在单曲线框架中，前向曲线可以通过贴现曲线获得，反之亦然。然而，在多曲线框架中，从贴现曲线隐式获得的远期曲线通常与远期利率不同。重要的是要指出，在多曲线框架中，远期利率最好称为指数（或参考）利率，而贴现因子没有重命名，但它们必须与之前在CSA协议中约定的用于管理抵押品的利率相联系。3.2.2期限掉期PSA期限掉期（TS）是一种合同，其中双方根据相同货币但不同期限的浮动（Ibor）参考利率交换利率金额。回想一下，Ibor利率是用来反映无担保存款利率的，因此必须支付长期贷款的信用溢价，而不是基本短期贷款。该保险费直接包含在TS支腿之一的价差或基础上。一般惯例是将期限基础利差与较短期限的分期付款相加【Fujii等人，2011年】，而付款频率由较长期限的分期付款决定。例如，在美元市场中，一方同意每季度支付300万伦敦银行同业拆借利率，并收到100万伦敦银行同业拆借利率加上期限利差；在后一阶段，我们必须以复利累积每月付款，并按季度结算，以匹配3m期限。备注3.1。在欧元货币市场中，期限掉期通常被称为两种掉期。因此，相对于收到600万欧元银行同业拆借利率，支付300万欧元银行同业拆借利率+12个基点的报价具有以下含义。在第一次掉期中，您支付300万欧元银行同业拆借利率，而不是收取固定利率（以年为基数）。在第二次掉期中，您支付相同的固定利率加上12个基点的利差（以年为基数），并获得600万欧元的银行同业拆借利率【Henrard，2014年】。

请注意，在本公约中，期限差价按年薪制支付，而在美元市场中，期限差价按季度支付。TSs市场可被视为信贷和流动性风险导致的贷款期偏好的市场指标。TS的另一个特点是基差（或利差）通常是向下倾斜的，即掉期的到期日越长，利差越小。让PVPayer（t）为付款人期限掉期的现值。然后付款方（t）=支腿（A）（t）- 支腿（B）（t），（3.15），支腿（A）（t）=MXi=1α（ti-1，ti）Eetit（Ibor（A）（ti-1，ti）P（t，eti）（3.16）支腿（B）（t）=NXj=1β（sj-1，sj）PNjk=1ρ（英国-1，英国）NjYk=11+ρ（英国-1，英国）Eeukt（Ibor（英国-1，英国））+ BP（t，esj）（3.17）式中：B：固定期限展布，N：A段息票数量（分别为B段）Nj：Bti第j段息票数量，sj：A段息票期限（分别为B段）uk：Beti段息票期限，esj：A段第i段息票支付时间（分别为B段第j段息票）α（ti-1，ti））：Aβ段第i张息票的应计系数（sj-1，sj））：B段第j张息票的应计系数ρ（uk）-1，uk））：用于计算资产负债率（Ibor（A）（ti）的第k个分支B的应计系数-1，ti））：A.Eeukt（Ibor（B）（英国）的远期Ibor利率-1.英国））：B.3段的远期Ibor利率回到基本LIBOR 3m vs 1m 5y合约交易日tSpot Lag 2天开始日期t+2Tenor 5ySpread（leg）+0.10%（LIBOR 1m）指数利率LIBOR 1m和LIBOR 3m名义价值USD 1000 IOPayment Frequency 3 Months Day Count Convention ACT/360个营业日日历纽约和伦敦日期滚动约定修改如下表3.2：普通5y期限示例掉期合同。3.2.3隔夜指数掉期和联邦基金掉期我们将在这项工作中看到，隔夜指数掉期（OIS）在担保世界的贴现因素构建中发挥着重要作用。

这种掉期有两个分支：浮动利率分支和固定利率分支，在即期和到期日之间支付息票。与普通IRS的主要区别在于，浮动段与隔夜指数挂钩，而不是与Ibor指数利率挂钩。隔夜利率作为Ibor利率在每个营业日公布，但只对一天有效，这就是为什么称之为隔夜利率。回想一下，在普通IRS中，浮动段的日历与Ibor指数利率期限相同。例如，基于LIBOR 3m的IRS每3个月支付一次，因此很自然地认为OIS的浮动部分将每天支付。虽然以掉期或任何金融工具进行日常支付并不现实，但以OIS进行的分期付款计划为每年或每季度，支付金额通过隔夜利率的复利或平均值计算。在整个工作过程中，我们只考虑美元OIS市场。重要的是，在30年内，OISSAR的流动性相对较高（见【CME，2016】）。然而，对于超过10年的到期日，市场上的价格以联邦基金掉期（FFS）的形式报价，这是一种期限掉期，因为它们将Ibor付款交换为基于隔夜指数的付款。在联邦基金掉期（FFS）中，隔夜指数化分期的计算与OIS不同。事实上，付款是按隔夜利率的算术平均值计算的，而在OIS中，付款是按隔夜利率的合成日计算的。在这项工作中，我们使用OIS进行曲线校准，并忽略FFS的引号。有关FFS估价和财产的更多信息，请参见【Takada，2011年】。同样，付款人IRS、付款人OIS是一种合同，我们根据隔夜利率支付固定付款和收取浮动付款。即期滞后，即。

交易日期和开始日期之间的天数差异通常为两个工作日。让PVPayer（t）为付款人隔夜指数掉期的现值。然后PVPayer（t）=浮腿（t）- 固定期限（t），（3.18）如果掉期到期日不是国际银行同业拆借利率期限的倍数，则在掉期开始（提前）或结束（拖欠）时确定存根期息票（短期或长期）。例如，基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR 3m）的20个月期掉期可以有2个月的息票（短期存根期）或4个月的息票（长期存根期）。此外，该存根期可以安排在掉期开始时，然后是3个月的息票，或者安排在掉期结束时，然后是3个月的息票。3回基础，浮腿（t）=MXi=1α（ti-1，ti）Eetit（DailyCompOI（ti-1，ti）P（t，eti）（3.19）固定支腿（t）=kNXj=1β（sj-1，sj）P（t，esj），（3.20），其中：t- t： 即期滞后（交易日期和起始daet之间的差异）k：隔夜指数swapM的固定利率，N：浮券数量（固定息票）ti，sj：浮券期限（固定息票）eti，esj：第i张息票的支付时间（固定息票）。

第j个试样）α（ti-1，ti））：第i张息票的应计系数β（sj-1，sj））：第j个Couponetit（DailyCompOI（ti）的应计系数-1，ti））：每日复合隔夜指数利率。每日复合隔夜指数利率定义为ASEEIT（DailyCompOI（ti-1，ti））：=τ（ti-1，ti）Ki公司-1Yh=01+α（ti，h，ti，h+1）Eeti，h+1t（OI（ti，h，ti，h+1））- 1.（3.21）式中：Ki：ti之间的营业日数-1和ti{ti，h}Kih=0：是应计期内所有营业日的集合[ti-1，ti]a（ti，h，ti，h+1）：第h个营业日的应计系数ti，h+1t（OI（ti，h，ti，h+1））：有效期间的隔夜指数利率[ti，h，ti，h+1]和已付ateti，h+1 OIS合同示例见表3.3和3.4。OIS（美联储基金）5y合约交易日期t=2015年6月2日即期滞后2天开始日期t+2015年6月4日期限5y=2020年6月4日固定利率1.5078%隔夜指数利率美联储基金国家价值USD 1000 IOPayment Frequency Annual（both legs）Day Count Convention ACT/360（both legs）营业日日历纽约日期滚动约定修改如下表3.3：普通OIS 5y合约链接示例联邦基金隔夜利率。3回到基本OIS（Eonia）2y合同交易日期t=2015年6月2日即期滞后2天开始日期t+2=2015年6月2日期限2y=2017年6月5日固定利率-隔夜指数利率0.1020%EONIONOTIAL Value EUR 1000 IOPAYMENT FRIENCE ENERNAL（双腿）Day Count CONNECTION ACT/360（双腿）个营业日日历目标日期滚动约定修改如下表3.4：普通OIS 2y合同示例与Eonia隔夜利率挂钩。3.2.4交叉货币掉期PSA交叉货币掉期（XCS）是双方之间签订的以两种不同货币兑换利率付款的合同。普通XCS交易与Ibor利率挂钩的浮动支付，其中一条交易增加了在市场上交易的公平基差。

例如，欧元兑美元汇率将伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）300万欧元兑换为300万欧元，再加上额外的基差。与之前的三份利率合同不同，名义金额在掉期开始时易手，然后在合同到期时转回。存在两种普通的XCS：cnXCS（恒定名义交叉货币掉期）：在cnXCS中，名义在掉期到期期间保持不变。mtmXCS（按市值计价的跨货币掉期）：在mtmXCS中，在每个付款日，根据当前外汇利率调整一段的名义利率，并使用调整后的名义利率计算要支付的利息。对于MTMXC的定价，我们必须将MTMXC视为CNXC的集合。该掉期的重要性取决于降低双方的信贷风险敞口，因汇率波动而上升。在整个工作过程中，我们只关注cnXCSs，尽管mtmXCSs正变得越来越流行和流动，尤其是对于G10货币。设PVAPayer（t）为付款人cnXCS掉期中间货币a的现值。然后PVAPayer（t）=LegA（t）- fB公司→A（t）LegB（t），（3.22），LegA（t）=NAMXi=1α（ti-1，ti）Eetit（IborA（ti-1，ti）P（t，eti）（3.23）LegB（t）=NBNXj=1β（sj-1，sj）（Eesjt（IborB（sj-1，sj））+S）P（t，esj），（3.24），其中：NA：腿ANB的概念：腿BfB的概念→A（t）：即期外汇汇率：基差M，N：A段（分别为B段）的息票数量ti，sj：A段（分别为B段）的息票期限eti，esj：A段（分别为B段）第i张息票的支付时间。

第j段B）3的试片返回基本α（ti-1，ti））：Aβ段第i张息票的应计系数（sj-1，sj））：leg BEetit第j张息票的应计系数（Ibor（A）（ti-1，ti））：A.Eesjt（Ibor（B）（sj）段的远期Ibor率-1，sj））：B段的远期Ibor率。对于交易屏幕中显示的XCS报价，我们有NA=NBfB→A（t）。如果MTMXC在A段中的名义价值不变，而在B段中的名义价值更新，则A段的当前价值与CNXC中的相同，但B段的现值必须捕获掉期到期期间的汇率动态。

因此，付款方mtmXCS的现值由PVAPayer（t）=LegA（t）给出- fB公司→A（t）LegB（t），（3.25），LegA（t）=MXi=1NA·α（ti-1，ti）Eetit（IborA（ti-1，ti）P（t，eti）（3.26）LegB（t）=NXj=1NA·fA→B（esj）·β（sj-1，sj）（Eesjt（IborB（sj-1，sj））+S）P（t，esj），（3.27），其中：fA→B（esj）：外汇远期汇率和交货时间esj MTMXC和CNXC的示例分别见表3.5和3.6。欧元兑美元基差5年合约交易日tSpot Lag 2天开始日期t+2天基差5年基差（Leg）0.65%（欧元）指数利率欧洲银行同业拆借利率300万欧元和伦敦银行同业拆借利率300万欧元名义价值1000万欧元国际付款频率四分之一外汇重置频率四分之一日计数惯例法案/360（双腿）营业日日历纽约，TARGET&LondonDate滚动约定修改如下：外汇汇率重置为稳定3.5：普通mtmXCS欧元兑美元5年期合同示例。基准USDMXN 10y合同交易日tSpot Lag 2天开始日期t+2或1820d(≈5y）基差（Leg）0.65%（美元）指数利率伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万美元，TIIE 28d票面价值美元1000万美元，付款频率28天每日计数惯例法案/360个工作日日历纽约、伦敦和墨西哥市日滚动惯例，外汇利率重置后，值得注意的3.6：普通cnXCS 10y合约的示例。4单曲线框架中的利率互换定价4单曲线框架中的利率互换定价本节介绍了单曲线框架中利率互换定价的公式，特别是在MXN货币市场中。从历史的角度来看，这个框架很重要，因为它们解释了多曲线框架，并作为多曲线框架的基础。

singlecurve框架的总体思路是，相同货币的所有利率衍生品只依赖于一条曲线，即贴现曲线和Ibor指数曲线。4.1 MXN案例本节介绍了MXN收益曲线的构建，前提是市场上交易的普通掉期没有抵押品协议。因此，我们假设TIIE 28d利率（墨西哥银行同业拆借利率）是无风险的，并且忽略了参与银行的非流动性或信贷问题，即我们不需要纳入抵押品利率。该框架被称为单曲线框架，因为一条独特的曲线用于提取贴现因子和远期利率。在2007年金融危机之前，该框架被广泛使用，被认为是利率衍生品定价和估值的正确方法。

需要提醒的是，该模型假设金融机构以相同的无风险利率借贷资金，在本例中为TIIE 28d利率。从方程（3.10）和（3.11）中，我们可以得出TIIE28d的付款人IRS的现值为nbypv（t）=MXi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）P（t，eti）- kNXj=1β（sj-1，sj）P（t，esj），（4.1）由于在与TIIE 28d相连的普通香草IRS中，两段中的优惠券数量相同，每个优惠券期的结束日期等于付款日期，即eti=TIF（对于所有i），每个段的天数惯例相同，那么等式（4.1）将toPV（t）=NXi 1α（ti-1，ti）Etit（TIIE28D（ti-1，ti））P（t，ti）- kNXi=1α（ti-1，ti）P（t，ti），（4.2）其中：k：普通利率掉期的固定利率pn：耦合数ti：息票期（开始日期、结束日期和付款日期）α（ti-1，ti））：第i个耦合项的应计系数（TIIE28D（ti）-1，ti））：第i张息票的远期TIIE 28d利率。现在，在单曲线框架中，我们有thateit（TIIE28D（ti-1，ti））=τ（ti-1，ti）P（t，ti-1） P（t，ti）- 1.. （4.3）注意，在等式（4.3）中，我们使用τ作为日计数因子，而不是掉期中使用的α。重要的是要指出，一般来说，α（ti-1，ti））6=τ（ti-1，ti）），这是因为α（ti-1，ti）是用于支付第i张息票的应计系数（年分数），而τ（ti-1，ti）是用于插值和构造零曲线的日期计数（年分数）。

在掉期市场中，支付的应计因素通常基于ACT/360或30/360惯例，而构建零曲线的插值方法通常使用ACT/ACT或ACT/365惯例。4单曲线框架内的IRS定价利率（%）未知变量未知变量的类型数3.0500现金1 P（t，t+1）TN 3.0500现金1 P（t，t+2）28D 3.2950现金1 P（t，T28D）84D 3.3200掉期3 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T84D）168D 3.4300掉期6 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T168D）252D 3.5620掉期9 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T252D）364D 3.7350掉期13 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T364D）728D 4.2360掉期26 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T728D）1092D 4.6710掉期39 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1092D）1456D 5.0510掉期52 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1456D）1820D 5.3610掉期65 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1820D）2548D 5.8630掉期91 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T2548D）3640D 6.2380掉期130 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T3640D）4368D 6.4280掉期156 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T4368D）5460D 6.6320掉期195 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T5260D）7280D 6.8310掉期260 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T7280D）10920D 7.0210掉期390 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T10920D）表4.1:2015年5月29日引用的TIIE 28D掉期（%）（来源：彭博社）。每笔掉期交易的约定期限为28天，随后为第360号法案的应计期。假设固定利率k是中等市场报价，因此付款人掉期的现值等于零。如果我们在（4.2）中替换（4.3），然后将其等于零，则得到nxi=1αiτiP（t，ti-1） P（t，ti）- 1.P（t，ti）- kNXi=1αiP（t，ti）=0。（4.4）求解P（t，tN）我们得到P（t，tN）=PNi=1hαiτiP（t，ti-1) - P（t，ti）- kαiP（t，ti）i+αNτNP（t，tN-1） αNτN+kαN。

（4.5）如果我们假设αi=τifor all i，那么P（t，tN）=P（t，t）- kPNi=1αiP（t，ti）1+kαN.（4.6）该方程被称为与交换率为k的Ncoupons IRS合同相关的自举方程。注意，该方程有N+1个未知变量，即P（t，t），P（t，t），P（t，tN）。在表4.1中，我们给出了市场上引用的普通香草IRS的到期日、k swaprate和每个自举方程中未知变量的数量。请注意，从IRSmarket来看，我们总共有390个未知变量，只有14个方程式（因为市场上引用了14个掉期）。要解这个方程组，我们需要一个插值方案。如前所述，有许多曲线构造的插值方法可用，参见【Haganand West，2006】、【Hagan and West，2008】和【Du Preez，2011】。除了插值方法外，曲线的构建还必须包括一些短期产品。例如，一些零息票债券的交易可能会给我们提供曲线的准确利率，但在一些流动性不足的市场，将使用一些银行间货币市场利率。在表4.1中，我们考虑了到期的现金工具（货币市场）：隔夜、明日、下一天和28d。重要的是要指出，这些短期利率也很有用，因为插值方法需要平滑和连续的条件。在这项工作中，我们将给出零利率下的三次样条作为插值方法的结果。

在附录C中，我们详细解释了三种不同的插值方法。4单曲线框架中的IRS定价注意，bootstrapping方程（4.6）用贴现因子表示，但该方程可以用零利率表示Sr（t，tN）=-τNlnP（t，t）- kPNi=1αiP（t，ti）1+kαN=τNln1+kαNe-τtR（t，t）- kPNi=1αie-τtiR（t，ti）.（4.7）因此，表4.1中的方程组如下所示：R（t，tNl）=τNlln1+kαNle-τtR（t，t）- kPNli=1αie-τtiR（t，ti）l=1，2，14（掉期）R（t，t）=RON，R（t，t+1D）=RTN，R（t，t+28D）=R28D。（cash）（4.8）利用该方程，我们继续使用bootstrapping算法，该算法依赖于迭代求解算法。其思路如下：1。以货币市场2已知的利率R（t，x）为例。猜测{R（t，tN）}的初始值，其中tN是第14个swaps3的到期日。使用插值方法，我们计算所有第i个息票日期4的R（t，ti）。将这些速率插入方程式（4.7）的右侧，并求解{R（t，tN）}5。我们进行这些新的猜测，并再次应用插值算法使用此迭代算法，我们使用产量曲线上的自然立方线引导TIIE 28d产量曲线R（t，t）。我们使用ACT/360作为日数惯例来确定贴现所用的年分位数。34567到期日（天）收益率曲线（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN收益率曲线（单-曲线）图4.1:TIIE 28d屈服曲线R（t，t）在单曲线框架中，使用自然三次样条插值法计算屈服速率。用于施工的掉期利率见表4.1.4单曲线框架中的IRS定价0.20.40.60.81.0成熟度（天）贴现系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN贴现曲线（单-曲线）图4.2:TIIE 28d贴现曲线P（t，t）在单曲线框架中，使用收益率中的自然立方线插值。

用于施工的掉期利率见表4.1.345678成熟度（天）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D-正向（单个-曲线）图4.3:TIIE 28d前向曲线ETi-1t（TIIE28D（Ti-1，Ti）），在单曲线框架中使用自然三次样条插值的屈服速率。用于施工的掉期利率见表4.1.5多曲线框架下的利率互换定价（存在抵押品）5多曲线框架下的利率互换定价（存在抵押品）在本节中，我们介绍了多曲线框架下利率互换定价（IRS）的估值框架，以及与衍生工具相关的抵押品账户。本节分为三个主要小节。在第一小节中，我们建立了一般抵押品框架，即我们解释了抵押品账户的工作原理，这是拥有抵押品框架的优势和劣势，以及我们对抵押IRS的定价必须做出哪些假设。在第二小节中，我们将重点放在最简单的情况下：当衍生品的支付货币与抵押品货币重合时。事实上，我们给出了IRS和OIS inUSD货币的曲线校准。在第三小节和最后一小节中，我们给出了多种货币抵押品框架，即当支付货币与抵押品货币不同时。此外，我们举例说明了当抵押货币为美元时，IRS的欧元和MXN定价之间的差异。本节介绍的材料和结果主要来自【Fujii等人，2010b】、【Fujii等人，2010a】、【Fujii等人，2011】、【Piterbarg，2010】、【Piterbarg，2012】和【Green，2015】。5.1抵押产品的定价正如我们在介绍中看到的，自2008年金融动荡以来，市场发生了很多变化。

自那以后，必须回答的最重要的问题之一是：无风险利率是多少？在回答这个问题之前，让我们先引用一下【Green，2015】。生活中的一切，我们所做的一切，都不是无风险的美国政治家肯·萨拉查我们已经看到，莱曼兄弟违约后，美元市场的伦敦银行同业拆借利率不再是一个很好的替代品。回想一下，世界已经进入了一个新阶段，高信用评级的银行可以在几周内违约。一旦我们接受了伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）不是无风险利率的好选择，那么考虑ZF债券的收益率是正常的。然而，ZF也会违约，比如欧元区的希腊或拉丁美洲的阿根廷。无风险利率的另一种选择可能是回购利率。回购利率是一种以抵押贷款支付的利率，因此应该非常接近无风险，不幸的是，回购市场仅对最长一年的到期日具有流动性，为了对长期IRS进行估值，我们需要一个具有长期到期日的市场。因此，OIS市场是实现这一目标的最佳候选市场。使用隔夜利率作为无风险利率有许多正当的理由，让我们介绍其中一些理由：1。美联储基金和Eonia等隔夜利率基于实际交易，实际上，这些利率是根据这些交易发生的平均利率计算的。OIS市场以多种货币活跃且具有流动性，到期日长达30年。3、由于交易每天都会发生，因此该市场的借贷资金的交易对手信用风险较低，因此交易对手可能每天都会发生变化4。ISDA合同通常使用该利率作为现金抵押利率，因此现在我们知道隔夜利率被广泛用作抵押利率。

在本节中，我们将证明在存在完美CSA的情况下，抵押品利率是用于贴现的曲线。但在证明这一事实之前，让我们简单地解释一下抵押品是如何工作的，以及为什么它在利率衍生品的估值中很重要。假设a银行B对a银行有一个巨大的正风险敞口X（所有衍生品交易的总和）。如果a银行违约，B银行显然有很大的风险。有抵押协议的情况下，银行B限制该风险敞口，因为银行a必须在多曲线框架（有抵押物的情况下）将该按市值计价（风险）X5定价IRS作为抵押物。抵押品接收人，在这种情况下，银行B由于具有积极的市场价值，在且仅在抵押品提供人（银行a）违约的情况下，成为抵押品的经济所有人。虽然A银行即将违约，但抵押品属于A银行，但掌握在B银行手中。因此，作为将大量资金作为抵押品的奖励，a银行应定期从B银行获得利率c（称为抵押品利率）。换言之，银行A收到xCτ，其中τ是抵押品利率周期的年分数。严格来说，抵押人不是银行A，而是银行A的交易台管理银行B的所有交易。由于交易台通常不管理现金，因此银行A的交易台必须从银行A的融资台借入X。对于借入X，交易台必须支付利率r，称为融资利率。在图5.1中，我们在图表中展示了B银行、a银行交易台和a银行融资台之间如何交换资金。为了完成这个例子，我们可以假设A银行对C银行的市价为正，但交易没有抵押协议。

因此，如果C银行违约，那么A银行（交易台）将有潜在的损失。银行交易桌面MTMB=-XMtMC=+YBank AFunding DeskBank CMtM=-Y<0银行BMtM=X>0在无抵押物CSANo交换的完美抵押下交易xCτ隔夜利率抵押贷款xRτ资金图5.1：抵押和非抵押的基本原则说明。由于CSA协议中存在大量条件，抵押物由大量关键参数严格定义【Gregory，2012年】。在这项工作中，我们将假设抵押是在一个完美的CSA协议下进行的。下一个定义取自【Ametranoand Bianchetti，2013年】。定义5.1。（Perfect CSA）我们定义Perfect CSA是一种理想的抵押品协议，具有以下特点：完全对称的初始保证金抵押品零阈值零最小转移金额连续保证金和瞬时保证金率。让我们简要地解释一下完美CSA合同的每个特征。在CSA协议中，两个交易对手的条件不一定相等，但是，如果我们假设CSA是在多曲线框架（存在抵押品）中完全对称的5定价IRS，那么双方的条件相同，实际上双方都必须提供抵押品。初始保证金是交易对手在结束交易时必须支付的金额。零初始保证金意味着两个交易对手都不必提交初始保证金。阈值是一个风险敞口水平，低于该水平，将不会调用抵押品。因此，阈值表示欠结晶暴露量。如果风险敞口高于阈值，则仅对增量风险敞口进行抵押。如果阈值等于零，则应为按市值计价的所有变动提供抵押。

最低转让金额确定了一次可以要求的抵押品的最低金额。抵押品不能在小于最小转让金额的区块内转让，但如果该最小转让金额等于零，则必须转让每笔按市值计价的更新。最后，marginationfrequency是指可以调用和返回的周期性时间刻度。对于回购等普通产品和通过中央交易对手清算的衍生品，日内保证金化很常见。对于完美的CSA，连续边缘化假设在实际操作中是不可能的，但是这个假设将帮助我们建立数学模型。在下一小节中，我们介绍了使用给定抵押品账户对任何衍生品进行定价的估值框架，该模型仅在衍生品货币与抵押品货币一致时才有用。5.2单一货币的估值框架Let X是（某些基础产品的）衍生品，到期时间为T，到期时间为（h（T））T≥0价格流程。假设V（t）是一个随机的自我融资抵押品账户，根据衍生工具X头寸的完美CSA协议。假设衍生工具付款和抵押品账户以相同的货币记账，稍后我们将介绍不同货币的情况。然后，抵押品账户的随机过程由dV（s）=α[r（s）给出- c（s）]V（s）ds+a（s）dh（s），（5.1），其中，α是衍生工具X上的抵押百分比，r（s）和c（s）分别是时间s上的基础利率和抵押利率，h（s）是时间s上衍生工具的值，该值在时间T上具有现金流h（T），a（s）表示衍生工具的持仓数量。

方程式（5.1）可解释如下：抵押品账户价值的变化取决于随时间推移部分过账抵押品所赚取的利息差异以及a（s）基础衍生工具价值的变化。注意，方程式（5.1）的形式为dQ（t）=（u（t）-rf（t））Q（t）dt+σQ（t）dW（t），类似于Black-Scholes环境下股票期货合约定价的动态。为了求解（5.1），我们必须将方程乘以exp（RTsαy（η）dη），其中y（s）=r（s）- c（s），to geteRTsαy（η）dηdV（s）=eRTsαy（η）dηαy（s）V（s）ds+eRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.2）在[t，t]上积分（5.2），得到usZTteRTsαy（η）dηdV（s）=ZTteRTsαy（η）dηαy（s）V（s）ds+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.3）让我们使用部分积分公式确定u=eRTsαy（η）dη和dv=dv（s），我们得到的是zudv=uv-Zvdu（5.4）ZTteRTsαy（η）dηdV（s）=eRTsαy（η）dηV（s）Tt+ZTtV（s）eRTsαy（η）dηαy（s）ds。（5.5）我们将在完美的CSA下假设条件（见定义5.1）。尽管如此，该模型的构建考虑到衍生品cab是部分抵押的。这一假设背后的想法是显示抵押和非抵押之间估值的差异。5在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价，然后使用（5.3）和（5.5）我们得到V（T）=eRTtαy（η）dηV（T）+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.6）如【Fujii等人，2010b】所述，如果我们将（5.6）中的交易策略（5.7）替换为（V（t）=h（t）a（s）=eRstαy（η）dη（5.7），则我们采用（V（t）=eRTtαy（η）dηV（t）+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+ZTteRTsαy（η）dηdηdh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+eRTtαy（η）dηZTtdh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+eRTtαy（η）dηh（t）- eRTtαy（η）dηh（t）=eRTtαy（η）dηh（t）（5.8）现在，考虑到与之相关的抵押品账户，我们可以计算衍生工具X的现值h（t）。

使用风险中性度量Q，numéraire B（T）=exp（RTtr（s）ds）（货币市场账户）yieldsh（T）=B（T）EQtV（T）B（T）= EQteRTtαy（s）dsh（T）eRTtr（s）ds= EQte-RTtr（s）-α（r（s）-c（s））dsh（T）= EQte-RTt（1-α） r（s）+αc（s）dsh（T）. （5.9）因此，如果X是完全抵押的，即α=1，则h（t）=EQte-RTtc（s）dsh（T）, （5.10）这意味着抵押现金流必须考虑抵押利率进行贴现。与此情况不同的是，如果X没有抵押，即α=0，则h（t）=EQte-RTtr（s）dsh（T）, （5.11）这意味着，考虑到融资利率，必须对未抵押现金流进行贴现。定义5.2。我们用Pc（T，T）=EQt表示T到期完全抵押零息票债券的价格e-RTtc（s）ds. （5.12）我们将利用这一定义引入抵押下的远期措施。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）5.2.1远期衡量在继续之前，让我们以非正式的方式介绍Radon-Nikod'ym导数的概念以及用于构建抵押品远期衡量的两个重要结果。考虑一般有限概率空间(Ohm, F、 P）。假设在这个空间上，我们有另一个概率测度Q。让我们假设每个ω的P>0和Q>0∈ Ohm, 所以我们可以定义z（ω）=Q（ω）P（ω）。（5.13）因为所有ω的Z>0∈ Ohm Z是一个随机变量，我们可以计算Z在测量下的期望值PEP（Z）=Xω∈OhmZ（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）P（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）=1。（5.14）现在对于任意随机变量Y，EP（ZY）=Xω∈OhmZ（ω）Y（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）P（ω）Y（ω）P（ω）=Xω∈OhmY（ω）Q（ω）=等式（Y）。

（5.15）在这种情况下，随机变量Z称为Q相对于P的Radon-Nikod'ym导数。Z的名称是连续情况下定义的结果，因为Z（ω）：=dQdP=> dQ=Z（ω）dP=> Y（ω）dQ=Y（ω）Z（ω）dP=>ZOhmY（ω）dQ=ZOhmY（ω）Z（ω）dP=> 公式（Y）=EP（Y Z）。现在，我们可以对氡-尼科德'ym导数进行正式定义。定理5.1。给定P和Q等效概率测度和时间范围T，我们可以定义P-可能路径上的随机变量QDPD，取正实值，这样（i）EQ（X（T））=EPdQdPX（T）, 对于所有随机变量X（T）；（ii）式（X（T）| F（T））=ζ-1（t）EP（ζ（t）X（t）| F（t）），t≤ T、 式中，ζ（T）是过程EP（dQdP | F（T））。定理5.2。考虑两个数N（t）和M（t），分别导出等价鞅测度qn和QM。如果市场是完整的，那么与这两个度量相关的氡Nikod'ym导数的密度由ζ（t）=方程n唯一给出dQMdQNF（t）=M（t）/M（0）N（t）/N（0）。（5.16）然后，让我们定义与数值Pc（t，t）相关的前向度量t。使用theorem5.2和风险中性度量Q，数值为C（t）：=exp(-我们有ζ（t）=EQtdTcdQ公司=Pc（t，t）/Pc（0，t）C（t）/C（0）=Pc（t，t）C（0）Pc（0，t）C（t）。（5.17）5使用方程式（5.10）和定理5.1，在多曲线框架（存在抵押品）中对IRS进行定价，我们得到h（t）=EQte-RTtc（s）dsh（T）= EQt[C（t）h（t）]=EQtPc（t，t）ζ（t）ζ（t）h（t）= ζ-1（t）EQt[ζ（t）Pc（t，t）h（t）]=ETct[Pc（t，t）h（t）]=Pc（t，t）ETct[h（t）]。这就给我们带来了以下定义。定义5.3。

在时间t到期的完全抵押衍生工具在时间t的价格为，h（t）=Pc（t，t）ETct[h（t）]，（5.18），其中Pc（t，t）=EQthexp(-RTtc（s）ds是期限为T的完全抵押零息票债券，TCS是与数字Pc（T，T）相关的远期指标。重复前面的论点，即定义5.2和5.3中的收益率，我们能够定义零息票债券，并在衍生工具X部分抵押时进行远期计量。定义5.4。我们用pαc（T，T）=EQt表示T期限α抵押零息票债券的价格e-RTt（1-α） r（s）+αc（s）ds. （5.19）其中r（s）表示融资利率，c（s）表示抵押利率，α∈ [0, 1].定理5.3。在时间t到期的α-抵押衍生品的价格由h（t）=Pαc（t，t）ETαct[h（t）]，（5.20）给出，其中Pαc（t，t）是t-到期的α-抵押零息债券，tα是与数量Pαc（t，t）相关的远期度量。证据参见附录A。注意，当α=1时，我们得到定义5.3的结果。相反，当α=0时，我们得到pαc（t，t）=EQt经验值(-RTtr（s）ds）= EQt（B（T））-1., 但B（T）是与风险度量Q相关的数值，因此Tαc~ Q和Pαc（t，t）=（B（t））-1.5.2.2美元贴现曲线的校准到目前为止，我们已经确定了完全抵押的贴现因子Pc（t，t），但我们尚未说明如何从市场上获得它们。在抵押品利率等于ZF利率的假设下，我们可以使用作为流动市场工具的隔夜指数掉期（OIS）构建抵押品贴现曲线。OIS现金流与隔夜利率挂钩，因为掉期的浮动使其复合。

需要指出的是，这些掉期通常是完全抵押的，抵押货币与隔夜利率的货币一致。需要指出的是，无论交易对手的信誉如何，担保世界中的正确贴现曲线始终是担保利率（在这种情况下，OIS在多曲线框架（存在担保）曲线中暗示5定价IRS），因为风险中性定价框架如前一节所述，始终基于最接近的无风险利率进行计算。然而，在实践中，我们必须考虑交易对手的特征，以正确评估衍生工具。要做到这一点，我们必须在无风险的环境中对每种衍生产品进行定价，然后根据每次x估值调整（XVA：CVA、DVA、FVA、KVA）对价格进行调整，而不是简单地根据交易对手的信用质量修改贴现曲线。换言之，衍生工具的价格可能被视为以下等式：PriceCtpy：=无风险价格+CVACtpy+FVACtpy+KVACtpy |{z}估值调整。（5.21）正如我们在引言中所述，在这项工作中，我们将只关注无风险价格，即当交易对手处于完美的CSA下且所有估值调整都可以忽略不计时的价格。美元市场的隔夜利率是每个工作日公布的联邦基金利率（联邦基金利率或FF利率），公布滞后1天，因此基于联邦基金利率的OIS以美元为完全抵押。因此，由于估计曲线（隔夜利率）和贴现曲线（抵押品利率）是同一条曲线，通过简单的自举，我们可以构建完整的隔夜利率曲线。OIS适用于多种货币，在这项工作中，我们只关注美元掉期市场。备注5.1。

隔夜利率的存在并不一定意味着OIS市场的存在。例如，在MXN利率市场中，隔夜利率被称为Tasa de Fondeobancarioa，由墨西哥银行计算/公布。然而，使用Tasa de FondeoBancario的OIS并不存在，或者至少在市场上没有报价。假设5.1。对于隔夜曲线校准，我们假设OIS是报价的，并且在市场上具有50年到期的流动性。我们不使用联邦基金掉期（FFS）报价（见第3.2.3节）。请注意，如果使用FFS，则需要使用双自举法同时校准贴现、隔夜远期和伦敦银行同业拆借利率3m远期曲线。OIS是一种掉期，将固定利率息票兑换为每日复合隔夜利率息票，其中两次息票支付的日期通常重合。因此，两个日期t和t之间的浮动付款由K支付-1Yi=0（1+α（ti，ti+1）FF（ti，ti+1））- 1，（5.22）K：时间间隔[t，t]{ti}中的所有营业日数Ki=0：应计期[t，t]中的所有营业日，t=t，t=TFF（ti，ti+1）：表示该期间的隔夜利率（ti，ti+1）α（ti，ti+1）：根据市场惯例，表示tian和ti+1之间的年分数。让我们计算付款人OIS合同的净现值。假设在时间t，我们输入一个有N张息票的付款人OIS，付款日期为t<t<···<t和t- t即期滞后天数。假设我们支付固定利率k并收到浮动利率（每日复合隔夜利率）。使用方程式（5.22）计算第i个浮腿速率FFComp（Ti-1，Ti）可以写为ffcomp（Ti-1，Ti）=PKi-1j=0α（tj，tj+1）Ki公司-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1., （5.23）发布滞后是指期限开始日期与发布率之间的天数。

滞后0表示开始日期，滞后1表示期间结束日期。隔夜利率可以是隔夜（ON）贷款或明天/未来（TN）贷款。主要货币隔夜利率为：美元（联邦基金）、欧元（EONIA）、英镑（SONIA）、瑞士法郎（TOIS）、日元（TONAR）、加元（CORRA）、港币（HONIX）（见【Henrard，2012】）。Tasa de Fondeo Bancario每工作日定义一次，出版滞后1天。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）Ki：时间间隔内所有营业日的数量【Ti】-1，Ti]{tj}Kij=0：应计期间的所有营业日[Ti-1，Ti]，t=Ti-1和tKi=TiFF（ti，ti+1）：表示该期间的隔夜利率（tj，tj+1）α（tj，tj+1）：根据市场惯例，表示Tjan和tj+1之间的年份分数。很容易看出pkij=0α（tj，tj+1）=α（Ti-1，Ti）。因此，既然我们可以定义δ，使得eδt=1+它，那么我们就有了thatKi-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1=elnQKi公司-1j=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1=ePKi-1j=0ln（1+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1））- 1=ePKi-1j=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）- 1.（5.24）注意等式（5.24）中的termPKi-1j=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）是函数δ的黎曼和，其分区P={[t，t]，[t，t]，…，[tKi-1，tKi]}。亨塞基-1Xj=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）≈ZTiTi公司-1δ（s）dS，我们将c（s）：=δ（s）定义为副曲线。

现在，假设该合同由（5.10）完全担保，我们得到付款人OIS合同的现值为，PV（t）=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）dsFFComp（Ti-1，Ti）- k=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）dsPjα（tj，tj+1）Ki公司-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1.- k=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Et“e-RTitc（s）dsτ（Ti-1，Ti）埃尔蒂-1c（s）ds- 1.- k#=NXi=1Et“e-RTitc（s）ds埃尔蒂-1c（s）ds- 1.#- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）ds=NXi=1Ete-RTi公司-1tc ds- eRTitc（s）ds- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）ds=NXi=1（Pc（t，Ti-1) - Pc（t，Ti））- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）=Pc（t，t）- Pc（t，TN）- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）。（5.25）因此，如果我们假设固定利率k是一个中期市场报价，那么通过无套利论证，我们认为OIS的现值等于零。将方程式（5.25）设为零，我们得到以下方程式Pc（t，TN）=Pc（t，t）- kPN公司-1i=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）1+kτ（TN-1，TN）。（5.26）5多曲线框架中的定价IRS（存在抵押品）期限利率类型可变0.1300现金1件（t，t+1）TN 0.1300现金1件（t，t+2）1W 0.1340掉期1件（t，T1w）2W 0.1338掉期1件（t，T2w）3W 0.1340掉期1件（t，T3w）1M 0.1340掉期1件（t，T1m）2M 0.1420掉期1件（t，T2m）3M 0.1469掉期1件（t，T3m）4M 0.1760 0交换1件（t，T4m）5M 0.1990交换1件（t，T5m）6M 0.2190交换1个Pc（t，T6m）7M 0.2460交换1个Pc（t，T7m）8M 0.2740交换1个Pc（t，T8m）9M 0.3000交换1个Pc（t，T9m）10M 0.3275交换1个Pc（t，T10m）11M 0.3560交换1个Pc（t，T11m）1Y 0.3860交换1个Pc（t，T1y）18M*0.5795 Swap 2 Pc（t，T6m），Pc（t，T18m）2Y 0.7850 Swap 2 Pc（t，T1y），Pc（t，T2y）3Y 1.1500 Swap 3 Pc（t，T1y），Pc（t，T3y）4Y 1.4460交换4 Pc（t，T1y），Pc（t，T4y）5Y 1.6870交换5 Pc（t，T1y），Pc（t，T5y）6Y 1.8790交换6 Pc（t，T1y），Pc（t，T6y）7Y 2.0350交换7 Pc（t，T1y），Pc（t，T7y）8Y 2.1535交换8 Pc（t，T1y），Pc（t，T8y）9Y 2.2530交换9 Pc（t，T1y）。

，Pc（t，T9y）10Y 2.3320交换10 Pc（t，T1y），Pc（t，T10y）12Y 2.4625交换12 Pc（t，T1y），Pc（t，T12y）15Y 2.5815交换15 Pc（t，T1y），Pc（t，T15y）20Y 2.6950交换20 Pc（t，T1y），Pc（t，T20y）25Y 2.7470交换25 Pc（t，T1y），Pc（t，T25y）30Y 2.7720交换30 Pc（t，T1y），Pc（t，T30y）40Y 2.7790交换40 Pc（t，T1y），Pc（t，T40y）50Y 2.7651交换50 Pc（t，T1y），Pc（t，T50y）表5.1:2015年5月29日美元OIS报价（%）（来源：彭博社）。*1800万OIS swapconvention有一个前端短存根，即每个支腿有两张息票：第一张息票的累计期为6M，第二张息票的累计期为12m（1m）。这个方程被称为与N优惠券OIS契约相关联的自举方程。很容易看出，我们有N+1个变量Pc（t，t），Pc（t，t），Pc（t，TN）和一个方程式。因此，我们必须定义更多的OIS合约，以获得更多的自举方程和求解该方程组的方法。在美元OIS市场中，期限不超过一年的掉期通常在到期时有一次付款，而期限超过一年的掉期通常每年付款。在下表（表5.1）中，我们列出了OIS合同的最具流动性的期限，这些掉期用于构建抵押贴现曲线。5.2.2.1引导首先，我们看到使用隔夜贷款（ON）和tommorow/next（TN）贷款，我们可以计算EPC（t，t），sincePc（t，t）=Pc（t，t+2）=Pc（t，t+1）Pc（t+1，t+2）=（1+τ（t，t+1）ON）·（1+τ（t+1，t+2）TN）。（5.27）现在，对于到期时只有一次付款的掉期，方程式（5.26）减少了toPc（t，TX）=Pc（t，t）1+kXτ（t，TX），（5.28）该表达式适用于最长一年的到期日（见表5.1），即X=1w，2w，3w，1m，11米，1年。然后，对于到期日X=1800万、2y、3y。

，9y，10y我们使用方程（5.26）和多曲线框架（存在抵押品）中的远期sub5定价IRS来获得所有X的Pc（t，TX）值。到目前为止，我们已经获得了折扣系数，无需使用自举法。然而，很容易看出，关于12y成熟度的方程（5.26）有两个未知变量：Pc（t，T11y）和Pc（t，T12y）。这使我们得到了一个包含两个变量的单一方程，我们使用自举方法来解决这个问题。bootstrapping的思想是对变量Pc（t，T12y）进行初始猜测，并使用插值方法计算Pc（t，T11y）的值。值得一提的是，在金融行业中，人们普遍认为初始猜测和插值是在零息票利率下进行的。因此，对于12年到期的情况，我们首先对零息票利率Rc（t，T12y）进行初步猜测，然后通过插值计算Rc（t，T11y）。我们使用这些零利率计算贴现系数Pc（t，T11y）和Pc（t，T12y）。然后我们假设Pc（t，T11y）是“正确的”，并使用（5.26）计算Pc（t，T12y）的“实际”值，即Pc（t，T12y）=Pc（t，t）- k12yPi=1τ（T（i-1） y，Tiy）Pc（t，Ti）- k12yτ（T10y，T11y）Pc（t，T11y）1+k12yτ（T11y，T12y）。（5.29）接下来，我们使用Pc（t，T12y）计算Rc（t，T12y）的新值，并使用插值方法再次计算和Rc（t，T11y）。我们迭代这个过程，直到它收敛。例如，stop条件为| Pci+1（t，T12y）- Pci（t，T12y）|<,  > 0，（5.30）此外，可以方便地包括最大迭代次数，即迭代直到满足以下条件之一，| Pci+1（t，T12y）- Pci（t，T12y）|<,  > 0或i>Nmax>0。（5.31）这种自举方法同样适用于50年以下的所有OIS到期日。

在附录D中，我们提供了一个用于美元OIS曲线自举的伪代码。备注5.2。本工作中的收益率或零收益率被视为连续复合收益率，即P（t，t）=e-τ（t，t）R（t，t）。（5.32）利用表5.1中显示的数据，我们构建了OIS收益率曲线和贴现曲线。随后的图表5.2和5.3中给出了最终校准曲线，其中还包括我们使用SuperDerivatives软件获得的曲线，见表E.1。下标数字0表示该数字是初始条件或初始猜测。如果下标是一个数i，那么它将指示迭代次数。我们写“正确”，因为这个值直接取决于模型的假设、它所涉及的工具以及插值。回想一下，可以选择许多插值函数，根据问题的性质，我们提出了一些要求，例如：连续性、可微性、二次可微性、边界条件等。5多曲线框架中的IRS定价（有抵押品的情况下）0.00.51.01.52.02.53.0成熟度（年）收益率曲线（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10Y 12Y 15Y 20Y●●●●●●●●●●●●●●●●●●●OIS收益率曲线超导数OIS收益率图5.2：OIS收益率曲线：R（T）=Rc（T，T）。该图包括使用同一日期（2015年5月29日）掉期利率的超级衍生品收益率。0.70.80.91.0成熟度（年）贴现系数1百万年2千年3千年4千年5千年7千年10千年12千年15千年20千年●●●●●●●●●●●●●●●●●●●OIS贴现曲线超级衍生品OIS贴现系数图5.3：OIS贴现曲线：P（T）=Pc（T，T）。

该曲线的重要性在于，在与CSA签订的美元合同中，每一美元现金流都会被贴现。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）回顾了瞬时远期利率的定义，该定义由f（t，t）=-Tln（P（t，t））= - lim公司→0ln（P（t，t+)) - ln（P（t，t））.（5.33）考虑到OIS屈服曲线Rc（t，t））由三次样条函数给出，则Rc（t，t）∈ C∞.此外，Pc（t，t）为C∞自C起的函数∞在合成下关闭。使用相同的参数ln（Pc（t，t））是C∞由于所有t>t的Pc（t，t）>0。因此，OIS瞬时正向曲线存在由分段函数定义。由于该曲线的表达式比较复杂，因此我们计算每日正向曲线d（t，t）。使用（5.33），我们得到了d（t，t）=-ln（P（t，t+1））- ln（P（t，t））t+1- T=lnP（t，t）P（t，t+1）. （5.34）在图5.4中，我们给出了每日远期隔夜利率。0.00.51.01.52.02.5饱和度（年）远期利率（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10Y 12Y 15Y 20YOIS每日远期曲线超导数OIS每月远期曲线图5.4：OIS每日远期曲线。该曲线是从OIS贴现曲线中定义的隐含联邦基金日利率。由于我们的模型必须一致，这种远期利率保证隔夜指数掉期的现值等于零。5.2.2.2联邦公开市场委员会会议日期之间的远期利率我们使用哪种插值方法始终是主观的，需要根据具体情况来决定。实际上，插值方法确定了曲线的质量，尤其是正向曲线的质量。因此，对于IRS或OIS的定价，我们需要forwardcurve的良好性能和质量，因为通过该曲线，我们将预测未来的利率水平。