离散时间内负债现金流的价值取决于资本

2022-6-10 09:46:55

离散时间内负债现金流的价值取决于资本要求Shampus Engsner*, Kristo Offer Lindensj+和Filip Lindskog 2018年8月13日摘要本文的目的是在重复资本要求下，确定离散时间内保险责任现金流的市场一致性多期价值，并探索其性质。根据当前的监管框架，所提出的方法基于将原始负债和再复制投资组合假设转让给空的公司实体，其所有者必须遵守重复的一期资本要求，但有权随时终止所有权。负债的价值定义为保单持有人现金流的无套利价格，从所有者的角度来看，考虑到资本要求，这是最优的。该值是根据一系列耦合最优停止问题的解计算的，或等效地作为反向递归的解计算的。1引言本论文的目的是根据现行监管框架，在重复资本要求的情况下，确定离散时间内负债现金流的市场一致性多期价值，并探讨其性质。将在保险责任上下文中研究估价程序。

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2022-6-10 09:46:58

然而，如果债务人负有有限责任并面临资本要求，则可将估价程序用于任何负债。从本质上讲，如果选择了一个最佳的复制投资组合，外部强加的资本要求将市场一致的可变现价值定义为，如果将其转让给一个空的公司实体（称为转介企业），其所有者有权终止所有权（有限责任，违约选择权）。*汉普斯。engsner@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系+kristo Offer。lindensjo@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系lindskog@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系负债应解释为公司的总负债，即在规定资本要求的水平上。转让和估价程序可以总结如下：1。我们假设以下项目转移至无其他资产或负债的参考企业：i）待估价的负债，ii）称为复制组合的资产组合，其现金流至少部分用于设定负债现金流，以及ii）数字资产金额，这使得参考承诺在转让时准确地满足了强加的资本要求。2、我们假设参考承诺的所有人具有有限责任，因此可以选择在未来任何时候不再为参考承诺提供进一步融资，这是一种违约选择。我们假设参考承诺不能改变转移的复制投资组合。3、我们假设市场是无套利的，即存在等价的定价措施。

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2022-6-10 09:47:02

我们通过将参考企业的价值与特定美国型金融衍生工具的价格进行识别，得出参考企业的价值：参考企业所有者的贴现累计最佳停止现金流的价格，同时考虑有限责任和资本要求。同样，负债的价值定义为保单持有人的贴现累计现金流的价格，从参考承诺所有人的角度来看，这是最佳的停止。由于有违约选择权，投保人有权获得的现金流与他们收到的现金流并不相同。上述程序产生的负债价值取决于复制投资组合的构成和资本需求。我们主要关注有条件货币风险措施方面的资本要求，如风险价值和预期短缺。我们考虑了选择replicatingportfolio的几个标准。虽然只有在适当选择复制投资组合标准的情况下，从估价程序中获得的负债值才是市场一致的，但估价程序并未假定特定的复制投资组合标准或特定的条件货币风险度量序列。【14】中提出的市场一致性负债估值方法是本论文的主要灵感来源。在[14]中，提出了基于动态复制和资本成本参数的评估框架。在【9】中，受【14】的启发，一个基于动态货币风险度量和动态货币效用函数的估价框架提出了一个在高斯模型假设下导出的经验估价公式。

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2022-6-10 09:47:05

【14】和【9】之间的一个本质区别是，在后一种设置中，在整个负债期间，在负债转移后，不允许修改转移到参考企业的复制投资组合以及负债。这与本文提出的估价方法相同。参考承诺的所有人只有权决定终止参考和接受的所有权（违约选择权）。在[9]中，假设给出了复制投资组合，分析仅侧重于负债现金流的多期估值。未分析选择复制投资组合的标准。本文的一个大的部分集中在复制投资组合选择标准的现有性质上。本文第2.2节中最自然的标准是，一个良好的复制投资组合是指在参考业务中需要大量的股本，以减少负债的流失。此外，在本文件中，负债价值（见定义2和3）由衍生工具证券的无套利定价暗示，该衍生工具证券的期权性写在参考企业所有者的累计现金流上。在R标记5中，我们证明了衍生证券定价所用定价方法的选择与资本成本率的调整过程之间存在对应关系，资本成本率确定了资本提供者在整个负债流动期间提供偿付能力资本的可接受标准。近年来，将投资组合理论应用于资本需求计算引起了人们的极大兴趣。

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2022-6-10 09:47:08

其中，未来负债现金流的价值被建模为与市场对贴现未来负债现金流之和的定价措施相关的有条件预期值。由于这种负债价值的计算通常是不可行的，我们可以通过将负债现金流（或其价值）替换为交易复制工具组合的现金流来寻求准确的近似值。然后，将风险度量应用于负债价值的近似值，得出资本需求的近似值。在【3】、【15】、【16】和【17】中，对资本计算的复制投资组合方法的各个方面进行了研究。使分析有点复杂的一个事实是，定义资本要求的风险度量是根据真实世界的概率度量P来定义的，而复制标准通常是用市场定价度量Q来表示的。不同复制标准的属性和效果的比较在[15]、[16]和[17]中给出。在[3]中，我们展示了如何制定复制投资组合理论，以便能够有效复制具有路径依赖性的负债价值。工程【3】、【15】、【16】和【17】的共同点是，负债价值定义为贴现负债现金流总和的有条件预期值。这与此处介绍的方法不同。如上所述，我们不会对投保人有权享有的负债现金流进行定价，而是对他们收到的现金流进行定价，同时考虑了限额负债和资本要求。在过去十年中，对动态风险度量和动态风险调整值进行了详细分析，参见[1]、[2]、[4]、[5]、[6]、[8]以及其中的重要参考文献。

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2022-6-10 09:47:11

这一领域的许多研究都旨在建立一般函数分析环境中动态风险度量的性质和表示结果，特别是有界随机过程和风险度量的凸性要求下。我们要考虑无限责任现金流的模型。此外，在我们的设定中，参考企业所有人的有限责任意味着，这里出现的动态估值映射通常是非线性、非凸和非凸的，无论对定义资本需求的条件风险度量施加的额外结构如何。我们将只假设定义资本要求的条件风险度量的非常基本的属性，即所谓的平移不变性、单调性和归一化。特别是，这些较弱的要求允许在实践中广泛使用的风险度量值的有条件版本。[18]提出了另一种市场一致性负债估值方法，将无套利估值和精算估值结合到一个通用框架中。[18] 介绍了两步市场评估的概念。在对交易资产价格的未来发展进行调整后，对剩余风险进行了首次精算定价。其次，注意到第一步的结果是一个以交易资产价格表示的随机变量，经典的线性金融定价算子适用于第一步的结果。此外，在[18]中还显示了如何将两步市场评估扩展为动态时间一致性评估。我们的估值方法是两步市场一致性评估，根据重复资本要求，假设复制投资组合和负债转移至参考企业。

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能者818

2022-6-10 09:47:15

首先，选择一个最佳的复制投资组合。然后，通过对投保人将收到的累计现金流应用线性定价算子来评估负债，同时考虑资本要求和参考承诺所有人的违约选择权。保险公司很清楚违约选择权的经济价值及其对保险责任价值的影响，参见第2节中的例[11]和备注4。应该强调的是，在我们的设置中，定价措施只是众多在不完全无套利金融市场中正确定价交易金融工具的措施之一。特别是，选择定价运营商的灵活性允许选择定价运营商，以便不可复制保险风险的定价可以解释为风险规避资本提供者的资本估值成本，详情见第2节备注5。在【13】中，制定了保险产品和保险责任的定价框架。该方法依赖于效用差异定价和金融市场的最优交易。[13]中没有考虑破产（违约）的可能性，这使得设置与本文中的设置截然不同。在监管框架Solvency II的激励下，在与本文类似的多期不完全市场环境中，在[12]中深入研究了最佳估计准备金，作为将负债作为最佳估计和风险边际之和进行估值的一部分。在【12】中，最佳估计被定义为对冲负债现金流的最佳投资组合策略的价值。

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2022-6-10 09:47:18

我们设定的负债价值可以（见定义3）表示为复制投资组合的市场价格和取决于剩余（复制后）负债现金流的期限之和。然而，最佳估计储量并不是本文件中自然出现的对象，除非将最佳估计储量与重复投资组合进行了识别，而重复投资组合不是动态的，因为参考企业的所有者不允许对其进行修改。本文的组织结构如下：第2节介绍了一般负债评估框架。三个主要成分如下：（1）参考企业的所有权价值与经典金融套利估值一致，因为最佳停止（贴现）净现金流入参考企业所有者的无套利价值，（2）负债价值定义为向投保人提供的（贴现）现金流的无套利价值，从参考承诺所有人的角度来看，以最佳方式停止，（3）这些定义相当于（1）和（2）中两个值的两个耦合反向递推，最佳停止时间明确确定。第2.1节和第2.2节通过在第2.1节中将资本要求与有条件货币风险度量的负债现金流联系起来，以及在第2.2节中，提出复制投资组合的最佳（在各种意义上）选择的持续标准，使一般金融服务可操作。应用估值框架会带来与评估其他类型金融衍生品时出现的数字挑战类似的数字挑战。特别是，闭式解是罕见的例外。

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2022-6-10 09:47:21

在第3节中，我们发现在高斯模型假设下，在P和q两种情况下，所有的动力学都可以显式计算。所有证据见第4.2节估价框架。我们认为时间段1，T，对应的时间点0，1，T，和过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）Tt=0{, Ohm} =F · · · FT=F，P表示实际测量值。我们用范数EP[| X | P]1/P为Ft可测随机变量X的赋范线性空间编写P（Ft，P）。随机变量之间的等式和不等式应在P-几乎确定意义下解释。我们使用约定SPK-1l=k：=0和inf := +∞ 对于空索引集上和空集范围内的su ms。我们使用符号（x）+：=max（0，x）。我们假设给定的num'eraire过程（Nt）Tt=0，并且所有财务价值都通过该num'eraire进行贴现。特别是，金钱的时间价值不会在任何地方明确出现。虽然num'eraire的选择与分析无关，但我们将num'eraire视为银行账户num'eraire：N=1，NTI是在时间t前滚动一期无风险债券的初始单位投资的金额。无风险现金流（ct）Tt=0是一系列F-可衡量的ct，对应于从时间0到时间t前滚的金额。我们假设存在一个严格的正（P，F）-鞅（Dt）Tt=0，EP[Dt]=1，通过Dt=dQ/dP | Ft定义无套利不完全金融市场的等价定价度量Q，即，对于u>t和a可积Fu可测Z，EQtZ=DtEPt公司杜兹,式中，eqt和ept中的下标t表示对Ft的条件作用。我们假设金融市场中存在一家保险公司，其总保险负债与F-适应随机过程Xo=（Xot）Tt=1给出的负债现金流相对应。

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能者818

2022-6-10 09:47:24

监管迫使保险公司遵守外部强加的资本要求。这些要求限制了保险公司的资产组合。资产的一个子集形成了一个复制投资组合，在某种程度上影响了负债现金流。根据负债现金流的可复制程度，可复制的投资组合可以是任何形式，从简单的数量资产头寸到根据当时已知的策略动态重新平衡并随后固定的资产组合。复制投资组合的现金流由F适应的随机过程Xr=（Xrt）Tt=1给出。复制投资组合的价值可以用asPTt=1EQ【Xrt】表示。然而，负债现金流不能按TT=1EQ【Xot】进行估价，因为Xot是投保人有权获得但并非必要的现金流（由于参考承诺所有人持有违约选择权），他们将收到现金流。我们将根据当前的偿付能力法规（【14】和EIOPA规定的p，见【7，第38条】）确定负债现金流Xo的价值，方法是考虑将负债和复制投资组合假设转移给一个称为参考承诺的单独实体。参考承诺最初既没有资产也没有负债，其唯一目的是管理负债的流失。参考承诺的所有权是通过从保险公司购买来实现的，该保险公司已将其负债以及复制投资组合和在num’eraire资产中的头寸转移至参考承诺。使参考承诺书符合强制资本要求的金额。经典套利定价参数将确定参考企业所有权的价格C，具体如下。

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2022-6-10 09:47:27

所有权的好处是有权获得下文所述的某些股息，直到负债现金流的流动完成，或者直到参考承诺对保单持有人的义务违约为止。“违约”一词是指参考承诺的所有权终止。具体细节如下：在时间0：与现金流量Xo对应的负债、与现金流量Xo对应的复制投资组合和金额从保险公司转移到参考承诺，其中Ris是使参考承诺精确满足外部强加资本要求的金额通过向原始保险公司支付金额，所有者获得参考承诺的全部所有权。因此，从原始保险公司长期转让的资产净值为Qhtxt=1Xrti+R- C、 o在时间t=1时：业主有权选择违约或不违约。违约决定意味着给予惠普所有权，并将兰德复制投资组合转让给投保人。业主未收到任何股息支付，也未因违约决定而遭受任何损失。如果T>1且决定不违约，则需要新的Num'eraire资产金额，以使参考承诺准确满足外部强加的资本要求。如果R- R- Xo+Xr≥ 0，则为正盈余R- R- Xo+Xr≥ 0支付给所有人，Xo（投保人有权获得）支付给投保人。如果R- R- Xo+Xr<0，则所有者面临必须通过注入-R+R+Xo- Xr>0。在这种情况下，Xois支付给投保人。如果T=1，则上述对保单持有人和所有人现金流的描述在设置R=0时适用在时间t∈ {2, . . .

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能者818

2022-6-10 09:47:30

，T}：如果所有者没有违约，则情况与T=1描述的时间完全类似。综上所述，参考企业的所有人必须确定在何种情况下发生违约的决策规则。默认时间为停止时间τ∈ S1，T+1，其中St，T+1表示F停止时间集，取{T，…，T+1}中的值。事件{τ=T+1}被解释为在任何时候都没有违约的完全责任运行。业主的累计现金流可写为τ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt），Xt：=Xot- Xrt。（1）根据标准套利理论，该现金流（1）的价值为EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i.（2）我们假设参考承诺书的所有人选择一个最大化值（2）的defaulttimeτ。因此，参考承诺的时间0的值Isupτ∈S1，T+1EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i.（3）用于t∈ {1，…，T}，参考承诺时间T的（贴现）值，有时无违约≤ t、通过将（3）中的sup替换为与Q相关的基本sup（详见【10】中的附录A.5）和F条件的完全类似表达式给出。注意，由于在时间>t时没有现金流发生，参考承诺的值在时间t时为零。因此，参考承诺的价值可以确定为Americantype衍生产品的价值。有关美国衍生品无套利定价的详细信息，请参见[10]第6.3节。定义1。考虑带有Xt的序列（Xt）Tt=1和（Rt）Tt=0∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 连接：=ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i，t∈ {0，…，T- 1} ，（4）CT：=0。CTI是指在没有违约时间的情况下，参考承诺在时间t的价值≤ t、示例1。

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2022-6-10 09:47:33

考虑业主在T=1对应的简单单周期设置中的默认选项可能会很有启发性。在时间t=1时违约的决定意味着投保人收到了现金流R+X，而推荐承诺的所有人没有支付也没有收到任何东西。鉴于在时间t=1时不违约的决定，投保人收到XOR，而所有人收到盈余R- Xo+Xrif如果该金额为非负金额，或支付正金额-（R）- Xo+Xr）设定折旧。由于业主没有义务在时间t=1时向投保人支付折旧费，因此很明显，只有当R- Xo+Xr<0。因此，在时间t＝0时参考承诺的值为EQ[（R- Xo+Xr）+]。注意τ=1如果R- Xo+Xr<0,2如果R- Xo+Xr≥ 0givesEQ[（R- Xo+Xr）+]=等式[I{τ=1}·0+I{τ=2}（R- Xo+Xr）]=supτ∈S1,2EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）当T=1和T=0时，i与（4）一致。考虑t=0，设τ*表示最佳默认时间，以便在τ=τ时达到（3）中的上限*. 那么，保单持有人的累计现金流为，X：=Xo- Xr，τ*-1Xt=1Xot+TXt=τ*Xrt+Rτ*-1=TXt=1Xrt+τ*-1Xt=1Xt+Rτ*-1=TXt=1Xrt+R-τ*-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）。因此，流向投保人的现金流的无套利价值，即原始保险公司负债的价值，isEQhTXt=1Xrti+EQhR-τ*-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i，其中第一项为复制投资组合的市场价格，第二项为剩余负债价值。对于t∈{0, . . .

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2022-6-10 09:47:37

，T}，T时的剩余负债价值，如果有时没有违约≤ t由替换τ后的完全相似表达式给出*按故障时间τ*t从时间t:Rt看，这是最佳的- 方程hτ*t型-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=Rt- 计算机断层扫描。请注意，RT- Ct=Rt- ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess infτ∈St+1，T+1季度-τ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+Rτ-1i。定义2。考虑带有Xt的序列（Xt）Tt=1和（Rt）Tt=0∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 定义：=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+Rτ-1i，t∈ {0，…，T- 1} ，（5）VT：=0。VT是时间t的剩余负债价值，有时无违约≤ t、定义3。考虑序列（Xot）Tt=1，（Xrt）Tt=1，（Rt）Tt=0和Xot，Xrt∈L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 设置Xt：=Xot- Xrt。然后lt：=EQthTXs=t+1Xrsi+Vt，t∈ {0，…，T}，（6）其中vt由定义2给出。LTI是时间t的责任值，有时无违约≤ t、示例2。作为示例1的延续，在T=1的简单单期设置中考虑保单持有人的现金流可能会很有启发性。如示例1所示，所有者对违约的最佳执行意味着在时间t=1时，投保人收到（R+Xr）I{R- Xo+Xr<0}+XoI{R- Xo+Xr≥ 0}=Xr+R- （R）- Xo+Xr）+，其中左侧的第一项是违约时保单持有人的现金流，第二项是无违约现金流。因此，保单持有人现金流的Q-预期i sEQ[Xr+R- （R）- Xo+Xr）+]=当T=1和T=0时，其与（6）一致。备注1。要说估值方法与市场一致，一个必要的要求是，可复制金融负债应按其市场价格进行估值。

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2022-6-10 09:47:40

如果Xo是完全可复制的，并且选择了复制投资组合，因此Xr=Xo，则剩余负债现金流为X：=Xo- Xr=0。如果资本要求X=0意味着所有t的Rt=0，则定义2得出V=0。如下面第2.1节所述，通过选择Rt：=ρt，该属性成立(-Xt+1- Vt+1），其中ρ是定义4意义上的有条件货币风险度量。因此：=EQhTXt=1Xrti+V=EQhTXt=1xoti只是可复制现金流Xo的市场价格。因此，市场一致性要求估价框架与选择复制投资组合的适当标准相结合。迄今为止，选择复制投资组合的标准并未纳入一般估值框架的数学中。然而，标准的选择对于确保良好的经济性能和框架的全面运行非常重要。保险监管机构有必要明确规定必须采用的标准，以获得独特的责任价值。第2.2节介绍了复制portfolioselection的合适标准和更多细节。有关市场一致性的进一步评论，请参见第2.2节中的备注10。我们现在准备陈述一个关键结果。可以说，定义1和2中定义的参考承诺值和剩余责任值的序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0可以等效为一对反向递归的EDA解。此外，它提供了从参考企业所有者的角度来看是最佳的停车时间的明确表达式。定理1。考虑序列（Xot）Tt=1，（Xrt）Tt=1，（Rt）Tt=0和Xot，Xrt∈L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}.

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2022-6-10 09:47:42

设置Xt：=Xot- Xrt。（i）如果序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0由定义1和2给出，则Ct=EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，CT=0，（7）Vt=Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，Vt=0。（8）（ii）停车时间（τ*t） t型-1t=0给定b yτ*t=inf{s∈ {t+1，…，t}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1）在（4）和（5）中是最优的。（iii）如果序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0由（7）和（8）给出，则对于t∈ {0，…，T- 1} ，C和V分别由（4）和（5）给出。下面的备注说明了定理1如何导致后续确定剩余负债值（Vt）Tt=0的程序。备注2。我们将在续集中选择Rt：=ρt(-Xt+1- Vt+1）对于条件货币风险度量ρtsuch，如风险值VaRt、uor ExpectedShorth ESt、Utat，在下面的第2.1节中介绍。假设（Xt）Tt=1和（ρt）t-选择1t=0，以便Rt∈ L（Ft，Q），（Vt）Tt=0的定义2以及定理1（ii）中的最佳停车时间导致以下顺序确定（Vt）Tt=0的程序t=t：RT=0，VT=0。ot=t- 1:RT-1=ρT-1(-XT），τ*T-1=T如果ρT-1(-XT）- XT<0，T+1，否则，VT-1=EQT-1hI{τ*T-1=T+1}XT+I{τ*T-1=T}RT-1i.ot=t- 2： RT公司-2=ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1),τ*T-2=inf{s∈ {T- 1，T}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1），VT-2=EQT-2hτ*T-2.-1Xs=T-1Xs+Rτ*T-2.-1i.o等等。t=0：R=ρ(-十、- 五），τ*= inf{s∈ {1，…，T}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1），V=方程hτ*-1Xs=1Xs+Rτ*-1i。下面的备注说明，定理1可以通过识别此处考虑的现金流，以及形成[10]中美国意外事件估值表中关键成分的过程和停止时间来证明。备注3。LetHt：=t-1Xs=1（Rs-1.- 卢比- Xs），t∈ {0，…，T+1}，UT+1：=HT+1，UT：=HT∨ EQt【Ut+1】，t∈ {0, . . .

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2022-6-10 09:47:45

，T}。根据【10】中的定理6.18以及定义1和2，Ut=ess supτ∈St，T+1EQt[Hτ]=ess supτ∈St+1，T+1EQt[Hτ]∨ Ht=（Ht+1+Ct）∨ Ht=（Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct）∨ Ht=Ht+（Rt-1.- Xt公司- Vt）+。由于H=H=0遵循U=C。设τ（t）max：=min{s≥ t:EQs[美+1]<美}∧ （T+1），T∈ {0，…，T}。根据文献[10]中的定理6.21，τ（t）max是最大的最优停止时间，即最优停止问题的最大解ess supτ∈St+1，T+1EQt[Hτ]∨Ht。我们观察到，与上面类似，对于s>0，我们有eqs[Us+1]<Us<==> 等式[美国+1]<Hs<==> Hs+1+Cs<Hs<==> 卢比-1.- Xs型- Vs<0。类似地，对于s=0，等式[U]<U<==> C<0，这在当前设置中是不可能的。因此，条件是τ（t）max>t，τ（t）max=τ*t、其中τ*在定理1中定义。使用此停止策略，条件是τ（t）max>t，Ut=（Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct）∨ Ht=Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct=Ht+1+Ct，Ut=Ht∨ EQt[Ut+1]=EQt[Ut+1]=EQt[Ht+1+（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=Ht+1+EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]从中可以看出（7），因此也可以看出（8）。以下备注表明，由于参考企业所有者的有限责任，累积剩余价值过程是一个（Q，F）子鞅，这进一步导致了原始责任价值的上限。备注4。从（8）中注意到，累积剩余责任价值过程（VSt）Tt=0，VSt：=tXs=1Xs+Vt，（9）是一个（Q，F）-子变量：EQt[VSt+1]=tXs=1Xs+EQt[Xt+1+Vt+1]=tXs=1Xs+Rt- EQt[Rt- Xt+1- Vt+1]≥tXs=1Xs+Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=VSt。相当地，Vt≤ 所有t的EQt【PTs=t+1Xs】。尤其是V≤ 等式[PTt=1Xt]和随后的等式=EQhTXt=1Xrti+V≤ EQhTXt=1Xotiregardless的复制投资组合选择。

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2022-6-10 09:47:49

在【11】中，非负值EQ【PTt=1Xot】- Lis被称为默认选项的值。该值的存在是由于限制责任，这反过来又导致投保人无法收到其应得的全额付款。下面的备注说明，估价方法始终可以用资本估价成本来表示。备注5。注意VT=Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=Rt-1+ηtEPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]定义ηt时：=EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]- 1、资本成本评估是考虑所有者（资本提供者）的时间t一期可接受性标准t[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=（1+ηt）（Rt- Vt）对应于预期超额回报率ηt，以提供资本值Ct=Rt- v时间t。因此，给定定价度量Q，负债现金流的市场一致性价值始终可以解释为资本价值成本。选择Q是合理的，因此ηt≥ 0代表所有t。此外，如果X代表不可归责的保险风险，那么要求Vt是合理的≥ EPt【PTs=t+1Xs】对于所有t，这相当于累积剩余负债价值过程VSin（9）是一个（P，F）-超鞅。可以证明，如果VS是a（P，F）-上鞅，那么ηt≥ 0表示所有t:Vt=Rt-1+ηtEPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，Vt≥ EP[Xt+1+Vt+1]=Rt- EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，共同产生ηt≥EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]EPt[Rt- Xt+1- Vt+1]- 1.≥ 从备注4可以清楚地看出，如果Vs是（P，F）-超鞅，则新qt[PTs=t+1Xs]≥ 所有t的EPt【PTs=t+1Xs】，即。

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2022-6-10 09:47:52

EQt[PTs=t+1Xs]是对剩余剩余负债现金流之和的更为保守的估计，而不是EPt[PTs=t+1Xs]。2.1有条件货币风险衡量的资本要求如果没有说明序列（Rt）Tt=0如何取决于序列（Xot）Tt=0、（Xrt）Tt=0和（Vt）Tt=0，则上述估值框架无法运行。我们将在下面定义映射ρt的项s:Lp（Ft+1，P）→ Lp（Ft，P），并给出Rt的含义Rt=ρt(-Xt+1- Vt+1）。定义4。对于p∈ [0, ∞] 和t∈ {0，…，T-1} ，条件货币风险度量是映射ρt:Lp（Ft+1，P）→ Lp（Ft，P）满足ifλ∈ Lp（Ft，P）和Y∈ Lp（Ft+1，P），则ρt（Y+λ）=ρt（Y）- λ、（10）如果Y，eY∈ Lp（英尺+1，P）和Y≤eY，然后ρt（Y）≥ ρt（eY），（11）ρt（0）=0。（12） A序列（ρt）t-1t=0的条件货币风险度量称为动态货币风险度量。备注6。请注意，资本要求是根据概率度量EP的（Xt）Tt=1和（Vt）Tt=1的特征定义的，而V值是作为递归（8）的解获得的，用条件Q期望表示。这一事实给计算带来了挑战。特别是，我们需要用P-期望来表示Q-期望，以便解决（8）中的向后递归。我们首先回顾了当前法规中使用的有条件货币风险度量，然后考虑一种更一般的风险度量，为后续分析提供有效的结构。

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2022-6-10 09:47:55

对于t≥ 0，x∈ R、 u型∈ （0，1）和Ft+1-可测Z，letFt，-Z（x）：=P(-Z≤ x | Ft），F-1吨，-Z（1- u）：=最小{m∈ R：英尺，-Z（米）≥ 1.- u} ，并定义风险价值和预期短缺的条件版本asVaRt，u（Z）：=F-1吨，-Z（1- u），ESt，u（Z）：=uZuVaRt，v（Z）dv。VaRt、Uan和ESt、Uar是以下更一般类型的条件货币风险度量的特例：设M是（0，1）的Borel子集上的概率分布，使得M具有关于Lebesgue度量的有界密度，或者M的支撑远离0和1，并且设ρt（Z）：=ZF-1吨，-Z（u）dM（u）。（13）注意，VaRt，uis是通过选择M su ch that M（{1- u} ）=1，通过选择密度为v 7的M获得ESt和uis→ u-1(1-u、 1）（五）。定理2。对于p∈ [1, ∞], ρtin（13）是定义4意义上的条件风险度量。特别是对于p∈ [1, ∞], VaRt、UAN和ESt、UAR定义意义上的传统货币风险度量4。此外，对于非负常数λ，ρt（λ·）=λρt（·）。定理2的陈述来自于将命题4（i）与文献[9]中的备注5相结合；因此，省略了证明。从（7）和（8）可以看出，Ct和Vt是从Xt+1递归确定的，Vt+1如下：Ct=γt（Xt+1+Vt+1），Ct=0，（14）Vt：=Дt（Xt+1+Vt+1），Vt=0，（15），其中γt（Y）：=EQt[（ρt(-Y）- Y）+]，（16）Дt（Y）：=ρt(-Y）- γt（Y）。（17）以下结果分析了映射以及它们如何继承条件货币风险度量ρt的属性。定理3。（i）修复t∈ {0，…，T- 1} 和p∈ [1, ∞]. 假设Dt+1/Dt∈L∞（Ft+1，P），ρ是定义4意义上的有条件货币风险度量。那么，νtin（17）是从Lp（Ft+1，P）到Lp（Ft，P）的映射，其性质为λ∈ Lp（Ft，P）和Y∈ Lp（Ft+1，P），则φt（Y+λ）=φt（Y）+λ，（18）如果Y，eY∈ Lp（英尺+1，P）和Y≤eY，然后是Дt（Y）≤ Дt（eY），（19）Дt（0）=0。（20）（ii）固定t∈ {0，…，T- 1} 和1≤ p<p。

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2022-6-10 09:47:59

假设Dt+1/Dt∈ 每r的Lr（Ft+1，P）≥ 进一步假设对于任何p∈ [p，p]，ρ是定义4意义上的条件货币风险度量。然后，对于任何>0的情况，p- ≥ p、 ^1tin（17）可以定义为从Lp（Ft+1，p）到Lp的映射-（Ft，P），具有（18）-（20）性质。备注7。Vt=Vt（X）可被视为应用映射Vt:Lp（（Ft）Tt=1，P）的结果→ 有限合伙人-（Ft，P）至X∈ Lp（（Ft）Tt=1，P）适用于适当的≥ 0根据定理3。如果（Vt）Tt=0satis（15），其中Дtsatis（18）（20），则（Vt）Tt=0satis属性称为时间一致性：对于每一个时间（s，t），s≤ t、两个条件（Xu）tu=1=（eXu）tu=1和vt（X）≤ Vt（eX）一起表示Vs（X）≤ Vs（eX）。有关时间一致性和相关概念的详细研究，请参见[5]和[6]。要求Dt+1/Dt∈ L∞（Ft+1，P）在定理3的陈述（i）中，对映射γt，Дt有了更清晰的定义。然而，Dt+1/Dt的有界性可能是一个限制性太强的要求。如陈述（ii）中所述，Dt+1/Dt的所有矩的有限性将是此处后续分析的适当要求。在定理3（i）或（ii）的假设下，从（15）和（18）得出Vt=Дto · · · o ^1T-1（Xt+1+···+Xt），（21）式中o· · ·o^1T-1确定mappin gs^1t的组成，^1T-1.那∈ Lp（Ft，P）在定理3（i）适用的情况下，或对于任何大于0的P- >0，Vt∈ 有限合伙人-（Ft，P），如果定理3（ii）适用。定义2定义了剩余负债价值（Vt）T-1t=0给定序列（Rt）T-1t=0和（Xt）Tt=1满足Rt，Xt∈ L（英尺，Q）。然而，通常从e开始，采用（13）中所述的有条件资产风险度量ρtof，并根据Pand而非Q确定适当的剩余负债现金流。

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2022-6-10 09:48:02

以下结果表明，这种确定剩余负债现金流价值和参考收入价值的方法与定义1和2完全一致。定理4。固定p>1和f或所有t∈ {1，…，T}，让Xt∈ Lp（英尺，英尺），letDt∈ 所有r的Lr（Ft，P）∈ [0, ∞), 而且，尽管如此∈ {0，…，T- 1} ，设ρtbe为满足（13）条件的货币风险度量。LeteVT=eRT=eCT=0，对于t∈ {0，…，T- 1} ，eVt=Дto · · · o ^1T-1（Xt+1+···+Xt），eRt=ρt(-Xt+1-eVt+1），eCt=γt（Xt+1+eVt+1）。然后，Xt，eRt∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}和，对于T∈ {0，…，T- 1} ，eCt=ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（eRs-1.-eRs公司- Xs）i，eVt：=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+eRτ-1i。以下结果基本上表明：（1）向原始保险公司的复制投资组合中添加非随机现金流不会影响负债现金流的价值。原因是，Vwillchange会相应地改变，以设置添加的非随机现金流的影响。（2）当且仅当ptt=1Xt=K时，对于某个常数K，参考值的所有权值始终为零。定理5。假设（Vt）Tt=0满足（15）和（νt）t-1t=0，由满足定理3的（i）-（ii）之一的（17）给出。（i） IfeXr=Xr+b，其中btis F-可测量所有t∈ {1，…，T}，然后，with ex：=Xo-eXrTXt=1EQeXrt公司+ V（eX）=TXt=1EQXrt公司+ V（X）和，对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，eCt=EQt（ρt(-外景+1- Vt+1（eX））-外景+1- Vt+1（eX））+= EQt（ρt(-Xt+1- Vt+1（X））- Xt+1- Vt+1（X））+= 计算机断层扫描。（ii）如果有一个F-可测量的K，使得PTT=1Xt=K，则所有t的Ct=0∈ {0，…，T- 1} K=V.（iii）If，对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，Ct=0，ρt为Y的性质∈ Lp（Ft+1，P）和Pt（Y≥ ρt(-Y））=1，然后是Y∈ Lp（Ft，P），（22）thenPTt=1Xt=V。推论1。

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2022-6-10 09:48:05

假设（Vt）Tt=0满足（15）和（νt）t-1t=0由（17）给出，其中ρt=ESt，Pf用于某些p∈ （0，1）和所有t。然后Ct=0 f或所有t∈{0，…，T- 1} 当且仅当PTT=1Xt=V时。以下示例说明了强独立性假设下的估价程序。虽然这一假设是人为的，但它导致了可以得出结论的明确公式。示例3。考虑现金流（Xt）Tt=1，因此Xt是s<t的独立抵销，并假设ρ是一个条件货币风险度量（13）。那么，由于XTis独立于FT-1，VT-1=ρT-1(-XT）- EQT-1[（ρT-1(-XT）- XT）+]=ρ(-XT）- 公式[（ρ(-XT）- XT）+]，并且自VT起-1此处为非随机和XT-1独立于FT-2，VT-2=ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1)- EQT-2[（ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1) - XT公司-1.- 及物动词-1） +]=VT-1+ ρ(-XT公司-1) - 公式[（ρ(-XT公司-1) - XT公司-1)+].重复上述参数yieldsVt=Vt+1+ρ(-Xt+1）- 等式[（ρ(-Xt+1）- Xt+1）+]，VT=0，即VT=TXs=t+1ρ(-Xs）- 公式[（ρ(-Xs）- Xs）+]对于所有t都是非随机的。特别是，Rt=ρ(-Xt+1- Vt+1）=ρ(-Xt+1）+Vt+1，Ct=等式[（ρ(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+]=等式[（ρ(-Xt+1）- Xt+1）+]。如果进一步存在iid序列（Zt）Tt=1和非随机序列（ut）Tt=1和（σt）Tt=1，且σt相关，使得XT和ut+σtztare分布相等，则CT=σtEQ[（ρ(-Z）- Z） +]，Vt=TXs=t+1us+TXs=t+1σsρ(-Z）- 公式[（ρ(-Z）- Z） +].尤其是，可能无法找到连接值Ct的关系。2.2复制投资组合定义3将负债现金流的初始价值定义为复制投资组合的市场价格EQ【PTt=1Xrt】和剩余负债现金流的价值之和。或者，Lis是投保人对现金流的Q预期，最好由参考承诺的所有人阻止。如备注1所述，为了讨论负债现金流的价值，必须选择复制投资组合。

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2022-6-10 09:48:08

原始保险公司应根据规定适当标准的监管要求，决定指定用于负债现金流的复制投资组合。（在没有监管要求的情况下，由于保险公司的偏好不同，复制投资组合的特征可能会有很大不同。）然后，外部强加的资本要求规定了必须如何根据num'eraire资产中的头寸修改该复制投资组合。根据规定资本要求的监管框架，最终复制投资组合在通过资产数量头寸进行修改后，始终是可以接受的。应该强调的是，在一般情况下，复制投资组合的现金流可能来自任意复杂的动态策略，这取决于所选的复制投资组合选择标准和复制工具集。唯一的硬限制是现金流Xris是原始保险公司决定的投资组合或战略的结果，参考承诺的所有者可能不会以任何方式影响Xr的结果。从监管者的角度来看，要求复制投资组合合理地复制负债现金流是合理的，从而使参考承诺的初始值和后续值CTO相当适中。保险公司可以强制原保险公司拥有复制的投资组合，并为负债现金流提供金额头寸。然而，监管人无法保证在转移负债现金流时以及在整个负债清偿期间，外部方将提供潜在的大额现金流。

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2022-6-10 09:48:11

从实践的角度来看，如果原始保险公司遇到财务压力，与较小的CTI相对应的复制良好的负债更有可能成功转移。下面将详细分析选择复制投资组合以最小化所有Ct的预期的数学问题，请参见（26），以及经过充分研究的备选方案。考虑m（贴现）现金流Xf，k=（Xf，kt）Tt=1，k=1，可用金融工具的m，并用XFRM值过程表示，以便XFT表示时间t现金流的（列）向量。组合权重向量为v的组合∈ 代表m仪器单位数量的Rm生成现金流VTxStatTime t。文献中考虑了选择复制投资组合的各种条件。优化问题∈RmTXt=1EQh（Xot- vTXft）i1/2（23）在【17】中称为现金流匹配。在m ild条件下，[17]中的定理1（和2）表明存在一个最优（唯一最优）解。另一个现金流匹配问题是NFV∈RmTXt=1EQh（Xot- （23）和（24）之间的比较见【15】。优化问题INFV∈RmEQh公司TXt=1（Xot- vTXft）i1/2（25）在【15】、【16】和【17】中被称为终值匹配。这是一个具有显式解bv=EQ的标准二次优化问题Xf，1·Xf，1·Xf。Xf，1·Xf，m·。。。。。。Xf，m·，Xf，1·。Xf，m·Xf，m·-1EQXo·Xf，1·。。。Xo·Xf，m·如果存在矩阵倒数，这里的SUBScript·m表示指数t的总和。复制投资组合选择标准应具有这样的性质：如果可能实现完美复制，则最佳复制投资组合现金流BVTXFSaties Xo=bvTXf。

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2022-6-10 09:48:14

这一要求确保了市场一致性负债价值：对于可复制的负债现金流，L=PTt=1EQ[Xot]。备注8。通过用EPQ代替期望方程得到的优化问题（23）、（24）和（25）的版本也可能是合理的。请注意，如果唯一可用的复制工具是所有到期日t=1，…，的num'eraire资产中的零息票债券，T（或者，相当于到期日为T=1，…，T和共同执行价格为0的num'eraire资产上的欧式ropean看涨期权），然后m=T，xf是T×T单位矩阵。在这种情况下，infv∈RmTXt=1EPh（Xot- vTXft）i=infv∈RmTXt=1EPh（Xot- vt）i，唯一的最优解是bv=EP[Xo]，它被称为实际最佳估计储量。请注意，给定上述一组复制工具，任何满足PTt=1bvt=PTt=1EP[Xot]的bv都是通过将期望方程替换为EP获得的终结值问题（25）版本的最佳解决方案。在我们的设置中，时间t的参考承诺值isCt=EQt[（ρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+]。参考收入的所有者必须提供金额CTR，以满足外部强加的资本要求。从实践的角度来看，保险监管机构无法保证提供的金额。不提供CTS意味着所有者终止所有权，并将复制投资组合传递给投保人。复制不足导致不确定是否可能继续支付债务。因此，为了保单持有人的利益，监管机构应提供良好的初始申请，使所有CTA都可能很小。因此，我们考虑优化问题INFV∈Rmψ（v），ψ（v）：=EQhmaxt∈{0，…，T-1} Cvti，（26），其中，对于t=0。

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2022-6-10 09:48:19

T- 1，Cvt：=当量（Rvt- Xvt+1- Vvt+1）+I，带Xv：=Xo- vTXf，Vvt：=Vt（Xv），Rvt：=ρt(-Xvt+1- Vvt+1）。请注意，由于属性（10）和（18），优化问题（26）中的目标函数在Xvbyconstant向量（无风险现金流）的平移下是不变的。因此，如果将num'eraire资产中的无风险现金流作为复制工具，则（26）不会有唯一的最佳解决方案。有关更精确的陈述，请参见下面的定理5。备注9。如果（RSt）Tt=0，由RSt给出：=Pts=1Xs+Rt，是（Q，F）-上鞅，那么（Ct）Tt=0是（Q，F）-上鞅：Ct=EQt[（Rt- Xt+1- Rt+1+Ct+1）+]≥ Rt公司- EQt【Xt+1+Rt+1】+EQ【Ct+1】≥ 等式[Ct+1]。特别是，在这种情况下，C=0意味着所有t的Ct=0∈ {0，…，T}。注意，（RSt）Tt=0是（Q，F）-上鞅，当EQt[Rt-Rt+1-Xt+1]≥ 0表示所有t∈ {0，…，T- 1}. 从这一观察结果和（1）可以看出，（RSt）Tt=0是一个（Q，F）-超鞅的假设意味着，在每个时间t，下一期现金流对参考企业所有者的财务价值是非负的。最后，应该注意的是，很容易找到（Ct）Tt=0不是（Q，F）-上鞅的例子，参见上面的例子3。优化问题（23）-（26）都可以表示为infv∈Rmψ（Xo- vTXf）对于映射ψ：Lp（（Ft）Tt=1，Q）→ R+满足ψ（0）=0，即完美复制的最优性。minimizerbXr的存在：=bvtxf可以表示为ψ（Xo-bXr）=infv∈Rmψ（Xo- vTXf）。（27）下面的定理8给出了（26）中存在极小值bv的条件。备注10。考虑一个不完全可复制的负债现金流Xo，并假设存在唯一的最小bv to（27）。XoisL（Xo）=bvTEQhTXt=1Xfti+V（Xo）的值- bvTXf）。考虑另一项负债现金流量：=Xo+Yo，仅通过完全可复制的术语Yo=vTYXf与Xo不同。

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