关于美式看跌期权的二项式近似

2022-6-6 21:36:24

存在一个正常数C，对于所有正整数n，-C（ln n）(R)αn≤ P（n）- P≤ C（ln n）αn，其中，如果d>r，α=α=1，如果d，α=3/2，α=5/4≤ r、上述估计改进了我们之前的结果（见[6]，定理5.6），该结果给出了形式C的上限√ln nn4/5. 请注意，对于欧式期权，误差估计为O（1/n）（参见[2]，[11]）。我们还提到了[8]一个明确的差异方案的结果，该方案给出了大鼠的EO（1/√n），但他们的估计在时间间隔内是一致的，而我们专注于固定时间的误差估计。本文[8]也有关于行权边界近似的结果。我们还参考了[9]及其参考文献，以查看最近关于美式期权价格近似的结果。我们的方法与[6]中的方法相同：我们将误差r估计与值函数的正则性联系起来。根据弗里德曼和金德莱勒的精神，二阶时间导数的二次估计值得到了改进（见[3]和[5]）。我们还利用了练习边界的光滑性及其渐近性质。定理1.1中的常数C与Berry-Esseen估计和值函数的正则性有关。尽管很难跟踪t正则性估计中的常数，但值得一提的是，只要（u，σ）保持在r×（0，∞). 这一观察的结果是，定理1.1中的边界也适用于近似的变体，其中近似ln（St/S）的过程（而不是ut+σB（n）t）由unt+σnB（n）tat离散时间t给出，其中un=u+o（1/n）和σn=σ+o（1/n），这是经典风险中性近似中出现的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:36:27

事实上，标准参数表明，值函数相对于σ（远离0）和u是局部L ipschitz连续的。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将回顾[6]的一些结果。第3节专门讨论值函数导数的估计。然后在第4节和第5节中使用估计值来证明定理1.1：在第4节中，我们给出了P（n）的上界- 在第5节中，我们推导了下界。承认：与Martijn Pistorius就美式期权的近似进行了富有成效的讨论，这激发了本文的研究，作者非常感谢Martijn Pistorius。2价值函数和近似过程如【6】中所述，我们引入了修正的价值函数u（t，x）=e-rtU（T- t、 ln（S）+ut+σx），t≥ 0，x∈ R、我们有P=u（0，0）和u（T，x）=e-rTU（0，ln（S）+uT+σx）=e-rT（K- SeuT+σx）+和，对于T∈ [0，T]，u（T，x）≥ e-rt（K- Seut+σx）+=e-rtg（ut+x）。（1）我们需要u的欧洲类似物，即“u（t，x）=e-rt'U（T- t、 ln（S）+ut+σx）=e-rTE（g（uT+x+BT-t）），t≥ 0，x∈ R、我们还将使用符号：h=Tn。使用此符号，我们有b（n）t=√h[吨/小时]Xk=1Xk，0≤ t型≤ T、我们有，尽管如此∈ {0，h，2h，…（n- 1） h，nh=T}（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:36:32

[6]中的命题3.1，u（t，B（n）t）=u（0，0）+Mt+t/hXj=1Du（（j- 1） h，B（n）（j）-1） h），其中（Mt）0≤t型≤这是一个鞅（关于B（n）的自然过滤），使得m=0，du（t，x）=Eut+h，x+√hX公司- u（t，x），0≤ t型≤ T- h、 x个∈ R、上述u（t，B（n）t）的分解（实际上是Doob的分解）可以看作是It^o公式的离散版本，对于光滑函数v：[0，t]×R→ R、意味着v（t，Bt）-Rtδv（s，Bs）ds是（局部）鞅，其中δv=vt型+vx、如果v是光滑的，并且Dv（t，x）=E，那么也很容易检查t hatvt+h，x+√hX公司-v（t，x），我们有（1/h）×Dv（t，x）=δv（t，x）+O（h）。我们必须解决的主要技术难题是mod fied value function u的平滑度问题。备注2.1。u的导数通过以下公式与u的导数相关。我们有ut（t，x）=e-rt公司-Ut+uUx个- rU！（T- t、 ln（S）+ut+σx）和ut（t，x）=e-rt公司Ut型- 2uUt型x+uUx+2rUt型- 2ruUx+rU！（T- t、 ln（S）+ut+σx）。我们还有δu（t，x）=ut（t，x）+ux（t，x）=e-rt公司-Ut+（A- r） U！（T- t、 ln（S）+ut+σx）=e-rt（A-r） ν（ln（S）+ut+σx）1{ln（S）+ut+σx≤b（T-t） }，其中最后一个等式来自规则结果（例如，请参见[4]）。我们需要对运算符D进行更精确的描述，由以下命题给出（见[6]的命题3.4）。为方便起见，我们用X表示一个随机变量，其分布与X相同，与序列（Xn）n无关≥1、提案2.1。假设（H4）i满足，v是Con[0，T]×R类的函数≤ t型≤ T-h和x∈ R、定义Dv（t，x）=2Z√hdξZξdzE“Xξ - X（ξ- z）vt型x（t+ξ，x+zX）#。我们有Dv（t，x）=~Dv（t，x）+2Z√hdξZξdzEXδv（t+ξ，X+zX）,带符号δv=vt型+vx、和▄Dv（t，x）=2Z√hdξZξdz（ξ- z） E“Xξ- X（ξ- z）哦！vt型x（t+ξ，x+zX）#。备注2.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

nandehutu2022

2022-6-6 21:36:35

注意，如果所有s的δv（s，x+zX）=0∈ [t，t+h]和z∈ [0,√h] ，我们有v（t，x）=Dv（t，x）。根据Pro位置2.1中的最后一个等式，我们得出以下估计。Dv（t，x） ≤ 2Z√hξdξZξdzE“X+X！vt型x（t+ξ，x+zX）#≤√赫兹√h2ξdξE“ZξdzX+X！vt型x（t+ξ，x+zX）#≤√hZt+htdsEZdy1{| y-x个|≤√h | X |}| X |+| X |！vt型x（s，y）!=√hZt+htdsZdyE{| y-x个|≤√h | X |}| X |+| X |！！vt型x（s，y）我们从[6]的命题3.2（基于Berry Esseen估计）中了解到∈ （1，3），存在一个正常数Ck（不依赖于X），因此，对于所有y∈ R、 n个≥ 1和j∈ {1，2，…，n}，E|X |+| X |！nB（n）jh-y≤√h | X | o≤Ck公司√jE（| X |）1+E | X | 3+k1+| y | k。因此，对于j=1，n- 1，EDv（jh，B（n）jh）≤Ck，X√j√hZjh+hjhdsZdy1+| y | kvt型x（s，y）≤ Ck，Xh√Zjh+hjhds√sZdy1+| y | kvt型x（s，y）, （2）其中，对于最后一个不等式，我们使用了不等式jh≥ （j+1）h/2.3二阶时间导数的估计在本节中，我们定义了我们在[6]中使用的规律性结果。我们首先建立一些基本的L-估计。然后，我们得到了差值U=U的二阶时间导数的二次估计-U.对于相关加权Sobolevspace的定义，我们将使用符号νj（dx）=dx（1+x）j/2，j>1.3.1一些基本L-估计建议3.1。假设函数是连续的且满足∈ L（νj），ν′∈ L（νj）和二阶导数Д′是R上的氡测度，其中rr |Д′（dz）|（1+z）j/2<∞.LetuИ（t，x）=e-rtE（Д（Xxt）），t≥ 0，x∈ R、然后，对于所有T>0，存在一个常数CT>0，因此t型∈ （0，T）]，u^1t（t，.）L（νj）≤CTt。我们将很容易从下面的引理中推导出这个命题。引理3.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:36:39

如果ρ是R上的Radon测度，q是R上的非负可积函数，则有| |ρ* q | | L（νj）≤ 2j/2ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+x）j/2dx。对于R上的任何可测函数f，y∈ R、 | | f（。- y） | | L（νj）≤ 2j/2（1+y）j/2 | | f | | L（νj）。证明：我们有| |ρ* q | | L（νj）≤Z∞-∞dx（1+x）j/2ZR |ρ（dz）| q（x- z） =ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）- z）（1+z）j/2（1+x）j/2dx=ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+z）j/2（1+x+z））j/2dx。请注意，Z≤ 2（（x+z）+x），因此我们推导出1+z1+（x+z）≤1+2（x+z）+2x1+（x+z）≤ 2（1+x）。因此| |ρ* q | | L（νj）≤ 2j/2ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+x）j/2dx。类似地，对于任何可测函数f和y∈ R、 | | f（。- y） | | L（νj）=Z | f（x- y） | dx（1+x）j/2=Z | f（x）| dx（1+（x+y））j/2=Z | f（x）| 1+x1+（x+y）！j/2dx（1+x）j/2≤Z | f（x）| 1+2（x+y）+2y1+（x+y）！j/2dx（1+x）j/2≤ 2j/2（1+y）j/2 | | f | | L（νj）。命题3.1的证明：We haveuД（t，x）=e-rtZ公司∞-∞^1（x+y）扩展-（y）- ut）2σt！dyσ√2πt=e-rtpt公司* ν（x），其中pt（x）=σ√2πtexp-（x+ut）2σt=σ√tnx+utσ√t！。这里，n表示标准密度函数。另一方面，我们知道，uа满足方程式u^1t=（A- r） uИ，（3）以便u^1t（t，）=e-rt（A- r） pt公司* ^1=e-rtpt公司* [（A- r） ^1]。根据我们的假设，（A- r） ^1是一种氡测量值，满足Zr |（a- r） Д（dz）|（1+z）j/2<∞.所以，使用引理3.1，u^1t（t，.）L（νj）≤ CjZ公司∞-∞pt（x）（1+| x | j）dx=CjZ∞-∞σ√tnx+utσ√t！（1+| x | j）dx=CjZ∞-∞n（y）（1+| yσ√t型- ut | j）dy≤ Cj公司1+tj.另一方面，通过区分（3），我们有u^1t=（A- r）u^1t=e-rt（（A- r） pt）* （A）- r） ^1。因此，使用引理3.1和pt的定义，u^1t（t，.）L（νj）≤ CjZ公司∞-∞|（A）- r） pt（x）|（1+| x | j）dx≤Cjt公司1+tj.3.2二次估计调用符号：U（t，x）=supτ∈T0，tEe-rτ~n（Xxτ）, u^1（t，x）=e-rtE（Д（Xxt）），t≥ 0，x∈ R、带Д（x）=（K- ex）+。现在，我们介绍差异▄U=U- u^1（对应于早期行使溢价）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:36:44

我们有以下的L-估计，对于▄U=U的二次导数- u^1。定理3.1。修复T>0和j>1。存在一个常数C>0，因此，对于所有ξ∈ （0，T），ZTξ（T- ξ)Ut（t，.）L（νj）dt≤ C1+| lnξ|β, 带β=3/2，如果d≤ r、 1，如果d>r。该估计与[6]的定理2.4密切相关，这是Friedmanand Kinderehrer得出的结果的变体（见第八章引理4.1和[5]）。而不是通过考虑差异U=U- uν，我们可以推导出一个对数上界，而不是ξ的幂，这将通过考虑u得出（见[6]的定理2.4]）。为了证明定理3.1，我们需要一些关于导数的初步估计UX和Ut型x、引理3.2。修复T>0和j>1。对于任何ε∈ （0，1/4），存在常数C>0，因此，对于所有t∈ （0，T）]，Ux（t，.）L（νj）≤ C√t和Ux（t，.）L（νj）≤ Ctε。证明：我们知道▄U解方程-Ut+（A- r） U=▄h，初始条件▄U（0，）=0，其中函数h由h（t，x）=（A）给出- r） Д（x）1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、我们有以下身份（这可以被视为一种早期锻炼的premiumformula）。~U（t，）=-中兴通讯-r（t-s） pt公司-s*小时ds，其中pt（x）=σ√2πtexp-（x+ut）2σt=σ√tnx+utσ√t！，n表示标准正态密度函数。直接检查一下Ux（t，）=-中兴通讯-r（t-s） pt公司-s*小时x（s，.）ds，以及在点z处Dirac测度的符号δzf，小时x（t，x）=（A- r） Д′（x）1{x≤~b（t）}- （A）- r） Д（x）δ▄b（t）（x）=-κ（t，x）+γ（t）δИb（t）（x），（4）带κ（t，x）=-（A）- r） Д′（x）1{x≤b（t）}和γ（t）=-（A）- r） ^1（￠b（t））。注意，κ在（0，∞) ×R和γ是一个连续的、非负的、有界的函数（0+∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-6 21:36:48

在这个阶段，很明显| | pt-s*小时x（s，.）||∞≤ C类/√t型- s，所以Ux（t，.）L（νj）≤ C√t、另一方面，我们有Ux（t，.）L（νj）≤中兴通讯-r（t-s）p′t-s* κ（s，.）L（νj）ds+| |ζ（t，.）||L（νj），带ζ（t，.）=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s* δИb（s）ds=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s（。-b（s））ds。我们有，使用引理3.1，p′t-s* κ（s，.）L（νj）=Zp′t-s（y）κ（s。- y） dy公司L（νj）≤Z | p′t-s（y）| | |κ（s。- y） | | L（νj）dy≤ 2j/4 | |κ（s，.）||L（νj）Z | p′t-s（y）|（1+y）j/4年。注意，由于κ有界且j>1，sups>0 | |κ（s，.）||L（νj）<∞ , 因此，对于某些常数C>0（可能因行而异）p′t-s* κ（s，.）L（νj）≤ CZ | p′t-s（y）|（1+y）j/4dy=CZσ（t- s）n′y+u（t- s） σ√t型- s（1+y）j/4dy=CZσ√t型- s | n′（z）|（1+(-u（t- s） +σ√t型- s z）j/4dz≤C√t型- s1+（t-s）日本/2.因此，如果0<t<t，中兴通讯-r（t-s）p′t-s* κ（s，.）L（νj）ds≤ CZtds公司√t型- s=2C√t、我们现在估计| |ζ（t，.）||L（νj）。利用γ的不变性，我们得到了|ζ（t，x）|=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s（x-b（s））ds≤ CZtσ（t- s）n′x-b（s）+u（t- s） σ√t型- sDs回想一下，n′（x）=-xn（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-6 21:36:51

因此|ζ（t，x）|≤ CZt | x-b（s）+u（t- s） |（t- s）3/2倍-b（s）+u（t- s） σ√t型- sds公司≤ CZtds公司√t型- s+CZt | x-b（s）|（t）- s）3/2倍-b（s）+u（t- s） σ√t型- sds。注意n（x+x）=n（x）exp-x个- xx！≤ n（x）exp(-xx）≤ n（x）expx+x！=n（x/√2）因此，对于t∈ （0，T），|ζ（T，x）|≤ CZtds公司√t型- s+CTZt | x-b（s）|（t）- s）3/2倍-b（s）√2σ√t型- sds。注意，对于所有α>0，存在Cα>0，因此，对于所有y∈ R、 n（y）/√2) ≤ Cα/| y | 2α。因此，对于t∈ （0，T），|ζ（T，x）|≤ C√t+CαZt | x-b（s）|（t）- s） 3/2（t- s） α| x-b（s）| 2αds=C√t+CαZt（t- s）α-|x个-b（s）| 2α-1ds=C√t+Cαtα-Z（1- u）-α| x-b（tu）| 2α-1件。现在，取α=+ε（0<ε<1/4），然后取β（t，x）=x-b（t）| 1-2α=| x-b（t）|-2ε.我们得到| |ζ（t，.）||L（νj）≤ C√t+CtεZ（1- u） 1个-ε| |β（tu，.）||L（νj）du。利用引理3.1，我们得到了| |β（tu，.）||L（νj）≤ 2月2日1+~b（tu）j/2Z | x | 4εdx（1+x）j/2。由于ε<1/4，右侧的积分是有限的，引理很容易遵循。现在我们来研究Ut型x、回想一下U型/t解抛物方程-五/t+（A- r） v=集合{（t，x）| t>0，x>b（t）}中的0。因为练习边界是不同的U型/t是连续的，并且在运动边界上消失，因此Ut型xis连续“向上到边界”，即在集合{（t，x）| t>0，x上≥b（t）}（见[3]，引理4.5）。我们首先表明Ut型xis沿运动边界为非负。引理3.3。我们有，对于任何t>0，Ut型x（t，~b（t））≥ 证明：对于所有t>0的情况，由于平滑fit特性，Ux（t，~b（t））=Д′（~b（t）），因此，通过对t的微分，Ut型x（t，~b（t））+Ux（t，~b（t））~b′（t）=Д′（~b（t））~b′（t）和Ut型x（t，~b（t））=-Ux（t，~b（t））- И′（~b（t））！~b′（t）。注意，对于每个t>0，函数x 7→ U（t，x）-Д（x）为Con，间隔为[b（t），∞)且最小值为▄b（t）。因此，它的二阶导数此时必须是非负的。自▄b′（t）≤ 0，证明了引理。引理3.4。修复T>0和j>1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-6 21:36:55

存在一个常数C>0，这样，对于所有t∈ （0，T∧ 1] ，ZTtUt型x（t，.）L（νj）dt≤ C ln（1/t）。为了证明引理3.4，我们需要与运算符关联的双线性形式- r、我们首先介绍了相关的加权Sobolev空间。对于j>1，设Hj=L（R，νj），Vj={f∈ Hj | f′型∈ Hj}。HJ上的内积用（·，·）Jan表示，关联范数用······················································+∞-∞f（x）dx（1+x）j/2和| | f | | j=| f | j+| f′j。回想一下，部分微分算子A由A=σ定义x+ux、我们与操作员A联系- r Vj上的双线性泛函，由aj（f，g）=σZ定义∞-∞f′（x）g′（x）dx（1+x）j/2-jσZ∞-∞f′（x）g（x）x（1+x）（j/2）+1dx-uZ∞-∞f′（x）g（x）dx（1+x）j/2+rZ∞-∞f（x）g（x）dx（1+x）j/2，因此，如果f′∈ Vj，aj（f，g）=-（（A- r） f，g）j。将aj（f，g）写为aj（f，g）=aj（f，g）+aj（f，g），其中aj（f，g）=σ[（f′，g′）j+（f，g）j]和aj（f，g）=aj（f，g）- aj（f，g）。（5）使用这些符号，很容易检查|(R)aj（f，g）|≤ C | | f | | j | g | jand | aj（f，g）|≤C | | g | j | f | j，对于一些不依赖于f或g的常数C。引理3.4的证明：为了排除正则性问题，我们引入了一个C∞, R×R上的非负函数ρ，其中Rρ（t，x）dtdx=1，suppρ [-1, 0] × [-1，+1]并设置，对于任何正整数m，ρm（t，x）=mρ（mt，mx）。现在，让我们=Ux、 Wm=W*ρm，且hm=~h*ρm。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:36:59

对于每个m>0，函数Wm、hm是C∞对于有界导数，我们有-Wm公司t+（A- r） Wm公司=百米x、乘以Wm公司/对于任何固定的t>0，-Wm公司t（t，.），Wm公司t（t，）！j- ajWm（t，.），Wm公司t（t，）=Z百米x（t，x）Wm公司t（t，x）νj（dx）。注意AJWM（t，.），Wm公司t（t，）！=ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！+\'ajWm（t，.），Wm公司t（t，）=滴滴涕（▄aj（Wm（t，.），Wm（t，）+\'ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！。通过对时间的积分，我们得到，如果0<t<t，-ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt+（~aj（Wm（t，），Wm（t，.））- aj（Wm（T，），Wm（T，））=ZTt？ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！dt+ZTt百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。亨塞兹特Wm公司t（t，.）jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，.））-ZTt？ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！dt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，）+CZTt | | Wm（t，.）||jWm公司t（t，.）jdt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。使用不等式2 | | Wm（t，.）||jWm公司t（t，.）j≤ εWm公司t（t，.）j+ε| | Wm（t，.）||j、 we g etZTtWm公司t（t，.）jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，）+CZTt | | Wm（t，.）||jdt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。我们有▄aj（Wm（t，.），Wm（t，.））≤ C | | Wm（t，.）||jand，使用引理3.1，| | Wm（t，.）||j≤Zρm（t- t、 y）| | W（t。- y） | | jdtdy≤Zρm（t- t、 y）2j/4（1+y）j/4 | | W（t，.）||jdtdy。利用引理3.2，我们得到了ε∈ （0，1/4））| | W（t，.）||j≤ Ctε。因此▄aj（Wm（t，.），Wm（t，.））≤ CZρm（t- t、 y）2j/2（1+y）j/2t2εdtdy=CZρm（t，y）2j/2（1+y）j/2 | t- t | 2εdtdy=CZρ（t，y）2j/21+ym！日本/2t型-tm公司2εdtdy≤ C（1+t2ε）。我们还有ztt | | Wm（t，.）||jdt=ZTtZdsdyρm（t- s、 y）W（s。- y）jdt公司≤ZTtZdsdyρm（t- s，y）| | W（s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-6 21:37:04

- y） | | jdt≤ZTtdtZdsdyρm（t- s、 y）2j/2（1+y）j/2 | | W（s，.）||j≤ZT+MTD | | W（s，.）||jZdtdyρm（t- s，y）2j/2（1+y）j/2。SinceRT+1 | | W（s，.）||jds<∞, 我们推断是这样的Wm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。从引理3.2的证明（见（4））可以看出百米x（t，x）=-κm（t，x）+γm（t，x），其中κm=κ* ρm，κ是有界函数，γm（t，x）=Zρm（t- τ、 x个-b（τ））γ（τ）dτ。因此-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤ CZTt公司Wm公司t（t，.）jdt公司-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt+CT-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt，这里我们使用了CWm公司t（t，.）j≤Wm公司t（t，.）j+C.ThereforeZTtWm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:07

（6）请注意Wm公司t型=嗯t型x个-嗯t型x、其中Um=U* ρmand um=uД* ρm，因此-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt=J（1）m+J（2）m，其中J（1）m=-ZTtγm（t，.），嗯t型x（t，.）！jdt和J（2）m=ZTtγm（t，.），嗯t型x（t，.）！jdt。我们有j（1）m=-ZTtdtZdx（1+x）j/2γm（t，x）嗯t型x（t，x）=-zttdtzzdx（1+x）j/2Zdτγ（τ）ρm（t- τ、 x个-b（τ））嗯t型x（t，x）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}γ（τ）ρm（s，y）嗯t型x（τ+s，~b（τ）+y）（1+（y+~b（τ）））j/2=-ZT+mtγ（τ）ηm（τ）dτ，其中ηm（τ）=ZT-τt-τdsZdy（1+（y+～b（τ）））j/2ρm（s，y）嗯t型x（τ+s，~b（τ）+y）=ZT-τt-τdsZρm（s，y）dy（1+（y+~b（τ）））j/2Z Zds′dy′ρm（s′，y′）Ut型x（τ+s- s′，~b（τ）+y- y′）。注意这一点Ut型开集S={（t，x）| t>0，x<b（t）}（这是停止区域的内部集合），因此ηm（τ）=ZT-τt-τdsZρm（s，y）dy（1+（y+~b（τ）））j/2Z Zds′dy′ρm（s′，y′）W（τ，s- s′，y- y′），其中W（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）1{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。自从Ut型x（τ，~b（τ））≥ 0，对于τ>0，我们有ηm（τ）≥ZT公司-τt-τdsZ Zρm（s，y）dyρm（s′，y′）ds′dy′1+（y+~b（τ））j/2D（τ，s- s′，y- y′），其中d（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）-Ut型x（τ，~b（τ））！{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。因此（自γ≥ 0）J（1）m≤ -ZT+mtγ（τ）εm（τ）dτ，其中εm（τ）=ZT-τt-τdsZ Z Zρm（s，y）dyρm（s′，y′）ds′dy′（1+（y+~b（τ）））j/2D（τ，s- s′，y- y′）。我们有εm（τ）|≤ZT公司-τt-τDm（τ）ds=（T- t） Dm（τ），其中Dm（τ）=sup |θ|≤1/m，| z|≤2/米|D（τ，θ，z）| 1{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}.由于Ut型x、作为m→ ∞ , 函数Dm在区间[t，t+1]上一致收敛到0。因此，我们有LIM supm→∞J（1）m≤ 0。（7）我们现在检查J（2）m。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:10

利用γ的有界性，我们得到了| J（2）m |≤ZTtdtZdx（1+x）j/2 |γm（t，x）|嗯t型x（t，x）≤ CZTtdtZdx（1+x）j/2Zdτρm（t- τ、 x个-b（τ））嗯t型x（t，x）.注意，由于Д是Lipschitz，我们有u^1t型x（t，.）∞≤Ctand，自suppρ [-1, 0] ×[-1, +1],嗯t型x（t，.）∞≤Z Zdτdyρm（τ，y）u^1t型x（t- τ, .)∞≤计算机断层扫描。因此| J（2）m |≤ CZTtdttZdxZdτρm（t- τ、 x个-b（τ））=C lnTt。（8）从（6）、（7）和（8）中可以看出，thatlim supm→∞ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε+lnTt,这证明了引理。3.3定理3.1的证明对于定理3.1的证明，我们将研究满足以下条件的方程：U/t、乐视网=Ut、我们有-五、t+（A- r）五=小时t、式中，h（t，x）=（A- r） Д（x）1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、下面的引理将阐明导数的计算小时/t在分配的意义上。引理3.5。在（0+∞) ×R byI（t，x）=1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、分发我/t应用于紧支撑C∞函数ρo n（0+∞) ×R由H给出我t、 ρi=Z▄b′（t）ρ（t，▄b（t））dt。可以这样写（不太精确）：我t（t，.）=b′（t）δОb（t）。证据：我们有我t、 ρi=-你好ρti=-ZdtZdxI（t，x）ρt（t，x）设J为▄b的范围。我们有J=（▄b(∞),b（0））。注意，如果x≤b(∞), I（t，x）=1表示所有t>0，如果x≥对于所有t>0的情况，b（0）I（t，x）=0，因此，在大多数情况下，RI（t，x）ρt（t，x）dt=0。因此我t、 ρi=-ZJdxZdt1{x≤~b（t）}ρt（t，x）=-ZJdxZdt1{t≤b-1（x）}ρt（t，x）=-ZJdxρ（￠b-1（x，x）=Z▄b′（t）ρ（t，▄b（t））dt。在这里，我们使用了t hatb严格递减的事实（这在[10]中得到了证明），但我们也可以通过严格递减的f函数bε（t）=-εt+~b（t）推导公式。事实上，我们只需要▄b变为C：实际上，我们可以用▄bu（t）=代替▄b（t）▄-ut+~b（t）并选择u，以便▄bu在ρ的支撑点的时间投影附近严格增加。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-6 21:37:13

我们现在开始定理3.1的证明。在引理3.4的证明中，Weintroducing正则化序列ρm，setVm=V* ρmandχm=小时t型* ρm，因此-虚拟机t+（A- r） Vm=χm注意函数Vm，χmare C∞, 在任意子集[t，t]×R上有界导数，0<t<t。这是因为V在这样的子集上有界。对于任何大于0的系数，乘以虚拟机/t并对νjt进行积分，以获得-虚拟机t（t，.）j- ajVm（t，.），虚拟机t（t，）=Zχm（t，x）虚拟机t（t，x）νj（dx）。我们有AJVM（t，.），虚拟机t（t，）=滴滴涕（Vm（t，），Vm（t，）+\'ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！。通过对时间的积分，我们得到，如果0<t<t，-ZTt公司虚拟机t（t，.）jdt+[~aj（Vm（t，.），Vm（t，.））- aj（Vm（T，），Vm（T，）]=ZTt？ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！dt+ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt。亨塞兹特虚拟机t（t，.）jdt公司≤ C | | Vm（t，.）||j-ZTt？ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！dt公司-ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt公司≤ C||Vm（t，.）||j+ZTt | | Vm（t，.）||j虚拟机t（t，.）jdt公司+ Jm（t，t），其中Jm（t，t）=-ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt。使用不等式2 | | Vm（t，.）||j虚拟机t（t，.）j≤ ε虚拟机t（t，.）j+ε| | Vm（t，.）||j、 we deriveZTt公司虚拟机t（t，.）jdt公司≤ C | | Vm（t，.）||j+ZTt | | Vm（t，.）||jdt！+Jm（t，t）。（9）现在我们研究Jm（t，t）。注意，对于任何固定的t>0，χm（t，.），虚拟机t（t，）！j=Zνj（dx）虚拟机t（t，x）小时t型* ρm（t，x）我们有小时t（t，）=（A）- r） ^1我t（t，.），因此，使用引理3.5和符号γ（t）=-（A）- r） ^1（￠b（t））小时t型* ρm（t，x）=-Zdτρm（t- τ、 x个-~b（τ））~b′（τ）γ（τ），回想一下γ（τ）≥ 因此χm（t，.），虚拟机t（t，）！j=-Zνj（dx）虚拟机t（t，x）Zdτρm（t- τ、 x个-b（τ））~b′（τ）γ（τ）=-ZdτZdx（1+x）j/2虚拟机t（t，x）ρm（t- τ、 x个-b（τ））~b′（τ）γ（τ）=-ZdτZdy（1+（y+～b（τ）））j/2虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）~b′（τ）γ（τ）。回到Jm（t，t），我们有Jm（t，t）=-ZTtdtZdτZdy虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）γj（τ，y），其中γj（τ，y）=-（1+（y+～b（τ）））j/2～b′（τ）γ（τ）。注意，γj（τ，y）≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:16

我们有jm（t，t）=-ZdτZdtZdy1{t<t<t}虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）’γj（τ，y）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））ρm（s，y）’γj（τ，y）。观察ddτVm（τ+s，y+~b（τ））=虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））+虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ），因此虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））=ddτVm（τ+s，y+~b（τ））-虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）。HenceJm（t，t）=^Jm（t，t）+Jm（t，t），其中^Jm（t，t）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}ddτVm（τ+s，y+~b（τ））ρm（s，y）(R)γj（τ，y）和(R)Jm（t，t）=+ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）ρm（s，y）(R)γj（τ，y）。使用分部积分，我们得到了^Jm（t，t）=-ZdsZdyρm（s，y）ZT-st公司-sddτVm（τ+s，y+~b（τ））γj（τ，y）dτ！=-ZdsZdyρm（s，y）Vm（T，y+~b（T- s））’γj（T- s、 y）+ZdsZdyρm（s，y）Vm（t，y）+b（t- s））’γj（t- s、 y）+ZdsZdyρm（s，y）ZT-st公司-支持向量机（s+τ，y+~b（τ））\'-γjτ（τ，y）dτ。注意，由于V的连续性（=U/t）打开（0，∞) ×R，序列vm在紧集上收敛于V。我们还有γjand的连续性\'-γj/τ（由于▄b是C的偏差）。我们很容易推断出→∞^Jm（t，t）=-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ，（10），且只要在[ξ，t]形式的紧致集合中波动，则收敛关于t是一致的，其中0<ξ<t。对于Jm（t，t），我们有Jm（t，t）=J（1）m（t，t）+J（2）m（t，t），其中J（1）m（t，t）=+ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}嗯t型x（τ+s，y+～b（τ））～b′（τ）ρm（s，y）～γj（τ，y）和'j（2）m（t，t）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}嗯t型x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）ρm（s，y）(R)γj（τ，y）。我们用同样的方法处理J（1）m（t，t）来证明（7）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:19

利用▄b′（τ）▄γj（τ，y）这一事实≤ 0，我们有J（1）m（t，t）≤~J（1）m（t，t），其中~J（1）m（t，t）=ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}Z Zds′dy′ρm（s′，y′）D（τ，s- s′，y- y′）～b′（τ）ρm（s，y）～γj（τ，y），其中（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）-Ut型x（τ，~b（τ））！{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。由于Ut型x、我们有Limm→∞~J（1）m（t，t）=0，且只要在[ξ，t]中波动，则收敛相对于t是一致的。另一方面，由于u^1t型x、我们有Limm→∞\'J（2）m（t，t）=-ZTtdτu^1t型x（τ，~b（τ））~b′（τ）’γj（τ，0），与t一致∈ [ξ，T]。在这个阶段，我们可以声明Jm（t，t）≤~Jm（t，t），其中▄Jm（t，t）=^Jm（t，t）+▄J（1）m（t，t）+▄J（2）m（t，t），和limm→∞支持∈[ξ，T]~Jm（t，t）-J（t，t）= 0，其中▄J（t，t）=-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ-ZTtdτut型x（τ，～b（τ））～b′（τ）～γj（τ，0）。自从U型/t沿运动边界消失，我们有V（t，~b（t））=-u^1t（t，~b（t）），所以-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ=u^1t（t，b（t））’γj（t，0）-u^1t（t，b（t））’γj（t，0）-ZTt公司u^1t（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ=ZTtddτu^1t（τ，~b（τ））！γj（τ，0）dτ，因此￠j（t，t）=ZTt“ddτu^1t（τ，~b（τ））！-u^1t型x（τ，~b（τ））~b′（τ）#γj（τ，0）dτ=ZTtu^1t（τ，~b（τ））？γj（τ，0）dτ。现在我们回到（9）并对tto deriveZTξdtZTt进行积分嗯t（t，.）jdt公司≤ CZTξ| | Vm（t，.）||jdt+ZTξZTt | | Vm（t，.）||jdt！dt+ZTξdtJm（t，t）。HenceZTξ（t- ξ)嗯t（t，.）jdt公司≤ CZTξ| | Vm（t，.）||jdt+ZTξdtJm（t，t）。请注意，LIMM→∞ZTξ| | Vm（t，.）||jdt=ZTξ| | V（t，.）||jdt公司≤ C1+lnTξ！，其中最后一个不等式来自引理3.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-6 21:37:23

此外，limm→∞ZTξdt▄Jm（t，t）=ZTξdt▄J（t，t）=ZTξ（t- ξ)u^1t（t，～b（t））～γj（t，0）dt。HenceZTξ（t- ξ)Ut（t，.）jdt公司≤ C1+lnTξ+ZTξ（t- ξ)u^1t（t，～b（t））～γj（t，0）dt。现在，定理3.1源自以下引理，该引理依赖于接近到期日的基本练习的渐近行为（见[1]，[7]）。引理3.6。我们有ztξ（t- ξ)u^1t（t，~b（t））|~b′（t）| dt≤ C1+| lnξ|β, 带β=3/2，如果d≤ r、 1，如果d>r。证明：我们首先注意到，由于Д是有界的且Lipschitz连续的，我们有u^1t（t，.）∞≤Ct3/2。这可以通过论证（如命题3.1的证明）来看出，u（t，.）=e-rtpt公司* ^1，以便和u^1t（t，）=（A）- r） u^1。为了估计到第4阶的uД的x导数，我们可以区分pThree次并使用Д′的有界性。然后我们得到ztξ（t- ξ)u^1t（t，~b（t））|~b′（t）| dt≤ CZTξt- ξt3/2 |b′（t）| dt≤ CZTξ√t | b′（t）| dt。现在，自▄b′（t）≤ 0，我们有ztξ√t | b′（t）| dt=-ZTξ√t~b′（t）dt=-b（T）-b（0）√T-b（ξ）-b（0）√ξ!-ZTξt3/2（￠b（t）-b（0））dt≤b（0）-b（T）√T+ZTξt3/2（￠b（0）-b（t））dtIf d≤ r、我们有b（0）-b（t）≤ Cqt | ln t |对于t接近0，因此ztξt3/2（￠b（0）-b（t））dt≤ CZTξtq | ln t | dt≤ C（1+| lnξ| 3/2）。如果d>r，我们有▄b（0）-b（t）≤ C√t表示t接近0，因此ztξt3/2（￠b（0）-b（t））dt≤ CZTξtdt=C ln（T/ξ）。4 P（n）的上限- 推导P（n）上界的引脚顺序- P、我们使用（1）将该数量与修正值函数u关联如下：P（n）- P=supτ∈T（n）0，TEe-rτg（uτ+B（n）τ）- u（0，0）≤ supτ∈T（n）0，TEu（τ，B（n）τ）- u（0，0）= supτ∈T（n）0，TEτ/hXj=1Du（（j- 1） h，B（n）（j）-1） h）.我们观察到Du≤Du，并从[6]（引理4.1）中回忆起sup0≤j≤n-1E级Du（jh，B（n）jh）≤Ch，所以p（n）- P≤ En-2Xj=1Du（jh，B（n）jh）+ O（h）≤ Ck，Xh√ZT公司-hhds公司√sZdy1+| y | kut型x（s，y）+ O（h）。（11）这里，我们有一个正则性问题，因为u不是t C。这个问题可以如下所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:26

通过卷积，可以用一个平滑、一致有界且满足δum的序列um来近似u≤ 0和Dum≤达姆。我们需要引理3.1的以下变量。引理4.1。如果ρ是（0，T）×R上的Radon测度，q是（0，T）×R上的非负可积函数，则q（T，x）=0 f或T/∈ （0，a），其中a满足0<a<h，我们有-hhds公司√sZ |ρ* q（s，y）|（1+| y |）k/2dy≤ 2k/2ZT-hh小时-aZR |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2ZadsZ∞-∞q（s，x）（1+x）k/2dx。证据：我们有-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2 |ρ* q（s，y）|≤ZT公司-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2Z Z |ρ（dt，dz）| q（s- t、 y型- z） =z z |ρ（dt，dz）| ZT-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2q（s- t、 y型- z）≤ZT公司-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）| Zadθ√t+θZdy（1+| y |）k/2q（θ，y- z）≤ZT公司-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√tZadθZdy（1+| y |）k/2q（θ，y- z） =ZT-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2Zadθz（1+z）k/2dx（1+x+z）k/2q（θ，x）≤ 2k/2ZT-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2ZadθZdx（1+x）k/2q（θ，x），其中最后一个不等式来自1+z1+（x+z）≤ 2（1+x）。使用引理4.1u型/(t型x）是氡测量值（见（13）和下面的元素），我们得出（11）的正确版本，即p（n）- P≤ Ck，Xh√ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+ O（h）。（12）如果我们引入函数▄u：=u- \'u，我们有，利用δ\'u=0，ZT的事实-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+2ZT-hhds公司√sZdy1+| y | k\'\'ut（s，y）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+2CTZT公司-hhds公司√s（T）- s）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+ CT | ln h |，其中我们使用了命题3.1。我们现在需要估算-hh小时√sR1+| y | kut型x（ds，dy）. 从备注2.1中可以看出：ut（t，x）+ux（t，x）=ζ（t，x）1{x≤^b（t）}，式中ζ（t，x）=e-rt（A-r） Д（ln（S）+ut+σx）和^b（t）=b（T- t）- ut- ln（S）/σ. 通过区分t，我们得出以下表达式ut（t，x）+ut型x（t，x）=ζt（t，x）1{x≤^b（t）}+ζ（t，^b（t））^b′（t）Δ^b（t），（13），其中我们使用了引理3.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 21:37:29

请注意SUPX≤^b（t）ζt（t，x）< ∞ 和sup0<t<tζ（t，^b（t））< ∞.此外，| b′（t）|≤ |b′（T- t） |+|u/σ|，因此Ztdt√t |^b′（t）|≤ZT/2dt√t | b′（t- t） |+ZTT/2dt√t | b′（t- t） |+2u/σ|√T≤ sup0≤t型≤T/2 |￠b′（T- t） | ZT/2dt√t++sTZTT/2 |b′（t- t） | dt+2 |u/σ|√T=sup0≤t型≤T/2 |￠b′（T- t） | ZT/2dt√t+sTb（0）-b（T/2）+ 2|u/σ|√T<∞.因此，（1 3）的右侧是氡测量值，因为根据定理3.1，u/它是局部可积的，因此u/t型xis是氡测量值。此外，我们还有ZT-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）≤ CT+2ZT-hhds公司√sZ1+| y | kut（s，y）.现在，使用Cauchy-Schwarz不等式和定理3.1，我们得到了zt-hhds公司√sZdy1+| y | kut（s，y）≤CZT公司-hhdss（T- s-h）哦！1/2ZT公司-hhds（T- s-h）ut（s，）k1/2≤ Cq | ln h|ZT公司-hhds（T- s-h）ut（s，.）k1/2=Cq | ln h|ZT公司-hh/2dt（t-h）ut（t- t、 .）k1/2≤ Cq | ln h | 1+β，如果d>r，β=1，如果d，β=3/2≤ r、最后一个不等式来自定理3.1和引理3.4，以及函数U和U的导数之间的关系（参见备注2.1；我们也使用经典界||U型/t（t，.）||∞+ ||U型/x（t，.）||∞≤ C类/√t）。我们得出结论P（n）- P≤ C（ln n）αn，如果d>r，则α=1，如果d，则α=5/4≤ r、 5 P（n）的下限- p对于下限的推导，我们使用了文献[6]中介绍的停止时间（参见定理5.6的顶部）。即τ=τ{τ<T-h} +T 1{τ=T-h} ，其中τ=infnt∈ [0，T- h] |吨/小时∈ N和d（B（N）t，It+h）≤√h | | X||∞+ |u| ho。这里，它={x∈ R | u（t，x）=g（t，x+ut）}。注意，如果t<t，则它=(-∞,^b（t）]。将τ改为τ的动机是u型/t靠近t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝