单一合格资产的标量多元风险度量

2022-6-10 08:13:19

单eligibleassetZachary-Feinstein的标量多元风险度量*Birgit Rud Loff+2021年2月5日（或原稿：2018年7月27日）摘要在本文中，我们展示了具有交易成本的市场中标量风险度量的结果。此类风险度量被定义为现金资产的最低资本要求。首先，给出了这类风险测度的对偶表示的一些结果，特别强调了对偶变量的空间，如（等价）鞅测度和与市场模型一致的价格。然后，利用这些对偶表示得到了本文关于有摩擦市场中尺度风险测度的时间一致性的主要结果。从具有交易成本的市场中的超边际风险度量（如[50、69、62]）可知，通常的时间一致性尺度概念太强且不令人满意。我们将表明，可以定义时间一致性的更精确概念，它对应于通常的标度时间一致性，但在任何固定的一致定价过程下。我们将用固定的一致性定价过程证明时间一致性这一较弱的概念与潜在风险度量的某种类型的后向递归的等价性。给出了几个例子，特别强调了超边缘风险度量。1简介动态规划原理和时间一致性是计算动态优化问题和保证决策者在下一个时间点不会逆转决策的重要概念。在风险管理的背景下，这些原则由dynamicrisk度量的属性编码。这些职能提供了使风险经理接受投资所需的最低资本要求。

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2022-6-10 08:13:22

在本文中，我们研究了多元风险度量的时间一致性属性，以考虑交易和市场影响成本的可能性。也就是说，集合之间的无摩擦转换是不可能的，因此，将一个投资组合减少到一个单一的数量，无论是非唯一的还是不唯一的，都需要系统地增加风险。就像将来一样*史蒂文斯理工学院，美国新泽西州霍波肯商学院，邮编：07030，zfeinste@stevens.edu.+维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳A-1020，AUT，brudlo Off@wu。ac.at。在本文后面的工作中，我们的方法将这个问题归结为在所有可能的无套利过程下动态风险度量的时间一致性。本文的组织结构如下。在第1.1节中，我们提供了文献综述，在第1.2节中，我们概述了主要结果以及我们对其研究的动机。在第2节中，我们介绍了本文将使用的风险度量和符号的背景材料。这种表示法中的大部分是集值风险度量文献中使用的比较法。在第3.1节中，我们介绍了本文将考虑的动态标量风险度量的定义，以及关于有界性的基本结果。在第3.2节中，我们为单一合格资产的标量风险度量提供了双重代表。特别强调的是类似于【50】中所考虑的（1.1）的表述，但针对具有交易成本的市场中的一般对流和一致动态风险度量，这将风险度量放松到无套利定价过程集。在第3.3节中，我们给出了有关标量风险度量的相关性或敏感性的结果，这为双重表示仅与等效概率度量有关提供了条件。

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何人来此

2022-6-10 08:13:25

在第4节中，我们为具有单个合格资产的标量r ISK度量引入了时间一致性的新概念。这一概念与任何市场一致无摩擦（无套利）价格过程下相应的单变量标量风险度量的时间一致性相一致。因此，与之前的许多文献不同，我们可以并且确实证明，通常的例子满足了这种性质；特别是，我们在第5节中详细介绍了超边缘风险度量和组合风险度量。1.1文献综述在其开创性论文中，Artzner、Delbaen、Eber和Heath【2】介绍了静态单变量环境下一致风险度量的概念，该概念提供了补偿或有索赔风险所需的最低资本。[22]进一步研究了一致性风险度量。这些风险度量被推广到了[38，40]中的Convex案例，同时保留了相同的财务解释和多元化的概念。当引入过滤（Ft）Tt=0时，考虑动态风险度量是很自然的，即根据时间t的信息有条件地补偿或有索赔风险所需的最低资本。在这个时间动态环境中，或有索赔风险随时间传播的方式非常重要，asit对风险管理有重大影响。一种称为（强）时间一致性的条件是，如果一个投资组合未来的风险高于另一个投资组合，那么之前的所有时间都必须保持相同的顺序。这一特性是在单变量条件下，在离散时间[3、66、25、18、70、9、10、11、37、20、19、1、39]和连续时间[41、23、24]中研究的。其他较弱的时间一致性形式已在[61、60、67、74、75]中提出用于动态风险度量。在这项工作中，我们将考虑多变量风险度量。

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2022-6-10 08:13:28

多元设置源于存在摩擦的市场，因为将一个投资组合清算成一些数字，不允许回购同一资产。在[51、45、47、44、46]中，在集值静态（单周期）框架中研究了这种设置。最近，单期框架下的集值风险度量被应用于研究系统性风险[35，8]。在集值时间动态框架中，在[29，6]中引入了时间一致性的新概念，称为多端口时间一致性。[31、30、33、34、17]进一步研究了这种性质。[32，62]研究了此类集值风险度量的计算。这项工作的重点是单一合格资产的动态标量多元风险度量。文献[30、33、34]中已经讨论了具有多个灵活资产的动态标量多元风险度量的一些结果。具有单个合格资产[38，2]或多个合格资产[28，5，77，4，42，56，71]的无冲突市场的标量风险度量可被视为标量多变量风险度量（此类比较参见[30，示例2.26]）。此外，此类功能已在系统性风险的背景下加以考虑，例如，【59，15】。本文的重点是[16，76]中所述的单一合格资产的多变量风险度量的动态版本（见[30，示例2.27和2.28]的简要讨论）。当然，时间一致性并不仅仅是在这里考虑的风险度量的背景下研究的。对于快速控制和阻止出现的问题的时间一致性已经有了实质性的发展和研究，例如，从行为经济学的角度来看，人们认为随着时间的推移，代理人的控制（即选择策略或停止时间）是一致的。

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2022-6-10 08:13:31

【73】对效用最大化问题的时间一致性进行了调查。我们希望重点介绍[27，13，12]关于随机控制的时间一致性和[49，21]关于最优停止问题的时间一致性的最新工作；这些工作利用了【73】中提出的标准平衡一致规划方法。我们还希望强调[54]，它非常简洁地定义了控制问题的时间一致性问题；这项工作提出并使用了几种不同于先前参考文献中平衡法的方法。自从Ekeland和Lazrak的开创性工作以来，此类时间一致性问题越来越受到关注。事实上，这种时间一致性问题与风险度量的相同方向密切相关。这种控制观点可以通过对偶表示看到，对偶表示是概率测度上的最大化问题。在另一种情况下，通过稳定性【3】，即通过时间粘贴这些概率度量，这是明确的。事实上，我们可以将风险度量的时间一致性视为控制文献中价值函数的递归。在集值框架中情况类似。文献[57，36]研究了多元环境中的随机控制问题，其中值函数现在是一个集值函数；时间一致性情况下值函数的相应向后递归类似于多投资组合时间一致性情况下集值风险度量的向后递归，因为值函数（即风险度量本身）在时间上向后递归。

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2022-6-10 08:13:34

当然，随机控制问题的结构要复杂得多，例如，与风险度量相比，对初始资本水平的依赖会使反向递归中的数值计算复杂化，参见【57】，其中输入是终端时间的随机向量。1.2动机在这项工作中，我们考虑了具有交易成本的市场风险度量。这些市场摩擦导致需要考虑多变量风险度量（即“实体单位”向量值投资组合的风险度量，即持有的非现有资产或证券的数量，而不是该投资组合在单一数量下的价值），因为无法确定投资组合或投资的单一价值。例如，使用买入价和卖出价之间的当前中间价计算的投资组合的按市值计价严格大于同一投资组合的清算价值；这两种价值都会导致不同的资本要求，并且都不一定会对投资组合的真实风险进行编码。引入了集值风险度量（参见，例如，[51，46]），以便通过考虑所有资本要求的集合来处理这个问题，这些资本要求可能存在于多个不同的资产中，使投资组合可以接受。这样就无需首先将d维投资组合向量转换为一维量，从而避免了与此相关的问题。我们专注于动态多变量风险度量和围绕时间一致性的质量估计。对于集值风险度量，典型的动态规划原则称为多对时间一致性（参见，例如，[29，31]）。这种资产通过比较所有可接受的资本配置来关联向量值投资组合之间的风险。

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kedemingshi

2022-6-10 08:13:37

通常的风险度量，例如超级对冲风险度量，在资产的全部空间可作为资本持有时满足此时间一致性属性。然而，通常情况下，资本只需持有一种货币或现金资产。在这种情况下，多端口对时间一致性可能不再适用于相应的集值风险度量（这种情况下，例如，对于超边缘）。此外，对于单个合格资产，最低资本要求（通常称为集值风险度量的标量化）成为考虑的逻辑目标，但它通常也不满足时间一致性的标量概念。因此，本文的激励问题如下。如果符合条件的资产只是现金资产，集值风险度量不满足多端口时间一致性，且标度化不满足通常的时间一致性，那么该标度风险度量是否存在更合适、更弱的时间一致性形式？佳能利用这样一个事实：对于全套合格资产，集值风险度量是多端口对时间一致的？这两个问题的答案都是肯定的，并将在这项工作中得到解答，请特别参阅下面的引理4.20。我们有特殊的动机来研究具有单一合格资产的标量多变量风险度量问题，这是许多研究有摩擦市场中标量超边际价格的著作的结果。例如，我们参考[7、14、65、50、68]来研究具有交易成本和两种资产的市场中的标量超边际价格。这已扩展到[69，62]中的一般数量的资产。[50]给出的标量s超套期保值价格在求解锥序列（Kt）Tt=0（对于具有比例交易成本的市场，进一步讨论见第3.1节）下的d维度变化如下。

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2022-6-10 08:13:40

在适当的无套利论证下，标度超边际价格ρSHP(-十）时间t=0时的第一项（现金）资产单位由ρSHP给出(-十） =sup（Q，S）∈用于X的QEQhSTTXi（1.1）∈ L∞(Ohm, FT，P；Rd）以实物单位支付。对偶变量集由Q给出，表示所有过程的集S=（St）Tt=0以及它们的等价马丁盖尔测度Q，使得St≡ 1和EhdQdPFtiSt公司∈ L∞(Ohm, Ft，P；K+t）对于所有t。在本文中，我们注意到[62]的定理6.1将（1.1）与单一可省略集（num'eraire资产）下的集值超边缘风险度量的标度化相关。我们将在动态框架中为generalconvex风险度量提供类似的双重表示。然后，我们使用该表示法定义一个新的时间一致性属性，如下所述，该属性可以通过超级对冲风险度量来满足。这与之前关于标度多元测度的时间一致性的工作形成对比[48，58]，其时间一致性属性不包括超边缘风险测度作为示例。这也与最近关于多变量问题尺度化的研究一致，如[54，57]，表明通常的时间一致性尺度概念太强，无法满足多变量风险度量的尺度化。虽然时间一致性的较弱形式（例如，[75]）可能会满足规模化的要求，但我们感兴趣的是一个较弱的版本，该版本足够强大，仍然允许与动态规划原则相联系。我们将这项工作中定义的较弱的时间一致性属性称为π-时间一致性，因为它对应于定价过程中出现的所有风险度量π的通常标量时间一致性。也就是说，当市场模型遵循任何（无摩擦）无套利定价过程时，风险度量是时间一致性的。

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2022-6-10 08:13:43

我们将证明时间一致性这一较弱概念与πSt的某种向后递归的等价性。我们将证明，在具有交易成本（以现金资产表示）的市场中，如[50，69，62]所示的超级对冲风险度量，同时不满足通常的标量时间一致性属性，这也意味着它本身不是递归的，将满足π-时间一致性和关于πSt.2设置的thusa向后递归考虑过滤概率空间Ohm, F、（Ft）Tt=0，P满足平凡sigma代数的一般条件且F=FT。设|·| nbe为n的任意范数∈ N注|·|处的th等于绝对值运算符。由Lt（D）=L表示(Ohm, Ft，P；D） Ft可测函数的等价类集合X：Ohm → D RN对于某些n∈ N、此外，用Lpt（D）表示 Lt（D）thoserandom变量X∈ Lt（D）使kXkp=ROhm|X（ω）| pndPp<+∞ 对于p∈(0, +∞) 和kXk∞= ess supω∈Ohm|X（ω）| n<+∞ 对于p=+∞. 我们进一步注意到Lp（D）：=定义的LpT（D）。特别是，如果p=0，Lt（Rd）是Ft可测函数X的等效类的线性空间：Ohm → Rd.对于p>0，Lpt（Rd）表示Ft可测函数X的线性空间：Ohm → Rd使kXkp<+∞对于p∈ (0, +∞]. 请注意，元素X∈ Lpt（Rd）有组件X。。。，XdinLpt（R）用于p的任意选择∈ [0, +∞]. 对于p∈ [1, +∞] 我们将考虑双绞线Lpt（Rd），Lqt（Rd）, 式中，P+q=1（q=+∞ 当p=1且q=1时，NP=+∞), 并赋予它范数拓扑，分别是σL∞t（Rd），Lt（Rd）L上的拓扑∞在p=+∞. 在本文的大部分内容中，我们将重点讨论p=+∞.在整个工作过程中，我们将使用1D表示的指示器功能：Ohm → {0，1}对于某些D∈ F、定义这些参数，以便1D（ω）=1，如果ω∈否则为D和0。

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2022-6-10 08:13:46

此外，在整个过程中，我们将考虑用Minkows k i加法求集的和。A组B 如果1DB+1DcB，则称Lp（Rd）为Ft可分解 B对于任何可测量的D∈ Ft.【52】和【72、53】中讨论的一样，本文中的投资组合是以资产的“物理单位”（在有d资产的m市场中）表示的，而不是以固定数量表示的价值，除非另有说明。也就是说，对于投资组合X∈ L∞t（Rd），xi的值（对于1≤ 我≤ d）是时间t时投资组合中资产i的未分配数量。设M=R×{0}d-1选择一组合格的投资组合，即可以用来补偿投资组合风险的投资组合。也就是说，为了本文的目的，我们将假设第一项资产是唯一可用于补偿风险的资产（在典型示例中，这将是现金资产）。为便于注释，我们定义Mt=L∞t（M）=L∞t（R）×{0}d-1，L的一个弱*闭线性子空间∞t（Rd）（见第5.4节和第5.5.1节【53】）。我们将表示M+：=M∩Rd+=R+×{0}d-1是M的非负元素。我们将另外表示Mt，+：=Mt∩L∞t（Rd+）=L∞t（M+）=L∞t（R+）×{0}d-1作为Mt的非负元素。用P（Mt；Mt，+）表示u上集，其中P（Z；C）：={D 向量空间Z和序锥C的Z | D=D+C} Z、此外，设G（Z；C）：={D Z | D=cl co（D+C）} P（Z；C）是上闭凸子集。如前所述，对于下面的对偶结果，我们将考虑p=+∞. 我们将简要描述s et valuedbiconjugation理论中的一组双变量，如[29，31]中所用，这是[43]中首次定义的。首先，定义概率空间度量相对于P作为M的绝对连续性，而P作为M是与M等效的概率度量。

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2022-6-10 08:13:50

d维概率度量空间相对于P是绝对连续的，用Md表示。自始至终，我们将使用Q-条件期望的P-几乎确定版本，其中Q∈ M、例如，[19，29]对此进行了定义。Brie fly，let X∈ L∞（R），然后确定条件期望eq[X | Ft]：=Eξt，t（Q）X英尺,式中，ξs，σ（Q）[ω]：=E[dQdP | Fσ]（ω）E[dQdP | Fs]（ω）如果EhdQdP每ωFsi（ω）>01 Elsef∈ Ohm. 对于向量值概率测度Q∈ md结果按组件定义，即等式【X | Ft】=等式[X | Ft]，EQd【Xd | Ft】t对于anyX∈ L∞（Rd），定义ξs，σ（Q）：=ξs，σ（Q），ξs，σ（Qd）T、注意，对于anyQ∈ M和任意时间0≤ t型≤ s≤ σ ≤ T，dQdP=‘ξ0，T（Q）和‘ξT，σ（Q）=‘ξT，s（Q）’ξs，σ（Q）几乎可以肯定。从这个表达式中，我们可以将集值结合理论[43]中的对偶变量集定义为wt：=n（Q，w）∈ Md×M+t，+\\M⊥t型| wTt（Q，w）∈ L（Rd+）o.（2.1）在该表示中，我们定义t（Q，w）=diag（w）ξt，s（Q）的任意时间为0≤ t型≤ s≤ 其中，diag（x）表示主对角线上x的分量构成的对角线矩阵。此外，我们还使用了符号M⊥t型=v∈ Lt（Rd）| EvTu= 0u∈ Mt公司表示MtandC的正交空间+=v∈ Lt（Rd）| EvTu≥ 0u∈ C表示圆锥的正对偶锥 L∞t（Rd）。3标度化在本节中，我们介绍了本文中感兴趣的标度多变量风险度量。我们在第3.1节中提供了与[2、38、40]类似的这些风险度量的公理化定义，并进一步将这些标量风险度量与[29、31、30]的设定值风险度量联系起来。在第3.2节中，我们考虑了这些标量风险度量的对偶表示，它们产生了两个等价的表示。

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2022-6-10 08:13:54

第一个是关于集值文献中考虑的对偶变量，第二个是对[50]中标量多元超边缘风险度量的对偶表示（1.1）的推广。我们在第3.3节结束时扩展了对偶表示结果，以确定此类表示仅在等效概率测度空间上的充分条件。3.1定义首先，我们希望考虑s calar条件对流风险度量的公理化定义，这将是本文的主题。这些属性提供了一种经典解释，即风险度量是一种资本要求，每种资产的数量越多，风险就越低，多元化会降低风险，而不投资于市场会带来有限的风险（可能为0）。通过本文，我们将考虑单位向量e：=（1，0，…，0）T∈ Rd和零向量0：=（0，0，…，0）T∈ 研发定义3.1。

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2022-6-10 08:13:57

A映射ρt:L∞（Rd）→ L∞如果t（R）满足所有X，Y的以下性质，则称为标度化条件凸风险度量∈ L∞（Rd）和m∈ L∞t（R）：o条件现金不变性：ρt（X+me）=ρt（X）- m、 o单调性：Y- 十、∈ L∞（Rd+）=> ρt（X）≥ ρt（Y）；o条件凸性：ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ）每个λ的ρt（Y）∈ L∞t（[0，1]）；o零点有限：ρt（0）∈ L∞t（R）。如果条件正同质性：ρt（λX）=每个λ的λρt（X），则称标准化条件凸风险度量为相干∈ L∞t（R+）。如果标准化条件凸风险度量额外满足：oρt（X）=ess infk，则称为Kt兼容∈Ktρt（X- k）对于每X∈ L∞（Rd），其中Kt=PTs=tL∞Fs可测随机凸锥Ks的s（Ks）。Kt兼容性用于允许在时间点s进行交易∈{t，…，t}根据，例如，由s嗅觉锥序列（Kt）Tt=0建模的买卖价格。以下两个结果与单一合格资产（由Mt提供）上的标度化条件风险度量ρtwithset值风险度量r相关。简而言之，aset价值风险度量是从或有债权空间到合格投资组合集合的映射，即资本分配，使初始债权可被风险经理或监管机构接受。这些风险度量满足现金不变性（Rt（X+m）=Rt（X）- m代表X∈ L∞（Rd）和m∈ Mt），单调性（Rt（X） Rt（Y）通知-十、∈ L∞（Rd+），条件凸性（Rt（λX+（1-λ） Y） λRt（X）+（1-λ） X，Y的Rt（Y）∈ L∞（Rd）和λ∈ L∞t（[0，1]））和0的有限度。有关集值条件风险度量的更多详细信息，请参阅[29、31、30]。定理3.2。

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2022-6-10 08:14:00

让Rt：L∞（Rd）→ G（Mt；Mt，+）：={D Mt | D=cl co（D+Mt，+）}是一个集值条件凸（相干）风险度量，它与Kt兼容（即Rt（X）=Sk∈KtRt（X- k）对于每X∈ L∞（Rd）），则由ρt（X）定义的映射ρtde：=ess inf{m∈ L∞t（R）| me∈ Rt（X）}十、∈ L∞（Rd）（3.1）是一个标度化的条件凸（对应相干）Kt兼容风险度量，相反，Rt（X）=（ρt（X）+L∞t（R+）e十、∈ L∞（Rd）。证据首先，我们将显示ρt（X）∈ L∞任意X的t（R）∈ L∞（Rd）。假设存在一些Z-, Z+∈ L∞（R）这样Z-e∈ 十、- KT和Z+e∈ X+Kt。该imp位于Rt（Z-e） Rt（X） Rt（Z+e）与Kt相容。这意味着ρt（X）≥ ρt（Z+e）≥ ρt（kZ+k∞e）≥ -（kρt（0）k∞+ kZ+k∞) > -∞ρt（X）≤ ρt（Z-e）≤ ρt(-kZ公司-k∞e）≤ kρt（0）k∞+ kZ公司-k∞< +∞.其余的性质在[30]的定理3.15和推论3.17中得到证明。其次，考虑相反的语句Rt（X）=（ρt（X）+L∞每个月的t（R+）∈ L∞（Rd）。如果ue∈ Rt（X）然后u≥ ρt（X）的定义。如果ρt（X）e，则遵循另一个方向∈ Rt（X）。为了证明这一点，我们使用了[30，引理3.18]的结果，即RT（X）=\\w∈M+t，+\\M⊥tnu公司∈ Mt |ρM，wt（X）≤ wtu其中ρM，wt表示标量化ρM，wt（X）：=ess infm∈Rt（X）wTm。然后我们注意到wt（ρt（X）e）=wρt（X）=wess inf{u∈ L∞t（R）| ue∈ Rt（X）}=ess infnwTm | m∈ Mt，m∈ Rt（X）o=ρM，wt（X），这意味着结果。假设3.3。对于本文的其余部分，我们将假设定理3.2的条件满足，并且ρtis的构造如（3.1）所示。我们还将假设Kt定义为w.r.t.偿付能力锥（Kt）Tt=0和Kt“K几乎可以肯定对于某些凸锥”K Rdwith int？K Rd+\\{0}。验收设置为 L∞（Rd）通过集值风险度量Rt确定，即At={X∈ L∞（Rd）| 0∈ Rt（X）}。从接受集，我们还可以定义ρtasρt（X）：=ess inf{m∈ L∞t（R）| X+me∈ 在}十、∈ L∞（Rd）。

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2022-6-10 08:14:03

（3.2）在这种情况下，ρtde定义了当允许市场模型KT定义的交易时，对冲X风险所需的最低资本（在第一项资产中，如欧盟ros）。提案3.4。设ρt:L∞（Rd）→ L∞t（R）是一个标度化的条件凸风险测度。然后，它还满足以下两个特性：1。Ft-Lipschitz连续性：|ρt（X）- ρt（Y）|≤ kX公司- Y kKt，talmost said for everyX，Y∈ L∞（Rd）和2。局部性质：1Bρt（X）=每X 1Bρt（1BX）∈ L∞（Rd）和B∈ 其中，如【6】所述，kXkKt，s：=ess inf{c∈ L∞s（R）| ce≥KtX公司≥千吨级-0的ce}（3.3）≤ s≤ t型≤ T和Y≥KtX如果Y- 十、∈ 千吨级。证据设X，Y∈ L∞（Rd）和B∈ 英尺1。定义kX- Y kKt，te≥KtX公司- Y通过Kt兼容性，这意味着ρt（X）≥ ρt（Y+kX- Y kKt，te）=ρt（Y）- kX公司- 这通过X和Y的对称性提供了所需的结果。通过条件凸性，我们恢复ρt（1BX）=ρt（1BX+1Bc0）≤ 1Bρt（X）+1Bcρt（0），这意味着1Bρt（1BX）≤ 1Bρt（X）。证明逆ρt（X）=ρt（1B[1BX]+1BcX）≤ 1Bρt（1BX）+1Bcρt（X），这意味着1Bρt（X）≤ 1Bρt（1BX）。3.2双重表示我们现在将考虑标量条件风险度量的双重或稳健表示。我们给出了两个等价公式，它们都依赖于下面的Fatou性质中包含的下半连续性质。这两种双重表示中的第一种与基本集值风险度量的双重表示密切相关，如定理3.2所述。关于集值风险度量的双重代表的讨论，请参见[29、31、33]。第二种对偶表示是[50，62]中导出的多元超边缘价格表示（1.1）的推广。定义3.5。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。

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2022-6-10 08:14:06

ρt（X）表示满足Fatou性质≤ lim信息→∞ρt（Xn）对于任何k·k∞-几乎可以肯定的是，有界序列X与X重合。现在，我们将为这些规模化条件转换风险度量提供第一个双重表示。这种表示与[33，Ap pendixA.2]中的结果相似。回顾（2.1）中定义的双变量集。此外，我们将广泛使用第2节中介绍的符号，即wst（Q，w）=diag（w）ξt，s（Q）（Q，w）∈ 用ξt，s（Q）Q w.r.t.P.命题3.6的条件Radon-Nikodym导数的向量。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。那么ρtsatis表示Fatou性质，当且仅当对于任何X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) - （e+m⊥)TEQ[X |英尺], （3.4）式中，wt（e）：=n（Q，m⊥) ∈ Md×{0}×Lt（Rd-1+)| （Q，e+m⊥) ∈ Wt，wTt（Q，e+m⊥) ∈ K+toandαt（Q，m⊥) := ess supZ公司∈在（e+m⊥)TEQ公司[- Z |英尺]。如果ρt另外是一个条件一致风险度量，那么（3.4）可以减少到ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wρt（e）- （e+m⊥)TEQ【X | Ft】，（3.5）每X∈ L∞（Rd）其中Wρt（e）：={（Q，m⊥) | αt（Q，m⊥) = 0每年}。证据1、假设双重代表（3.4）成立。让X∈ L∞（Rd）和（Xn）n∈NL∞（Rd）是有界序列，使得X=limn→∞最可靠的。因此，YTXn→ YTX a.s.和L（R）中的任意Y∈ L（Rd）（根据支配收敛定理）。因此E-wTt（Q，e+m⊥)TXn公司英尺→ E-wTt（Q，e+m⊥)德克萨斯州英尺a、在L（R）中表示任何（Q，m⊥) ∈ Wt（e）也是如此。因此，我们可以看到（在静态设置中，例如在[39]中），ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[- X |英尺]= ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + 画→∞（e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]= ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）limn→∞-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]≤ lim信息→∞ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]= lim信息→∞ρt（Xn）。2、评估“Fatou财产”已满足要求。

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2022-6-10 08:14:09

为了证明对偶表示（3.4）成立，我们只需要证明E[ρt（·）]是正确的，并且是下半连续的，其逻辑与[33]中的位置A.1.7相同。可以对[33，命题A.1.7]中的条件进行这种修改，因为通过[33，命题A.1.1]及其预测，利用了该结果中对集值风险度量的要求，以确保E[ρt（·）]是适当的且较低的半连续性。通过ρt（X）∈ L∞每X的t（R）∈ L∞（Rd），我们可以得出结论，E[ρt（·）]是合适的。明确Cz：=Z∈ L∞（Rd）| E[ρt（Z）]≤ z对于任何z∈ R、定义：=Cz∩Z∈ L∞（Rd）| kZk∞≤ r对于任何大于0的r（在这种情况下，我们将取kzk∞:= ess sup maxi=1，。。。，d | Zi |）。取（Xn）n∈N CRZ接近X∈ L∞（Rd）在概率上，存在一个有界子序列（Xnm）m∈N几乎可以肯定会收敛到X。因此ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xnm），因此（由Fatou引理）X∈ Crz。这是任何r>0的Crzis闭合概率。根据[53，命题5.5.1]，Czis弱*闭合。现在考虑一个网（Xi）i∈我 L∞（Rd）收敛到X∈ L∞（Rd）在弱*拓扑中。L et z：=E[ρt（X）]- 对于任何大于0的。当（Cz）c=Z∈ L∞（Rd）| E[ρt（Z）]>Z是任意>0的X的开放邻域。自Xi以来→ 十、对于任何>0，存在一个j∈ 我这样认为≥ 我们有Xi∈ （Cz）c，即e【ρt（Xi）】>e【ρt（X）】- . 此处为Forelim infi∈IE[ρt（Xi）]≥ E[ρt（X）]，证明是完整的。最后，相干情况与[37]的推论2.5相同。备注3.7。

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2022-6-10 08:14:12

对于对集值风险度量的关系感兴趣的读者，让我们注意到，[33]的位置A.1.3提供了基础集值风险度量Rt的有效条件（可选择任何合格空间M M）保证ρtsatis fis为Fatou财产。利用命题3.6中的对偶表示，我们构造了第二个关于一致价格向量的具有单个概率测度的对偶表示。这是对[50]中的超边缘r isk度量的du al r表示的推广。这种新的双重表示法之所以有价值，主要有两个原因：它提供了一种明确的解释，作为所有无摩擦定价过程的最高点，与m市场模型一致，因此，它允许将风险度量值分解为无摩擦市场，从而允许我们在第4节中讨论的新的时间一致性。对于这种表述，请回顾k·kKT的定义，0来自（3.3）。定理3.8。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。然后ρtsatis确定Fatou性质当且仅当对于任何X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qt-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司（3.6）式中，βt（Q，S）=ess supZ∈在-EQhSTTZFtiandQt=（Q，（Ss）Ts=t）∈ M×TYs=tL∞s（Rd）s=t。。。，Ti=1。。。，d:Ss，1≡ 1，kSs，ik∞≤ max{keikKT，0，1}，Ss=等式[ST | Fs]，dQdPST∈ K+T.证据根据命题3.6，结果大致遵循if1。对于每（R，m⊥) ∈ Wt（e）与e[αt（R，m⊥)] < +∞ 存在a（Q，S）∈ QT使wst（R，e+m⊥) =每次s的ξt，s（Q）sss≥ t、和2。对于每个（Q，S）∈ qt存在a（R，m⊥) ∈ Wt（e），使wst（R，e+m⊥) =ξt，s（Q）Ssfor every time s。让我们证明第一个属性成立。Let（R，m⊥) ∈ Wt（e）与e[αt（R，m⊥)] <+∞. 设Zs：=wst（R，e+m⊥); 注意，（Zs）Ts=这是一个P-鞅。

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nandehutu2022

2022-6-10 08:14:15

然后，我们将通过Ss，i=（Zs，iZs，1on{Zs，1>0}1等定义所有指数i=1，…，d。注意Ss，1处的th≡ 1对于所有时间s和St=e+m⊥∈ L∞t（Rd+）。进一步，定义Q∈ M bydQdP=ZT，1Zt，1=ZT，1（因为ZT=e+M⊥). 请注意{Zs，1=0} {ZT，1=0}根据KtandAssumption 3.3的性质，我们得到{ZT，1=0}={ZT，i=0}（作为ZT∈ K+t）对于指数i的任何选择，在我们可以看到q[ST，i | Fs]=E之前{E[dQdP | Fs]>0}dQdPEhdQdPFsiST，i+1{E[dQdP | Fs]=0}ST，iFs公司= E{Zs，1>0}ZT，1Zs，1{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{ZT，1=0}+1{Zs，1=0}{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{ZT，1=0}Fs公司= E{Zs，1>0}{ZT，1>0}ZT，iZs，1+1{Zs，1>0}{ZT，1=0}ZT，1Zs，1+1{Zs，1=0}{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{Zs，1=0}{ZT，1=0}Fs#=1{Zs，1>0}Zs，1Eh{ZT，1>0}ZT，iFsi+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，1Eh{ZT，i>0}ZT，iFsi+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，1E[ZT，i | Fs]+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，iZs，1+1{Zs，1=0}=Ss，如果有∈ {t，…，t}和任何i=1。。。，d、最后，ξt，s（Q）Ss=Zs，1{Zs，1>0}ZsZs，1+1{Zs，1=0}= 1{Zs，1>0}Zs=1{ξt，s（R）>0}wst（R，e+m⊥) ∈ K+t。仍然需要证明ST∈ L∞（Rd+）（s<T的情况很简单）：定义keikKT，0e≥KTei公司≥千吨级-keikKT，0对于任何指数i，根据Kt的定义，我们知道keikKT，0<∞. 这意味着dqdpkeikkt，0≥dQdPST，i≥ -dQdPkeikKT，0（注意K+t K+T=Z∈ 左（右）| ZTK≥ 每年0个。K∈ L∞（千吨）), 通过在集合{dQdP>0}上除数bydqdpon，可恢复ST，i∈ L∞(Ohm, Fs，Q；R）使用kST、ikQ∞≤ keikKT，0（即∞-测度Q下的ST，i的范数有界）。最后，通过constructionST，{dQdP=0}上的i=1，因此kST，ik∞≤ max{keikKT，0，1}。因为S是Q-martin gale，所以绑定kSs，ik∞≤ max{keikKT，0，1}也成立。显示相反的，即第二个属性let（Q，S）∈ Qt。定义m⊥=St公司- e∈ {0}×Lt（Rd-1). 和definedridp=（dQdPST，iSt，ion{St，i>0}1其他。

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2022-6-10 08:14:18

然后wst（R，e+m⊥)i=St，iEhdRidPFsi=St，iEhdQdPST，iSt，i{St，i>0}+1{St，i=0}Fsi=EhdQdPST，iFsi=’ξt，s（Q）EQ[ST，i | Fs]=’ξt，s（Q）Ss，对于每个指数i=1。。。，d（因为{St，i=0}ndQdPST，i=0oby S a Q-鞅）。备注3.9。对于每个双变量选择（Q，S）∈ 我们发现双范数kdQdPSTk*KT，t：=ess sup{| EQSTTX公司英尺| | kXkKT，t≤ 1 P-a.s.}=1几乎可以肯定。推论3.10。设ρtbe为标度化条件相干风险测度。那么ρtsatis表示Fatou性质，当且仅当对于任何X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess su p（Q，S）∈Qρt-EQhSTTX其中Qρt={（Q，S）∈ Qt |βt（Q，S）=0 P-a.S.}。证据这直接来自定理3.8和命题3.6。备注3.11。Jouini，Kallal【50】中给出的标度超级对冲价格（1.1）对偶表示的d维版本是关于对偶变量（Q，S）∈ M×L（Rd+）带Ss≡ 1对于每个s，Q是s的鞅测度，dqdpst∈ K+。这组对偶变量是定理3.8中qt的超集。从定理3.8的证明可以看出，这一更大的对偶变量集也可以用于这项工作。然而，由于在随后的结果中会很清楚的原因，例如，在之后被广泛使用的命题4.7，我们将自己限制在Qt中定义的有界价格。3.3关联在下面的命题中，我们将定义一个属性，以便可以用r.t定义对偶表示（3.6）。对偶变量sqet：={（Q，S）∈ Qt | Q∈ Me}，即一组等价鞅测度及其相关的价格过程。然后，我们将证明，在一个版本的相关性或敏感性下，这个必要且有效的条件是满足的（参见[37]中的通常定义）。备注3.12。继续之前，请注意（Q，S）∈ Qetif且仅当Q∈ S和S的Meis-amartingale测度∈QTs=tL∞s（K+s）使得Ss，1≡ 1和kSs，ik∞≤max{keikKT，0，1}。

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nandehutu2022

2022-6-10 08:14:21

这与Qtin的定义形成了对比∈ K+t。由于K+t=TTs=tnY，我们现在只使用等效的测量值Q和D，因此可以完成此修改∈ L（Rd）| E[Y | Fs]Tks≥ 每年0个。堪萨斯州∈ L∞s（Ks）o.提案3.13。设ρtbe为满足Fatou性质的标度化条件凸风险测度。那么ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qet-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司（3.7）每X∈ L∞（Rd）当且仅当infZ∈AtEQ公司STTZ公司> -∞ 对于某些（Q，S）∈ Qet。证据如果ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qet-βt（Q，S）- 均衡器STTX公司英尺对于每X∈ L∞（Rd）然后，通过{dqdpstz |（Q，S）的Ft分解性∈ Qet，Z∈ 在}（回想第2节，如果1DB+1DcB，则集合B称为Ft可分解 B表示任何D∈ Ft）和惩罚函数βt的定义，E[ρt（0）]=sup（Q，S）∈QetinfZ公司∈ATEHDQDPSTZI>-∞通过ρt（0）∈ L∞t（R）。特别是，这意味着存在一些（Q，S）∈ Qetsuchthat infZ∈AtEQ公司STTZ公司> -∞.相反，let（▄Q，▄S）∈ Qetsuch该infZ∈AtE▄Qh▄STTZi>-∞. 自Qet以来Qt，定理3.8 imp中的对偶表示为每X∈ L∞（Rd），ρt（X）≥ ess sup（Q，S）∈Qet-βt（Q，S）- 均衡器STTX公司英尺. 就像命题A的证明一样。在[33]的1.7中，我们将通过考虑期望来显示r everse不等式。自{-βt（Q，S）- 均衡器STTX公司英尺| （Q，S）∈ Qt}是Ft可分解的，我们可以交换期望和本质上确界。如[37，引理3.5]中所述∈ （0，1）和（Q，S）∈ Qt，定义（Q，S）：=（1- ）（Q，S）+（￠Q，S）∈ Qet。此外，通过定义惩罚函数，我们可以得出βt（Q，S）≤(1 - βt（Q，S）+βt（Q，S）。

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2022-6-10 08:14:24

选择任意X∈ L∞（Rd）E[ρt（X）]=sup（Q，S）∈QtE公司-βt（Q，S）-DQDPSTX≥ sup（Q，S）∈QetE公司-βt（Q，S）-DQDPSTX≥ sup（Q，S）∈QtE公司-βt（Q，S）-德克萨斯州dQdPST≥ sup（Q，S）∈Qt(1 - ）E-βt（Q，S）-DQDPSTX+E“-βt（～Q，～S）-d▄QdP▄STTX▄！=(1 - ）E[ρt（X）]+E“-βt（～Q，～S）-d▄QdP▄STTX▄。自E【ρt（X）】∈ 然后，我们将极限值取为趋向于0，以恢复最终直线以上与第一条直线相等，结果如图所示。推论3.14。设ρtbe为满足fatou性质的标度化条件相干风险测度。那么ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qρ，et-EQhSTTX每X的Fti（3.8）∈ L∞（Rd）当且仅当Qρ，et：=Qet∩ Qρt6=, i、 e.存在一些（Q，S）∈ Qetsuchβt（Q，S）=0几乎可以肯定。证据回想一下[37]推论2.5的逻辑证明，对于任何（Q，S）∈ qt我们有E[βt（Q，S）]<+∞ 当且仅当（Q，S）∈ Qρt。结果来自上述命题3.13。如果ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qρ，et-均衡器STTX公司英尺然后存在一些（Q，S）∈ Qetsuch该infZ∈AtEQ公司STTZ公司> -∞ （否则E[ρt（·）]≡ -∞ ). 相反，如果infZ∈吃了STTZ公司> -∞ 对于某些（Q，S）∈ Qetthen we haveρt（X）=ess sup（Q，S）∈QetE[βt（Q，S）]<+∞-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司= ess sup（Q，S）∈Qρ，et-EQhSTTXFti。与标量风险度量的文献一样，我们现在将引入相关性（或敏感性），并证明它意味着（Q，S）的存在∈ Qetsuch thatinfZ公司∈AtEQ公司STTZ公司> -∞. 有关单变量条件风险度量的相关性的先前文献，请参见[37、18、55]。定义3.15。风险度量ρtis称为相关ifP（ρt(-1De）>ρt（0））>0，对于每>0和每D∈ F，P（D）>0。引理3.16。Le tρtbe是一个满足Fatou性质的标量化条件凸风险测度。如果ρt相关，则存在（Q，S）∈ Qetsuch该infZ∈AtEQ公司STTZ公司>-∞.证据首先，{βt（Q，S）|（Q，S）∈ Qt}是Ft可分解的（通过定义Qt和βt）。

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2022-6-10 08:14:27

之前 E类[-ρt（0）]=Eess inf（Q，S）∈Qtβt（Q，S）= inf（Q，S）∈QtE[βt（Q，S）]。如果任何>0，则设置Qt Qtbe由Qt定义：={（Q，S）∈ Qt |βt（Q，S）<-ρt（0）+P-a.s.}。现在我们将证明f或任何>0存在一对对偶变量（~Q，~S）∈Qet∩ Qt（尤其是这意味着infZ∈AtE▄Qh▄STTZi>-∞).1、我们将证明Qt6= 对于任何>0。Let（Qn，Sn）n∈N qt使得βt（Qn，Sn）-ρt（0）几乎可以肯定。这个序列的存在是因为{βt（Q，S）|（Q，S）∈ Qt}是Ft可分解的，因此存在一个序列（Qn，Sn）n∈N qt使得βt（Qn，Sn）ess inf（Q，S）∈Qtβt（Q，S）=-ρt（0）P-a.s.通过τ定义Ft可测量的随机变量τ：=min{n |βt（Qn，Sn）<-ρt（0）+}。它保持τ<+∞ 几乎可以肯定的是，通过序列（Qn，Sn）n的构造∈N、因此（{τ=N}）N∈N F定义了Ohm. 我们可以定义（\'Q，\'S）：=P∞n=1{τ=n}（Qn，Sn）∈ Qt（普通）与βt（\'Q，\'S）≤P∞n=1{τ=n}βt（Qn，Sn）<-ρt（0）+，即（\'Q，\'S）∈ Qt.2。我们将证明，如果ρ是相关的，那么对于每>0，就存在一个元素（▄Q，▄S）∈ Qtsuch thatdQdP>0 a.s.Fix>0，并让c：=supnP（dQdP>0）|（Q，s）∈ Qto。取序列（Qn，Sn）n∈N 问：那是什么→∞P（dQndP>0）=c。定义（▄Q，▄S）：=P∞n=1n（Qn，Sn）。它能保持（▄Q，▄S）∈ Qtby由βt的凸性决定。事实上，ndQdP>0o=∪∞n=1ndQndP>0o。因此P（dQdP>0）=c。仍然需要证明的是，c=1，因此Q∈ 我假设c<1，设D：=ndQdP=0o。相关性隐含P（ρt(-1De）>ρt（0））>0，通过构造我们得到ρt(-1De）=ess s向上（Q，s）∈Qt-βt（Q，S）+EQ[1D | Ft].因此，存在（\'Q，\'S）∈ qt使setB：=nβt（\'Q，\'S）<-ρt（0）+E'Q[1D'Ft]o∈ Ft具有正概率，即βt（\'Q，\'S）<-ρt（0）+on B。现在我们将定义（^Q，^S）∈ Qt等于B上的（\'Q，\'S）。

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2022-6-10 08:14:30

Let（Q，S）∈ Qt（任意）和let（Q，S）：=1B（\'Q，S）+1Bc（Q，S）∈ Qt（因为βt（Q，S）=Bβt（\'Q，S）+1Bcβt（Q，S））。根据B的定义和自βt（\'Q，\'S）起≥ -ρt（0）（通过ρt（0）的对偶表示），E“BDd^QdP#=E”BE“Dd^QdP英尺##>0。这意味着Pnd^QdP>0o∩ D≥ Pnd^QdP>0o∩ D∩ B> 0。因此（+Q，S）+（^Q，^S）∈ 通过Qt的凸性，我们发现了一个矛盾。我们现在表明，在连贯的情况下，相关性对于（3.8）中的对偶表示实际上是必要和有效的。提案3.17。设ρt为满足Fatou性质的标度化条件相干风险测度。ρt相关当且仅当（3.8）对每X保持∈ L∞（Rd）。证据如上面的推论3.14和引理3.16所示，如果ρtis相关，那么（3.8）对于每个X都成立∈ L∞（Rd）。相反地，假设ρthas是关于对偶变量Qρ，e的对偶表示，并假设ρ不相关，即存在一些大于0和∈ F具有正概率，使得ρt(-1De）≤ ρt（0）=0几乎肯定。尤其是这意味着EQ【1D | Ft】≤ ρt(-1De）≤ 0表示任何（Q，S）∈ Qρ，et.soQ（D）≤ 每（Q，S）0∈ Qρ，et.然而，只有当Q（D）=0时，这才是真的，这意味着P（D）=0，因为Q∈ 我这是一个矛盾。4时间一致性在本节中，我们将研究传统时间一致性属性的修改版本。通常，如[48]中所研究的，直接考虑ρ的标度化风险度量的时间一致性，即ρs（X）≤ ρs（Y）=> ρt（X）≤ X，Y的ρt（Y）（4.1）∈ L∞（Rd）和t≤ s、正如我们将在第5.1节中演示的那样，超级边缘投资组合不满足ρ-时间一致性。相反，我们将考虑通过定理3.8中定义的对偶表示对标量化进行分解。第4.2节提供了这些详细信息。然后在第4.4节中，我们考虑一个新的时间一致性属性。

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2022-6-10 08:14:33

特别地，利用这个新性质，我们确定了时间一致性和递归关系的典型等价性。假设4.1。对于本文的其余部分，我们将假设ρ是一个满足Fatou性质的相关标量化条件凸风险度量，并与（3.2）中给出的接受集Atas相对应。4.1概述在继续研究这项工作关于动态多变量风险度量ρ的时间一致性的主要结果之前，我们将简要概述这一主题，说明衍生结果的重要性，将其与文献中现有结果相关联，并提供经济解释。如前所述，通常的时间一致性性质ρ-时间一致性通常不满足（3.1）给出的动态多变量风险度量ρ。特别是，它不适用于下面第5.1节中详述的超边缘风险测量的典型情况。这是因为风险度量在仅用现金资产覆盖所有风险时所固有的摩擦，即通过考虑交易成本的市场。相比之下，许多先前关于多元风险度量的时间一致性的工作（如[29，31]）都考虑了集值风险度量和一种称为多端口时间一致性的性质。如果[X]，则称集值风险度量为多端口时间一致的∈XRs（X）卢比（Y）=>[X∈XRt（X）所有X的Rt（Y）（4.2） L∞（Rd），Y∈ L∞（Rd）和t≤ s、该属性依赖于为集值风险度量Rt：L在图像空间中选择合格资产M∞（Rd）→克（▄Mt；▄Mt，+）。例如，集值超边缘风险度量是multiportfoliotime一致的w.r.t。

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何人来此

2022-6-10 08:14:36

合格资产的完整空间（即，当选择▄M=Rd时），但不仅与现金资产（即，当▄M=M=R×{0}d时-1根据本文的假设），详见下文第5.1节。与ρ-时间一致性一样，这是由于当仅用现金资产覆盖风险时，风险度量固有的摩擦造成的。然而，在第4.2节中，我们将引入条件风险度量ρtint的分解，以收集无摩擦市场中的多变量风险度量，每一个都由满足无套利条件的价格过程定义。这种分解允许我们将所需的风险度量恢复为无摩擦风险度量集合的逐点上确界。给定价格过程S=（St）Tt=0∈ S（定义见下文（4.3）），我们将这些无摩擦多元风险度量表示为πS。这些无摩擦多元风险度量与典型（单变量）风险度量之间的关系，如[9、25、37、1]，见第4.3节。这些新的风险度量允许我们定义一个新的时间一致性概念，称为π-时间一致性，并在下面的定义4.13中提供，它克服了ρ-时间一致性和多端口时间一致性中与市场摩擦相关的障碍。简而言之，如果每个与市场模型K一致的无套利价格S都会产生一个风险度量πS，它以通常的方式是时间一致的，那么我们说原始风险度量ρ是π-时间一致的。值得注意的是，超边缘风险度量是π-时间一致的。第4.4节和第4.5节提供了关于π-时间一致性及其与基础集值风险度量（见（3.1）中的多端口时间一致性的关系以及可能对合格资产的不同选择）的结果。

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2022-6-10 08:14:40

虽然所提出的时间一致性概念比ρ-时间一致性弱，但它比ρ-时间一致性的弱（即，其中ρs（X））≤ ρs（0）表示ρt（X）≤ 每个投资组合X的ρt（0）∈ L∞（Rd）），如[75]中研究的单变量风险度量。第4.5节还包含关于π-时间一致标量多变量风险度量ρt的后向递归结果，关于基础风险度量πS.4.2预备知识为了符号简单，我们将介绍一组合格的定价过程：S：=（S∈TYt=0升∞t（K+t）t=0。。。，T我∈ {2，3，…，d}：St，1=1，kSt，ik∞≤ max{keikKT，0，1}）。（4.3）在以下定义中，我们介绍了风险度量ρt的分解。本节将介绍这些函数的一些简单属性，然后将使用这些属性定义时间一致性的新属性。定义4.2。让我们∈ S、定义πSt:L∞（Rd）→ Lt（R）∪ {-∞} 按πSt（X）：=ess s upQ∈量化宽松-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司（4.4）对于任何X∈ L∞（Rd）其中β定义如定理3.8所示，取决于接受集AtandQe（S）：={Q∈ M |（Q，S）∈ Qe}。注意πSt（X）∈ Lt（R）∪{-∞} 通常，即使ρt（X）∈ L∞t（R）。虽然πSt（X）是由ρt（X）从上到下的一个小边界，但它一般是不可积的。命题4.7提供了一个简单的条件，使得πSt（X）∈ L∞任意X的t（R）∈ L∞（Rd）。定义4.3。价格序列S∈ 如果“TXs=0ΓS（Ss），则满足无套利条件#∩ [-ΓT（ST）] ΓT（ST）（NA）其中ΓT（ST）：={Z∈ L∞t（Rd）| STtZ≥ 上午0点}。将该属性称为“无套利”的动机来自以下命题，该命题将该条件与资产定价的基本定理联系起来。提案4.4。让我们∈ S、当且仅当ifQe（S）6=.证据

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2022-6-10 08:14:43

这直接源于资产定价的基本定理，即我们对无套利的定义等同于无摩擦市场中的通常定义。这可以从以下几点看出：1。可预测过程（ηt）Tt=0是自融资的当且仅当STt（ηt+1- ηt）≤ 0几乎可以肯定，每次t=0，1。。。，T- η=0时为1。相当于ηt+1- ηt∈ -Γt（St）对于每次t=0，1。。。，T- η=0时为1。综上所述，只有当ηt∈ -Pt公司-1s=0Γs（Ss）。2、投资组合的财富ηtat time t由Vt给出：=STtηt。因此，在我们的注释中，财富满足条件Vt≥ 0和P（Vt>0）>0当且仅当ηt∈ Γt（St）和ηt6∈ -Γt（St）分别。因此，很明显，（NA）等于V=0，VT≥ 0几乎肯定意味着VT=0几乎肯定。最后，我们可以取代自我融资条件-PT公司-1s=0Γs（Ss），u p之和等于时间T，因为这些是等效条件：1。Ass umehPTs=0Γs（Ss）i∩ [-ΓT（ST）] ΓT（ST），然后立即由0∈ ΓT（ST）我们可以得出结论-1s=0Γs（Ss）i∩ [-ΓT（ST）] ΓT（ST）。相反，假设HPT-1s=0Γs（Ss）i∩[-ΓT（ST）] ΓT（ST）和let X∈hPTs=0Γs（Ss）i∩[-ΓT（ST）]。我们可以在STsXs处分解X=PTs=0xsw≥ 0几乎肯定和sttx≤ 0几乎可以肯定。那么我们可以很容易地看到0≥ STTX=STTT-1Xs=0Xs+STTXT≥ STTT公司-1Xs=0Xs。（4.5）因此-1s=0Xs∈hPT公司-1s=0Γs（Ss）i∩[-ΓT（ST）] ΓT（ST），即STTPT-1s=0Xs=0几乎可以肯定。这立即意味着STTX=0几乎肯定也是从（4.5），即X∈ ΓT（ST）。提案4.5。让我们∈ S则以下各项等效：1。πSt（0）∈ L∞t（R），2。存在一些Q∈ Qe（S）使得βt（Q，S）∈ L∞t（R）和3。

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