以成本最小化投资风险的复制方法

2022-6-6 20:44:20

日本物理学会杂志全文与CostTakashi Shinzato合作的最小投资风险复制方法*日本东京町田Tamagawa大学工程学院管理科学系，1948610（2018年2月8日接收；2018年1月1日接受）在本研究中，分析讨论了以成本最小化投资风险的最优投资组合，其中该目标函数是在投资的两个负面方面，即风险和成本的条件下构建的。我们注意到平均方差模型中的哈密顿量与霍普菲尔德模型和Sherrington–Kirkpatrick模型中的哈密顿量之间的数学相似性，并表明我们可以通过复制分析来分析这个投资组合优化问题，并推导出具有成本和最优投资组合投资集中度的最小投资风险。此外，我们还通过数值模拟验证了我们提出的方法。关键词：均值-方差模型、有成本的投资风险、投资集中度、拉格朗日乘数法、副本分析1。简介投资组合优化问题是数学金融领域最活跃的研究课题之一，来源于Markowitz在其1952年和1959年的开创性著作中提出的多元化投资管理理论。1、2）在数学金融领域（尤其是运营研究），讨论了一些实际情况下的投资最优性，3-5）但是，对于投资组合优化问题，自旋玻璃文献中只讨论了退火无序系统的分析，而理性投资者所期望的淬火系统的分析却很少受到关注。

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2022-6-6 20:44:23

然而，最近，理性投资者在多元化投资背景下所期望的猝灭无序系统分析已经开始使用统计机械信息学和经济物理学中发展的分析方法进行研究。6–23）例如，Ciliberti等人研究了投资组合中绝对偏差模型和预期短缺模型的投资风险*shinzato@eng.tamagawa.ac.jp1/23J。物理。Soc。日本。利用副本分析解决具有预算约束的全纸优化问题。具体而言，他们分析了基态在绝对零温度（投资组合优化问题的最优解）极限下的典型行为。6、7）Pafka等人。将从实际数据得出的方差协方差矩阵的特征值分布与通过Cholesky分解映射的新变量确定的方差协方差矩阵的特征值分布进行比较，并讨论了多元化投资中的三种投资风险。8） Kondor等人评估了噪声与每个最优投资组合的估计误差之间的关系，这些风险模型包括：均值-方差模型、绝对偏差模型、预期短缺模型和最大损失模型。9） Caccioli等人使用复制分析来确定岭回归预期短缺模型的最优解是否稳定。10）此外，Shinzato等人将包含预算约束的投资组合优化问题替换为使用Boltzmann分布的推理问题，并基于Kullback–Leibler信息准则，使用信念传播方法解析推导出了可以近似Boltzmann分布的试验分布。

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2022-6-6 20:44:27

他们还利用试算分布推导出了求解最优解的更快算法。11）如上所述，在这些之前的研究中，使用replicaanalysis和信念传播方法对各种投资模型进行了检验，12–23），但最近，人们注意到了霍普菲尔德模型和最具代表性的投资模型（即均值-方差模型）之间的数学相似性。例如，Shinzato通过Chernoff不等式和副本分析表明，均值-方差模型的投资风险和最优投资组合的投资集中度满足自平均特性。12）此外，Shinzato还利用r eplica分析法分析了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化问题，将结果与之前的工作12）进行了比较，并分析了投资集中度约束对最优投资组合的影响。13）此外，Shinzato在之前的工作13）中进一步研究了在预算和投资风险约束下的投资集中最大化问题以及相应的最小化问题，并推导了原始-对偶优化问题的两个最优投资组合的数学结构。14）此外，Tada等人通过使用Wishart矩阵的渐近特征值分布的Stieltjes变换解决了原始-对偶优化问题，以验证之前工作13、14）中的发现，其中2/23J。物理。Soc。日本。

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2022-6-6 20:44:29

全文分析采用副本分析。15）也就是说，他们在不使用副本分析或副本对称分析的情况下，重新研究了具有预算和投资集中约束的投资风险最小化问题（以及相应的最大化问题）和具有预算和投资风险约束的投资集中最大化问题（以及相应的最小化问题）。此外，Shinzato将具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，以及具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题视为一个原始-对偶优化问题，使用副本分析对其进行分析，并重新检查两个最优投资组合之间的关系。16） Varga Haszonits等人。

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2022-6-6 20:44:33

推广了Shinzato16在工作中考虑的具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题，并分析了复制对称解的稳定性。17） Shinzato利用复制分析研究了在预算和预期收益约束下的投资风险最小化问题，并导出了类似于毕达哥拉斯定理的夏普比率和概率密度的宏观理论。18）此外，Shinzato利用replicaanalysis和信念传播方法分析了在资产收益方差不唯一的情况下，在预算约束下的投资风险最小化问题，并计算了每项资产的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度。19）此外，利用Wishart矩阵的渐近特征值分布，Shinzato在之前的工作20）中重新研究了在预算和投资集中度约束下，每项资产的投资风险最小化问题。19）作为一个相关案例，Shinzato研究了具有预算约束的投资风险最小化问题，当回报通过复制分析由单因素模型表征时，成功地量化了最小投资风险中包含的共同因素的影响。21）此外，Shinzato在资产收益独立且独立分布的情况下，通过复制分析，研究了在预算和卖空约束下的投资风险最小化问题，并证实了基于复制对称安萨兹的每项资产的最小投资风险是一阶相变。22）继Shinzato的研究结果之后，Kondor等人。

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2022-6-6 20:44:36

研究了在预算和卖空约束下特定类型风险函数的最小化问题，针对每个资产回报不一定对所有资产都具有相同分布的情况，使用副本分析，并明确了其最小风险函数具有一阶相变。23）3/23J。物理。Soc。日本。如上所述，在各种投资机会下，理性投资者希望了解的客观标准（如投资风险、购买成本、预期收益和投资集中度）已使用淬灭无序系统的方法（如复制分析和信念传播方法）进行了检查。然而，众所周知，理性投资者不仅直接使用这些客观标准，而是根据每个投资者的效用函数进行投资活动。24、25）这样的效用函数是基于每个投资者的投资偏好（即风险厌恶/风险中性/风险偏好），而且效用函数还包括投资风险、购买成本和预期回报的组合。在以前的跨学科研究中，很少有研究讨论效用函数，因此很难建立一个理论来适当支持理性投资者的投资决策。因此，为了在之前的工作6-23）中讨论的分析方法和效用函数分析之间提供无缝连接，即，作为效用函数分析的第一步，我们使用r eplica分析来研究预算约束下由两个目标标准定义的损失函数的最小化问题。

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2022-6-6 20:44:39

特别是，我们假设理性投资者的效用函数，他们希望减少投资的两个负面方面，即投资风险（投资期间发生的持有资产的流动风险）和购买（或出售）成本（投资产生的成本）。论文的其余部分组织如下。在下一节中，制定了带有预算约束的组合优化问题，以最小化由投资风险和购买成本（我们在下文中称为带成本的投资风险）定义的损失函数。第3节通过使用拉格朗日乘数法对该投资组合优化问题进行分析，证明了寻找具有成本的投资风险最小化的最优投资组合的计算复杂性随着资产数量的增加而增加，因此很难在实际情况下评估该问题。在第4节中，为了避免使用拉格朗日乘数法时出现这种计算困难，我们使用复制分析评估了具有每资产组合成本及其投资集中度的最小投资风险。此外，我们将我们提出的方法获得的结果与之前工作中分析程序得出的最低预期投资风险、成本及其投资集中度进行了比较。在第5节中，我们提出的方法的有效性通过数值模拟得到验证。最后一节将对4/23J进行总结。物理。Soc。日本。全文包括当前研究和讨论未来研究。2.

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2022-6-6 20:44:42

模型设置在目前的工作中，我们考虑了具有预算约束的港口优化问题，其中一个在稳定的投资市场中的每个p期投资N项资产，不受卖空限制，并显示了opt ima港口组合的属性，最小化了由捕获投资负面因素的两个损失函数定义的目标函数，投资风险和购买成本。首先，资产i（=1，2，···，N）的投资组合为wi∈ R、所有N项资产的投资组合为~w=（w，w，···，wN）T∈ 注册护士。符号T表示向量或矩阵的转置，使用与先前工作相同的设置6–23），组合w的预算约束定义为nxi=1wi=N。（1）此外，周期u（=1，2，···，p）的资产i回报由'xi'表示，NDI根据平均值E[\'xiu]=方差V[\'xiu]=vi的一些分布独立分布。此外，在投资的第一个时期，资产i的每一个港口的购买成本为ci。使用此符号，投资风险和总购买成本为byRisk=2NpXu=1NXi=1wi？xiu-NXi=1wiri=NXi=1NXj=1wiwjNpXu=1xiuxju！，（2）成本=NXi=1wici。（3）由于式（2）中第一行的第一项PNi=1wi'xiu描述了周期u的总回报，第二项PNi=1wiri表示其预期，因此投资风险由每个周期的总回报、PNi=1wi'xiu和预期总回报PNi=1wiri之间差异的平方和来定义。此外，为了简单起见，此处修改后的返回值为xiu=’xiu- 使用riis；请注意，修改后的回报率xiu的平均值和方差分别为E[xiu]=0和V[xiu]=vi。式（3）表示总采购成本。基于上述模型设置，以成本托勒尔5/23J为目标函数。物理。Soc。日本。

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2022-6-6 20:44:46

全文假设η（>0），投资风险加上第一期投资的总购买成本表示为s H（~ w | X，~ c）=风险+η×成本（我们称之为投资风险与成本），并表示为灰分（~ w | X，~ c）=wTJw+ηcTw，（4）其中方差协方差矩阵（即Wishart矩阵）由修改后的回报xiu，J={Jij}定义∈ RN×N，成本向量c=（c，c，···，cN）T∈ r在式（4）中使用。具体而言，Wishart矩阵的第（i，j）个成分j isJij=NPpu=1xiuxju。此外，使用返回矩阵X=nxiu√不∈ RN×p，J=xxt也已定义。根据等式（4）中对投资风险和成本的定义，costtoleranceη是投资者对增加成本的容忍度。此处有一点不应结冰。本文讨论的带成本的投资风险H（~w | X，~c）被视为该投资系统中的哈密顿量，这使得我们可以应用自旋玻璃理论中发展的几种分析方法来多方向分析该投资组合优化问题的最优投资组合的典型行为。原因是，给定N个Ising自旋~S=（S，S，···，SN）T∈{±1}和极端磁场h=（h，h，···，hN）T∈ RN，square symmetricmatrix J表示Hop fild模型中的Hebb定律和/或Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型中的RKKYinteraction矩阵。Hop场或SK模型H（~S）的哈密顿量由H（~S）=-Xi>jJijSiSj-NXi=1hiSi=-~STJ ~ S-~hT~S，（5）其中，符号pi>jm表示满足i>j的所有对（i，j）的和。比较eqs。（4）（5）很容易看出，就这两个模型而言，它们在数学上是相似的。此外，Wishart ma t rix J=XXT∈ 式（4）中定义的RN×Nd与霍普菲尔德模型中的Hebb定律有关，这两个问题的目的都是最小化哈密顿量。

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2022-6-6 20:44:49

因此，利用自旋玻璃理论和统计机械信息学等跨学科研究领域开发的副本分析和信念传播，我们可以分析投资组合优化问题，并得出多元化投资理论的一些新见解。也就是说，通过使用淬火无序系统的分析方法，研究了仅从RKKY相互作用项（即η=0）构建的最小化哈密顿量的最佳端口6/23J。物理。Soc。日本。在之前的工作中，已经证明很难使用运筹学中开发的分析方法（即退火无序系统的方法）来分析淬火无序系统（即，理性投资者可以被视为自旋玻璃理论中的投资者）。6-23）作为之前工作的自然延伸，12-14）我们在此将外部磁场的术语添加到投资风险中，即总成本，以便尝试构建和分析效用函数，并据此创建宏观理论，这将丰富最优投资风险理论。在上述假设下，在资产数量N的限制下，每项资产成本ε的最小投资风险为ε=limN→∞N分钟~w∈WH（~w | X，~c），（6）其中端口对开的可行子集w，w=~w∈ 注册护士~重量e=N和one~e的向量=（1，1，···，1）T∈ R已使用。根据之前的工作，12）这种成本最小的投资风险满足自平均的特性。此外，从EQ的定义来看。（6）具有成本的最小投资风险与猝灭无序系统的分析有关。

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2022-6-6 20:44:53

另一方面，从运筹学的文献来看，每资产成本ε或ε或=limN的最小预期投资风险→∞N分钟~w∈WEX[H（~ w | X，~ c）]，（7），其中EX[g（X）]是函数g（X）的配置平均值。方程（7）表明，该描述与退火无序系统的分析有关。因此，目前工作的目标也是推导和检验理性投资者投资组合优化问题的最优投资策略，因此我们将详细讨论等式（6）中的ε，而不是等式（7）中的ε。3、拉格朗日乘数法，给定返回矩阵X=nxiu√不∈ RN×pand利用拉格朗日乘数法，分析评价了单位资产成本εa的最小投资风险及其投资集中度。在等式（1）中的预算约束下，等式（4）中的成本投资风险最小化问题的拉格朗日函数L（~ w，k），H（~ w | X，~ c）由L（~ w，k）=~ wTJ ~ w+η~ cT ~ w+k（N）定义- ~wT~e），（8），其中辅助变量k是关于等式（1）中预算约束的拉格朗日乘子变量。7月23日。物理。Soc。日本。全文L（~ w，k）满意度的极值L（~ w，k） ~w=0和L（~ w，k）k=0，因此每项资产成本的最小投资风险为ε=1+ηN~eTJ-1～cN ~ eTJ-1～e-ηN~cTJ-1~c.（9）此外，投资集中度qw=NPNi=1（w*i）最优投资组合w*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X，~ c）=（w*, w*, · · · , w*N） T型∈ RNisqw=~ eTJ-2～eNN ~ eTJ-1～e+η~eTJ公司-1～c～eTJ-1～e-~eTJ公司-2～c～eTJ-2～e+η~ eTJ-2~eN~cTJ-2～c～eTJ-2～e-~eTJ公司-2～c～eTJ-2～e!. （10）在评估每资产成本ε的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度时，我们需要评估六个矩，N~eTJ-1～e、N～eTJ-1～c，N～cTJ-1～c和N～eTJ-2～e、N～eTJ-2～c，N～cTJ-2~c，以及逆矩阵j-1和J-2.

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2022-6-6 20:44:56

然而，精确计算这些逆矩阵需要O（N）计算。因此，我们有一个问题，即随着资产N的数量变大，计算复杂性当然也会变大。由于资产的数量通常为10到10，直接计算公式（9）中的ε或公式（10）中的qwin并不容易。因此，在下一节中，我们避免了Wishartmatrix逆的计算，并提出了一种有效分析具有成本的最小投资风险和最优解的投资集中度的方法。4、副本分析在之前的工作之后，6–23）我们考虑了最小的投资风险，即每资产净值ε的成本及其投资集中度qwin副本分析条款。首先，将式（4）中的H（~w | X，~c）视为该投资系统的哈密顿量。投资市场的分割函数（在反温度β下）Z（X）由Z（X）=ZWd~we定义-βH（~ w | X，~ c），（11），其中w是等式（1）中可行投资组合的子空间。此外，使用此分区描述，从单位函数ε=- limβ→∞βlimN→∞NEX[对数Z（X）], （12）众所周知，可以评估具有每资产成本的最小投资风险的典型行为。23）与之前的工作类似，以评估配置8/23J。物理。Soc。日本。对于配分函数的对数EX[log Z（X）]，我们需要分析n处的第n个矩EX[Zn（X）]∈ Z、就是limN→∞Nlog EX[锌（X）]=外螺纹TrQwQw+TrQsQs-~kT ~ e-αlog det | I+βQs |-Dlog数据Qw+vQsE类+~k- βηc~eTQw+vQs~k- βηc~e,（13）展开，其中Qw={qwab}和Qs={qsab}是顺序参数（带有辅助参数▄Qw={▄qwab}，▄Qs={▄qsab}∈ Rn×n，~ k=（k，k，···，kn）T∈ Rn，（a，b=1，2，···，n））。那么序参数集是Θ=nQw，Qs，ΘQw，ΘQs，~ ko。

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2022-6-6 20:45:00

此外，符号Extrmg（m）表示g（m）相对于m的极值，周期比为α=p/N~ O（1）和~e=（1，1，···，1）T∈ Rn，a s以上。请注意，此处的orderparameters由qwab=NNXi=1wiawib，（14）qsab=NNXi=1viwiawib定义。（15）此外，hf（c，v）i=limN→∞使用NNXi=1f（ci，vi）（16）。在公式（13）的计算中，作为r eplica对称解，qwab=χw+qwa=bqwa 6=b，（17）qsab=χs+qsa=bqsa 6=b，（18）~qwab=χw- qwa=b-qwa 6=b，（19）9/23J。物理。Soc。日本。全文qsab=χs- qsa=b-设置qsa 6=b，（20）ka=k，（21）。从这里开始，使用r eplica技巧limn→0Zn-1n=对数Z，φ=limN→∞NEX[对数Z（X）]=外向θ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs- k-αlog（1+βχs）-αβqs2（1+βχs）-hlog（▄χw+v▄χs）i+qw+v▄qs▄χw+v▄χs+（k）- βηc）~χw+v ~χs得到了（22），其中使用了一组新的序参数θ={χw，qw，χs，qs，￠χw，￠qw，￠χs，￠qs，k}。根据这些极值项，序参数为χw=hv-1iβ（α- 1），（23）qw=α- 1+高压-2ihv-1i+C（η），（24）χs=β（α- 1），（25）qs=αα- 1.高压-1i+ηhv-1i Vc（α- 1 ), （26）~χw=0，（27）~qw=0，（28）~χs=β（α- 1），（29）~qs=β（α- 1 )高压-1i+ηhv-1i Vc（α- 1 ), （30）k=β（α- 1）高压-1i+βηhv-1cihv-1i，（31），其中c（η）=ηhv-1iVc（α- 1)+2ηα - 1hv-2ihv-1iδc10/23J。物理。Soc。日本。全文+ηhv-2i（α- 1）（Vcc+δc），（32）Vc=hv-1cihv-1i-高压-1cihv-1i, （33）δc=hv-1cihv-1i-高压-2cihv-2i，（34）Vcc=高压-2cihv-2i-高压-2cihv-2i. （35）根据这些和等式（12）中的等式，ε=- limβ→∞φβ、具有每项资产成本的最小投资风险为ε=limβ→∞αχs2（1+βχs）+αqs2（1+βχs）+k- βηc？χw+v？χsηc=α - 12 hv-1i+ηhv-1cihv-1i-ηhv-1i Vc2（α- 1). （36）此外，式（24）给出了极端投资集中度qw。在下一节中，我们将讨论为验证我们提出的方法而进行的数值实验。在此之前，我们应该发表一些评论。

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2022-6-6 20:45:03

首先，之前的一项工作19）已经讨论了投资时忽略成本的投资组合优化问题，给出了最小投资风险perasset及其投资集中度，如下所示：ε=α- 12 hv-1i，（37）qw=α- 1+高压-2ihv-1i。（38）这对应于η的情况→ 我们的结果为0。接下来，对于在忽略投资风险的情况下使购买成本最小化的投资组合优化问题，购买成本定义为asH′（~w | X，~c）=NXi=1ciwi（39），每项资产的最小成本为ε′=limN→∞N分钟~w∈WH′（~ w | X，~ c）。（40）然后，根据关系式ε′=limη→∞ε/η，使用公式（36），最小成本perassetε′为ε′→ -∞. 这一结果得到了11/23J的支持。物理。Soc。日本。全文不存在，例如，函数f（x，y）=x，y的2x+3y，且两个约束条件x+y=1，-∞ < x、 y<∞. 这些评论表明，通过所提出的方法获得的结果与投资组合优化问题最优解的众所周知的性质是一致的。最后，使用运筹学先前的分析程序（无关联无序系统方法）评估的成本为ε或的最小预期投资风险及其投资集中度如下：ε或=α2 hv-1i+ηhv-1cihv-1i-ηhv-1i Vc2α，（41）qORw=hv-2ihv-1i+ηhv-2iα（Vcc+δc）+2ηαhv-2ihv-1iδc.（42）作为对该结果的解释，因为，例如，函数f（x）=x-与Eqs相比，bx（x，b>0）在x中呈单音增加。（36）和（41），ε<ε或（43）。

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2022-6-6 20:45:06

也就是说，在成本最小化投资风险的文献中，已证实成本ε的最小投资风险与成本ε或的最小预期投资风险不对应；同样，最优QWI的投资集中度不等于运筹学qORw中导出的解决方案的投资集中度。5、数值实验在本节中，使用数值实验，根据前一节中的副本分析对结果进行验证。首先，如果采购成本和收益率方差不相互依赖，则εinEq的第二项。（36）和Vcin等式（33）降低至HV-1cihv-1i=hci和Vc=hci- hci。然而，由于该模型设置与之前的工作19）相似，在本文中，我们考虑了CIAN和viare相关的情况。这里，我们假设回报率的平均值‘xiu，ri，等于采购成本ci，即E[‘xiu】=ri=ci。此外，我们假设第二个返回力矩E[\'xiu]与平均值E[\'xi xi]的平方成随机比例，即E[\'xi xi]=（hi+1）ci。在此设置中，返回方差为V[(R)xiu]=vi=hici。请注意，hi（>0）是随机系数，不依赖于ci。对于数值试验的具体设置，我们假设ci，hiare为12/23J。物理。Soc。日本。具有有界帕累托分布且密度函数用Fc（ci）表示的独立分布的全文=(1-bc）（ci）-bc（uc）1-卑诗省-（lc）1-bclc公司≤ ci公司≤ uc0，否则，（44）fh（hi）=(1-bh）（hi）-bh（uh）1-伯克希尔哈撒韦-（左侧）1-bhlh公司≤ 你好≤ uh0，否则，（45）其中uc、lc、uh、lha是ci、hi和bc的上界和下界，bh（>0）是表征有界帕累托分布的动力。这里我们不分析求逆矩阵J-1在等式中。（9）（10）为了评估最佳投资组合。

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2022-6-6 20:45:11

相反，在以下步骤中，我们使用最速下降法从数值上推导出最优投资组合，并用成本ε及其投资集中度qw评估最小投资风险。第1步。（初始设置）根据公式（44）中的密度函数fc（ci）和公式（45）中的密度函数fh（hi）分配Cian和hirandomly a。特别是，随机变量sic，sihare根据均匀分布（0，1）独立且相同地分布，因此ci=（sic（uc）1-bc+（1- sic）（lc）1-bc）1-Bc和hi=（sih（uh）1-bh+（1-sih）（左侧）1-bh）1-伯克希尔哈撒韦。第2步。（初始设置）对于资产i，资产的收益“xiu”独立且按身份分布，E[“xiu]=CIAN，V[“xiu]=vi=hici。此外，修改后的回报率为xiu=？xiu- E[(R)xiu]。因此，返回矩阵X=nxiu√不∈ 已分配RN×PI。第3步。（初始设置）使用步骤2中修改的返回值xiu，Jij=NpXu=1xiuxju。（46）步骤4。（初始设置）将初始投资组合w和拉格朗日系数k设置为w=~ e=（1，1，···，1）T∈ RNand k=1，成本公差η的初始值为ηmin。步骤5。（优化）在迭代步骤t使用投资组合，~ wt=（w1，t，w2，t，···，wN，t）t∈ RN和Lagrange系数kt，更新~wt+1（迭代步骤t+1处的手册）和La grange系数kt+1（使用公式（8）中L（~ w，k）的13/23J.Phys.Soc.Jpn.FULL PAPERSsteepest下降法）：~wt+1=~ wt- γwL（~ w，k） ~w~w=~重量，k=kt，（47）kt+1=kt+γkL（~ w，k）k~w=~ wt，k=kt，（48），其中γw，γk（>0）是最速下降法的学习率。第6步。（优化）计算~wt，kt和~wt+1，kt+1之间的差值， =NXi=1 | wi，t- wi，t+1 |+| kt- kt+1 |。（49）步骤7。

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2022-6-6 20:45:14

（优化）如果 > δ、然后更新t← t+1和g o返回步骤5。如果 < δ、然后，将wt+1和kt+1作为最优投资组合w的近似值*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X，~ c）和拉格朗日系数k*, 用每资产成本ε（η，X）及其投资集中度qw（η，X）和g o评估最小投资风险，直至步骤8。第8步。（优化）如果η+dη<ηmax，则更新η← η+dη并返回步骤5。如果η+dη>ηmax，则停止最速下降算法。注意，在该算法中，我们既不使用复制对称ansatz，也不使用逆矩阵计算。更重要的是，使用此最速下降法算法，对于在初始设置中分配的返回矩阵（=1，2，····，M）次试验，Xm=nxmiu√不∈ RN×p，用于评估具有成本ε（η，Xm）的最小投资风险及其投资浓度qw（η，Xm），以及具有每资产成本的最小投资风险的样本平均值和最优组合的投资集中度是ε（η）=MMXm=1ε（η，Xm），（50）qw（η）=MMXm=1qw（η，Xm），（51），其中ε（η，Xm）和qw（η，Xm）是mth试验的结果。对于数值模拟，N=1000，p=3000，（α=p/N=3），有界帕累托分布的参数为（bc，uc，lc）=（bh，uh，lh）=（2，4，1）。此外，（ηmin，ηmax，dη）=（0，100，2）定义了成本容差η及其增量的范围，最速下降法的收益率为γw=γk=10-3，且停止条件的常数为δ=10-最后，试验总数为M=100.14/23J。物理。Soc。日本。全文通过最速下降法和这些数值设置（带误差条的橙色交叉）以及基于副本分析（黑色实线）估计的数值结果如图1所示。

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2022-6-6 20:45:17

如图所示，通过副本分析得出的结果与数值结果一致，这验证了我们基于副本分析提出的方法的有效性。此外，来自等式。（43），（24）和（42），运筹学在之前的工作中发展的分析方法很难用于研究在预算约束下的投资风险最小化问题，即，据披露，在运营研究中发展的分析方法无法检验具有成本的最小投资风险的性质以及最优投资组合的投资集中度。结论在这项工作中，我们使用复制分析研究了由风险和成本两种类型的投资损失定义的具有成本的投资风险最小化问题。具体地说，基于数学相似性，我们将具有成本的投资风险视为该投资系统的哈密顿量，而且，由于该系统在数学上类似于霍普菲尔德模型和SK模型的哈密顿量，我们认识到我们可以使用复型分析来分析投资组合优化问题。与之前的工作类似，6-23）我们能够在充分基于replicasymmetry ansatz的基础上，检验具有成本的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度，从而使具有成本的投资风险最小化。此外我们表明，用猝灭无序系统方法评估的带成本的最小投资风险及其投资集中度与运筹学中开发的方法评估的带成本的最小预期投资风险和带成本的最小化预期投资风险的投资集中度不一致（即退火无序系统的方法）。

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2022-6-6 20:45:20

利用数值模拟的结果，我们验证了基于副本分析的方法的有效性。也就是说，我们证明了具有成本的最小投资风险及其投资集中度的性质，这是运筹学中发展的分析方法所不容易分析的，是由猝灭无序方法揭示的。在本文中，我们假设，就每单位港口对账单的成本而言，采购成本等于销售成本；然而，作为未来的研究，我们还需要考虑购买成本ci（wi上的成本>0）和销售成本c′i（15/23J物理社会学Jpn全文上的成本<0）的情况。为此，作为一种推广，我们需要考虑成本需要表示为某种线性或非线性函数的情况下的组合优化问题；例如，我们可以将pni=1ciwiin公式（3）更改为toPNi=1（cimax（wi，0）- c′imax(-wi，0））。此外，为了构建多元化投资理论的宏观关系，我们需要推导宏观变量之间的关系，如夏普比率的毕达哥拉斯定理和损失机会的关系18-20）。此外，为了检验最优投资组合效用函数的性质，我们需要研究几个绩效指标，而不是合并风险和成本（见附录B）。致谢作者感谢与K.Kobayashi、H.Yamamoto和D进行的详细讨论。塔达。这项工作得到了第15K209 99、17K0 1260和17K0124 9号援助赠款的部分支持；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；和研究项目编号。

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2022-6-6 20:45:23

Kampo Fo基础的第4条。附录A：力矩在本附录中，使用副本分析，我们将计算拉格朗日乘数法中的六个力矩，N~eTJ-1～e、N～eTJ-1～c，N～cTJ-1～c、N～eTJ-2～e、N～eTJ-2～c和N～cTJ-2~c.F ir st，应用以下分区Z（y，X）：Z（y，X）=（2π）NZ∞-∞d~我们-~wT（J-yIN）~ w+k ~ wT ~ e+θ~ wT ~ c，（A·1），其中J=XXT。进一步，我们分析log Z（y，X）=-日志det | J- yIN |+k ~ eT（J- 阴）-1~e+θ~cT（J- 阴）-1~c+kθ~eT（J- 阴）-1~c.（A·2）为此，我们定义φ（y）=limN→∞Nlog Z（y，X）。（A·3）16/23J。物理。Soc。日本。整张纸，φ（0）和φ′（0）由φ（0）=-画→∞Nlog det | J |+klimN→∞~eTJ公司-1～eN+θlimN→∞~cTJ公司-1~cN+kθlimN→∞~eTJ公司-1~cN，（A·4）φ′（0）=limN→∞NTrJ公司-1+klimN→∞~eTJ公司-2~eN+θlimN→∞~cTJ公司-2~cN+kθlimN→∞~eTJ公司-中国大陆2号。（A·5）φ（0）和φ′（0）对k，θ的二阶导数允许精确分析六个力矩。此外，与之前的工作16中使用的方法类似，由于配分函数的对数保持自平均的特性，因此使用副本分析和副本对称ansatz，φ（y）=limN→∞NEX[对数Z（y，X）]=外向χs，qs，~χs，~qs-αlog（1+χs）-αqs2（1+χs）+（χs+qs）（~χs- qs）+qsqs-hlog（v￠χs- y）我+v▄qsv▄χs- y+（k+cθ）vχs- y, （A·6）评估如下。当y=0时，从阶数参数的极值，解析推导出χs=α-1，△χs=α- 1，qs=α（α-1） D（k+cθ）vE，且▄qs=α-1D（k+cθ）vE。将其代入式（A·6），φ（0）=-αlogα- 1.-对数（α- 1) +-hlog vi+α- 1.（k+cθ）v, （A·7）和φ′（0）=hv-1i2？χs+hv-1i▄qs▄χs+2▄χs（k+cθ）v=高压-1i2（α- 1） +高压-1i2（α- 1)（k+cθ）v+2(α - 1)（k+cθ）v, （A·8）17/23J。物理。Soc。日本。整张纸，其中？χs=α- 1，？qs=α-1D（k+cθ）ve已被替换。

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2022-6-6 20:45:27

由此，我们可以用解析的aslimN来计算φ（0）和φ′（0）对k，θ的二阶导数→∞N ~ eTJ-1～e=φ(0)k=高压-1iα- 1、（A·9）limN→∞N ~ eTJ-1～c=φ(0)kθ=hv-1ciα- 1，（A·10）limN→∞N ~ cTJ-1～c=φ(0)θ=hv-1ciα- 1（A·11）limN→∞N ~ eTJ-2～e=φ′(0)k=高压-1i（α- 1）+高压-2i（α- 1），（A·12）limN→∞N ~ eTJ-2～c=φ′(0)kθ=hv-1i高压-1ci（α- 1） +高压-2ci（α- 1），（A·13）limN→∞N ~ cTJ-2～c=φ′(0)θ=hv-1i高压-1ci（α- 1） +高压-2ci（α- 1 ).（A·14）接下来，使用等式（9）的结果，在有限数量的资产N的情况下，在热力学极限N中，这些应保持自平均特性，因此我们将结果替换为等式。（A·9）至（A·11）至（9），ε=1+ηhv-1ciα-1.高压-1iα-1.-ηhv-1ciα- 1=α - 12 hv-1i+ηhv-1cihv-1i-ηhv-1i2（α- 1） Vc，（A·15），这与等式（36）中基于副本分析的结果一致。同样，如果18/23J。物理。Soc。日本。全文来自Eqs。（A·9）至（A·1·4）被代入式（10），则也可以验证该结果与式（24）中基于副本分析的结果相对应。附录B：带回报和成本的投资风险由于本文处理的模型在数学上与霍普菲尔德模型和SK模型相似，我们重点研究了带成本的投资风险最小化问题。然而，在这里，让我们考虑一下投资风险与回报的最小化问题，这一问题在运筹学中得到了广泛的研究。首先，投资组合w的预期回报定义如下：回报=NXi=1wiri，（B·1），其中ri是资产i的回报平均值，即E[(R)xiu]=ri。在此设置中，投资风险与回报isH（~w | X，~r）=~wTJ~w- g~rT~w，（B·2），其中g（>0）是混合返回度。由此，当主手稿中的ηciin被替换为-gri，最小投资风险，每资产回报率ε=limN→∞N分钟~w∈WH（~ w | X，~ r）基于公式（36）。

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2022-6-6 20:45:31

那么，ε=α- 12 hv-1i- ghv公司-1rihv-1i-ghv公司-1i Vr2（α- 1），（B·3），其中Vr=hv-1rihv-1i-高压-1rihv-1i. （B·4）此外，我们还可以考虑同时增加收益和成本的投资风险最小化问题，即同时增加收益和成本的投资风险，如下所示：H（~w | X，~r，~c）=~wTJ~w- g~rT~w+η~cT~w.（B·5），则具有收益和每资产成本的最小投资风险ε=limN→∞N分钟~w∈WH（~ w | X，~ r，~ c）可计算为ε=α- 12 hv-1i- ghv公司-1rihv-1i+ηhv-1cihv-1i-高压-1i V2（α- 1），（B·6）V=高压-1（ηc- gr）ihv-1i-ηhv-1cihv-1i- ghv公司-1rihv-1i,（B·7）19/23J。物理。Soc。日本。将公式（4）中的ηciin替换为-gri+ηci。这表明我们可以分析包含风险、回报和成本的效用函数。请注意，效用函数取决于每个投资者的偏好；也就是说，效用函数是一个主观标准，它基于每个人对投资者决定投资的重要事实的需求。作为效用函数中的单个术语，众所周知，效用函数可能包括风险、回报和成本（即投资者之间的回报和成本容忍度η差的混合程度）。正如主手稿中提到的，为了满足每个投资者的需求，应该深化投资理论，并为国家投资者提出最优投资策略。20/23J。物理。Soc。日本。全文-20-100 20 40 60 80 100（a）每资产成本最小投资风险成本容差η副本分析结果数值试验结果20 40 60 80 100（b）投资集中成本容差η副本分析结果数值试验结果fIG。复型分析和数值试验的结果（α=p/N=3）。

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2022-6-6 20:45:35

横轴表示成本容差η，纵轴表示（a）每资产成本ε的最小投资风险，以及（b）投资集中度qw。黑色实线表示（a）式（36）和（b）式（24）的副本分析结果。带误差条的橙色十字表示数值模拟的结果。21/23J。物理。Soc。日本。全文参考1）H.M.Markowitz：《金融杂志》7（1952）77.2）H.M.Markowitz：《投资组合选择：有效的投资多元化》（YaleUniversity出版社，1959）。3） H.Konno和H.Yamazaki：《管理科学》37（1991）519.4）R.T.Rockafellar和S.Uryasev：《风险杂志》2（2000）21.5）A.F.Perold：管理。Sci。30（1984）1143.6）S.Ciliberti和M.M'ezard：《欧洲物理杂志》B 57（2007）175.7）S.Ciliberti、I.Kondor和M.M'ezard：《定量金融》7（2007）389。8） S.Pafka和I.Kondor：《物理学A：统计力学及其应用》319（2003）487。9） I.Kondor、S.Pafka和G。Nagy：《银行与金融杂志》31（2007）1545。10） F.Caccioli、S.Still、M.Marsili和I.Kondor：《欧洲金融杂志》19（2013）554.11）T.Shinzato和M.Yasuda：《公共科学图书馆综合》10（2015）1.12）T.Shinzato：《公共科学图书馆综合》10（2015）1.13）T.Shinzato：《统计力学杂志》2017（201 7）023301.14）T.Shinzato：《物理学A：统计力学及其应用》490（2018）98 6.15）D.Tada，H.Yamamo to，和T.Shinzato:Journal of the Physical Society of Japan86（2017）124804.16）T.Shinzato:Phys。修订版。E 94（2016）052307.17）I.Varga Haszonits、F.Caccioli和I.Kondor：《统计力学杂志：理论与实验2016》（2016）123404.18）T.Shinzato:ArXiv E-prints（2017）。19） T.Shinzato：物理。修订版。E 94（2016）062102.20）T.Shinzato：ArXiv E-prints（2016）。21）T。

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