SINH加速度：概率分布的有效评估，

2022-6-10 11:04:27

SINH-ACCELERATION：对概率分布、期权定价和蒙特卡罗模拟的有效评估。几类流行分布和过程的特征函数将解析延拓变换为条带和开圆锥曲线的并集 C、 Fouriertransform技术将概率分布和期权价格的计算简化为积分的计算，而积分的被积函数在具有这些性质的域中是解析的。在本文中，我们建议使用ξ形式的变量变化=√-1Ω+b正弦(√-1ω+y）和简化的梯形规则，以准确快速地计算积分。我们制定了一般方案，并将该方案用于计算L'evy模型、Heston模型、CIR模型和具有CIR从属关系的L'evy模型中的概率分布和欧洲期权价格。我们概述了快速准确校准程序和蒙特卡罗模拟在L'evy模型、可解释随机漂移、波动性和偏度的状态切换L'evy模型以及赫斯顿模型中的应用。为了使用牛顿法或二分法计算尾部的数量，必须预先计算适当网格（共形主分量）点处的数百个特征指数值，并在cpdf和pdf公式中使用这些值。关键词：sinh正则L'evy过程、sinh正则分布、sinh加速度、共形主分量、Heston模型、KoBoL、CGMY、CIR、CIR从属、Monte-Carlosimulations1。

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2022-6-10 11:04:30

本文中，我们给出了拉普拉斯和福列尔反演、维纳-霍普夫因式分解、概率分布计算、优先级和其他奇异性中产生的积分的一般条件，这使我们能够快速准确地计算这些积分。在融资应用中，这些条件是关于未定权益特征函数的条件。对于单因子L'evymodels中的欧式期权和一些流行的a ffine模型，特征函数是定义在复杂平面C的宽区域上的函数；在篮子期权、障碍期权和回望期权的情况下，特征函数在Cn的广泛子集上定义，其中n≥ 2、对障碍期权和回望期权定价公式中出现的维纳-霍普夫因子的评估也涉及Cn子集上的函数，其中n≥ 2、在本文件中，我们考虑了几个问题。B、：德克萨斯大学奥斯汀分校经济系，2225 Speedway Stop C3100，Austin，TX 78712–0301，sboyarch@eco.utexas.eduS.L.：Calico科学咨询公司。德克萨斯州奥斯丁。电子邮件地址：levendorskii@gmail.com.2SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIsituations，其中出现了C子集上的一维积分和函数，并将同样的技术应用于多维情况。我们首先在形式（1.1）I=ZImξ=ωe的一维积分的情况下，解释所建议方法的主要思想-ixξg（ξ）dξ，其中i=√-1，x∈ R、积分线{Imξ=ω}在g的解析性范围内，g（ξ）的衰减速度与ξ一样快→ ∞ 保留在夹在线R和{Imξ=ω}之间的条带中。

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2022-6-10 11:04:33

在概率上，当随机变量Y的特征函数g（ξ）=E[eiξY]不仅在R上的直线{Imξ=ω}上定义好时，就会出现这种最简单的积分。那么（1.1）的RHS是在x处计算的Y的概率分布函数（pdf）pY（x）（并乘以2π）。我们方法的第一步是对（1.1）中的变量进行以下更改：（1.2）ξ=χω，ω；b（y）=iω+b sinh（iω+y），其中ω，ω∈ R、 ω∈ [-π/2，π/2]和b>0的关系如下：ω=ω+b sin（ω）。我们将变量的变化（1.2）称为sinh加速度（在多重积分的情况下，我们对每个参数进行适当的sinh加速度w.r.t.）。在y坐标系中，我们在实线上积分。如果被积F（y）=e，则可以调整变量的变化-ixχω，ω；b（y）g（χω，ω；b（y））χ′ω，ω；b（y）允许解析延拓到足够宽的行程S（d-,d+={y∈ C | Im y∈ （d）-, d+}和衰减速度与y相当快→ ∞ 留在s的行程中。更详细地说，柯西积分定理允许我们将积分线{Imξ=ω}变形为轮廓Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）。在Lω上的积分中，ω；b、我们改变变量（1.2）。因此，如果被积函数在积分线{Imξ=ω}和适当圆锥附近的s行程s的并集上加入分析延拓，则sinh加速度是可能的，并随着ξ消失→ ∞ 留在美国。在一些重要的情况下，可以在适当的黎曼曲面上进行更宽区域的解析延拓，从而提高方法的速度。我们没有为一类具有这些性质的函数发明一个简短的名称：“函数在条带中分析（并在整体中衰减）”的名称并不十分笨拙，“函数在条带和圆锥的结合中分析”的名称似乎很笨拙。我们建议将其命名为sinh正则函数。

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2022-6-10 11:04:36

我们使用同一个形容词sinh regular来表示d分布和过程，从而得到sinh正则函数的积分。对于相同的过程，在不同的问题中，需要使用具有不同参数集ω、ω、b的sinh加速度，因此，我们将根据分析的条带（在多因素模型中，管域）和圆锥，制定过程特征函数的一般条件，并列出几类广泛的sinh正则过程和分布。我们方法的第二步非常标准：使用有限梯形规则对积分进行离散化。如果被积函数在条带S（ω）中是解析的-d、 ω+d），并以ξ的速度衰减→ ∞ 保留在条带中，简化梯形规则的离散误差随网格尺寸ζ的倒数呈指数衰减。因此，很容易满足较小的误差容限。接下来，必须截断最终sumSINH加速度3；所得公式称为简化梯形规则：I=ζX | j|≤Nf（jζ）。正如文献中常见的那样，可以将简化梯形规则应用于初始积分。然而，在许多有趣的情况下，g（ξ）随ξ缓慢衰减→ ∞ 因此，截断误差会随着简单类曲律项数的增加而缓慢衰减。例如，即使是对列维过程的概率分布进行适度准确的评估，也可能需要几千万个术语甚至更多。正弦加速度指数增加了被积函数的衰减率，满足给定误差的项数N显著减少。

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2022-6-10 11:04:39

在许多情况下，n<10满足误差容限=10-7.通常，小于50项支持，在重要的情况下，N为100-150个支持，以满足容错10-（1.3）ξ=χ±ω形式变量的分数抛物线变化的类似技巧；σ;α（η）=iω±iσ（1 iη）α，其中ω∈ R、 σ>0，α>1，被系统地用于一系列论文[7、28、6、32、13、5、30、8、31、20、21]。在工作文件【29】中，建议在完成变量的分数抛物线变换后，使用实线积分的sinh加速度η=sinh（ay）/a。在本文中，我们仅使用更一般形式（1.2）的sinh加速度。根据ω的符号，新的积分轮廓Lω，ω，向上或向下双变形，变形轮廓具有类似于[7，28，6，32，13，5，30，8，31，20，21，29]中轮廓的性质。简化梯形规则的项数与[29]中的项数大致相同（且小于[7、28、6、32、13、5、30、8、31、20、21]，其中某些情况下需要数千项），但计算单个项所需的基本运算数减少。一般方案比[29]中的方案简单。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们解释了sinh加速技术在评估宽类L'evy过程和不可分分布（我们称之为sinh正则过程和d分布）的概率分布函数中的应用。

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2022-6-10 11:04:42

该类包含金融中使用的几乎所有流行的L'evy过程类、赫斯顿模型中的条件概率分布、更多一般随机波动率模型、有效和定量利率模型、Wishart动态模型、Barndorf Nielsen和Shep hard模型、3/2模型等。作为一个基本的数值例子，我们考虑了NTS模型中的概率分布。在第3、4和5节中，我们考虑了sinh正则L'evy模型和Heston模型、CIR模型和辅助NTS模型中的欧式期权定价，从属项是聚合平方根过程。第6节概述了L'evy模型、区域切换L'evy模型和Heston模型中分位数的计算和蒙特卡罗模拟的应用。为了使用牛顿法或二分法计算尾部宽区域中的分位数，需要在适当网格点处重新计算出现在cpdf和pdf（共形主成分）特征指数中的数百个函数值，并使用这些值来计算cpdf和pdf。第7节总结了本文的结果和双线自然扩展。表格见附录。4 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKII2。SINH正则L'evy过程和无限可分分布2.1。定义。在文献[10]中，给出了一系列指数型正则L'evy过程（RLPE）的两个几乎等价的定义：一个是关于L'evy密度（指数decay at In finity），另一个是关于特征指数（对于R上的过程，沿实轴分析条带），对于Rn上的过程，则是在管域Rn+iU中，其中U RN是包含0的开放集）。RLPE类包含定量金融中流行的所有过程类（模型类）。

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2022-6-10 11:04:45

【41】中定义的回火稳定evy过程是RPLE的一个子类。在[7，6，32]中，人们注意到，模型类过程的特征指数允许对复杂平面和适当黎曼曲面的更宽区域进行解析延拓，并具有对构建未定权益定价新有效方法有用的几个性质。本文放宽了文献[6]中引入的指数型强正则L'evy过程（sRLPE）定义的一般条件。当使用维纳-霍普夫因式分解和变量的分数抛物线变化时，需要在[6，32]中制定的附加条件来构建更有效的方法。当使用sinh加速度时，这些附加条件的优势微乎其微。Letλ-< 0<λ+和-π/2 ≤ γ-< γ+≤ π/2和任意一个γ-≤ 0<γ+或γ-< 0≤ γ+. 确定圆锥Cγ-,γ+={eiДρ|ρ≥ 0, φ ∈ (γ-, γ+) ∪ (π - γ+, π - γ-)}, 和集合（2.1）U（λ-, λ+; γ-, γ+=i（λ-, λ++Cγ-,γ+：={ia+z |λ-< a<λ+，z∈ Cγ-,γ+}.如[6]中所述，我们以（2.2）ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），并对ψ施加条件。我们需要圆锥曲线C=Cγ-,γ+有几种：（1）描述域U=i（λ-, λ++Cγ-,特征指数解析性的γ+（2）引入子集Uu=i（λ-, λ+++Cu，其中|ψ（ξ）|允许一个有用的上界；（3）引入子集Ul=i（λ-, λ++Cl，其中Reψ（ξ）允许一个有用的下限。在许多情况下，圆锥面围绕r eal轴。然而，如果ψ（ξ）=o（|ξ|）为ξ→ ∞ 在分析性领域，u6=0，那么，为了计算不在峰值的pdf和不在价格上的期权，我们必须选择一个域U′=i（λ-, λ+++C′，w这里的C′要么在上半平面，要么在下半平面。定义2.1。

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nandehutu2022

2022-6-10 11:04:48

我们说X是一个SINH正则L'evy过程（在R上），类型为（（u-, u+); CC+）和顺序ν∈ （0，2）如果满足以下条件：（i）u-< 0 < u+;（ii）C+ C C是与实轴相邻或包含实轴的开放圆锥曲线；（iii）ψ，X的特征指数，允许对i（u）进行解析延拓-, u++C；（iv）对于任何u′-∈ (u-, 0), u′+∈ （0，u+）和开放子锥Cu C与实轴相邻或包含实轴，存在C>0，使得（2.3）|ψ（ξ）|≤ C（1+|ξ|）ν， ξ ∈ i[u′）-, u′+]+铜；当计算维纳-霍普夫因子时，需要形式（2.1）集合上的附加条件；这些条件取决于光谱参数。SINH-任何闭合子锥Cl的加速度5（v）+ C+和任何[u′-, u′+] (u-, u+，存在c，c>0，例如（2.4）Reψ（ξ）≥ c |ξ|ν- C ξ ∈ i[u′）-, u′+]+Cl+。我们说一个分布是一个SINH正则的不完全可分分布（（u-, u+); CC+）和顺序νi ff是X的分布，其中X是（（u-, u+); CC+）和顺序ν。备注2.1。我们可以概括这一定义，允许-= 0或u+=0（但并非两者都是）。然而，可以使用适当的Esscher变换将这两种情况中的每一种减少到情况u-< 0 < u+. 案例u的突出例子-= 0=u+是稳定的L′evy分布和过程；我们在另一份出版物中考虑了这一情况。定义2.2。

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2022-6-10 11:04:52

我们说X是（（u）型的椭圆SINH正则L'evy过程-, u+); CC+）和顺序νif条件（i）-（iii）和以下两个条件对任何ξ均成立（iv∈ C∩ {ξ| |ξ|=1}，表示ρ→ +∞,(2.5) ψ(ρξ) ~ c∞（argξ）ρν，其中c∞（argξ）：=c∞（ψ，argξ）是连续的；（v） \'对于任何ξ∈Cl公司+∩ {ξ| |ξ|=1}，Re c∞（argξ）>0。我们说，一个分布是一个椭圆SINH正则的不完全可分分布，它是X的分布，其中X是一个椭圆SINH正则的L'evy过程。备注2.2。a）高效计算所需的属性是用复杂分析语言表述的，不能用概率语言自然表述。事实上，像带有嵌入复合泊松过程的布朗运动（其中a<0<b）这样的简单过程是RLPE，它们的特征指数在复平面上是解析的，但在任何圆锥上，Reψ（ξ）都不是半有界的，并且性质（2.4）失效。然而，如果a=0，b>0或a<0，b=0，则这种过程是（（u-, u+); CC+，其中u-< 0<u+是任意的，如果a<0，b=0，则C，C+是下半平面中的圆锥，如果a=0，b>0，则上半平面中的圆锥。b）定义2.1和2.2中形式化的特征指数属性适用于与概率无关的伪微分算子（PDO）的各种符号，基于这些属性的方法可用于为此类PDO的各种边界问题开发有效的数值方法。备注2.3。如果子对象Y和进程X是椭圆SINH正则L'evy进程，则{XYt}是椭圆SINH正则L'evy进程。有关示例，请参见第5节。2.2.

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2022-6-10 11:04:55

示例和一些概括。（1）基本上，定量金融中使用的所有L'evy过程都是椭圆正弦正则L'evy过程：布朗运动（BM）、默顿模型[40]、NIG（正态逆高斯模型）[2]、双曲线过程[14]、双指数跳跃扩散模型[33、34、22、23、24]，其推广：超指数跳跃扩散模型，在[26、33]中介绍，并在[26、27]中详细研究，β类的主要过程[25]；广义koponen族及其子类KoBoL[10]。KoBoL的一个子类（称为6 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIICGMY模型-见[11]）由特征指数（2.6）ψ（ξ）=-iuξ+cΓ(-ν)[λν+- （λ++Ⅰξ）ν+(-λ-)ν-(-λ-- iξ）ν]，其中ν∈ （0，2），ν6=1（在ν=1的情况下，分析表达式不同：见[9，10]）。因此，KoBoL是SINH正则的（（λ-, λ+); C、 C+）和顺序ν，其中C=C-γ,γ,γ ≥ π/2，C+=C-γ′，γ′，其中γ′=π/（2ν）（γ′>π/2的含义见下文（3））。BM、DEJD和HEJD的阶数为ν=2，NIG的阶数为ν=1。文[3]中构造的NTS过程的特征指数由（2.7）ψ（ξ）=-iuξ+δ[（α+（ξ+iβ））ν/2- (α- β） ν/2]，其中ν∈ (0, 2), δ > 0, |β| < α. 这是一个（（α+β，α- β); C、 ν级的C+，其中C和C+与同一级的KoBoL相同。（2）为了考虑方差伽马过程（VG）[37]，定义2.1-2.2必须泛化，以替换函数ρ7→ ρν具有严格递增函数w:R+→ R+满足w(+∞) = +∞. 我们说：X是（S，C，C+，w）型的（椭圆）SINH正则L'evy过程。对于方差Gamma过程，w（ρ）=ln（1+ρ）。（3）对于KoBoL、VG和NTS，ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面R，而C可以定义为R的适当子集。

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2022-6-10 11:04:58

在形式上，在（1）中，γ>π/2是允许的，因为理解到C-γ、 γ位于R的不同表上。参见[7，6，32]，其中C的优点+ R用于提高s速度。当SINH加速度用于计算维纳-霍普夫系数时，同样的扩展非常有用，而对于欧式期权定价则不太有用。（4）渐近系数c∞（argξ）是（i）如果X是BM，DEJD和HEJD，c∞（Д）=（σ/2）ei2Д，因此，C+=C-π/4,π/4;（ii）如果X由（2.6）给出，则∈ [-π/（2ν），π/（2ν）]，（2.8）c∞(φ) = -2cΓ(-ν） cos（πν/2）eiν，因此，C+=C-π/(2ν),π/(2ν);（iii）如果X由（2.7）给出，则∈ [-π/（2ν），π/（2ν）]，（2.9）c∞（iν）=δeiν，因此，C+=C-π/(2ν),π/(2ν).（5）在[9]中，我们构造了更一般的L'evy过程类，其特征指数的形式为（2.10）ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν+)[λν++- （λ++Ⅰξ）ν+]+c-Γ(-ν-)[(-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-],其中c±≥ 0，c++c-> 0, λ-< 0 < λ+, ν±∈ （0，2），ν±6=1，修改为ν+=1和/或ν-= 对于这些过程，更涉及分析性和边界域。特别是，一般来说，圆锥曲线与r eal轴不对称。（6）在上述示例中，Reψ（ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 在围绕实轴的圆锥中，由于L'evy密度的特殊形式，因此，特征函数。

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2022-6-10 11:05:01

如果ψ（ξ）包含Ceicξ形式的项，其中c∈ R、那么（i）如果c<0，那么Reψ（ξ）不是半有界的（从下面看），因为ξ→ ∞ 在上半平面的任何圆锥C中；（ii）如果c>0，则Reψ（ξ）不是半有界的（从下面看），如ξ→ ∞ 在下半平面的任何圆锥上。SINH-ACCELERATION 7最简单的例子是带有嵌入跳跃的BM，L'evy密度为1[-a、 b）]。如果a<0<b，则Reψ（ξ）不半群为ξ→ ∞ 在任何圆锥C.（7）中，如果X是仅嵌入n个负跳跃的BM，跳跃密度在整数处呈指数衰减，则X是一个2阶且类型为（0+∞); C、 C0，π/4），其中C是上半平面。如果X是仅嵌入正跳跃的BM运动，则X是2阶和2型的椭圆SINH正则过程((-∞, 0); C、 C类-π/4,0），其中C是下半平面。（8）在E x示例（7）中，可以添加一个正（尤其是负）跳跃分量，如KoBoLor指数跳跃微分。也可以用（（u）型单侧SINH调节过程代替BM-, u+，C，C+，其中u-< 0<u+和C+，C是绕实际轴的圆锥。在这两种情况下，产生的过程X的类型将通过比嵌入单侧跳线组件的BM更小的分析性域来表征。（9） a ffne随机波动率模型和a ffne和quad raticinterest利率模型中的条件分布是sinh正则的。2.3. 概率分布的计算。Xtequals（2.11）pt（x）=2πZRe的pdf-ix′ξ-tψ（ξ）dξ，其中x′=x- ut.表示g（ξ）=e-tψ（ξ）。如果被积函数f（y）=e，变量（1.2）的变化可以是公正的-ix′χω，ω；b（y）g（χω，ω；b（y））χ′ω，ω；b（y）允许对astrip S进行解析延拓(-d、 d）={y∈ C | Im y∈ (-d、 d）}围绕实线，快速衰减→ ∞ 保留在条带中。

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2022-6-10 11:05:05

更详细地说，柯西积分定理允许我们将积分线{Imξ=ω}变形为轮廓Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）。在ω上的积分中，ω；b、我们改变变量（1.2）。sinh加速度参数的选择取决于过程的类型、阶数和x′。可以方便地分别考虑以下情况：（1）C+=Cγ-,γ+，wher eγ-< 0 < γ+, ν ∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和x′=0:asξ→ ∞, 的渐近导项-ix′ξ-tψ（ξ）与- 因此，可以选择sinh加速度的参数，而不考虑x′。整合线可能保持弯曲，也可能向上或向下变形。用于推导误差界的解析性圆锥可以围绕实轴（参见图1中的上面板进行说明），这使得人们可以使用比其他情况下更大尺寸的网格。自然地，如果ν>1接近1和/或x′在绝对值中较大，则考虑x′的符号更安全，并像ν那样变形轮廓∈ (0, 1).（2） C+=Cγ-,γ+，其中γ-= 0 < γ+, ν ∈ （0，1），x′<0。Asξ→ ∞, 的同义词的前导项-ix′ξ-tψ（ξ）与-因此，用于推导误差界的变形轮廓线和解析性圆锥必须在上半平面内，即使γ-< 0（请参见图1中的下面板以获取图示）。（3） C+=Cγ-,γ+，其中γ-< 0 = γ+, ν ∈ （0，1），x′>0。Asξ→ ∞, 的同义词的前导项-ix′ξ-tψ（ξ）与-因此，即使γ+>0.8 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI I-5 0 5-505-5 0 5-505图1。实线：解析域的边界(-1,1）+C-π/4，π/4inξ-坐标。

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2022-6-10 11:05:08

点：点ξj=χω，ω；b（yj）=在simpli fiedTrapezoid规则中使用的iω+b sinh（iω+yj）。点划线：图像的边界χω，ω；b（S）(-d、分析带S的(-d、 d）。上面板：ω=ω=0，d=π/4，b=1/sin（π/4）。下面板：ω=-1，ω=d=π/8，b=2/sin（π/8）。对于下面板中表示的计算，只有较小的域S(-1,1）+C0，π/4物质。（4） C+=Cγ-,γ+，w此处γ-< 0<γ+，ν=1，x′6=0。最好使轮廓变形，但用于推导误差界的解析性圆锥可以围绕实轴。（5） C+=Cγ-,γ+，其中γ-= 0<γ+或γ-< 0=γ+，ν=1。用于推导误差界的变形轮廓线和解析性圆锥必须在下半平面内，即使γ+>0，也必须在下半平面内，即使γ-< 在下一小节中，我们假设C+=Cγ-,γ+，其中γ-< 0 < γ+. 读者可以简单地修改以下γ情况的结构-= 0<γ+和γ-< 0 = γ+.2.3.1. 案例ν∈ （1，2）和情况ν∈ （0，1），x′=0。在这些情况下，对于任何γ-,′∈(γ-, 0), γ+,′∈ （0，γ+），存在c>0，使得（2.12）Re c∞(φ) ≥ c、 γ-,′≤ φ ≤ γ+,′.首先，我们选择ω∈ R和d>0，所以ω+d≤ γ+, ω - d≥ γ-. 由于dis是y坐标中解析性s行程的半宽度的上界，我们希望选择dSINH加速度9a尽可能大。因此，我们设置（2.13）ω=（γ++γ-)/2，d=（γ+- γ-)/2.那么ω+d=γ+，ω- d=γ-. 接下来，我们必须确保图像轴和S的图像的交点(-d、 d）在χω、ω下；bis（u）的子集-, u+，相当于ω+ba+≤ u+, ω-bu-≥ 一-, 其中a-= sin（最小{π/2，-γ-}), a+=sin（min{π/2，γ+}）。

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2022-6-10 11:05:17

Wede FINE（2.14）ω=u+a-+ u-a+a++a-, b=u+- u-a++a-.如果γ-= -γ+（KoBoL和NTS的情况，NIG的推广），（2.14）简化（2.15）ω=u++u-, b=u+- u-2 sin（最小{π/2，γ+}）。在（1.2）中，我们选择d<d，b<b分别与d，b接近，例如，d=0.95d，b=0.95d。然后积分f（y）=（1/2π）exp[-ix′χω，ω；b（y）- tψ（χω，ω；b（y））]χ′ω，ω；b（y）允许对条带S进行解析延拓(-d、 d）={y∈ C | Im y∈ (-d、 d）}围绕实线，衰减速度与y相当快→ ∞ 保留在狭长地带，因此atlimA→±∞Zd公司-d | f（ia+A）| da=0，哈代范数（2.16）H（f，d）=利马↓-dZR | f（ia+y）| dy+利马↑dZR | f（ia+y）|动态定义。固定ζ>0并构建网格{yj=jζ，j∈ Z} 。有限梯形规则内的离散化误差（2.17）pt（x）=ζXj∈Zf（yj）通过H（f，d）exp允许上界[-2πd/ζ]/（1-经验值[-（参见[42]中的定理3.2.1和[28]中的附录ix以获得简单证明）。在某些情况下，被积函数的Hardy范数作为最大分析性条带上的函数是有限的。在这种情况下，为了使用离散化误差的通用界，必须将该界应用于分析性误差带上的函数；这解释了我们的选择d<和b<b。可以相对容易地推导出H（f，d）的相当准确的近似界，但是，就像分数抛物线变形的情况一样[28，30]，如果初始解析性条带不是很窄，并且通常会导致过度杀灭，则以下粗略近似很好地工作：（2.18）H（f，d）=C（| f(-id）|+| f（id）|），其中C=10。为了满足较小的误差容限>0，我们选择ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~2πd/E，其中E=ln（1/）。N的选择，即简化梯形10的项数SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIrule，相当于截断参数∧=Nζ，更为复杂。

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2022-6-10 11:05:20

简化梯形规则的运行误差（2.19）pt（x）=ζx | j|≤Nf（yj）可通过积分（2.20）的截断误差Errtr=2Z来近似+∞∧| f（y）| dy。如果∧较大，则在∧上+∞), 我们可以使用近似值χω，ω；b（y）~ （b／2）eyeiω，χ′ω，ω；b（y）~ （b/2）eyeiω，导出近似上界z+∞∧| f（y）| dy≤πZ+∞∧eRe(-ix′eiωρ-tψ（ρeiД）dρ，其中∧=（b/2）e∧。界限可以简化为（2.21）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-t Re c∞（ω） ρνdρ，其中C=CΓ(-ν)[λν++ (-λ-)ν] 对于KoBoL，C=δ（α-β） ν/2对于TS过程。I f c∞（ω） =c∞（0）eiωνas在KoBoL和NTS的情况下，那么（2.21）可以写成（2.22）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-tc公司∞（0）cos（ων）ρνdρ。考虑到误差容限>0，可以很容易地找到∧满足Errtr（λ）<的近似值（见[7，28，30]），然后确定（2.23）∧=ln（2∧/b），n=ceil（λ/ζ）。2.4. 案例ν∈ （0，1），x′<0。自从-ix′ξ- tψ（ξ）~ -ix′ξasξ→ ∞, 我们使用与上述相同的结构替换γ-γ+和γ-= 0和γ+=最小值{γ+，π}。2.5. 案例ν∈ （0，1），x′>0。我们使用与ab ove替换γ相同的结构-γ+和γ-= 最大{γ-, -π} γ+=0.2.6。情况ν=1，x′6=0。为简单起见，请考虑案例c∞（Д）=c∞（0）ei^1，其中c∞（0）>0与Д无关。Asρ→ +∞,-ix′ρeiИ- tψ（ρeiД）=(-ix′- tc公司∞（0））eiД=-p（x′）+（tc∞（0））ei（Д+Д），其中Д=arctan（x′/（tc∞)). 因此，我们使用与（i）γ相同的构造-= -π/2 - ν，γ+=π/2，如果x′<0（因此，Д<0）；（二）γ-= -π/2, γ+= π/2 - 如果x′>0（因此，Д>0）。SINH-ACCELERATION 11截断误差（2.21）的界限可以明确表示为（2.24）Errtr（∧）≤etCπ（x′sinω+tc∞cosω）e-(-x′sinω+tc∞（0）cosω∧。如果>0，我们发现（2.25）∧=ln（1/）+tC- ln（π(-x′sinω+tc∞cosω）x′sinω+tc∞cosω，然后应用（2.23）。2.7. 基于sinh加速的方案的复杂性。

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2022-6-10 11:05:23

As↓ 0, Λ ~ ln E，其中E=E（）=ln（1/），和ζ~ E/（2πd），其中d<（γ+- γ-)/2已固定。因此，该格式的复杂性为A（d）E ln E的数量级，其中A（d）可以任意接近1/（π（γ+- γ-)) 如果选择的d非常接近（γ+- γ-)/注意，如果被积函数将解析延拓引入适当的黎曼曲面，则γ+和/或-γ-可以大于π/2。特别是对于ν阶的NTS和KoBoL∈ （0，1），（i）如果x′=0，则γ+=-γ-= π/（2ν），（ii）如果x′<0，则γ+=min{π，π/（2ν）}，γ-= 0;（iii）如果x′>0，则γ+=0，γ-= -最小{π，π/（2ν）}。这意味着，与直觉相反，格式的（渐近）复杂性随着ν的减小而减小，而对于fl-iFT和基于分数抛物变形的格式，格式的复杂性随着ν的减小而增大。备注2.4。上面导出的方案复杂度的近似界隐含地假设条带既不太宽也不太窄，因此，b既不太大也不太小。如果钢带宽度过大或过小，则哈代标准可能过大。因此，近似值ln（2∧/b）~ ln∧和ln（H/ζ）~ 我们用来评估方案复杂性的ln（1/）可能变得不太准确。可以使用中等宽度的s行程而不是非常宽的s行程来解决带宽过宽的问题。如果带S（u-,u+）太窄，但随着条带收缩（NTS模型和KoBoL模型的情况），Hardy范数并不一致，然后变量的sinh变化简化了重缩放，从而将计算减少到条带收缩的情况(-d、 d），其中d=kdd，d=（γ+- γ-)/2，kd=0.9- 0.95. 因此，截断参数的更精确近似为ln∧+ln（1/（u+- u-)) 而不是ln∧。

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2022-6-10 11:05:26

即使初始条带的宽度为10，如箭头所示-8，建议的截断参数增加不到30，并且满足即使变化很小的容错性所需的项数仍然相当大。对于α阶变量的分数抛物线变化（通常为α∈ （1，2）），截断参数增加（u）级的系数+-u-)-1/α，如果u+- u-, 条带的宽度非常小（有关分数抛物线法的参数选择及其复杂性分析，请参见第节）。然而，重要的是，角度γ-- 射线之间的γ+eiγ-R+和eiγ+R+不能太小。2.8. 数值示例。在A.1节的表1和表2中，我们显示了XT的pdf，其特征指数（2.7）使用正弦加速度、变量的分数抛物线变化和标准傅立叶逆变换方法（FL at iFT）计算。工艺参数为u=0、α=10、β=0 f或t=0.004；δ=mλν-式中，m=ψ′（0）=0.1是12 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI等秒瞬时力矩。在表1中，ν变化，pdf在峰值处计算。在表2中，ν=0.3是固定的，x是变化的。对于FLAT iFT，我们使用准确的公式选择网格尺寸ζderivedin【7】，误差容限=10-通过反复试验，我们发现，由于有限梯形规则中项的振荡，可以增加网格的大小：ζ/kζ，其中kζ=0.6。因此，我们可以在简化梯形规则中使用较少的项来满足截断误差的给定误差容限。尽管如此，如表1和表2所示，财务报表可能需要非常多的条款。

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2022-6-10 11:05:29

同时，sinh加速度允许一个人用几个数倍的项来满足较小的误差容限；分数抛物线方法的效率低于sinh加速度。很容易看出，除非ν不是sm-all，否则等效地，该过程接近BM，因此根本不可能在峰值处准确快速地计算pdf，这是高效MLE所需的。当计算累积pdf并将其应用于模拟时，会出现类似的问题。R3.1上的亚纯SINH正则分布。SINH常规模型中的累积pdf。在这种情况下，我们需要计算相同类型的积分，但需要一个附加因子-积分符号下的1/（iξ）：（3.1）P[Xt<x]=2πZImξ=ωe-ix′ξ-tψ（ξ）-iξdξ，其中ω∈ (0, u+). 由于在0处有一个极点，我们可以采用与第2.3节中相同的方案替换u-0；由于额外的衰减系数1/（iξ），trun阳离子参数将稍微小一些。更具体地说，我们没有（2.21），而是有误差boun d（3.2）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e-（x′sinω）ρ-t Re c∞(ω)ρνρ-1dρ。如果x′>0或u+较小-u-> u+，有利于向下移动（3.1）中的积分线，并且在穿过简单极点时，应用留数定理：（3.3）P[Xt<x]=1+2πZImξ=ω′e-ix′ξ-tψ（ξ）-iξdξ，其中ω′∈ (u-, 0). 根据第2.3节计算（3.3）RHS上的积分，u+=0.3.2。SINH常规L'evy模型中的Puts和CALL。设r为无风险利率，τ为到期时间，K为履约时间，S为即期利率。设置x′=ln（S/K）+μτ。假设u-< -1，看涨期权的价格由（3.4）Vcall（K；τ，S）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeix′ξ-τψ（ξ）ξ（ξ+i）dξ，其中ω∈ (u-, -1).

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2022-6-10 11:05:32

卖出价格由相同的积分给出，但带有ω∈ （0，u+）和受保看涨期权的价格用相同的整数表示，但用ω表示∈ (-1, 0).对于调用，我们使用与上面相同的方案，将u+替换为-1，对于put，u-替换为0，对于覆盖呼叫，我们使用u-= -1, u+= 0. 如果x′=0，我们使用sinh加速度13γ-< 0<γ+从定义sinh正则过程到定义ω=（γ++γ-)/2和使用圆锥Cγ-,γ+得出选择ζ和N的建议；如果x′>0，则替换γ-使变形轮廓的翼向上，因子eix′ξ衰减为ξ→ ∞ 在圆锥C0中，γ+用于推导选择ζ和N的建议，并设置ω=γ+/2；如果x′<0，我们将γ+替换为0，使变形轮廓点d的机翼向下，因子eix′ξ衰减为ξ→ ∞ 在圆锥Cγ中-,0用于导出选择ζ和N的建议f，并设置ω=γ-/注意，在所有情况下，A（ω）：=-x′sinω≥ 0，B（ω）=τRe c∞(ω) > 0.截断误差的界为（3.5）Errtr（∧）≤eτCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-τRe c∞(ω)ρνρ-2dρ。我们可以使用更严格的界限（3.6）Errtr（∧）≤eτCπ∧e（x′sinω）∧-τRe c∞(ω)Λν.给定误差容限>0，我们得到∧的方程：（3.7）F（λ）：=A（ω）λ+B（ω）∧ν+ln∧- C=0，其中C=τC-ln（π）。由于不需要达到高精度，该方程可以轻松快速地求解。3.3. 赫斯顿模型中的欧洲看跌期权和看涨期权定价。考虑到赫斯顿模型[19]，股票（或汇率）St的无风险和股息率r和δ为常数。为了更具体，我们假设，在选择用于定价的EMM Q下，股票波动率遵循随机微分方程（SDE）系统dStSt=（r- δ） dt公司+√vtd^W1，t，（3.8）dvt=κ（m- vt）dt+σ√vtdW2，t，（3.9），其中^W1，t，W2是二维布朗运动的分量，具有单位方差和相关系数ρ。

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2022-6-10 11:05:35

从[19]开始，赫斯顿模型中的欧式期权价格是使用傅立叶变换技术计算的（这是首次在金融中使用这种标准技术）。有关定价公式不同实现的概述，请参见【28】；我们使用[28]中导出的实现。设Vput（T，K；T，St，vt）和Vcall（T，K；T，St，vt）为行使K和到期日T，时间T<T的St上的期权和看涨期权。定理3.1（【28】）。设τ=T- t是到期时间，让λ-(τ) < -1<0<λ+（τ）为实数，使得等式[Sλ±（τ）T | St，vt]<∞. 那么，对于任何ω∈ （0，λ+（τ）），（3.10）Vput（T，K；T，St，vt）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeiξzt+（vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σξ（ξ+i）dξ，和f或任何ω∈ (λ-(τ), -1），（3.11）Vcall（T，K；T，St，vt）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeiξzt+（vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σξ（ξ+i）dξ，14 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIwhere zt=log（St/K）- （ρ/σ）vt+uτ，u=r- δ - κmρ/σ，B（τ，ξ）=（κ- R（ξ））1- D（ξ）e-τR（ξ）1- D（ξ）e-τR（ξ）（3.12）C（τ，ξ）=κm（κ- R（ξ））τ- 2 ln1- D（ξ）e-τR（ξ）1- D（ξ）！，（3.13）R（ξ）=qκ+（σ- 2ρκ）iξ+σ（1- ρ） ξ（3.14）D（ξ）=ρσiξ- κ+R（ξ）ρσiξ- κ - R（ξ）（3.15）D（ξ）=D（ξ）κ+R（ξ）κ- R（ξ）（3.16）备注3.1。a）设{Imξ∈ (λ-（τ），λ+（τ））}是特征函数的最大解析条。引入一个二次多项式P（β）=κ-(σ-2ρκ)β -σ(1 -ρ） β和d烯醇化物乘以λ-< 0<λ+其值。文献〔28〕证明λ-(τ) ≤ λ-和λ+≤ λ+（τ），以及λ的计算程序-（τ）推导了λ+（τ）。如【28】中的数值示例所示，通常λ-和λ+非常接近λ-（τ）和λ+（τ），因此，使用相当复杂的程序计算λ没有明显的优势-（τ）和λ+（τ）。

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2022-6-10 11:05:39

在本文的数值过程中，我们使用λ-和λ+。b）正如在[35]中所证明的，（条件）特征函数允许对复杂平面进行解析延拓，其切割i(-∞, λ-（τ） ]和i[λ+（τ）+∞), 因此，到复杂的p车道和CUT ts i(-∞, λ-] 和i[λ++∞).选择解析性条带S（λ-,-1），S(-1,0）或S（0，λ+），并将积分线移动到条带中；当被积函数的一个极点（或两个极点）相交时，使用留数定理。除非条带太窄或太宽（见备注2.4），否则如果zt>0，应在上半平面中选择曲线，如果zt<0，应在下半平面中选择曲线。否则，选择截断参数的普遍建议变得不准确：必须添加变形轮廓部分的长度，该部分位于“不正确”的半平面中，其中系数eiztξ的绝对值较大。让S（u-,u+）为所选条带。

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2022-6-10 11:05:43

从R emark 3.1可以看出，价格的条件分布为ν=1阶的sinh正则型（（u-, u+); C-π/2，π/2，C-γ-,γ+，其中γ±定义为ν=1阶椭圆L'evy过程，x′=ztandc∞（Д）=σlimρ→+∞ρ-1（vtB（τ，ρeiД）+C（τ，eiД））。SINH-加速度15至终点c∞（Д），我们计算R（ξ）、D（ξ）、B（τ，ξ）和C（τ，ξ）的渐近性为ξ→ ∞保持在右半p车道：R（ξ）=σ（1- ρ)1/2ξ1 +σ- 2ρκσ(1 - ρ） iξ-1+O（ξ-2)1/2(3.17)= σ(1 - ρ） 1/2ξ+iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ） +O（ξ-1)1 - D（ξ）=-2R（ξ）ρσiξ- κ - R（ξ）=-2ρσiξ/R（ξ）- 1+O（ξ-1)(3.18)=1 - iρ/（1）- ρ） 1/2+O（ξ-1） vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ）=（vt+κmτ）（κ- R（ξ））+2κm ln（1- D（ξ））+O（ξ）-1)(3.19)= -（vt+κmτ）σ(1 - ρ)1/2ξ - κ+iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ)1/2+2κm ln（1- D（ξ））+O（ξ）-1） e2κm ln（1-D（ξ）=1.- iρ/（1）- ρ)1/22κm.（3.20）如下，作为ξ→ ∞ 在右半平面中，（3.11）的RHS上的被积函数具有以下渐近性：（3.21）C∞eiztξ-c∞（0）ξξ（1+O）（ξ-1）），其中c∞=Ke公司-rτ2πiρ/（1）- ρ)1/2- 1.2κm（3.22）·exp（vt+κmτ）κ - iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ)1/2,c∞（0）=（vt+κmτ）σ（1- ρ)1/2.（3.23）注意（3.24）| C∞| =Ke公司-rτ2πe（vt+κmτ）κ4(1 - ρ)κm.SetД=-arctan（zt/c∞（0）），和（i）γ-= -π/2 - ν，γ+=π/2，如果zt>0（因此，Д<0），（ii）γ-= -π/2, γ+= π/2 - 如果zt<0（因此，Д>0）。因此，γ-∈ [-π/2, 0), γ+∈ （0，π/2）。我们用（2.13）定义ω和dby，然后ω+d=γ+，ω-d=γ-. 接下来，我们必须确保虚轴与S的图像的交点(-d、 d）在χω、ω下；bis i（u）的子集-, u+，相当于ω+ba+≤ u+, ω- 文学士-≥ u-,其中a-= -sinγ-, a+=sinγ+。因此，我们定义ω和bby（2.14）。

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2022-6-10 11:05:47

我们选择d<d，b<b分别与d，b接近，例如，d=0.95d，b=0.95d，对于给定的误差容限，设置ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~ 2πd/E，其中E=ln（1/）。16 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI其截断误差的近似界为（3.25）Errtr（∧）≤ 2 | C∞|e-（ztsinω+c∞（0）cosω∧/λ。假设>0，我们找到了方程（3.26）解的现代精确近似值（ztsinω+c∞（0）cosω）∧+ln∧- ln（| C∞|/）=0，然后计算∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。3.4. 方案的复杂性。As↓ 0, Λ ~ ln E，其中E=E（）=ln（1/），和ζ~ E/（2πd），其中d<（γ+- γ-)/2已固定。因此，该方案的复杂性为A（d）E lne的数量级，其中，如果选择的d充分接近（γ），则A（d）=1/（2πd）<2/π+- γ-)/2 > π/4.3.5. 数值结果。在A.2节表3-8中，我们得出了欧洲put-intheheston模型的结果，并将sinh加速度的性能与变量的分数随机变化进行了比较。我们调整建议的ζ和∧=Nζ，将ζ除以kζ，并将∧乘以k∧。我们显示了ζ、N以及、kζ和k∧的每种选择的结果误差。误差（四舍五入）根据基准价格（四舍五入）计算。后者是使用数值格式的多组参数获得的；结果低于E-13。在表9中，我们比较了sinh accelerationmethod与Lewis-Lipton和Carr-Madan实现的FL-iFT方法的性能。在所有情况下，标准规定（ζ=0.125，N=4096）意味着可忽略的截断误差，因此，所示的不可忽略误差本质上是离散化误差。CIR模型中的债券期权4.1。特征函数。

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2022-6-10 11:05:50

在CIR模型中，状态空间为R+，短速率的动力学由（4.1）drt=κ（θ）给出- r） dt+σ√rtdWt，其中κ、θ、σ>0，dwt是标准维纳过程的增量。对于t<t和r>0，特征函数w（t，t；r，ξ）=EQ，rt经验值-ZTtrsds公司eiξrT, ξ ∈ R、其形式为（4.2）W（t，t；R，ξ）=exp[B（τ，ξ）R+C（τ，ξ）]，其中τ=t-t、 B，C可以通过求解与模型相关的Riccati方程组找到。下面，我们以便于应用正弦加速度法的形式再现了众所周知的解：B（τ，ξ）=B+B-+ iξB+，n（τ）B++（τ）- iξ，（4.3）C（τ，ξ）=κθB-τ+σlnB+- B-1.- e-τ√κ+2σ-σln（B++（τ）- iξ）,（4.4）SINH-加速度17，其中B±=（κ±√κ+2σ）/σ，B+，n（τ）=B+e-τ√κ+2σ- B-1.- e-τ√κ+2σ，（4.5）B++（τ）=B+- B-e-τ√κ+2σ1 - e-τ√κ+2σ.（4.6）引理4.1。a）特征函数在C\\i中是解析函数(-∞, -B++（τ）]。b） Asξ→ ∞ 仍在C\\i中(-∞, -B++（τ）]，（4.7）eB（τ，ξ）r+C（τ，ξ）~ C∞（τ，r）|ξ|-2κθ/σ，其中（4.8）C∞（τ，r）=B类+- B-1.- e-τ√κ+2σ2κθ/σexp“rB+- B-eτ√κ+2σ1 - eτ√κ+2σ+κθB-τ#.证据a）从（4.3）和（4.4）可以看出，B（τ，ξ）在C中是亚纯的，在方程iξ的根上只有一个简单的lepole- B-- （iξ）- B+eτ√κ+2σ= 0.根是-B++（τ）和C（τ，ξ）在C i中是解析的(-∞, B++（τ）]。b） Asξ→ ∞, Λ(ξ) → 因此，（4.7）-（4.8）遵循（4.3）和（4.8）。4.2. 债券价格。我们在特征函数p（T，r）=exp[B（T，0）r+C（T，0）]的公式中设ξ=0。自∧（0）=B+/B-, 我们有B（T，0）=B+- B-（B+/B-)eT公司√κ+2σ1 - （B+/B-)eT公司√κ+2σ=B-eT公司√κ+2σ- 1台√κ+2σ- B-/B+=B-1.- e-T√κ+2σ1 - （B）-/B++e-T√κ+2σ，C（T，0）=κθ“B-T+2σ-2ln1- B-/B+1- （B）-/B++e-T√κ+2σ#.4.3. 看涨期权和看跌期权。现在考虑到期日为τ且strikeK<eC（T，0）的催缴期权，到期日为T+τ的债券。设置zT，K=（C（T，0）- lnk）/B（T，0）。

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nandehutu2022

2022-6-10 11:05:54

由于b（T，0）<0，期权支付的傅里叶变换形式G（ξ）=ZRe-irξ（eB（T，0）r+C（T，0）- K） +dr=KB（T，0）eizT，Kξξ（ξ+iB（T，0）），在半平面{Imξ>-B（T，0）}，并允许在0和-iB（T，0）。rτr adm的特征函数exp[B（τ，ξ）r+C（τ，ξ）]及其对复平面的解析延拓(-∞, -B++（τ）]，衰变为|ξ|-2κθ/σasξ→ ∞ 在具有切口的复杂平面中。18 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIHence，债券认购期权的价格可以计算为（4.9）Vcall（τ，r）=KB（T，0）2πZImξ=ωeizT，Kξ+B（τ，ξ）r+C（τ，ξ）ξ（ξ+iB（T，0））dξ，其中ω>-B（T，0）是任意的。被积函数在C\\i中是m-纯的(-∞, -B++（τ）]，在0和-iB（T，0），所以，我们有3条解析性S(-B++，0），S（0，-B（T，0））和S(-B（T，0）+∞ )被积函数的。我们可以将集成线移动到任意条带中。在交一极或二极时，我们应用留数定理。当两极交叉时，我们得到看跌期权的价格。因此，（4.10）Vcall（τ，r）=Vput（τ，r）+ezT，KB（T，0）P（T+τ，r）- KP（τ，r），可用于再次检查计算精度。事实上，如果直接计算Vcall（τ，r）和vPut（τ，r），并且没有交叉极点，那么两个完全不同的和之间的随机一致性，例如，E-12阶的差异，具有可忽略的可能性，除非两个结果的误差具有相同的量级。让S（u-,u+）为所选条带。根据一般方案，sinh加速度参数的选择取决于zT，K的符号。如果zT，K=0，我们可以用γ应用sinhacceleration-= -π/2, γ+= π/2; 如果zT，K>0，γ-= 0, γ+= π/2; 如果zT，K<0，则为γ-= -π/2, γ+= 0.

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nandehutu2022

2022-6-10 11:05:58

如果zT，K≥ 0，那么，对于任何r≥ 0，exp[B（T，0）r+C（T，0）]≤ K、因此，看涨期权的价格为0，无需应用数值方法来弥补这一零。然而，为了测试该方法的准确性，我们也将我们的一般建议应用于这种情况，并且在数值示例中，验证了数值计算的看涨期权价格与用于选择s模式参数的误差容差的顺序。我们定义ω和dby（2.13），以及ω和bby（2.14）。我们分别选择d<d，b<b接近d，b，例如，d=0.95d，b=0.95d。然后，在变量（1.2）变化后，定价公式中的被积函数表示为f（y），允许对str-ipS进行解析延拓(-d、 d）和d的速度与y一样快→ ∞ 保持s行程。Hardy范数（2.16）是有限的，可以很好地近似于（2.18）。为了满足s小误差公差>0，我们选择ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~ 2πd/E，其中E=ln（1/）。简化梯形规则的截断误差可以用积分的截断误差（2.20）来近似。如果zT，K=0，则被积函数的衰减率为sm allest。在这种情况下，被积函数衰减(-B（T，0））C∞（τ，r）2π|ξ|-2.-2κθ/σ（见（4.7）-（4.8）），因此，给定误差容限，我们可以从k中找到∧=be∧/2(-B（T，0））C∞（τ，r）πZ∧y-2.-2κθ/σdy=，表示∧=-1/（1+2κθ/σ），其中=（1+2κθ/σ）/（K(-B（T，0））C∞（τ，r））。因此，∧=ln（2/b）+（1+2κθ/σ）-1ln（1/），N=ceil（λ/ζ）。SINH-加速度19如果zT，K6=0，则|ω|=π/4，以及Re（izT，Kξ）~ -c∞（T，K）|ξ|沿轮廓ξ=χω，ω，b（R），其中c∞（T，K）=zT，Ksinω|。

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2022-6-10 11:06:02

因此，我们需要找到∧=满足∧/2(-B（T，0））C∞（τ，r）πZ∧e-c∞（T，K）yy-2.-2κθ/σdy≤ .我们解一个更强的方程-c∞（T，K）∧∧∧-1.-2κθ/σ=，等价地，F（λ）：=c∞（T，K）∧+（1+2κθ/σ）ln∧-ln（1/）=0，如下所示：∧=（1/c∞（T，K））ln（1/），λ：=λ-1+2κθ/σc∞（T，K）ln∧。最后，我们计算∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。备注4.1。（1）如果zT，K6=0（且绝对值不太小），则衰减率本质上是，就像ν阶常规SINH模型中的看涨期权一样∈ （0，1）和非零x′。然而，如果zT、Kis为零或接近零，则满足给定误差容限所需的术语数量可能会更大，如果不使用正弦加速度，则会非常大。即使分数抛物线变形也需要10倍以上的项（对于某些参数，甚至更多）才能达到相同的精度。（2）从形式上讲，一个人应该使用最宽的条纹(-B（T，0）+∞ )并选择任意大ω>-B（T，0）。然而，如果ω较大，则选择ζ，尤其是∧的简化一般建议可能变得过于不准确。实际上，如果zT，K<0，那么曲线的宽度Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）点向下，我们可以截断有限梯形规则中的和，其中被积函数变得非常小。然而，如果ω>0不小，则大量的点ξj=χω，ω；b（yj）=简化梯形规则中使用的iω+b sinh（iω+yj）在上半平面中，但简化建议隐含地假设所有点都在下半平面中。因此，如果ω>0且zT，K<0，我们需要修改上述公式，添加∧曲线Lω，ω交点的半长∧；B上半平面。为了找到∧，我们求解等式ω+b Im sinh（iω+y）=0，等效为ey- e-y+2ω/（b sinω）=0。因此，∧=-ω/（b sinω）+p（ω/b sinω）+1），且∧=ln（2∧/b）+∧，N=ceil（λ/ζ）。这会增加术语的数量。

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