股息和利率的期限结构模型

2022-6-8 20:26:21

2008年末，欧洲期货交易所推出了交易所交易期货合约，参考了*我们感谢洛桑金融动态模型研讨会、阿姆斯特丹第八届金融高级数学方法大会、里斯本第二届计算金融国际会议、布鲁塞尔第十一届精算和金融数学会议、2018年瑞士金融研究所格尔岑西研究日的与会者，在都柏林举行的第十届学士世界大会、2018年康奈尔大学青年研究者数据驱动决策研讨会、2019年剑桥洛桑新工场、麦克马斯特大学、纽约大学、普林斯顿大学、加州大学伯克利分校和都柏林大学学院的研讨会，以及彼得·卡尔、杰罗姆·德坦普尔（讨论者）、阿列克西·伊瓦什琴科（讨论者）、马丁·莱托（Martin Lettau、，克里斯·罗杰斯（讨论者）、拉杜·图纳鲁和三位匿名裁判的评论。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@epfl.chEPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：willems。gmail上的sand er。欧洲斯托克50指数的组成部分。随后不久，为其他主要股指（如富时100指数和日经225指数）创建了一个期货市场，并在已变现的股息上引入了交易所上市期权，期限最长可达10年。除了种类繁多的相对较新的股息工具外，自金融成立以来，还有另一种重要的股息衍生工具：简单的股息支付股票。事实上，股票的份额包括对股票生命周期内支付的所有股息的要求。

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2022-6-8 20:26:24

因此，任何股息的定价模型也应该能够有效地为支付股息的股票上的衍生品定价。更重要的是，利率-股息混合产品的存在、股息期权相对较长的到期日以及股票的长期负债性质都促使人们使用随机利率。尽管有其明显的可取性，但迄今为止，文献中仍缺少一个可处理的利率和股息期限结构联合模型以及相应的STOCK。我们填补了这一差距，并制定了一个综合框架，以有效地为股息、股票和利率衍生产品定价。我们首先指定股息和贴现因子的动态，然后在第二步中，我们将封闭形式的股价恢复为基本股价（所有未来股息的现值）和可能的剩余泡沫成分之和。间接股息率是多元因素过程的线性函数。利率的建模方法是直接将贴现系数指定为系数中的线性，类似于Inflipovi'c等人（2017）。正如Infipovi'c和Larsson（2020）所研究的那样，因子过程本身被指定为一般多项式跳跃差分。由于因子的所有条件矩都是以闭合形式已知的，因此这种规格使得模型可跟踪。特别是，我们有股票价格和分割期货和利率掉期的期限结构的封闭式表达式。通过矩匹配法对其贴现收益可写为系数中多项式函数的任何衍生工具进行定价。

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2022-6-8 20:26:27

具体而言，我们确定了唯一的概率密度函数，其中最大Boltzmann-Shannon熵匹配多项式的有限个矩，如inMead和Papanicolaou（1984）。然后通过数值积分得到导数的价格。特别是，这允许我们对互换期权、股息期权和股息支付股票的期权进行定价。我们表明，我们的多项式框架还允许将季节性行为纳入dividenddynamics。在我们的多项式框架内，我们引入了线性积分微分（LJD）模型。我们表明，LJ D模型允许因素之间存在灵活的依赖结构。这有助于建立股息和利率之间的依赖关系模型，也有助于建立利率或股息期限结构内的依赖关系模型。我们根据欧元银行同业拆借利率掉期和掉期期权、欧洲斯托克50指数股息期货和分割d期权以及欧洲斯托克50指数期权的市场数据，对LJD m模型的节约型规范进行了校准。我们的模型将指数期权相对较大的隐含波动率与股息期权和掉期期权相对较小的隐含波动率进行了协调，两者之间存在负相关。将模型成功校准为三个不同的衍生类别（利率、股息和股本），说明了我们的框架具有高度的灵活性。我们的论文涉及各种各样的文献。在有关股票期权定价的文献中，股息通常被假定为确定性的（例如，Bos和Vand er mark（2002）、Bos et al.（2003）、Vellekoop和Nieuwenhuis（2006））、股票价格的固定部分（例如，Merton（1973）、Korn和Rogers（2005）），或两者的组合（例如，Kim（1995）、Overhu s et al.（2007））。

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2022-6-8 20:26:30

Geske（1978）和Lioui（2006）将股息建模为股票价格的随机分形。他们推导出了欧式期权价格的Black-Scholes型方程，然而，在这两种情况下，股息不一定是非负的。Chance等人（2002年）直接指定了股票T远期价格的对数正态动态，以及期权的到期日。假设今天的第一个远期价格是可观察的，则获得的封闭式期权价格如Black（1976）所示。这种方法很容易使用，因为它不需要对d-ividends的分布进行任何建模假设。然而，对于不同的到期日，它不会产生一致的期权价格。Bernhart和Mai（2015）采取了类似的方法，但建议确定一个足够长的时间范围，以涵盖所有待定价的期权到期日。T-远期价格采用非负鞅建模，股票价格定义为T-远期价格加上从现在到时间T的股息现值。因此，到期日小于T的期权的价格将取决于未来股息支付和T-远期价格之间的联合分配，这在一般情况下是未知的。Bernhart和Mai（2015）采用数值树近似方法对期权进行定价。他们的模型对固定时间范围的依赖仍然会导致时间不一致，因为时间范围必须在某个时间点扩展。我们通过构建一个股票期权定价模型，该模型保证非负股息，具有时间一致性，并保持易处理性，为这一文献做出了贡献。另一部分文献研究股票和股息衍生品联合定价的随机模型。Buehler等人（2010年）假设股票价格在已知股息支付日期跳跃，并在支付日期之间遵循对数正态动力学。

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2022-6-8 20:26:34

跳跃幅度是由Ornstein-Uhlenbeck过程驱动的，因此stock价格保持对数正态分布，并且该模型具有股票欧洲看涨期权的封闭式价格。通过Orns-tein-Uhlenbeck过程与股票价格极端负相关，股票价格的高波动性与股息支付的低波动性得以调和(-95%). 该模型的一个主要缺点是股息可能为负。此外，虽然该模型有一个可跟踪的股票价格，但股息本身是不可跟踪的，需要蒙特卡罗模拟来为股息衍生产品定价。在最近的研究中，Buehler（2015）将股票价格分解为基本成分和剩余泡沫成分。股息被定义为二次驱动过程的函数，二次驱动过程意味着围绕风险泡沫成分的回归。该模型具有股息期货的封闭式表达式，但仍然需要蒙特卡罗模拟来预测非线性风险。Guennoun和Henry Labord\'ere（2017）考虑了一个随机局部波动模型，用于股票和股息衍生品的定价。他们的模型保证了对观察到的期权价格的完美拟合，但所有定价都基于蒙特卡罗模拟。Tunaru（2018）提出了两种不同的股息衍生品估值模型。第一个模型与Buehler等人（2010）的theone相似，但用β分布对跳跃幅度进行建模。这保证了积极的股息支付。然而，股票的不同噪音被认为取决于ord er中的跳跃幅度，从而可以对股息未来精神进行易于处理的表达。因此，不可能像Buehler等人（2010）那样，通过股票价格和跳跃幅度之间的负相关性来平滑分割的ds。

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2022-6-8 20:26:37

在第二种方法中，Tun aru（2018）直接利用不同的物流增长过程对累积股息进行建模。然而，这个过程不能保证是单调递增的，这意味着负红利可能频繁发生。Willems（2019b）联合规定了股票价格和股息率的动态，使得股票价格为正，股息率为非负过程平均值，围绕股票价格的恒定分数进行回复。Willems（2019b）模型实际上是本文介绍的一般框架的一个特例，尽管它不同于LJD模型，并且没有纳入随机利率。我们通过考虑随机利率来补充这篇文献，随机利率对于利率股息hybr id产品或长期divid end衍生工具（例如，dividendpaying股票）的估值很重要。我们的模型生成股息期货的封闭式价格，并具有期权价格的有效近似，其速度明显快于蒙特卡罗模拟。特别是，我们给出了一个在我们的框架中可以有效定价的股息利差混合操作的示例。通过股息和利率之间的负相关，股息和利率的低波动与股票价格的高波动相协调。我们的工作还涉及构建股息和利率综合框架的文献。以前的方法主要基于有效过程，参见Bekaert和Grinadier（1999）、Mamaysky等人（2002）、d\'Addona和Kind（2006）、Lettau和Wachter（2007、2011）、andLemke和Wer-ner（2009）。在最近的研究中，Kragt等人。

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2022-6-8 20:26:40

（2020年）通过估计四个不同股票市场中股票指数股息期货的两状态空间模型，从股息衍生品中提取投资者信息。他们没有单独建模股息和利率，而是选择在一个称为“贴现风险调整股息增长率”的单一变量中建模股息增长、无风险贴现率和风险溢价。Yan（2014）使用从看跌期权平价关系中提取的零息票债券价格和现值债权进行分割，以估计利率和股息的一个有效期限结构模型。Suzuk i（2014）使用Nelson-Siegel方法，通过股息期货和欧元银行同业拆借利率（Euribor swap rates）来估计Stoxx 50欧元的基本价值。我们通过使用多项式过程类构建股息和利率的综合框架来补充这一文献，其中包含传统的a ffne过程作为特例。最后，我们的工作还涉及基于矩的期权定价的文献。Jarrow和Rudd（1982）、Corrado和Su（1996b）以及Collin Dufresne和Goldstein（2002b）使用Edgeworth展开来近似可用时刻期权支付函数的密度。与之密切相关的是Gram-Charlier展开式，例如Corrado和Su（1996a）、Jondeau和Rockinger（2001）以及Ackerer等人（2018）对其进行了期权定价。尽管这些级数展开式允许获得一个积分为一的函数，并通过构造匹配任意数量的矩，但它不能保证为正。在本文中，我们找到了具有最大Boltzmann-Shannon熵的唯一概率密度函数。受到一定数量的力矩约束。然后通过数值积分得到期权价格。Fusai和Tagliani（2002）也采用了类似的方法来研究ice亚洲期权。

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2022-6-8 20:26:43

最大熵原理也被用于从期权价格中提取风险中性分布，参见Buchen和Kelly（1996）、Jackwerth和Rub instein（1996）、Avellaneda（1998）、andRompolis（2010）。为了找到满足一定数量的力矩约束的密度函数，有许多方法可以最大化熵。例如，可以最大化密度函数的平滑度（参见Jackwerth和Rubinstein（1996）），或者直接最大化（最小化）期权价格本身，以获得价格的上限（下限）（参见Lasserre et al.（2006））。不同方法的比较超出了本文的范围。本文其余部分的结构如下。第二节介绍了因子过程，并讨论了分割期货、债券和分红股票的定价。在第3节中，我们解释了如何使用最大熵矩匹配有效地近似期权价格。第4节描述了L JD模型。在第5节中，我们根据实际市场数据校准了节约型模型规范。第6节讨论了框架的一些扩展。第7节结束。所有证据和技术细节可在ap pendix中找到。2多项式框架我们考虑一个基于过滤能力空间的金融市场(Ohm, F、金融时报，Q），其中合格中介机构是风险中性定价措施。此后，Et[·]表示Ft条件期望。我们通过一个因子过程来模拟经济中的不确定性，在一些状态空间中取值 Rd.我们假设Xtis是一个多项式跳变差（cfr.Filipovi\'c和Larsson（2020）），动力学（1）dXt=κ（θ- Xt）dt+dMt，对于某些参数κ∈ Rd×d，θ∈ Rd和一些d-维鞅使得XT的生成元G将多项式映射到相同次数或更少次数的多项式。

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2022-6-8 20:26:47

多项式跳跃微分的一个主要特征是，它们允许封闭形式的条件矩。对于n∈ N、用Poln（E）表示E上N次或以下的多项式空间，用Nn表示其维数。让h，Hnn构成Poln（E）的多项式基，表示Hn（x）=（h（x），hNn（x））. 由于G保持Poln（E）不变，因此存在唯一矩阵Gn∈ RNn×nn表示g对Poln（E）相对于基Hn（x）的作用。在不丧失一般性的情况下，我们假设使用单项式基础进行工作。示例2.1。如果n=1，则H（x）=（1，x，…，xd）和Gbecomes（2）G=0 0κθ -κ.根据G的不变性，e上可以导出矩公式（定理2.4 infipovi'c和Larsson（2020））Et[Hn（XT）]=eGn（T-t） Hn（Xt），（3）表示所有t≤ T存在许多有效的算法来数值计算矩阵指数（例如，Al Mohy和Higham（2011））。2.1股息未来考虑以瞬时Dt向其所有者支付连续股息流的股票，该Dt随时间随机变化。我们将累积股息过程Ct=C+RTDSD建模为：（4）Ct=eβtpH（Xt），对于某些参数β∈ R和p∈ Rd+1表明CTI是一个正的、非递减的、绝对连续的（即仅漂移）过程。本规范仅适用于引脚s downDt，如下所示。提案2.2。（4）中隐含的瞬时股息率Dt由（5）Dt=eβtp给出（βId+G）H（Xt），其中Id表示单位矩阵。我们假设E有非空的内部。由于假设E的内部为非空，因此Poln（E）可以与Poln（Rd）以及因此而识别=n+dd.请注意，即时股息率和累计股息在因子过程中均呈线性负荷。带参数β的CTS指数标度有助于保证非负瞬时股息率。

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2022-6-8 20:26:50

实际上，如果（6）λ=supx∈E-pGH（x）pH（x）是finite，那么从（5）可以得出Dt≥ 0当且仅当β≥ λ.此外，当κ的所有特征值都有正实部时，由矩公式（3）得出→∞T- tlogEt【DT】DT= β.因此，参数β控制着分割的渐进风险中性预期增长率。指在到期日为t，t的未来时间间隔【t，t】内支付的分割数的连续按市值计价期货合约的时间t价格≤ T≤ T、由以下公式得出：Dfut（T，T，T）=EtZTTDSD公司= Et[电流互感器- CT]=peβTeG（T-t）- eβTeG（T-t）H（Xt），（7），其中我们在上一个等式中使用了力矩公式（3）。因此，在因子过程中，被分割的未来是线性的。请注意，股息期货的期限结构（即，不同时期的分割期货价格）并不取决于Xt可分割部分的规格。2.2债券和掉期通过ζt表示风险中性贴现因子。它与以下短期利率RTA有关：ζt=ζte-RTtrsds，0≤ t型≤ T、我们直接指定风险中性贴现因子的动力学：ζT=e-γtqH（Xt），（8）对于某些参数γ∈ R和q∈ Rd+1因此ζ是一个积极且绝对连续的过程。这与Ct的规格（4）相似，但为了允许负利率，我们不要求ζt单调（非递增）。Filipovi\'c等人（2017年）遵循类似的方法，并针对历史概率测度P规定了状态价格密度的线性动力学。他们的规定确定了风险的市场价格。结果表明，在这种情况下，因子过程的多项式性质在测度从P变为Q的情况下不保持不变。

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2022-6-8 20:26:53

然而，如（7）所示，Q下的多项式性质（尤其是线性drif t）对于股息期货合约的定价非常重要。我们明确计算第4节中研究的线性跳跃扩散模型的λ。在时间t支付一单位货币的零息票债券的时间t价格≥ t由以下公式给出：P（t，t）=ζtEt[ζt]。利用矩公式（3），我们得到了零息票债券价格（9）P（t，t）=e的线性有理表达式-γ（T-t） qeG（T-t） H（Xt）qH（Xt）。请注意，零息票债券价格的期限结构仅取决于Xt的漂移。与Inflipovi'c等人（2017年）类似，我们可以将外源f因子引入XT的鞅部分，以产生非退火随机波动性（参见Collin Dufresne和Goldstein（2002a）），但我们在本文中不考虑这一点。使用关系rt=-t log P（t，t）| t=t，我们得到以下短期利率的线性有理表达式：rt=γ-qGH（Xt）qH（Xt）。当κ的所有特征值都有正实部时，它遵循thatlimT→∞-对数（P（t，t））t- t=γ，因此γ可以解释为具有有限到期日的零息票债券的收益率。忽略贴现率和利率之间在流动性和信贷特征方面的差异，我们可以将掉期合约作为零息票债券价格的线性组合进行估值。首次重置日期为t的付款人利率掉期的时间t值≥ t，固定分期付款日期t<···<Tn，固定利率K由以下公式得出：（10）πswapt=P（t，t）- P（t，Tn）- KnXk=1δkP（t，Tk），δk=Tk- Tk公司-1，k=1，n、远期掉期利率定义为固定利率K，其使（10）的右侧等于零。

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2022-6-8 20:26:57

请注意，贴现掉期价值ζtπswapt成为Xt的线性函数，这对于定价期权的目的很重要。2.3以S表示的股息支付股票*t股票的基本价格，我们将其定义为所有未来股息的现值：（11）S*t=ζtEtZ∞tζsDsds.为了S*为了在我们的模型中明确，我们必须施加参数限制。以下命题提供了有关参数的充分条件，以及S的闭合形式表达式*t、后者是根据ζtDtis在Xt中是二次的这一事实推导出来的，因此我们能够通过矩公式（3）计算其条件期望。提案2.3。如果Gare特征值的实部在γ上有界- β、 thenS公司*由（12）S给出的定义*t=eβtwH（Xt）qH（Xt），其中w=(γ - β） Id号- G-1v和v∈ Rn是满足V的唯一坐标向量H（x）=p（βId+G）H（x）qH（x）。命题2.3表明贴现的基本股价ζtS*在Xt中是二次的，这特别意味着我们有ζtS的所有矩*tin闭合形式。粗略地说，只要股息以足够高的利率贴现（通过选择足够大的γ），基本股价将是确定的。此后，我们将假设满足第2.3项的假设。以下命题显示了我们用St表示的股息支付股票的价格如何与基本股票价格相关。提案2.4。当且仅当形式的STI=S时，市场是无套利的*t+Ltζt，（13）具有Lta非负局部鞅。这个过程可以被解释为一个泡沫，因为它在基本股价和观察到的股价之间形成了一个楔子。

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2022-6-8 20:27:00

如果Xt是连续的，则将其应用于（13），并利用ζt假设为绝对连续的事实，我们得到以下风险中性股票价格动态（14）dSt=（rtSt- Dt）Dt+eβtwJH（Xt）qH（Xt）dMt+ζtdLt，其中JH（x）表示H（x）的雅可比矩阵。按施工说明，ST具有正确的风险中性drif t。考虑到RTA和Dt的动力学，为推导定价目的建立ST模型的另一种方法是直接指定其鞅部分。然而，有了这样一种方法，保证积极的股票价格并非易事。事实上，瞬时股息率的下降可能会将股价推至负面区域。此外，通过直接指定股票价格的鞅部分，我们隐式地建模了一个泡泡，因为股票价格通常会大于所有未来股息的现值。相比之下，我们的方法暗示了一个m artin gale部分（第（14）节中的第二项），它可以保证股票价格为正。该鞅部分完全由给定的股息和利率规格决定。如果这对股票价格动态的限制太大，那么Buehler（2010、2015）在衍生定价的背景下特别强调了这一关系。如果Xt中有跳转，则可以派生一个类似但更长的表达式。

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2022-6-8 20:27:03

我们选择省略它，因为它不会给后面的讨论增加太多价值。我们不必从Dt的动态开始，而是可以为股息y字段Dt/St指定动态。这将有助于保持股价为正，但通常不会为Dt产生一个易于处理的分布。这是有问题的，因为股息衍生品参考在特定时间段内支付的名义股息支付。始终可以通过非负局部鞅Lt的规定进行相应调整。例如，Buehler（2015）在基本股票价格之上考虑局部波动模型，该模型单独校准为股票期权价格。备注2.5。泡泡通常与严格的局部鞅有关，参见Cox和Hobson（2005）。事实上，对于时间范围有限的经济体，只有当deflatedgains过程是严格的局部鞅时，才可能出现泡沫，根据Jarrow et al.（2007）的分类，这对应于类型3的泡沫。对于时间范围有限的经济体（在我们的体系中就是这种情况），即使通胀收益过程是一个真正的鞅，泡沫也是可能的。Jarrow等人（2007年）的分类中，此类气泡为1型和2型。具体而言，一个（一致可积）鞅L对应于一个类型2（类型1）的泡泡。T时的远期s股票价格≤ T定义为asF（T，T）=ζtEt[ζTST]P（T，T）。如果lti是真鞅，那么我们可以在我们的框架中使用动量公式（3）显式计算F（t，t）=Et[ζTST]Et[ζt]=e（β-γ） Tw公司Et[H（XT）]+Et[LT]e-γTqEt[H（XT）]=e（β-γ） Tw公司eG（T-t） H（Xt）+Lte-γTqeG（T-t） H（Xt）。我们在本节结束时给出了库存持续时间的结果。

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2022-6-8 20:27:07

我们将库存持续时间定义为（15）Durt=R∞t（s）- t） Et[ζsDs]dsζtS*t、股票存续期代表投资者等待领取股息的时间的加权平均值，其中权重是股息现值对最终股价的相对贡献。该定义是Dechow等人（2004）和Weber（2018）使用的定义的连续时间版本。以下命题在我们的框架中给出了股票持续时间的封闭式表达式。提案2.6。库存持续时间由（16）Durt=w给出[(γ - β） Id号- G]-1H（Xt）wH（Xt）。3期权定价在本节中，我们将讨论具有贴现支付函数的衍生品定价问题，这些函数在因子过程中不是多项式。多项式框架不再允许toprice以闭合形式对此类导数进行定价。然而，我们可以使用因子过程的可用时刻准确地近似价格。3.1最大熵矩匹配在下面遇到的所有示例中，我们考虑一个在时间T到期的导数，其贴现支付函数由F（g（XT））给出，对于一些g∈ Poln（E），n∈ N、和一些函数F:R→ R.该导数的时间t价格πtof由（17）πt=Et给出Fg（XT.如果随机变量g（XT）的条件分布是封闭的，我们可以通过在实线上积分F来计算πtb。然而，一般来说，我们只得到随机变量g（XT）的所有条件矩。因此，我们的目标是构造一个近似概率密度函数来匹配这些矩的有限个数。在第二步中，我们通过对F进行数值积分来近似期权价格th。鉴于函数是一个有限维对象，找到这样的函数f显然是一个不确定的问题，我们需要引入额外的标准来确定一个特定的函数。

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2022-6-8 20:27:10

工程和物理文献中的一个重要问题是选择熵最大的密度函数：（18）maxf-ZRf（x）ln f（x）dxs。t、 ZRxnf（x）dx=Mn，n=0，N、其中R R表示支撑，M=1，M，mn表示g（XT）的前N+1个力矩。Jaynes（1957）指出，最大化熵会将分布中最小数量的先验信息合并在一起，而不是施加动量约束，从而激发了这种选择。从这个意义上讲，对于有关分布的未知信息，它最大程度上是不明确的。关于f的直接函数变化给出了该优化问题的以下解决方案：f（x）=exp-NXi=0λixi！，x个∈ R、其中，拉格朗日乘子λ，λn必须根据力矩约束求解：ZRxnexp-NXi=0λixi！dx=Mn，n=0，N、（19）如果N=0，R=[0，1]，则恢复均匀分布。对于N=1和R=（0，∞) 我们得到指数分布，而对于N=2和R=R，我们得到高斯d分布。对于N≥ 3，需要用数值方法求解（19）中的系统，这涉及用数值方法计算积分。我们参考现有文献了解有关实施的更多详细信息，直接试图找到该系统的根源可能不会产生令人满意的结果。通过引入以下势函数，得到了一个更稳定的数值过程：P（λ，…，λN）=RRexp(-PNi=0λixi）dx+PNi=0λiMi。该函数很容易显示为处处凸（参见Mead和Pap an icolaou（1984）），其梯度对应于（19）中的力矩条件向量。换句话说，拉格朗日乘数可以通过最小化势函数P（λ，…，λN）来找到。

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2022-6-8 20:27:13

这是一个无约束的凸优化问题，我们有梯度和hessian的闭合形式（直至数值积分）表达式，这使得它成为一个用牛顿方法求解的原型问题。关于最大熵密度，参见Agmon等人（1979）、Mead和Papanicolaou（1984）、Rockinger和Jondeau（2002）以及Holly等人（2011）。备注3.1。通过随后结合迭代期望定律和矩公式（3），我们还能够计算Xt的有限维分布的条件矩。特别是，本节所述方法也可适用于价格路径相关衍生工具，其贴现支付取决于未来特定时间点的因子过程。这类产品的一个例子是股息期权，下文将对其进行讨论。3.2掉期期权、股票和股息期权到期日为t的付款人掉期期权的时间-t价格π掉期期权，赋予所有人在t进行（即期开始）付款人掉期的权利，由以下公式给出：π掉期期权=ζtEtζTπswapT+=ζtEt“ζT- ζTP（T，Tn）- KnXk=1δkζTP（T，Tk）+#=e-γ（T-t） qH（Xt）Et“q身份证件- e（G-γId）（Tn-T）- KnXk=1δke（G-γId）（Tk-T）哦！H（XT）！+#，我们在上一个等式中使用了（9）。观察到交换期权的贴现支付为（17）中的形式，F（·）=m ax（·，0），g是XT中的一次多项式。具有行使权和到期日t的股息支付股票的欧式看涨期权的时间t价格πstocktof由πstockt=ζtEt给出ζT（ST- K）+=ζtEt（LT+ζTS*T- ζTK）+=e-γ（T-t） qH（Xt）EteγTLT+eβTwH（XT）- qH（XT）K+,（20）我们在上一个等式中使用了（12）。如果（Lt，Xt）是一个多项式跳跃微分，我们可以计算随机变量eγTLT+eβTw的所有矩H（XT）- qH（XT）K并按照第3.1节中的说明进行操作。备注3.2。

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2022-6-8 20:27:16

如果假设过程Lt和Xt之间是独立的，那么（Lt，Xt）必须联合为多项式跳差的假设就不一定需要了。实际上，假设LTI规定为我们可以计算F（k）=e-γ（T-t） Et[（eγTLT- k） +]高效。根据迭代期望定律，我们得到πstockt=Et[F（g（XT））]qH（Xt），其中我们定义g（x）=-eβTwH（x）+qH（x）K∈ Pol（E）。上述表达式中的分子现在是（17）中的形式，我们继续前面的步骤。考虑下一个欧洲看涨期权，其股息在【T，T】、到期日T和行权价格K中实现。此类期权在欧洲交易所（EuroStoxx 50股息作为基础）积极交易。该产品的时间-价格πdivtof由πdivt=ζtEt“ζt给出ZTTDSD公司- K+#=ζtEt（ζT（CT- 计算机断层扫描- K）（）+=e-γ（T-t） qH（Xt）EtqH（XT）eβTpH（XT）- eβTpH（XT）- K+.我们可以用闭合形式计算标量随机变量q的所有矩H（XT）eβTpH（XT）- eβTpH（XT）- K通过依次应用迭代期望定律和矩公式（3），参见remark3.1。然后，我们像以前一样，找出与这些矩相对应的最大熵密度，并通过数值积分计算期权价格。3.3利率股息混合期权我们在本节中描述了一种利率股息混合期权，它直接暴露于股息支付和利率变动。考虑一个期限结构T<···<TN。在时间Tk，k=1。

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2022-6-8 20:27:20

，N，导数支付在[Tk]上实现的分割之间的差值的正p部分-1，Tk]，由Tk归一化-1-forward stock p rice，欠费复合无风险利率随恒定利差s增加∈ R： F（T，Tk-1） ZTkTk公司-1杜杜- （塔卡- Tk公司-1）（Rc（Tk-1，Tk）+s!+,其中，我们确定了拖欠复合无风险利率asRc（Tk-1，Tk）=Tk- Tk公司-1.eRTkTk公司-1 RUDU- 1..在伦敦银行同业拆借利率向替代无风险利率（ARFRs）过渡的背景下，这种支付结构尤其相关，在这种情况下，期限利率是通过将基于隔夜利率的基准利率每日组合而成的。在我们的设置中，我们通过短期利率代理隔夜利率，通过连续复利代理每日复利。价格πhybridT时间由πhybridT=ζTET“NXk=1ζTk给出F（T，Tk-1）（CTk- CTk公司-1) -ζTk-1ζTk- 1.- s（Tk- Tk公司-1)+#=ζTNXk=1ET“F（T，Tk-1） ζTk（CTk- CTk公司-1) -ζTk-1.- ζTk- sζTk（Tk- Tk公司-1)+#.我们可以用闭合形式计算标量随机变量SF（T，Tk）的所有FT条件矩-1） ζTk（CTk- CTk公司-1) -ζTk-1.- ζTk- sζTk（Tk- Tk公司-1），k=1，N、通过依次应用迭代期望定律和矩公式（3），参见remark3.1。然后，我们像以前一样，找出与这些矩相对应的最大熵密度，并通过数值积分计算期权价格。4线性跳跃扩散模型在本节中，我们给出了一个符合第2节多项式框架的因子过程的计算示例。在以下情况下，如果x∈ RDDiag（x）表示对角线矩阵x和x，xD在其对角线上。如果x∈ Rd×d，那么我们表示diag（x）=（x。

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2022-6-8 20:27:23

，xdd）.线性跳跃扩散（LJD）模型为因子过程dxt=κ（θ）假设了以下动力学- Xt）dt+diag（Xt-) （dBt+dJt），（21），其中bt是标准的d维布朗运动，∑∈ Rd×dis是主对角线上有非负项的下三角矩阵，jt是到达强度ξ的补偿复合泊松过程≥ 0和一个跳跃分布F（dz），该分布允许所有阶的动量。假设跳变幅度和泊松跳变均与扩散噪声无关。纯粹不同的LJD规范（即ξ=0）出现在各种金融环境中，如随机波动性（Nelson（1990），Barone Adesi et al.（2005）），能源市场（Pilipovi\'c（1997）），利率（Brennan and Schwartz（1979）），以及亚洲期权定价（Linetsky（2004），Willems（2019a））。ju mps的延期尚未受到太多关注。下面的命题验证了XT确实是一个多项式跳变差，并展示了如何选择参数，使XT具有正分量。提案4.1。假设矩阵κ具有非正对角元素，（κθ）i≥ 0，i=1，d、 F支持S (-1.∞)d、然后对于每个初始值X∈ (0, ∞ )D存在唯一强解Xtto（21），其值为（0，∞)d、此外，Xt是一个多项式跳跃微分。此后，我们将假设满足命题4.1的假设，因为它允许导出参数限制，以保证Ct>0、ζt>0和Dt≥ 0、为了拥有H（x）>0和q所有x的H（x）>0∈ (0, ∞)d、向量p和q必须具有非负分量，其中至少有一个分量与零不同。下面的命题引入了β的下界，使得Dt≥ 0、提案4.2。设p=（p，p，…，pd）∈ [0, ∞)1+D表示▄p=（p，…，pd）. 假设至少有一个p。

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2022-6-8 20:27:28

，Pd为非零，因此股息是不确定的。为了简单起见，我们假设一个具有单跳强度的复合泊松过程，但这可以被泛化（见Filipovi\'c和Larsson（2020））。失去一般性我们假设p，pk>0和pk+1，pd=0，对于某些1≤ k≤ d、如果用κj表示κ的第j列，那么我们有Dt≥ 0当且仅当（22）β≥最大值pκp，pκkpk如果p=0，最大值-pκθp，~pκp，pκkpk如果p>0。LJD模型允许通过矩阵∑在因子之间建立灵活的瞬时相关结构。这与非负跳差形成对比，非负跳差是术语结构建模中的一种流行选择，当需要非负因素时，参见，例如，Du ffe et al.（2003）。事实上，一旦一个人在非负跳变差的因素之间产生非零瞬时相关性，a ffene（和多项式）属性就会丢失。可以使用因素之间的相关性来合并利率和股息的期限结构之间的依赖关系，但也可以在单个期限结构中建模依赖关系。LJD模型还考虑了状态相关、正负、跳跃大小等因素。这再次与非负跳差形成对比。下面的命题给出了相应矩阵的特征值，即κ的三角形式假设。结合命题2.3，这为保证LJD模型中的固定股价提供了充分的条件。提案4.3。如果κ是一个三角形矩阵，那么矩阵Gare0的ei genvalue，-κ, . . . , -κdd，-κii- κjj+（∑∑）)ij+ξZSzizjF（dz），1≤ i、 j≤ d、 Gcoincide的特征值与第一行上的值。5数值研究在本节中，我们使用彭博社2015年2月至4月的每日市场数据校准了一个节俭的LJD模型规范。

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2022-6-8 20:27:31

此校准练习的目的是显示节约型模型规格能够再现市场上的衍生产品价格。我们没有在历史概率测度下指定模型的动力学。因此，我们不研究风险溢价随时间的演变，只关注衍生品的风险中性定价。我们将风险溢价的研究留给未来研究。5.1数据说明我们校准研究中的派息股票是欧元区领先的蓝筹股指数Stoxx 50。该指数由来自12个欧盟rozone国家的行业领先公司的50只股票组成。我们选择将重点放在欧洲市场，因为欧洲斯托克50指数期货合约是世界上流动性最强的，其存续时间比任何其他市场都长。Kragt等人（2020年）报告称，所有到期日的平均每日营业额合计超过1.5亿欧元。Eu ro Stoxx 50分割期货合约在Eu rex上交易，并参考在给定日历年内由指数除数在除息日分配的指数成分上宣布的普通总现金股利（或现金等价物，如股票股利）的总和。导致指数除数变化的公司行为不包括在股息计算中，例如特别和非常股息、资本回报、股票价格等。在样本的每一天，每年有10份合同可供交易，到期日为12月3日星期五。具体而言，第k个到期合同，k=1，10，指2014年12月第三个星期五+k期间支付的股息- 1和2014年12月的第三个星期五+k。我们使用Kragt et al。

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2022-6-8 20:27:34

（2020年）签订期限为1至9年的合同。在校准中，我们使用期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年和9年的合同。图1a显示了1年、5年、7年和9年到期的两极间股息期货价格。除了欧元Stoxx 50股息期货合约之外，还有exchan ge交易的已实现股息期权。期权的到期日和参考股息与相应期货合同的到期日和参考股息一致。在每个校准日期，我们都会考虑到期日为2年的ATM股息期权的Black（1976）隐含波动率。由于股息期权合同有固定的到期日，我们插入第二个和第三个到期ATM期权合同的隐含波动率。图1b描绘了股息期权随时间的隐含波动性。利率的期限结构根据欧洲即期起始掉期合同进行校准，参考期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年和10年的六个月欧元银行同业拆借利率（Euribor）。图1c绘制了期限为1年、5年、7年和10年的掉期的面值掉期利率。此外，我们还包括到期时间等于3个月的ATM掉期期权和期限为10年的基础掉期。这些是欧盟ropean市场中流动性最强的固定收益工具之一。掉期期权按正常隐含波动率报价，并绘制在图e 1d中。我们还考虑ATM履约且到期日为3个月的欧元Stoxx 50指数期权。它们的价格以Black-Scholes隐含波动率报价，并与股息期权隐含波动率一起绘制在图1b中。

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2022-6-8 20:27:37

图1e绘制了欧元Stoxx 50指数随时间变化的水平。5.2模型规格我们提出了一种节省的四因素LJD规格，Xt=（XI0t、XI1t、XD0t、XD1t）无跳跃dXI0t=κIXI1t- 19吨dtdXI1t=κI（θI- XI1t）dt+σIXI1tdB1tdXD0t=κDXD1t- XD0tdtdXD1t=κD（θD- XD1t）dt+σDXD1tρdB1t+p1- ρdB2t,（23）我们还可以校准模型，而无需对数据进行任何插值。然而，为了使顺序校准的拟合误差随着时间的推移更具可比性，我们选择插入所有仪器条目，以确保它们具有恒定的到期时间。我们对总隐含方差σBlackτ进行线性插值，其中σBlack表示隐含波动率，τ表示期权的到期日。带ρ∈ [-1，1]，κI，κD，κI，κD，θI，θD，σI，σD>0，和X∈ (0, ∞). 根据命题4.1，XT取（0，∞). 由于我们只在校准中包括ATM strike选项，因此我们选择不在动力学中包括任何跳跃，以保持参数数量较小。我们定义了累积股息过程asCt=eβtXD0t，因此xd0t和xd1t决定了股息的期限结构。相应的瞬时股息率为dT=eβtβ - κDXD0t+κDXD1t.使用命题4.2，我们保证Dt≥ 0，要求β≥ κD.为了进一步减少参数的数量，我们设置了β=κD，使得Dt=eβtβxd1和xd0不再进入Dt的动力学。因此，我们可以规范化C=XD=1。贴现系数过程定义为ζt=e-γtXI0t，因此，xi0t和xi1正在驱动利率的期限结构。

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2022-6-8 20:27:40

相应的短速率becomesrt=（γ+κI）- κIXI1tXI0t，从下到上不受限制，由γ+κI限定。用正常数除以ζtb不会影响模型价格，因此出于识别目的，我们将θI=1标准化。矩阵κ是上三角形，由κ给出=κI-κI0 00κI0 00 0κD-κD0 0κD.假设κ的对角元素与特征值重合，均为正。因此，我们可以将γ解释为渐近零息票债券收益率，β解释为渐近风险中性预期股息增长率。利用命题2.3和4.3，我们在模型参数上引入以下约束，以保证确定的股票价格：γ- β>最大值0，（σI）- 2κI，（σD）- 2κD，σIσDρ- κI- κD.参数ρ∈ [-1，1]控制利率和分割ds之间的相关性。具体而言，d利率和短期利率之间的瞬时相关性由（24）d[d，r]tpd[d，d]tpd[r，r]t=-ρ、在第2节描述的更一般的多项式框架中，可以降低短期利率的下限。例如，可以使用紧支撑多项式过程，类似于inAckerer和Filipovi\'c（2020）。对于常数k>0，（~XI0t，~XI1t）=（kXI0t，kXI1t）的动力学由（d ~XI0t=κI）给出XI1t-~XI0tdtd▄XI1t=κI（▄θI-~XI1t）dt+σIXI1tdB1t，其中θI=kθI。（~XI0t，~XI1t）的动力学形式与（XI0t，XI1t）的动力学形式相同。其中[·，·]t表示二次协变量。ρ前面的负号出现是因为布朗运动b1t驱动贴现因子，贴现因子与短期利率负相关。我们设置Lt≡ 0表示节约，因此股票价格等于所有未来股息的现值，即St≡ S*t、 5.3校准我们使用Elder-Mead单纯形算法最小化模型和市场价格之间的平方差之和。

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2022-6-8 20:27:43

待优化的参数为β、κD、θD、κI、κI、γ、σD、σI和ρ。我们提出了一种有效的方法来过滤样本每天的潜在因素XD1t、XI0t和XI1。对于给定的一组参数，d ividend期货价格（7）是XD1t的线性函数。我们通过分割期货价格的线性最小二乘回归来求解XD1T。贴现掉期价值ζtπswaptin（10）是最新因子xi0t和XI1t的线性函数。将It^o引理应用于ζtDt，可以得出贴现股票价格ζtS*t=Et[R∞（8）和（12）给出的ζsDsds]是XD1t、XI0t、XI1t、XI0tXD1t和XI1tXD1t的线性组合。由于我们已经从股息未来价格中解决了XD1t，ζtS*t模拟XI0T和XI1t的线性功能。我们通过掉期利率和股票价格的加权线性最小二乘回归来求解XI0和XI1。我们为股票价格分配了相对较大的权重，以确保其与模型精确匹配。尽管第3.1节中描述的期权定价技术在理论上适用于任何数量的力矩约束，但一方面计算力矩，另一方面求解拉格朗日乘数会带来计算成本。在校准过程中，我们使用高达四阶的矩对互换期权、股息期权和股票期权进行定价。准确期权价格所需的矩数取决于支付函数的具体形式和模型参数。例如，图2显示了第3.3节中描述的互换期权、股息期权、股票期权和混合期权的价格，以获得不同数量的匹配矩和一组现实的参数。对于混合选项，我们设置T-T=1，N=1，且排列s使得选项为ATM。SWOPTION、dividendoption和stock OPTION与校准中使用的选项具有相同的特性。

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2022-6-8 20:27:46

作为基准，我们对模型进行了蒙特卡罗模拟。我们用一个简单的Euler格式在一周的频率下离散（23），并模拟10个轨迹。我们观察到，使用四到五个矩产生的价格近似值非常接近Monte Carlobenchmark。我们从2015年2月、3月和4月开始，连续将模型校准到一个月的每日数据。表1分别显示了第二、第三和第五列的绝对定价误差。考虑到参数数量相对较少，fit非常好。股息期货的平均绝对相对误差小于1%，很少有例外。s wap费率的平均绝对误差按所有期限和所有三个月的基点顺序排列。该模型仅包含两个波动率参数（σi和σD），但并非所有参数都能与平均期权价格产生相对较好的拟合。Eurostoxx 50指数水平几乎完美匹配，由于我们使用的加权最小二乘法掉期利率权重相对较大，掉期价值定义为零。此外，我们还使用相应的远期合约作为控制变量。这种方差减少技术将蒙特卡罗估计量的方差大约减少了因子4。回归以过滤潜在因素。表1的第四列和第六列显示了样本定价错误。具体而言，在第四列（第六列），我们使用2月（3月）数据校准的参数计算3月（4月）的定价误差。在这个样本外练习中，fr eedom的唯一程度是潜在因素的值，如前所述，我们将其过滤掉。样本外定价准确性的损失不大，这说明该模型是可靠的。表2显示了校准参数。

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