确定是否可以使用当前存在的任何信息预测收益时间序列的未来值，无论我们是否可以访问它，都是不切实际的。相反，我们专注于量化是否可以使用我们确实可以访问的数据预测时间序列，从时间序列的所有过去值开始，然后推广到我们可以访问的任何信息流。4.1. 自动可预测性对于回报的时间序列，我们可以说，当其过去的值能够有效减少未来值的不确定性时（即当其具有足够的内存时），它是自动可预测的。当{yt}是（强）平稳的时，熵氯酸盐h（{yt}）总是存在的，它可以在[5]中的方程（12.38）中显示出来。图9：资产类别内部多元化和跨资产类别多元化的比较。我们考虑三种资产，即道琼斯工业平均指数（EQ）、18种交易最活跃的全球货币（FX）和20种交易最活跃的美国期货合约。对于上述矩阵中的每一个对角线平方，我们计算由列（diversi fier）添加到由行（diversi fied）定义的宇宙中的宇宙中的平均增量差异Anaset。对于对角线正方形，我们计算了由列/行定义的宇宙中一项资产与宇宙其他部分相加的平均增量差异。附录B中提供了所考虑资产的完整列表以及其他设置详细信息。thath（{yt}）=limT→+∞h（yT | yT-1.y） 。（47）此外，可以显示h（yT | yT-1.

，y）随T减小。因此，PR（{yt}）：=h（yt）- 我们注意到，对于平稳过程，h（{yt}），（48）不依赖于t，它可以被视为在t的任何时刻，通过知道t的所有返回率，可以最大程度地减少返回的不确定性，这使得它适合于量化返回的可预测性。我们将PR（{yt}）命名为时间序列{yt}的自动可预测性度量。备注4.1。自动可预测性度量是通过a ffine变换变化的α、 β6=0，PR（{αyt+β}）=PR（{yt}）。命题4.1确认无记忆时间序列是最不可自动预测的。提案4.1。设{yt}为平稳离散时间随机过程，使得| h（yt）|<∞.然后，PR（{yt}）≥ 此外，PR（{yt}）=0if且仅当（y，…，yt）对于任何T是联合独立的。证据PR（{yt}）=极限→+∞h（yT）- h（yT | yT-1.y） ，h（yT）-h（yT | yT-1.y）≥ 每T为0，随T增加。因此，PR（{yt}）=0如果且仅当ifh（yt）- h（yT | yT-1.y） =每T为0，当且仅当（y，…，yT）对每T联合独立时成立。关于自动预测性度量的另一个观点是通过指出pr（{yt}）（49）=limT→+∞TDKL[p（y，…，yT）| p（y）…p（yT）]。提示：h（yT | yT-1.y）≤ h（yT | yT-1.y） andh（yT | yT-1.y） =h（yT-1年至今-2.y） 强平稳性。换句话说，自动预测性的衡量标准是回报时间序列与其无记忆等价物之间的KL发散率。这进一步证实了命题4.1和备注4.1。事实上，对于任何光滑的双射f，备注4.1可以将toPR（{f（yt）}）=PR（{yt}）化为一般化。4.2.

估计与增量多样性类似，自动可预测性的测量可以使用无模型方法、非参数方法或最大熵方法进行估计。无模型估计：在无模型的情况下，我们要求时间序列是平稳的和遍历的，但不一定是高斯的。根据推论3.2和3.3，^H（ymt）1-c（T）kPki=1ci（T）！，（50）其中{ymt}是{yt}的离散化版本，精度为m，^H（ymt）是离散熵H（ymt）和c（T）和ci（T）面积的原始频率估值器，根据推论3.3，是自动可预测性度量的一致（in（m，T））估值器。非参数估计：谱分析方法要求假设{yt}是一个平稳且遍历的高斯过程，在这种情况下，h（yt）=log（2πeVar（yt）），（51），由于遍历假设，样本方差提供了Var（yt）的一致估计。此外，我们还记得h（{yt}）=4πZ2πlog4πef（ω）dω，（52），其中f是{yt}的谱密度函数。因此，h（{yt}）可以在与前一节相同的时间内进行估计，首先通过平滑的周期图来估计光谱密度【10、11、12、27】，然后使用求积技术来估计积分。最大熵估计：自动可预测性度量的最大熵估计很容易从第3.4.3节中找到，以读取pr（{yt}）=log^γ（0）- 日志det公司^Γpdet公司^Γp-1.,式中，p、^γ（0）和^Γ根据第3.4.3.4.3节进行比较。外生可预测性自动可预测性的度量可以很容易地扩展到向量值时间序列asPR（{xxxt}）：=h（xxxt）- h（{xxxt}），（53），命题4.1仍然适用。

我们进一步扩展了这种可预测性度量，以捕获未来收益不确定性的减少，这不仅是因为我们知道当前和过去的收益，而且更普遍地说，我们知道任何给定因素或信号集的当前和过去值。定义4.1。我们用{xxxt}PR（{yt}|{xxxt}）表示{yt}可预测性的度量：=h（yt）- h（{yt}|{xxxt}）。（54）PR（{yt}|{xxxt}）表示通过观察因子或信号{xxxt}和{yt}的过去值，可以实现的未来回报值不确定性减少的最大量。直观地说，当两个进程相互独立且{yt}无记忆时，我们期望PR（{yt}|{xxxt}）最小。以下命题证实了这一点。提案4.2。设{yt}和{xxxt}是两个平稳的离散随机过程，使得| h（yt）|，| h（xxxt）|<∞. 然后，PR（{yt}|{xxxt}）≥ PR（{yt}）≥ 此外，PR（{yt}{xxxt}）=PR（{yt}）当且仅当{yt}和{xxxt}是独立的，并且PR（{yt}{124;{xxxt}）=0当且仅当{yt}和{xxxt}是独立的并且（y，…，yt）对于每个T是联合独立的。证据类似于命题4.1的证明。图10：交易最活跃的全球货币、美国股票和美国国债近收盘日收益率自动预测的最大熵估计。S、 期货。附录B中提供了资产符号到名称的映射以及其他设置细节。与一维情况一样，使用{xxxt}的{yt}可预测性度量也可以解释为联合过程{yt，xxxt}与分布与{yt，xxxt}相同的过程之间的KL发散率，除了第一个坐标过程（对应于{yt}）独立于其他坐标过程（对应于{xxxt}）且无记忆外。4.4.

插图让我们考虑AR（1）时间序列yt=φyt-1+ t、 直观地说，φ越低，时间序列越接近其创新白噪声，因此我们预计时间序列的自动预测性越低。此外，当时间序列与其创新白噪声相等时，即φ=0时，我们预计它是不可预测的。图（11a）和（11b）证实了这一点，其中我们用标准的Student-t噪声计模拟了{yt}，ν=4个自由度。再一次，最大熵和非参数估计几乎完全一致。对于无模型方法，它展示了正确的模式，尽管它的数据效率低于其他两种方法，因为它在相同样本量T下具有更高的估计方差。当自预测性度量很小时，无模型方法不可靠，甚至可能产生负估计；应首选非参数和最大熵方法。接下来，我们考虑评估交易最活跃的全球货币、美国蓝筹股和美国期货的可预测性。我们使用（a）T=2000（b）T=10000图11：AR的自动可预测性度量（1）yt=φyt-1+ t具有4个自由度的标准Student-t噪声。估计是基于大小为T的样本。对于非参数估计，我们使用Welch方法[27]获得了光谱密度的估计，该方法具有汉宁窗，窗大小等于100，重叠50%。对于无模型方法，我们将m设置为2-mis等于样品标准偏差的1/5。对于最活跃的美国蓝筹股，道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average）的成分股。对于期货，我们根据2017年的日均交易量选择了20个最活跃的期货，交易对象包括onICE、CME Group和CBOE。申报表将于2008年1月1日至2018年1月1日每日关闭。

对于货币，我们使用东部时间下午5点作为结算价，对于期货，我们使用收盘价。图（10）总结了结果。总体而言，可以看出，金融资产的自动可预测性与预期相当低，远低于我们在综合实验中获得的值（图（11a）和（11b））。然而，返回的时间序列不是白噪声，它们不显示内存，有些比其他更大。事实证明，股票比货币和期货更容易预测。未来的自动可预测性在很大程度上取决于一份合同到另一份合同。例如，小麦期货（W）是所有三种资产类别中最不可预测的资产之一，而玉米期货（ED）是68种资产中第二最可预测的资产。货币的可预测性在很大程度上有所不同。5、量化对分配尾部的影响衡量一项资产的收益{yt}可能对参考池{xxxt}中的尾部产生的影响，应隐含或明确地解决两个问题：新资产可能经历的尾部事件有多大，以及新资产的尾部事件与参考池的尾部事件相比在量级上如何？为了便于统计估计，我们再次假设{yt，xxxt}是一个联合平稳的andergodic离散时间过程。传统上，在一维情况下，分布是否有重尾通常与其大于2的偶数矩是否大于具有相同均值和方差的高斯分布的偶数矩有关。这种分布的例子是所谓的轻轨分布，定义为其第四个中心动量（也称为峭度）定义为kurt（yt）=E的分布年初至今- E（yt）pVar（yt）！（55）高于高斯分布，我们记得是3。

在[28]asKurt（xxxt）=E中，该度量扩展到多维情况ψ（xxxt）（56）式中ψ（xxxt）：=（xxxt- E（xxxt））TCov（xxxt，xxxt）-1（xxxt- E（xxxt）），对于长度为n的多变量向量，它等于n（n+2）。峰度比kr（xxxt）：=Eψ（xxxt）因此，n（n+2）可被视为参考池中资产回报率的衡量指标。注意到，当xxxt是多元高斯分布时，ψ（xxxt）遵循具有n个自由度的χ分布，并回顾具有n个自由度的χ分布的p阶矩-1i=0（n+2i），因此峰度比可以推广到尾比的更高阶矩，我们定义了Asr（xxxt；p）：=E（ψ（xxxt）p）Qp-1i=0（n+2i），p≥ 2.（57）峰度比对应于特殊情况p=2。然而，总的来说，p越大，尾比对极端事件越敏感。量化新资产对参考池尾部影响的一种自然方法是比较有无新资产的参考池尾部比率，例如通过差异（xxxt；p）- TR（yt，xxxt；p）。这种想法的主要限制是，当参考池中的资产数量n非常大时，反转协方差矩阵Cov（xxxt，xxxt）在数值上很难处理或不稳定（即容易出现病态）。为了避免这一限制，我们将XXXT替换为最佳复制portfolioreturns y*t： =xxxTtω*+1.- 1TΩ*rf，我们用YT替换创新或跟踪错误t： =年初至今- y*t、 我们通过比较最佳复制投资组合y的尾比率来衡量对尾部的影响*t、 有无创新术语tIT（yt，xxxt；p）=TR（y*t；p）- TR公司(t、 y型*t；p） 。（58）为了证实它确实衡量了新资产对现有参考池的影响，我们回顾了几个场景。

当（yt，xxxt）是jointlyGaussian时，也是(t、 y型*t） 对于所有p，它（yt，xxxt；p）=0≥ 2、当xxx为高斯分布时，y也为高斯分布*t、 andTR（y*t；p） =1，因此它（yt，xxxt；p）仅反映创新项尾部的非高斯性t、 相反，当TR（y*t；p） 6=1，这通常是因为xxx是非高斯的，更准确地说是因为xxx有重（轻）尾ifTR（y*t；p） >1（分别为TR（y*t；p） <1）。更一般地说，当新资产的创新（相对于参考池）使尾部更重时，IT（yt，xxxt；p）<0成立，IT（yt，xxxt；p）≥ 否则为0。我们的工作假设是{t} 6=0，yt的尾部对XXX尾部的影响程度在最佳复制投资组合和跟踪误差中得到充分反映，我们使用它（yt，xxxt；p）来量化对投资组合尾部的影响。何时{t} =0时，可以使用现有资产完全复制新资产，因此它不会影响引用池的尾部。在这种情况下，按照惯例，我们为每个β和p设置它（βtxxxxt，xxxt；p）=0。至于估计，它（yt，xxxt；p）可以以一致、快速和稳健的方式进行估计，因为由于我们的平稳遍历假设，方程（57）中的期望可以用样本平均值代替，并且串联y*去皮不相关，因此只需估计方差，这可以使用样本方差一致地完成。5.1. 插图我们比较股票和货币的尾部。作为股票的代理，我们使用道琼斯工业平均指数（DJIA）的成分，作为货币的代理，我们使用18种流动性最强的电子交易外汇兑美国。对于每项资产，我们计算2008年1月1日至2018年1月1日期间的每日收盘收益率。排序样本峰度如图（12a）所示。

对于每对货币，我们计算其对道琼斯工业平均指数组成部分尾部的影响；如图（12b）所示。对于道琼斯工业平均指数的每一个组成部分，我们计算它对我们货币世界尾部的影响；这如图（12c）所示。瑞士法郎美元的过度峰度可部分归因于-2011年9月，瑞士法郎开始盯住欧元，日均上涨9%；2015年1月，瑞士法郎取消盯住欧元，日均上涨17%。考虑到这种波动和相应的样本峰度（250）是多么不寻常，我们预计瑞士法郎兑美元将对道琼斯指数成分股的走势产生不利影响；正如图（12b）所示，我们的尾部撞击测量确实捕捉到了这一点。同样，样本峰度第二高的思科系统公司（Cisco Systems，Inc.）（CSCO）通过尾部影响的测量发现，对我们的一篮子货币尾部的影响最为严重，如图（12c）所示。然而，总的来说，比较样本峰度并不是一种精确到足以评估尾部撞击的方法。例如，当新资产的样本峰度大约等于参考池中资产的中值样本峰度时，仅从样本峰度就不清楚我们是否使用东部时间下午5点作为货币的每日切割。新资产将对尾部产生正面或负面影响。JPYUSD和PLNUSD的情况就是这样，它们的样本峰度（分别为7.21和7.72）与DJIA成分的中值样本峰度最接近，即7.62。另一方面，我们的方法粒度足够细，可以发现，尽管它们的rkurtose最接近JIA成分的中值峰度，但JPYUSD对DJIA尾部的影响最大，而PLNUSD对DJIA尾部的影响最为严重。

这是因为JPYUSD的尾部事件主要反映在DJIA成分中，而PLNUSD的尾部则更为特殊。有趣的是，有12种货币对的样本峰度低于JPYUSD，但对Ndjia尾部的影响比JPYUSD更大。6、量化被动投资的适用性一项新资产是否适合被动投资归结为一个人是否能够在不经常改变投资决策的情况下获得适当水平的风险调整回报，一个极端的例子就是购买和持有资产或卖空资产并长期持有短期头寸。作为一项有用性标准，被动投资的适用性主要取决于非常大的投资经理，如aspension基金、社会保障基金等，这些基金由于其规模，无法在市场上过于活跃，从而有可能支付过高的交易成本并侵蚀其回报。因此，什么是“体面的”风险调整回报可以由养老基金和类似大型投资经理喜欢的资产风险调整回报（如蓝筹股、ETF、指数基金和其他被动基金）来推动。为了对长期和短期被动策略进行统一处理，我们引入了资产a的双向夏普比率，该比率具有静态回报序列{yt}，我们将其定义为BSR（a）：=| E（yt）|- 钢筋混凝土- rfpVar（yt），（59），其中E（yt）是资产的预期总回报（即，在任何成本之前，如交易成本、交换和经纪费、卖空借款成本等），rcis是在一定时期内产生的总运营成本，以及在E（yt）>0时长期持有资产，在E（yt）<0时短期持有资产所产生的每单位财富的总运营成本，rfis是无风险利率。

当E（yt）<0时，购买和持有资产是一种亏损策略，但由于yt是总/无摩擦回报（所有运营成本均为印度卢比），出售资产实际上是运营成本的赢家策略，预计净运营成本回报将为-E（yt）- rc，预计净超额收益率将为-E（yt）- 钢筋混凝土- 射频。当E（yt）>0时，购买和持有资产是一种获胜的策略，总运营成本和预期净超额回报率超过无风险利率（yt）- 钢筋混凝土- 射频。因此，总体而言，双向夏普比率代表了通过被动投资一项资产（多头或空头）可以获得的每单位风险的最佳预期净超额回报率。我们的工作假设是，资产适合被动投资的程度是指其双向夏普比率在多大程度上是大型投资经理所追求的参考资产池的典型比率。因此，量化被动投资的适用性需要准确估计持续的夏普比率，并量化其与吸引大型资产管理公司的资产的“相似性”。作为我们量化被动投资适用性方法的一部分，需要解决一个关键问题。为了清晰起见，让我们考虑一个具有假阳性概率p的被动投资适用性统计测试，即测试得出资产实际上不适合被动投资的结论的概率。当测试针对m项资产独立运行时，至少一项资产被错误分类为适合被动投资的概率（1- (1 - p） m）≈ mp，其中近似值适用于小p。

由于第一个m- 1失败，在这种情况下可能包括借款成本、买入askspread、经纪成本等。在这种情况下，可能包括持仓成本、买入askspread、经纪成本等。（a）各种股票的排名样本峰度。S、 蓝筹股和货币对。（b） 18种流动性最强的电子交易外汇对道琼斯工业平均指数成分股尾部的影响。（c） 每个道琼斯工业平均指数成分股对一篮子18种最具流动性的电子交易外汇对美国的影响。图12：股票和货币尾部分析。所有资产的特点是每日接近收盘的回报率。使用方程式（58）对撞击尾翼进行评估，p=2。附录B中提供了资产符号到名称的映射以及其他设置细节。第m次测试的假阳性概率不再是p，而是增加到（1- (1 - p） m）≈ 议员。这种情况通常发生在投资过程中，当基金经理和投资组合经理探索各种各样的策略时，其中大多数策略都会根据其经脆弱性调整后的表现而被放弃，直到他们找到一种似乎非常适合其需要的策略。因此，被动投资适用性的良好衡量标准应根据导致资产选择的失败尝试次数（如有）进行调整。这并不是说我们对双向夏普比率的估计会被多次试验所破坏，而是我们使用它来推断被动投资的适用性应该考虑到之前尝试的失败试验的数量。这一问题通常被称为反向测试过度拟合，并在第6.3.6.1节中讨论。估计双向夏普比率我们通过将等式（59）中的E（yt）和Var（yt）替换为样本估计来估计双向夏普比率。

根据我们的遍历假设，得到的估计量是一致的。为了使双向Sharpe比率独立于样本频率，我们倾向于估计年化双向Sharpe比率，我们通过计算月收益来获得该比率，我们假设月收益在时间上是独立的，使用公式（59）来估计月双向Sharpe比率，然后将月双向Sharpe比率乘以√12、我们更喜欢使用月度回报，并通过√过度处理每日退货并通过√252因为后者要求假设每日收益的独立性，如图（10）所示，这在实践中很少成立。当收益率抑制正的自相关时（动量策略的成功[29、30、31]通常会实现），使用日收益率的年度化双向夏普拉蒂奥估值器将超调。我们发现，股票、货币和期货的月度回报几乎没有自动可预测性。6.2. 描述被动投资的双向夏普比率在估计了新资产的双向夏普比率后，我们需要确定它与我们知道适合被动投资的资产的相似程度。为此，我们假设所有适合被动投资的资产都是相似的，因为它们的双向夏普比率是从相同的潜在分布中独立得出的，我们的目的是通过数据进行经验估计。为此，我们采用了贝叶斯方法。假设每项适合被动投资的资产都具有双向夏普比率r，该比率是从相同的分布中独立提取的。如前所述，我们将rr |u，τ~ Nu, τ-1., （60）我们用共轭NormalGamma previor on（u，τ）进行补充，我们记得这意味着u|τ~ Nu, (τν)-1., （61）和τ~ γ（α，β）。

（62）在估计双向夏普比^r，已知适合被动投资的资产（如被动基金、股票和债券ETF、蓝筹股等），预测分配，^rn，根据观察数据，对适合被动投资的资产的双向夏普比率的特征分布进行了最佳猜测。我们记得，预测分布是以闭合形式提供的，readsr | r，^rn~ t2αn（un，sn），（63），其中sn=βn（νn+1）αnνn（64）un=νu+n？rnν+nνn=ν+n（65）αn=α+n（66）βn=β+nXi=1（^ri- \'rn）+nνν+n（\'rn- u），（67），其中rn=nnXi=1^ri，其中tu（v，w）是具有u自由度、位置参数v和尺度参数w的Student-t分布。因此，相关的概率密度函数读取sp（r | r，…，rn）=√2παnΓαn+Γ（αn）（68）×1+2αnr- unsn!-2αn+1，其中Γ是伽马函数。可以设置先验参数（ν、α、β）来表示无信息性。此外，我们建议将u设置为0，以避免（先验地）表示适用于被动投资的资产的回报率应大于或小于无风险利率（扣除运营成本），而是依赖数据来确定（后验）适用于被动投资的资产是否通常优于无风险利率。6.3. 被动投资适用性测试已知适合被动投资的资产的双向夏普比率分布被估计为后验预测分布r^r，^rnof等式（63），我们准备测试新资产A是否适合被动投资。允许进行一次尝试：我们首先假设A是唯一一项资产，我们将对其进行被动投资测试。通常，对数预测后验曲线r^r。

，^rn反映了双向锐化率与观测值一致的“可能性”，因此，双向夏普比率为r的资产适用于被动投资的程度。表示^BSR（A）我们对A的双向Sharpe比率的点估计，我们定义了被动投资适用性的度量，即在r=^BSR（A）：SPI（A）：=logep时评估的对数预测后验值^BSR（A）^r，^rn. （69）对于被动投资适用性的统计假设检验，我们注意到Pr≤^BSR（A）^r，^rn, （70）反映了根据观察结果，…，适合于辅助投资的资产的概率，根据^r，…，rn表示的被动投资机会比A少，或相当于表示的被动投资机会比适合被动投资的资产预期的被动投资机会多的概率，^rn。因此，等式（70）中的概率非常小的事实可以被视为资产A不适合被动投资的迹象。我们正式定义了以下统计假设检验：H： 资产A适合被动投资。p：p值。决定：拒绝HwhenPr≤^BSR（A）^r，^rn< p、 （71）p值p是我们的测试产生假阳性（或I型）错误的概率，因此应设置为一个较小的值，例如5%。允许多次试验：在进行多项被动投资适用性测试时，在评估假阳性或I型错误率时应小心。如果对m项资产单独进行m项被动投资适用性测试，则总体误报率（定义为预期误报错误数除以测试数）仍为测试的p值。

然而，在实践中，这可能不是衡量我们测试程序有效性的最佳指标，因为我们通常会忽略不适合被动投资的资产，而只对这些资产采取行动。因此，一个更可靠的准确度度量应该集中在我们对测试结果所做的错误上。如果在所有m项测试中随机统一选择一项测试，则预期的假阳性率也为p。然而，一般来说，当使用不同策略在所有可用m项测试中选择测试结果时，无法得出结论。要了解原因，让我们表示t，t独立的伯努利随机变量，如果测试i不拒绝H，则ti=1，否则为ti=0，我们表示被动投资指标。如果选择策略观察部分或全部测试结果，以选择依赖哪个测试，则其被动投资指标是一个伯努利随机变量，其形式为*= S（t，…，tm），对于某些S：{0，1}m→ {0, 1}. 显然，t*= 1，因此，假阳性率取决于S，尽管在这种情况下，这是拒绝消极投资适用性无效假设的概率，但实际上是真的。如果是i.i.d.那么，我们的统计测试需要进行调整，以获得任何数量的试验m的已知且可配置的假阳性率。为了使我们的统计测试适应多指标，让我们考虑一种投资经理寻找新投资机会的典型选择策略。我们假设投资经理一直在测试资产，直到他/她找到一个适合被动投资的资产。让我们假设投资经理已经对资产进行了独立测试。

第m项资产通过被动投资适用性测试的必要条件（但并非充分条件），前提是前一项资产A、，是-1失败的原因是其双向夏普比最大^BSR（Am）=maxi≤m^BSR（Ai）。（72）因此，Pr≤ maxi公司≤m^BSR（Ai）^r，^rn不适合衡量m-thasset适合被动投资的可能性，因为它将寻找适合被动投资的资产的m次独立尝试中的最佳尝试与产生与观察到的r相似的双向夏普比率的单一尝试进行比较，^rn。更公平的比较是m个独立绘制的双向夏普比率中最好的与观察到的夏普比率相似，^rn，m中的佼佼者试图寻找适合被动投资的资产：Pmaxi公司≤核磁共振成像≤ maxi公司≤m^BSR（Ai）^r，^rn= Pm\\i=1国际扶轮社≤^BSR（Am）^r，^rn=mYi=1P国际扶轮社≤^BSR（Am）^r，^rn= Pr≤^BSR（Am）^r，^rnm、 （73）因此，愿意测试随机选择的可用于被动投资的最佳m资产的投资经理应使用以下统计测试：H： 最好的m资产A，Am，随机独立选择，可用于被动投资。p：p值。决定：拒绝HwhenPr≤ maxi公司≤m^BSR（Ai）^r，^rn< 下午。（74）备注6.1。我们强调，上述测试的误报或I类错误率始终为SP，与m无关。当双向夏普比率最高的资产是第m个资产Am时，对先前失败尝试的解释（测试（74））基本上与假设单次测试（测试（71））相同，但被动投资的适用性在相对较高的阈值pm下被拒绝。何时r≤^BSR（Am）^r，^rn< p、 orP公司r≤^BSR（Am）^r，^rn≥ pm，两项测试都一致。然而，当r≤^BSR（Am）^r。

，^rn∈ [p，pm[，两个测试都不一致，没有解释之前失败尝试的测试是错误的，这是所谓的后验过度拟合的表现。为了了解这个问题的普遍性，我们注意到当np=0.05和m=10时，[p，pm[=[0.05，0.74[！Whenm=50，过度拟合范围[p，pm[扩大到[0.05，0.94[！先前引入的被动投资适用性度量SPI也可以扩展到多个试验案例，作为对数预测后验曲线r*^r，^rn其中r*:= maxi公司≤mriand riare i.i.d.来自后分布r^r，^rn。具体而言，表示Fr^r，^rn与预测密度p相关的累积密度函数r^r，^rn（方程式（68）），我们确定了最佳m资产被动投资的适用性度量，Am，数量SPI（A，…，Am）（75）：=对数Fr^r，^rnm级rr=最大值≤m^BSR（Ai）=logepmaxi公司≤m^BSR（Ai）^r，^rn+ 对数+（m- 1） logeFmaxi公司≤m^BSR（Ai）^r，^rn.之前的分析基于一种选择策略，即不断测试资产是否适合被动投资，直到找到一种这样的资产。当投资经理不停留在第一个适合被动投资的资产上，而是不断测试资产/策略，选择适合被动投资的资产/策略，然后丢弃其他资产/策略时，可以应用相同的分析。但是，不是，Amrepresentingall assets tested至此，应该对所有资产进行测试，因为找到了最适合被动投资的资产。备注6.2。我们有意识地做出保守/过度惩罚的假设，即测试资产的双向夏普比率是独立的。

在实践中，我们了解到投资经理测试的资产可能正相关，例如在优化交易策略的参数族时。处理测试之间依赖关系的一般情况超出了本文的范围。然而，我们注意到，当投资经理的设置允许估计有效样本量效应（即对应于a，…，Am的独立资产数量）时，我们的方法可以按原样使用，而不是m。也就是说，我们认为应该节约使用统计假设检验，尤其是，只有当新资产与之前测试的资产不相关时，才应小心测试。6.4. 插图为了说明我们的方法，我们使用了适用于被动投资美国蓝筹股的资产集作为参考，特别是撰写本文时道琼斯工业平均指数的组成部分。图（13）说明了各种成本和无风险假设的后验分布p（r | r，…，rn）。使用上述参考图13：适合被动投资的资产的年化双向夏普比率的后验分布，使用道琼斯工业平均指数的参考集成分，并在各种月度成本和无风险假设下。附录B中提供了所考虑资产的完整列表以及其他设置详细信息。我们考虑测试交易最活跃的全球货币和美国期货是否适合以5%的p值以及每月10个基点的总无风险利率和运营成本进行被动投资，我们计算了他们对被动投资的适用性（方程式（69））。

期货收益通过使用比例回补调整方法持续调整远期合约，并在交割月的第一天滚动获得。有趣的是，没有一种货币或货币期货适合被动投资。这是很直观的。事实上，如果发现一种外币适合进行被动投资，这将表明它会有相对于美元升值的趋势。S、 从长远来看，美元或贬值趋势对美国不利。不管怎样，任何显著的汇率趋势都将对相应的货币区产生深远的经济影响，这将迫使其央行进行干预。在考虑的20种期货中，只有6种适合被动投资，分别是芝加哥期货交易所10年期美国国债（TY）、纽约证券交易所天然气（NG）、芝加哥期货交易所大豆（S）、芝加哥期货交易所5年期美国国债（FV）、芝加哥证券交易所E-mini道琼斯和芝加哥期权交易所VIX。这里仅有的两种货币期货是CME日元期货（JY）和CME欧元期货（EC）。图14：交易最活跃的全球货币和美国期货的被动投资适用性（方程式（69）），按递增顺序排序。假设每月风险自由利率和其他成本之和为10个基点。我们使用道琼斯工业平均指数的被动投资成分作为参考资产。红色（或绿色）资产是指未通过（或通过）我们对p值为5%的被动投资适用性的初步测试的资产。附录B.7中提供了符号到名称的映射和其他设置细节。

结论在本文中，我们提供了一个定量框架来回答一个基本但基本的问题：是什么让资产对投资经理有用？上述问题中的资产概念包括所有产生周期性回报流、实现或按市值计价的投资。这使我们能够建立一个统一的框架，在这个框架内，股票、货币、固定收益、商品、ETF、房地产、期货、衍生品、对冲基金或基金组合中的LP权益，以及对这些组合的任何静态或动态分配，仅举几例，都可以得到一致的评估，前提是投资经理对相应产品的回报历史足够长。我们的框架假设一项资产完全由其收益流表征，具有相同收益时间序列的两项资产在所有实际投资目的上都是相同的，因此，我们仅依赖一项资产的收益时间序列来回答上述问题。总结和贡献：我们认为，新资产对投资经理的有用性与他/她已经拥有的资产池以及他/她希望避免接触的因素有关。

事实上，如果新资产可以使用现有资产和因素轻松复制，那么直觉上，这对investmentmanager没有什么用处。我们确定了四个关键标准一项新资产应被视为对投资经理有用，两个主要标准和两个次要标准，每个标准都对应于投资经理扩大其交易资产范围的动机，并且所有四个标准都独立于投资经理的资产配置策略。作为主要标准，我们建议，新资产若要有用，应使投资经理能够获得的资产池和要素充分多样化，并且新资产的回报时间序列应具有充分的可预测性。这两个标准是主要标准，因为无论是主动还是被动的投资经理，如果资产是冗余的（即不提供有效的增量多元化），或者其收益时间序列是纯白噪声，都很难发现资产有价值。此外，我们建议作为次要标准，新资产要有用，就不应对投资经理当前交易的资产尾部产生过度不利影响，并且应该适合被动投资。第一个二级标准迎合了有兴趣扩大其交易资产范围的投资经理，以减轻风险集中，从而减少他们对特殊行为的暴露。第二个次要标准迎合了大型投资经理，因为他们的规模，可能没有机会改变投资决策。

我们认为后两个标准是次要的，因为有些（但不是全部）投资经理需要它们来考虑新资产是否有用。我们提出了一个量化所有四个标准的数学框架，并提供了可扩展的算法解决方案。我们引入互信息时间尺度来衡量新资产对资产和要素参考池的增量多元化程度。简言之，互信息时间表量化了在新资产和参考池之间查看一点互信息/共享信息所需的时间量；交互信息时间尺度越高，在新资产和参考池之间看到一些相互/共享信息所需的时间就越长，因此新资产与参考池之间的关系就越不相关。此外，作为增量多元化的衡量标准，互信息时间尺度满足了具有实际重要性的关键特征。具体而言，i）利用参考池复制新资产越容易，交互信息时间尺度越低，ii）交互信息时间尺度与基金中基金的核心理念一致，即交易相同资产的基金经理可以彼此多样化，以及iii）新资产增加至参考池的增量多元化金额通过平均水平上下缩放任何资产（新的或旧的）以及方向变化（长/短）保持不变。顺便提一下，互信息时间尺度也可用于推广皮尔逊相关系数，以捕获资产回报中的非线性和时间依赖性；我们称之为新的系数信息调整相关性。我们使用收益的可预测性来衡量未来收益不确定性的最大减少，这可以通过了解过去的收益和可能的其他信号集来实现。

至关重要的是，我们的方法没有对如何预测新资产的未来回报价值做出任何假设。它解决了收益时间序列的可预测性，与如何最佳预测收益时间序列无关。我们通过比较参考池中最能复制新资产的资产组合的收益率与复制错误/创新的收益率来衡量对尾部的影响。简单地说，我们衡量新资产的收益时间序列中相对于参考池的“beta”成分是否比其“alpha”/“特殊”成分更为详细。至于量化被动投资的适用性，我们建议分两步进行。首先，我们量化了通过被动投资新资产（多头或空头）所能获得的风险调整后净回报高于无风险利率的程度。我们将相应的度量称为双向夏普比。Webbuild建立一个统计测试，以量化估计的双向夏普比率是否“足够好”，或者等效地，它是否是我们已知的适合被动投资的典型资产，例如美国蓝筹股。我们对被动投资适用性的统计假设检验对过度匹配的回溯检验是稳健的，因为它恰当地考虑了先前尝试的失败试验数量。通过对合成数据和真实数据的大量实验，证明了所提出方法的相关性。实证结果：通过将所提出的技术应用于真实数据，我们能够恢复众所周知的程式化事实以及新发现。通过比较我们对增量多元化与相关性的衡量（在两种资产的情况下），我们发现有证据表明，标准普尔100指数成分股的日收益率表现出一种非线性关系和/或关系，这种关系在本质上是横截面和时间的（即。

表现出超前滞后或跨时间的相互引用），这是成对关联无法捕捉到的，但互信息时间尺度可以捕捉到。我们发现，正如预期的那样，跨资产类别的多元化比资产类别内的多元化效果更好。然而，与资产类别内的多元化相比，通过跨资产类别多元化可以获得多大程度的增量多元化，这取决于资产类别的多元化和资产类别的多元化。例如，我们发现，使用美国期货使一篮子活跃交易的全球货币多样化，与交易更多货币一样增加了价值，但使用货币使美国期货多样化，比交易更多美国期货更加多样化。我们还发现，正如从业者所知，资产回报的时间序列不是白噪声；他们有记忆，因此是可预测的，有些人比其他人多。我们发现，总体而言，货币的可预测性低于股票和期货，股票的可预测性高于期货的可预测性，期货的可预测性从一个基础到另一个基础变化很大。关于对尾部的影响，我们发现货币的尾部最重。然而，在美国蓝筹股篮子中加入货币通常会对尾部产生积极影响，而在平均水平上加入蓝筹股会对尾部产生负面影响（令人惊讶）。至于是否适合被动投资，我们发现外币（毫不奇怪）不适合被动投资，这表明只有通过主动管理才能通过交易货币赚钱。接下来：交易所交易资产（通常通过股票代码表示）是迄今为止最常用的金融市场代表，投资经理通过它寻找投资机会。

尽管这是与经济体制分割相一致的唯一表现形式，但它肯定不是金融市场唯一可能的可交易表现形式，也很可能不是对投资经理最有用的金融市场的可交易表现形式，或者说对投资机会最有利的金融市场的可交易表现形式。事实上，任何一组投资决策时间序列（{ωt}，…，{ωnt}），其中ωit表示投资组合权重向量，构成了金融市场的有效可交易表示。每一个时间序列的投资决策{ωit}，在执行时，都将产生一个时间序列的回报，从而可以被视为一项资产。

根据投资组合权重ωItan，在时间t购买以{ωit}为特征的资产的C>0美元相当于在时间t投资C美元，每次目标投资组合权重改变时，都会相应地重新平衡。在时间t出售以{ωit}为特征的资产的C>0美元相当于购买以投资组合权重序列为特征的资产的C>0美元{-ωit}。显然，金融市场中有很多这样的可交易表示，由股票代码定义的表示不太可能对投资经理最有用，也不太可能最有利于发现投资机会；公司不会通过IPO让对冲基金产生alpha，ZF和市政当局也不会通过发行债券让对冲基金产生alpha。矿井AI Technologies将使用本文开发的框架来启动一个市场，以逐步构建金融市场的可交易替代表示，从根本上对投资经理有用，定量投资经理可以将其用作投资过程中的构建块，在那里，机器学习研究人员可以通过做有价值的工作赚钱。要保持最新，请观看我们的GitHubrepo(https://github.com/devisechain/Devise)在中号上跟随我们(https://medium.com/pit-aitechnologies).参考文献【1】Miguel de Cervantes Saavedra。《曼恰的伊达尔戈登吉诃德》（El Ingenioso HidalgoDon Quijote de la Mancha），第1卷。也就是说，一个向量表示每个财富单位在买卖交易所交易资产时应该投资多少。[2] 哈里·马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77–911952年。[3] 理查德·格林诺德和罗纳德·卡恩。积极的投资组合管理。麦格劳·希尔，纽约，2000年。[4] 安蒂·伊尔曼。预期回报：投资者收获市场回报的指南。John Wiley&Sons，2011年。[5] 托马斯·M·掩护，乔伊·A·托马斯。

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《金融杂志》，56（2）：699–7202001年。附录A算法算法1差分熵率的直接无模型估计。输入：m：离散化精度。ZZZ=（^ZZZ，…，^zzzT）：Rn值进程{zzzT}的样本路径。输出：估计h（{zzzt}）。假设：A1：{zzzt}是平稳的和遍历的。程序：步骤1。使用定理（3.2）的格式将[^zzz，…，^zzzT]离散化，精度为2-m、 获取T个离散元组（或字符）的序列（α，…，αT）。第2步。使用清单1计算（^α，…，^αT）的Lempel-Ziv复杂度^cα（T）。第3步。绘制k≥ 1序列（αi，…，αiT），其中每个字符独立且均匀随机采样，替换自（α，…，αT）。第4步。使用清单1计算（αi，…，αiT）的Lempel-Ziv复杂性^cαi（T）。第6步。计算（^α，…，^αT）中每个字符的出现频率，并计算离散熵^H（^αT）的相应估计。第5步。h（{ZZT}）≈^cα（T）kPki=1^cαi（T）^H（^αT）- mn（76）算法2微分熵率的非参数估计。输入：ZZZ=（^ZZZ，…，^zzzT）：Rn值进程的样本路径{zzzT}。输出：h（{zzzt}）假设的估计：A1：{zzzt}是平稳的和遍历的。A2：{zzzt}是一个高斯过程。程序：步骤1。计算{zzzt}的矩阵值谱密度函数的估计值^g作为平滑周期图，例如使用Welch方法[27]。第2步。使用先前估计的谱密度函数和Bayesian求积近似方程（39）。算法3差分熵率的最大熵估计。输入：ZZZ=（^ZZZ，…，^zzzT）：Rn值进程的样本路径{zzzT}。输出：估计h（{zzzt}）。假设：A3：所有最大熵约束均为自协方差类型。程序：步骤1。