的MLE，√n（^ηn）-η*) 分布收敛到Pθ*-a、 标准参数指定的s.Fiterandom变量。然后，根据几乎确定的表示定理（如Lehmann和Romano（2005）的定理11.2.19），在公共概率空间上定义了随机变量η和hη，使得η和η具有相同的分布√n（℃ηn-η*) →~hη几乎可以肯定。因此，{ηn}∈ Cη的概率为1，并且所述的结果遵循引理9，因为^η和^ηn具有相同的分布。对于H1n下的MLE，请注意，即使hη6=0，当hη是确定的时，命题18的证明也会通过。因此√n（^ηn）-η*) 在分布上收敛到H1n下的Pθn-a.s.有限随机变量。因此，所述结果来自引理9，并在H.11.2辅助结果11.2.1信息缺失原则的情况下重复论证。以下引理扩展了Louis（1982）中的方程（3.1）和（3.2），根据完整数据对数似然函数导数的条件期望来表示对数似然函数的高阶导数。为了符号简洁，假设θ是标量。对向量值θ的修改很简单，但需要更繁琐的表示法。

允许j`（Y）：=jθlog P（Y；θ）和j`（Y，X）：=jθlog P（Y，X；θ）。对于随机变量V，Vqand Y，将（Vr···Vrqq）的中心条件矩定义为Ec【Vr··Vrqq··Y】：=E[（V- E[V | Y]）r···（Vq- E【Vq | Y】）rq | Y】。引理1。对于密度为P（Y，X；θ）和P（Y；θ）的任意随机变量X和Y，`（Y）=E[`（Y，X）| Y]，`（Y）=E`（Y，X）Y+ 欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 3Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 4Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 3Ec(`（Y，X））Y+ 6Ec`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 3.欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 5Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 15摄氏度(`（Y，X））`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）（`（Y，X））Y- 30摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y欧共体(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 10摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 6Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 15摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y+ 15摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度(`（Y，X））Y+ 15摄氏度(`（Y，X））Y+ 20摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y- 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）YE(`（Y，X））Y+ 45摄氏度(`（Y，X））(`（Y，X））Y- 90欧共体`（Y，X）`（Y，X）Y- 45摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y+ 15摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y- 90摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y- 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y欧共体(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 15摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y- 10欧共体(`（Y，X））Y+ 30欧共体(`（Y，X））Y,前提是右侧存在条件期望。当左侧的P（Y；θ）替换为P（Y | Z；θ）时，所述结果适用于右侧的P（Y，X；θ）和E[·| Y]替换为P（Y，X | Z；θ）和E[·| Y，Z]。引理1的证明。

所述结果来自直接计算和关系，如jθP（Y；θ）/P（Y；θ）=E[jθP（Y，X；θ）/P（Y，X；θ）| Y]和日志f=前/后，日志f=前/后-(日志f），日志f=前/后-3.f地面+2(f/f），日志f=前/后-4.f前/后- 3(地面）+12f级(f） /f- 6(前/后），日志f=前/后-5.f前/后- 10f地下+20f级(f） /楼+30(f）前/后- 60f级(f） /楼+24(前/后），日志f=前/后-6.f前/后- 15f地下+30f级(f） /f- 10(f） /楼+120ff前/后- 120f级(f） /楼+30(f） /f- 270(f）(f） /楼+360f级(f） /f- 120(f）/f，前/后=日志f+3日志f日志f+(日志f），前/后=日志f+4日志f日志f+3(对数f）+6日志f(日志f）+(日志f），前/后=日志f+5日志f对数f+10日志f对数f+10日志f(对数f）+15(日志f）对数f+10日志f(日志f）+(日志f），前/后=日志f+6日志f对数f+15日志f对数f+15日志f(对数f）+10(对数f）+60日志f日志f对数f+20日志f(对数f）+15(对数f）+45(日志f）(对数f）+15日志f(日志f）+(日志f）。（91）例如，`（Y）通过书面形式得出`（Y）as，抑制θ，`（Y）=P（Y）P（Y）- 3.P（Y）P（Y）P（Y）P（Y）+2P（Y）P（Y）= EP（Y，X）P（Y，X）Y- 3EP（Y，X）P（Y，X）YEP（Y，X）P（Y，X）Y+ 2.EP（Y，X）P（Y，X）Y= E`（Y，X）+3`（Y，X）`（Y，X）+(`（Y，X））Y- 3E`（Y，X）+(`（Y，X））YE类[`（Y，X）| Y]+2{E[`（Y，X）| Y]}，以及收集项。`（Y），`（Y），以及`（Y）的推导类似。11.2.2辅助引理我们首先收集符号。定义Zkk-1： =（Xk-1，Yk-1，Wk，Xk，Yk），并用φi（θ，Zkk）表示完整数据记录密度的导数-1) := ilog pθ（Yk，Xk | Yk-1，Xk-1，周），i≥ 1.（92）我们使用简写符号φiθk：=φi（θ，Zkk-1). 我们还从φθk中抑制上标1，使φθk=φθk。对于随机变量V，Vq和条件集F，定义（V，…，Vq）asEcθ[V，…]的中心条件矩。

，Vq | F]：=Eθ[（V- Eθ[V | F]·····（Vq- Eθ[Vq | F]| F]。例如，Ecθ[φθkφθk | F]：=Eθ[（φθk- Eθ[φθk | F]（φθk- Eθ[θk | F]| F]。设I（j）=（I，…，ij）表示具有j个元素的正整数序列，设σ（I（j））表示（I，…，ij）的所有唯一置换的集合，并设σ（I（j））|表示其基数。例如，如果I（3）=（2，1，1），则σ（I（3））={（2，1，1），（1，2，1），（1，1，2）}和|σ（I（3））|=3；ifI（3）=（1，1，1），然后σ（I（3））=（1，1，1）和| I（3）|=1。设T（j）=（T，…，tj），对于j=1，对于条件集F，将对称中心条件矩定义为ΦI（1）θT（1）[F]：=EθhφIθTFi，ΦI（2）θT（2）[F]：=|σ（I（2））| X（`，`）∈σ（I（2））Ecθhφ` tφ` tFi，ΦI（3）θT（3）[F]：=|σ（I（3））| X（`，`，`）∈σ（I（3））Ecθhφ` tφ` tφ` tφ` tFi，ΦI（4）θT（4）[F]：=|σ（I（4））| X（`，…，`）∈σ（I（4））～Φ````` T（4），（93）式中～Φ```` T（4）：=Ecθ[φ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`T | F]- Ecθ[φ`θtφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` t | F]- Ecθ[φ`θtφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` t | F]- Ecθ[φ` tφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` tF]和ΦI（5）t（5）[F]：=|σ（I（5））| X（`，…，`）∈σ（I（5））Ecθhφ′θtφ′θtφ′θtφ′θtφ′θt金融机构-X（{a，b，c}，{d，e}）∈σEcθhφ\'aθtaφ\'bθtbφ\'cθtcFiEcθhφ\'dθtdφ\'eθte金融机构,ΦI（6）θT（6）[F]：=Ecθ[φθTφθTφθTφθTφθTφθTφθT | F]-X（{a，b，c，d}，{e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtbφθtcφθtd | F]EcθφθteφθtfF-X（{a，b，c}，{d，e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtbφθtc | F]EcθφθtdφθteφθtfF+ 2X（{a，b}，{c，d}，{e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtb | F]Ecθ[φθtcφθtd | F]EcθφθteφθtfF,（94）式中σ：== 形式为{a，b，c}，{d，e}，σ：=的{1，2，3，4，5}的10个分区= 15{1，2，3，4，5，6}的分区，形式为{a，b，c，d}，{e，f}，σ：=/2=形式为{a，b，c}，{d，e，f}，σ：=的{1，2，3，4，5，6}的10个分区/6=形式为{a，b}，{c，d}，{e，f}的{1，2，3，4，5，6}的15个分区。（95）注意，这些力矩相对于（t，…，tj）对称。对于j=1，2。

，6，k≥ 1，米≥ 0和x∈ 十、 定义不同时间指标和条件集上ΦI（j）θT（j）之和之间的差异，如下所示I（j）j，k，m，x（θ）：=XT（j）∈{-m+1，。。。，k} jΦI（j）θT（j）hYk-m、 工作时间：-m、 X个-m=xi-XT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jΦI（j）θT（j）hYk-1.-m、 工作时间：-1.-m、 X个-m=xi，（96），其中pt（j）∈{-m+1，。。。，k} jdenotesPkt=-m+1Pkt=-m+1···Pktj=-m+1和PT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jis定义类似。定义I（j）j，k，m（θ）类似于I（j）j，k，m，x（θ）通过放下x-m=条件变量中的x。从此，我们抑制条件变量Wn-m条件集和条件密度，除非出现混淆。下面的引理表示对数密度的导数，j\'k，m，x（θ）\'s，根据I（j）j，k，m，x（θ）\'s。前两个方程也在inDMR中给出（第2272页和第2276-7页）。引理2。适用于所有1≤ k≤ n、 m级≥ 0和x∈ 十、`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+1,12，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+32,12，k，m，x（θ）+1,1,13，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+43,12，k，m，x（θ）+32,22，k，m，x（θ）+62,1,13，k，m，x（θ）+1,1,1,14，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+54,12，k，m，x（θ）+103,22，k，m，x（θ）+103,1,13，k，m，x（θ）+152,2,13，k，m，x（θ）+102,1,1,14，k，m，x（θ）+1,1,1,1,15，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+65,12，k，m，x（θ）+154,22，k，m，x（θ）+103,32，k，m，x（θ）+154,1,13，k，m，x（θ）+603,2,13，k，m，x（θ）+152,2,23，k，m，x（θ）+203,1,1,14，k，m，x（θ）+452,2,1,14，k，m，x（θ）+152,1,1,1,15，k，m，x（θ）+1,1,1,1,16，k，m，x（θ）。此外，当j`k，m，x（θ）和I（j）j、k、m、x（θ）替换为j\'k，m（θ）和I（j）j，k，m（θ）。引理2的证明。所述结果来自书面j\'k，m，x（θ）=jlog pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x）- jlog pθ（Yk-1.-m+1 | Y-m、 X个-m=x），将引理1应用于右侧，并注意jlog pθ（Yk-m+1，Xk-m+1 | Y-m、 X个-m） =包装=-m+1φj（θ，Ztt-1） （见（1）和（92））。的结果j'k，m，x（θ），j=1，2也在DMR中给出（p。

2272和2276-7页）。对于j=3，术语2,12，k，m，x（θ）来自PKT=-m+1Pkt=-m+1Ecθ[φθtφθt | Yk-m、 X个-m=x]=包装=-m+1Pkt=-m+1Φ2,1θtt[Yk-m、 X个-m=x]。对于j=4，请注意，当我们将引理1应用于对数pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x），引理1右侧的最后两项可以写成asPT（4）∈{-m+1，。。。，k} Φ1,1,1,1θT（4）[Yk-m、 X个-m=x]。j=5的结果来自类似的参数。对于j=6，请注意，当我们将yma 1应用于对数pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x），Lemma1右侧的最后四项可以写成asPT（6）∈{-m+1，。。。，k} ΦI（6）θT（6）[Yk-m、 X个-m=x]。以下引理提供了（93）和（94）中定义的ΦI（j）θT（j）[F]的界限，并用于引理4的顶部。对于j=2，6，定义kφitk∞:= supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）|和kφI（j）T（j）k∞:=P（`，…，`j）∈σ（I（j））kφ\'tk∞···kφ\'jtjk∞.引理3。在假设1、2和4下，存在一个不依赖于ρ的有限非随机常数C，因此，对于所有m≥ m级≥ 0，全部-m<t≤ t型≤ ··· ≤ tj公司≤ n、 全部θ∈ N*和所有x∈ 十、 j=2，6，（a）|ΦI（j）θT（j）[Yn-m] |≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1)+∨···∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞,（b） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1)+∨···∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞,（c） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-m] |≤ Cρ（m+t-1） +kφI（j）T（j）k∞,（d） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（m+t-1） +kφI（j）T（j）k∞,（e） |ΦI（j）θT（j）[Yn-米]- ΦI（j）θT（j）[Yn-1.-m] |≤ Cρ（n-1.-tj）+kφI（j）T（j）k∞,（f） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-1.-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（n-1.-tj）+kφI（j）T（j）k∞.引理3的证明。召回supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）- Eθ[φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）| F]|≤ 2 supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）|对于出现在该列表中的条件集F。定义φiθt：=φi（θ，Ztt-1) - Eθ[φi（θ，Ztt-1） | Yn-m] ，因此Ecθ[φ\'θt··φ\'jθtj | Yn-m] =Eθ[°φ` t····φ` jθtj | Yn-m] 。

从今以后，我们从φiθ和|φiθt中抑制下标θ-1） 取决于Xt和Xt-（c）和（d）部分来自引理11（a），并且对于任意两个概率测度u和u，supf（x）：maxx | f（x）|≤1 | Rf（x）du（x）-Rf（x）du（x）|=2ku- ukT V（参见Levin等人（2009年，命题4.5））。类似地，tj的（e）和（f）部分≤ n- 1遵循引理11（b），tj=n的部分（e）和（f）遵循|ΦI（j）θT（j）[·]|≤ 2jkφI（j）T（j）k∞.我们继续展示（a）和（b）部分。j=2和j=3的结果来自引理11（c）和（Xt- 分机）···（Xtj- EXtj）=cov[Xt，（Xt- 分机）···（Xtj- EXtj）]=cov[（Xt- 分机）···（Xtj-1.- EXtj公司-1） ，Xtj]。（97）在证明j的结果之前≥ 4、我们收集了一些结果。对于调节集F=Yn-莫尔{Yn-m、 Xm=x}，引理11（c）和（97）暗示| Ecθ[φ\'t··φ\'jtj | F]|≤ Cρ（t-t型-1)+∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞, （98）| Ecθ[φ\'t··φ\'jtj | F]- Ecθ[φ\'t··φ\'ktk | F]Ecθ[φ\'k+1tk+1··φ\'jtj | F]|=| covθ[|φ\'t··φ\'ktk，|φ\'k+1tk+1··φ\'jtj | F]≤ Cρ（tk+1-tk公司-1） +kφI（j）T（j）k∞对于任意2个≤ k≤ j- 2.（99）由于ΦI（4）θT（4）[F]，零件（a）和（b）保持j=4≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1） +kφI（4）T（4）k∞从（98）我们得到ΦI（4）θT（4）[F]≤ Cρ（t-t型-1） +kφI（4）T（4）k∞将（93）中定义的▄Φ````` T（4）写成▄Φ```` T（4）=covθ[▄φ`T▄φ`T，▄φ`T▄φ`T▄F]- Ecθ[φ\'tφ\'t | F]Ecθ[φ\'tφ\'t | F]- Ecθ[φ\'tφ\'t | F]Ecθ[φ\'tφ\'t | F]和应用（99）。j=5的第（a）–（b）部分源自类似的论证。对于j=6，首先，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1)+∨（t-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。第二，写出ΦI（6）θT（6）[F]=A+A，其中A=Ecθ[φTφTφTφTφTφTφT | F]-Ecθ[φtφtφt | F]Ecθ[φtφtφt | F]和Adentes（94）中ΦI（6）θt（6）[F]右侧的所有术语，但A.Ais以Cρ（t）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞从（99）开始，Ais以Cρ（t）为边界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。

因此，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞.第三，写出ΦI（6）θT（6）[F]=B+B+B，其中B=Ecθ[φTφTφTφTφTφTφTφT | F]-Ecθ[φtφtφtφt | F]Ecθ[φtφt | F]，B=-P（{1,2，c，d}，{e，f}）∈XEcθ[φφtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]+P（{a，b}，{c，d}，{e，F}）∈XEcθ[φtaφtb | F]Ecθ[φtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]，其中Xis是= {1，2，c，d}，{e，f}和x形式的{1，2，3，4，5，6}的6个分区：={（{1，2}，{3，4}，{5，6}），（{1，2}，{3，5}，{4，6}），（{1，2}，{3，6}，{4，5}），并注意ΦI（6）的右侧的所有术语；T（6）[f]除B+B外。B以cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（99）。我们可以写BasP（{1,2，c，d}，{e，f}）∈X个{-Ecθ[φtφtφtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]+Ecθ[φtφt | F]Ecθ[φtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]}=-P（{1,2，c，d}，{e，f}）∈XEcθ[φteφtf | F]covθ[φθtθt，φθtcθtd | F]，那么这是以cρ（t）为界的-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（99）。最后，Bis以Cρ（t）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。因此，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞. 从一个类似的论点来看，ΦI（6）θT（6）[F]也是由Cρ（T）决定的-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞, （a）和（b）部分如下。接下来，我们将给出一个结果，该结果限制了I（j）j、k、m、x（θ）和引理2中出现在右边的I（j）j，k，m（θ）。这个引理扩展了DMR的引理13和17。设rI（1）=qi；rI（2）=qi/2，如果i=i和（qi∧ 如果i6=i，则qi）/2；rI（3）=qi/3，如果i=i=i，（qi/2∧qi/4）如果i6=i=i，（qi∧气∧qi）/3如果i、i、i是不同的；rI（4）=qi/4如果i=i=i=i=i，（qi∧ qi）/4如果i6=i=i=ior i=i6=i=i；如果i=i=i=i=i=i，则rI（5）=qi/5；（合格中介机构/3∧qi/6）如果i6=i=i=i=i=i；rI（6）=q/6。这个引理的（d）部分建立了{I（j）j，k，m，x（θ）}m≥0到不依赖于x引理4的随机变量。在假设1、2和4下，对于j=1。

，6，存在随机变量ski（j），{MI（j），k}nk=1∈ LrI（j）（Pθ*) 这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /24cPθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m，x（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /1340cPθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|I（j）j，k，m（θ）|≤ MI（j），kPθ*-a、 s.，（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、I（j）j、k、m、x（θ）和I（j）j，k，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和LrI（j）（Pθ*) 到I（j）j，k，∞(θ) ∈ LrI（j）（Pθ*) 作为m→ ∞.引理4的证明。首先，我们证明（a）和（b）部分。回忆T（j）=（T，…，tj）。对于第（a）部分，定义，抑制AT（j）对θ和I（j）的依赖，AT（j）：=ΦI（j）θT（j）hYk-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-1.-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-mi+ΦI（j）θT（j）hYk-1.-mi，如果max{t，…，tj}<k，ΦI（j）θt（j）hYk-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-mi，否则，在（j，`，k）：=收件人···tj-`k···k |{z}`次，其中T（j，`，k）：=（T（j- `), k、 ···，k |{z}`次）。然后，我们可以写I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jAT（j）=a+b+c、 在哪里a： =XT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jAT（j），b： =j-1X`=1j`XT（j-`)∈{-m+1，。。。，k-1} j-`在（j，`，k），c： =A（k，…，k），和b： 当j=1时=0。根据引理3和AT（j）的对称性，ais以Cbj，k，mMI（j）j，k，m为界，其中bj，k，m：=X-m+1≤t型≤t型≤···≤tj公司≤k-1.ρ（m+t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧ ρ（k-1.-tj公司-1)+=X1≤t型≤t型≤···≤tj公司≤k+m-1.ρ（t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧ ρ（k+m-1.-tj公司-1)+,MI（j）j，k，m：=最大值-m+1≤t、 ，。。。，tj公司≤k-1kφitk∞kφitk∞···kφijtjk∞.从（t- 1)+≥ bt/2c和引理13，Bj，k，Cj2（ρ）ρb（k+m）的mis界-1） /4jc。我们继续推导MI（j）j，k，m的界。定义kφik`∞:=P∞t型=-∞（| t |∨ 1)-2kφitk`∞. 当i=i=···=ij时，引理14得出MI（j）j，k，m≤ （k+m）j+1kφikj∞, 和kφikj∞∈LrI（j）（Pθ*) 根据假设4。

在其他情况下，观察如果x、y、z≥ 0，我们有xy≤ x+y，xyz≤ x+y+z，xy≤ x+y4/3和xy≤ x+y3/2来自杨氏不等式。利用这个结果和引理14，我们可以束缚MI（j）j，k，mbyj=2和i6=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=3和i6=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=3，i，i不同：（k+m）（kφik∞+ kφik∞+ kφik∞),j=4和i6=i=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=4，i=i6=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=5和i6=i=i=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞).因此，根据假设4，ais以零件（a）的右侧为边界。引理3和13，以CPj为界的bis-1`=1P-m+1≤t型≤···≤tj公司-`≤k-1（ρ（m+t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧··· ∧ ρ（k-tj公司-`-1） +）MI（j）j，k+1，m≤ Cρb（k+m-1） /4（j-1） cMI（j）j，k+1，m。类似地，以cρb（k+m）为界的cis-1） /4（j-1） cMI（j）j，k+1，m和引理的（a）部分如下。对于第（b）部分，定义-m+1≤ t、 ，tj公司≤ k、 DT（j），m，x：=ΦI（j）θT（j）[Yk-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yk-1.-m、 X个-m=x]，如果max{t，…，tj}<k，ΦI（j）θt（j）[Yk-m、 X个-m=x]，否则，同样定义DT（j）、m、x。然后，我们可以写I（j）j，k，m，x（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j）、m、X和I（j）j，k，m，x（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j），m，x=d+e、 在哪里d： =PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j）、m、X和e： =jX`=1j`-mXt公司=-m+1···-mXt`=-m+1kXt `+1=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x。来自与（a）部分相同的参数，I（j）j，k，m，x（θ）- dis以零件（a）的右侧为边界。对于e、 观察Mj：=max1时≤`≤jj`,|e |≤ MjjX`=1-mXt公司=-m+1-mXt公司=-m+1···-mXt公司`=-m+1kXt `+1=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x≤ jMj公司-mXt公司=-m+1kXt=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x≤ jMjj！-mXt公司=-m+1Xt≤t型≤···≤tj公司≤kDT（j），m，x.引理3，如果t≤ ··· ≤ tj，我们有| DT（j），m，x |≤ C[I{tj<k}（ρ（t-t型-1)+∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧··· ∧ ρ（k-1.-tj公司-1） +）+I{tj=k}（ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1） +）]kφI（j）T（j）k∞.

因此，第（b）部分遵循引理15。对于第（c）部分，请注意supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）|≤ A+B，其中A：=supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，0，x（θ）|和B：=supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，0，x（θ）|。A以KI（j）kρb（k）为界-1） /1340从（b）部分开始。B不依赖于m，且在分布上等价于supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1，k-1，x（θ）|。这是以supx为边界的∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1，k-1，x（θ）-I（j）j，1,0，x（θ）|+supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1,0，x（θ）|。第一项为LrI（j）（Pθ*) 第二项在LrI（j）（Pθ）中*) 从定义I（j）j，k，m，x（θ）。因此，存在smi（j），k∈ LrI（j）（Pθ*) 这样A+B≤ MI（j）、k和（c）部分在（a）部分中保持不变。第（d）部分源自第（a）–（c）部分，因为第（a）–（c）部分暗示{I（j）j，k，m，x（θ）}m≥0和{I（j）j，k，m（θ）}m≥0为均匀LrI（j）（Pθ*)-关于θ的Cauchy序列∈ N*收敛到相同的极限和Lq（Pθ*) 已完成。引理5。在假设1、2和4下，存在随机变量{Kk}nk=1∈ L（1+ε）qθ/ε（Pθ*)和ρ∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，supθ∈N*pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）≤ Kk，supx∈Xsupθ∈N*pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）-pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）≤ Kkρk+m-此外，这些边界在x中保持一致∈ pθ（Yk | Yk）时的X-1.-m） 和pθ*（Yk | Yk-1.-m） 替换为pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）和pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）。引理5的证明。第一个结果来自于pθ（Yk | Yk-1.-m） =P（xk-1，xk）∈Xgθ（Yk | Yk-1，xk）qθx（xk-1，xk）Pθ（xk-1 | Yk-1.-m）∈ [σ-Gθk，σ+Gθk]，并使用假设4（b）。对于第二个结果，观察| pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）- pθ（Yk | Yk-1.-m） |≤P（xk-1，xk）∈Xgθ（Yk | Yk-1，xk）qθx（xk-1，xk）| Pθ（xk-1 | Yk-1.-m、 X个-m=x）- Pθ（xk-1 | Yk-1.-m） |≤ρk+m-1σ+克/σ-, 其中第二个不等式来自引理11（a）。

第二个结果来自于写入左侧aspθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）- pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）+pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）- pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x），注意pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）≥ σ-Gθk，并使用导出的边界。pθ（Yk | Yk）的结果-1.-m、 X个-m=x）和pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）也得到了类似的证明。以下结果最初出现在Kasahara和Shimotsu（2015）的方程式（59）–（60）中。为了便于参考，我们将其表述为引理。引理6。设f（u，σ）表示N（u，σ）的密度。然后λkuf（cλu，cλu）λu=0=c如果k=1，c，则为uf（0，0）uf（0，0）+2cσf（0，0），如果k=2，cuf（0，0）+6cc如果k=3，c，则|Μσf（0，0）uf（0，0）+12ccuf（0，0）σf（0，0）+12c如果k=4，σf（0，0）。引理6的证明。观察复合函数f（λu，h（λu））满足λkuf（λu，h（λu））=(λu+ u） kf（λu，h（u））| u=λu=Pkj=0千焦λk-juujf（λu，h（u））| u=λu。此外，因为uju | u=0=0除了j=2，根据Fa\'a di Bruno的公式ujf（cλu，cu）|λu=u=0如果j=1，3，是2chf（0，h（0）），如果j=2，且为12c如果j=4，则为hf（0，h（0））。因此，所述结果如下。引理7。假设命题9的假设成立。然后，存在‘%、‘%、‘%∈ （0，%）这样，对于所有k≥ 1、（a）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= %%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1） ，（b）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)- b（α）λσpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= %%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1)- %%λσpψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1).引理7的证明。第（a）部分适用于以下情况：λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =0，（100），因为（i）λupψ*%α（Yk | Yk-1)-λupψ*0α（Yk | Yk-1) = %λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） %代表‘%∈ （0，%）来自中值定理和（ii）pψ*%α（Yk | Yk-1） 不取决于%的值。我们继续展示（100）。请注意λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = λulog pψ*π（Yk | Y）-λulog pψ*π（Yk-1 | Y）从（91）到λpψ*π（Yk | Yk-1) = 0.

允许我`*t： =λiulog g*twith公司`*t=`*t、 请注意λulog pψ*0α（Yk | Y）=kXt=1Eψ*0αh`*t型Yki+3kXt=1kXt=1Eψ*0αh`*t型`*t型Yki+kXt=1kXt=1kXt=1Eψ*0αh`*t型`*t型`*t型Yki=kXt=1Eψ*0αh`*t+3`*t型`*t+`*t型`*t型`*t型Yki=kXt=1Eψ*0αhλug*吨/克*t型Yki，（101）其中第一个等式来自引理1，第二个等式成立，因为（i）当%=0时，x是串行独立的，（ii）`*t=d1tuf*电话/传真*坦德`*t=d2tuf*电话/传真*t型-（d1tuf*电话/传真*t） ，和（iii）Eψ*0α【d1t | Yk】=Eψ*0α[d2t | Yk]=从（27）得到的0，第三个等式从（91）得到。右侧是从（27）得到的0，因此证明了（a）部分。对于（b）部分，从与（a）部分类似的论点来看，如果λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =b（α）λσpψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1). （102）注意λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = λulog pψ*0α（Yk | Y）-λulog pψ*0α（Yk-1 | Y）从（91），λpψ*π（Yk | Yk-1） =0，和λulog pψ*0α（Yk | Yk-1) = 0. 与（101）类似的推导给出λulog pψ*0α（Yk | Y）=kXt=1Eψ*0αhλug*吨/克*t型Yki。（103）（102）源于（103），因为（i）λσpψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =Eθ*[λσg*k | Yk]从类似的自变量到（15）和（ii）Eψ*0α[λug*吨/克*t | Yk]=b（α）Eθ*[λσg*k | Yk]来自（27）。因此，第（b）部分得到了验证。引理8。假设命题11的假设成立。然后，存在“%”、“%”∈ （0，%）如此，对于所有k≥ 1、（a）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α)(1 - 2α)uf*kf公司*k+%%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1） ，（b）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*kf公司*k+%%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1).引理8的证明。这个证明类似于引理7（a）的证明。

从一个类似于引理7的证明的论点来看，所陈述的结果成立，如果（A）λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 2α)uf*k/f*k、 （B）λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k、 注意，如果我们用（41）代替（27），在命题11的假设下，引理7的证明中的等式（101）和（103）仍然成立。因此，（A）和（B）遵循（40），（41），引理7的证明的论点，陈述的结果如下。引理9。假设命题8的假设成立。设Cη是一组满足√n（ηn- η*) → hη对于某些特定的hη。设Pnηn：=Qnk=1fk（ηn，0）表示λn=0的ηnw下的概率度量。然后，对于每个序列{ηn}∈ Cη，{Pnηn}下的LRT在sup%分布中收敛∈Θ%~tλ%Iλ。η%~tλ%在命题8中给出。引理9的证明。观察θn：=（πn，ηn，λn）=（π，η*+ hη/√n、 0）满足提案17的假设。因此，命题17在νn（s%nk）下成立→在Pnθn下，dN（I%h，I%），h=（hη，0）。此外，单区模型的对数似然函数包含类似的展开式，以及log（dPnηn/dPnη*) = hηνn（sηk）- （1/2）hηIηhη+op（1）在Pnηn下成立。因此，命题8的证明通过将G%n替换为Gh%n来完成=GhηnGhλ%n:=G%n+I%h。考虑到Ghηn=Gηn+Iηhη和Ghλ%n=Gλ%n+Iλη%hη，我们得到了Ghλ。η%n：=Ghλ%n-Iλη%I-1ηGhηn=Gλ%n- Iλη%I-1ηGηn=Gλ%n。因此，Pnη下LRT的渐近分布与Pnη下的分布相同*, 所述结果如下。11.2.3状态概率和条件动量差异的界限MMA 10。假设X，Xnare随机变量，最大值为1≤我≤nE | Xi | q<C对于某些q>0和C∈ (0, ∞). 然后，max1≤我≤n | Xi |=op（n1/q）。引理10的证明。对于任何ε>0，我们有P（max1≤我≤n | Xi |>εn1/q）≤P1级≤我≤nP（| Xi |>εn1/q）≤ ε-qn公司-1P1≤我≤nE（| Xi | qI{| Xi |>εn1/q}）的一种马尔可夫不等式。

作为n→ ∞, 根据支配收敛定理，右侧趋于0。下面的引理推广了DMR的推论1和（39）以及DMR第2298页上的一个方程；当t=tand t=tand Wn时，DMR得出这些结果-mis缺席。对于两个概率度量值u和u，u和u之间的总变化距离定义为ku- ukT V：=supA |u（A）-u（A）|。k·kT Vsaties supf（x）：0≤f（x）≤1 | Rf（x）du（x）-Rf（x）du（x）|=ku-ukT V.在以下内容中，我们定义-m： =（Yn-m、 西尼罗河-m） ，我们让vn-曼德x-mdenote“Vn-m=vn-m“和”X-m=x-m、 引理11。假设假设1-2保持和θx∈ Θx.那么，我们有-m、 （a）对于所有人-m级≤ t型≤ twith公司-m<n，且B（X）上的所有概率度量为u和u，Xx号-m级∈XPθx（Xtt∈ ·|x个-m、 越南-m） u（x-m）-Xx号-m级∈XPθx（Xtt∈ ·|x个-m、 越南-m） u（x-m）电视≤ ρt+m.（b）表示所有-m级≤ t型≤ t型≤ n- 1.Pθx（Xtt）∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xtt∈ ·|越南-1.-m、 x个-m）电视≤ ρn-1.-t、 当x-从条件变量中错误删除。（c） 对于所有人-m级≤ t型≤ t<t≤ twith公司-m<n，Pθx（Xtt∈ ·, Xtt公司∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xtt∈ ·|越南-m、 x个-m） Pθx（Xtt∈ ·|越南-m、 x个-m）电视≤ ρt-t、 当x-从条件变量中错误删除。引理11的证明。我们首先证明（a）部分。我们假设t>-m，因为当t=-m、 观察到当Wn时，DMR的引理1仍然成立-错误地添加到条件变量中，因为假设1意味着{（Xk，Yk）}∞k=0是给定{Wk}的马尔可夫链∞k=0。因此，{Xt}t≥-条件为{Yn时的马氏链-m、 西尼罗河-m} ，因此Pθx（Xtt∈ A | vn-m、 x个-m） =Pxt∈XPθx（Xtt∈ A | Xt=Xt，vn-m） pθx（xt | vn-m、 x个-m） 保持。通过应用这个结果和总变化距离的性质，我们可以用kPx约束引理的左手边-m级∈Xpθx（Xt∈ ·|越南-m、 x个-m） u（x-m）-二甲苯-m级∈Xpθx（Xt∈·|越南-m、 x个-m） u（x-m） kT V.这是以DMR的推论1中的ρt+mf为界的，当n-错误添加到条件变量。

因此，第（a）部分得到了验证。我们继续证明第（b）部分。观察时间反转过程{Zn-k} 0个≤k≤当条件为Wn时，n+misMarkov-WK独立于（Xk）的命令-1，Yk-1） 给定工作-因此，对于k=n，n- 1，我们有Pθx（Xtt∈ A | vk-m、 x个-m） =Pxt∈XPθx（Xtt∈ A | Xt=Xt，vt-m、 x个-m） pθx（xt | vk-m、 x个-m） 。因此，从总变化距离的性质来看，引理的左手边以kPθx（Xt）为界∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xt∈ ·|越南-1.-m、 x个-m） kT V.以ρn为界-1.-t因为当Wn时，DMR第2294页的方程式（39）成立-mis添加到条件变量中，所述结果如下。当x-（b）部分从条件变量中删除，使用引理9和DMR的推论1的类似物代替DMR的方程式（39），这是一个类似的论点。第（c）部分紧接着把引理的左侧写成supA，B | Pθx（Xtt∈A | vn-m、 x个-m） [Pθx（Xtt∈ B | vn-m、 Xtt公司∈ （A）- Pθx（Xtt∈ B | vn-m、 x个-m） ]|并应用第（a）部分。11.2.4ρ引理的幂和12。对于所有ρ∈ （0，1），c≥ 1，q≥ 1，b>a，∞Xt公司=-∞ρb（t-a） /cqc∧ ρb（b-t） /qc≤q（c+1）ρb（b-a） /（c+1）qc1- ρ,∞Xt公司=-∞ρb（t-a） /质量控制∧ ρb（b-t） /cqc≤q（c+1）ρb（b-a） /（c+1）qc1- ρ.引理12的证明。第一个结果成立，因为左侧以Pb（a+bc）/（c+1）ct为边界=-∞ρb（b-t） /qc+P∞t=b（a+bc）/（c+1）c+1ρb（t-a） /cqc≤ qρb{b-b（a+bc）/（c+1）c}/qc/（1）- ρ） +cqρb{b（a+bc）/（c+1）c+1-a} /cqc/（1）-ρ) ≤ q（1+c）ρb（b-a） /（c+1）qc/（1）-ρ). 第二个结果通过用PB（ac+b）/（c+1）ct包围左侧来证明=-∞ρb（b-t） /cqc+P∞t=b（ac+b）/（c+1）c+1ρb（t-a） /qc并进行类似操作。下面的引理推广了DMR第2299页上最后一个不等式的结果。引理13。对于所有ρ∈ （0，1），k≥ 1，q≥ 1和n≥ 0，X0≤t型≤t型≤···≤tk公司≤nρbt/qc∧ ρb（t-t） /质量控制∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ Ckq（ρ）ρbn/2kqc，其中Ckq（ρ）：=qkk（k+1）！(1 - ρ)-k、 引理13的证明。

当k=1时，所述结果来自引理12，其中c=1。我们证明以下内容适用于k≥ 2： Xt公司≤t型≤···≤tk公司≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤qk公司-1（k+1）！ρb（n-t） /kqc（1- ρ） k级-我们用归纳法证明。当k=2时，它由引理12和c=1得出，即pnt=t（ρb（t-t） /qc∧ ρb（n-t） /质量控制）≤ 2qρb（n-t） /2qc/（1）- ρ） ，给出（104）。假设（104）在nk=`时保持不变。那么（104）在k=`+1时成立，因为从引理12，Xt≤t型≤···≤t型`≤t`+1≤nρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（t`+1-t`）/qc∧ ρb（n-t`+1）/qc≤nXt=tρb（t-t） /qc∧Xt公司≤···≤t`+1≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（t`+1-t`）/qc∧ ρb（n-t`+1）/qc≤q`-1`!(1 - ρ)`-1nXt=tρb（t-t） /qc∧ ρb（n-t） /`qc≤q`（`+1）！(1 - ρ） `ρb（n-t） /（`+1）qc，因此（104）适用于所有k≥ 2、我们继续展示所述结果。观察thatX0≤t型≤t型≤···≤tk公司≤nρbt/qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tkn-tXtk=tρbt/qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc= 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tkn-tXtk=tρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tk公司≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc,其中，第一个不等式是对称的，随后的等式是n-tk公司≥ t、 从（104）中，右侧不大于qk-1（k+1）！(1 - ρ)(1-k） Pn/2t=0ρb（n-t） /kqc≤qkk（k+1）！(1 - ρ)-kρbn/2kqc，给出规定的结果。下一个引理推广了DMR的方程（46）和第2294页，当`=1，2时，它们导出了一个类似的边界。引理14。对于所有j，让aj>0。对于所有正整数`≥ 1和所有k≥ 1和m≥ 0，我们有Max-m+1≤t、 ，。。。，t型`≤kat······at`≤ （k+m）`+1A`，其中A`:=P∞t型=-∞（| t |∨ 1)-2a\'t.引理的证明14。当`=1时，所述结果从max开始-m+1≤t型≤凯特≤Pkt公司=-m+1at=Pkt=-m+1（| t|∨1） （| t|∨1)-2at≤ （k+m）P∞t型=-∞（| t|∨1)-2at。

何时`≥ 2，根据H¨older不等式，我们得到了max-m+1≤t型≤...≤t型`≤卡塔特`≤ （包装）=-m+1at）`=[包装=-m+1（| t|∨1） 2/`（| t|∨1)-2/`在]`≤[包装=-m+1（| t|∨1)2/(`-1)](`-1） Pkt公司=-m+1（| t|∨1)-2a`t≤ [（k+m）1+2/(`-1)]`-1A`=（k+m）`+1A`。下面的引理推广了DMR第2301页上导出的界。引理15。对于α>0、q>0和cjt≥ 0，定义c∞jq（ρα）：=P∞t型=-∞ρbα| t |/qccjt。对于所有ρ∈ （0，1），k≥ 1和0≤ m级≤ m，-mXt公司=-m+1Xt≤t型≤t型≤t型≤t型≤t型≤kρb（k-1.-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qcYj=1cjtj≤ ρb（k-1+m）/2qacc∞1季度ρ1/2aYj=2c∞jq公司ρ1/4aj,（105）其中（aj，bj）递归定义为（a，b）=（1，1），对于j≥ 3，aj+1=4aj（aj+bj）/（2aj-1） 和bj+1=aj（4bj- 1） /（2aj- 1). aj和bj满足aj，bj≥ 对于所有j.直接计算，使用Matlab生成a.=334.5406。引理15的证明。

首先，观察以下结果是否适用于a，b>1/4，t≤ 0，和tj，tj+1≥ t： （a）如果tj≤atj+1+ta+b，然后| tj | 4a≤a（4a+1）tj+1+（2a- 1） t4a（a+b）- tj，（b）如果tj≥atj+1+ta+b，然后| tj | 4a≤batj公司-a（4b- 1） tj+1+（2a+4b+1）t4a（a+b）。（106）（a）成立，因为（i）当tj≤ 0，我们有tj≤ （atj+1+t）/（a+b）=> （4a- 1） tj/4a≤ [a（4a-1） tj+1+（4a- 1） t]/4a（a+b）=> -tj/4a≤ [a（4a- 1） tj+1+（4a- 1） t]/4a（a+b）- tjand a（4a-1） tj+1+（4a-1） t型≤ a（4a-1） tj+1+（4a-1） t+2a（tj+1-t） =a（4a+1）tj+1+（2a-1） t；（ii）whentj≥ 0，我们有tj≤ （atj+1+t）/（a+b）=> （4a+1）tj/4a≤ 【a（4a+1）tj+1+（4a+1）t】/4a（a+b）=>tj/4a≤ 【a（4a+1）tj+1+（4a+1）t】/4a（a+b）- tjand（4a+1）t≤ （2a- 1） t.（b）成立，因为（i）当tj≤ 0，我们有tj≥ （atj+1+t）/（a+b）=> （4b+1）tj/4a≥【a（4b+1）tj+1+（4b+1）t】/4a（a+b）=> -tj/4a≤ btj/a-【a（4b+1）tj+1+（4b+1）t】/4a（a+b）和a（4b+1）tj+1+（4b+1）t≥ a（4b+1）tj+1+（4b+1）t-2a（tj+1-t） =a（4b-1） tj+1+（2a+4b+1）t；（ii）当tj≥ 0，我们有tj≥ （atj+1+t）/（a+b）=> （4b）-1） tj/4a≥ [a（4b-1） tj+1+（4b-1） t]/4a（a+b）=> tj/4a≤ btj/a- [a（4b- 1） tj+1+（4b- 1） t]/4a（a+b）和a（4b- 1） tj+1+（4b- 1） t型≥a（4b- 1） tj+1+（2a+4b+1）t。我们继续推导所述的界。它遵循（a）和（b）以及bx+yc≥ bxc+bycthat，tj=（ajtj+1+t）/（aj+bj），kXtj=-m+1ρb（tj+1-tj）/qc∧ ρb（bjtj-t） /ajqccjtj公司≤ ρbaj（4bj-1） tj+1-（2aj-1） t4aj（aj+bj）qcXtj公司≤tjρbaj（4aj+1）tj+1+（2aj-1） t4aj（aj+bj）q-tjqc+Xtj≥tjρbbjajqtj-aj（4bj-1） tj+1+（2aj+4bj+1）t4aj（aj+bj）qccjtj公司≤ ρbaj（4bj-1） tj+1-（2aj-1） t4aj（aj+bj）qcc∞jq公司ρ1/4aj= ρbbj+1tj+1-泰姬陵+1cc∞jq公司ρ1/4aj. （107）观察aj+1≥ 2aj公司≥ 2和bj+1≥ 2bj- (1/2) ≥ 所有j为3/2≥ 因此，对于j=2，3，…，我们可以将（106）和（107）依次应用于（105）的左侧，因此，（105）的左手侧不大于-mXt公司=-m+1ρbb（k-1)-taqcc1tYj=2c∞jq公司ρ1/4aj.观察| t |≤ k- 1.-2吨-m因为t≤ -m级=> -t型≤ -2吨-m级≤ k-1.-2吨-m。

Fromb（k- 1) ≥ k- 1和| t |≤ k- 1.- 2吨- m、 总和的范围为-mXt公司=-m+1ρbk-1.-taqcc1t=ρbk-1+m2aqc-mXt公司=-m+1ρbk-1.-2吨-m2aqcc1t≤ ρbk-1+m2aqcc∞1季度ρ1/2a,所述结果如下。11.2.5θM+1，x=（θxm，πxm）和πxm=（%M，αM，φM）的推导确定了Jm0：={1，…，M}\\Jm，并让pjand p*jdenote PθM+1（Xk=j）和Pθ*M（Xk=j）。我们将其平稳分布的Xkin项的转移概率参数化，并将其第一个转移到（m- 1） -th行及其转移矩阵的（m+1）-th到（m+1）-th行。对于i∈ Jm，我们将（pim，pi，m+1）重新参数化为piJ=pim+pi，m+1=Pθm+1（Xk∈ Jm | Xk-1=i）和pim | iJ=pim/（pim+pi，m+1）。此外，我们将平稳分布中的（pm，pm+1）重新参数化为pJ=pm+pm+1=PθM+1（Xk∈ Jm）和pm | J=pm/（pm+pm+1）=PθM+1（Xk=M | Xk∈ Jm）。因此∧ 和∨ 表示“and”和“or”，Xkis的跃迁概率由θM+1总结，x：=（{piJ，pim | iJ}i∈Jm，{pij}i∈Jm公司∧j∈Jm0，{pm+1，j}Mj=1，{pj}j∈Jm0、pJ、pm | J）。拆分θM+1，xasθM+1，x=（θxm，πxm），其中θxm：=（{pij}i∈Jm公司∧j∈Jm0，{piJ}i∈Jm，{pj}j∈Jm0，pJ）和πxm：=（{pim | iJ}i∈Jm，{pm+1，j}Mj=1，pm | j）。当m-th和（m+1）th区域组合为一个区域时，xkequal的跃迁概率等于Xkunderθ的跃迁概率*M、 xif且仅当θxm=θ*xm：={pij=p*ijfor一∈ Jm公司∧(1 ≤ j≤ m级-1); pij=p*i、 j-1对于i∈ Jm公司∧（m+2≤j≤ M） ；piJ=p*imfor i公司∈\'\'Jm；pj=p*jfor 1≤ j≤ m级-1.pj=p*j-1对于m+2≤ j≤ MpJ=p*m} 。πxm是θM+1，x在H0m下未识别的部分。我们继续推导πxmin的一些元素的重参数化，即（αm，%m）。首先，将pm+1、mand pm+1、m+1映射到pm+1，J：=pm+1、m+pm+1、m+1=Pθm+1（Xk∈ J | Xk-1=m+1）和pm+1，m | J：=pm+1，m/pm+1，J=Pθm+1（Xk=m | Xk∈ J、 Xk公司-1=m+1）。让PJandπjdenoteth转移矩阵和Xkre的平稳分布限制在Jm中。

第二行PJI由（pm+1，m | J，1）给出- pm+1，m | J）和πJis由（pm | J，1）给出- pm | J）。从πJ=πJPJ的关系中，我们可以得到PJas的第一行，即pm+1，m | Jand和pm | J的函数。最后，PJare的元素映射到（%m，αm），如第6节所示。假设马尔可夫过程具有转移概率P和平稳分布π，其元素严格正。如果π和除一行外的所有P行都已识别，则P的其余行将根据关系πP=π来识别。参考Andrews，D.W.K.（1999），“参数位于边界时的估计”，《计量经济学》，671341–1383（2001），“当一个参数处于维持假设的边界时进行测试”，《计量经济学》，69683–734。Andrews，D.W.K.和Ploberger，W.（1994），“仅在备选方案下存在干扰参数时的最佳测试”，《计量经济学》，621383-1414（1995），“仅在备选方案下存在干扰参数时，似然比检验的可接受性”，《统计年鉴》，第23期，1609–1629年。Ang，A.和Bekaert，G.（2002），“国际资产配置与制度变迁”，《金融研究评论》，第15137-1187页。Ang，A.和Timmermann，A.（2012），“政权更迭和金融市场”，《金融经济学年鉴》，4313–337。Bianchi，F.（2013），“政权更迭、代理人信仰和二战后的美国宏观经济动力学”，《经济研究评论》，80463-490。Bickel，P.J.、Ritov，Y.和Ryd'en，T.（1998），“一般隐马尔可夫模型最大似然估计量的渐近正态性”，《统计年鉴》，261614–1635。Carrasco，M.、Hu，L.和Ploberger，W.（2014），“马尔可夫切换参数的最佳测试”，计量经济学，82765–784。Carter，A.V.和Steigerwald，D.G.（2012），“政权转换测试：评论”，《计量经济学》，801809-1812。Chen，J.和Li，P。

（2009），“正态混合模型的假设检验：EM方法”，《统计年鉴》，372523–2542。Chen，J.、Li，P.和Fu，Y.（2012），“关于正态混合物顺序的推断”，《美国统计协会杂志》，1071096-1105。Chen，X.、Ponomarevab，M.和Tamer，E.（2014），“某些有限混合模型中的可能性推断”，《计量经济学杂志》，182，87–99。Chesher，A.（1984），“被忽视的异质性测试”《计量经济学》，52865–872。Cho，J.S.和White，H.（2007），“体制转换测试”，《计量经济学》，第751671-1720页。Dannemann，J.和Holtzmann，H.（2008），“隐马尔可夫模型中的两种状态测试”，《加拿大统计杂志》，36505-520。Davies，R.（1977），“仅在替代条件下存在干扰参数时的假设检验”，Biometrika，64247–254（1987），“仅在备选方案下存在干扰参数时的假设检验”，Biometrika，74，33–43。Douc，R.和Matias，C.（2001），“一般隐马尔可夫模型的最大似然估计的渐近性”，Bernoulli，7381-420。Douc，R.，Moulines，'E.，和Ryd'en，T.（2004），“马尔可夫区自回归模型中最大似然估计量的渐近性质”，统计年鉴，322254–2304。Dufour，J.-M.和Luger，R.（2017），“自回归模型中基于识别稳健矩的马尔可夫转换测试”，计量经济学评论，36713–727。Durrett，R.（2010），《概率：理论与实例》，剑桥大学出版社，第四版。Francq，C.和Roussignol，M.（1998），“MarkovSwitching自回归过程的遍历性和最大似然估计的一致性”，统计学，32151–173。Garcia，R.（1998），“马尔可夫切换模型中似然比检验的渐近零分布”，《国际经济评论》，39763–788。Gassiat，E.和Keribin，C。

（2000），“马尔可夫状态下混合物成分数量的似然比检验”，ESAIM：概率与统计，4，25–52。Gu，J.、Koenker，R.和Volgushev，S.（2017），“混合模型中的同质性检验”，即将发表在计量经济学理论中。Hamilton，J.D.（1989），“非平稳时间序列和商业周期经济分析的新方法”，《计量经济学》，第57357–384页（1994），《时间序列分析》，普林斯顿大学出版社（2005），“商业周期的真实情况是什么？”圣路易斯联邦储备银行评论，87435–452。-（2008），《新帕尔格雷夫经济学词典》（New Palgrave Dictionary of Economics），杜拉夫（Durlauf），S.N.和布鲁姆（Blume），L.E.，帕尔格雷夫·麦克米伦（Palgrave Macmillan），第二版—（2016），《宏观经济制度和制度变迁》，载于《宏观经济手册》（Handbook of Macroeconomics），泰勒（Taylor），J.B.和乌利格（Uhlig），H.，Elsevier，第2卷，第3章。Hamilton，J.D.和Susmel，R.（1994），“自回归条件异方差与制度变迁。”《计量经济学杂志》，64307-333。Hansen，B.（1992），“非标准条件下的似然比检验：GNP的马尔科夫转换模型检验”，《应用计量经济学杂志》，7，61–82（1996a），“在无效假设下未确定干扰参数时的推断”，《计量经济学》，64413–430（1996b），“无界相依异质阵列的随机等连续性”，计量经济学理论，12347–359。Hartigan，J.（1985），《纪念Jerzy Neyman和Jack Kiefer的伯克利会议记录》，Le Cam，L.和Olshen，R.编辑，伯克利：加利福尼亚大学出版社，第2卷，第807-810页。Ho，N.和Nguyen，X.（2016），“某些弱可识别有限混合体的参数估计收敛速度”，《统计年鉴》，44，2726–2755。Jensen，J.L.和Petersen，N.V。

（1999），“状态空间模型中最大似然估计量的渐近正态性”，《统计年鉴》，27514–535。Kahn，J.A.和Rich，R.W.（2007），“跟踪新经济：使用增长理论检测趋势生产率的变化”，《货币经济学杂志》，541670-1701。Kasahara，H.和Shimotsu，K.（2015），“测试正态混合回归模型中的成分数量”，《美国统计协会杂志》，1101632-1645（2017），“体制转换计量经济学模型中最大似然估计的渐近性质”，预印本，不列颠哥伦比亚大学。Krishnamurthy，V.和Ryd'en，T.（1998），“马尔可夫状态下线性和非线性自回归模型的一致性估计”，《时间序列分析杂志》，19291-307。Le Gland，F.和Mevel，L.（2000），“Hiddenmarov模型中的指数遗忘和几何遍历性”，控制、信号和系统的数学，13，63–93。Lee，L.-F.和Chesher，A.（1986），“分数测试统计数据相同时的规格测试。”《计量经济学杂志》，31121-149。Lehmann，E.L.和Romano，J.P.（2005），《检验统计假设》，Springer，第三版。Leroux，B.G.（1992），“隐马尔可夫模型的最大似然估计”，随机过程及其应用，40127–143。Levin，D.A.、Peres，Y.和Wilmer，E.L.（2009），《马尔可夫链和混合时间》，美国数学学会。Liu，X.和Shao，Y.（2003），“丧失识别能力情况下似然比检验的渐近性”，《统计年鉴》，31807-832。Louis，T.A.（1982），“使用EM算法时发现观测到的信息矩阵”，《皇家统计学会杂志》B辑，44226–233。Marmer，V.（2008），“应用GDP增长率检验无制度转换的无效假设”，实证经济学，35101–122。Morley，J.和Piger，J。

（2012），“不对称商业周期”，《经济学与统计评论》，94208-221。Newey，W.K.和McFadden，D.L.（1994），“大样本估计和假设检验”，《计量经济学手册》，阿姆斯特丹：北荷兰，第4卷，2111-2245页。Okimoto，T.（2008），“国际股票市场不对称依赖结构的新证据”，《金融和定量分析杂志》，43787-815。Pollard，D.（1990），《经验过程：理论与应用》，CBMS概率统计系列会议第2卷，加利福尼亚州海沃德：数理统计研究所。Qu，Z.和Zhuo，F.（2017），“基于似然比的马尔可夫状态转换测试”，预印本，波士顿大学。Rotnitzky，A.、Cox，D.R.、Bottai，M.和Robins，J.（2000），“基于奇异信息矩阵的可能性推理”，Bernoulli，6243–284。Schorfeide，F.（2005），“学习和货币政策转变”，《经济动态评论》，8392-419。Sims，C.和Zha，T.（2006），“美国货币政策中是否存在政权转换？”《美国经济评论》，96，54–81。Woodbury，M.A.（1971），“Hartley和Hocking对论文的讨论”，生物特征学，27808-817。表1：在标称10%、5%的情况下，零假设下的拒绝频率（%），和1%levelsH:M=1模型1模型2测试10%5%1%10%5%1%n=200 LRT 10.43 4.63 1.13 10.17 5.27 1.00支持9.87 5.10 0.93 9.63 4.67 0.90QLRT 10.03 4.97 1.03--n=500 LRT 8.80 4.03 0.67 9.13 4.30 1.23支持9.50 4.57 0.60 9.23 5.07 0.90QLRT 9.07 4.43 0.80--H:M=2LRT模型1模型2（p，p）10%5%1%10%5%1%n=200（0.5，0.5）12.06 7.16 1.70 10.57 4.87 0.80（0.7，0.7）11.976.07 1.70 9.63 4.53 1.07n=500（0.5，0.5）9.77 4.43 0.70 8.37 3.90 0.73（0.7，0.7）8.40 4.20 0.70 9.63 4.80 0.63注：我们使用199个引导样本和3000个复制。

对于使用模型1和2测试H:M=2，我们在（β，u，u，σ）=（0.5，-1，1，1）和（β，u，u，σ，σ）=（0.5，-分别为1、1、0.9、1.2）。表2：在替代假设模型1模型2（p，p）下测试H的拒绝频率（%）：M=1测试u=0.20u=0.6u=1.0u=0.20u=0.6u=1.0（0.25，0.25）LRT 4.87 46.90 99.63 16.40 78.00 99.97支持6.23 56.43 95.90 16.37 70.97 95.37QLRT 5.10 8.00 55.27-（0.50，0.50）LRT 3.80 7.03 67.87 13.70 43.77 92.77支持4.07 4.40 4.60 14.70 35.77 35.30QLRT 4.90 9.40 82.50---（0.70，0.70）LRT 4.10 10.23 91.07 14.63 51.37 98.17支持4.57 7.40 26.37 14.90 36.20 43.43QLRT 5.13 8.53 58.73-（0.90，0.90）LRT 5.33 46.87 99.97 23.27 79.87 100.00支持6.77 13.90 4.40 19.10 41.17 35.30QLRT 4.83 5.63 5.97----注：标称水平为5%，n=500。我们使用199个引导样本和3000个复制。我们设置u=-u对于两种模型，对于模型1，（β，σ）=（0.5，1.0），对于模型2，（β，σ，σ）=（0.5，1.1，0.9）。表3：在替代假设模型1模型2（u，u，u）（u，u，u）（u，u）（u，u，u）（u，u，u）（p，p，p）=（1，0，-1) = (2, 0, -2) = (1, 0, -1) = (2, 0, -2） （0.5，0.5，0.5）5.23 30.80 10.33 60.03（0.7，0.7，0.7）8.47 94.03 23.10 99.33注：标称水平为5%，n=500。我们使用199个引导样本和3000个复制。我们为模型1设置（β，σ）=（0.5，1.0），为模型2设置（β，σ，σ）=（0.5，0.6，0.9，1.2）。对于模型1和2，我们设置pij=（1- pii）/2，例如，当p=0.7时，（p，p）=（0.15，0.15）。表4：参数估计：美国人均GDP增长，1960年第一季度至2014年第四季度面板A：模型1，共同方差M=2 M=3 M=4 COE EFF。s、 e.系数。s、 e.系数。

s、 e.u-0.634 0.200-0.823 0.151-2.348 0.649u0.951 0.176 0.692 0.172-0.330 0.179u––2.023 0.236 0.532 0.161u––2.025 0.184σ0.913 0.053 0.752 0.052 0.832 0.040β0.787 0.041 0.773 0.046 0.639 0.053面板B：带切换变量的模型2 3米=4英尺。s、 e.系数。s、 e.系数。s、 e.u0.370 0.123-0.643 0.308-0.698 0.359u0.426 0.178 0.618 0.179 0.580 0.192u–1.826 0.325 1.569 0.523u–2.218 0.830σ0.655 0.063 1.091 0.167 1.041 0.197σ1.495 0.138 0.605 0.058 0.578 0.073σ–0.892 0.154 0.670 0 0 0 0.282σ––0.879 0.336β0.867 0.036 0.784 0.050 0.783 0.050表5：制度数量选择：美国人均GDP增长，1960Q1–2014Q4Model 1与common variance Model 2具有切换varianceLRT LRTMlog-like。AIC BIC LRnp-val.对数型。AIC BIC LRnp-val.1-331.70 669.39 679.58 20.86 0.000-331.70 669.39 679.58 47.25 0.0002-321.27 656.54 680.29 27.77 0.000-308.07 632.15 659.29 22.14 0.0003-307.39 640.77 684.89 15.23 0.020-297.01 624.01 674.91 4.87 0.3924-299.77 641.54 712.81 6.57 0.523-297 4.57 637.14 718.59 3.01 0.397图1：每个方案的后验概率（模型1，具有共同方差）：美国GDPper人均增长，1960Q1–2014Q4M=200万=300万=4图2：每个制度的后验概率（模型2带转换方差）：美国GDP高于人均增长，1960Q1–2014Q4M=200万=300万=4