作为Dirichlet问题广义解的出口问题

2022-6-10 05:27:16

出口问题作为DirichletproblemsYuecai Han的广义解，*宋庆硕，+谷旺2019年1月8日摘要本文研究了在退出时间前Feynman-Kac泛函是Dirichlet问题广义粘性解的充分条件。关键在于找出Skorokhod拓扑下出口算子的连续性，这揭示了过拟合Dirichlet边界和精细拓扑之间的内在联系。作为应用，我们通过与α-稳定过程相关的Feyn-man-Kac泛函建立了一类具有分数拉普拉斯算子的非平稳HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的子解和上解，这有助于验证原HJB方程的可解性。随机控制问题，HJB方程，Dirichlet-bou-ndary，广义粘性解，α-稳定过程，分数拉普拉斯算子，精细拓扑。*吉林大学数学学院。hanyc@jlu.edu.cn.+伍斯特理工学院数学科学系和香港城市大学数学系。qsong@wpi.edu.伍斯特理工学院数学科学系。gwang2@wpi.edu.1本文研究了一个Dirichlet偏微分方程（PDE）g ivenby的可解性-Lu（x）+λu（x）- l（x） =0 on O，u=g on Oc，（1）其中L是与某个Feller半群{Pt:t关联的最小生成元≥ 0}和Ois是RDF中某个正整数d的连通有界开集（有关详细信息，请参见下面的假设1）。

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2022-6-10 05:27:19

我们将采用“验证”方法，并通过Feynman-Kac泛函给出的关联随机表示v（x）：=Ex“Zζe来表征（1）的解-λsl（Xs）ds+e-λζg（Xζ）#，（2），其中X是带生成器L的C\'adl\'ag Feller，由X表示~ 五十、 ζ是域'o闭合的退出时间，由ζ=τ'o（X）表示。与伐木工艺相关的发电机L的范围涵盖了许多著名的操作员。例如，梯度操作符对应于匀速运动，即拉普拉斯运动对应于布朗运动，分数拉普拉斯运动-(-)α/2对应于对称的α-稳定过程，上述算子的任何线性组合都对应于一个Feller过程。由于运算器的这种多功能性，椭圆或抛物线偏微分方程及其与相应随机表示的相互作用的研究具有广泛的应用范围，并与数学以外的其他学科有许多成功的联系。例如，在数学金融中，衍生品定价的一般方法是通过所谓的鞅方法（见[22]）来解决一个有序的问题。在这个方向上，最著名和实用的工具是费曼-卡克公式（见[23]第8章）。然而，由于潜在随机过程的次边界行为，连接PDE和随机表示的严格验证通常是一项困难的任务。在拉普拉斯算子的情况下，r=, [9] （第4.4节和第4.7节）表明，（2）s olves（1）的费曼-卡茨函数v。

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2022-6-10 05:27:22

L是一个二阶微分算子，因此几乎可以肯定是连续的X~ 五十、 Feynman-Kac泛函与Dirichlet问题之间的关系在[4、15、16、18、21、19]及其参考文献中进行了讨论。如果L是与L'evy跳跃差异相对应的非loca L操作符，这在金融建模的最新发展中已成为普遍现象，请参见【10，13，2 4】，r和路径X的不连续性~ L给研究边界行为带来了额外的困难（见[5，17，29，34]）。据我们所知，现有文献中尚未对费曼-卡茨泛函是Dirichlet偏微分方程的解，甚至是广义粘度解（如本文所讨论）的验证进行过深入的跳变研究。一些密切相关的文献，如一维非平稳问题的文献[11]和多维平稳问题的文献[3]，提供了以下部分答案：（2）的v是（1）的（强的，因此是广义的）粘度，如果边界上的所有点O定期（见第2.4节中的定期定义）。然而，这一有效条件并不总是满足的，一个简单的例子be low（见第2.1节，=0）提供了费曼-卡茨泛函的显式计算，它不是（强）粘度解，而只是广义粘度解。在这篇论文中，我们重点讨论了（2）的v是（1）的广义解的有效条件，结果表明，这比强粘性解的有效条件更为复杂（详见定理5）。接下来，在第2节中，我们将介绍（强）粘度解和广义粘度解的精确设置、定义以及主要结果。为了避免不必要的混淆，我们强调“强”v.s。

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2022-6-10 05:27:25

根据v粘性解的边界行为，“广义”与v粘性解的i类不同，参见定义2和3，在本文中，我们只关注广义粘性解。第3节分析了一类Dirichlet问题广义粘性解存在的充分条件，证明了主要定理。作为本文动机的一部分，（1）的可解性研究也与一类非线性偏微分方程的可解性密切相关，例如Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。在广义解的意义上，解决HJB方程的主要现有分析方法之一是比较原理（CP）和Perron方法（PM）的结合（见[12]和[2]，以及其中的参考文献）。这种方法在存在上解和下解的假设下成功地建立了唯一的可解性。换句话说，它将非线性偏微分方程的可解性问题简化为一类（1）型线性偏微分方程的可解性问题。然而，对后者的回答并不是微不足道的，而是针对[12]中的一般情况4.6提出了一个可行的问题。在第4节中，通过应用本文的主要结果（Theo-rem 5），我们可以证明一类线性方程的可解性，该方程作为分数拉普拉斯算子非线性方程的子解和上解，并帮助建立后者的解的存在性。最后，我们做了一个简要的总结，并将一些技术成果归为附属品。2问题设置和定义在本节中，我们从定义适当的过滤开始，在此过滤条件下，（2）中的v可以被描述为随机退出问题。

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2022-6-10 05:27:29

然后，我们正式定义了Dirichlet问题的广义粘性解，并陈述了本文的主要结果——vof（2）是（1）广义粘性解的充分条件，这将在下一节中得到证明。为了激励对广义d解的分析，我们首先提供了一个Dirichlet问题的例子，对于该问题，相关的Feynman-Kac泛函不是它的解，而是一个广义解。2.1示例为便于说明，请考虑（1）的Dirichlet问题，使用以下简化设置，参数化为≥ 0:O=（0，1），l ≡ 1，Lu=u′+u′，λ=1，g≡ 0。（3）然后，（1）成为第二阶常微分方程（ODE）-u′型-u′+u- （0，1）上的1=0，x上的u（x）=0≥ 1和x≤ 0。（4）如果>0，则存在唯一的C（O）∩ C（(R)O）溶液U（x）=1+（1- eλ）eλx+（eλ- 1） eλxeλ- eλ，（5），其中λ=√1 + 2- 1，a和λ=-√1 + 2- 1.另一种可能的分类是“经典”v.s.“粘度”或“弱”溶液的平滑度。显式解决方案由云计算平台CoCalc实现的SageMath代码获得，seehttps://github.com/songqsh/181023PubExit .如果=0，则PDE（4）没有解。然而，如果去掉施加到0的边界条件，则PDE（4）具有唯一解u（x）=-e-1+x+1。另一方面，从概率的角度来看：让^Ohm,^F，^P，{英尺：t≥ 0}是一个满足标准布朗运动W通常条件的过滤概率空间，X是一个由xt=X+t+Wt定义的随机过程，其中生成器在L以上。形式（2）的相应Feynman-Kac泛函isv（x）：=^E“ZζE-十二烷基硫酸钠X=X#（6），其中ζ是域'O闭合后的退出时间，可以明确计算其分布，E是P下的表达式。

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2022-6-10 05:27:32

注意o如果>0，则（6）的v与（5）重合，并且是（1）的唯一解。o如果=0，则v（x）=-e-1+x+1不是（4）的解，因为它确实满足x=0时的边界条件。然而，如果=0且施加在点0上的边界条件被放弃，则与新ODE的解相同，称为原始方程（4）的广义解。在本文中，我们研究了关联的Feynman-Kac是上述一般意义上Dirichlet偏微分方程解的充分条件（通过放宽bo-undary条件）。如下所示，根据定义3.2.2 SetupLet，vis广义粘度解为（4）Ohm = Ddbe从[0]开始的C\'adl\'ag函数的空间，∞) 使用Skorokhod公制do进行RDO。X是坐标映射过程，即Xt（ω）=ω（t），ω ∈ Ohm.表示由X asFt=σ{Xs:s产生的自然过滤≤ t} ，则，t型≥ 0，F=σ（Xs：0≤ s<∞}.表示为Cm（Rd）和Cm，α（Rd）Rd上的函数空间，具有连续和局部的α-H¨oldercontinuo us导数，分别达到mthorder，其在整数处消失，对于Cm（Rd），如果m=0，上标将被删除。设{Pt:t≥ 0}是C（Rd）上的Feller半群（参见[27]的第III.2.1节）。P（Rd）是Rd上概率测度的集合，byDaniell-Kolmogorov定理和标准路径正则化，对于任何ν∈ P（Rd），存在概率测度Pνon(Ohm, F）其转移函数与给定的Feller半群{Pt:t相同≥ 0}和初始分布X~ ν（见[28]第III.7节）。表示为在Pν下对ν的期望∈ P（Rd），对于狄拉克测度δx和x，Ex=Eδx∈ Rd.我们对本文其余部分做了以下假设，但没有进一步提及：假设1。1.

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能者818

2022-6-10 05:27:35

{Pt:t≥ 0}是一个Feller半群，其极小生成元L满足C∞（Rd） D（L），其中D（L）是L的域；2. (Ohm, F、 {Xt:t≥ 0}，{Pν：ν∈ P（Rd）}）是与费勒半群{Pt，t}相关联的费勒过程的规范设置≥ 0}，由X表示~ L3.O是Rd中的连通有界开集；4.g和l Lipschitz连续函数是否在单位内消失。5. λ > 0.给定Rd中的Borel集B和样本路径ω∈ Dd，将出口时间τB（ω）和出口点∏B（ω）定义为：τB（ω）=inf{t>0，ωt/∈ B} ，πB（ω）=ω（τB（ω））=XτB（ω）（ω），ω ∈ Dd，（7）并且为了便于注释，表示ζ：=τ'O，π：=π'O和ζ：=τO，π：=πO。（8）通常，τBis不需要n Ft停止时间，因为设置{τB≤ t}∈ 英尺+=∩s> 自然过滤并不总是正确连续的，即Ft+6=Ft。因此，我们根据以下观察结果修改了自然过滤：自然过滤不依赖于任何概率-f仅包含确定性事件，因此F6=F0+。但它们的差异仅仅是那些“几乎确定的事件”。例如，如果我们关注路径空间上的正则维纳测度，那么Blumenthal 0-1定律意味着∈ F0+\\F仅在概率为1或0时出现。这促使我们通过将“几乎确定性”集合移动到过去的信息集合，即t=0时的σ-代数，来重新调整自然过滤。定义1。对于每个ν∈ P（Rd），表示为{Fνt:t≥ 0}自然过滤的Pν-完成，即Fνt=σ（Ft，Nν），其中Nν是所有Pν-空集的集合。

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2022-6-10 05:27:37

设Ft=Tν∈P（Rd）Fνt每个≥ 0.在上述定义中，我们通过操纵可忽略集来采用通常的增广，并将通常几乎确定的集（关于所有概率度量inP（Rd））移动到F，而不改变任何F-可测量随机变量F的Ex[F | Ft]值。此外，Feller财产主张，（a）过滤{Ft:t≥ 0}（als o{Fνt:t≥ 0}foreachν）是右连续的，（b）Blumenthal的0-1定律成立，（c）τBis是Ft停止时间（首次出现theo-rem，见命题III.2.10和定理III.2.15和定理III.2.17）。最后但并非最不重要的一点是，s-trong-Markov属性适用于过滤{Ft:t≥ 0}（见[27]的定理III.3.1）。在本文的其余部分，我们将使用过滤{Ft:t≥ 0}以上定义，则随机退出问题中（2）的v可以写成v（x）：=Ex[F]，其中F:Dd7→ R isF（ω）=Zζ（ω）e-λsl（ωs）ds+e-λζ（ω）go Π(ω), ω ∈ Dd.最后，回顾2.1中的简化设置，其中关联过程X定义为过滤概率空间中布朗运动的函数^Ohm,^F，^P，{英尺：t≥ 0}. 要查看此设置与上述坐标映射过程定义之间的等效性，对于第2.1节中的X，可以首先在空间dda上归纳出与初始分布ν相关的一系列概率Pν∈ P（Rd），即Pν（A）=^P（X∈ A | X~ ν）对于任何Borel集合A∈ Dd.坐标映射的分布与X的分布相同（见[28]第II.28节）。然后从自然过滤开始{Ft:t≥ 在坐标映射的0}中，一个人可以生成{Fνt:t的族≥ 0}，带ν∈ P（Rd）和{Ft:t≥ 0}如上定义1所述。2.3 Dirichlet问题和粘度解在本节中，我们给出了广义d粘度解的定义。

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2022-6-10 05:27:41

为了简单起见，表示为（φ，x）=-Lφ（x）+λφ（x）- l（x），（9）和（1）beco mesG（u，x）=0，在O上，在Oc上，u=g。（10）请注意，Dirichlet边界数据g被赋予整个Oc。原因是，如果发电机是非局部的，那么Xζ可能会落在Oc中的任何地方，而G的定义使得（u，X）的情况发生变化∈ C∞（Rd）×Rd，值G（u，x）定义良好。为了将（10）的定义推广到域为O的可能非光滑函数，我们在u的place中使用了以下测试函数：1。对于给定的u∈ U SC（(R)O）和x∈\'O，超测试函数的空间isJ+（u，x）={φ∈ C∞（Rd），s.t.φ≥ （uI O+gI Oc）*φ（x）=u（x）}。2、对于给定的u∈ LSC（(R)O）和x∈\'O，子测试函数的空间O为j-（u，x）={φ∈ C∞（Rd），s.t.φ≤ （uI O+gI Oc）*φ（x）=u（x）}。我们说函数u∈ U SC（(R)O）在x∈如果下列不等式适用于所有φ∈ J+（u，x），G（φ，x）≤ 0。（11）类似地，函数u∈ LSC（(R)O）在x∈如果下列不等式适用于所有φ∈ J-（u，x），G（φ，x）≥ 0。（12）在下文中，我们定义了（1）的（强）粘度。请注意，它不需要任何点x的粘度特性∈ O、然而，在x∈ O将受益于后面介绍的广义粘度解决方案的定义。定义2。1、u∈ USC（(R)O）是（1）的粘度亚溶液，如果（a）u满足每个x的粘度亚溶液性质∈ O和（b）u（x）≤ g（x）在每个x处∈ O、 2。u∈ LSC（(R)O）是（1）的粘度上解，如果（a）u满足每个x的粘度上解性质∈ O和（b）u（x）≥ g（x）在每个x处∈ O、 3。

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2022-6-10 05:27:44

u∈ C（(R)O）是（1）的粘度溶液，如果它同时是粘度亚溶液和粘度上溶液。回顾上述设置（3），（6）的关联随机表示v是方程（1）的粘度（实际上是经典）解，如果>0。由于边界v（0）>0的损失，不再是=0。下一步是广义粘度解的定义，如[2]所述。f∈ U SC（\'O）表示f在\'O中是上半连续的，f∈ LSC（(R)O）指-f∈ U SC（(R)O）。此外，f*andf公司*分别是f的USC和LSC信封。IA（·）是集合A的指标函数。定义3。1、u∈ USC（(R)O）是（1）的广义粘度亚分辨率，前提是（a）u满足每个x的粘度亚分辨率特性∈ O和（b）边界最小值的u满意度{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x），u（x）- g（x）}≤ 0, x个∈ O和φ ∈ J+（u，x）。2、u∈ LSC（(R)O）是（1）的广义粘度上解，如果（a）u满足每个x的粘度上解性质y∈ O和（b）boun darymax的满意度{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x），u（x）- g（x）}≥ 0, x个∈ O和φ ∈ J-（u，x）。3、u∈ C（(R)O）是（1）的广义粘度解，如果它同时是粘度下解和上解。2.4主要结果主要目的是确定保证（2）的v是（1）的广义粘度解的有效条件，结果总结在下面的定理5中。作为准备，我们简要回顾了关于规则点的一些基本定义，以及诱导的细线拓扑图（更多详情请参见[9]第3.4节）。定义4。当且仅当ifPx（τBc=0）=1时，称点x为集合B的正则点（相对于L）。允许O=x个∈ O:x是“Oc”的常规值,和O=O \\O、 2。对于任何集合B，B的所有正则点集合由品牌B表示*= B∪ 布里斯托称之为B。

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2022-6-10 05:27:47

如果B=B，则A集合B完全闭合*, 据说Bcis非常开放。所有内部开放集合的集合生成了精细拓扑。根据上述定义，如果x对于‘Oc’不是正则的，那么Px（τ’O=0）<1，这意味着由于Blumenthal 0-1定律，Px（τ’O=0）=0。此外，由于进程X具有正确的连续路径，并且O是开放的se t，因此任何点X∈\'Ocis常规用于\'O和任意点x∈ O不适用于“Oc”。因此，\'Oc，r，所有正则点的集合为\'Oc，satis\'Oc\'Oc，r=\'Oc，* Oc。因此O=(R)O∩\'\'Oc，*和O=\'O \\\'Oc，*.定理5。如果存在八个小时O使Px^Π ∈\'\'N= 0表示所有x∈那么（2）的v是（1）的广义粘度解。此外O {x∈ O：v=g}：=Γout。在下一节证明定理5之前，以下是一些直接的应用。第4节提供了定理5在非平稳问题上的进一步应用。根据定理5，有效条件与X（^ζ）的分布密切相关，X从O的退出点O是“Ocwith re sp ect toL”的规则值，例如，L=-(-)α/2与α≥ 1、那么O=O和O=. 因此，可以简单地取N= 作为O=, 这完全符合定理5的条件，因为ex（^τ）不属于空集N。此外，v（x）=g（x），对于每x∈ O=O、它包含了[3]的结果：的邻域O是开集N∈ Rd以便O N、定义Γout依赖于函数g，应表示为Γout[g]，除非出现歧义，否则本文其余部分省略参数g。推论6。如果每x∈ O为'Oc，则（2）的v为（1）的强粘度溶液。例如，在设置（3）中，如果>0，则O=O={0，1}，v是推论6的强解。

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2022-6-10 05:27:50

如果=0，则px是由匀速运动X（t）=X+t引起的概率。因此O={0}和O={1}。N=(-1/2，1/2），则说明了OREM5中的假设以及通用解决方案。3广义粘性解的存在性本节致力于定理5的证明。作为第一步，我们证明了广义粘性解的性质要求对边界点，无论是边界条件，还是粘性解的性质都是成立的。3.1失去边界条件的点集在第2.1节中，如果（3）的设置为=0，则由于x=0时边界的损失，粘性解不是（1）的粘性解。一种方法是，通过检查x=0时的粘度溶液性质，实际上可以直接验证基因化溶液是否符合定义3（其他点[0,1]的参数是直接向前的）：1。超级测试函数的空间满足J+（v，0） {φ ∈ C∞（R）：φ（0）=v（0）=1- e-1, φ′(0) ≥ v′（0+）=-e-1}.因此，根据（11），V在x=0时具有亚分辨率特性，因此，定义不平等3（1）ho lds；2、子测验函数空间J-（v，0）是一个空集，因为v（0）>0和（vI'O）*（0）=0，并且它自动暗示其在x=0时的上解属性。上述论点表明，尽管V在x=0时破坏了边界条件，但根据x=0时的定义（11）-（12），V满足粘度溶液特性。下一个命题概括了上述观察结果：广义解应满足每个边界点的粘性解性质或边界条件。提案7。A函数u∈ C（(R)O）是（1）的广义粘度解，当且仅当usatis在每个x上的粘度解性质∈“O”输出。证据通过检查定义3，可以提高效率。

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2022-6-10 05:27:53

必要时，如果u是一般粘度溶液，则根据定义3，它满足everyx的粘度溶液特性∈ O、对于x∈ O out，如果u（x）<g（x），则自u∈ U SC（(R)O）和J+（U，x）=, 它隐含了x的粘性子解性质∈ LSC（(R)O）和thereforemax{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x），u（x）- g（x）}≥ 每φ0∈ J-（u，x），这意味着粘性上解性质是满足的。u（x）>g（x）的情况允许类似的论点。关于（2）的v是否是（1）的广义粘性解，这个问题现在可以分为以下两个子问题，下面几节将提供答案：1。v o f是否满足命题7中的条件？如果是，v在何处与其边界相交？i、 e.什么是Γout？3.2充分条件-通常，假设1不能保证命题7中的条件，因此（2）的v可能不是（1）的广义解，如下面的示例10所示。在本小节中，引理8和12指出了一个有效条件：oζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ rd几乎肯定是连续的，在px下请注意，通过在测试函数上使用伊藤公式，域的内点x满足粘度解的性质，因为（2）的v是连续的。接下来，引理8表明，只要x是精细拓扑中“O”的内点，相同的陈述就成立，即x对于“Oc”不是正则的。引理8。如果v∈ C（(R)O），则（2）的v是（1）的广义粘度解，其中有Γout O、证明。我们分别讨论了内点和边界点（回想一下G（φ，x）=-Lφ（x）+λφ（x）- l（x））。1、v的内部粘度溶液特性。首先，定义任意x∈ O、我们显示v满足粘度上解性质，即（φ，x）≥ 0，每φ∈ J-（v，x）。

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mingdashike22

2022-6-10 05:27:56

（13）相反，对于某些φ，a sume G（φ，x）<0∈ J-（v，x）。通过x 7的连续性→ G（φ，x），对于任何>0的情况，存在δ>0，使得sup | y-x |<δG（φ，y）<- /2. （14）因为X是一个C\'adl\'ag过程，而X∈ O，Px（ζ>0）=1。利用X的强马尔可夫性，我们可以将函数v重写为，对于任何停止时间h∈ （0，ζ），v（x）=Exhe-λhv（Xh）+Zhe-λsl（Xs）dsi，其中，fa ct为φ∈ J-（v，x），表示φ（x）≥ Exhe公司-λhφ（Xh）+Zhe-λsl（Xs）dsi。此外，关于φgivesEx[e]的Dynkin公式-λhφ（Xh）]=φ（x）+ExhZhe-λs（Lφ（Xs）- λφ（Xs））dsi。把这两个等式加起来，就等于-λsG（φ，Xs）dsi≥ 然后取h=inf{t>0:X（t）/∈\'Bδ（x）}∧ ζ、式中，br（x）表示半径R以x为圆心的开放球。由于在Px下h几乎肯定大于0，因此它与（14）相矛盾，并隐含了x的上解性质。内部亚解性质可以类似地获得。如果x=02，则参数x将在本文的其余部分中删除。v的广义边界条件。对于任何x∈ O、根据Blumenthal 0-1定律，Px（ζ=0）=1或Px（ζ>0）=1。如果Px（ζ=0）=1，则v（x）=g（x）通过其定义（2），因此Γout Oholds。另一方面，如果Px（ζ>0）=1，那么我们将检查其粘度特性。对于粘性上解性质，假设（14）适用于某些φ∈ J-（v，x）。由于Px（ζ>0）=1，我们可以遵循与上述内部粘度解性质完全相同的论点，以找到一个矛盾，这正好证明了超解性质。可以用类似的方法获得亚分辨率特性。备注9。从广义解的定义来看，Γout可以被视为解的一部分。因此，对于未知Γout的表征，似乎不满足于” 代替“=”作为定理5和引理8中的结论。

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2022-6-10 05:27:59

然而，注意到左手侧Γ不依赖于边值g，而右手侧g的Ois不变量。更精确地说，附录A。1表明在一些温和的条件下，∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、在引理8中，v到边界的连续性条件通常可能不成立。下一个例子是（2）中的v是圆盘连续的，即使在域的内部也是如此。示例10。考虑一个关于O=(-1，1）×（0，1），Lu（x）=xu（x）+2xxu（x），λ=1和l ≡ 1，克≡ 0。（15）然后，PDE（1）变为-xu（x）- 2倍xu（x）+u（x）- 1=0，在O上，u（x）=0，在Oc上。事实上，流程X~ 初始值x=（x，x）t为以下确定性参数表示，X1t=x+t，X2t=x- x+X1t。因此，寿命ζ也是一个确定性数字，取决于其初始状态x，其将表示为ζx:ζx=-x+p1- x+x，x∈ O： ={x≥ x}∩\'O，1- x、 x个∈ O： ={x<x，x>0}∩\'\'O，-x个-p-x+x，x∈ O： ={x<x，x<0}∩\'O.The ma ping x 7→ ζxis在曲线上的每一点不连续O∩ O、（2）的v也是如此，可以重写为v（x）=Zζxe-sds=1- e-ζx。在本例中，O={（x，x）：x=1，0≤ x个≤ 1}∪{（x，x）：x=1，0≤ x个≤ 1}∪{（x，x）：x=0，-1.≤ x<0}，和O=O \\O不开放，与O。例10和引理8引导我们研究函数v连续性的充分条件，下一个引理表明它取决于ζ和∏的连续性。定义11。对于给定的函数φ：Dd7→ rm对于某个正整数m，1。φ在ω处是连续的∈ Dd，如果limn→∞ζ（ωn）=ζ（ω），带limn→∞do（ωn，ω）=0.2。表示为Cφ={ω∈ Dd：φ在ω}上是连续的，ω是φ的连续集。

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2022-6-10 05:28:02

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能者818

2022-6-10 05:28:04

因此，T erm2变为零，n变为单位ωn→ 斯科罗霍德度量中的ω意味着ωn（t）→ 所有t的ω（t）ho lds∈ Cω，w这里Cω是函数ω的连续集：[0，∞) 7.→ Rd（见第124页，共[7]）。因为映射ω：t 7有许多不连续→ 对于任意C\'adl\'ag路径ω，limn→∞|ωn（t）- ω（t）|=0在Lebesg ue度量中几乎无处不在。因此，T er m 1n |ωn（s）中的被积函数- ω（s）| I（0，ζ（ω）∧ζ（ωn））（s）收敛到zero为n→ ∞ 几乎所有的s在Lebesgue度量中。支配收敛定理及其由2 ma x | O | x |确定的一致边界s表明，T erm1n在n趋于完整时收敛到ze ro。因此，（16）右侧的每个项都变为零，并且是统一有界的。因此，极限o f | f（ωn）- F（ω）|也是零，F在ω处连续。3.3有效条件-引理8和12引导我们研究ζ和∏的连续性，但情况并非总是如此，如例10所示。命题15中本节的主要结果表明/∈ O、 ζ和∏在Px下是连续的，即v是（1）的广义解，如果以下条件成立（x∈ O和定理5的证明在第3.4节（C）中讨论：X几乎同时从O和'O退出；注意，在示例10中违反了条件（C）：对于（x，x）∈\'\'O∩\'O，x=x，x<0。因此，ζ（O的退出时间）为-x+p1- x+x，而^ζ（O的退出时间）为-x+p-x+x。为了处理，我们引入以下概念。对于路径ω∈ Dd，表示ω-作为ω的C\'agl\'ad版本：ω-= ω、和ω-t=lims↑t型-ωsfor t>0，关联的退出时间操作符：τ-B（ω）=inf{t>0，ω-t型/∈ B} 。（17）如果ω是连续的，那么ω=ω-和τB（ω）=τ-B（ω）。然而，我们不能随意地期望τ带τ之间存在质量差，甚至不相等-Bin general，如fo llowing示例所示。示例13。

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mingdashike22

2022-6-10 05:28:07

设B=（0，3）和a C\'adl\'ag路径ωt=| t- 1 |+I[0,1）（t）。τB（ω）=1<τ-B（ω）=4。另一方面，对于另一条C\'adl\'ag路径ωt=1- tI[0,1）（t），τB（ω）=∞ > τ-B（ω）=1。讨论寿命ζ的连续性，定义ζ-(ω) = τ-O（ω）。（18）根据定义，以下不等式成立，max{ζ（ω），ζ-(ω)} ≤ ζ(ω), ω ∈ Dd.（19）此外，尽管示例13表明≥ ζ-nor^ζ≤ ζ-通常是正确的。有趣的是，对于C\'adl\'ag Feller过程X，不等式ζ-≥^ζ几乎肯定在Px下成立。提案14。对于任何x∈“”O，以下标识有效：Pxω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6= ω(ζ-)= 0和Px^ζ ≤ ζ-≤ ζ= 1.证明。Letζ-(ω) = ζ-（ω）如果ω-(ζ-) ∈ O、事实上不然。然后，ζ-是英尺--停车时间，因此可预测停车时间。如果ω在ζ处不连续-, 然后ζ-是由于跳跃byMeyer定理（见[26]中的定理III.4]），完全无法达到的停止时间。根据[26]的定理III.3，几乎可以肯定的是，可预测的停车时间集与完全无法到达的停车时间集没有重叠。因此，Pxω-(ζ-) 6= ω(ζ-); ζ(ω) < ∞= 0，相当于Px（ω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6= ω(ζ-)) =所以每当ω-(ζ-) ∈ O、 ω（ζ-) = ω-(ζ-) ∈ O几乎可以肯定，因此^ζ≤ ζ-副定义，即Px^ζ ≤ ζ-|ω-(ζ-) ∈ O= 1、另一方面，如果ω-(ζ-) /∈ O、然后通过ω的左连续性-, ω-(ζ-) ∈ O、在这种情况下，ζ处必须有跳跃-, 存在一个序列tn↓ ζ-当n到单位时，例如thatω-（tn）∈ Ocfor every n.通过ω，ω（ζ）的右连续性-) = 画→∞ω-（tn）∈ 由于Oc的封闭性。因此，^ζ≤ ζ-每当ω-(ζ-) ∈ O、和其他forePx^ζ ≤ ζ-|ω-(ζ-) ∈ O= 1、由于Px（{ω-(ζ-) ∈ O}∪ {ω-(ζ-) ∈ O} ）=1，像素^ζ ≤ ζ-= 1、其他不等式ζ-≤ ζ通过定义n保持不变。接下来，如果ζ和∏从x开始，我们建立了几乎确定的连续性/∈ O、提案15。

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2022-6-10 05:28:10

如果x∈ 研发部\\O和Px（^ζ=ζ）=1，那么在Px下，ζ和∏几乎肯定是连续的。证据如果x∈\'Oc，然后是初始状态为x满足sζ（ω）的任意ω≡ 0和∏（ω）≡ x是常量映射。ζ和∏均在ω处与其初始x连续∈\'\'摄氏度。如果x∈ O、对[3]定理3.1和命题2.4的证明稍加修改意味着，映射ζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ Rdare b oth连续于任意ω∈ Γ := {ω : ω(0) ∈ O}∩ Γ\\Γ在斯科罗霍德地形中，其中Γ={ω：ζ-=^ζ=ζ}和Γ={ω：ω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6=ω(ζ-)}. 命题14和条件Px（^ζ=ζ）=1意味着Px（Γ）=1，Px（Γ）=0。因此，Px（Γ）=1，对于这种情况，我们得出ζ和∏几乎存在连续性。最后，如果x∈ O、使用与定理3.1和命题2.4完全相同的方法，我们知道映射ζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ Rd均在任意ω处连续∈ Γ := {ω : ω(0) ∈ O、斯科罗霍德拓扑中的^ζ=ζ=0}。由于x对于'Oc是正则的，Px（Γ）=1，我们得出了这种情况下ζ和∏的几乎确定的连续性。3.4有效条件-IIIFor x∈ O、下面的示例表明，Px（^ζ=ζ）=1不能保证Px下ζ和∏几乎可靠的连续性。示例16。考虑O=（0，1）和Xt=t。换句话说，P（ω）=1表示ω（t）=t。然后，0∈ O和P（^ζ=ζ=1）=1。特别是，回想一下（8）中对^ζ的定义，^ζ=1而不是^ζ=0，因为它被定义为命中时间inf{t>0：…}而不是进入时间inf{t≥ 0 : ...}.然而，路径序列{ωn}n≥1ωn（t）=n-1.- 2t，t∈ [0，n-1），t，t≥ n-1，为了避免歧义，当P（B）=0时，设P（A | B）=1。满足限度→∞do（ωn，ω）=0，而limn→∞ζ（ωn）→ 0 6=ζ（ω），以及P{ω}>0。因此，ζ在P中几乎肯定不连续。备注17。

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2022-6-10 05:28:13

示例16意味着对于x∈ O、 ζ在Px下几乎不一定是连续的，我们需要寻求v连续的其他有效条件。在下面的讨论中，我们的想法是考虑一个更大的域O 命题15适用的O，我们假设O的正则性结构，它保证Px（ζ=τ′O）=1，因此v（x）=v（x）表示allx∈事实证明，这是除了假设1之外的唯一假设，主要定理成立。作为准备，请定义移位运算符θt:Dd7→ Ddasθtω（s）=ω（t+s），s≥ 0。这意味着（Xso θt）（ω）=Xs（θtω）=θtω（s）=ω（t+s）=Xt+s（ω）。提案18。如果h∈ [0，^ζ（ω）]，然后是ζoθh（ω）=ζ（ω）- h表示所有ω∈ Dd.证明。根据θ，ζ的定义o θh（ω）=inf{t>0：ω（t+h）/∈\'O}=inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}- h、因此，必须证明inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=inf{t>0：ω（t）/∈\'\'O}。观察ω（t）∈ O对于所有t∈ [0，h）由于h≤^ζ. 因此，1。ifω（h）∈\'O，然后inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=inf{t>0：ω（t）/∈“O}定义为“in-fim”；2、如果ω（h）/∈\'O，然后inf{t>0：ω（t）/∈\'O}=h。另一方面，inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=hbyω的右连续性。引理19。让x∈\'O.如果Px^Π ∈\'\'Oc，*= 1，然后是Px^ζ = ζ= 1.证明。根据命题18，ζ=^ζ+ζo θ^ζ. 此外，如果X^ζ∈\'\'Oc，*, 然后PX（^ζ）（ζ=0）=1。因此，sinc e Px（X（^ζ）∈\'\'Oc，*) = 1，像素ζ =^ζ= 二甲苯ζ o θ^ζ= 0= ExhPX（^ζ）（ζ=0）i=1。提案20。假设存在一个邻域NofO使Px^Π ∈\'\'N= allx为0∈\'O.设O=N∪O、并相应地定义ζ=τ′O，^ζ=τO，π=X（ζ），^∏=X（ζ）。那么，对于所有x∈(R)OPxΠ =^Π = Π=^Π, ζ =^ζ = ζ=^ζ= 1和ζ和∏在Px下几乎肯定是连续的。证据自'O O\'\'O O、 Px^ζ ≤ ζ ≤^ζ≤ ζ= 1.（20）我们首先表明Px^ζ = ζ= 1.

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2022-6-10 05:28:16

自Px（^∏）起∈\'\'N）=0和Px（^∏°∈ O） =0由于X的右连续性，后者可以重写为asPx^Π ∈\'\'Oc\'\'N+ 二甲苯^Π ∈ O \\ \\N= 1.因此，有必要讨论以下两种情况：o如果ω∈n^∏∈“Oc”否，则自“Oc”N起\'Oc，^ζ（ω）=ζ（ω）。o如果ω∈n^∏∈ 否，那么从O相对于打开O、存在r>0这样的Br（^∏（ω））∩\'\'N=. 此外，由于^∏（ω）∈ O\'\'Oc，*, 引理19表示存在序列hn↓ 0，当n变为单位时，ω（^ζ+hn）/∈\'O表示所有n，以及ω，ω的右连续性^ζ+hn∈ Br公司^Π(ω)\\\'O=Br（ω）\\\'O和limn→∞ω^ζ+hn=^Π (ω) .因此，^ζ（ω）=ζ（ω）也成立。那么上述两种情况用（20）表示tPx^ζ = ζ =^ζ= ζ= 1，并且Px（^∏=π=π=π=^∏）=1也成立。最后，在x上应用ing命题15∈\'\'O关于扩展域O.自x∈ O O（注意，Px^Π ∈\'\'N= 0），orx∈“”O \\O O、（ζ，π）在Px中几乎肯定是连续的。通过将以上所有结果汇总在一起，我们可以提供（2）中的随机表示v=E[F]是（1）的广义粘性解的充分条件下的主要结果，如第2.4节的理论5所述。证据（定理5）如命题n 20中所述，我们将域O展开为O，并设置相应的算子ζ,^ζ, Π,^Π. 考虑（2）形式的O相关值函数vin，即v（x）：=Ex“Zζe-λsl（Xs）ds+e-λζg（π）#，则v=v on'O，因为PxΠ =^Π = Π=^Π, ζ =^ζ = ζ=^ζ= 命题20还意味着（ζ，π）对于所有x在px下是连续的∈因此，由于引理12，vis在O中是连续的，v也是连续的。最后，引理8得出了主要结果。备注21。注意，在定义（2）中的v时，我们采用了随机时间ζ=τ\'O，而不是可能的替代选择^ζ=τOor？ζ（ω）=inf{t≥ 0：ωt/∈ O} 。

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2022-6-10 05:28:19

这三个都是停止时间，主要区别可以总结为：’ζ是进入Oc的时间，而^ζ和ζ分别是到达OCA和‘Oc’的时间。根据定理5的证明，在所作的假设下，命题20告诉我们pxζ =^ζ, Π =^Π= 1.x个∈“Oalways保持不变。因此，如果我们用随机时间ζ分别替换为（2）中的^ζ和ζ的费曼-卡茨泛函表示为^v和'v，那么v=O上的^v。因此，定理5仍然使用v替换为^v，没有额外的作用。采用ζ的主要原因是为了方便演示。另一方面，如果v被“v”代替，则定理5不再成立。事实上，在定理5的相同假设下，Pxζ =^ζ =ζ, Π =^Π =Π= 1，因此v=^v=(R)v，但仅适用于x∈ O∪ O、例如，考虑第2.1节中给出的=0的随机exitexample。v（x）=^v（x）=v（x）是一个直接的计算，x个∈ （0，1），whilev（0）=^v（0）=1- e-16=(R)v（0）=0。接下来是Theorem5的即时结果，它为我们准备好了下一节讨论的非平稳问题。推论22。设O是一个形式为O=（0，1）×a的圆柱集，对于某些开集a。如果（1）’Ac，*= Ac相对于X-1： =（X，…，Xd）；（2）Xis是一个从属过程，那么（2）的v是（1）的广义粘度解，其中有Γout {1} ×A.证明。因为X是Feller，所以X和X-1是Feller和\'Oc，*=\'O \\（{0}×A）。应用定理5，我们可以取N=∪x个∈AN（x），其中N（x）是N（x）给定的（0，x）的邻域=-ρx，ρx×Bρx（x），ρx=距离（x，（A）∧ 1.4非平稳问题的应用在本节中，我们应用定理5中的主要结果来求解两个分数拉普拉斯算子的非平稳方程，一个是线性方程，另一个是非线性方程。

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2022-6-10 05:28:22

给定状态空间O，其非平稳（抛物线）域QT及其非平稳边界PQT：=（0，T）×O，PQT：=（0，T）×Rd\\QT。给定算子G（u，T，x），非平稳问题的粘性解（u，T，x）=0，在QT上，在PQT上，u=0。（21）的定义与固定问题的定义3类似：定义23。1、给定u∈ U SC（(R)QT）和（t，x）∈\'\'QT，超测试函数的空间isJ+（u，t，x）={φ∈ C∞（Rd+1），s.t.φ≥ （uI？QT）*φ（t，x）=u（t，x）}。如果G（φ，t，x）满足（t，x）下的粘度特性≤ 0，用于φ ∈ J+（u，t，x）。2、给定u∈ LSC（(R)QT）和（t，x）∈(R)QT，子测试函数的空间为，J-（u，t，x）={φ∈ C∞（Rd+1），s.t.φ≤ （uI？QT）*φ（t，x）=u（t，x）}。如果G（φ，t，x），则满足（t，x）处的粘度上解性质≥ 0，用于φ ∈ J-（u、t、x）。3、函数u∈ C（(R)QT）是（21）的粘度溶液，如果（i）u在每个（t，x）处同时满足粘度下解和上解性质∈ QT；（ii）u≡ PQT为0∩ QT。我们感兴趣的非线性方程是-tu公司- |xu |γ+(-x） QT时α/2u+1=0，PQT时u=0。（22）其中，对于函数φon（t，x）∈ R×Rd，分数拉普拉斯算子(-x） α/2φ（t，x）=(-)α/2φ（t，·）（x），对于x上的函数|φ∈ Rd，-(-)α/2￠φ（x）=CdZRd \\{0}[￠φ（x+y）-φ（x）- y·Dφ（x）IB（y）]dy | y | D+α，具有一些归一化常数Cd和分数拉普拉斯算子α的指数∈ (0, 2).这种形式的方程自然出现在许多应用中。如果γ=1，则（22）成为HJBequation，其中-|xu |=infb∈B（B·）xu）（见[12]，及其在随机控制问题中的重要作用见[16、25、32、33]）；如果γ>1，则（22）变为确定性KPZ方程（见[1]）。

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mingdashike22

2022-6-10 05:28:25

它也可以被视为HJB方程，因为-|xu |γ=infb∈研发部(-b·xu+L（b）），L（b）=支持∈Rd（p·b- H（p））是函数H（p）=p |γ的勒让德变换（见[14]第3.3节）。4.1线性方程为了分析（22）的可解性，首先考虑一个更一般形式的线性方程tu+b·徐- |σ|α(-x） α/2u+l = QT为0，PQT为u=0。（23）其中b是Lipschitz连续向量场Rd7→ Rd称为漂移，σ是Rd×Rd中的常数称为波动率，l是Lipschitz连续函数Rd+17→ R、定义相关随机过程X asdXt=b（Xt）dt+σdJt，（24），其中J是某些α的各向同性α稳定过程∈ （0，2）及其生成三元组（参见[30]或[6]中的Levy过程的概念）A=0，ν（dy）=y | d+αdy，b=0。（24）存在唯一的强解，X是Feller过程。它有一个C\'adl\'a g版本，其生成器L满足其域D（L） C（Rd）。尤其是r，如果φ∈ C（Rd），则L与下列积分微分算子一致，Lφ（x）=b（x）·φ（x）- |σ|α(-)α/2φ（x）。（25）通过Lxu（t，x）=Lu（t，·）（x）将Lφ（x）明显扩展到部分算子Lxφ（t，x），PDE（23）变为tu+Lxu+l = QT为0，PQT为u=0。接下来，我们通过平稳偏微分方程的解及其相关的随机过程来求解上述非平稳偏微分方程：如果（23）在QT中有一个光滑解u，那么变量y的变化=（t，x）∈ 给定常数λ>0时，Rd+1，w（y）=eλtu（t，x）（26）意味着w满足域Rd+1的平稳y方程，-Lw（y）+λw（y）- l（y） QT上=0，PQT上w（y）=0∩ QT，（27），其中Lw（y）=(tu+Lxu）（t，x），l（y） =eλtl（y，y-1）和y-1=[y，…，yd+1]是一个d维列向量，除第一个标量y外，向量y的元素均为d维列向量。

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2022-6-10 05:28:28

特别地，它是Rd+1值Markov过程s7的生成元→ 对于（24）的X，Ys=（t+s，Xt+s），它遵循以下动力学：Ys=b（Ys）dt+σdJt，Y：=Y=（t，Xt），（28），其中b（Y）=b（t，x）和σ=1×dIdσ、利用d×d单位矩阵IdA和d维零行向量01×d，可以应用Theo rem5来检查与随机过程（28）相关的Feynman Ka c泛函是否是平稳PDE（27）的广义vis-costity解。此外，在附加正则性条件下，我们在下文中表明，广义粘性解与定义意义上的粘性解一致23。作为准备，我们定义了外锥条件。定义24。对于y∈ Rd \\{0}和θ∈ （0，π），定义圆锥C（y，θ），方向为y，孔径为θasC（y，θ）={x∈ Rd:x·y>| x |·······y···cosθ}。用Br表示截锥Cr（y，θ），即Cr（y，θ）=C（y，θ）∩ Br。O满足Cr（x）（vx，θx）的外部条件，如果存在r（x）：Rd→ R+，vx：R→ Rd \\{0}，θx:Rd→ （0，π），使得对于每个x∈ O、与其相关的截短外锥x+Cr（x）（vx，θx） Oc。推论25。设b为Lipschitz，σ为常数，O为满足外锥条件的有界开集。如果（b，σ）满足以下条件之一（A1）-（A3），（A1）|σ|>0和α≥ 1.（A2）|σ|>0和b≡ 0;（A3）b（x）·对于所有x，vx>0∈ O、然后由v（t，x）=Et，xhZζ定义的函数vde∧Ttl（s，Xs）dsi（29）是（23）的粘度解，其中ζ定义为X in（24）的寿命τO（X）。证据

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2022-6-10 05:28:31

对于w（t，x）=eλtv（t，x）和r=s- t、 w（t，x）=eλtEt，xhZζ∧Ttl（s，Xs）dsi=eλtEt，xhZζ∧T-t型l（r+t，Xr+t）dri。当Ys=（t+s，Xt+s）为d+1维过程，ζ为状态空间QT中Y的寿命时，Y遵循（28）的动力学，初始状态Y=（t，Xt），ζ满足度ζ：=τQT（Y）=ζ∧ T- t、因此，w可以用Y表示：w（t，x）=eλtEt，xhZζl（年）dri。由于Y（r）=t+r，进一步替换l（y） =eλtl（y）导线束（t，x）=Et，xhZζe-λreλ（t+r）l（Yr）dri=EyhZζe-λrl（年）dri。由于O满足外锥条件，且其中一个条件（A1）-（A3）成立，第A.2节的命题28表明O为'Oc的规则值。根据推论22，w是（27）的广义粘度解，如果t=t或x，w（t，x）=0∈ Oc。根据定义23，refore为f（23）的粘度溶液。4.2非平稳非线性方程返回到非线性方程（22），-tu公司- |xu |γ+(-x） α/2u+1=0，QT时；u=0，在PQT上。作为一个起点，我们回顾了关于其可解性的以下结果（另请参见[2，12]），在本节的其余部分将其称为（CP+PM）：o（CP+PM）假设比较原则成立，Perron的方法有效。如果存在子解和上解，则（22）是唯一可解的。为了集中讨论费曼-卡茨泛函作为广义粘度解的应用，我们将不追求（CP+pm）的有效性，并将其视为在讨论中理所当然的。下一个命题表明，我们关于上述线性方程（23）的结果有助于建立（22）的半解，作为（CP+PM）论证的准备。提案26。设O是满足外锥条件的有界开集。如果γ≥ 1和α∈ （0，2），当存在（22）的粘度上下解时。证据第一个u=0是上解。

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2022-6-10 05:28:34

另一方面，推论25证实了随机表示vof（29）与X~ -(-x） α/2是-tu+(-x） α/2u+1=0，在QT上：=（0，T）×B；u=0，在PQT上：=（0，T）×Rd\\QT。通过|xu |γ，vis也是（22）的粘度亚溶液。本文给出了定理5中（2）的v是（1）的广义v正解的充分条件。据我们所知，这是验证Feynman-Kac函数作为跳跃扩散中Dirichlet问题的广义粘度解的第一个结果。我们还提供了一个例子10，其中定理5中的假设不成立，费曼Ka c泛函不连续。为了不分散读者对主旨的注意力，我们对g有着更为严格的假设（假设1），l, 和λ。然而，这些条件可以适当放宽一些温和的可积性条件。虽然定理5的证明主要是概率性的，但它为具有Dirichlet边界的积分微分方程的广义v粘性解的存在性提供了另一种构造性证明，它可以与comparisonprinciple和Perron方法一起用于非线性方程的可解性。换言之，定理5与概率正则性（如命题28）一起，产生了关于Dirichlet问题可解性的纯分析结果。作为一个应用，我们考虑了柱面域QT=（0，T）×O上的Rd+1值过程（参见Corolla ry25）。如果Xis在时间上匀速运动（即dX（t）=dt）a和X-1=（X。

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2022-6-10 05:28:37

，Xd+1）是一个Rd值过程，每个点O正则，则相应的FeynmanKac泛函很容易验证为平稳问题的广义粘度解（27）。此外，如果用从属过程代替匀速运动Xb，则可以类似地验证定理5的假设。需要检查相关随机控制问题（或非线性Feynma-nKac泛函）的值是否与由半解和Perron方法构造的（22）的解一致。另一方面，放宽λ>0的假设可能会导致gaugetheory的扩展（见[8]和[31]）。这两个都是我们未来工作的有趣话题。附录A。1从v in（2）和Γout={x的定义中表征Γout∈ O：v=g}，Γout依赖于函数g viav，我们在本节中显式地将其写为Γout[g]。引理27。如果Px（ζ<∞) = 那么每x取1∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、证明。引理8意味着∩g∈C0,1（Rd，R）Γout[克] O、另一方面，对于任何x∈ O、 takeg（x）=e-|x个-x | klk∞/λ + 11 - p（x），其中p（x）=Ex[e-λζ]. 自x起∈ O、 Px（ζ>0）>0，Px（ζ<∞) = 1按消耗，p（x）∈ （0，1）和g是C0,1（Rd）中定义良好的严格正函数。此外，（2）v:v（x）<1+k的yieldsan估计值lk∞λ+kgk∞p（x）=1+klk∞λ+klk∞/λ + 11 - p（x）p（x）（30）=klk∞/λ + 11 - p（x）=g（x）。（31）因此v（x）6=g（x）和x/∈ ∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]。通过x的任意性∈ O、，∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、 A.2外锥条件下的正则性在本节中，我们证明了推论25中使用的正则性条件，即满足dxt=b（Xt）dt+σdJt的微分X。提案2 8。设b为Lipschitz，σ为常数，O为满足Cr（x）（vx，θx）外锥条件的有界开集。此外，假设（b，σ）满足（A1）-（A3）的条件之一。

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