就隔夜利率而言，我们发现这些利率在货币政策会议日期之间相对恒定。例如，在美元市场，每年有8次会议，由FederalOpen市场委员会（FOMC）召开，会上公布了联邦基金利率的目标范围（最小-最大）。同样，墨西哥银行每年举行8次会议，公布银行间隔夜利率的目标利率。5考虑到隔夜利率（尤其是美联储基金）在一段时间内保持不变的事实，在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价一些模型适用于捕捉短期货币政策决策。在【Clarke，2010年】中，JustinClarke使用加性季节性调整构建OIS曲线的短期部分。想法很简单，他使用市场OIS报价为OIS定价，期限等于FOMC会议日期，然后在会议之间保持这些利率不变；在一些短期的联邦公开市场委员会会议上，由此产生的远期曲线是不连续的。使用上述SimpleBottrapping对曲线的长期进行校准。还有其他一些模型使用联邦基金期货来捕捉降息或加息的可能性，参见【Robertson等人，1997年】【Kuttner，2001年】和【Labuszewski和Newman，2014年】。然而，出于定价目的，我们可以用与经济观点相对应的概率定义一组特定的货币政策情景。在图5.5中，我们给出了联邦公开市场委员会加息情景的一个例子。2015年5月29日，随着五次2015-FOMC会议的召开，这一情景得到了明确。

该模型的思想是为每个场景定价IRS，然后使用给定的可能性计算期望值。0.00.20.40.60.8日期每日远期利率（%）7月15日9月15日11月15日1月16日3月16日5月16日●●●●●●●●●●●●●0.125%●●0.375%0.625%●●●●●●●●●●●●●0.125%●●0.375%0.625%●OIS每日远期利率FOMC会议平均目标利率示例情景FOMC目标范围（上限）示例情景FOMC目标范围（下限）示例情景图5.5：FOMC会议和OIS远期曲线以及FOMC货币政策情景。在这个图表中，我们展示了当我们执行自举时校准的OIS正向曲线。我们还包括联邦公开市场委员会货币政策决策的情景。5.2.3美元远期曲线的校准在上一节中，我们解释了用于构建美元贴现曲线的方法。我们提醒大家，这条曲线非常重要，因为假设CSA协议是以美元为货币的，则每一笔以美元计价的现金流都会用这条曲线进行贴现。在本节中，我们将介绍构建指数前向曲线的方法。我们仅描述如何估算伦敦银行同业拆借利率3m和LIBOR 1m的远期曲线。对于远期指数LIBOR 3m曲线的构建，我们使用普通IRS，对于远期指数LIBOR 1m，我们对短期曲线使用普通IRS，对长期曲线使用TS。

在表中，我们列出了将用于远期曲线校准的到期日和掉期利率。设PV（t）为以美元计价的付款人IRS的现值，该IRS基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）3m，在多曲线框架下（有抵押品）到期日为y年的5个IRS定价，hencePV（t）=QyXi=1α（ti-1，ti）Etit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）- kySyXj=1β（sj-1，sj）Pc（t，esj），（5.35），其中：ky：y年到期的普通香草利率掉期的固定利率SQY：y年的季度数SY：y年的学期数STI，eti：浮动利率的息票期（开始日期、结束日期和支付日期），esj：固定航段α（ti）的息票期（开始日期、结束日期和支付日期-1，ti））：浮腿第i个试样的应计系数（ACT/360）β（sj-1，sj））：固定支腿（30/360）Pc的第j张息票的应计系数（t，x）：以USDEtit（LIBOR3M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i张息票的LIBOR 3m远期利率。这种具有上述特征的掉期是美元市场上最普通的IRS。ITEXchange的伦敦银行同业拆借利率为300万欧元，每季度支付一次，而半年度固定利率息票的日数为30/360，主要用于ZF债券。我们说它是最普通的香草，因为它是市场上最标准、最具流动性的掉期。现在，让我们编写Etit（LIBOR3M（ti-1，ti），根据贴现曲线，即Etit（LIBOR3M（ti-1，ti））=τ（ti-1，ti）P3m（t，ti-1） P3m（t，ti）- 1., （5.36）其中τ（ti-1，ti）=τi是确定贴现和曲线构建年份分数的日计数惯例。将方程（5.36）代入（5.35）并求解P3m（t，tQy）产量sp3m（t，tQy）=P3m（t，tQy-1） 1+τikyPSyj=1βjPc（t，esj）-PQy公司-1i=1αiτiP3m（t，ti-1） P3m（t，ti）-1.Pc（t、eti）αiPc（t，etQy）（5.37）该方程允许我们使用简单的自举和插值方法，根据伦敦银行同业拆借利率3m确定贴现曲线。

方程（5.37）似乎比之前的自举方程更复杂，但迭代过程与OIS-USD曲线或单曲线框架中的过程相同。一旦我们校准了伦敦银行同业拆借利率3m远期曲线，我们就能够构建伦敦银行同业拆借利率1m远期曲线。对于到期日小于（或等于）1年的IRS，我们可以按照LIBOR 3m的方式进行曲线构造。事实上，这些到期日在市场上引用了基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万的IRS，而普通惯例是：固定期限有年度付款（ACT/360）；飞行航段采用同日计数惯例按月付款。然而，对于超过1年的到期日，我们必须使用在市场上报价的TSs，该市场将LIBOR 100万兑换为LIBOR 300万。让我们给出这两种情况下的自举方程。请注意，当抵押品利率为LIBOR3m指数时，LIBOR 3m的贴现曲线对贴现流量有效。需要提醒的是，对于无抵押交易，贴现曲线通常是基于300万英镑的贴现曲线，即300万英镑（t，x）。5在多曲线框架中对IRS进行定价（有抵押品的情况下），假设我们在100万英镑的基础上签订了付款人短期IRS（200万、300万、400万、…、1200万到期日）。对于这些掉期，固定部分在到期时只有一张息票。

其现值由PV（t）=MXi=1α（ti）给出-1，ti）Etit（LIBOR1M（ti-1，ti）Pc（t，eti）- kMβ（t，tM）Pc（t，etM），（5.38），其中：kM：普通香草IRS的固定利率，M耦合M：IRSti的月数（和飞行段的息票），eti：飞行段的息票期t，tM：IRSα（ti）的开始日期和结束日期-1，ti））：浮动段第i张息票的应计系数（ACT/360）β（t，tM））：固定段息票的应计系数（ACT/360）Pc（t，x）：以USDEtit（LIBOR1M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i张息票的LIBOR 1m远期利率。注意，通过将方程（5.38）设置为零并求解EtMt（LIBOR1M（tM-1，tM）收益率，EtMt（LIBOR1M（tM-1，tM））=kMβ0，MPc（t，etM）-颗粒物-1i=1αIEIT（LIBOR1M（ti-1，ti）Pc（t，eti）αMPc（t，etM）（5.39）现在，对于200万到期日，伦敦银行同业拆借利率100万的远期利率很容易确定，因为方程式的所有右侧都是已知的。利用基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR 1m）的IRS报价在每个月可用的优势，我们可以使用方程（5.39）通过远期替代获得一年内的所有远期伦敦银行同业拆借利率（LIBOR 1m）。现在，对于超过一年的到期日，我们使用市场上报价的TSs。回想一下，美元市场上最受欢迎的TSs是：100万对300万，300万对600万，300万对1200万。由于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）是最具流动性和交易量的IRS，所有这些利率均与300万英镑进行交易，见表5.2。TSspread应为正值，因此需要在较短的期限段中添加。此外，付款频率由更长的期限决定。在这项工作中，我们只关注伦敦银行同业拆借利率1m与伦敦银行同业拆借利率3m的比较。让PV（t）是将伦敦银行同业拆借利率1m与伦敦银行同业拆借利率3m交换的付款人TS的现值。由于更长的期限为三个月，则双方应按季度支付TS的息票，息票应采用相同的营业日日历和相同的日计数惯例法案/360。

考虑到100万英镑的贷款通常每月支付，我们需要将每月的付款进行复合，并按季度支付。因此，根据第3.2节中的方程式（3.15）-（3.16），我们得出现值由PV（t）=MXi=1α（ti）给出-1，ti）Etit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）-MXi=1α（ti-1，ti）PNij=1β（sj-1，sj）NiYj=11+β（sj-1，sj）Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+ BM公司Pc（t，eti）（5.40）复利率有多种类型，在普通香草TS中，市场惯例是使用简单价差的复利，即复利，然后应用价差。其他两种常用的价差类型是：1）组合价差，其中价差应用于利率，然后我们组合它们；2） 在平仓复利中，我们在复利之前应用价差，并且在复利时考虑之前息票的利息。参见【ISDA，2009年】。5多曲线框架中的利率互换定价（有抵押品存在）期限结束日期1m vs 3m vs 3m vs 6m vs 2016-06-02-10.5000 8.3750 24.50002Y 2017-06-02-12.1250 7.8750 23.25003Y 2018-06-04-13.1250 7.8750 23.00004Y 2019-06-03-13.5000 7.7500 23.00005Y 2020-06-02-02-13.7500 7.7500 22.62506Y 2021-06-02-13.8000 7.8000 22.50007Y 2022-06-02-13.8750-2000-13.0000821.87509Y 2024-06-03-12.9000 8.4000 21.625010Y 2025-06-02-12.7550 8.6250 21.375012Y 2027-06-02-12.1000 9.1000 21.250015Y 2030-06-03-11.6250 9.3750 21.500020Y 2035-06-04-11.7500 9.5000 22.000025Y 2040-06-04-11.7000 10.2500 21.750030Y 2045-06-02-12.0000 9.7500 21.62504Y 2055-06-02-12.6010 8.7490 21.375050Y 2065-06-02-13-2020 7.7480 21.124060Y 2075-06-03-13.8020 6.7460 20.8740表5.2：美元期限掉期的超级衍生品市场数据（1mv3m、3mv6m、3mv12m）（见第5.2.3节）。报价为2015年5月29日起的日终价格。

这些引文摘自www.superderivatives。2015年6月21日。式中：BM：TS spreadM：TSNi的季度数：第i季度的月数ti，eti：legst的息票期，tM：TSα（ti）的开始日期和结束日期-1，ti））：TS（ACT/360）β（sj）第i张息票的应计系数-1，sj）：第j个月息票（ACT/360）Pc的应计系数（t，x）：以美元ETIT（LIBOR3M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i季度的伦敦银行同业拆借利率3m远期利率jt（伦敦银行同业拆借利率1m（sj-1，sj））：第j个月的伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万远期利率。注意Pnij=1β（sj-1，sj）=α（ti-1，ti），因为月历和季历具有相同的约定。因此，如果我们假设期限差价BMI是一个中等市场报价，那么通过无异议的论证，我们可以得出TS的现值等于零。将方程（5.40）设为零，得到MXi=1αiEtit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）-MXi=1αiαiNiYj=11+βjEsjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+ BM公司Pc（t，eti）=0==>MXi=1αiEtit（LIBOR3M（ti-1，ti））-αiNiYj=11+βjEsjt（LIBOR1M（sj-1，sj））- BM公司Pc（t，eti）=0（5.41）该方程将帮助我们获得伦敦银行同业拆借利率1m指数的远期利率。事实上，方程式（5.41）的未知值仅为伦敦银行同业拆借利率1m指数的远期，因为正如我们在之前的5定价IRS中所看到的，在多曲线框架（存在抵押品）小节中，Pc（t，x）值是使用OIS校准的，而伦敦银行同业拆借利率3m指数的远期利率是使用普通IRS校准的。为了再次校准伦敦银行同业拆借利率1m的远期利率，我们将使用插值方法和自举算法。需要提醒的是，我们在这项工作中使用的插值方法是自然三次样条曲线，并应用于屈服曲线。

然后可以方便地将伦敦银行同业拆借利率1m的未知远期利率写在收益率曲线R1m上，因此使用方程（3.9）我们得到了thateit（LIBOR1M（ti-1，ti））=τ（ti-1，ti）P1m（t，ti-1） P1m（t，ti）- 1.(5.42)=τ（ti-1，ti）经验值(-τ（t，ti）R1m（t，ti））exp(-τ（t，ti-1） R1m（t，ti-1))- 1.（5.43）在这种情况下，自举很简单，因为在方程（5.41）中，我们可以根据收益率曲线R1m（t，x）和插值算法的系数来替代每个前进速率。因此，我们将得到一个只有一个变量R1m（t，etM）的方程，借助自举或有效的寻根方法，我们得到了伦敦银行同业拆借利率1m指数的收益率曲线。例如，当M=6时，即TS的到期日为18个月，那么在方程式（5.41）中，我们有以下六个未知变量：Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））当sj∈ {t13m、t14m、t15m、t16m、t17m、t18m}。基于屈服曲线R1m遵循自然三次样条曲线条件的假设（见附录C.3），我们得出：1。R1m（t，x）=a+b（x- t） +c（x）- t） +d（x- t） 带t12m≤ x个≤ T18和a、b、c、d∈ R2.R1m（t，t12m）=rt12m3。R1m（t，x）∈ CwithdR1mdx（t，t12m）=0，DR1MDX（t，t18m）=0。请注意，RT12M的值是已知的，因为IRS最长可达1年，可以像我们之前所说的那样轻松引导。因此，如果我们确定R1m（t，t18m）的初始值，比如r，那么我们就能够找到a，b，c，d的值，因为我们有以下方程组：a+b（t12m- t） +c（t12m- t） +d（t12m- t） =rt12m（5.44）a+b（t18m- t） +c（t18m- t） +d（t18m- t） =rt18m（5.45）2c+6d（t12m- t） =0（5.46）2c+6d（t18m- t） =0（5.47）由于方程（5.46）和（5.47）定义了c和d的值，因此该方程组的解很容易得到。通过在（5.44）和（5.45）中替换c和d，我们可以得到a和b的值。利用该值，我们可以得到所有x的R1m（t，x）∈ （t，t18m）。

然而，当我们对R1m（t，t18m）进行初步猜测时，我们无法保证方程（5.41）成立，因为我们不确定隐含的远期Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））当sj∈ {t13m、t14m、t15m、t16m、t17m、t18m}从收益率曲线R1m（t，x）函数中，保留我们校准模型的条件和假设。因此，我们获得解决方案所需遵循的过程与我们用于校准OIS-USD曲线的过程相同。事实上，我们将假设隐含远期利率达到17M是正确的远期利率，因此我们只需找到Et18mt（LIBOR1M（t17m，t18m））的值，这使得方程（5.41）等于零。一旦我们得到这个值（借助于方程求根法，见【Burden and Faires，2010】），我们就可以使用方程（5.43）计算R1m（t，t18m）的新值。利用这个零利率，我们建立了一个新的方程组，目的是获得新的a、b、c、d值。最后，我们计算新的隐含远期利率，并迭代该方法，直到收敛到一个解。同样，正如OIS-USD贴现曲线的校准方法一样，我们必须在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价，以确定收敛规则，从而不允许我们进行独立迭代。因此，我们在迭代过程中包括下一个条件：| R1mi（t，t18m）- R1mi+1（t，t18m）|<ε，ε>0或i>Nmax>0，（5.48）第一个条件保证我们两次迭代之间的零速率R1m（t，t18m）变化非常小，而第二个条件保证我们在最长的时间内迭代。一旦我们给出了TS具有M=6耦合或到期时间为18个月的自举示例，我们就必须引入一种有效的方法来校准曲线，考虑到所有TSs到期时间。

该过程是相同的，但它在所有TSS过程中运行，其思想是更有效地增加迭代次数，而没有提及求解三次样条函数系数的有效方法。让我们介绍校准伦敦银行同业拆借利率1m曲线需要遵循的步骤：1。找出伦敦银行同业拆借利率100万英镑掉期市场（2个月至1年）的零利率100万兰特（t，x）2。猜测{R1m（t，tN）}的初始值，其中tN是TS引号3的所有到期日。使用插值法（自然三次样条曲线）计算所有第i个息票日（每月）的R1m（t，ti），并得到隐含的远期伦敦银行同业拆借利率1m{Etit（LIBOR1M（ti-1，ti））}4。将这些远期利率插入方程式（5.41）并求解{R1m（t，tN）}5。我们采用这些新的零利率{R1m（t，tN）}，再次应用插值方法并计算新的隐含远期利率6。重复步骤3、4和5，直到满足以下条件：NXj=1 | R1mi（t，tj）- R1mi+1（t，tj）|<ε，ε>0或i>Nmax>0，（5.49）对于插值方法，我们使用附录C.3.5中给出的算法在多曲线框架下对IRS进行定价（有抵押品的情况下）0.51.01.52.02.5成熟度（年）1M远期利率（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 9Y 10Y 12Y 15Y 20YLIBOR 1M 1M-远期曲线超衍生品伦敦银行同业拆借利率1M 1M-正向曲线图5.6:LIBOR 1m正向曲线：f（t，x）=Ext（LIBOR 1m（x，x+1m））。该曲线为我们提供了任意给定日期x的远期伦敦银行同业拆借利率1m，该利率在时间间隔【x，x+1m】内有效。0.00.51.01.52.02.53.0成熟度（年）贴现系数1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8Y 9Y 10Y 12Y 15Y 20YLIBOR 1M收益率超衍生品LIBOR 1M收益率图5.7：LIBOR 1M收益率曲线：R1m（T）=R1m（T，T）。该曲线用于引导伦敦银行同业拆借利率1m远期利率。R1mcurve采用自然三次样条插值方法构建为分段定义函数。

回想一下，收益率曲线有助于我们根据Ibor指数利率获得远期利率。5多曲线框架下的利率互换定价（有抵押品的情况下）0.60.70.80.91.0到期日（年）贴现系数1百万年2百万年3百万年5百万年6百万年7百万年9百万年12百万年15百万年20百万年或百万年贴现曲线超级衍生工具伦敦银行同业拆借利率1百万年贴现系数图5.8：伦敦银行同业拆借利率1百万年贴现曲线：P1m（T）=P1m（T，T）。在这项工作中，该曲线不用于贴现现金流，但该曲线有助于我们计算伦敦银行同业拆借利率1m指数的1m远期和瞬时远期曲线，如方程式（5.42）所示。5多曲线框架下的IRS定价（有抵押品的情况下）5.3多币种估值框架我们之前看到抵押品决定贴现率，即以美元为抵押品（现金）的美元掉期使用OIS（联邦基金）曲线进行定价。现在，我们必须回答以下问题：如果掉期以欧元为抵押，该怎么办？日元呢？设V（j）为衍生工具X的价值抵押品账户，以货币（j）表示。抵押品账户的随机过程由DV（j）（s）给出=r（j）（s）- c（j）（s）V（j）（s）ds+a（s）dh（i）（s）·fi→j（s）, （5.50）其中，r（j）（s）和c（j）（s）分别是货币（j）在s时的无风险利率和抵押品利率，h（i）（s）是衍生工具X在T时到期的货币（i）的价值，现金流为h（i）（T），fi→j（s）是时间s的外汇（FX）汇率，代表以货币（j）表示的单位货币（i）的价格。最后，a（s）表示时间s处导数的位置数。要求解（5.50），我们必须将方程乘以eRTsy（j）（η）dη，其中y（j）（s）=r（j）（s）- c（j）（s），我们得到eRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=eRTsy（j）（η）dηy（j）（s）V（j）（s）ds+eRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）.

（5.51）然后，通过积分（5.51），我们得到ZTteRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=ZTteRTsy（j）（η）dηy（j）（s）V（j）（s）ds+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）.（5.52）利用我们得到的部分积分公式，确定u=eRTsy（j）（η）dη和dv=dv（j）（s）-Zvdu（5.53）ZTteRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=eRTsy（j）（η）dηV（j）（s）Tt+ZTtV（j）（s）eRTsy（j）（η）dηy（j）（s）ds。（5.54）然后，使用（5.52）和（5.54）我们得到V（j）（T）=eRTty（j）（η）dηV（j）（T）+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）. （5.55）如【Fujii等人，2010b】所述，通过采用（V（j）（t）=h（i）（t）·fi指定的交易策略→j（t）a（s）=eRsty（j）（η）dη（5.56）通过替换（5.55）中的交易策略，我们得到V（j）（t）=eRTty（j）（η）dηV（j）（t）+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+ZTteRTsy（j）（η）dη+Rsty（j）（η）dηdh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+eRTty（j）（η）dηZTtdh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+eRTty（j）（η）dηh（i）（T）·fi→j（T）-h（i）（t）·fi→j（t）= eRTty（j）（η）dηh（i）（T）·fi→j（T）. （5.57）5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）现在我们有了，h（i）（T）=V（j）（T）fj→i（T）e-RTty（j）（η）dη=V（i）（T）e-RTty（j）（η）dη。（5.58）我们能够使用与货币市场账户B（i）（t）=eRTtr（i）（s）ds相关的风险中性度量EQ（i）计算衍生工具X的h（i）（t）现值，即h（i）（t）=EQ（i）tV（i）（T）B（i）（T）= 等式（i）te-RTtr（i）（s）ds埃尔蒂（j）（s）dsh（i）（T）（5.59）如果我们定义y（i，j）（s）=y（i）（s）- y（j）（s）那么我们可以将h（i）（t）表示为以下h（i）（t）=等式（i）te-RTtr（i）（s）ds埃尔蒂（j）（s）dsh（i）（T）= 等式（i）te-RTtc（i）（s）dsETc（i）te-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）= Pc（i）（t，t）等（i）te-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）, （5.60）其中，Pc（i）（t，t）是货币（i）的抵押零息债券，Tc（i）是相同货币的抵押前度量，其中Pc（i）（t，t）用作数字。

注意，当（i）=（j）时，从（5.60）我们得到h（i）（t）=Pc（i）（t，t）等（i）th（i）（T）这与方程（5.18）一致。在下一小节中，我们将介绍当抵押货币为美元时，以欧元和墨西哥比索计价的IRS之间的定价差异。我们将看到OIS市场的存在简化了曲线构造。5.3.1欧元的情况下，我们已经用美元构建了曲线，因此下一步是用其他货币即欧元构建曲线，但保持相同的抵押品货币（在本例中为美元）。欧元利率市场工具主要以欧元为抵押。在这个市场上，隔夜利率被称为DEONIA（欧元隔夜指数平均值的首字母缩写），基于Eonia的OIS与美元市场上基于联邦基金的OIS具有相同的特征。因此，通过基于Eonia的欧元现金存款和OIS掉期列表，我们能够在现金流以欧元为抵押时，使用简单的自举法构建和校准欧元贴现曲线。事实上，该方法与第5.2.2节中用于构建美元贴现曲线的方法相同。一旦我们有了贴现曲线（以欧元为抵押），我们就可以根据两个主要期限使用欧洲市场的报价：欧元银行同业拆借利率300万欧元和欧元银行同业拆借利率600万欧元；构建两条正向曲线。对于欧元银行同业拆借利率3m曲线，我们使用短期利率（STIR）期货和国债互换（600万对300万），而对于欧元银行同业拆借利率6m，我们使用远期利率协议（FRA）和Vanillairs。备注5.3。与美元市场一样，欧元曲线（Eonia（贴现）EURIBOR 3m（远期）和EURIBOR 6m（远期））可以通过简单的自举逐个构建。订单是折扣，远期6m和远期3m。5在多曲线框架中对IRS进行定价（有抵押品的情况下）现在要构建欧元的贴现曲线，抵押品为美元，反之亦然，我们需要XCSS市场。

回想一下，如第3.2.4节所述，普通的欧元兑美元XCS将伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）300万美元兑换成欧元兑300万欧元，再加上额外的利差。在利率市场中，存在两种类型的外汇掉期：cnXCSs（固定名义外汇掉期）和mtmXCSs（按市值计价外汇掉期），见第3.2.4节。在cnXCS中，两个分支的概念均使用交易开始时商定的汇率固定，并保持不变，直至到期，尽管汇率变动。相反，MTMXC在每个息票期开始时重置一段的名义汇率（包括最终的名义汇率），而另一段的名义汇率保持不变。尽管MTMXC以几乎所有货币具有更好的流动性，但在这项工作中，我们将评估，由于USDMXNxCs仍以恒定的名义报价，XCs具有恒定的名义价值。因此，考虑一对货币（i，j）的cnXCS，并假设抵押品以货币j记账。

然后，支腿j的净现值计算为：（假设两支腿的付款日期和息票应计期相同）支腿（j）（t）=N（j）h- Pc（j）（t，et）+Pc（j）（t，etN）+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（j）（t，etk）等（j），ktL（j）（tk-1，tk）i、 （5.61）式中：N（j）：j的概念-货币legN：息票数量（塔卡-1，tk）：第k个couponetk的期限：第k个息票或名义兑换β（tk）的支付时间-1，tk）：第k个联轴器的应计系数c（j），ktL（j）（tk-1，tk）: j-第k个耦合的正向参考速率（j）（t，etk）：j-timeetk以j为抵押的货币贴现系数。现在，利用方程（5.60），我们得到了支腿i的净现值为eg（i）（t）=N（i）h- Pc（i）（t，et）等（i），0te-Retty（i，j）（s）ds+ Pc（i）（t，etN）等（i），Nte-RetNty（i，j）（s）ds+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（i）（t，etk）等（i），ktL（i）（tk-1，tk）+BNe-Retkty（i，j）（s）dsi、 （5.62）式中：N（i）：i的概念-货币legN:couponsBN的数量：有N张息票的CNXC的基差（tk-1，tk）：第k个couponetk的期限：第k个息票或名义兑换β（tk）的支付时间-1，tk）：第k个耦合的应计系数（i）（t，etk）：i-timeetkETc（i）的货币贴现系数（以i为抵押），ktL（i）（tk-1，tk）e-Retkty（i，j）（s）ds: i-当抵押货币为j时，第k张息票的远期参考利率。自名义金额重置后，也被分类为：可重置的XCS或不可重置的XCS。事实上，这一假设对于普通的vanilla XCS来说是正确的，即两个分支的付款日历都是一致的，但不受天数惯例的限制。5在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS定价时，考虑我们输入付款人cnXCS，即。

我们按照基差BN支付分期付款，因此，CNXCS（i，j）付款人（t）=分期付款（j）（t）给出了合同时间t的净现值（货币j）- 金融机构→j（t，t）支腿（i）（t），（5.63），其中fi→j（t，t）是即期外汇汇率。对于曲线构造，我们可以假设N（j）=1，N（j）=N（i）fi→j（t，t）。此外，由于交易日期和开始日期之间的差异，即- t等于2天，现金存款（隔夜和tom下一个）利率几乎为零，那么我们可以说Pc（j）（t，et）≈ 1和PC（i）（t，et）≈ 最后，我们将假设y（i，j）（·）是一个确定性函数，因此通过设置等式（5.63）等于零收益率，Pc（j）（t，etN）- Pc（i）（t，etN）fi→j（t，et）Py（t，etN）+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（j）（t，etk）等（j），NtL（j）（tk-1，tk）- 金融机构→j（t，et）NXk=1β（tk-1，tk）Pc（i）（t，etk）hETc（i），ktL（i）（tk-1，tk）+ BNiPy（t，etk）=0（5.64），其中Py（t，etk）=e-Retkty（i，j）（s）dsk=0，1，N、 请注意，当我们假设y（i，j）是一个确定性函数时，我们可以去掉exp(-Retkty（i，j）（s）ds）来自方程式（5.62）的期望。此外，术语SPC（i）（t，etk）Py（t，etk）（5.65）可解释为货币j完全抵押的货币i的贴现因子。因此，方程（5.64）中唯一未知的因子是Py（t，etk）的值。因此，使用市场上显示的所有cnXCSs报价的自举{B（i，j）N}和插值方法，我们可以构建曲线{Py（t，t）}，从而{y（i，j）（t）}。由于这项工作的重点是MXN曲线的构建，因此我们不提供此引导的结果和实施。对于感兴趣的读者，请参见【Fujii等人，2010a】，了解欧元兑美元和美元兑日元汇率的更深入分析。5.3.2 MXN的情况欧元和MXN市场之间的主要区别在于后者不存在OIS。除此之外，IRS和XCS产品均未在MXN中进行抵押。

事实上，它们是以美元为抵押的。然而，考虑到CSA协议的主要货币，我们必须为曲线构建提出一个多曲线框架，限制复制市场报价。根据[MexDer，2014年]的数据，墨西哥的大多数银行都是由外资出资的，它们在墨西哥境外管理账簿和交易台。据估计，他们大约80%的市场业务在墨西哥境外或由国际（非墨西哥）银行进行交易。因此，基于TIIE 28d的IRS和XCS（USDMXN）根据CSA协议执行，以美元为抵押货币。正如我们将在第6节中看到的那样，无论是远期曲线还是贴现曲线都无法通过简单的自举获得。事实上，我们将介绍如何确定两步自举法，以构建MXN远期曲线（TIIE 28d作为指数利率）和以美元为抵押的MXN贴现曲线。事实上，这种两步引导的想法很简单；我们知道，以TIIE 28d为基础的普通IRS和以LIBOR 1m加上TIIE 28d利差进行交换的普通XCS在多曲线框架下（有抵押品的情况下）有5个定价IRS，具有相同的时间表，即每28天一次的息票，日期约定如下，并且具有相同的到期日（84d、168d、252d等）。然而，即期滞后是不同的，因为在IRS中为一天，而在XCS中为两天；此外，付款日历分别为MX和US-MX。这些差异使我们无法用XCS的MXN浮动支腿代替IRS的固定支腿。然而，如果我们假设这种差异可以忽略，那么我们可以用固定利率段代替MXN浮动段，从而可以通过简单的自举法获得以美元为抵押的MXN段的贴现曲线。

然后立即根据IRS校准远期曲线（TIIE 28d），因为已知以美元为抵押的贴现曲线。此校准再次通过简单的自举进行。重要的是要指出，在第6节中，我们不会假设IRS和XCS中的即期滞后和日历相等，因此，我们必须迭代引导，以收敛于复制市场掉期的解决方案：IRS和XCS。在图5.9中，我们给出了一个流程图，其中列出了欧元和墨西哥货币市场之间的差异，以及美元市场与它们之间的关系，以构建利率曲线。5多曲线框架中的IRS定价（有抵押品的情况下）$USD IRmarket$EUR IRmarket$MXN IRmarketcollateral Agreements in Europeral Agreements in USDPc（EUR）EUR（t，t）隔夜指数掉期（Eonia）利率掉期（EURIBOR 3m andEURIBOR 6m）EURIBOR 3m（t）andEURIBOR 6m（t）隔夜指数掉期（Fed Funds）Pc（USD）USD（t，t）利率掉期（LIBOR 3M和LIBOR 1m）LIBOR 3M（t，t）和LIBOR 1m（t，t）不存在任何Vernight indexswap市场？Pc（USD）MXN（t，t）？利率掉期（TIIE 28d）？TIIE28D（t，t）？MTMXCSEURUSDCNXCSUDMXNSIMPLE Boot STRAPPING多重引导Pc（USD）EUR（t，t）Pc（EUR）USD（t，t）Pc（USD）（MXN）（t，t）TIIE28D（t，t）6不同抵押品货币下的MXN IRS定价6不同抵押品货币下的MXN IRS定价在本节中，我们将介绍三种不同抵押品货币下的MXN IRS估值方法：美元、MXN和欧元。此外，我们还包括在无抵押即无抵押协议的情况下对IRS进行定价的方法。正如我们将在本节中看到的，每条贴现曲线的校准方法是不同的，并且遵循不同的构造参数。

事实上，当抵押品货币为美元时，我们将使用市场上显示的报价通过多曲线引导校准的估值曲线。使用在美元案例中获得的曲线，无抵押和MXN抵押案例遵循市场上常见的简单论点，最后，当抵押货币为欧元时，曲线校准仅遵循无套利市场的价格。6.1美元抵押的MXN贴现曲线和MXN TIIE 28d远期曲线的校准本小节中校准的曲线对应于从市场报价中获得的隐含曲线。回想一下，以MXN货币交易最多的利率衍生品是：1）基于TIIE 28d的普通IRS和2）美元和MXN货币之间的XCS。重要的是要指出，对于这些产品，经纪人和做市商交易屏幕上显示的价格通常与CSA协议下以美元为现金抵押品的价格相对应。在介绍曲线校准方法之前，让我们先介绍有用的公式和符号，我们将在本节中使用这些公式和符号。让IRSTIIE28DPayer（t）是基于TIIE 28d的普通付款人息票IRS的现值，IRSTIIE28DPayer（t）=浮动腿（t）- 固定支腿（t），（6.1）带浮腿（t）=NMXNNXi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti））Pc（USD）MXN（t，eti），FixedLeg（t）=NMXN·kNXi=1α（ti-1，ti）Pc（USD）MXN（t，eti），（6.2），其中：NMXN：IRSk的名义利率：N息票的固定利率IRS（掉期利率）N：息票数量ti：两种法律的息票期限i：第i息票的支付时间α（ti-1，ti））：第i个耦合项的应计系数（TIIE28D（ti）-1，ti））：第i个couponPc（USD）MXN（t，eti）的远期TIIE 28d利率：timeeti以美元为抵押的MXN贴现系数。备注6.1。在MXN普通香草IRS中，对于所有i=1。

，N，因为付款日期等于息票结束日期。使用MX营业日日历，按照以下约定，每28天确定一次息票日期。现货滞后（开始日期和交易日期之间的差异）为一个开放日，即交易日期后的下一个营业日。备注6.2。能够访问报价或交易屏幕的交易对手通常是做市商，他们不一定拥有以美元计价的CSA协议。事实上，[MexDer，2014年]指出，80%的资金是在墨西哥境外或由拥有非本地资本的外国银行进行交易的。然而，这些交易屏幕价格是根据6定价MXN IRS在不同抵押品货币下调整的参考价格，即交易对手之间的抵押品货币（估值调整称为CollVA，见【Ruiz，2015】）。从方程式（3.22）-（3.23）-（3.24）中，我们得到普通付款人USDMXN cnXCS（兑换伦敦银行同业拆借利率1m加上TIIE 28d的利差）CNXCSUDMxNPayer（t）在时间t的市价（以MXN货币表示）由CNXCSUDMxNPayer（t）=LegMXN（t）给出- fUSD公司→MXN（t）LegUSD（t），（6.3），Legmxn（t）=NMXNh- Pc（USD）MXN（t，es）+Pc（USD）MXN（t，esN）+NXj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj））Pc（USD）MXN（t，esj）i，（6.4）LegUSD（t）=NUSDh- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+NXj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+十亿Pc（美元）USD（t，esj）i，（6.5）和fUSD→MXN（t）是时间t的外汇即期汇率。

此外，我们还有，NUSD:USD legNMXN的名义价值MXN legN:couponsBN的数量N:N息票CNXC（sj）的基差-1，sj）：第j张息票的期限（双腿）esj：第j张息票的支付时间（双腿）β（sj-1，sj））：第j张息票的应计系数（两段）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））：第j个couponEesjt（TIIE28D（sj））的远期伦敦银行同业拆借利率1m-1，sj））：第j个couponPc（美元）USD（t，esj）的远期TIIE 28d利率：美元贴现因子以美元为时间抵押esjPc（美元）MXN（t，esj）：MXN贴现因子以美元为时间抵押esj。就cnXCSs而言，无论优惠券数量多少，我们都有NMXn=NUSDFDUSD→MXN，（6.6），其中fUSD→MX是交易结束时两个交易对手确定的汇率。请注意，通常fUSD→MXN6=fUSD→MXN（t），因为第一个用于确定MXN分支的概念，第二个是用于市值计价的外汇即期汇率。然而，交易完成时，交易对手同意，名义汇率由外汇即期汇率确定，即fUSD→MXN=fUSD→MXN（t）。备注6.3。在普通的cnXCS中，付款日期按照以下约定每28天安排一次。然而，与普通IRS不同，这些付款日期是使用US-MX营业日日历确定的，即期延迟为两个开放日，即交易日后的第二个营业日。此外，对于所有的j=1，…，我们有esj=sj，N备注6.4。对于将伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万兑换为伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）300万的普通TS而言，100万分期的利息按月确定，并确定应计因素。

然而，在plainvanilla USDMXN CNXC上，适用的应计系数是根据28天的息票计算的。6不同抵押货币下的MXN IRS定价货币数量（N）固定利率（%）类型价差（%）类型84D 3.3200 IRS 0.5400 cnXCS168D 6 3.4300 IRS 0.5900 cnXCS252D 9 3.5620 IRS 0.6400 cnXCS364D 13 3.7350 IRS 0.6800 cnXCS728D 26 4.2360 IRS 0.7200 CNXCS109D 39 4.6710 IRS 0.8100 cnXCS1456D 52 5.0510 IRS 0.8800 cnXCS1820D 65 5.3610 IRS 0.9200 cnXCS2548D 91 5.8630 IRS 1.0050cnXCS3640D 130 6.2380 IRS 1.0400 cnXCS4368D 156 6.4280 IRS 1.0400 cnXCS5460D 195 6.6320 IRS 1.0200 cnXCS7280D 260 6.8310 IRS 1.0250 CNXCS090D 390 7.0210 IRS 1.0250 cnXCSTable 6.1：2015年5月29日引用TIIE 28d IRS和USDMXN cnXCSs（来源：彭博社）。从前面的章节中，我们知道如何构建以美元为抵押的美元贴现曲线和伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万远期曲线。因此，方程式（6.5）中的Pc（USD）USD（t，x）和Ext（LIBOR1M（x，x+1m））的值对于所有x都是已知的。因此，对于所有x.（6.8），我们必须校准arePc（USD）MXN（t，x）和（6.7）Ext（TIIE28D（x，x+28d）），幸运的是，我们有两条掉期曲线作为输入（IRS和cnXCS市场报价，见表6.1），我们必须解决两条曲线作为输出（MXN和TIIE 28d indexcurve中抵押的MXN折扣）。因此，我们得到了一种“方程组”，因为它是一个2×2的“方程组”，所以可能有一个很容易找到的解（不一定是精确解）。在我们开始尝试求解这个“方程组”之前，让我们计算未知变量的数量。请注意，最长期限（30年）的NXCS有390张息票（=30年×13张息票/年）。对于每个MXN息票，我们有两个未知变量：贴现因子和远期指数利率，因此我们有780个变量。

然而，第一张息票的TIIE 28d指数利率是在当时确定的，因此它不是一个未知变量。总之，我们有779个变量和28个方程（表6.1中的14个IRS和14个CNXC）。现在很明显，方程组有有限的解，但我们找到了更简单、更充分的解，与利率市场的期限结构相一致。该解决方案通过插值方法和同时迭代构建两条曲线的多重投影法获得。为了说明这种方法背后的想法，让我们假设我们的市场只有一个IRS和一个CNXC，两者的到期日均为84天。还让我们假设NMXN=1，因此IRS和Cnxcs（两个付款人）在时间t的现值由IRSTIIE28DPayer（t）=Xi=1α（ti）给出-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（USD）MXN（t，eti），（6.9）我们使用引号，因为输入和输出不能定义真正的方程组，我们稍微滥用了语言。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价和CNxCSUDMxNPayer（t）=h- Pc（美元）MXN（t，es）+Pc（美元）MXN（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj）Pc（美元）MXN（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i.（6.10）假设IRS和CNXC是中等市场报价，我们得到的两个方程都等于零，即IRSTIIE28DPayer（t）=0（6.11）CNXCSUDMxNPayer（t）=0。（6.12）根据备注6.1和6.3，我们通常认为ti6=sj，因为营业日日历不同，而且CNXC的即期滞后时间要大一天。

然而，对于两条曲线的校准，我们将假设这种差异非常小，可以忽略不计。因此，Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）≈Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj）Pc（USD）MXN（t，esj），（6.13）并使用方程式（6.9）-（6.13）得出- Pc（美元）MXN（t，es）+Pc（美元）MXN（t，esN）+k84dXj=1β（sj-1，sj）Pc（美元）MXN（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i=0（6.14）注意，在这个等式中，我们只有四个未知变量：Pc（USD）MXN（t，es），Pc（USD）MXN（t，es28d），Pc（USD）MXN（t，es56d），Pc（USD）MXN（t，es84d）。这四个变量可以使用短期市场计算，即depo和FX forwardsmarkets。让我们介绍brie fly如何执行此任务。当我们使用短期市场，即外汇远期市场时，我们能够从远期点或直接利率中获得用于贴现以美元计价的MXN流动抵押物的隐含收益率。事实上，我们已经知道，美元/墨西哥比索在时间t和在时间t交货的直接外汇汇率由以下公式给出：fUSD→MXNT（t）=Pc（美元）USD（t，t）Pc（美元）MXN（t，t）·fUSD→MXN（t），（6.15）6不同抵押货币下MXN IRS的定价，其中fUSD→MXN（t）是外汇即期汇率。这一市场具有足够的流动性，可以获得许多货币的价格，因此我们可以获得以下直接外汇利率：fUSD→MXNes（t），fUSD→MXNes28d（t），fUSD→MXNes56d（t），fUSD→MXNes84d（t）。因此，使用方程式（6.15），我们可以得到当t≤ T≤1、在曲线的其余部分继续采用短期市场法的一个障碍是，即使在主要货币（如G7货币）中，外汇远期也只有两年或五年的流动性，最多十年的报价。因此，我们需要长期市场数据（IRS和cnXCS），这些数据的报价最长可达30年。

在这项工作中，我们将仅使用IRS和cnXCS进行曲线校准，尽管【MexDer，2014】建议使用短期市场进行长达1年的曲线校准，并使用长期掉期进行曲线其余部分的校准。在我们正式介绍多重自举算法之前，当市场只有一个IRS和一个到期日为84天的XC（三张优惠券）时，让我们继续曲线校准。我们知道，每个贴现因子都有一个相关的收益率，该收益率保持以下等式：Pc（USD）MXN（t，x）=e-（十）-t） R（t，x）。（6.16）求解R（t，x）产率，R（t，x）=-自然对数Pc（美元）MXN（t，x）x个- t、 （6.17）在该方法中，Pc（美元）MXN（t，es）的价值通过短期方法计算，并确定与其相关的收益率。对于其他三个变量Pc（USD）MXN（t，es28d）、Pc（USD）MXN（t，es56d）、Pc（USD）MXN（t，es84d），我们需要找到满足以下条件的R（t，es84d）值：1。R（t，x）=a+b（x- t） +c（x）- t） +d（x- t） 使用es≤ x个≤ ES84D a、b、c、d∈ R2.R（t，es）=r3。R（t，x）∈ C，R（t，es）=0，R（t，es84d）=0。这些条件对应于自然三次样条插值方法。请注意，上述条件定义了下一个方程组：a+b（es- t） +c（es- t） +d（es- t） =r（6.18）2c+6d（es- t） =0（6.19）2c+6d（es84d- t） =0。（6.20）因此我们得到了一个包含4个变量的方程组，只有3个方程，因此我们有两个详细的方程，目的是得到一个解。所以我们说r（t，es84d）：=k84d（6.21）==> a+b（es84d- t） +c（es84d- t） +d（es84d- t） =k84d（6.22）换言之，我们主张ES84中到期时间为t的零息票收益率与相同期限的掉期利率不相等。利用这个新方程，系统有一个唯一的解，由以下向量（a，b，c，d）给出。

通过这些系数，我们现在可以得到R（t，es）、R（t，es28d）、R（t，es56d）、R（t，es84d）的值，从而得到Pc（USD）MXN、0（t，es）、Pc（USD）MXN、0（t，es28d）、Pc（USD）MXN、0（t，es56d）、Pc（USD）MXN、0（t，es84d）的值。兰特的下标零是因为我们想强调美元、加元、英镑、欧元和日元。6不同抵押货币下的MXN IRS定价这些值是初始值，因为我们对R（t，es84d）进行了初步猜测。注意，我们还可以计算R（t，et）、R（t，et28d）、R（t，et56d）、R（t，et84d）的值，并将其代入方程（6.9）。这为我们提供了以下方程式IRSTIIE28DPayer（t）=Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）。（6.23）现在方程（6.23）中的未知变量是Eet56dt（TIIE28D（t28d，t56d））和Eet84dt（TIIE28D（t56d，t84d））。为了确定这两个变量的值，我们将采用之前所做的相同假设。e、 定义（t，x）产生零曲线，复制TIIE 28d正向曲线Ext（TIIE28D（x，x+28d））。同样，我们将假设RTIIE（t，x）是一个具有自然立方线条件的分段定义函数。因此，我们得到了1。RTIIE（t，x）=e+f（x- t） +克（x- t） +h（x- t） 带t≤ x个≤ T84D e、f、g、h∈ R、 2。RTIIE（t，y）=所有y的TIIE28D（t）∈ [t，t28d]，3。RTIE（t，x）∈ C，R（t，t28d）=0，R（t，t84d）=0。条件2说明函数rTiie在区间[t，t28d]中有一个恒定值，该值等于时间t时的TIIE 28d参考率，即等于贸易日期中公布的fifixing rate。这一假设保证了收益率曲线Rtiie所暗示的远期利率为28天。让我们来证明这个（直截了当的）事实。

我们知道，TIIE28D前进率由以下等式给出（TIIE28D（S，T））=-τ（S，T）lnPTIIE（T，S）PTIIE（T，T）！（6.24）现在我们有了pTie（t，x）=e-（十）-t） RTIIE（t，x）和RTIIE（t，S）=RTIIE（t，t）=TIIE28D（t）Hencett（TIIE28D（S，t））=-T- Slne公司-（S）-t） TIIE28D（t）e-（T-t） TIIE28D（t）！(6.25)= -ln（e）-（T-S） TIIE28D（t））t- S（6.26）=TIIE28D（t）。（6.27）因此，条件2向我们保证，曲线复制了时间t的已知fixing。现在，如果我们写出可由条件1、2和3导出的方程组，我们得到+f（t- t） +克（t- t） +小时（t- t） =TIIE28D（t）（6.28）2g+6h（t- t） =0（6.29）2g+6h（t84d- t） =0。（6.30）同样，我们有三个方程和四个变量e、f、g、h，因此我们必须定义一个方程，以获得解决方案。所以我们会说Rtiie（t，t84d）：=TIIE28D（t）+ε，ε∈ R（6.31）==> e+f（t84d- t） +c（t84d- t） +d（t84d- t） =TIIE28D（t）+ε（6.32）6不同抵押货币下的MXN IRS定价ε的值是利率曲线构造的一个参数，有助于我们快速收敛到解决方案。该参数取决于曲线的结构以及央行未来可能采取的货币政策决策。例如，如果市场正在为接下来几个月的加息定价，那么ε>0。此参数只是一个用于简化算法收敛的变量。一旦我们有了系数向量（e、f、g、h），我们就可以计算出TIIE 28d的远期利率。然后，我们将这些远期利率代入方程（6.23），并为普通IRS生成一个按市价计算的∏，由∏（RTIIE（t，es56d），RTIIE（t，es84d），ε）=Xi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）- k84dXi=1α（ti-1，ti）Pc（美元）MXN（t，eti）。（6.33）∏（RTIIE（t，es56d），RTIIE（t，es84d），ε）的值不一定等于零，因此IRS的掉期利率K84不在平价。

该算法的思想是使市价∏等于零，因此我们必须找到方程的根（6.33）。在这项工作中，我们将应用对分法来完成这项任务，尽管有更有效的方法来查找根，如NewtonRaphson方法（见【Burden and Faires，2010】）。因此，我们必须改变ε的值，然后计算（e，f，g，h）的值，直到∏≈ 0。然后我们将TIIE 28Din的远期利率替换为cnXCS方程（6.10）。如果cnxcsudmxnpayer（t）=0，则我们完成了算法的迭代。然而，通常在一次迭代之前，我们没有cnxcsudmxnpayer（t）=0，因此我们必须继续进行更多的迭代。从方程（6.10）中，我们必须引导新的系数（a、b、c、d），使其等于零。完成此任务后∏m（Rm（t，es），Rm（t，es28d），Rm（t，es56d），Rm（t，es84d））=h- Pc（美元）MXN，m（t，es）+Pc（美元）MXN，m（t，esN）+k84dXj=1β（sj-1，sj）Pc（美元）MXN，m（t，esj）i-fUSD公司→MXN（t）保险丝→MXNh公司- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+Xj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+B84dPc（USD）USD（t，esj）i（6.34）∏（R（t，es），R（t，es28d），R（t，es56d），R（t，es84d））的值通常不同于零，因为我们对R（t，es84d）的值进行了初步猜测。多重自举的思想是必须迭代R（t，es84d）的值，并使IRS和cnXCS的市场标记值等于零。6不同抵押货币下的MXN IRS定价此算法的思想是通过将IRS更改为cnXCS迭代数据来校准两条曲线：期限（X=（84d，168d，…，10920d），IRS利率（kX=（k84d，…，k10920d））和cnXCSBasis利差（BX=（B84d，…，B10920d））结果：所有X的Pc（USD）MXN（t，X）∈ [t，10920d]和Ext（TIIE28D（x，x+28d）），用于allx∈ [t，10892d]定义方程：Γ：IRSTIIE28DPayer（t，X，Pc（USD）MXN（t，X），Ext（TIIE28D（X，X+28d））。

（6.1）Γ：CNXCSUDMxnPayer（t，X，Pc（USD）MXN（t，X），Ext（TIIE28D（X，X+28d））。（6.3）Γ：CNxCSUDMxnPayer，MXN FixedLeg（t，X，Pc（USD）MXN（t，X））。（6.14）m=0；1） 计算{Pc（USD）MXN（t，x）}mfromΓ；2） 替换{Pc（USD）MXN（t，x）}minΓ并计算{Ext（TIIE28D（x，x+28d））}m；3） 替换{Ext（TIIE28D（x，x+28d））}minΓ并计算{Pc（USD）MXN（t，x）}m+1；4） 定义m：=m+1，重复步骤2，直到达到收敛。算法1：校准以美元为抵押的MXN贴现曲线和指数TIIE 28d远期利率的步骤。0.00.20.40.60.81.0饱和度（天）折扣系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN美元-抵押贴现曲线图6.1:MXN以美元抵押的贴现曲线：P（T）=Pc（USD）MXN（T，x）。

这条曲线的重要性在于，在与CSA签订的美元合同中，每一笔MXN美元现金流都与此相关。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价0.40.50.60.70.80.91.0自然（天）贴现系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN USD-抵押贴现曲线MXN贴现曲线（超级衍生品）MXN贴现曲线（单一-曲线）图6.2：在该图中，我们展示了单曲线框架、多曲线框架中的MXN贴现曲线以及超级衍生品中用于贴现MXNcash流量的贴现曲线。345678成熟度（年）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D 28D-正向曲线图6.3：多曲线框架中的TIIE 28d正向曲线Ext（TIIE28D（x，x+28d）），使用自然三次样条曲线插值屈服率。6不同抵押品币种下的MXN IRS定价345678到期日（年）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D-正向（多-曲线）TIIE 28D-正向（单个-曲线）TIIE 28D-远期（超级衍生工具）图6.4：在该图中，我们展示了单一曲线框架、多曲线框架中的TIIE 28d 28d远期曲线以及同一日期超级衍生工具定义的远期曲线（2015年5月29日）。6.2由于没有CSA协议或清算中心交易对手，无抵押或无抵押利率衍生品的MXN贴现曲线校准也称为无担保交易。对于无抵押交易，应选择哪种贴现曲线，这是所有市场参与者都在争论的问题。事实上，自危机以来，许多衍生品交易商已经对无抵押交易进行了估值调整（尤其是FVA）。