金融数据的索引马尔可夫链：测试

2022-6-6 20:04:16

他们在2018年2月6日提交给统计论文的许多应用预印本领域中的成功可能来自于模型定义和基本生成思想的简单性，而另一方面则来自于模型特定参数化的不必要规定。然而，马尔可夫链模型尚未用于财务回报的日内动态建模，一个显著的例外是[5]。马尔可夫链模型在描述日内数据方面的一个主要不足之处是收益率平方的自相关函数较低，这反过来又意味着波动率聚类的较低再现，见【6】。这一问题刺激了对似是而非的解决方案的研究，而这些解决方案并没有朝着提高马尔可夫链阶数的实际不可管理的方向发展。在一系列论文中，提出了索引半马尔可夫过程的思想，参见[7、8、9、10、11]。这些过程有助于再现高频金融数据的重要类型化事实，如收益率中不存在自相关、收益/损失不对称、收益平方的自相关函数以及有助于金融投资组合建模的多变量扩展。这些指数模型有一个非常吸引人的特性：从某种意义上说，它们是内生模型，不需要像ARCH/GARCH方法中那样引入噪声过程转换，也不需要引入不可观测过程（通常是隐马尔可夫链）来纳入波动性机制，参见。g、 [12、13、14]。指数过程是过去收益函数的移动平均值，通常它假定值为实数集。对于索引模型的实际应用，索引过程状态空间的离散化是一个关键点。

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2022-6-6 20:04:19

在之前的文章中，这一步骤是以一种神经论的方式执行的，考虑到指数过程的直方图，并考虑在给定数量的子区间中分布的比例。应用程序中的每个状态对应于一个波动性级别，该级别会改变收益的动态。在本文中，我们重点关注指数马尔可夫链（IMC）模型，并继续开发一种统计程序，该程序允许识别指数过程状态空间的最佳划分，以及相应地识别必要的波动率机制，以便进行准确建模。通过这种方式，我们获得了实现模型的自动化过程。该程序是对[15]开发的马尔可夫链变化点技术的一种改编。在【15】中，我们使用统计技术来确定马尔可夫链的动态变化发生的时间，并应用不同的转移概率矩阵。在我们的论文中，我们感兴趣的是确定指数过程的阈值，其中收益过程根据指数过程（波动性）发生重大变化，标志着与过去的不连续性。我们确定阈值的数量和大小，因此我们为索引的每个值估计一个转移概率矩阵。此外，还讨论了指数过程中下一次变化（波动率）的概率分布函数的确定问题，并确定了一个显式公式。所开发的概念适用于2007年1月1日至2010年12月31日在意大利证券交易所（Borsa Italiana）交易的埃尼集团股票的实际日内财务数据。

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2022-6-6 20:04:22

实证结果表明，最佳变化点数量为4，因此，我们确定了五种不同的波动水平，这对于获得接近真实数据的结果是必要的。本文组织如下：第2节对引入指数过程的马尔科夫模型进行了一般描述，第3节对基于变点方法的指数过程状态空间离散化进行了形式化描述，第4节给出了计算过程进入某一指数级可能性的显式公式。最后，第5节展示了该方法的实证应用。2、指数马尔可夫过程由于状态空间离散化的变点方法的应用是基于指数马尔可夫模型的特点，它有助于快速总结该模型的主要特征。关于完全概率空间(Ohm, F、 P）我们定义了一系列随机变量{Sn}n∈n在时间n时通知金融资产的价格∈ N、我们将注意力集中在日志返回流程上，即Rn=log（序号/序号）所定义的流程上-1). 根据文献[10]，通过映射M:R，将日志返回转换为离散返回序列-→ E={-zmin公司, ..., -, 0, , ..., 求最大值}, （1）在哪里是E的栅格振幅。我们假设离散返回Jn：=M（Rn）达到值i 当连续返回RN属于间隔时（一）-), （i+）.最低离散返回Jn=-zmin公司当连续返回Rn时实现≤ (-zmin+）而最高离散回报Jn=zmax 每当Rn>（zmax）时分配-).我们还考虑了随机过程{Vmn}n∈n值为R。随机变量Vmn描述了第n次转换时指数过程的值，定义如下：Vmn=Pm-1k=0f（Jn-k） m。

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可人4

2022-6-6 20:04:25

（2）公式（2）将指数过程表示为过去收益函数f的移动平均值（Jn，Jn-1.Jn公司-m+1）。随着时间从时间n前进到时间n+1，新的返回Jn+1将取代返回Jn-m+1，并确定指数Vmn+1的新值。参数m称为过程的存储器，应根据数据进行校准。在应用部分，我们将描述m的校准和函数f的选择，以有助于检测波动性。定义了指数马尔可夫链模型，该模型在随机过程Jn和Vmn之间施加概率关系：P（Jn+1=j | Jn=i，Vmn=v，σ（Jh，Vmh，h=0，…，n））=P（Jn+1=j | Jn=i，Vmn=v）=：pij（v），（3），其中σ（Jh，Vmh，h=0，…，n）是双变量过程的自然过滤。式（3）表明，n+1过渡期的价格回报过程的值取决于前n次过渡期的过程值和前n次过渡期的指数过程值。引入索引流程是为了将过去的信息纳入下一次回报的构成中。移动平均线的使用是为了排除在新收益形成过程中不起决定性作用的远程信息。等式（3）断言，对于索引过程v的每个值∈ R有amatrix P（v）=（pij（v））i，j∈这给出了状态之间转换的概率。为了应用模型并减少不必要的参数化，有必要确定索引过程的哪些值必须考虑动态的实际变化，换句话说，有必要在动态发生有效变化的给定数量的状态下离散索引过程的值。3.

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2022-6-6 20:04:30

状态空间的离散化通过变化点逼近在这一节中，我们提出了将马尔可夫链的变化点逼近（如[15]所述）应用于我们的索引模型的想法，明显不同的是，我们的变化点不是时间，而是对应于发生动态变化的索引过程的值。因此，我们的目标是确定索引过程Vmnas的最佳状态数以及每个状态的边界值。这将通过使用价格返回过程jn的动态取决于indexprocess Vmn的值这一事实来获得。让我们假设我们已经确定了内存m的值，并且我们已经观察到了从时间0到T的价格过程sn的轨迹∈ N这是最后一次观察过程的时间。然后，根据观察到的log返回{Jn}Tn=0的时间序列，我们可以使用关系（2）构造索引进程{Vmn}Tn=0的对应时间序列。由于函数f是有界的，集合E是有限的，因此过程Vmn求出最大值Ef和最小值Ef之间的值，然后：Vmn（ω）∈ [Ef，Ef]。（4）首先，让我们假设市场上主要有两个级别的波动性：低波动性和高波动性。这相当于找到指数过程的一个值，该值表示回报动态中的一个变化点。我们感兴趣的是通过两个不同的转移概率矩阵描述的两个不同的马尔科夫过程来建模价格回报过程Jn。LetP（ψ）是低波动情况下价格收益过程的转移概率矩阵，P（ψ）是高波动情况下的转移概率矩阵。由于波动水平是通过指数过程考虑的，因此指数过程的状态空间[Ef，Ef]必须细分为两个离散状态。

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2022-6-6 20:04:33

Letψ∈ [Ef，Ef]是指数过程的值，它决定了价格回报过程jn的动态变化，从而：（a）区间[Ef，ψ）表示低波动率情况。如果指数过程vmn<ψ，那么我们假设价格回报过程jn由转移概率矩阵P（ψ）描述；（b）区间[ψ，Ef]表示高波动率情况。如果索引处理VMN≥ ψ、然后我们假设价格回报过程jn由转移概率矩阵P（ψ）描述。一个已知变更点的情况。如果变化点ψ已知，则可通过最大似然估计量^P和^P估计转移概率矩阵，其（i，j）-th元素如下所示：^Pij（ψ）=PTn=1{Jn-1=i，Jn=j，Vmn-1.≥ψ} PTn=1{Jn-1=i，Vmn-1.≥ψ} =：Nij（ψ）Ni（ψ）（5）^Pij（ψ）=PTn=1{Jn-1=i，Jn=j，Vmn-1<ψ}PTn=1{Jn-1=i，Vmn-1<ψ}=：Nij（ψ）Ni（ψ）。（6）为了检验两个矩阵在统计上相等的假设，因此，由于指数过程状态的不同水平，价格回报过程的动力学没有显著变化，可以在给定的显著水平α下进行统计检验：H： P=P，H：P 6=P。（7）一旦设定了这两个假设，就必须确定距离度量。如【15】所示，通过似然比的标识可以开发出一种方便的距离度量。设L（P（ψ），P（ψ），x）是在周期[0，T]上观察到的样本x的似然函数，其变化点为ψ。那么，L（P（ψ），P（ψ），x）=P（J=x，J=x。

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2022-6-6 20:04:37

，JT=xT）=Yi，j∈E（Pij（ψ））Nij（ψ）*Yi，j∈E（Pij（ψ））Nij（ψ）。（8）设L为对数似然函数：L（P（ψ），P（ψ），x）=log（L）=XijNi，j（ψ）* 日志Ni，j（ψ）Ni（ψ）+Xij公司Ni，j（ψ）* 日志Ni，j（ψ）Ni（ψ）=: L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）。（9）然后可以根据对数似然函数计算距离度量：D=2* [L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）- L（P，x）]，（10），其中oL（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）是备选假设下模型的似然值的对数；oL（P，x）是零假设下模型似然值的对数。在这种情况下，我们假设观测过程中没有变化点，因此我们通过使用马尔可夫链的单个转移概率矩阵P来估计价格回报过程{Jn}的动力学。标准渐近理论（参见，例如[16]）可用于证明ifT→ ∞ 和Ni，j（ψ）→ ∞ 和Ni，j（ψ）→ ∞ 适用于所有州i∈ E、然后D在分布中收敛到一个χ-平方随机变量，即| E |·（| E |-1）自由度。一个未知变更点的情况。在我们的例子中，变化点是未知的，也需要进行估计。在变化点未知的情况下，参数ψ成为上述对数似然函数的未知参数。通常，在这种情况下，ψ的最大似然估计量不以闭合形式存在，但可以通过迭代方法进行估计。在操作上，方法如下：1。定义离散和不同点ψ的状态空间∈ [Ef，Ef]；2.对于每个可能的ψ∈ [Ef，Ef]（a）集合ψ=ψ；（b）用公式（5）估计P（ψ），用公式（6）估计P（ψ）；（c）计算L（P（ψ），P（ψ），x）=L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x），如式（9）所示；3.

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能者818

2022-6-6 20:04:40

Fix^ψ=arg max{ψ∈ [Ef，Ef]：L（P（ψ），P（ψ），x）}。结果将是确定价格回报过程变化的指数过程的值、反映两种不同动态的价格回报过程的估计转移概率矩阵以及对数似然函数的值。一旦获得这些输出，就可以进行（7）中所示的假设测试。不幸的是，HIS下统计检验的理论分布也未知，但可以通过使用bootstrap方法来近似检测马尔可夫链的时间变化点，参见【15】。给定样本x，根据数据估计单个转移概率矩阵P，即不考虑变化点。从转移矩阵P模拟了相同长度数据的多条轨迹B。对于每个公式，计算公式（10）中定义的检验统计量。我们将该值表示为DB。然后，统计测试D的理论分布可以通过模拟统计测试DB的核分布来近似。一旦测试的置信度α水平确定，临界值dα可近似为1- 模拟统计检验DB的α百分位数。因此，如果样本数据的统计检验^D（x）≥ dα，将拒绝零假设。测试的p值可以计算为：p- 值=B+1*h1+BXi=1{DB（x）≥^D（x）}i（11）多个未知变化点的情况。

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2022-6-6 20:04:43

两个或多个变更点的情况可以从迄今为止所示的单个变更点的估计方法进行扩展。设ψ<ψ<···<ψkbe k在区间[Ef，Ef]中定义的变化点。k个变化点的每个可能组合将间隔划分为k+1个子间隔：【Ef，ψ】=：I（s）（ψ，ψ】=：I（s）。。。（ψr）-1，ψr】=：I（s）r。。。（ψk，Ef）=：I（s）k+1。对于k+1子间隔中间隔的每个（s）可能分区I（s）rk+1r=1，必须估计k+1转移概率矩阵^P（s），其（i，j）元素为：^P（s）i，j；r=PTn=1{Jn-1=i，Jn=j，Vmn-1.∈I（s）r}PTn=1{Jn-1=i，Vmn-1.∈I（s）r}=：N（s）I，j；rN（s）i；r、（12）在[0，T]周期上观察到的样本x的似然函数为：L（s）（P（s），P（s），P（s）k+1；x） =k+1年=1年，j∈EP（s）i，j；rN（s）i，j；r、（13）然后可以计算对数似然函数，即L（s）=log（L（s））=L（s）+L（s）+···+L（s）k+1=k+1Xr=1L（s）r，（14）其中L（s）r：=L（Psr，x）是参考子区间Ir的一般（s）分区的对数似然。如上所述，可以以迭代的方式计算k变化点的值。我们设置ψ的n个离散且不同的值∈ [Ef，Ef]。注意，对于k个变化点，我们有n-1公里变化点向量的可能组合（ψ，ψ，…，ψk）。该方法与一个变化点的方法基本相同，但在这种情况下，我们必须考虑k个变化点集（ψ，ψ，…，ψk）的所有可能组合。估算值可通过以下公式计算：（ψ，ψ，…）。

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2022-6-6 20:04:46

，ψk）=arg max{（ψ<ψ<····<ψk）∈ 【Ef，Ef】：L（s）}（15）在这种情况下，可以进行试验，其中：H： P=P=···=PkH：Pi6=pj对于一些i 6=j（16），检验统计量可计算如下：D（s）=2*hk+1Xr=1L（s）r- L（P）i（17），其中L（P）是在样本x上没有变化点的情况下的对数似然值，因此估计单个转移矩阵P。bootstrapmethodology可再次用于获得统计检验理论分布的近似值。如果变化点的数量未知，还需要对其进行估计，从而可以使用AIC或BIC等度量。AIC目标函数由以下公式得出：AIC（k）=2* | E |*（| E |-1) * （k+1）- 2.*k+1Xr=1LMr（18），其中olm是ψ，ψ，…，的最大似然估计的对数似然值，ψk存在k个变化点的条件o| E |是马尔可夫链的状态数ok是变化点数。变化点的估计数量由以下公式给出：^kAIC=arg min{k∈ {1，2，…，n}：AIC（k）}。（19）或者，可以使用BIC标准：BIC（k）=2* 日志（n）* | E |*（| E |-1) * （k+1）- 2.*k+1Xr=1LMr。（20）变化点的估计数量由以下公式给出：^kBIC=arg min{k∈ {1，2，…，n}：BIC（k）}。(21)4. 预测下一步的指数值假设我们已确定指数马尔可夫链{Jn}n的k个变化点∈确保：ψ<ψ<···<ψk；ψi∈ Ri=1，2，k、因此，我们估计了k+1转移概率矩阵，表示为：P（v）=（pij（v））i，j∈E、五∈Rwhere pij（u）=pij（v）如果一∈ {1, 2, . . .

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2022-6-6 20:04:50

k- 1} 使得ψa<u≤ ψa+1；ψa<v≤ ψa+1。这意味着，如果u，v属于相同的区间Ia+1：=（ψa，ψa+1），其中i=(-∞, ψ] 和Ik+1=（ψk+∞], 那么P（u）=P（v）。在时间s，应用模型所需的信息是返回过程iss过去状态的向量-m+1：={是-m+1，is-m+2，是-1，is}。一旦向量iss-m+1已知，我们可以计算索引进程的值：Vms=Pm-1k=0f（Js-k） m=Pm-1k=0f（is-k） m.（22）让我们定义一下：Tiss-m+1（Ia）：=inf{n≥ s、 n个∈ 编号：Vmn∈ Ia | Jss-m+1=iss-m+1}，（23）作为索引过程进入一般区间Ia=（ψa）的第一次（当前时间s的连续时间）-1，ψa]。还有letgiss-m+1（Ia；s+n）=P（Tiss-m+1（Ia）=s+n | Jss-m+1=iss-m+1），（24）是Indexprocess中Iaof中首次进入时间的概率分布。让我们假设那是Giss-m+1（Ia；s）=0；Ia，国际空间站-m+1，则以下结果成立：命题1。（g的显式公式）giss-m+1（Ia；s+n）=Ec，EX（is+1，…，is+m-1），is+nnYr=1Pis+r-1，is+r下午-1k=0f（is+r-1.-k） m级,（25）其中，符号EC，EX（is+1，…，is+m-1），is+n：=Xis+1∈Ecis公司-m+1（Ia）Xis+2∈Ecis公司-m+2（Ia）·Xis+m-1.∈Ecis+n-2秒-m+（n-1）（Ia）Xis+n∈Ecis+n-1秒-m+n（Ia）安第斯山脉-m+1（Ia）：={k∈ E：Pm-1k=0f（is+1-k） m级∈ Ia}，还有Eciss-m+1（Ia）是EIS的补充-m+1（Ia）。证据首先应该指出的是，EIS-m+1（Ia）是空间状态E的子区间，通过估计iss-m+1，让索引进程在间隔Ia中输入下一个转换。接下来，我们可以开始用数学归纳法来证明这个结果。对于n=1，命题1为真。

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2022-6-6 20:04:54

事实上：giss-m+1（Ia；s+1）=P（Tiss-m+1（Ia）=s+1 | Jss-m+1=iss-m+1）=Xis+1∈EP（Tiss-m+1（Ia）=s+1，J（s+1）=is+1 | Jss-m+1=iss-m+1）=Xis+1∈EP（Vms+1∈ （Ia），J（s+1）=is+1 | Jss-m+1=iss-m+1）=Xis+1∈EP（Vms+1∈ （Ia）| Js+1s-m+1=is+1s-m+1）* P（J（s+1）=is+1 | Jss-m+1=iss-m+1））=Xis+1∈EIS-m+1（Ia）1* Pis，is+1下午-1k=0f（is-k） m级,（26）对于n=1，等于公式（25）。现在，让我们假设介词1对n是真的- 1，这意味着：giss-m+1（Ia；s+m-1） =Ec，EX（is+1，…，is+m-2，is+m-1）（s+m-1)-sYr=1Pis+r-1，is+r下午-1k=0f（is-k） m级.我们可以计算：giss-m+1（Ia；s+n）=P（Tiss-m+1（Ia）=s+n | Jss-m+1=iss-m+1）=Xis+1∈Eciss公司-m+1（Ia）P（Tiss-m+1（Ia）=s+n，J（s+1）=is+1 | Jss-m+1=iss-m+1）=Xis+1∈Eciss公司-m+1（Ia）P（Tiss-m+1（Ia）=s+n | J（s+1）=is+1，Jss-m+1=iss-m+1）* P（J（s+1）=is+1 | Jss-m+1=iss-m+1）（27）=Xis+1∈Eciss公司-m+1（Ia）P（Tiss-m+1（Ia）=s+n | Jss-m+1=iss-m+1）* Pis，is+1下午-1k=0f（is-k） m级=Xis+1∈Eciss公司-m+1（Ia）gis+1s-m+2（Ia；s+n）* Pis是+1下午-1k=0f（is-k） m级= （来自归纳假设）=Xis+1∈Eciss公司-m+1（Ia）Ec，EX（is+2，…，is+m-2），is+m-1s+n-（s+1）年=1个IS+1-r-1，is+1+r下午-1k=0f（is+1，r-1.-k） m级* Pis，is+1下午-1k=0f（is-k） m级,（28）后者与公式（25）一致。5、实证研究迄今为止所述的方法已应用于埃尼集团（一家意大利上市公司）的日内价格研究。价格样本数据自2007年1月1日起至2010年12月31日止。数据集可从www.borsaitaliana获取。它包含交易股票的逐笔报价。数据已重新采样，频率为1分钟。对数回报率是根据研究中金融资产的价值计算得出的，序号：Rn=log（序号/序号-1）然后通过式（1）给出的映射进行离散化。根据文献[8]，回报被离散为5种状态，选择与回报相等的对称状态，并保持分布形状不变。

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2022-6-6 20:04:57

根据[8]f中相同作者得出的结果，方程式2中定义的结果被选择为仅等于J。m的值固定为30分钟的beequal。然后，指数过程Vmni由过去30分钟内收益平方的移动平均值给出。指数值表示价格波动的水平：指数值越高，图1：在一个变化点价格波动的情况下，指数过程的离散化程度越高。首先，让我们假设波动率只有两个级别：高和低。因此，索引过程也应离散化为这两种状态。为了检测将过程细分为两种状态的指数的最佳值，我们使用了这样一个事实，即价格回报过程{Jn}基于波动性水平呈现不同的动态，即不同的转移矩阵。因此，在我们的工作中，变化点被确定为指数的价值，这将最大化价格回报动态中的差异。由于没有确定变化点的闭合形式，我们使用第3节中描述的最大似然法进行运算。计算了该指数在每种状态下的估计变化点和价格-收益过程的两个概率矩阵。图1显示了通过使用通过最大对数似然法确定的变化点在两种状态下对指数过程的离散化。金融时间序列的一个众所周知的特征是“波动性聚类”，它简单地说明了市场的高/低波动期之后往往是高/低波动期。

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2022-6-6 20:05:00

指出这一特征是通过分析以下两个转移概率矩阵得到证实的，这似乎是有用的：^P（ψ）=0.173 0.151 0.207 0.218 0.2510.129 0.196 0.267 0.255 0.1530.137 0.209 0.300 0.221 0.1330.150 0.246 0.275 0.204 0.1250.237 0.215 0.218 0.159 0.171;^P（ψ）=0.067 0.162 0.312 0.338 0.1210.031 0.183 0.391 0.347 0.0480.033 0.236 0.466 0.234 0.0310.049 0.339 0.397 0.185 0.0300.110 0.338 0.316 0.170 0.066事实上，可以注意到，在高波动性的情况下，过渡矩阵^P（ψ）对于最极端状态的概率高于过渡矩阵^P（ψ）。这简单地证实了一个事实，即在高波动性市场中，经历资产价格巨大变化的概率（即强正回报后强负回报，反之亦然）高于低波动性的情况。一旦矩阵得到估计，下一步就是确定它们在统计上是否存在差异。为此，我们计算了两个指数，可用于衡量两个矩阵之间的差异。特别是，我们使用了百分比均方根偏差（%RSMD）和百分比平均绝对偏差（%MAD）。公式分别在公式29和公式30中给出。%RSMD=sPij（pij- pij）n*n* 100%Pijpij，（29）%MAD=Pij | Pij- pij | Pijpij* 100%，（30）结果如表1所示。因为，这两个指数的值是估计矩阵差异的度量，指数的值越高，两个矩阵之间的距离越大，过程中实际存在差异的可能性越高。下一步是测试两个转移概率矩阵在统计上是否不同。

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能者818

2022-6-6 20:05:04

为了构建测试，我们使用第3节中描述的程序。表1：均方根偏差和绝对平均偏差矩阵%RSMD%MAD^P（ψ），^P（ψ）49.3%44.2%-3000-2000-1000 0 1000 2000 3000001020304050607080直方图-3000-2000-1000 0 1000 2000 300000.511.522.533.544.55x 10-4Kernel拟合图2：经验统计检验的直方图和核拟合表2：一个变化点ψD D的统计检验结果*（0.95）D*（0.99）经验p值1.23 32400 3290 3580 0.000如前所述，在零假设下的统计检验分布未知，因此必须通过引导法进行近似。我们已经模拟了1000条相同长度数据的轨迹，这些轨迹来自一个转移概率矩阵，该矩阵是在考虑整个数据集的情况下估计的。模拟统计检验和核拟合的直方图如图2所示。我们选择了5%的显著性水平。表2显示了库存单一变化点的测试结果。D*（0.95）和D*（0.99）来自模拟分布，分别代表95%和99%置信水平下的统计检验值。由于不存在统计检验的理论分布，因此不存在理论p值，我们也从模拟分布中获得了p值，并将其报告为“经验”p值。统计检验的结果强烈建议不要接受零假设，因此我们得出结论，两个传递概率矩阵之间存在统计差异。还考虑了不止一个变更点的情况。程序与迄今为止描述的一个变更点的情况相同。主要区别在于，在这种情况下，基于AIC和BIC的方法在公式中定义。

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2022-6-6 20:05:07

（19）和式（21）可分别用于确定最节省的模型。如前所述，不存在计算最佳变化点数量的闭合形式，因此我们以迭代方式进行操作。应该注意的是，该算法非常缓慢地达到AIC或BIC的最小值。我们还决定根据两个指数的百分比变化计算额外变化点的改善。表3:SK 1 2 3 4 5D 32400 42000 46100 48300 49800% 29.6%9.8%4.8%3.1%AIC 1379000 1370000 1365000 1363000 1362000% -0.7%-0.4%-0.1%<-0.1%BIC 1380001371000 1367000 1366000 1365000% -0.7%~0.3%<-0.1%<-0.1%表4：五个变化点ψψψ值0.70 1.00 1.40 2.10我们认为小于0.1%的限制是算法达到最小值的标志。结果汇总在表3中。由于BICindex的改善水平低于0.1%，我们确定最佳变化点数量为4个。因此，指数过程分为五种状态，代表市场的五个波动水平：极低、中低、中高和极高。表4给出了在四个变化点情况下获得的索引过程的边界值，图3以图形表示，其中它们与索引过程一起表示。一旦确定了最佳变化点数量，就可以通过最大似然估值器估计每个波动状态下价格回报过程的概率转移矩阵。

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2022-6-6 20:05:10

估计矩阵如下所示。^P（1）=0.046 0.143 0.351 0.378 0.0820.014 0.141 0.445 0.374 0.0260.016 0.219 0.532 0.217 0.0160.027 0.365 0.448 0.146 0.0140.084 0.360 0.358 0.147 0.051;^P（2）=0.064 0.162 0.314 0.344 0.1160.033 0.202 0.375 0.340 0.0500.039 0.249 0.429 0.248 0.0350.053 0.333 0.382 0.199 0.0330.107 0.343 0.321 0.169 0.0600 1 2 3 4 5x 10500.511.522.533.54指数值指数过程的最佳离散化图3：指数过程的最佳离散化^P（3）=0.091 0.171 0.279 0.304 0.1540.067 0.215 0.321 0.308 0.0890.073 0.248 0.367 0.245 0.0670.086 0.300 0.332 0.222 0.0600.135 0.312 0.283 0.182 0.088;^P（4）=0.150 0.166 0.224 0.238 0.2220.127 0.199 0.269 0.256 0.1490.138 0.208 0.298 0.222 0.1340.150 0.245 0.276 0.206 0.1230.206 0.236 0.245 0.172 0.141^P（5）=0.239 0.121 0.153 0.155 0.3320.232 0.151 0.182 0.169 0.2660.241 0.142 0.207 0.168 0.2420.249 0.168 0.182 0.161 0.2400.320 0.150 0.155 0.130 0.245表5：均方根偏差：四个变化点^P（1）^P（2）^P（3）^P（4）^P（5）^P（1）0.0%20.1%35.8%59.4%100.5%P（2）20.1%0.0%16.8%43.0%86.1%P（3）35.8%16.8%0.0%27.1%70.9%P（4）59.4%43.0%27.1%0从这些矩阵中可以得出%44.1%P（5）100.5%86.1%70.9%44.1%0.0%的显著结果：表6:平均绝对偏差：四个变化点P（1）P（2）^P（3）^P（4）^P（5）^P（1）0%17.2%32.2%53.4%90.1%P（2）17.2%0.0%15.2%38.6%80.6%P（3）32.2%15.2%0.0%25.2%67.7%P（4）53.4%38.6%25.2%42.6%P（5）90.1%80.6%67.7%42.6%0.0%opi，3（h）>pi，3（h+1）对于所有i∈ E和h∈ {1, 2, 3, 4}.

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2022-6-6 20:05:13

这个不等式表明，下一个交易的状态3（零回报）占有率相对于波动率具有递减的概率；o就我而言∈ E和h∈ {1，2，3，4}π，5（h）<π，5（h+1）和π，1（h）<π，1（h+1）。这些不平等表明，以大（负或正）回报为特征的国家更有可能存在高波动性；o对于所有h∈ {1，2，3，4，5}和i∈ {1，2}，pi，1（h）+pi，2（h）<pi，4（h）+pi，5（h）。对于所有h∈ {1，2，3，4，5}和i∈ {4，5}，pi，1（h）+pi，2（h）>pi，4（h）+pi，5（h）。这意味着，独立于波动率制度（h∈ {1，2，3，4，5}），低返回状态的占用（i∈ {1，2}）增加了下一个跃迁达到高返回状态（j）的概率∈ {4，5}），反之亦然，高返回状态的占用（i∈ {4，5}）增加了下一个跃迁达到低返回状态（j）的概率∈ {1, 2}). 因此，我们可以确认，退货流程意味着归还财产；o尽管如此∈ {1，2，3}p3,1（h）+p3,2（h）>p3,4（h）+p3,5（h），也就是说，对于从零返回状态（i=3）开始的中低波动性水平，更可能在下一次转换中达到低返回状态（j∈ {1，2}）高于高返回状态（j∈ {4, 5}). 对于所有h∈ {4，5}p3,1（h）+p3,2（h）<p3,4（h）+p3,5（h），即对于零返回状态（i=3）的高挥发性水平，更可能在下一次过渡时达到高返回状态（j∈ {4，5}）比低返回状态（j∈ {1, 2}).金融时间序列呈现出一个非常重要的特征：虽然回报率不是自相关的，但回报率的平方或其绝对值是长期相关的。重要的是，描述此类动态的模型应具有相同的特征。各种时滞的收益平方的自相关，我们将用τ表示，由公式给出。

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2022-6-6 20:05:17

∑（τ）=Cov（R（t+τ），R（t））V ar（R（t））。（31）我们使用上述模型（见图4）将真实数据收益率平方的自相关函数与模拟轨迹进行了比较（见图4）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.080.10.120.140.160.180.20.22真实数据四个变化点五个变化点三个变化点两个变化点一个变化点图4：不同数量变化的收益率平方的自相关索引过程的要点。图中显示，对于具有一个变化点的模型，收益平方的自相关迅速降至零。在选择两个变化点时，长程自相关显著改善。除了增加更多的变化点外，该功能仍在继续改进，即使在0.50 100 150 200状态110-410-310-210-11000 100 200 300 400状态210-410-310-210-11000 100 200 300 400状态310-410-310-210-11000 100 200 200 400 500状态410-410-310-210-210-11000 500 1000时间（分钟）10-410-310-210-11000状态5：进入给定波动性状态所需的时间分布。已对每个波动率水平的分布进行了估计。低速率。值得注意的是，对于具有四个变化点的模型，模拟数据的自相关函数最接近真实数据的自相关。再增加一个变更点似乎会恶化结果（即使与具有四个变更点的模型的差异很小）。作为最后的结果，在图5中，我们显示了volatilityprocess进入使用命题（1）计算的给定状态所需的时间分布。结果显示进入不同波动率状态所需时间的不同概率分布（指数过程），通常我们观察到进入波动率状态所需时间相对于波动率值的增加。

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