定理8的条件对于（26）的最优解的存在是充分的，但不是必要的。例如，将无风险现金流作为复制工具将违反（29）对部分t和所有非零w持有的条件，而不影响原始复制工具中的最佳投资组合权重或负债现金流的价值，参见定理m 5.3高斯现金流。本节有一个目的：它表明，如果剩余现金流和产生过滤的过程可以用关于P的（可能是多变量）高斯过程表示，并且如果P和Q之间的测量变化由标准Girsanov变换给出，则可以显式计算所有内容。在许多情况下，具有可解释的显式封闭形式表达的好处可能超过了必须强加这些相当强的假设的缺点。设（t）Tt=1是标准正态分布在P下的n维独立随机向量序列。对于，t=1，T和非随机∈ Rn，Bt，1，Bt，t∈ Rn×n，letGt：=At+tXs=1Bt，ss.Let（Gt）Tt=0，G={, Ohm}, 是高斯过程（Gt）Tt=1生成的过滤。在下面的内容中，ept和eqt表示关于Gt的条件期望。（Gt）Tt=1，被视为列向量值过程，是应用a ffne转换x 7的结果→ A+Bx到（t）Tt=1，其中B是具有块Bi，jand d termin antQTt=1det（Bt，t）的下三角块矩阵。为了避免不必要的技术性问题，我们假设所有t的det（Bt，t）6=0。这意味着（t）Tt=1产生的过滤等于（Gt）Tt=1产生的过滤。高斯模型的自然解释如下：Xo=G（1）是贴现负债现金流，G（2）。

，G（m+1）表示复制工具的贴现现金流，G（m+2），G（n）其他信息流。对于nonr，dom序列（λt）Tt=1，λt∈ Rn，letDt：=expntXs=1λTss-λTsλso、 t=1，T、 我们用（P，G）-鞅（Dt）Tt=1定义度量Q：对于Gt可测的可积Z和d s<T，根据第2节，EQs[Z]=d-1步[DtZ]。这种选择有几个令人愉快的结果：对于任意向量gs∈ R和u>t，EQthuXs=1gTsGsi- EPthuXs=1gTsGsi∈ G、 VarQtuXs=1gTsGs= VarPt公司uXs=1gTsGs∈ G、 也就是说，关于Q和P的条件期望只受常数的影响，而关于Q和P的条件方差是相等和非随机的。定义5。三元（（Gt）Tt=1，（Dt）Tt=1，（Gt）Tt=0）称为高斯模型。当与满足条件的货币风险度量相结合时，高斯模型允许f或显式估值公式（13）。以下特性大大简化了计算。对于u>t，uXs=1gTsGs- EPthuXs=1gTsGsiis独立于Gt，并且，每当VarPtPus=1gTsGs6=0，VarPtuXs=1gTsGs-1/2uXs=1gTsGs- EPthuXs=1gTsGsi是相对于P的标准正态分布。因为风险度量ρt满足（13）具有附加属性ρt（λY）=λρt（Y），如果λ∈ R+安迪∈ Lp（Ft+1，P）（正均一性），因此ρtuXs=1gTsGs= -EPthuXs=1gTsGsi+VarPtuXs=1gTsGs1/2r，式中：=ZΦ-1（u）dM（u）。（30）我们将首先推导出一般高斯负债现金流值的显式表达式，其中一般性在于XT可以表示任意线性组合gTtGt，其中gt∈ RN可能取决于时间。然后，我们将返回到r高程特例，当gt=g，对于所有的T，g（1）=1，（g（k））m+1k=2=v∈ Rmand g（k）=0表示k>m+1。定理9。设（（Gt）Tt=1，（Dt）Tt=1，（Gt）Tt=0）为高斯模型，fort=1，T，设置Xt：=gTtGt。对于t=0。

T- 1，设ρtbe条件货币风险度量满足公共概率分布m的（13）。设rbe为（30）。然后vt=TXs=t+1EQt[Xs]+KQt=TXs=t+1EPt[Xs]+KPt，其中，对于P的标准正态分布，KQt=TXs=t+1σsr-TXu=sgTuBu，sλs- EPh公司σsr- e-TXu=sgTuBu，sλs+我,KPt=TXs=t+1σsr- EPh公司σsr- e-TXu=sgTuBu，sλs+我,σs=VarPs-1.TXu=sXu- VarPsTXu=sXu=TXj=sTXk=sgTjBj，sBTk，sgk。此外，Ct：=ρt(-Xt+1- Vt+1）- Vt=EPhσt+1r- e-TXu=t+1gTuBu，t+1λt+1+i、 备注14。请注意，Ct=EQthρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1+i=1+ηtEPthρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1+i、 式中，给定定理9中的设置，1+ηt=EPhσt+1r- e-PTu=t+1gTuBu，t+1λt+1+iEPhσt+1r- e+i、 特别是ηt≥ 每t ifPTu=t+1gTuBu，t+1λt+1时为0≥ 0表示每t.SinceTXu=t+1EQt[Xu]-TXu=t+1EPt[Xu]=TXu=t+1uXs=t+1gTuBu，sλs=TXs=t+1TXu=sgTuBu，sλswe看到ηt≥ 如果PTU=t+1EQt[Xu]，则每t保持0≥PTu=t+1pt[Xu]表示每t。这与备注5中的最终陈述完全一致。以下结果显示了当复制投资组合为静态投资组合且投资组合权重求解时，负债现金流的价值（26）。定理10。设（（Gt）Tt=1，（Dt）Tt=1，（Gt）Tt=0）为高斯模型。LetXo=G（1）是贴现负债现金流，let Xf，1：=G（2），Xf，m：=G（m+1）表示复制工具的贴现现金流，letG（m+2），G（n）表示任意信息流。对于t=0，T-1，设ρtbe条件货币风险度量满足公共概率分布M的（13）。设rbe由（30）给出。

然后存在（26）的非最优解，责任值由l=TXt=1EQ[Xot]+bKQ给出，其中，St：=PTu=tBu，tand标准相对于P正态分布，bKQ=TXt=1bσtr- bgTStλt- EPh公司bσtr- e- bgTStλt+我,bσt=bgTStSTtbg，其中bg是g级∈ Rn:g=1，k>m+1时，gk=0ofg 7→T-1Xt=0EPhgTSt+1STt+1g1/2r- e- gTSt+1λt+1+i、 4定理1的证明。我们首先证明Ct=EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]堡垒∈ {0，…，T- 1} 下面是（7）。Ct=ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess supτ∈St+1，T+1EQthI{τ>T+1}（Rt- Rt+1- Xt+1）+τ-1Xs=t+2（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess supτ∈St+1，T+1EQthI{τ>T+1}（Rt- Rt+1- Xt+1）+EQt+1hτ-1Xs=t+2（Rs-1.- 卢比- Xs）ii=ess supA∈Ft+1EQthI{A}（Rt- Rt+1- Xt+1）+ess supτ∈St+2，T+1EQt+1hτ-1Xs=t+2（Rs-1.- 卢比- Xs）ii=ess supA∈Ft+1EQt[I{A}（Rt- Rt+1- Xt+1+Ct+1）]=ess supA∈Ft+1EQt[I{A}（Rt- Xt+1- Vt+1）]=EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，其中我们使用关系Vt+1=Rt+1- Ct+1，通过选择A={Rt，获得上述倒数第二个表达中的ess sup-Xt+1-Vt+1≥ 0}. 注意，（5）现在紧跟在关系vt=Rt之后- 计算机断层扫描。此外，由bτt给出的停止时间序列（bτt）Tt=0：=（t+1）I{Rt- Xt+1- Vt+1<0}+bτt+1I{Rt- Xt+1- Vt+1≥ 0}，bτT：=T+1是最佳的。自（bτt）t-1t=0=（τ*t） t型-1t=0陈述（i）和（ii）的证明是完整的。我们现在展示语句（iii）。让序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0从（7）和（8）开始，让序列（eCt）Tt=0和（eVt）Tt=0由（4）和（5）给出。从语句（i）中，我们知道（eCt）Tt=0和（eVt）Tt=0也符合（7）和（8）。因此，（eCt）Tt=0=（Ct）Tt=0和（eVt）Tt=0=（Vt）Tt=0，然后陈述（iii）。定理3的证明。我们证明了更复杂的陈述（ii）。

用相同的参数证明了语句（i）。EPhEQth（ρt(-Y）- Y）+ipi=EPhEPthDt+1Dt（ρt(-Y）- Y）+ipi≤ 以弗所Dt+1Dtp（ρt(-Y）- Y）p+ii=EPhDt+1Dtp（ρt(-Y）- Y）p+i，其中不等式是由Jensen不等式f或条件期望引起的。此外，对于每r>1，根据H¨older不等式，EPhDt+1Dtp（ρt(-Y）- Y）p+i≤ EPh公司Dt+1DtprirEPh（ρt(-Y）- Y）prr-1+ir-1r。当r>1足够大时，根据假设，这两个期望完全存在。最后，它来自Minkowski的不等式thatephρt(-Y）- EQth（ρt(-Y）- Y）+ipip公司≤ EPh |ρt(-Y）| pip+ephqth（ρt(-Y）- Y）+ipip。第一项的完整性来自假设，第二项的完整性已在上文中得到证明。这证明映射定义良好。声明（ii）的其余部分在对[9]中的提议1稍作修改之后。定理4的证明。根据定理1（iii），可以证明，对于anyt，Xt，eRt∈ L（英尺，Q）。根据定理3，存在≥ 0，以便p- >1 Andevt+1∈ 有限合伙人-（英尺+1，P）。此外，Xt+1∈ Lp（英尺+1，P） 有限合伙人-（英尺+1，P）。根据定理2，现在紧跟着t：=ρt(-Xt+1-eVt+1）∈ 有限合伙人-（英尺+1，P）。根据H¨older不等式，公式[| eRt |]=EP[Dt | eRt |]≤ EPhDrtirEPh | eRt | rr-1ir-1r，其中r可以选择足够大的值，以使这两个因素完全存在。用于显示EQ[| Xt |]的完全类似参数<∞ 省略。定理5的证明。（i） 该语句紧跟在属性（10）之后，从（21）开始，Vt（eX）=Vt（X）-PTs=t+1bs。（ii）注意∈ {1，…，T}，由于（18）和（20），tXs=1Xs+Vt=tXs=1Xs+ДTo · · · o ^1T-1.TXs=t+1Xs= ^1to · · · o ^1T-1.TXs=1Xs= K、 因此，对于所有t∈ {1，…，T}，Xt+Vt=K-Pt公司-1s=1Xsis英尺-1-可测量。反过来，使用（10）表示，对于所有t，Ct：=EQt（ρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+= 0.（iii）假设t∈ {0, . . .

T- 1} ，EQt[（ρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+]=0。因此，使用ou、 v：=Дuo · · · o ^1v，用于t∈ {0，…，T- 1} ，EQthρt- φot+1，t-1.TXs=1Xs- φot+1，t-1.TXs=1Xs+i=0，其中oT、 T型- 1.TXs=1Xs=TXs=1Xs。因此，对于t∈ {0，…，T- 1} ，Ptφot+1，t-1.TXs=1Xs≥ ρt- φot+1，t-1.TXs=1Xs= 1.（31）如果ρthas属性（22），则th en（31）表示ot+1，t-1（PTs=1Xs）是可测量的。因此，对于t∈ {0，…，T- 1},φot+1，t-1.TXs=1Xs= φot、 t型-1.TXs=1Xs.特别是，TXs=1Xs=ДoT、 T型- 1.TXs=1Xs= φo0，T-1.TXs=1Xs= 五、 推论1的证明。考虑代表性测试，p(-Y）=pZ1-pF公司-1t，Y（u）du。根据定理5，可以验证ESt，p的性质（22）。如果Pt（Y≥ F-1t，Y（1- p） ）<1，则1=Pt（Y≥ 预计，p(-Y））≤ Pt（Y≥ F-1t，Y（1- p） ）这是一个矛盾。因此，Pt（Y≥ F-1t，Y（1- p） ）=1，随后为f-1t，Y（q）=F-1t，Y（1- p） 尽管如此，q≤ 1.- p、 如果F-1t，Y（q）>F-1t，Y（1-p） 对于某些q>1- p、 然后ESt，p(-Y）>F-1t，Y（1-p） and1=Pt（Y≥ 预计，p(-Y））=Pt（Y≥ 预计，p(-Y），Y>F-1t，Y（1- p） ）+Pt（Y≥ 预计，p(-Y），Y=F-1t，Y（1- p） ）=Pt（Y≥ 预计，p(-Y），Y>F-1t，Y（1- p） （）≤ 1.- 英尺，Y（F-1t，Y（1- p） （）≤ p<1这是一个矛盾。因此，F-1t，Y（q）=F-1t，Y（1-p） 对于所有q，意味着Y是Ft可测量的。定理6的证明。对于w∈ Rm+1和t∈ {0，…，T- 1} ，定义：=Дto · · · o ^1T-1.TXs=t+1WTZ.我们归纳地证明了这个陈述。假设对于一些非负的B t+2∈ L（英尺+2，P），| Vwt+1- Vvt+1 |≤ ||v- w | | EPt+1[Bt+2]，其中|·| | | | pdenotes Rm+1中的欧几里德p-范数。

我们首先展示归纳步骤，注意到验证归纳基数很简单，因为vwt=0。定义Ywt+1：=wTZt+1+Vwt+1并应用H¨older不等式，| Ywt+1- Yvt+1 |≤ |Vwt+1- Vvt+1 |+| wTZt+1- vTZt+1|≤ ||v- w | | EPt+1[Bt+2]+| wTZt+1- vTZt+1|≤ ||v- w | | EPt+1[| | Zt+1||∞+ 现在，由于ρt的L-Lipschitz连续性，|ρt(-Ywt+1）- ρt(-Yvt+1）|≤ 保持[| Ywt+1- Yvt+1 |]≤ K | | v- w | | EPt[| | Zt+1||∞+ Bt+2]，带Cwt：=EQt[（ρt(-Ywt+1）- Ywt+1）+]，由于x 7的次加性→ x+：=最大值（x，0），Cwt- Cvt=EQt[（ρt(-Ywt+1）- Ywt+1）+- （ρt(-Yvt+1）- Yvt+1）+]≤ EQt[（ρt(-Ywt+1）- Ywt+1- ρt(-Yvt+1）+Yvt+1）+]≤ EQt[|ρt(-Ywt+1）- Ywt+1- ρt(-Yvt+1）+Yvt+1 |]，Cwt- Cvt公司≥ EQt[-（ρt(-Yvt+1）- Yvt+1- ρt(-Ywt+1）+Ywt+1）+]≥ -EQt[|ρt(-Ywt+1）- Ywt+1- ρt(-Yvt+1）+Yvt+1 |]，由此得出| Cwt- Cvt |≤ EQt[|ρt(-Ywt+1）- Ywt+1- ρt(-Yvt+1）+Yvt+1 |]≤ |ρt(-Ywt+1）- ρt(-Yvt+1）|+EQt[| Ywt+1- Yvt+1 |]。此外，EQt[| Ywt+1- Yvt+1 |]≤ EQth | | v- w | | EPt+1h | | Zt+1||∞+ Bt+2ii=| | v- w | | EPthDt+1步+1小时| | Zt+1||∞+ Bt+2ii。因此，Vwt- Vvt |≤ |ρt(-Ywt+1）- ρt(-Yvt+1）|+| Cwt- Cvt公司|≤ 2K | | v- w | | EPt[| | Zt+1||∞+ Bt+2]+| | v- w | | EPthDt+1步+1小时| | Zt+1||∞+ Bt+2ii=| | v- w | | EPthEPt+1h | | Zt+1||∞+ Bt+2i2K+Dt+1Dti=| | v- w | | EPthBt+1i，其中BT+1=0，否则BT+1：=EPt+1h | Zt+1||∞+ Bt+2i2K+Dt+1Dt.尤其是大众- Vv |≤ ||v- w | | EP[B]，现在剩下的是s如何处理EP[B]<∞. 对于欧几里德范数，不等式| | x | | p≤ ||x | |保持p∈ [1, ∞]. 特别是，对于每个=1，T，0≤ 英国电信≤eBt，其中eBt+1：=EPt+1h | | Zt+1 | |+eBt+2i2K+Dt+1Dt,eBT+1=0。回想一下，对于t=1。

，T，Z（k）T∈ Lpt（Ft，P）适用于所有k和一些大于1的pt。还要注意ifeBt+2∈ Lqt+2（Ft+2，P），qt+2>1，然后EPt+1[eBt+2]∈Lqt+2（Ft+1，P），对于rt+1=min（pt+1，qt+2），EPt+1h | | Zt+1 | | eBt+2i∈ 轻轨+1（英尺+1）。因此，对于任何大于0的值，eBt+1=EPt+1h | | Zt+1 | |+eBt+2i2K+Dt+1Dt∈ 轻轨+1-（英尺+1）。由于EBT+1=0，我们可以选择足够小的>0，以便EBT∈ L（Ft，P），对于t=1，T因此，也是Bt∈ L（Ft，P），对于t=1，T最后，请注意xvt：=Xot- vTXft=wTZtif w∈ 选择Rm+1时，w=1，（wk）m+1k=2=v。因此，我们还显示了v 7→ V（Xv）是Lipschitz连续的。定理7的证明。从ρts的正均一性可以看出，Дts的正均一性意味着eVwt（λeXw）=λeVwt（eXw），进而eψ（λw）=λeψ（w）。特别是，eψ（w）=| w | eψ（w/| w |）≥ |w | inf | w |=1eψ（w），其中lim | w|→∞eψ（w）=∞ 根据假设inf | w |=1eψ（w）>0得出。对于第二条语句，请注意xvt：=Xot- vTXft=wTZtif w∈ 选择Rm+1时，w=1，（wk）m+1k=2=v。因此，lim | w|→∞eψ（w）=∞ 暗示lim | v|→∞ψ（v）=∞.定理8的证明。取w∈ Rm+1 \\{0}。对于所有t，假设ECWT=0 Q-a.S。对于所有t，NEVWT=ERWT，且CWT=0等于RWT-eXwt+1-eRwt+1≤0 Q-a.s.，相当于RWT-eXwt+1-eRwt+1≤ 0 P-a.s.，因为P和Qare相当。请注意，rwt=ρt(-eXwt+1-eRwt+1）=ρt(-eXwt+1- ρt+1(-eXwt+2-eRwt+2））=ρto (-ρt+1）o · · · o (-ρT-1)-TXs=t+1eXws不平等性-eXwt+1-eRwt+1≤ 因此，0 P-a.s.可以表示为ρot、 t型-1.- ρot+1，t-1.- 重量（Zt+1+···+Zt）≤ 然而，这与定理陈述中的假设相矛盾。在此之前，我们得出结论，对于某些t，ecwt>0 Q-a.s，这意味着eψ（w）>0。因此，根据定理7，ψ是强制的，所以如果极小值存在，它就存在于Rm中的某个紧集中。然而，紧集上的连续函数达到其极限。引理1。

对于u<v，eq[Gv]=EPu[Gv]+Pvs=u+1Bv，sλs.证明。Eq[Gv]=Av+uXs=1kV，ss+vXs=u+1kV，sEPuhDvDusi=Av+uXs=1kV，ss+vXs=u+1kV，sEPhexpnλTs-λTsλsoi=Av+uXs=1Bv，ss+vXs=u+1Bv，sλs=EPu[Gv]+vXs=u+1Bv，sλs引理2。如果Xs：=gTsGs，则深度QT+1hTXs=t+1Xsii=EQthTXs=t+1Xsi-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1。证据对于s≥ t+1，空和定义为0，从引理1得出eqt+1[Xs]=EPt+1[Xs]+gTssXu=t+2Bs，uλu，EPthEQt+1hTXs=t+1Xsii=TXs=t+1EPt[EPt+1[Xs]+gTssXu=t+2Bs，uλu= EPthTXs=t+1Xsi+TXs=t+1gTssXu=t+2Bs，uλu，EPthTXs=t+1Xsi=EQthTXs=t+1Xsi-TXs=t+1gTssXu=t+1Bs，uλu。定理9的证明。我们将归纳地证明vt=EQthTXs=t+1Xsi+KQt，（32），并导出常数项KQtvia的递归形式。诱导基很小：VT=0。现在假设（32）对t+1有效。请注意vt=ДtXt+1+EQt+1hTXs=t+2Xsi+KQt+1= ^1tEQt+1hTXs=t+1Xsi+KQt+1= KQt+1+ρt- EQt+1hTXs=t+1Xsi- EQth公司ρt- EQt+1hTXs=t+1Xsi- EQt+1hTXs=t+1Xsi+我首先评估风险度量部分。ρt- EQt+1hTXs=t+1Xsi= EPthEQt+1hTXs=t+1Xsii+VarPtEQt+1hTXs=t+1Xsi1/2r=EQthTXs=t+1Xsi-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1+VarPtEQt+1hTXs=t+1Xsi1/2r，在最后一步中，我们使用引理2。

此外，VarPtEQt+1hTXs=t+1Xsi= VarQtEQt+1hTXs=t+1Xsi= VarQtTXs=1Xs- VarQt+1TXs=1Xs=: σt+1。剩余项：如果σt+16=0，则存在一个随机变量e*t+1独立于GT和标准，正态分布于Q，因此ρt- EQt+1hTXs=t+1Xsi- KQt+1- EQt+1hTXs=t+1Xsi- KQt+1+i=当量σt+1r-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1- σt+1e*t+1+i=EPhσt+1r-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1- σt+1e+i、 现在将各部分放在一起yieldsVt=EQthTXs=t+1Xsi+KQt+1+σt+1r-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1- EPh公司σt+1（r- e）-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1+我证明了诱导步骤，并由此得出kqt=TXs=t+1σsr-TXu=sgTuBu，sλs- EPh公司σs（r- e）-TXu=sgTuBu，sλs+我.最后，Vt=EQthTXs=t+1Xsi+KQt=EPthTXs=t+1Xsi+TXs=t+1sXu=t+1gTsBs，uλu+KQt=EPthTXs=t+1Xsi+KPt，其中KPt=TXs=t+1σsr- EPh公司σs（r- e）-TXu=sgTuBu，sλs+我.我们现在导出σt+1的表达式。回想一下，Xs：=gTsGs。VarPt公司TXs=t+1gTsGs= VarPt公司TXs=t+1sXu=t+1gTsBs，uu= VarPt公司TXu=t+1TXs=ugTsBs，uu=TXu=t+1VarPtTXs=ugTsBs，uu=TXu=t+1TXs=ugTsBs，uTXs=ugTsBs，uT=TXu=T+1TXj=uTXk=ugTjBj，uBTk，ugkandσT+1：=VarPtTXs=t+1gTsGs- VarPt+1TXs=t+1gTsGs=TXj=t+1TXk=t+1gTjBj，t+1BTk，t+1gkw我们现在导出Ct的表达式。使用与证明早期相同的参数，Ct=ρt(-Xt+1- Vt+1）- Vt=ρt- EQt+1hTXs=t+1Xsi- KQt+1- EQthTXs=t+1Xsi- KQt=σt+1r-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1- KQt+KQt+1=EPhσt+1（r- e）-TXs=t+1gTsBs，t+1λt+1+i、 定理10的证明。我们将证明（26）存在一个最优解。剩下的部分来自定理9。从定理9我们可以立即看到ψ（w）是连续的。一旦我们证明∈ Rm+1 \\{0}存在t∈ {0，…，T- 1} 这样（29）就成立了，（26）的最优解的存在性。我们首先证明不存在w∈ Rm+1 \\{0}使PTT=1wTZt∈ G、 式中Zt：=（Xot，-（Xft）T）T。

注意，对于g∈ Rn，gTTXt=1Gt=gTTXt=1At+gTT-1Xs=1xT=sBt，ss+gTBT，TT。对于所有g 6=0，这些是独立的，gTBT，T6=0。因此，没有∈ Rn \\{0}使得gTPTt=1Gt∈ Gwhich反过来意味着这里没有w∈ Rm+1 \\{0}使PTT=1wTZt∈ G、 我们现在证明，后一种说法意味着∈ Rm+1 \\{0}存在t∈ {0，…，T- 1} 使（29）成立。请注意ρot、 t型-1.- ρot+1，t-1.- 重量（Zt+1+···+Zt）=ρot、 t型-1.- ρot+1，t-1.- 重量（Z+···+ZT）= EPt[重量（Z+···+ZT）]- EPt+1[wT（Z+····+ZT）]+c对于某些常数c，其中最后一个等式来自与定理9的证明完全类似的计算。现在假设∈ Rm+1 \\{0}，（29）不适用。在当前的高斯分布中，高斯分布的支持是有限的或单态的，这意味着ρot、 t型-1.- ρot+1，t-1.- 重量（Z+···+ZT）= 0 P-a.s.适用于所有tor，相当于[wT（Z+···+ZT）]- EPt+1[重量（Z+····+ZT）]∈ g对于t=0的所有t.（33），（33）表示EP【wT（Z+····+ZT）】∈ G对于t=1，与（33）一起表示EP【wT（Z+····+ZT）】∈ G、 通过重复这个论点，我们知道wT（Z+····+ZT）=EPT[wT（Z+··+ZT）]∈ G这与假设wT（Z+····+ZT）相矛盾/∈ G、 因此，我们得出结论，（26）存在一个最优解。其余部分紧跟定理9。参考文献[1]P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku（2007），一致的多周期风险调整值和Bellman原理。运筹学年鉴，152，5-22。[2] J.Bion Nadal（2008），《动态风险度量：BMO鞅的时间一致性和风险度量》。《金融与随机》，1219244。[3] M.Cambou和D.Filipovi'c（2018），复制投资组合应用程序roach tocapital calculation。《金融与随机》，22181-203。[4] P.Cherid ito、M.Kupper和F。

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