使用相同的参数，X~ NIG（θ，β，γ，u），其中u=0，γ=q1-β2θ带-√2θ < β <√2θ，然后E[X（t）]=0，对于所有t>0，var（X（t））=t。在这种情况下，过程X被称为带参数（θ，β）的标准NIG过程，并用X表示~ stdNIG（θ，β）。将引理1应用于过程X~ NIG（θ，β，γ，u），我们发现η（u）满足（2），即0=（2θ+iu）+（u- β） η（u）- 2θθ - βη（u）-γη（u）或(u - β)+ 2θγη（u）+2（2uθ+（u- β） iu）η（u）- u+4θiu=0。最后，我们得到了解η（u）=-(2uθ + (u - β） iu）±q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β)+ 2θγ.由于NIG过程是一个纯跳跃L'evy过程，我们不能直接使用引理1。相反，我们使用进程X的连续近似进程Xcof作为分区P。满足条件R(-lη（u））<0对于所有u，我们有过程Xcasφτ（l）（u）的第一段时间τ（l）的ch.F≈（经验值-lη+（u）如果l>0exp-lη-（u）如果l<0，其中η+（u）=-(2uθ + (u - β） iu）+q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β） +2θγ和η-（u）=-(2uθ + (u - β） 国际单位）-q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β)+ 2θγ.为了进行数值说明，我们在图1中给出了标准NIG分布的pdf和标准NIG过程的首次通过时间。为了绘制图表，我们对方程（5）使用快速傅立叶变换方法，其中ch.F为第一次通过时间。设X=（X（t））t≥0~ stdNIG（θ，-β） ，Y=（Y（t））t≥0~ stdNIG（θ，β），参数θ=1，β=1/2，设B=（B（t））t≥0是标准布朗运动。我们分别考虑X和Y的连续近似过程xc和yc。在左侧和右侧的图版中，实心曲线代表X，虚线代表Y，灰点曲线代表B。在左侧图版中，我们显示了X（1）=Xc（1）（实心）和Y（1）=Yc（虚线）的pdf分别向左倾斜和向右倾斜。

pdfof B（1）（虚线点）是一种对称的标准普通pdf。设τXc（l）、τYc（l）和τB（l）分别为水平l=3时Xc、Yc和B的首次通过时间。在6张年轻的Shin-Kim右图中，我们展示了τXc（l）（实心）、τYc（l）（虚线）和τB（l）（虚线点）的pdf。由于X（1）（Y（1））的分布向左（右）倾斜，而B（1）的分布是对称的，因此τXc（l）（τYc（l））的模位于τB（l）模的稍右（左）位置。将引理1应用于过程X~ NTS（α，θ，β，γ，u），我们发现η（u）满足（2），即0=iu+（u- β） η（u）-2θ1-ααθ - βη（u）-γη（u）α- θα!, （6） 它没有显式解，但我们可以用数值方法找到解。此外，NTS过程也是一个纯跳跃L'evy过程，我们使用NTS过程的连续近似过程来查找第一个通过时间的ch.F。对于数值说明，我们在图2中给出了标准NTS分布的函数η（u）、ch.F和pdf，以及标准NTS过程的首次通过时间的pdf。我们考虑两个标准的NTS过程X~ stdNTS（α，θ，-β） 安迪~ 参数α=1.25，θ=1，β=0.3，水平l=3的标准DNT（α，θ，β）。左上板和右上板分别是X和Y的η（u），位于isfy（6）。中间的左板和右板是e-lη（u）对于stdNTS（1.25，1，-0.3）和STDNTS（1.25、1、0.3）。X（1）和Y（1）的Pdf分别是左下角板上的虚线和实线。设Xc和Yc是关于X和y的连续y近似过程。Xc和Yc第一次通过时间的Pdf’在数字上分别近似为右下板上的虚线和实线。左下角和右下角的点划线曲线分别为标准正态分布的pdf和标准布朗运动第一次通过时间的pdf。

对于与标准NIG情况相同的参数，虚线和实线的wehave模式分别位于点划线曲线的左侧和右侧，位于右下角的板中。最后，将通过特征函数获得的pdf与模拟样本路径的第一通行时间分布进行比较。我们分别表示τXc（1）和τYc（1）的pdf为τXc和fτYc。我们生成了20000条stdNTS样本路径（1.25，1，-0.3），使用Rachev等人【2011】中解释的逆变换方法。也就是{Xj（nt） | n=1，2，···，1，440}带时间步长t=1，2，···，20000时的1/48年分数。然后我们得到了30年的样本路径。设置l=3，如上例所示，我们找到一组最短时间asT={njt | nj=min{n，因此Xj（nt） >l | n=1，···，1440}，j=1，···，20000}。我们在图3的左图中给出了T和fτXcon的相对直方图。我们对stdNTS（1.25，1，0.3）进行了相同的测试，并在图3.2.2 CGMY ProcessLetα案例的右板上显示了基于模拟的stdNTS（1.25，1，0.3）和fτYcon的第一次通过时间的相对直方图∈ （0，2），C，λ+，λ-> 0和u∈ R.纯跳跃L′evy过程X，其ch.Fis等于φX（t）（u）=exp(u - CΓ（1- α)(λα-1+- λα-1.-))宫内节育器- tCΓ(-α) ((λ+- iu）α- λα++ (λ-+ iu）α- λα-)T S过程及其应用的首次通过时间7被称为CGMY回火稳定过程（见Carr等人[2002]）或带参数的CGMY过程（α、C、λ+、λ-, u），并用X表示~ CGMY（α，C，λ+，λ-, u). 对于闭合区间，GMY过程具有有限的指数矩，即E[eaX（t）]<∞ 如果a∈ [-λ-, λ+]. 如果X~ CGMY（α，C，λ+，λ-, u）其中u=0和C=Γ (2 - α)(λα-2++ λα-2.-)-1当所有t>0时，E[X（t）]=0且var（X（t））=t。

在这种情况下，过程X被称为带参数（α，λ+，λ）的标准CGMY过程-) 并用X表示~ stdCGMY（α，λ+，λ-).对于给定的u，我们发现η（u）满足（2），即0=iu+（u- CΓ（1- α)(λα-1+- λα-1.-))η（u）（7）- CΓ(-α) ((λ+- η（u））α- λα++ (λ-+ η（u））α- λα-)没有明确的解决方案。正如（6）中的NTS过程案例，我们也能够从数值上找到（7）的解，而ch.F是引理1中的方程。对于数值说明，我们考虑两个标准的C G MY过程X~ stdCGMY（0.75、3、1）和Y~stdCGMY（0.75，1，3），l级=3。我们还取了xc和yc，它们分别是X和Y的连续近似过程。我们在图4中给出了标准CGMY分布的函数η（u）、ch.F和pdf，以及标准CGMY过程的首次通过时间的pdf。左上和右上板分别是stdCGMY（0.75，3，1）和stdCGMY（0.75，1，3）的η（u）。左中板和右中板分别是stdCGMY（0.75，3，1）和s t dCGMY（0.75，1，3）的chF。stdCGMY（0.75，3，1）和stdCGMY（0.75，1，3）的Pdf分别是左下板上的虚线和实线。xc和yc的第一次通过时间的Pdf分别是右下板上的虚线和实线。左下角和右下角的点划线曲线分别为标准正态分布的pdf和标准布朗运动的首次通过时间的pdf。对于与标准NIG情况相同的参数，我们有虚线和实线的模式分别位于虚线点曲线的左侧和右侧，分别位于右下角的板中。我们可以对stdCGMY（0.75，1，3）和stdCGMY（0.75，3，1）进行与前一节中标准NTS情况相同的模拟实验。

我们省略了显示结果，因为CGMY模拟案例的结果与NTS模拟案例的结果非常相似。3奇异期权定价和数值说明的应用集合X=（X（t））t≥0和Xc=（Xc（t））t≥0分别是一个L'evy过程及其连续近似过程，并假设存在一个包含0的闭合区间I，使得E[eaX（t）]<∞ 对于任何a∈ 一、 我们假设在引理1的条件下存在ηsat I，τ（l）是（1）给出的第一次击中时间。设r和d分别为给定非衍生资产的无风险回报率和连续股息率。标的资产价格过程≥假设0为asS（t）=S（0）eX（t）。本文中的所有市场模型都是基于ris k-中性世界的，该世界没有任何风险。因此，我们假设折扣价格过程（~S（t））t≥0带￠S（t）=e-（r）-d） tS（t）是鞅。在这种情况下，我们将风险中性价格模型称为L'evy市场模型。TS过程类是L'evy过程的一个子类，包括NTS和CGMYprocess。带有TS过程的L'evy过程期权定价模型（即L'evymodel）8 Young Shin Kim经常用于期权定价理论。该模型可以通过描述风险中性度量的fattails和偏度来捕捉期权市场的波动微笑效应（SeeBoyarchenko和Levendorskii[2002a]，Cont和Tankov[2004]，Schoutens[2003]，andRachev et al。

[2011]).NTS市场模型在列维市场模型中，假设（X（t））t≥0是具有参数（α、β、θ、γ、u）的NTS过程，其中u=r- d+β+2θ1-ααθ - β -γα- θα!,然后贴现过程（~S（t））t≥0is鞅，sinceE[~S（t）]=e-（r）-d） tS（0）E[exp（X（t））]=S（0）。在本案例中，我们说基础资产价格过程遵循NTS市场模型。特别是，如果α=1，我们说它遵循NIG市场模型。CGMY市场模型在L'evy市场模型中，假设（X（t））t≥0是带有参数（α、C、λ+、λ）的CGMY过程-, u），其中u=r-d+CΓ（1-α)(λα-1+-λα-1.-)+CΓ(-α) ((λ+- 1)α- λα++ (λ-+ 1)α- λα-) ,然后贴现过程（~S（t））t≥0是NTS marketmodel案例中相同参数的鞅。在这种情况下，我们说基础资产价格过程遵循CGMYmarket模型。模型校准我们使用标准普尔500指数看涨期权和看跌期权校准三个TS（NIG、NTS和CGMY）市场模型的参数。我们从沃顿研究院a Services提供的OptionMetricst M获得标准普尔500指数看涨期权和卖出价格。参数通过最小二乘曲线进行校准，NTS、NIG和CGMY模型的看涨期权和看跌期权价格由Lewis【2001】和Carr及Madan【1999】采用快速傅立叶变换方法计算。对于基准，我们校准了BS模型（Black and Scholes[1973]）参数σ，即波动率。在本次校准中，我们使用2014年10月8日的期权价格，标普500指数的基础价格为S（0）=1968.89，风险中性利率为r=0.12%，标普500指数的股息率为d=1.94%。我们选择货币（=（履约价格）/（当前基础价格））介于0.9和1.1之间，到期时间为7天、32天或52天的看涨期权和看跌期权。我们校准了买入价格的参数，并将价格单独列出。校准参数如表1所示。

在表中，我们提供了三个误差估计值：平均绝对误差（AAE）、平均绝对误差占平均价格的百分比（APE）和均方根误差（RMSE），定义如下：AAE=NXj=1 | Pj-bPj | N，APE=PNj=1 | Pj-bPi | NPNj=1PjN，RMSE=VuTutnxj=1（Pj-bPj）N，更多详情见Schoutens【2003】。T-S过程的首次通过时间及其应用9b和pn是期权的模型价格和观察市场价格，n∈ {1，…，N}，N是观察到的看涨期权价格的数量。正如包括Carr等人【2002年】、Schoutens等人【2003年】和Rachev等人【2011年】在内的许多文献所报道的那样，NIG、NTS和CGMYmarket模型比BS模型具有更好的校准性能，也就是说，这三个L’evy市场模型的三个误差估计量明显小于BS模型的三个误差估计量。τ（l）特征函数的近似如第2节所述，τ（l）的特征函数在数值上近似为φτ（l）（u）≈ e-NTS和C GMY市场模型的lη（u）。根据这一近似值，我们将在以下小节中讨论永久美式看涨期权和看跌期权的定价以及障碍期权的定价。在下面的市场中，我们假设股票价格过程S的priving过程X是NTS（包括NIG）和CGMY过程的连续近似过程。3.1永续美国看涨期权和看跌期权的应用我们考虑行使价格为K的永续美国看涨期权和看跌期权。永续看涨期权的价格等于永续=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）如果S（0）≤ L+S（0）- K如果S（0）>L+，其中L+=η+（ir）Kη+（ir）- 1和η-（ir）是l>0且u=ir时满足（2）和（3）的值。

永久认沽价格等于每股=K1级- η-（ir）S（0）（η）-（ir）- 1） Kη-（ir）η-（ir）如果S（0）≥ L-K- 如果S（0）<L，则S（0）-,其中-=η-（ir）Kη-（ir）- 1和η-（ir）是指当l<0且u=ir时，在（2）和（3）处的值s。附录中提供了有关个人美国看涨期权和看跌期权价格的更多详细信息。使用上述永续买入/卖出公式，我们使用表1所示的校准参数，计算2014年10月8日NIG、NTS和CGMY市场模型的永续美国买入和卖出期权的价格。我们还使用2014年10月8日数据中的基础价格、风险中性回报率和股息率。由于NIG、NTS和CGMY市场模型的永久买入价和卖出价非常相似，我们在图5中仅展示了C G MY市场模型下的价格（实心曲线）。对于基准，我们使用BS模型计算永久美式期权价格（虚线点曲线）。在这种情况下，图中左侧的板块是永久买入价格，右侧的板块是货币的永久卖出价格，从0.8到1.2。我们发现，BS价格或多或少低于CGMY价格。10 Young Shin Kim3.2障碍选项的应用价值障碍选项是最受欢迎的外来选项之一。障碍选项按敲入障碍选项和敲出障碍选项进行分类。当标的资产价格达到某一特定的障碍水平时，即会激活敲入障碍期权。在基础价格达到障碍水平之前，淘汰障碍期权一直有效，但一旦基础价格达到障碍水平，期权价格将变为零。碰撞障碍选项分为向上和向内障碍选项以及向下和向内障碍选项。如果障碍水平高于（低于）当前基础价格，则敲入障碍期权被称为向上和向内（向下和向内）障碍期权。

击倒障碍选项也被上下障碍选项和下下下障碍选项所除。如果障碍水平高于（低于）当前基础价格，则淘汰障碍期权被称为向上和向外（向下和向外）障碍期权。在本节中，我们将讨论欧式障碍看涨期权和看跌期权的定价。设Bbe为障碍水平，K为看涨期权和看跌期权的执行价格，t为到期时间。假设当前的基础设定价格为S（0），让l=log（B/S（0））。如果l<0，则有向下、向内、向下和向外选项；如果l>0，则有向上、向内、向上和向外选项。设r和d分别为给定标的资产的无风险回报率和连续股息率。下行和买入（cdi）、上行和卖出（pui）按cdi=e定价-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ<-1和PUI=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ>0，以及向上和向上呼叫（cui）和向下和输入（pdi）由cui定价=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≤ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）如果K>B，ρ<-1和PDI=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≥ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）如果K<B，ρ>0，则为du，其中h（u）=Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dv。由于敲出买入（卖出）期权价格可以通过普通买入（卖出）价格减去敲入买入（卖出）价格来计算，因此本节不考虑敲出买入和卖出期权。关于障碍期权定价的更多细节和证明，请参见附录。值得注意的是，我们用数字计算了这四种敲入期权价格。

我们使用表1中的估计参数计算2014年10月8日的买入和卖出价格，其中标普500指数的基础是S（0）=1968.89，风险中性利率为r=0.12%，详情见Hull【2015】。T-S过程的首次通过时间及其应用11标准普尔500指数的股息率为d=1.94%。我们假设到期时间为T=1年，我们选择的履约价格介于1600和2300之间，即K∈{1600, 1625, ··· , 2300}. 由于NIG和NTS市场模型下的障碍期权价格与CGMY市场模型下的价格没有显著差异，我们只显示了CGMY市场模型下的障碍期权价格。对于基准，我们将CGMY价格与基于BS模型的障碍期权价格进行比较。在图6中，看跌期权和看跌期权的价格分别显示在左侧和右侧的板中，因为B级障碍为1750。CG MY模型上的障碍期权通常大于BS模型上的价格，因为CGMY分布是左偏的，且CGMY分布的尾部比高斯分布更厚。由于CGMY分布的左偏态，敲入期权存活的概率比BS模型的概率大。在图7中，上行和买入看跌期权价格分别显示在左侧和右侧板中，因为B级障碍为2200。在这种情况下，BS障碍期权价格不同于CGMY障碍期权价格。此外，我们使用快速Fouriertransform算法实现了四障碍期权定价公式。为了完成这一数值计算，我们使用MatlabT M2015a ona PC，该PC配备Intel CORE i7T微处理器（3.00GHz双核）和MS WindowsT M10操作系统。获得看跌期权和看跌期权价格需要59.9秒，获得看跌期权和看跌期权价格需要67.6秒。

获得下跌和买入期权价格需要69.3秒，获得下跌和卖出期权价格需要61.4秒。4结论在本文中，我们使用鞅方法和连续近似过程找到了一个L'evy过程的第一个通过时间的特征函数的近似值。更准确地说，我们发现了三个TS过程（NIG、NTS和CGMY过程）的首个消息时间的ch.F和pdf的近似值，无论是显式的还是数字的。它被应用于永久美式期权和障碍期权的定价。同时提供了使用市场看涨期权和看跌期权价格校准参数的数字说明。我们获得了一种在TS市场模型下找到这些奇异期权的可行方法。该结果也可用于信用风险管理中的违约概率分析。感谢卡尔加里大学kayne商学院的Kyuong Jin Choi教授，他为完成本研究提供了动力。此外，所有剩余的错误都是我自己的。参考D。Applebaum。列维过程与随机微积分。剑桥大学出版社，纽约，2004.12 Young Shin KimO。巴恩多夫·尼尔森。粒子大小对数的指数递减分布。伦敦皇家学会会刊A：数学、物理和工程科学，353（1674）：401–4191977。ISSN 0080-4630。内政部：10.1098/rspa。1977.0041. 统一资源定位地址http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/353/1674/401.O.E.Barndorff Nielsen和S.Levendorskii。正态逆高斯型Feller过程。《定量金融》，1:318–3312001。O、 E.B arndorff Nielsen和N。谢泼德。正常修改的稳定过程。牛津大学经济系经济学系列工作论文，72，2001年。F、 布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。

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2： l=3级标准NTS过程首次通过时间的函数η（u）、ch.F和pdf。左上角是stdNTS（1.25，1，0.3）的函数η（u），右上角是stdNTS（1.25，1，-0.3). 左中是TDNTS（1.25，1，0.3）的特征函数，右中是stdNTS（1.25，1，-0.3). standardNTS发行版的Pdf位于左下角。标准NTS流程的第一次通过时间的PDF位于右下角。T S工艺及其应用的首次通过时间150 5 10 15 20 25 3000.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050 5 10 15 20 25 3000.0050.010.0150.020.0250.030.0350.0450.05图。3： stdNTS首次通过时间的相对直方图（1.25，1，-0.3）模拟采样路径（左）和stdNTS（1.25，1，0.3）模拟采样路径（右）。16 Young Shin Kim0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-2.-1.5-1.-0.500.511.520 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.3-0.2-0.100.10.20.3-5 0 500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 stdCGMY（0.75,3,1）stdCGMY（0.75,1,3）std BM0 5 10 15 20 25 3000.010.020.030.040.050.06 stdCGMY（0.75,3,1）stdCGMY（0.75,1,3）std BMFig。4： 函数η（u）和ch.F用于标准CGMY过程的首次通过时间。左上角是stdCGMY（0.75，3，1）的函数η（u），右上角是stdCGMY（0.75，1，3）。左中是TDCGMY的特征函数（0.75，3，1），右中是stdCGMY的特征函数（0.75，1，3）。P标准CGMY分布的df位于左下角。

标准CGMY流程第一次通过时间的PDF位于右下角。T S过程及其应用的首次通过时间170.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1.15 1.2200250300350400450500Moneyness（K/S（0））价格CGMY ModelBS Model0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1 1.15 1.21300140150016001700190020010000moneyness（K/S（0））价格CGMY ModelBS ModelFig。5： CGMY市场模型（SolidCurve）和BS模型（虚线点曲线）下的永久cal l（左）和put（右）价格。18 Young Shin Kim1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 23000102003040506070向下-和-呼叫CGMY BarrierBS Barrier1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300050100150200250300坏-和-输入CGMY BarrierBS BarrierFig。6： 看跌期权（左）和看跌期权（右），价格水平为1750，其中当前基础指数价格S（0）=1968.89，到期时间i S T=1年。实线为CGMY模型的买入/卖出价格，虚线为BS模型。1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 23000204060801020140160182000以上-和-呼叫CGMY BarrierBS Barrier1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 230001020030405060以上-和-输入CGMY BarrierBS BarrierFig。7： 看涨期权（左）和看跌期权（右）价格，其中障碍水平为B=2200，当前基础指数价格S（0）=1968.89，到期时间为T=1年。实心曲线为CGMY模型的买入/卖出价格，虚线为BS模型。T-S过程的首次通过时间及其应用19附录作为附录，我们在L'evy市场模型下讨论了永久美式期权定价和障碍期权定价。永久美式期权L'evy模型上的永久看涨期权和看跌期权价格可以通过Gerber和Shiu（1994）引入的鞅方法获得。在本节中，我们将遵循L'evy市场价格模型的鞅方法。我们考虑执行价格为K的永久美式看涨期权。

如果期权持有人在时间T行使认购权，则持有人获得（S（T）- K） +其中x+=最大值{0，x}。设L为带L的实数≥ K、 持有人将在资产价格首次大于或等于L级时行使认购权。我们定义了首次通过时间τ（L）=inf{t≥ 0 | S（t）≥ 五十} =inf{t≥ 0 | X（t）≥ l} ，其中l=log（l/S（0））>0。那么永久美式调用的当前值为永久=最大≥KE[电子]-rτ（l）（S（τ（l））- K） +]。LetC（L）=E[E-rτ（l）（S（τ（l））- K） +]=（L- K） E【E】-rτ（l）]，这是τ（l）的拉普拉斯变换。应用引理1，我们可以得到Laplacetransform asEhe-rτ（l）i=φτ（l）（ir）=e-lη+（ir），其中η+（ir）是满足（2）和（3）的值，l>0且u=ir。因此我们有c（L）=（L- K） e类-lη+（ir）=（l- K）S（0）Lη+（ir）。通过解决CL（L+）=0，我们找到最佳值L+L+=η+（ir）Kη+（ir）- 因此，我们得到最大值C（L+）=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）。如果L+<S（0），则立即执行看涨期权，因此我们有价格S（0）-K、 因此，永久买入价等于永久买入价=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）如果S（0）≤ L+S（0）- 如果S（0）>L+，则为K。20 Young Shin KimWe考虑行使价格为K的永久美式看跌期权。如果期权持有人在时间T行使看跌期权，则持有人获得（K- S（T））+。设L为0<L的实数≤ K、 当资产价格首次低于或等于L级时，持有人将行使看跌期权。我们定义了首次通过时间τ（L）=inf{t≥ 0 | S（t）≤ 五十} =inf{t≥ 0 | X（t）≤ l} 其中，l=对数（l/S（0））<0。则put IsPaperate的当前值=max0<L≤KE[电子]-rτ（l）（K- S（τ（l）））+]，这是τ（l）的拉普拉斯变换。对于与看涨期权情况相同的参数，我们发现最佳值L-L-=η-（ir）Kη-（ir）- 1，其中η-（ir）是l<0且u=ir时满足（2）和（3）的值。

因此，永久输出价格等于Toperpetual=K1级- η-（ir）S（0）（η）-（ir）- 1） Kη-（ir）η-（ir）如果S（0）≥ L-K- 如果S（0）<L，则S（0）-.障碍期权集P i是欧式期权的支付函数。例如，行使价格K的欧洲看跌期权由∏（S（t））=（S（t）给出- K） +和∏（S（T））=（K- S（T））+。屏障等级为B、成熟时间为T的敲入式屏障选项按以下等式VI=e定价-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T其中l=对数（B/S（0））。请注意，l<0表示向下和进入屏障选项，l>0表示向上和进入屏障选项。因为我们有∏（S（T））=∏（S（T））1τ（l）<T+∏（S（T））1τ（l）≥T、 可通过以下等式VO=e获得淘汰障碍期权价格-rTE公司π（S（T））1τ（l）≥T= e-rT公司E[π（S（T））]- Eπ（S（T））1τ（l）<T= 五、-Vi，其中V=e-rTE[π（S（T））]。请注意，l<0表示向下和向外屏障选项，l>0表示向上和向外屏障选项。情况1：当障碍期权价格与无障碍期权价格相同时，∏（S（T））=π（S（T））1τ（l）<TIf∏（S（T））=π（S（T））1τ（l）<Vi=e-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T= e-rTE[π（S（T））]。例如（1）up和in call option wi t h K>B，我们有（S（t）- K） +=（S（T）-K） +τ（l）<T，和（2）K<B的向下和卖出期权，我们有（K- S（T））+=（K- S（T））+τ（l）<T。T S过程的首次通过时间及其应用21例2：π（S（T））6=π（S（T））1τ（l）<TIf∏（S（T））6=π（S（T））1τ（l）<T，我们有vi=e-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T= e-rTEhEh∏（S（0）eX（T）-X（τ（l））+X（τ（l）））1τ（l）<T |τ（l）ii=e-rTEhEh∏（S（0）eleX（T-τ（l）））1τ（l）<Tτ（l）ii=e-rTZTEh∏（S（0）eleX（T-t） ）1t<Tifτ（l）（t）dt，其中fτ（l）是τ（l）的pdf。因为我们有S（0）el=B和fτ（l）（t）=2πZ∞-∞e-ivtφτ（l）（v）dv，cibecomesVi=e-rT2πZTEh∏（BeX（T-t） ）iZ∞-∞e-ivtφτ（l）（v）dv dt=e-rT2πZ∞-∞ZTEh∏（BeX（T-t） ）ie-ivtdtφτ（l）（v）dv。

（8） 通过使用傅里叶变换的欧式期权定价公式（见Carr和Madan【1999】、Lewis【2001】和Rachev et al【2011】），我们得到了Eh∏（BeX（T-t） ）i=2πZ∞-∞Bi（u+iρ）e（T-t） ψX（u+iρ）^∏（u+iρ）du，其中∏（z）=R∞-∞e-复数z和ρ的izx∏（ex）dx是一个实常数，因此ψX（u+iρ）和^∏（u+iρ）对于所有u∈ R、 因此我们有vi=e-rT2πZ∞-∞ZT2πZ∞-∞Bi（u+iρ）e（T-t） ψX（u+iρ）^∏（u+iρ）du e-ivtdtφτ（l）（v）dv=e-rT（2π）Z∞-∞Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）中兴通讯（T-t） ψX（u+iρ）e-ivtdt duφτ（l）（v）dv=e-rT（2π）Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dv duLetH（u）=Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dvthenVi=e-rT（2π）Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）H（u）du。22 Young Shin Kim欧洲看涨期权和看跌期权看涨期权收益∏（S（t））=（S（t）- K） +，我们有^∏（u+iρ）=Z∞日志Ke-i（u+iρ）x（ex- K） dx=Kρ+1-iu（ρ- iu）（ρ+1- iu），ρ<-1对于看跌期权收益∏（S（T））=（K- S（T））+，我们有∏（u+iρ）=Zlog K-∞e-i（u+iρ）x（K- ex）dx=Kρ+1-iu（ρ- iu）（ρ+1- iu），ρ>0。在案例2中，下行和买入期权价格（cdi）以及上行和卖出期权价格（pui）总是存在。

因此，我们有他们的价格ascdi=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ<-1和PUI=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ>0对于上行和买入期权价格（cui）以及下行和卖出期权价格（pdi），我们考虑案例1，最终得到cui=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≤ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du i f K>B，ρ<-1.和PDI=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≥ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du i f K<B，ρ>0。上述向上、向内、向下和向内通话对应的向上、向外、向下和向外通话按cuo=c定价- cui，cdo=c- cdi，其中c是具有执行价格K和到期时间T的普通看涨期权价格。与上述向上、向内、向下和向内投入相对应的向上、向外、向下和向外投入按puo=p定价- pui，pdo=p- pdi，其中p是普通看跌期权价格，执行价格为K，到期时间为T。