学习型实物期权中的技术不确定性

2022-6-9 18:58:37

《能源市场杂志》，ForthcomingAli Al-Aradia，\'Alvaro Carteab，Sebastian JaimungalcaDepartment of Statistical Sciences，University of Toronto，Toronto，CanadabMathematic Institute，University of Oxford，Oxford，UKOxford Man Institute of Quantitative Finance，Oxford，UKcDepartment of Statistical Sciences，University of Toronto，加拿大多伦多Abstractwe引入了一种新方法，将不确定性纳入到对Acomodity reserve的投资决策中。该投资是一种不可逆转的一次性资本支出，之后投资者从提取商品并在现货市场出售中获得一系列现金流。投资者面临价格不确定性和储量中可用资源量的不确定性（即技术不确定性）。然而，她确实通过时间了解到了储备水平，这是投资决策的关键决定因素。为了建模储备水平的不确定性以及她如何了解储备中商品的估计，我们采用连续时间马尔可夫链模型对投资储备的期权进行估值，并调查投资前学习的价值。关键词：实物期权；不确定性投资；技术不确定性；不可逆性1。引言做出投资决策的最佳市场条件是什么，这是学术文献中广泛研究的问题，也是不确定条件下项目评估和执行的核心关键问题。一些投资项目有权推迟决策，直到市场条件达到最佳状态。这个选项很有价值，因为决策是在决策产生的潜在收益最大化时做出的。

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2022-6-9 18:58:40

McDonald和Siegel（1986）的经典著作是第一部将投资问题正式化的著作。我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见。电子邮件地址：ali。al。aradi@utoronto.ca（阿里·阿拉迪），阿尔瓦罗。Cartea@maths.ox.ac.uk（\'Alvaro Cartea），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（SebastianJaimungal）作为投资项目的实物期权。在他们的工作中，期权的价值是通过比较当前投资价值与未来投资价值的差异来计算的。具体而言，实物期权isOt的值=supτ∈TE公司e-ρ(τ -t）（Vτ- Iτ）+, （1）式中，T是一组可容许的F-停止（行使）时间，ρ是风险调整后的贴现率，vt和it分别是项目价值和（沉没）成本。传统上，项目价值和成本采用几何布朗运动（GBM）建模。该问题的解表明，最优投资策略是当Vt/I的比率达到临界边界B时进行投资（最优报废/剥离问题类似，Vt和Itreversed的作用相同）。最近，几位作者利用均值回复项目价值和成本研究了这一问题（见Metcalf和Hasset（1995）、Sarkar（2003）、Jaimungal等人（2013））。在另一篇经典论文中，Brennan和Schwartz（1985）专注于胺的管理（控制产量、开/关矿山、废弃等），而不是最佳时机问题（另见Dixit（1989））。管理决策由输出价格调整，输出价格建模为GBM，而成本是已知的。这些经典著作没有考虑与储量水平相关的不确定性。为了解释这种“技术不确定性”，Pindyck（1980）开发了一个模型，其中需求和储备水平随着方差的增加而不断变化。

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2022-6-9 18:58:45

此外，最优策略受到勘探的影响，并以两种不同的方式作为政策（即控制）变量引入。第一种方法允许探索效应影响“知识”水平，从而减少储量波动的差异。第二种假设，储量的发现速度取决于：过去已经发现了多少，当前的影响量，以及外部噪音。针对技术不确定性投资时机问题的最新方法包括Armstrong等人（2004年）使用贝叶斯更新，Elliott等人（2009年）使用马尔可夫链建模项目成本，以及inSadowsky（2005年）使用比例建模学习。此外，Cort\'azar et al.（2001）描述了评估几个阶段勘探的综合方法，解决了时间问题，并提供了投资管理（关闭、打开等）决策规则——另见Brennan和Schwartz（1985）。其他将实物期权技术纳入商品和能源灵活性评估和投资决策的工作包括Himpler和Madlener（2014），他们研究了风电场重新供电的最佳时机；Taschini和Urech（2010），他们研究了在不同情景和燃料激励下切换燃料的选择；Fleten et al.（2011）研究了在两个地点之间选择电力互连器容量的选项，Cartea和Gonz\'alez Pedraz（2012）将电力互连器视为两个地点价格差异的实物期权流。与此同时，Cartea和Jaimungal（2017）研究了模型不确定性对不可逆投资的影响。这项工作通过结合市场和储量的不确定性来补充文献，同时允许代理人了解储量的状态。

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2022-6-9 18:58:48

储量不确定性由马尔可夫链模型表示，该模型的转移率随着时间的推移而衰减，以模拟学习的概念。该模型是在石油勘探的背景下建立的，但是，它可以应用于其他商品投资问题，如贵金属或贱金属开采以及天然气田。我们通过开发一种傅里叶时空步进法来评估投资勘探的不可逆选择权，如Jackson等人（2008）、Jaimungal和Surkov（2011）以及Jaimungal和Surkov（2013）分别针对股票、商品和利率衍生品。关于商品和算法交易中的模糊规避和模型不确定性的其他工作，请参见Cartea et al.（2016）、Carteaet al.（2017）、Cartea et al.（2018），如果可以获得勘探成本和产量估计，则模型的校准相对简单。我们展示了如何使用该模型来评估勘探成本是否保证从发现储量和提取储量中获得潜在利益。具体而言，我们展示了如何计算延迟投资期权的价值，并讨论了代理人的最佳投资阈值。该阈值（也称为行使边界）取决于许多变量和因素，包括：代理人对储备量的估计、代理人了解储备量的速率、代理人提取商品的速率以及期权到期。我们表明，等待和学习选项的价值在开始时很高，随着选项到期的临近，逐渐降低，因为代理几乎没有剩余的学习时间。我们假设投资成本取决于储量。如果估计量较高（分别较低），则提取商品的沉没成本较高（分别较低）。

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2022-6-9 18:58:51

这会影响投资的最佳时间，以及确定沉没成本的现货价格水平。例如，我们表明，当交易量估计值较低，且投资期权远未到期时，代理人设置了一个较高的投资阈值，这是由于两个影响，使得延迟投资期权具有价值。首先，低交易量需要较高的大宗商品现货价格来证明投资的合理性。第二，距离到期还有很长一段时间，投资者非常重视等待和了解储量的估计量。另一方面，随着期权接近到期，这两种影响变得越来越弱。特别是，学习的价值很低，因为没有时间了解储量估计，所以投资决策仅仅基于考虑到商品的现货价格、商品提取率以及其不确定性，是否会收回成本。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了建模框架的详细信息，包括我们如何对基础项目中的技术不确定性和不确定性进行建模。此外，我们还为代理人通过勘探了解保护区环境提供了一种方法。接下来，第3节对傅立叶时空步进法进行分析，以评估不可逆学习投资中的早期锻炼特征。第4节展示了如何校准模型，以估算勘探成本和本次勘探的预期效益。第5节提供了一些数值实验来证明该方法的有效性，并分析了模型的定性行为及其含义。最后，我们为今后的工作提供了一些总结和想法。2.

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2022-6-9 18:58:55

模型假设在本节中，我们为推动实物期权价值探索和（不可逆转地）投资项目的两个不确定性来源提供了模型。此处描述的环境在一定程度上针对石油勘探进行了调整，但是，可以对其进行修改，以处理其他活动，包括采矿、天然气和页岩气以及其他自然勘探。我们设置的另一个扩展是考虑封存勘探和/或开采的选项（一旦开采开始），以及可能在勘探和投资中产生的其他管理灵活性。例如，见McDonald和Siegel（1985年）、Dixit和Pindyck（1994年）、Trigeorgis（1996年）、Tsekrekos（2010年）、Jaimungal和Lawryshyn（2015年）以及Kobari等人（2014年）。我们首先描述如何建模技术不确定性，然后描述如何建模项目价值不确定性。通常，我们假设一个过滤的概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中过滤{Ft}t≥0将在稍后阶段进行更详细的描述。我们还假设存在一个等价鞅测度，或风险中性测度，Q，下面的所有模型都是根据这个概率测度编写的。2.1. 技术不确定度t V=（Vt）t≥0表示估计储量（水平）过程，θ为真实储量。投资者不知道真实的储量θ，如果在时间t时有可用的信息，可以将其视为一个随机变量，但它将显示为t→ ∞. 为简单起见，我们假设可能的储量水平及其估计值采用一组有限的可能储量值。我们将估计储量水平建模为一个连续时间（非均匀）马尔可夫链，因为储量估计会随着勘探获得的新信息而更新。

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2022-6-9 18:58:58

此外，为了证明随着时间的推移获得更多信息，估计的准确性会提高，我们假设随着时间的推移，体积估计状态之间的转换率会降低。此外，我们假设limt→∞Vt=θ几乎可以肯定地反映出前面提到的特性，即真实的储备水平是通过我们需要假设的通道向投资者揭示的∞ 几乎可以肯定。时间的问题。更具体地说，估算储量vt由有限状态、连续时间、非齐次马尔可夫链Zt调节，取{1，…，m}的值viaVt=v（Zt），（2），其中常数v（1），···，v（m）∈ Rm+（3）是可能的保留卷。马尔可夫链Zt的生成矩阵用GT表示，并假设其形式为GT=htA，（4），其中htA是确定性的非负时间递减函数，因此htt→∞---→ 0andR∞hudu<∞, A是一个常数m×m矩阵，Pnj=1Aij=0，对于i 6=j，Aij>0。马尔可夫链的状态对应于储量水平的各种可能估计，从而捕获这些估计中的不确定性。函数HTCapture捕获代理如何了解储备中商品的数量。h的减小意味着转移率也在减小，因此估计体积的变化概率随着时间的推移而减小，因此估计变得更加准确。不可逆勘探投资的最佳政策，以及基于商品开采的项目后续价值，自然取决于观察到的储量估计——第4节详细讨论了HTA和A的形式，以及如何根据数据进行校准。2.2.

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2022-6-9 18:59:01

市场不确定性第二个不确定性来源于商品的现货价格，该价格由S=（St）t决定≥0，并被建模为Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的指数：St=exp{θ+Xt}，（5a），其中OU过程X=（Xt）t≥0满足随机微分方程（SDE）dXt=-κXtdt+σdWt，（5b），其中W=（Wt）t≥0是一个标准的布朗运动（与Z无关），κ>0是平均回复率，θ是平均回复的（对数）水平，σ是的（对数）波动率。我们原则上可以通过写出Vt=E[θ| Gt]，其中G=（Gt）t来推导出这样一个模型≥0表示生成真实储量信息的过滤器。在一些特定的建模假设下，V可以转化为马尔可夫链表示。我们选择不深入研究这些细节，因为这有损于我们提议的方法的含蓄性，而是直接使用模型V。现货价格。此类商品现货价格模型在文献中得到了广泛应用，如Cartea和Figueroa（2005）、Weron（2007）、Cartea和Williams（2008）、Kiesel等人（2009）、Coulon等人（2013）。既然我们已经确定了储备商品存量及其市场价格的模型，那么我们需要一个最终要素：储备商品的市场价值。我们用过程P=（Pt）t来表示这个值≥0并演示如何分步计算。假设在时间t进行投资，然后提取商品 ≥ 0之后，提取继续，直到随机（停止）时间τ=t+ + .在这里 > 0表示完成提取过程所需的时间量。投资者不知道储备中有多少商品，因此耗尽时间（和提取持续时间）是一个随机停止时间。

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2022-6-9 18:59:05

我们还注意到，工程和物理限制阻止了储备中储存的商品总量的提取，相反，只有γθ是可提取的，0<γ<1。消耗的随机时间与未知的总储量θ通过提取率相关。特别是，我们有：Zt++t型+g（u）du=γθ，（6），其中g（u）表示时间u的提取率。我们假设一旦开始提取，商品以g（u）=αe的速率提取-β（u-（t+)), u∈ [t+, t+ + ] , （7）其中α≥ 0和β≥ 图1显示了指数提取率的样式化图片（7）。根据（7）中的特定提取率模型，消耗时间可以写为 = -β对数1.-βαγ θ, （8）这是一个随机变量，因为θ只被称为t→ ∞.开采开始时，储量的价值由许多因素决定，包括：商品价格、与储量不确定性相关的马尔可夫链状态以及储量耗尽的随机时间。

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2022-6-9 18:59:10

具体而言，以g（u）提取商品并以现货价格出售所产生的现金流的贴现价值由DCFT=Zt给出++t型+e-ρ（u-t）（苏- c） g（u）du，（9）一个很好的例子是储存的天然气，其中总是有无法从储存中提取的残留物。图1：一旦代理人在时间t投资于储量，开采开始时间t+ 并持续到提取实际（未知）储量的γ百分比，该百分比出现在随机时间t+ + .式中，ρ是代理人对其承担的项目风险水平的贴现系数，c是指只要开采作业持续，投资者就会产生的运营成本。为了计算储备中商品的市场价值（我们用Pt表示），我们计算从出售提取商品获得的现金流的预期贴现价值。即，我们在（9）中插入：商品的现货价格（5），在（8）中给出的提取完成时间，以及提取率（7）。最后，我们将DCFt的期望值取为pt=E[DCFt | Ft]=EZt公司++t型+e-ρ（u-t）（英尺（u）- c） g（u）du英尺, （10）式中，Ft=σ（苏、武）u∈[0，t]是由S和V产生的自然过滤（或相当于前面介绍的马尔可夫链Z），在风险中性度量Q和Ft（u）=E[Su | Ft]=expθ+e-κ（u-t） x+σ4κ1.- e-2κ（u-t）是标的资产的远期价格。因此，（10）中的期望值超过了消耗的随机时间, 这进一步取决于储量。为了计算这个期望值，我们需要未知储量水平θ的条件分布，即我们需要Pθ=v（j）| Ft. 假设θ=limt→∞Vta。s、，这需要确定底层马尔可夫链极限的条件分布。

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能者818

2022-6-9 18:59:14

具体而言，Pθ=v（j）英尺= P限制→∞Vt=v（j）英尺= P限制→∞Zt=jZt=i=eHtA公司ij，其中Ht=R∞thudu，符号[·]ij表示方括号中矩阵的ij元素，回想一下上文（4）中定义了矩阵A。因此，储量预期折现值的最终表达式为：isPt=p（Zt）（t，Xt）=mXj=1eHtA公司Zt，jZt+-β对数1.-βαγv（j）t型+e-ρ（u-t）（英尺（u）- c） g（u）du。（11）该表达式有两个不确定性来源，第一个来源于通过OU过程Xt得出的社区现货价格，第二个来源于通过马尔可夫链状态Zt得出的储量估计。由于提取率模型在时间上呈指数衰减，参见（7），可以根据特殊函数写出方程式（11）右侧的积分，但是，这样的重写不会增加清晰度，因此我们选择保持如上所示的积分。3、实物期权估价既然我们有了储备价值的模型，我们将重点放在开发商品储备所需的成本和灵活性的价值上，以决定何时进行投资。投资保护区的成本是不可逆的，用I（k）表示，其中k是储量估算的制度。在这里，我们假设成本I（k）与产量估计有关，因为提取大型储备可能需要比从小型储备中提取商品所需的更大的前期投资。我们假设投资成本isI（k）=c+cv（k），（12），其中c≥ 0是固定成本，c≥ 0，并记住v（k）是可能的保留卷，请参见（3）。请注意，投资成本取决于储量估算。

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2022-6-9 18:59:17

这反映了投资者将根据其对储量的估计来确定开采规模的事实：他们认为储量越大，所需的开采规模就越大。运行成本c确保投资者的运行成本仍然与真实准备金金额挂钩。我们用Lt=`（Zt）（t，Xt）表示选项的值，其中函数集合`（1）（t，x）`（m）（t，x）表示状态Zt=1，…，条件下的实物期权值，m（上标索引）和Xt=x。代理人必须在timeT之前做出决定，否则他们将失去进行投资和开采储量的选择权。标准理论表明，不可逆地投资于储备的期权的价值，以及开始的不确定性，由最优停止问题给出：Lt=supτ∈TE公司e-ρτmaxPτ- I（Zτ），0|英尺（13a）=supτ∈TE公司e-ρτmaxPτ- I（Zτ），0|Zt，Xt. （13b）这里，T表示允许的停车时间集，是限制在ti=i的Fstopping时间的有限集合t、 i=0，N带tN≤ T换句话说，代理仅限于在ti日做出投资决策。在此期间，代理可以获取更多信息，以改进其储量估计。为了便于标注，我们定义了偏差值过程‘’（j）（t，x）：=e-ρt`（j）（t，x），（14）并观察到，在投资日期之间，j=1，····，m的衰减值过程`（j）（t，x）是鞅。此外，由于在投资日期之间没有行使期权的机会，`（j）（t，x）与欧洲债权相同，支付额等于下一个行使日期的价值。因此，\'`（j）（ti，x）=最大值限制↓ti‘’（j）（t，x）；e-ρtip（j）（t，x）- I（j）, （15）式中，p（j）（t，x）如（11）所示，并且回想一下，j=1。

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2022-6-9 18:59:21

，m表示政权状态。最后，在间隔t中∈ （ti，ti+1）过程‘’（j）（t，x）满足耦合系统of PDES(t+L）`（j）（t，x）+htmXj=1Ajk `（k）（t，x）=0，t∈ （ti，ti+1），（16），其中L=-κxx+σXXI是过程Xt的最小生成器。（15）中的最大化表示代理人在tior立即投资时持有投资期权的选择权。如果第二个论点达到最大值，则代理人行使其选择权，以I（j）的成本投资储备，并获得现金流p（j）（t，x）的预期贴现价值，该现金流p（j）（t，x）是在现货市场提取和出售商品的结果。该投资决策通过制度j与储量估计值挂钩。不同的制度j将导致不同的行权政策，我们将在下一节探讨这种关系。Jaimungal和Surkov（2011）研究了由L'evy过程驱动的多重商品的期权，受他们工作的推动，我们通过使用'`（j）（t，x）相对于x的傅里叶变换递归求解PDE（16）系统，我们用'`（j）（t，ω）表示。具体来说，我们写`（j）（t，ω）=Z∞-∞e-ωx‘（j）（t，x）dx和‘（j）（t，x）=Z∞-∞eiωx `（j）（t，ω）dω2π，（17）式中=√-1、将傅立叶变换应用于（16），我们得到了一个新的PDE，它不含抛物项，它依赖于状态变量ω而不是状态变量x，即：t+（κ-σω) + κ ω ω`（j）（t，ω）+htmXj=1Ajk `（k）（t，ω）=0。（18）在区间（tk，tk+1）内，我们引入一个移动坐标系，并写出^`（j）（t，ω）= `（j）（t，e-κ（tk+1-t） ω），去掉ω中的导数，我们发现函数^`（j）满足耦合线性常微分方程组t^′（j）（t，ω）+κ -σωe-2κ（tk+1-t）^`（j）（t，ω）+htmXj=1Ajk^`（k）（t，ω）=0。

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2022-6-9 18:59:24

（19）通过写入A=U DU-1其中，U是A的特征向量矩阵，D是A的特征值对角矩阵，上述耦合常微分方程组可以被改写为独立的常微分方程组，其矢量形式如下：t型U-1^′（t，ω）+ψ（ωe）-κ（tk+1-t））I+htDU-1^`（t，ω）=0，（20），其中^`（t，ω）=（1）（t，ω），^`（n）（t，ω）），ψ（ω）=κ-σω和I是n×n单位矩阵。这些不耦合的常微分方程有解u-1^`（t+k，ω）=expZtk+1tkψ（ωe-κ（tk+1-s））ds I+Ztk+1tkhsds DU-1^’（tk+1，ω）。（21）式中，^`（tk+，ω）=limt↓tk^′（t，ω）。接下来，我们左乘U得到^`（t+k，ω）=expZtk+1tkψωe-κ（tk+1-s）ds公司经验值Ztk+1tkhsds A^`（tk+1，ω），（22）且不可逆投资期权波动值的傅立叶变换为`（t+k，ω）=expZtk+1-tkψ（ωeκs）ds经验值Ztk+1tkhsds A~`tk+1，ωeκ（tk+1-tk）. （23）这个结果有几个有趣的特点。第一，均值反转的作用与推动产量估计的马尔可夫链脱钩。第二，时间t+kat频率ω的值取决于时间tk+1at频率ωeκ（tk+1）的值-tk）。这需要在频率空间中进行外推，因为计算选项值的算法会在时间上后退。当我们将状态空间离散化时，这种外推可能导致不准确的结果，因为状态空间的边缘是外推值的最重要贡献。相反，我们在傅里叶变换中利用了频率和实空间之间的逆关系∞-∞eiωxg（x/a）dx=Z∞-∞ei（aω）xg（x）dxa=a▄g（aω），写入▄`（t+k，ω）=expZtk+1-tkψ（ωeκs）ds经验值Ztk+1tkhsds A`（tk+1，ω），其中`（tk+1，x）=`（tk+1，x e-κ（tk+1-tk）和`表示``的傅里叶变换。因此，实物期权在t+kis时的投资权利极限值是根据x的插值（而不是ω的外推）确定的。

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2022-6-9 18:59:28

在图2中，我们总结了不可逆地投资储备的实际期权的估值方法。1、设置实空间和频率空间网格x=[-x：x:x]，x=e-κtx和ω=[0：ω : ω].2、放置终端条件：`（tn，x）=e-ρtn（P（tn，x）- 一） +。3、设置k=n.4。从tk+1后退到tk：（a）` tk+1=interp（x，` tk+1，x）（b）` tk+1（ω）=F[` tk+1（x）]（c）` t+k（x）=F-1.eRtk+1-tkψ（ωeκs）dseRtk+1tkhsds A` tk+1（ω）（d） ` tk=最大值\'t+k（x）；e-ρtk（P（tk，x）- （一）+5、设置k→ k- 1，如果k≥ 0转到步骤4。图2：计算不可逆投资储备期权价值的算法。4、校准和学习利用第2节中的模型和第3节中开发的评估程序，我们详细讨论了马尔可夫链参数的校准程序和（4）中给出的投资者学习函数Ht。总体思路是使用投资者关于估计的先验信息来确定可能的储量估计，以马尔可夫链的状态表示，以及基本生成器矩阵的转移率。下一步是使用关于未来某个日期可以减少多少剩余估计方差的信息来校准学习函数。4.1. 马尔可夫链参数的校准在时间t=0时，代理对真实储量进行估计，用u表示，并对估计的波动性进行估计，用σ表示。因此u=E[θ| F]和σ=V[θ| F]。（24）校准程序的第一步是选择马尔可夫链状态下的储备量状态，即选择v（1），v（m）。由于储量的t=0估计值代表储量的无偏估计值，因此马尔可夫链应在储量的初始估计值周围对称。

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2022-6-9 18:59:31

为了确保这种对称性，我们假定（i）马尔可夫链状态的基数为奇数，即对于某些正整数L，m=2 L+1；（ii）v（L+1）=u，其中u是储量的初始估计值，（iii）v（k）以k为单位增加，（iv）v（L+1+i）- u = u - v（L+1-i），则， i=1，L（25）我们进一步假设代理人对交易量的估计是正态分布的（该假设可以修改为代理人认为代表其先验知识的任何分布）：θ| F~ N（u，σ），（26）因此，我们选择v（k）在正态随机变量支持的N个标准偏差上等距分布，即，我们选择v（k）=u- nσ+（k- 1） 2 nσm- 1. k=1，m（27）在储量估计器的状态上放置对称性不足以确保其分布的对称性。我们进一步要求基本生成器速率矩阵A中的对称性，并假设Aλ1,1=-λ、 Aλ1,2=λ，（28a）Aλi，i-1=λi，Aλi，i=-2λi，Aλi，i+1=λi，i=2，L，（28b）AλL+1，L=λL+1，AλL+1，L+1=-2λL+1，AλL+1，L+2=λL+1，（28c）Aλm-i、 m级-我-1=λi，Aλm-i、 m级-i=-2λi，Aλm-i、 m级-i+1=λi，i=1，L- 1，（28d）Aλm，m-1=λ，Aλm，m=-λ. （28e）对于λ={λ，λ，…，λL+1}的某个集合，其中λ，λ，λL+1>0。这里λ，{λ，…，λL}和λL+1分别确定了边缘态、内部态和中间态的跃迁速率。λ的形式确保仅在相邻状态之间发生跃迁，并确保跨越平均估计的状态跃迁速率的对称性。对参数λ进行校准，使θ的不变分布在无需学习的情况下与正态随机变量的离散近似值一致，平均值为u，方差为σ。这确保了马尔可夫链生成的不变分布等于储量分布原始估计值的离散近似。

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2022-6-9 18:59:35

形式上，让Pλ=eAλ表示一个时间单位后的转移概率，让πλ表示P的不变量分布，即πλ解特征值问题Pπλ=πλ。然后，我们选择λ，使得πλ=Φu，σv（1）+v（2）- Φu,σ五（1）+五（1）-五（2）- 五（1）, （29a）πλ=Φu，σ（v（i+1）+v（i））- Φu,σ（v（i）+v（i）-1)), i=2，2L，（29b）πλm=Φu，σv（m）+v（m）+v（m）- v（m-1)- Φu,σ（v（m）+v（m-1)), （29c）其中Φu，σ（·）表示具有平均u和方差σ的正态分布的正常累积密度。请注意，Φu，σ是在可能储量之间的中点进行计算的，我们通过线性外推获得边缘状态的方程。4.2. 校准学习函数随着时间的推移，代理收集有关储备商品数量的更多和更好的质量信息。因此，预计储量中估计体积的方差将在一定时间内从σ减小到σT<σ。具体σT=V【θ| FT】。（30）该参数以及初始储量估计方差σ是学习函数的主要决定因素。为了节约，我们假设代理的学习函数的形式为ht=a e-b t对于某些a，b>0，其中参数a表示马尔可夫链状态之间的初始转移率，即h=a，因此反映了储量初始估计的不确定性。学习参数b表示代理学习的速率–b越大（或越小），学习过程越快，因为b的大（或小）值会使过渡速率随着时间的推移衰减得更快（或更慢），因此储量估计值很快（或更慢）变得稳定。

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2022-6-9 18:59:38

回想一下，学习率函数在马尔可夫链的生成矩阵中起着关键作用，参见（4），因为它捕获了代理如何学习储备中商品的数量。校准学习率函数h中的参数，以遵守约束条件（24）和（30）。由于基态跃迁速率A的对称性和剩余体积态v（k）的对称性，我们自动满足平均约束Tse[θ| v=u]=u，E[θ| VT=u]=u。（31）为了满足方差约束，我们需要Markovchain从时间t的任意状态到其有限视界状态的转移概率，我们表示pt，ij：=P限制→∞Zt=j | Zt=i, bept，ij=经验值R∞图杜A.ij公司=经验值abe公司-b tAij。（32）请注意，上面等式的右侧是矩阵指数，与前面一样，符号[·]ij表示方括号中矩阵的ij元素。现在我们必须求解参数a和b的两个耦合非线性方程组：σ=V[θ| V=u]=2L+1Xk=1v（k）（p0，Lk- u，（33a）σT=V[θ| VT=u]=2L+1Xk=1v（k）（pT，Lk- u），（33b）原则上，我们可以开发一个可以校准到一系列时间和方差的模型，然而，一步缩减足以说明此缩减中的基本思想。其中，V[···]是以第二个参数中的事件为条件的第一个参数的方差运算符。之后，所有技术不确定性模型参数都将根据初始储量估计的分布特性进行校准，并根据学习结果减少方差。现在可以使用第3节中的方法来评估通过学习投资保护区的不可逆期权的价值，图2所示的算法中给出了该方法的总结。

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2022-6-9 18:59:42

可以通过在没有学习的情况下考虑期权价值，并将其与没有学习的期权价值进行比较，来评估勘探价值，从而提高服务量估计值的方差。5、数值结果在本节中，我们研究了agent的最佳运动策略，并评估了学习的价值。在整个过程中，我们使用以下参数和建模选择：o储量。初始储量估算：u=10，初始储量估算方差：σ=3×10投资成本。固定成本参数：c=10，可变成本参数：c=3×10。这意味着当储量估算值最低时，投资成本为1.12×10，当储量估算值最高时，投资成本为1.48×10期权到期。T=5年，包括255周其他模型参数：–基础资源模型参数：κ=0.5，θ=log（100），σX=0.5贴现率：ρ=0.05–萃取率参数：α=1，β=0.05，γ=0.9， = 2.–马尔可夫链参数：31个状态。此外，我们将考虑缓慢学习和快速学习的情况，我们通过将储量估计方差的减少量（σT=2.5×10与σT=10）更改为T=2年来建模。我们还将考虑有无运行成本的情况（分别为c=20和c=0）。最后我们通过设置a=1和b=0.4 6 8 10 12 14 1600.020.040.060.080.10.120.140.160.184 6 8 10 12 14 1600.020.040.060.080.10 120.140.160.18图3：在缓慢学习的情况下，在t=0和t=2（方差缩减时间段）下，以初始估计u=v（L+1）为条件的真实储量的模型隐含分布快速学习（右面板）。

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2022-6-9 18:59:45

直线对应于参数不变分布的正态近似u, σ和u，σT, 分别地图3显示了学习对真实储备量分布的影响。我们发现，在慢速和快速学习的情况下，分布（以初始储量估计为条件）在中部各州更为高峰。这反映了一个事实，即投资者已经了解了更多关于储备金额的信息，并且考虑到他们在t=2时处于中间状态（校准方差减少的时间范围），他们现在更倾向于相信u是真实的储备金额。这种影响在缓慢学习的情况下是轻微的，而在快速学习的情况下则更为明显，因为投资者在相同的时间内对储备有了更多的了解，因此更加自信。请注意，模型隐含概率仅在t=0时与正态近似值匹配，因为这是校准程序中施加的唯一约束。图4显示了以不同速率学习和进行不同体积估计（即马尔可夫链的不同状态）的代理的最佳运动边界。为简单起见，我们仅显示中间州附近的部分州，因为这些州代表了投资者最相关的交易量估计。图中的y轴显示了投资者行使期权的商品现货价格，x轴是以年为单位计算的时间。图中显示，随着代理行的交易量估计值增加，行使边界下降，因为更大的储备需要更低的商品现货价格来证明投资的合理性。我们观察到，学习的快慢对运动边界的形状有着深远的影响。

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2022-6-9 18:59:50

在无学习的情况下，此边界不会随时间增加，而慢速和快速学习的情况会导致练习边界为非0 1 2 3 52025303540455055600 1 2 3 4 52025303540455055600图4：不同储量估算的练习边界状态，当代理的学习率较低（左侧面板）时，与产生运行成本时的高（右侧面板）相比。较亮的线对应较高的储量估计，红色虚线对应中间状态（初始储量估计），蓝色线是没有学习时的练习边界。琐碎的形状，包括以不同的利率增加和减少，行为变化取决于投资者的主要储量估计。这些曲线的一般形状解释如下：当投资者处于较低状态（即储量估计值较低）时，边界正在增加，以便在储量估计值增加的情况下，学习过程能够潜在地推动估计值上升，从而导致更高的项目价值。最终，投资者认为，学习过程提供了足够的信息，可以证明他们目前所处的任何状态实际上都是真实的储量。此时，练习边界返回到典型的递减模式。这个“反射点”发生的时间取决于学习的速度：当学习速度快时，这种转变来得更快。图5显示了当代理不产生运行成本时，针对不同的卷状态的练习边界。观察快速和慢速学习情况下的练习边界与图4中的边界具有相同的一般形状。

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2022-6-9 18:59:53

增加运营成本的影响是行使边界向上平行转移，因为在核算运营成本后，商品现货价格必须更高，以证明投资的合理性。图6比较了不同学习率下不同时间点的期权价值，假设投资者的估计值等于初始估计值。我们将其与不学习的情况进行比较，与学习的情况相比，不学习对成熟时间非常不敏感。我们发现，等待和学习期权的价值在一开始就很高，并注意到，由于期权的价值在不学习的情况下随到期时间的变化非常轻微，因此，当代理的学习率较低时（左面板），当代理的学习率较高时（右面板），等待和学习期权的价值变化非常小。图5：不同储备估计的行使边界不会产生运行成本。较亮的线对应较高的储量估计，红色虚线对应中间状态（初始储量估计），蓝色线是没有学习时的练习边界。50 100 150 200456789101101050 100 150 2004567891011010图6：期权价值作为现货价格随时间变化的函数，假设储量估算等于中间状态（初始估算），Vt=u，慢速学习（左面板）与快速学习（右面板）。虚线对应于投资者未学习时到期的期权价值。随着期权到期日的临近，期权价格会逐渐下降，因为代理人几乎没有时间学习。正如预期的那样，在快速学习案例中，这种价值下降会加速，因为投资者在更早的时间点对准备金金额更加确定。请注意，在图6中，我们仅在t=0时绘制无学习选项值曲线。在其他州，时间推移对期权价值的影响是不同的。6.

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2022-6-9 18:59:56

结论在本文中，我们展示了如何将技术不确定性纳入商品储备投资决策。这种不确定性源于不知道储备中储存的商品数量，并与储备价值的不确定性相混合，因为未来的现货价格未知。代理人有权在进行不可逆转的投资以开发商品储备之前观望。在我们的模型中，随着时间的推移，代理人了解储备中储存的商品的数量，因此推迟投资的选择是有价值的，因为它允许代理人在收回投资之前学习并等待最佳市场条件（即商品的现货价格）。我们采用连续时间马尔可夫链对储量和技术不确定性进行建模。在我们的模型中，代理可以随着时间的推移了解储量，并且估计的准确性也会随着时间的推移而提高。我们展示了如何计算延迟投资期权的价值，并讨论了代理人的最优投资阈值。我们展示了运动边界如何取决于代理人对容量的估计（取决于马尔可夫链状态），以及该边界如何取决于确定其储量估计的速率。例如，我们表明，当投资期权离到期还有很长一段时间，且数量估计值较低时，对于能够快速了解储量的代理而言，等待和收集更多信息的价值要高于学习率很低的代理。参考文献参考文献Armstrong，M.、A.Galli、W.Bailey和B.Cou¨et（2004）。将技术不确定性纳入石油项目实物期权估价。《石油科学与工程杂志》44（1），67–82。Brennan，M.J.和E.S.Schwartz（1985）。评估自然资源投资。

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2022-6-9 19:00:02

《商业杂志》58（2），135–157。Cartea、\'A.、R.F.Donnelly和S.Jaimungal（2017年）。具有模型不确定性的算法交易。暹罗金融数学杂志8（1），635–671。Cartea、A.、R.F.Donnelly和S.Jaimungal（2018年3月）。《金融高性能计算：问题、方法和解决方案》（第1版）。，第十章投资组合清算和歧义厌恶，第十页CRC金融数学系列。查普曼和霍尔。Cartea，'A.和M.G.Figueroa（2005年）。电力市场定价：一个具有季节性的均值回复跳跃扩散模型。应用数学金融12（4），313–335。Cartea，'A.和C.Gonz'alez Pedraz（2012年）。我们应该为互联电力市场支付多少费用？实物期权方法。能源经济学34（1），14–30。Cartea，'A.和S.Jaimungal（2017年）。不可逆转的投资和模糊厌恶。《国际理论与应用金融杂志》20（07），1750044。Cartea、A.、S.Jaimungal和Q.Zhen（2016年）。商品市场中的模型不确定性。暹罗金融数学杂志7（1），1-33。Cartea，\'A.和T.Williams（2008年）。英国天然气市场：风险的市场价格和对多个可中断供应合同的应用。能源经济学30（3），829–846。Cort\'azar，G.、E.S.Schwartz和J.Casassus（2001年）。最优勘探投资低于价格和地质技术不确定性：一个实物期权模型。研发管理31（2），181–189。Coulon，M.、W.B.Powell和R.Sircar（2013年）。德克萨斯电力市场中对冲负荷和价格风险的模型。能源经济学40976–988。Dixit，A.（1989年）。不确定性下的出入境决策。《政治经济学杂志》97（3），620–638。Dixit，A.和R.Pindyck（1994年）。不确定性投资。普林斯顿大学出版社。Elliott，R.J.、H.Miao和J.Yu（2009年）。体制转换下的投资时机。

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kedemingshi

2022-6-9 19:00:05

《国际理论与应用金融杂志》12（04），443–463。Fleten，S.-E.、A.M.Heggedal和A.Siddiqui（2011年）。诺威和德国之间的输电能力：实物期权分析。《能源市场杂志》4（1），121。Himpler，S.和R.Madlener（2014年）。风电场重新供电的最佳时机：双因素期权分析。《能源市场杂志》7（3），3。Jackson，K.、S.Jaimungal和V.Surkov（2008年）。Levy模型期权定价的傅里叶时空步进法。计算金融杂志12（2），1–29。Jaimungal，S.、M.O.De Souza和J.P.Zubelli（2013年）。具有平均回报投资和项目价值的实物期权定价。《欧洲金融杂志》19（7-8），625–644。Jaimungal，S.和Y.Lawryshyn（2015年）。将管理信息纳入实物期权估价。《商品、能源和环境金融》，第213-238页。斯普林格。Jaimungal，S.和V.Surkov（2011年）。基于L'evy的跨商品模型和衍生评估。暹罗金融数学杂志2（1），464–487。Jaimungal，S.和V.Surkov（2013年）。使用多因素模型评估早期行使利率期权。《国际理论与应用金融杂志》16（06），1350034。Kiesel，R.、G.Schindlmayr和R.H.Boerger（2009年）。面向电力市场的双因素模型。定量金融9（3），279–287。Kobari，L.、S.Jaimungal和Y.Lawryshyn（2014年）。评估环境政策对油砂扩张率影响的实物期权模型。能源经济学45155–165。McDonald，R.和D.Siegel（1985年）。当有选择关闭时的投资和企业估值。《国际经济评论》26（2），331–349。McDonald，R.和D.Siegel（1986年）。等待投资的价值。《经济学季刊》101（4），707–728。Metcalf，G.和K.Hasset（1995年）。

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