关于摆动看跌期权的最优行使边界

2022-5-6 11:56:44

关于摆把选项的最佳练习范围。德安吉利斯*和Y.Kitapbayev+2018年8月29日，我们使用概率方法来描述时间相关的最优停止边界，在一个有限时间范围内的多重最优停止问题中。出于金融应用的动机，我们考虑了“卖出”类型的即时停止效应，其基本动力学遵循年龄计量布朗运动。用两个边界描述了与每个最优停止时间相关的最优停止区域，这两个边界是连续的、单调的时间函数，并且唯一地解决了Volterra型耦合积分方程组。最后，我们给出了问题的值函数的公式。MSC2010分类：60G40、60J60、35R35、91G20。关键词：最优多重停车，自由边界问题，摆动期权，美式期权。1.引言在本文中，我们提供了有限时间范围内最优多次停止问题的最优停止边界的分析特征。对这类问题的研究最近受到了金融业日益流行的所谓摇摆期权的推动。这些是美式期权，在能源市场上最常用的是多个早期行使权（调查见[18]）。特别是在这里，我们考虑一个带有看跌期权的期权模型∈ N、 N≥ 2行使权利，执行价K>0，到期日T，折光期δ>0。参数δ表示持有者在两次连续练习之间必须等待的最短时间。

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2022-5-6 11:56:47

期权的价值由V（n）表示，并根据以下最佳倍数映射时间问题V（n）（t，x）给出：=supSnt，TEhnXi=1e-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i、（t，x）∈ [0，T]×（0，∞) （1.1）其中r>0是无风险利率，Xt，xis是从时间t开始的几何布朗运动∈ [0，T）从x>0开始，并在形式snt，T:=（τn，τn）-1.τ）：τn∈ [t，t]-（n）-1） δ]，τi∈ [τi+1+δ，T-（一）-1） δ]，i=n-1.1.. (1.2)*通讯作者。英国利兹LS2 9JT伍德豪斯巷利兹大学数学学院；Tdeangelis@leeds.ac.uk+美国马萨诸塞州波士顿联邦大道595号波士顿大学奎斯特罗姆商学院，邮编02215；yerkin@bu.eduOptimal摆动期权的行权边界2止损时间τkre的指数k表示剩余权利的数量和Snt的结构，提示期权持有人在到期前行权。为了理解问题（1.1）的财务意义，有必要观察以下情况：-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i=Ehe-r（τi）-（t）K∨Xt，xτi-Xt，xτi如果每个i=1，2。n该支付可用于模拟以下情况。在能源市场上，我们选择的卖方是当地的能源供应商（例如天然气供应商），而买方是在全球范围内进行交易的大型开采商/分销商；两人都喜欢一些储存设施。当地供应商在时间T之前需要n个单位的商品（例如家庭供应），并同意在期权持有人选择的日期以现货价格X和罢工之间的最大价格购买这些商品。持有人承诺通过T提供商品，但可以使用合同允许的灵活性最大化利润。因此，本合同的价值为（1.1），因为期权持有人以现货价格X销售商品，并收到X∨ K

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2022-5-6 11:56:54

在这种情况下，折射时间也可能是由于交付的物理限制。第2.2节提供了关于我们问题形成的更多细节。我们想强调的是，迄今为止，就我们所知，具有有限时间范围的多个停止问题的最佳边界仅在数值上进行了研究，主要是与摆动期权有关（参见[5]、[9]、[14]和[19]），而有限时间范围内的问题则在理论上由[9]和[8]进行了研究。这些研究强调了递归类型的非常复杂的联系：特别是具有n个容许停止时间的多个停止问题的值和最佳边界取决于k=1，2，N-1.允许的停车时间。因此，在解决前一个问题之前，必须先解决后一个问题。由于我们的工作似乎是第一个解决多个停车问题的时间相关最佳停车边界的完整理论描述，因此对特定问题（1.1）的数学兴趣找到了自然动机。事实上，由于所涉及方法的复杂性，通常必须在个案基础上对具有单一停止时间的有限视界问题的停止边界进行分析。在这方面，美国put可能是此类例子中研究得最充分（也是最流行的），其最佳边界的性质一直是一长串论文的研究对象（例如[7]、[15]和[23]）。因此，问题（1.1）是分析与最优多重停止相关的自由边界问题的理想起点。在这项工作中，我们使用概率参数来证明存在一个序列（τ*i） i=n，。。。1.∈对于（1.1），我们证明了每个τ*i、 i=n。

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大多数88

2022-5-6 11:57:01

2为过程（t，Xt）从集合C（i）中的首次退出时间。后者在（t，x）平面上由两条连续单调曲线b（i）和c（i）从上到下限定，这两条曲线是时间的函数（fori=1，c（1）=+∞ b（1）是美式看跌期权（最优边界）。我们的主要结果是这些最优边界的存在性和正则性，对于n=2的情况，定理3.8、命题3.10和定理3.12给出了这些最优边界，而它们推广到了任意n≥ 2可在第3.2节中找到。最后，对于每个i=n。2.我们将此类边界描述为Volterra型耦合非线性积分方程组的唯一解，在一些示例中，我们也对其进行了数值求解（见图1、图2和图3）。根据问题（1.1）的财务解释，我们证明期权的价格是一个欧式部分和一个取决于最优停止边界的早期行使溢价的总和（n=2的情况见定理3.13，一般情况见定理3.18）。在（1.1）中讨论自由边界分析的关键困难很重要，因为这些问题反映了在研究最优多重停止问题时必须考虑的更一般的理论问题。众所周知，（1.1）可以通过一个递归参数简化为一个单停时间问题（见下面的引理3.1），其目标是最大化摆动选项3Ee的最佳运动边界的函数-rτG（n）（t+τ，Xt，xτ）与合适的G（n）。每n≥ 2函数G（n）取决于函数V（n）的值-1）用n代替n的问题（1.1）-它不能明确地表示为t和x的函数（见下面引理3.1的讨论）。

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nandehutu2022

2022-5-6 11:57:04

例如，在n=2的情况下，函数G（2）将是美式put值的函数，在这里表示为V（1），它的最显式形式将以美式put最优边界b（1）的复杂函数形式给出（见下面的表达式（3.4）和（3.6））。后者具有一些单调性和正则性，但它们对G（2）的影响不容易确定，文献中也没有关于b（1）的明确公式。与停止问题相关的自由边界的一般概率分析，其中增益函数没有根据状态变量显式给出，在许多情况下，可以在特殊假设下进行处理。在（1.1）中，增益函数由美式看跌期权的结构决定，我们必须通过对其规律性和相关的偏微分方程问题（见命题3.2）的深入研究来弥补G（2）的透明度不足。完成后，我们可以将这些结果与几何布朗运动的局部时间的精确估计结合起来，得出最优边界的存在性和其他性质。由于我们工作的环境不同寻常，我们对G（n）的初步研究和我们主要结果的证明（特别是定理3.8和命题3.10的证明）包含几个技术点，这些技术点扩展了最优停止理论中自由边界分析的现有方法，我们相信这些技术点可以用来构建一个更系统的方法来研究最优多重停止边界。最后，从财务角度来看，我们发现合同的上最优行使边界是一个有趣的结果，与美式看跌期权问题中观察到的单一边界形成对比。

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2022-5-6 11:57:08

乍一看，这一事实可能看起来有点违反直觉，但事实证明，这是货币的时间价值与停车时间Snt，T（另见备注3.9）上施加的约束之间相互作用的结果。在这里，我们还展示了停止集的大小随着[9]中推测的权利数量的增加而增加（见下面的备注3.20）。本文其余部分将更详细地讨论此功能和其他功能。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们简要概述了关于最优多重停止问题的现有文献，以及它们在模拟摆动合约中的应用。然后在第2.2节中，我们详细介绍了上述问题（1.1）的设置。我们问题的完整解决方案在第3节中给出，该节分为两个主要小节。第三节。第1章详细分析了具有两种行使权的摇摆期权。相反，我们使用第3.2节将第3.1节的结果扩展到具有任意多个灯光的swing选项的情况。论文以技术附录的形式完成。2.问题的表述和背景材料我们在这里提供了一些关于摆动选项和最佳多次停车的基本参考，然后我们详细地表述了问题（1.1）。在本节的最后一部分，我们回顾了一些关于美国put的背景材料，我们将在整篇论文中使用这些材料。2.1. 关于摆动期权和最优多次停止的概述摆动合同的早期数学模型可以追溯到80年代（除其他外，请参见[16，第1节和第2节]以及其中的参考文献），到目前为止，许多作者对其发展做出了贡献（例如，请参见调查[18]）。[16]和[14]中给出了在每个行权日具有交易量限制和交易数量有限的摆动期权的数值研究。

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kedemingshi

2022-5-6 11:57:12

最近，这些工作已被[2]、[3]、[13]、[27]等扩展，以包括期权的基础和复杂结构的更一般动力学（例如跳跃动力学摆动期权4的最佳行使边界和制度转换机会）。据我们所知，在[9]中给出了对支撑摆动合约的最佳停止理论的第一个理论分析，它基于鞅方法和斯内伦斜率。后来，在c`adl`ag正过程的假设下，在[21]中对多停时问题的鞅方法进行了系统研究。在一维线性微分的情况下，[8]给出了相关值函数的过度函数特征，而[22]、[1]和[4]等研究了对偶方法。在马尔可夫环境下，变分方法和BSDEs技术得到了广泛应用。例如，在[5]中，从理论和数值两方面分析了具有体积约束的摆动期权的HJB方程。例如[19]在股票期权评估（略有不同）的背景下研究了最优多重停止问题的变分不等式[17]，并将[9]的结果推广到一维跳跃微分。与挥杆选项相关的带跳跃的BSDE研究可在[6]中找到。问题的表述在以下情况下，参考价值函数（1.1）和swing Option价格或价值将很方便。关于完全概率空间(Ohm, F、 P）我们考虑标的资产动态的Black and Scholes模型，X=rXsds+σXsdBs，X=X>0（2.1），其中B是标准布朗运动，r>0是无风险利率，σ>0是波动系数。

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大多数88

2022-5-6 11:57:16

我们用（Fs）s表示≥0（Bs）产生的自然过滤≥0用P-null集和（Xxs）s完成≥0（2.1）的唯一强解。众所周知，对于任何x>0，它都保持sxxs=xeσBs+（r-σ）稳定部队≥ 0（2.2），与X相关的最小生成器由ilxf（X）给出：=rxf（X）+σxf（X）表示f∈ C（IR）。为了方便读者，我们在这里回忆（1.1）：V（n）（t，x）：=supSnt，TEhnXi=1e-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i、（t，x）∈ [0，T]×（0，∞) （2.3）如果上确界接管了一组停止时间Xt，xof the formSnt，T：=（τn，τn）-1.τ）：τn∈ [t，t]-（n）-1） δ]，τi∈ [τi+1+δ，T-（一）-1） δ]，i=n-1.1..函数V（n）表示带看跌期权（K）的摆动期权的价格-x） +、罢工K>0、到期T>0、n行使权利和折射期δ>0。由于δ>0是期权持有人在连续两次行使期权之间的最小等待时间，因此自然考虑T、n和δ，使T≥ （n）-1)δ.注意，在（2.3）中，我们用Xt表示，（2.1）的解从时间t>0开始，初始条件为Xt=x。然而，在接下来的过程中，我们将经常使用Xxs=Xt，Xt+sin定律来表示任何s≥ 此外，由于我们在马尔可夫框架中，对于任何Borel可测实函数F，我们通常会替换EF（t+s，Xxs）由前任F（t+s，Xs）还有EF（t+s，Xxt+s）英尺基于Ex的挥杆选项5B的最佳练习边界F（t+s，Xt+s）英尺= EXxtF（t+s，Xs）其中Exis是在measurePx（·）=P（·| X=X）下的期望。（2.3）的特殊性嵌入在可容许停止时间Snt类别的定义中，它设置了以下约束：期权持有人必须行使所有权利。换句话说，如果在T之前没有严格使用第k个右键-（k）-1） δ所有后续权利只能在到期时行使，即持有人持有k- 1欧洲期权到期时间δ，2δ。（k）-1)δ.

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2022-5-6 11:57:21

另一方面，在提前行使第k项权利的情况下，持有人可立即获得报酬（k-十） +并保留一个带有k的swing选项-1在等待折射期δ>0后，行使最早可使用的权利。包括持有人使用最低数量权利的义务在内的摇摆合同在能源市场上进行交易，并且自早期文件[14，第3节]和[16，第2.3.1节]以及许多其他文件以来就已经进行了分析。我们的公式考虑了一种限制性情况，在这种情况下，所有权利都必须行使，并且可以由期权卖方对基础商品的实际需求来激励，如引言中所述。从纯数学的角度来看，这个公式很有趣，因为它与[9]中所考虑的公式相反，在[9]中，持有人没有义务使用最少数量的权利。[9]中对无限到期期权的数值研究表明，与每一个可容许停止时间相关的最佳停止区域完全位于连续集下方，并且在走向K下方有一个单一的行使边界。相反，我们将看到Snt上的约束，t即使资产价格X大于履约价格K（即看跌期权支付等于零），也可以诱导期权持有人使用其中一项权利，以维持未来的提前行权权（更多详细信息，请参见备注3.9）。我们的例子和[9]中的例子都是实现全面解决的必要中间步骤，一般情况下，摇摆合同的最低行使日期数受到限制。最后，我们注意到，由于[9]中的选项允许持有者更灵活，它的值为（2.3）中的V（n）提供了一个上限。

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2022-5-6 11:57:26

关于美式看跌期权的背景材料与我们对V（n）的定义一致。我们注意到，对于n=1，价值函数V（1）与到期日T>0且履约价格K>0的美式看跌期权的价值函数一致。我们还稍微滥用了表示法，表示V（0）为到期日T>0且行使K>0的欧洲看跌期权的价格。在我们关于t的马尔可夫框架中∈ [0，T]和x>0我们有v（0）（T，x）=Ehe-r（T）-t）（K）-XxT-t） +i（2.4）和v（1）（t，x）=sup0≤τ≤T-特赫-rτ（K）-Xxτ）+i（2.5），其中τ是（Ft）-停止时间。我们现在回顾一些关于美国看跌期权问题的众所周知的结果（参见[25，第25节]和其中的参考文献），这些结果将被用作我们方法的基础。我们定义了TSC（1）：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（1）（t，x）>（K）-x） +}（2.6）D（1）：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（1）（t，x）=（K）-x） +}（2.7），回想一下，（t，Xt）进入D（1）的第一次进入时间是（2.4）中的最佳停止时间。此外，存在唯一的连续边界t7→ b（1）（t）将C（1）和D（1）分开，摆动选项6的最佳运动边界为0<b（1）（t）<K∈ [0，T），停止时间τ：=inf0≤ s≤ T-t:Xxs≤ b（1）（t+s）在（2.4）中是最优的。众所周知，V（1）∈ C1，2在C（1）中，它求解V（1）t+ILXV（1）- 房车（1）（t，x）=0表示x>b（1）（t），t∈ [0，T）。地图x7→ 对于所有t，V（1）x（t，x）在最优边界b（1）上是连续的∈ [0，T）（所谓的平滑条件）和Vx≤ [0，T]×（0，∞) （参见[25]等式（25.2.15），第381页，注意V（1）（t，·）正在减小）。变量公式的变化（参见[24]）给出了V（1）的表示，我们将在本文的其余部分中经常使用，即-rsV（1）（t+s，Xxs）=V（1）（t，x）- rKZse-芮（Xxu）≤ b（1）（t+u）du+Mt+s（2.8）s∈ [0，T-t] x>0，其中（Mt+s）s∈[0，T-t] 是连续鞅（见[25]式（25.2.63），p。

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2022-5-6 11:57:29

390).在命题3.10的证明中需要以下备注，我们在这里给出一部分背景材料。备注2.1。请注意，为了考虑不同的到期日，我们应该在价值函数的定义中指定它们，例如，对于到期日为t的欧洲/美国看跌期权，表示V（n）（t，x；t），n=0，1。然而，这种表示法并不必要复杂，因为在定价看跌期权时，有效的重要因素是到期时间。事实上，对于固定的x∈ (0, ∞) λ>0表示时间t的值∈ 到期日为T的欧洲/美国看跌期权的[0，T]与到期日为T+λ的期权的价值相同，但在时间T+λ时考虑，即V（n）（T，x；T）=V（n）（T+λ，x；T+λ），n=0，1。在这项工作中，我们主要处理单成熟度T，并通过设置V（n）（T，x）：=V（n）（T，x；T）来简化我们的表示法。问题的解决方案我们的首要任务是根据标准最优停止理论，以更规范的形式重写问题（2.3）。每n≥ 2.任何t∈0，T- （n）- 1)δ当x>0时，我们定义为负（n）（t，x）：=（K-x） ++R（n）（t，x）（3.1）其中我们表示dr（n）（t，x）：=Ehe-rδV（n）-1）（t+δ，Xxδ）i（3.2）带n的摆动期权的预期贴现值-1行使权利，在折射时间δ后可供期权持有人使用。下一个结果在[9，Thm.2.1]中得到了证明，其背景比我们的更为普遍，我们建议读者参考该论文以获得证明。我们应该注意到，我们对Snt施加的约束，需要对[9]中的证明进行一次微不足道的调整。引理3.1。

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2022-5-6 11:57:34

对于每个n和任意（t，x）∈ [0，T-（n）-1)δ] × (0, ∞) （2.3）的值函数V（n）可以等价地写成V（n）（t，x）=sup0≤τ≤T-（n）-1） δEhe-rτG（n）（t+τ，Xxτ）i（3.3）和τ*n:=inf{0≤ s≤ T-（n）-1） δ：V（n）（t+s，Xs）=G（n）（t+s，Xs）}在（3.3）中是最优的。此外，对于固定的最佳停止时间序列（τ*k） k=1，。。。对于值函数V（k），k=1。n在原始配方中是最佳的（2.3）。摇摆选项的最佳练习边界7最初的问题现在被简化为一个单一停止时间的问题，但多重练习结构的复杂性并没有消失，它已经被编码到增益函数G（n）中。实际上，必须注意的是，G（n）通过函数R（n）以非平凡的递归方式依赖于带有n的swing选项的值函数-1，n-2.1保留权利。（3.3）中的优化涉及单个停止时间τ，尤其应将其理解为（2.3）中的τnf。我们的目标是从引理3.1中描述最优停止时间序列的特征，即最优停止集序列，然后分析其边界。为此，我们采用了一种迭代方法：一次计算V（k）和τ的性质*已经发现，函数g（k+1）可以确定，我们可以研究V（k+1）和τ*k+1。不幸的是，在我们的最终期限设定中，没有希望明确确定G（n）如何依赖于t和x。这使得问题（3.3）比标准的美式看跌期权问题（在最终期限或最终期限内）更加困难，需要新的解决方法。3.1. n=2的摆动选项分析为了遵循上面给出的通过迭代解决问题的思路，我们在本节中对n=2的问题（3.3）进行了彻底的分析。

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2022-5-6 11:57:38

稍后我们将把这些结果推广到任意n≥ 归纳法2。这里的主要目标是：i）根据时间的两个有界连续函数（即最佳边界）来描述最佳停止区域；ii）为值函数V（2）提供早期锻炼溢价（EEP）表示公式；iii）证明最佳边界的耦合是合适方程的唯一解。在第3.1.1节中，我们首先研究增益函数的精确规律性和值函数的连续性。然后在第3.1.2节中，我们证明了两个最优停止边界的存在性和唯一性（参见定理3.8和命题3.10）。我们在第3.1.3节中继续提供边界的连续性和平滑属性。最后是第3节的定理3.13。1.4我们提供了期权价值的EEP表示和最优边界的积分方程。3.1.1. 增益函数和值函数的初步研究为了简化符号，我们设置Tδ：=T-δ、 G:=G（2）和R:=R（2）（参见（3.1）和（3.2）），然后∈ [0，Tδ]和x>0我们有g（T，x）=（K-x） ++R（t，x）=（K）-x） ++e-rδEV（1）（t+δ，Xxδ）（3.4）和v（2）（t，x）=sup0≤τ≤Tδ-球座-rτG（t+τ，Xxτ）。（3.5）为了更好地理解G的性质，我们首先观察到R可能重写为asR（t，x）=V（1）（t，x）- rKg（t，x）表示（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) （3.6）带g（t，x）：=Zδe-rsPXxs≤ b（1）（t+s）ds（3.7），取（2.8）中的期望值，s=δ。我们还定义了f:[0，Tδ]×（0，∞) → (0, ∞) byf（t，x）：=e-rδPXxδ≤ b（1）（t+δ）. （3.8）摇摆选项的最佳运动边界8在下一个命题中，我们获得了R的重要性质，这些性质反映了对数正态密度函数的缓和效应。证据收集在附录中。提议3.2。函数R位于C1,2（（0，Tδ）×（0，∞)) 它解决了Rt+ILXR-rR（t，x）=-（t，x）的rKf（t，x）∈ （0，Tδ）×（0，∞).

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2022-5-6 11:57:41

（3.9）MoreoverH（t，x）：=（Gt+ILXG）-rG）（t，x）=-rKI（x<K）+f（t，x）（3.10）对于（t，x）∈ （0，Tδ）×（0，K）∪（K），∞)和T7→ 自t7以来，所有x>0的H（t，x）都在减小→ b（1）（t）在增加。应用It^o-Tanaka公式（3.10）和标准局部化参数去除鞅项，给出了（3.5）中期望的有用表示，即Ee-rτG（t+τ，Xxτ）=G（t，x）+EZτe-ruH（t+u，Xxu）du+EZτe-鲁德库（Xx）（3.11）代表（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 以及任何停止时间τ∈ [0，Tδ-t] 。在这里LKu（Xx）U≥0是Xxat级别K的本地时间进程，我们使用了H（t+u，Xxu）I（Xxu6=K）=H（t+u，Xxu）P-a.s.来表示所有u∈ [0，Tδ- t] 。备注3.3。命题（3.2）和表示（3.11）是我们分析最优停止规则的起点。对于δ>0，函数f在整体状态空间中是严格负的。因此，H（t，x）<0表示所有（t，x）和（3.11）中的第一个积分可被视为期权持有人在任何时候因延迟行使期权而产生的支付成本。等待的唯一动机来自与当地时间相关的积分，随着过程X超过执行价格K，积分会增加。因此，我们可以在这一点上启发性地提出，如果基础价格与执行价格“太远”，期权持有人应该行使期权，尤其是即使支付的卖出部分超出了资金范围。我们注意到，对于δ>0，过程（e-rtR（t，Xt））t≥由于（3.9），0是一个严格的超级演算。对于δ=0，我们有f（t，x）=I（x≤ b（1）（t））以便（e）-rtR（t，Xt））t≥只要X保持在b（1）以上，0就表现为阿马丁格尔。这一观察结果与（3.10）和（3.11）相结合，意味着在没有折射时间的情况下，当价格高于行使价格K时，期权持有人不会产生等待成本，因此，如果期权的部分不在资金范围内，就没有行权的动机。

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2022-5-6 11:57:45

这些考虑因素将在Remark3中进一步扩展。9.一旦对问题进行了更严格的分析。问题（3.5）的连续集和停止集分别由C（2）给出：={（t，x）∈ [0，Tδ）×（0，∞) : V（2）（t，x）>G（t，x）}（3.12）D（2）：={（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) : V（2）（t，x）=G（t，x）}。（3.13）引理3.1提供了（3.5）asτ的最佳停止时间*= inf{0≤ s≤ Tδ-t:（t+s，Xxs）∈ D（2）}。（3.14）这也可以从标准参数中看出。实际上，让τ：=τ∧ （Tδ- t） τ可以是任意的，但停止时间是固定的。由于增益函数G在[0，Tδ]×（0）上是连续的，∞), 支配收敛定理很容易暗示（t，x）7→ Ee-由于（2.2），rτG（t+τ，Xxτ）也是连续的。那么V（2）必须至少是下半连续的，作为连续函数的上确界，并且是最佳停止的标准理论（参见[25，推论2.9，第2节]），证明（3.14）是（3.5）中最小的最佳停止时间。现在我们可以通过证明其连续性来开始分析值函数V（2）。摇摆期权的最佳行使边界9提案3.4。（3.5）的值函数V（2）在[0，Tδ]×（0，∞). Moreoverx 7→ V（2）（t，x）是凸的且Lipschitz连续的，常数L>0与t无关∈ [0，Tδ]。证据第一步。它来自于x7的凸性→ V（1）（t，x）和（3.4）表示映射为x7→ G（t，x）在（0，∞) 每一个t∈ [0，Tδ]固定。现在如果我们采取任何行动∈ [0，Tδ]、0<x<y和α∈ （0，1）我们有αV（2）（t，x）+（1）-α） V（2）（t，y）≥ sup0≤τ≤Tδ-球座-rταG（t+τ，Xxτ）+（1）-α） G（t+τ，Xyτ）≥ sup0≤τ≤Tδ-球座-rτGt+τ，XαX+（1-α） yτ= V（2）（t，αx+（1）-α） y）其中我们使用了G在x和αXxτ+（1）中的凸性-α） Xyτ=XαX+（1）-α） yτ。

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大多数88

2022-5-6 11:57:48

因此函数X 7→ V（2）（t，x）在（0，∞) 也就是x7→ V（2）（t，x）在（0，∞)对于每个给定和固定的t∈ [0，Tδ]。注意→ G（t，x）也在减小，且Lipschitz连续，与t一致∈ [0，Tδ]。事实上，自从-1.≤ V（1）x≤ 0和x7→ （K）- x） +是利普希茨，我们获得堡垒∈ [0，Tδ]和0<x<x<∞0≤ G（t，x）- G（t，x）≤ |十、- x |+e-rδEXxδ- Xxδ(3.15)=十、- 十、1+Ee-rδXδ= 2.十、- 十、.然后根据（2.2），（3.15）和可选采样定理≤ V（2）（t，x）- V（2）（t，x）≤ sup0≤τ≤Tδ-球座-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t+τ，Xxτ）≤ 2（x）- x） sup0≤τ≤Tδ-球座-rτXτ=2（X- x）对于t∈ [0，Tδ]和0<x<x<∞. 因此x7→ V（2）（t，x）与康斯坦特是李普希茨连续的∈ （0，2），与时间一致。第2步，仍然需要证明t7→ 对于x，V（2）（t，x）在[0，tδ]上是连续的∈ (0, ∞). 我们首先注意到，对于固定x>0，映射t7→ G（t，x）从t7开始下降→ V（1）（t，x）是t7→ 通过简单的比较，V（2）（t，x）也在减小。拿0≤ t<t≤ Tδ和x∈ (0, ∞), 设τ=τ*（t，x）对于V（2）（t，x）是最优的，并且设置τ：=τ∧ （Tδ-t）。然后使用（3.9），τ≥ τP-a.s.与不等式（K-十）+- （K）-y）+≤ （y）-x） +forx，y∈ IR，我们发现≤ V（2）（t，x）- V（2）（t，x）（3.16）≤ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτG（t+τ，Xxτ）≤ Ee-rτ（Xxτ）-Xxτ）+Ehe-rτr（t+τ，Xxτ）- E-rτr（t+τ，Xxτ）i≤ Ee-rτ（Xxτ）-Xxτ）+R（t，x）- R（t，x）- rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）- f（t+s，Xxs）ds。现在开始-T→ 0一个是（3.16）中最后一个表达式的第一项变为零的旁观者参数（参见公式（25.2.12）-（25.2.14），第二个是通过V（1）和b（1）的连续性变为零，第三项是通过f的支配收敛性和连续性变为零。V（2）在[0，Tδ]×（0，∞) 下面结合上面的步骤1和步骤2。挥杆选项的最佳练习范围103.1.2。

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2022-5-6 11:57:52

连续集和停止集的几何学请注意，既然V（2）和G是连续的，那么C（2）是开集，D（2）是闭集（参见（3.12）和（3.13））。在下一个命题中，我们从集合D（1）的角度对集合D（2）的结构有了初步的了解（参见（2.7））。提案3.5。问题（2.5）的停止集D（1）对[0，Tδ]的限制包含在问题（3.5）的停止集D（2）中，即D（1）∩[0，Tδ]×（0，∞) D（2）。（3.17）证据。取任意点（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 设τ=τ*（t，x）表示V（2）（t，x）的最佳停止时间，然后使用（3.4），（3.9）并回顾≥ 我们有v（2）（t，x）- V（1）（t，x）≤ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτ（K）-Xxτ）+=Ee-rτr（t+τ，Xxτ）=r（t，x）-rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）ds≤ G（t，x）- （K）-x） +。然后，对于任何（t，x）∈ D（1）与t∈ [0，Tδ]，即V（1）（T，x）=（K-x） +，它必须是V（2）（t，x）=G（t，x），因此（t，x）∈ D（2）。我们现在用c（2）t:={x来定义问题（3.5）的连续集和停止集的t-部分∈ (0, ∞) : V（2）（t，x）>G（t，x）}（3.18）D（2）t:={x∈ (0, ∞) : 对于}（t）（x，t）=3∈ [0，Tδ]并证明以下命题3.6。对于任何0≤ t<t≤ Tδ1有C（2）T C（2）t（相当于D（2）t D（2）t），即{C（2）t，t族∈ [0，Tδ]}在T（相当于{D（2）T，T）族中减少∈ [0，Tδ]}在T中增加。证据修正0≤ t<t<tδ和x∈ (0, ∞), 设置τ=τ*（t，x）对于V（2）（t，x）是最优的。然后我们有v（2）（t，x）- V（2）（t，x）（3.20）≥ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτG（t+τ，Xxτ）=Ee-rτR（t+τ，Xxτ）- R（t+τ，Xxτ）= R（t，x）- R（t，x）- rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）- f（t+s，Xxs）ds≥ R（t，x）- R（t，x）=G（t，x）- G（t，x），在上一个不等式中，我们使用了t7→ f（t，x）在[0，tδ]上通过[0，t]上b（1）的单调性增加。

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2022-5-6 11:57:55

由（3.20）可知（t，x）∈ C（2）意味着（t，x）∈ C（2）证明是完整的。到目前为止，对摇摆期权的分析得出的结果在某种程度上与标准美式看跌期权问题类似。在接下来的内容中，我们将证明，由于两个最佳运动边界的共存，C（2）的结构与C（1）的结构截然不同（参见（2.6））。在本文的其余部分，我们将要求下一个简单的结果，其证明被省略，因为它可以通过应用it^oTanaka公式、可选采样定理和观察过程X具有独立增量来获得。挥杆选项的最佳练习边界11引理3.7。对于任何σ≤ [0，Tδ]one hasEhZτσe中的τ停止时间-rtdLKt（Xx）Fσi（3.21）=Ehe-rτXxτ- KFσi- E-rσXxσ- K- rKEhZτσe-rtsign（Xxt）- K） dtFσi.现在我们描述连续区域C（2）的结构。定理3.8。存在两个函数b（2），c（2）：[0，Tδ]→ (0, ∞] 使得0<b（2）（t）<K<c（2）（t）≤ ∞ 对于所有t，C（2）t=（b（2）（t），C（2）（t））∈ [0，Tδ]。b（2）（t）≥ b（1）（t）代表所有∈ [0，Tδ]，t7→ b（2）（t）在增加，t7在增加→ c（2）（t）在[0，tδ]上以limt递减↑Tδb（2）（T）=limt↑Tδc（2）（T）=K（3.22）证明。存在的证明分三步提供。第一步。首先，我们表明，在x=K处停止不是最佳的。为了实现这一点，我们使用了[26]中启发的论点。固定ε>0，设置τε=inf{u≥ 0:XKu/∈ （K）-ε、 K+ε）}，取t∈ [0，Tδ]并表示s=Tδ-然后通过（3.10）和（3.11）我们得到了v（2）（t，K）- G（t，K）（3.23）≥ Ee-rτε∧sG（t+τε）∧ s、 XKτε∧（s）- G（t，K）=EZτε∧东南方-鲁德库（XK）- rKEZτε∧东南方-俄罗斯I（XKu）≤ K） +f（t+u，XKu）杜≥EZτε∧东南方-鲁德库（XK）- CE（τε）∧ s）对于某些常数C>0。

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kedemingshi

2022-5-6 11:57:59

涉及当地时间的积分可以使用以下公式估计∧东南方-鲁德库（XK）（3.24）=Ee-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|-rK EZτε∧东南方-rusign（XKu）- K）杜≥ Ee-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|-CE（τε）∧ s） C=rK。自| XKτε∧s- K|≤ ε不难看出，对于任何0<p<1，我们都有-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|≥ E-rp（τε）∧s） |XKτε∧s- K | pεpe-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K |然后通过取期望值并使用（2.1）的积分版本，我们得到-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|≥εpEE-rτε∧s（XKτε）∧s- （K）1+p=εpErKZτε∧东南方-rudu+σZτε∧东南方-鲁克斯库德布我们现在使用标准不等式|a+b |p+1≥p+1 | a | p+1-|b | p+1对于任何a，b∈ IR（参见示例5in[20，第8章，第50节，第83页]）和Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式（参见示例[25，第63页]）获得挥杆选项12的最佳练习边界-rτε∧s | XKτε∧s- K|≥εpp+1EσZτε∧东南方-鲁克斯库德布1+p-εpErKZτε∧东南方-如都1+p（3.25）≥ 总工程师σZτε∧东南方-2ru（XKu）du（1+p）/2- CE（τε）∧ s） 1+p≥ CCE（τε）∧ s）（1+p）/2- CE（τε）∧ s） 1+p对于某些常数C=C（ε，p），C=C（ε，p），C=C（ε.p）>0。因为我们对极限Tδ感兴趣- T→ 0我们取s<1，结合（3.23），（3.24）和（3.25）我们得到v（2）（t，K）-G（t，K）≥ CCE（τε）∧ s）（1+p）/2- （C+C+C）E（τε）∧ s）（3.26）对于任何t∈ [0，Tδ）使得s=Tδ- t<1。因为p+1<2，所以通过出租从（3.26）开始↓ 0表示存在t*< Tδ使得所有T的V（2）（T，K）>G（T，K）∈ （t）*, Tδ）。因此（t，K）∈ C（2）t对于所有t∈ （t）*, Tδ）和自t7以来→ C（2）这意味着（t，K）∈ C（2）t对于所有t∈ [0，Tδ），也就是说，当基础价格等于走向K时，停止永远不是最优的。第2步。现在我们研究走向K上方的D（2）部分，并证明它不是空的。为此，我们通过矛盾论证，并假设K上方的停止区域中没有点。取ε>0，x≥ K+2ε和t∈ [0，Tδ），我们表示τ=τ*（t，x）V（2）（t，x）的最佳停止时间。

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可人4

2022-5-6 11:58:02

和前面一样，我们设置s=Tδ-t简化符号并定义σε：=inf{u≥ 0:Xxu≤ K+ε}∧ Tδ。然后通过（3.10）和（3.11）我们得到v（2）（t，x）- G（t，x）=Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t，x）≤ - rKEZτe-ruf（t+u，Xxu）du+EZτe-鲁德库（Xx）≤ - rKEhI（τ<s）Zτe-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车- rKEhI（τ=s）Zse-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<τ）Zτσεe-鲁德库（Xx）i=- rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+rKEhI（τ<s）Zsτe-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<τ）Zτσεe-rudLKu（Xx）我这里我们用了一个事实≤ σε当地时间LKu（Xx）为零。既然我们假设在K以上停下来永远都不是最优的，那么它一定是最优的τ<sσε<s. 显然我们也有σε< τσε<s和henceV（2）（t，x）- G（t，x）（3.27）≤ - rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<s）rKZsτe-ruf（t+u，Xxu）du+Zsσεe-鲁德库（Xx）我≤ - rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+RKP（σε<s）+EI（σε<s）EZσε∨sσεe-鲁德库（Xx）Fσε挥杆选项13的最佳练习边界，我们使用了0≤ F≤ 1（参见（3.8））和I（σε<s是Fσε-可测的。引理3.7，其中σ=σε，τ=σε∨ s和（e）的鞅性质-rtXxt）t≥我们得到hzσε∨sσεe-鲁德库（Xx）Fσεi（3.28）≤2K+EE-r（σε）∨s） Xxσε∨sFσε- E-rσεXxσε+rKEI（σε<s）Zsσεe-rtdt≤ 3K。结合（3.27）和（3.28），我们最终得到v（2）（t，x）-G（t，x）≤ -rKEhZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车+K+rKsP（σε<s）。（3.29）估算Pσε<s可以方便地设置α：=lnxK+ε, Yt:=σBt+（r）- σ/2）t和zt:=-σBt+ct，其中c:=r+σ/2。注意，Yt≥ -中兴通讯∈ [0，Tδ]和henceP（σε<s）=Pinf0≤U≤sXxu≤ K+ε= Pinf0≤U≤sYu≤ -α(3.30)≤Pinf0≤U≤s-祖≤ -α= Psup0≤U≤sZu≥ α≤ Psup0≤U≤s祖≥ α我们还记得x≥ K+2ε，因此α>0。现在我们使用马尔可夫不等式、Doob’sinequality和BDG不等式来估计（3.30）中的最后一个表达式，对于任何p>1P的情况，都是这样sup0≤U≤s祖≥ α≤αpE-sup0≤U≤s祖P≤P-1αpcsp+σpE sup0≤U≤s日分P≤ Csp+sp/2（3.31）合适的C=C（p，ε，x）>0。

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2022-5-6 11:58:05

收集（3.29）和（3.31）我们得到v（2）（t，x）-G（t，x）≤sC（sp+sp/2）+Csp公司-1+sp/2-1.-rKEhsZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车（3.32）对于合适的C=C（p，ε，x）>和C=C（p，ε，x）>0。我们取p>2，在极限下观察为s↓ 我们得到-rKEhsZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车+C（sp+sp/2）+Csp公司-1+sp/2-1.→ -rKf（Tδ，x）（3.33），因此（3.32）中的负项占主导地位，因为所有x的f（Tδ，x）>0∈ (0, ∞). 从（3.32）和（3.33）我们得到一个矛盾，通过ε的任意性，我们得出结论，对于任何x>k，t<tδ必须足够大，并且（t，x）∈ D（2）。我们现在证明（t，x）∈ x>K的D（2）意味着（t，y）∈ D（2）对于任何y>x.Takey>x>K并假设（t，y）∈ C（2）。设置τ=τ*（t，y）对于（3.14）中定义的V（2）（t，y）是最优的，注意，根据命题3.6，水平段[t，tδ]×{x}属于D（2）。然后过程（t+s，Xys）s∈[0，Tδ-t] 如果不进入停止集，则无法命中水平段[t，tδ]×{K}。因此，通过（3.10）和（3.11），我们得到v（2）（t，y）=Ee-rτG（t+τ，Xyτ）=G（t，y）-rKEhZτe-rsf（t+s，Xys）dsi≤ G（t，y），即在（t，y）处立即停止是最优的，因此我们得到一个矛盾。然后我们得出结论，对于每个t∈ [0，Tδ）最多存在一个唯一的点c（2）（T）>K，因此挥杆选项14D（2）T的最佳运动边界∩ （K），∞) = [c（2）（t），∞) 按照惯例，如果c（2）（t）=+∞ 布景是空的。我们现在只证明了c（2）（t）<+∞ 对于t<tδ，适当大。c（2）的定义将在下面的命题3.10中提供。第三步。现在让我们考虑集合{（t，x）∈ [0，Tδ）×（0，K]}。从命题3.5可以看出，对于每个T∈ [0，Tδ）集合D（2）T∩ （0，K）不是空的。此外，通过使用上述第2步中的参数，我们可以证明，对于任何x<K，存在t<tδ，这样（t，x）∈ D（2）和x∈ D（2）t==> Y∈ D（2）t对于0<y≤ 十、≤ K

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2022-5-6 11:58:09

后者意味着∈ [0，Tδ）存在唯一点b（2）（T）∈ （0，K）使得D（2）t∩ （0，K）=（0，b（2）（t）]。上面的步骤1、2和3意味着C（2）t=b（2）（t），c（2）（t）尽管如此，t∈ [0，Tδ）和适用函数b（2），c（2）：[0，Tδ）→ (0, ∞]. 事实上，b（2）（t）≥ b（1）（t）是第3.5条建议的一个明显结果。另一方面，命题3.6意味着t 7→ b（2）（t）在第7位处增加→ c（2）（t）是递减的，所以它们的左极限总是存在的。自limt以来↑Tδc（2）（T）≥ 当x>K时，存在t<tδ和（t，x）∈ D（2）（见上文第2步），然后限制↑Tδc（2）（T）=K。从一个类似的参数和上面的第3步，我们也得到了limt↑Tδb（2）（T）=K.备注3.9。1.上边界的存在是Snt、Tin（1.2）结构施加的约束的一个关键结果（另见第2.2节开头的讨论），它很好地反映了期权早期行使特征的时间价值。实际上，即使Xt>K（即即时行权支付的看跌期权部分为零），持有人也可以找到使用第一权利的表格，以保持提前行使剩余看跌期权的机会，到期日为T（折射期后）。如果对于某些t<tδ的股票，其基础价格Xt太大，持有人不认为它会在tδ之前跌破K。在这种情况下，延迟行使第一项权利可能会产生全额卖出收益，同时降低后续提前行使权利的价值。另一方面，通过立即使用第一项权利，期权持有人将最大限度地利用至少提前行使第二项期权的机会。

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nandehutu2022

2022-5-6 11:58:12

这样一来，我们就可以直观地看到，尽管标准美式看跌期权的持有人只要X指数高于K，在等待过程中就没有什么损失，但对于我们的摇摆合约而言，情况有所不同：在未来权利的早期行使过程中，等待总是让持有人付出代价。因此，当投资的直接回报是太多的“钱外”时，最好是把它扔掉！2.我们观察到，在到期日TδsinceP（Xxt）之前严格行使摇摆期权的第一权利几乎肯定是最佳的∈ C（2）t对于所有t∈ [0，Tδ]）≤ P（XxTδ=K）=0.3。众所周知，r→ 0美式期权的提前行权溢价消失，这意味着b（1）≡ 0表示r=0。类似地，对于r=0，在Tδ之前的任何时候，使用n=2的摇摆合同的第一权利都没有激励，因此b（2）≡ 0和C（2）≡ +∞. 这一事实将清楚地体现在下面定理3.13中V（2）的定价公式中。在定理3.8中，我们证明了c（2）（t）<∞ 对于所有小于但“非常接近”tδ的t。我们现在的目标是通过证明c（2）确实在[0，Tδ]上是有限的来加强这一说法。提案3.10。尽管如此，t∈ [0，Tδ]上边界c（2）是有限的，即supt∈[0，Tδ]c（2）（T）<+∞. （3.34）证据。证据分两步提供。挥杆选项的最佳练习范围15第1步。让我们假设（3.34）被违反，并表示t:=sup{t∈ [0，Tδ]：c（2）（T）=+∞}. 现在考虑一下t>0的情况，并注意到自从t7→ c（2）（t）按定理3递减。8然后c（2）（t）=+∞ 尽管如此，t∈ [0，t）。函数c（2）在（t，tδ）上是右连续的，实际上对于任何t∈ （t，tδ）我们取tn↓ t as n→ ∞ 以及序列（tn，c（2）（tn））∈ D（2）收敛到（t，c（2）（t+），其中c（2）（t+）：=lims↓tc（2）（s）。

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2022-5-6 11:58:15

因为D（2）是闭合的，所以它也必须是（t，c（2）（t））∈ D（2）和c（2）（t+）≥ c（2）（t）通过定理3.8，因此c（2）（t+）=c（2）（t）通过单调性。为了x∈ （K）+∞) 我们通过tc（x）：=sup定义c（2）的右连续逆T∈ [0，Tδ]：c（2）（T）>x观察tc（x）≥ t、固定ε>0，使ε<δ∧ t、然后存在sx=x（ε）>K，这样tc（x）- T≤ ε/2表示所有x≥ 我们表示θ=θ（x）：=infU≥ 0:Xxu≤ 十、∧Tδ。我们特别注意到，如果c（2）（t+）=c（2）（t）<+∞ 我们有tc（x）=t，对于所有的x>c（2）（t）。We fix t=t- ε/2，取x>x，设置τ=τ*（t，x）v（2）（t，x）（参见（3.14））的最佳停止时间。从（3.11）我们得到v（2）（t，x）- G（t，x）=Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t，x）≤嗯- rKZτe-rsf（t+s，Xxs）ds+Zτe-rsdLKs（Xx）i≤ - rKEhI（τ）≤ θ） Zτe-rsf（t+s，Xxs）dsi+EhI（τ>θ）Zτθe-rsdLKs（Xx）i这里我们用LKs（Xx）=0表示s≤ θ. 自c（2）（t）=+∞ 对于t∈ [t]- ε/2，t），并且边界在减小，那么它必须是{τ≤ θ} {τ ≥ ε/2}. （因此，我们获得）- G（t，x）（3.35）≤ - rKEhZε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi+EhI（τ>θ）Zτθe-rsdLKs（Xx）+rKZε/2e-rsf（t+s，Xxs）ds我≤ - rKEhZε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi+EI（τ>θ）EhZτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθi+ rKεP（τ>θ），在上一个不等式中，我们也使用了0≤ F≤ [0，Tδ]×（0，∞). 我们现在分别估计（3.35）最后一个表达式中的两个正项。对于涉及当地时间的问题，我们如（3.28）所述，即我们使用引理3.7和折扣价格的鞅性质来得到Zτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθ≤ 3K。对于一个合适的常数C>0，与x无关，我们得到I（τ>θ）EZτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθ+ rKεP（τ>θ）≤ CP（τ>θ）。（3.36）现在注意τ > θ进程X在时间t=t时开始- x>x的ε/2必须在时间t+ε/2之前到达x，因此，对于c=r+σ/2，我们得到p（τ>θ）≤ Pinf0≤T≤εXxt<x≤ Pinf0≤T≤εBt<σlnxx+cε.

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2022-5-6 11:58:19

（3.37）秋千选项的最佳运动边界16通过取W=-B、然后从（3.37）和反射原理中我们发现（τ>θ）≤Psup0≤T≤εWt>-σlnxx+cε= 2PWε>-σlnxx+cε（3.38）=2h1- Φσ√εln（x/x）- cεi=2Φσ√εln（x/x）+cε带Φ（y）：=1/√2πRy-∞E-z/2dz代表y∈ IR和我们使用Φ（y）=1的位置-Φ(-y），y∈ IR。回到（3.35），我们的目标是估算最后一个表达式中的第一项。为此，我们利用马尔可夫性质得到ef（t+s，Xxs）=e-rδEPXxs+δ≤ b（1）（t+s+δ）财政司司长= E-rδPXxs+δ≤ b（1）（t+s+δ）（3.39）带s∈ [0, ε/2]. 对于所有x>x和s∈ [0，ε/2]表示α：=b（1）（t+δ），在（3.39）中的期望值从下到下是有界的，即b（1）正在增加，即ef（t+s，Xxs）≥E-rδP（Xxs+δ）≤ α) ≥ E-rδPBs+δ≤σln（α/x）-c（δ+ε/2）（3.40）=e-rΔΦσ√δ+sln（α/x）-c（δ+ε/2）≥E-rΔΦσ√δln（α/x）-c（δ+ε/2）=:^F（x），在上一个不等式中，我们使用了ln（α/x）<0，Φ增加。从（3.40）中，利用富比尼定理，我们得到Ehzε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi=Zε/2e-rsEf（t+s，Xxs）ds≥εe-对于x>x，rε/2^F（x）（3.41）。我们现在收集边界（3.35），（3.36），（3.38）和（3.41）来获得v（2）（t，x）- G（t，x）（3.42）≤2CΦσ√εln（x/x）+cε- CΦσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）其中C=C（ε）>0，与x无关。由于t，x，ε与δ>ε固定，我们取极限为x→ ∞ 而且不难用L\'H^opital的规则来验证→∞Φσ√εln（x/x）+cεΦσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）= Climx→∞φσ√εln（x/x）+cεφσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）=Climx→∞xβexpσ1/δ - 1/ε自然对数= 0对于合适的正常数β>0，用φ：=Φ表示标准正态密度函数。因此，（3.42）中的负项对x的大值起主导作用，我们得出了一个矛盾。这意味着c（2）（t）<+∞ 尽管如此，t∈ （0，Tδ）的任意性。第2步。它仍然可以证明c（2）（0）<+∞ 也

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