为了证明相同的陈述适用于最后一个因素，必须表明（1- w） /（1+w）在右半平面内，如果w∈ D、 设w=a+ib，其中+b<1。然后1- w1+w=Re（1- （a）- ib1+a+ib=Re（（1- （a）- ib）（1+a- ib）（1+a）+b=1- 一- b（1+a）+b>0。CIR次级列维模型中的欧式期权定价公式变化如下。而不是期望E[eiξXτ| X=X]=eixξ-τψ（ξ），我们有期望e[eiξXYτ| X=X，Y=Y]=eixξΦCIR（τ，Y；iψ（ξ））。因此，（5.5）Vcall（S，K；y，τ）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeixξΦCIR（τ，y；iψ（ξ））ξ（ξ+i）dξ，其中x=ln（S/K）和ω<-1是这样的，对于线Imξ=ω上的所有ξ，iψ（ξ）在具有切口i的复平面w中(-∞, -κ/（2λ）]，等价地，ψ（ξ）在具有切面加速度21的复平面内(-∞, -κ/(2λ)]. 这意味着CIR从属项必须满足条件κ/（2λ）>- ψ(-i） 。应用sinh加速度，我们需要选择方案的参数s o，即（1）条带的图像s(-d、 d）根据组成y 7→ ψ（χω；ω，b（y））属于具有切口的复合p车道(-∞, -κ/（2λ）]或适当的黎曼曲面；（2） 如果x>0，则χω；ω、 b（S）(-d、 d））必须是形式为Imξ>a的半平面的子集，当ea∈ R是常数；（3） 如果x<0，则χω；ω、 b（S）(-d、 d）必须是形式为Imξ<a，wher ea的半平面的子集∈ R是一个常数。此外，当ΦCIR（τ，y；iψ（ξ））允许解析延拓到适当的黎曼曲面时，建议选择sinh加速度的参数，以便变形轮廓Lω；ω、 b=χω；ω、 b（R）保持在复平面内，不需要适当的相移引起的程序中的附加操作。

如果变形轮廓穿过切口，简化梯形规则中的术语数量会有所减少，但评估单个术语所需的基本运算数量会增加。总收益很小，如果有的话。设X为（（λ）型椭圆sinh正则过程-, λ+); C、 C+）和顺序ν∈ （0，2），其中λ-< 0 < λ+; fur thermore，asξ→ ∞ 剩余在圆锥C中，ψ（ξ）~ c∞eiνξν，ξ→ +∞,式中，Д=argξ，和c∞> 0.首先，我们找到一条S（u-,ΦCIR（t，y；iψ（ξ））分析度的u+。此处u-< 0<u+表示所有u的κ+2λψ（iu）>0∈ (u-, u+). Sin ceu7→ ψ（iu）在（λ）上是凸的-, λ+，ψ（0）=0，我们得出结论，如果κ+2λψ（i（λ+- 0)) ≥ 0，则u+=λ+，否则u+是方程κ+2λψ（iu）=0的唯一正解。类似地，如果κ+2λψ（i（λ-+0)) ≥ 0，然后是u-= λ-, 其他iseu-是方程κ+2λψ（iu）=0的唯一正解。接下来，我们需要确定一个解析性圆锥，并将ΦCIR（t，y；iψ（ξ））的渐近性计算为ξ→ ∞ 留在美国。我们考虑两种情况。案例Ia。L etν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0。那么ψ（ξ）=iuξ+ψ（ξ）具有与ψ相同的性质，ψ（ξ）~ c∞eiνξν，ξ→ +∞.案例Ib。设ν=1。则渐近系数和参数取决于u：ψ（ξ）~ c∞（u）ei（Д+γ（u））|ξ|，ξ→ +∞.因此，存在-π ≤ γ-< 0 < γ+≤ π，对于任何∈ (γ-, γ+，ψ（ρeiД）~ c∞(φ)ρν, ρ → +∞,其中c∞(φ) 6∈ (-∞, 0]. 因此，对于任何∈ (γ-, γ+（κ+2λρeiД）1/2~ c∞(φ)1/2ρν/2, ρ → +∞,其中Re c∞(φ)1/2> 0.上述论证“几乎”证明（κ+2λψ（ξ））1/2将解析连续性赋予i（u-, u++Cγ-,γ+. 我们之所以这样说，几乎是因为上述事实表明，对于ξ∈i（u-, u++Cγ-,γ+ , κ+ 2λψ(ξ) 6∈ (-∞, 0]如果ξ在0的某个邻域中，并且在单位的某个邻域中。

对于ν阶的NTS和KoBoL∈ [1，2]，可以证明22 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI是i（u）的图像-, u++Cγ-,mapξ7下的γ+→ κ+2λψ（ξ）不相交(-∞, 0];一般情况下，应逐个研究图像，如有必要，使用u±接近0。请注意，这有助于确保图像不与基本奇异点0相交，这是一个较弱的条件。如果图像相交(-∞, 0）但不包含0，图像是适当黎曼曲面的子集，可以使用更大的ζ。然而，选择sinh加速度的参数是有利的，以便变形轮廓的图像在mapξ7下→ κ+2λψ（ξ）是复平面的子集，当切割交叉时，定价公式中不需要引入相移。一次i（u-, u++Cγ-,发现γ+时，我们确定了sinh加速度的参数，并使用一般规定为给定的误差容限选择ζ。仍需查找运行参数和N。

如果从（2.23）中得出，则ξ=ρeiД→ ∞ 留在Cγ中-,γ+，|ΦCIR（t，y；iψ（ξ））|≤ （1+o（1））exp（κθt/λ- B（Д）ρν/2）。其中b（Д）=√2λRe（c∞（νν）1/2）（t/2）2κθ/λ=√2 Re（c∞（νν）1/2）tκθ/λ。因此，我们可以找到近似求解等式E的截断参数∧=ln（2∧/b-A（ω，x）∧-B（ω）∧ν/2ρ-1=，其中A（ω，x）=x sinω，=πexp（rτ- κθt/λ）/K，如下所示。如果ν=1，则∧：=ln（1/）/（A（ω）+B（ω）），λ：=max{2，λ- ln∧/（A（ω）+B（ω））}；如果F：=（A（ω，x）+B（ω））∧+ln∧- ln（1/）<0，则∧：=∧- F/（A（ω）+B（ω）+1/λ）。如果ν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0，然后我们设置∧=（ln（1/）/B（ω）2/ν，∧=最大值{2，ln（1/n）- A（ω）∧- ln∧}B（ω）2/ν;如果F：=A（ω，x）∧+B（ω）∧ν/2+ln∧- ln（1/）<0，则∧：=∧- F/DF，其中DF：=A（ω，x）+（ν/2）B（ω）∧ν/2-1+ 1/Λ.注意，如果B（ω）非常小，并且| x |不是非常小，那么使用与ν=1相同的规则更安全；这导致了一种温和的过度病态。案例二。ν ∈ （0，1）和u6=0。如果x>0，则取任意0<γ-< γ+< π/2; asξ→ ∞剩余Cγ-,γ+ , κ- 2λiψ（ξ）~ κ- 2λuξ，因此，如果u>0，则为u（iψ（ρeiД））~ ei（（Д）-π/2)ρ1/2, ρ → +∞,如果u<0，则为u（iψ（ρeiД））~ ei（Д/2）ρ1/2，ρ→ +∞.如果^1∈ （0，π），cos（Д）- π/2）>0，cos（Д/2）>0。因此，如果ν∈ （0，1）和u6=0时，被积函数的衰减率与ν=1的情况相同，但渐近系数不同。我们把细节留给读者。数值实验结果见表11。SINH-加速度236。分位数和蒙特卡罗模拟6.1。单因素KoBoL。我们考虑分位数的计算，即方程f（x）=A的解，其中A∈ （0，1），F为累积分布函数；一旦分位数评估的有效程序可用，该程序可用于蒙特卡罗模拟。蒙特卡罗模拟仍然是迄今为止最普遍的金融资产路径相关期权定价方法。

在L'evy驱动模型的情况下，任何蒙特卡罗方法的基本构建块都是模拟基础L'evy过程的增量。在某些情况下——例如，方差伽马模型【38、37、36】——可以使用时间排序将过程表示为更简单的过程，因此可以（几乎）精确地模拟其增量。然而，在其他情况下，没有确切的模拟算法是已知的。Madan和Yor[39]提出了一种模拟KoBoL增量的算法，该算法基于将过程表示为服从于稳定L'evy过程的布朗运动，截断从属函数的小j ump，并用其平均值替换。然而，文献[4]中的一个广泛的数值例子表明，下面描述的标准方法的有效实现速度要快10-100；我们在下面介绍的变化比[4]中的实现更快速、更准确。如果Z是任意连续分布的随机变量，可以在（0，1）上模拟Z采样均匀分布的随机变量U，并计算F-1（U），其中F表示Z的累积分布函数。当F的显式公式-1不可用，因此能够快速、准确地计算其值变得非常重要。一种简单的方法，用于模拟稳定的L'evyprocess，但成功率有限（分布的尾部衰减太慢，因此，只有当过程的指数接近2时，蒙特卡罗模拟才是适度有效的，并且分布与正态分布相差不大，尾部的远部分除外，在这种情况下可以安全地忽略）如下所示。其中一种方法是在点x、x、…、的长而细的网格上，将F的值制成表格，Xm在实线上，近似于F-1使用线性插值。

从实用的角度来看，这种方法非常有吸引力，因为ly上的值SF（xi）必须计算一次，然后再计算d。每次模拟Z的计算成本非常低：必须绘制U的样本a，找到满足F（xj）的j≤ A<F（xj+1）（需要大约对数（M）比较）并执行线性插值所需的4–5个算术运算：（6.1）x=xj+（xj+1- xj）（A- Fj）/（Fj+1- Fj）。如果A<F，则指定x=x，如果A>FM，则指定x=xM。在许多重要的样本中，已知一个显式公式来表示dom变量Z的特征函数。在这种情况下，F（xi）值的计算减少到计算某些Fourier逆变换（见Glasserman and Liu[16，18]）。在具有指数衰减尾的L'evy过程中，慢衰减问题不如稳定L'evy过程严重，除非指数率太小，但如果KoBoL阶数接近0，概率分布的峰值仍然很高。在蒙特卡罗模拟中，该方法有三个误差来源：（1）截断误差；（2） 线性插值误差；24 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI（3）Fk评估错误。一种流行的ap方法（参见，例如，[16、17、18、12、1、15]）是使用快速傅立叶变换（FFT）或快速希尔伯特变换（fast HT），这允许on e以比逐点更快的速度计算所有感兴趣点的值Fkat，尤其是当点的数量较大时。

这种方法面临以下基本困难：（a）如果时间步长很小，这对于通过连续监测精确模拟势垒操作是必要的，那么，在x′=0的邻域中，导数F′（x）=p（x）非常大，因此，为了使线性插值（6.1）更精确，网格的大小x=xj+1-xj必须非常小；事实上，即使在一个相对较好的情况下∈ (0.5, 1), x=10-5可能导致插值误差大于10-8（见以下示例）；对于接近0的ν，要小得多x可能不足；（b） 如果其中一个陡度参数λ±的绝对值很小，例如λ+>0是sm all，则x必须为负值且绝对值非常大，以确保截断误差在-∞ 非常小。鉴于难度（a），总点数可以以百万和几千万为单位来衡量；（c） 如第2节中的示例所示，在ab solutevalue中准确评估xklarge的F（xk）可能会耗费太多时间，或者如果使用FL FT，则几乎不可能；使用HT时也会出现同样的困难。sinh加速度允许我们非常准确和快速地计算Fk=F（xk）；对于xklargein绝对值，特别快。【4】中使用的分数抛物线法计算Fkis比基于FFT和HT的方法更快、更准确，但在变量分数抛物线变化后，简化梯形规则中的项N的数量取决于xKmuch，而不是sinh加速度。当应用后者时，在给定误差容限的情况下，sinh加速度程序的参数bar和项数N可以选择为所有x′相同≤ 0; 类似地，对于x′≥ 此外，N随绝对值x′的增大而减小。

因此，可以为x（分别为xM）选择sinh加速度和ζ，N的参数，并用于评估所有x的p（x），p′（x），F（x≤ x（代表所有x≥ xM）。如果F-1（a）<x，我们计算x=F-1（a）使用牛顿法，2-3次迭代以满足误差公差10-12如果初始近似x<0在绝对值中不小，则小于等于。类似地，如果F-1（a）>xM，我们计算x=F-1（a）使用牛顿法，2-3次迭代以满足误差公差10-12如果初始近似值Xm>0不小，则小于或等于。无需截断状态空间。应用牛顿法（6.2）xn+1=xn- （F（xn）- A） /F′（xn），也必须计算pdf pn=F′（xn），但sinh加速度方法允许使用数值格式的相同参数计算F（xn）和F′（xn）；此外，只有一个计算步骤是不同的：在F（xn）的情况下，我们有一个额外的因子1/(-iξ）。我们可以同时计算F′（xn）的插入因子- iξ而不是1/(-iξ）；这允许我们使用二阶近似值F（x）=F（xn）+（x- xn）F′（xn）+（x- xn）F′（xn）SINH-加速度25求解F（x）- A=0，间隔非常小[xn-1，xn]：（6.3）x=xn-2（F（xn）- A） F′（xn）+pF′（xn）- 2（F（xn）- A） F′（xn）。一般来说，我们可以使用该方案的相同参数，在很宽的区间内计算xnov的F（xn）、F′（xn）、F′（xn）。这意味着CPU时间的BULK用于计算方案的参数，数组ξk=iω+b sinh（iω+yk）和Expk：=exp[-tψ（iω+b sinh（iω+yk））]cosh（iω+yk），k=1，2，N

最后一步是快速而直接地计算数量f（xn）=ibζπNXj=0（1- δj0/2）Reexp[-ix′nξj]Expjξj（6.4）F′（xn）=bζπNXj=0（1- δj0/2）Re exp[-ix′nξj]Expj（6.5）F′（xn）=ibζπNXj=0（1- δj0/2）Re exp[-ix′nξj]ξjExpj。（6.6）对于a<Fand a>FM的牛顿法的应用，在迭代过程的每个步骤中，我们可以使用分别为N=N（x）和N=N（xM）计算的数组ξ和Exp。二次近似（6.3）允许我们使用比线性近似（6.1）和（6.2）更多的Spar er网格，尤其是对于绝对值不小的XnT。下一个技巧允许我们减少更小的点数。代替方程F（x）=A，我们求解方程F（x）=A，其中F（x）=ln F（x），A=ln A。由于F比F更规则，相同的近似效果更好，F′k=F′（xk）=F′k/Fk，F′k=（F′kFk- （F′k））/fk易于计算。示例6.1。考虑ν=0.7阶KoBoL，其中c+=c+=0.6，λ+=5，λ-= -10,u = 0; t=0.001。第二瞬时力矩m=0.093440429（四舍五入）不小，时间步长t=0.001也不太小。顺序ν=0.7也不是s mall；在实证文献中，有无数的ν接近0的例子。陡度参数λ+也不是太小（可以找到λ+<1的例子）。然而，正如几个分位数示例所示，1。使用FFT或HT的精确蒙特卡罗模拟需要网格大小为网格10-5或更少；2、如果在F=10级进行截断-8，则x=-1.6707581397416（结果是使用牛顿法和初始近似值得出的-1.需要三次迭代以满足误差公差10-12). 因此，FFT或HT方法将需要160k量级的均匀间隔网格，并且FK的校正和评估误差将不可忽略；3.

除了非常小的0邻域外，应用于f的二次近似需要比其他近似更稀疏的网格。在表12中（见附录A.4），我们列出了几个近似值的误差，这些近似值分别是A的几个值和间隔的几个宽度h（xj-1，xj）含f-1（a）=F-1（A）。26 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIILabels使用的近似值：oL：线性插值（6.1）；oN： 牛顿近似（6.2）；oLL：应用于f=ln f的线性插值；oLN：牛顿近似应用于f=LN f；oQT：应用于f=ln f的q数值近似（6.3）。从表12可以清楚地看到，QT允许使用更稀疏的网格x<x<···<xM；栅格的间距必须不均匀。在网格点处，必须预先计算f=ln f及其一阶和二阶导数，这可以使用sinh加速度快速完成。用于计算x=f-1（a）对于a<fand a>fM，我们使用Newtonmethod和两个小尺寸的预计算数组，它们表示对偶空间中的f函数。无需拉伸。算法概要。一、 在x′=0的邻域内，例如，在区间[F-1（0.3），F-1（0.7）]，步骤hj=hj+1-HJ应为10级-5如果t很小。对于较大的t，允许较大的步长。E、 g.，对于t=1，可以接受0.001级的HJ。二、随着cr中的| xj |减小，HJ可以变大。根据经验，对于左尾，我们建议hj=-0.01fj+1/f′j+1对于xlow以下的点：=f-1(0.3); XLOW下方的点Xjb与值fj、f′j、f′j在同一周期内计算。对于右尾，通过对称性进行推荐。三、 网格在F处截断-1（0.001）或F-1（0.0001）和F-1（0.999）或F-1(0.9999).对于网格的所有点，应计算并存储值fj、f′j、f′j。四、

sinh加速度的参数应计算为x=F-1（0.001）（orF-1（0.0001）），数组ξ=ξ-和Exp-计算并存储。（符号minus表示数组将用于左尾的计算）。五、 sinh加速度的参数应计算为xM=F-1（0.999）（orF-1（0.9999）），并计算和存储数组ξ=ξ+和Exp+。（加号表示将使用阵列进行右尾计算）。六、 如果实现a~ U[0，1]属于（0，F-1（0.001）]（分别为[0，F-1（0.999）]，然后是一个区间[xn-1，xn]s.t.fn-1<ln A≤ fn（分别为间隔[xn，xn+1]s.t.fn≤ A<fn+1），并应用二次近似（6.3）。七、如果A<0.001，则采用牛顿法，xas为初始近似值；存储的值用于计算牛顿法每一步的f（xn）/f′（xn）。八、如果A>0.999，则采用牛顿法，xas为初始近似值；存储的值用于计算牛顿法每一步的f（xn）/f′（xn）。我们将阵列ξ±和Exp±称为共形主分量。共形主分量（在不同于尾部计算所用网格的网格点处计算）可用于计算分位数F-1（A）表示A∈ [0.001, 0.999]. 在这种情况下，应使用二分法代替牛顿法。6.2. 政权转换L'evy模型中的蒙特卡罗模拟。对于调制马尔可夫链的每个状态，在适当的0邻域中预先计算相应L'evy过程的pdf和cpf，以及用于尾部计算的共形主分量。

模拟马尔可夫链，并在链的每个时间步和SINH加速度27状态的当前实现，模拟相应的L'evy过程，并添加模拟增量。在模拟调制链的样本路径后，可以轻松并行化最耗时的部分（模拟L'evy过程的增量）。最后，将模拟增量逐一相加，得到该对的样本路径（调制马尔可夫链，马尔可夫调制L'evy过程）。6.3. Heston模型中的蒙特卡罗模拟。最直接的方法是用马尔可夫链近似波动过程（平方根过程），并应用第6.2节中概述的模式。如果避免这种近似，模拟的精度就会提高。考虑时间步长τ的模拟。因此，必须模拟序列（vjτ，Xvjτ）j=0,1，。。。，其中v>0，且Xvjτ是L′evy过程Xvjτ与特征指数ψ（vjτ，ξ）的增量，其中ψ（v，ξ）=- （vB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σ和函数，由（3.12）-（3.16）给出。对于cpdf、pdf和Xv pdf的导数的计算，ψ（v，ξ）的分析域、sinh加速度参数和网格尺寸ζ可以选择与任何v相同的≥ 0、自Re B（τ，ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 在s inh加速程序参数选择建议中使用的CONU中，termsN=N（v）的数量随着v的增加而减少。

因此，相同的N可用于所有v，因此，samarray ~ξ、B（τ，~ξ）和C（τ，~ξ）（共形主成分）可用于所有v≥ 为了减少术语的数量，建议在几个选定的间隔中使用不同的N表示v，例如，表示v∈ [0，0.01]，v∈ [0.01，0.05]，v∈ [0.05、0.15]和v∈ [0.15, +∞).对于每个v，我们建议使用不同的主成分集来评估小邻域中的DF和cpdf[-a、 a]为0，其中，例如，a=0.03- 0.05，左尾(-∞, -a） 和右尾（a+∞). sinhacceleration的参数定义为zt=0，zt=-a和zt=a，如第3.3节所示。请注意，赫斯顿模型的40个关键参数，计算E-08甚至E-09级精度的等式所需的主成分数组相当短：长度为10-40，数组总数为4×3×3=36也是中等的。因此，所有必要的共形主分量阵列都可以很容易地计算并存储在模拟过程的初始阶段。因此，我们建议采用以下程序。一、 （初步步骤）。对于给定的赫斯顿模型参数集和计算pd f和cpdfa的chosenerror tolerance。计算并存储共形主分量的阵列。b、 设计一个函数，对于任何v≥ 0，近似计算x-（v） 和x+（v）这样，cpdf F（v，·）是凸的(-∞, x个-（v） ）和on（x+（v）+∞) 或者o如果在分位数计算的数值过程中，牛顿法应用于方程lnf（v，x）- ln A=0而不是F（v，x）=A，th enln F（v，·）必须是凸的(-∞, x个-（v） ）和on（x+（v）+∞).请注意，如果chosenx±（v）位于±的邻域内，则算法的效率仅会显著降低∞ 其中F（v，·）（或ln F（v，·））是凸的。

中等精度的近似值是有效的。28 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIII.模拟样本路径（vj）j=0,1，。。。，对于平方根过程，时间单位为τ，其中N=T/τ是时间步数；模拟过程必须产生非负数。三、 对于每个j=0，1，N- 1执行以下操作（此步骤可以很容易地并行化）：a.从均匀分布中随机抽取样本aj；b、 使用一组合适的共形主分量（选择由对（vj，aj）确定），确定Xvjτ的分位数Zj=Z（vj，aj）。如果aj≤F（vj，x-（vj）或aj≥ F（vj，x+（vj）），使用初始近似为x±（vj）的牛顿法。否则，对区间[F（vj，x）应用二分法-（vj）），F（vj，x+（vj））]。c、 从方程式中找到yjj-Zj=-Yj公司- （ρ/σ）vj+uτ。四、 计算样本路径Xn=X+Pn-1j=0Yj，n=1，2，N、 X=ln S.V.重复步骤II-IV，并使用模拟路径（vn，Xn）N=0,1，。。。，用于定价或有目标。备注6.1。如果步骤3b的并行化有效，则模拟一条路径的总CPU时间基本上是模拟平方根进程路径所需的CPU时间和计算给定对的分位数所需的CPU时间之和（vj，aj）。通常，后一时间小于0.1毫秒。，在MATLAB中实现。7、结论在本文中，我们开发了一种快速、准确评估formI=ZImξ=ωg（ξ）dξ积分的通用方法论，该积分出现在概率、数学金融和其他应用数学领域的许多问题中，并将可使用该方案计算的被积函数的性质形式化。

如果被积函数g（ξ）允许沿积分线的s行程和包含条带的圆锥的并集的解析连续性，并且s衰减速度与ξ一样快，则该方法适用→ ∞ 留在联盟中。条带中积分的分析性和在整体上的快速衰减使得我们可以利用内部梯形规则的一个重要特性，即离散化误差随1/ζ的函数呈指数衰减，其中ζ>0是网格大小。这个属性在文献中是众所周知的，并被广泛使用。在概率论中，与扩散过程和跳跃扩散过程相关的各种概率分布的特征函数，以及跳跃密度呈指数衰减的跳跃过程，在围绕实轴的条带中进行分析。不幸的是，在许多有趣的情况下，如CIR模型、VG模型和KoBoL，特征函数会缓慢衰减为ξ→ ∞, 简化梯形规则中的数百万项可能需要满足甚至适度的误差容限。然而，如果g（ξ）允许解析延拓到圆锥并以多项式或指数形式衰减为ξ→ ∞ 保持在圆锥上，然后调整积分中形式为ξ=iω+b sinh（iω+y）的变量变化。变量变化后，新被积函数围绕实轴进行分析，如果初始被积函数以多项式形式衰减，则以指数形式衰减[-c exp | y |]，其中，如果初始积分呈指数衰减，c>0。

结果，在任何情况下，N<10有助于满足误差容限=10-7.SINH-ACCELERATION通常小于50项，并且在所有感兴趣的情况下，N的数量级为100-150，以满足误差容限10-我们形式化了允许应用sinh加速的过程和分布的特征函数的性质，并用几个典型的例子说明了sinhacceleration的一般方案：L’evy过程的pdf；欧式期权在列维模型、赫斯顿模型、CIR模型和从属列维模型中的定价。该方案对一系列随机波动率模型和利率模型进行了简单的修改（其目的是在[30]中替换变量ξ=iω±iσ（1）的分数抛物线变化iη）α，并考虑到在一般情况下，分析的最大圆锥比赫斯顿模型和CIR模型的情况更窄）；跳跃可以包括在【30】中。请注意，如果使用变量的分数抛物线变化，则被积函数的衰减率增加，但在许多重要情况下，如峰值概率分布函数的评估（见[7，30]），以及CIR类型利息模型中的定价选项，结果项数仍然过多。我们还概述了sinh加速度在L'evy模型、区域切换L'evy模型和Heston模型中分位数计算和蒙特卡罗模拟中的应用。我们注意到，对于长时间间隔（a，b）（甚至是半单元）上的pdf和cpdf评估，需要在一个较小且最小长度的网格点上评估多个函数，并将这些阵列（我们建议称为共形主分量）用于anyx∈ （a、b）。

假设共形主分量是预先计算的，最后一步需要几微秒（在MATLAB实现中），因此，分位数可以在2-5打的微秒内计算出来。重要的是，在仿真过程中，不需要截断状态空间，并且可以避免截断错误。与变量分数抛物线变化相比，sinh加速度的另一个优点是，如备注2.4所述，在前一种情况下，初始解析性条带的宽度几乎不相关，而在后一种情况下，窄条带意味着大量的项s，因此有必要将积分线移动到较宽的条带【7、28、30】。然而，确定分析性圆锥的射线之间的角度很重要。sinh加速度的一般方案包括以下步骤i。翅片dγ-≤ 0<γ+或γ-< 0≤ γ+使得被积函数g（ξ）在coneCγ中是解析的-,γ+，衰变为ξ→ ∞ 留在锥体中。二、设置ω=（γ++γ）-)/2，d=（γ+- γ-)/2.III.查找条形图S(-u-,初始线Imξ=积分ω周围被积函数解析性的u+。四、 设置a-= sin（最小{π/2，-γ-}), a+=sin（min{π/2，γ+}），ω=u+a-+ u-a+a++a-, b=u+- u-a++a-.五、 选择kb=0.8- 0.95，kd=0.8- 0.95，设置b=kbb，d=kdd。六、 导出了f（y）=g（iω+b sinh（iω+y））b cos（iω+y）作为S(-d、 d）。通常，简单近似值H=10（| f（id）|+| f(-id）|）工作正常。七、给定误差或公差，选择网格尺寸为ζ=2πd/ln（H/）。八、导出g（eiωρ）和g（ei（π）的近似界-ω） ρ）对于ρ在+∞.30 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIIX。给定误差或公差，使用绑定到∧，以便Z+∞∧| g（eiωρ）| dρ+Z+∞∧g（ei（π-ω） ρ）| dρ<。十、 设置∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。XI。

应用简化梯形规则（7.1）ZImξ=ωg（ξ）dξ≈ bζX | j|≤Ng（iω+b sinh（iω+jζ））cos（iω+jζ）。十二。Ifg（ξ）=g(-ξ),  ξ、 使用以下更快版本的（7.1）（7.2）ZImξ=ωg（ξ）dξ≈ 2bζX0≤j≤N（1- δj0/2）Re（g（iω+b sinh（iω+jζ））cos（iω+jζ）），其中δjk是Kroneckerδ。注意，除了sinh加速度误差的理论界限外，还可以通过选择不同的对（γ）轻松检查结果的准确性-, γ+，使新ω不同于旧ω，网格比建议的更长更细，并重新计算积分。两个结果之间随机一致的概率可以忽略不计，因此，差异的绝对值可以很好地代表误差。变量的sinh加速变化可应用于篮子期权、二次期限结构模型中的欧式期权、Wishart动态模型的定价（在这两种情况下，积分衰减非常缓慢，如CIR模型，因此，使用流行的FFT技术进行精确计算基本上是不可能的，如[30]中所示，对于一个（n）类的有效模型）、三分之二模型和，本质上，任何可以计算（条件）特征函数的模型，例如巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型，以及比本文中考虑的模型更一般的子模型。该方法也可用于评估特殊函数[29]、维纳-霍普夫因子、计算L'evy过程的上确界和上确界内的分布、路径相关期权的定价、具有障碍特征的期权的蒙特卡罗模拟、在Orns-tein-Uhlenbeck型模型中的定价以及许多其他情况。[20，21]中赫斯顿模型校准程序的效率也可以提高。

为了将sinh加速应用于体制转换模型中的定价，必须使用矩阵运算而不是标量运算（并且，自然地，研究矩阵函数及其倒数是解析的区域；形式上，方案保持不变）。随机协方差模型的应用与随机波动率模型的应用类似。参考文献【1】L.Ballotta和I.Kyriakou。CGMY过程和期权定价的蒙特卡罗模拟。《未来市场杂志》，34（12）：1095–11212014年12月。[2] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2:41–681998。[3] O.E.Barndor Off-N ielsen和S.Z.Levendorskiˇi.Feller正规逆高斯型过程。QuantitativeFinance，1:318–3312001。[4] M.Boyarchenko。L'evy过程的快速模拟。工作文件，2012年8月。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2138661或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2138661.SINH-ACCELERATION31【5】M.Boyarchenko和S.Levendorskii.单侧L’evy模型中的Ghost校准和定价障碍期权和信用违约掉期：抛物线拉普拉斯反演方法。《定量金融》，15（3）：421–4412015。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2445318.[6] S.Boyarchenko和S.Levendorski即有效的拉普拉斯反演、维纳-霍普夫因式分解和定价回溯。《国际理论与应用金融杂志》，16（3）：1350011（40页），2013年。atSSRN可用：http://ssrn.com/abstract=1979227.[7] S.Boyarchenko和S.Levendorski即傅里叶变换在期权定价应用中的有效变化。《计算金融杂志》，18（2）：57–902014。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=1673034.[8] S.Boyarchenko和S.Levendorski，即具有随机利率的L'evy模型中障碍期权和CDS的有效定价。数学金融，2016年。

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数字示例本文中的计算是在MATLAB 2017b学术版上进行的，使用的MacPro2.8 GHz Intel Core i7和16 GB 2133 MHz LPDDR3 RAM。A、 1。表一、NTS Pdf。工艺参数为u=0，α=10，β=0，fort=0.004；δ=mλν-2，其中m=ψ′（0）=0.1是第二瞬时力矩。在表1中，ν变化，pdf在峰值处计算。在表2中，ν=0.3是固定的，x是变化的。基准价格是通过不同γ+、γ的sinh加速度获得的-, ζ和N；结果差异小于E-15。对于每个ν，x′=x- ut和积分方法、网格尺寸ζ和∧使用误差容限的通用规定进行选择。在某些情况下，这些处方要么不准确，要么导致杀伤力过大；然后，我们给出了用ζ/kζ和k∧∧代替描述的ζ和∧得到的结果。通常，对于ν<1（ζ必须小约30%），Hardy范数的近似值是不准确的，并且会导致ν>1（ζ可以大约5-10%）的过度杀伤。在某些情况下，∧可以是5-10%smalleras。CPU时间以毫秒为单位，平均运行时间超过1百万次。A、 2。表二。赫斯顿模型。表3：T=0.004，一次s三轮车的s inh加速度与fr作用抛物线法的比较。表4：T=0.004，使用所有走向的同一组SINH参数进行计算。不同罢工次数的价格计算错误和时间。SINH-ACCELERATION 33表1。P x在0处的峰值处的df，四舍五入，以及使用正弦交流电和傅里叶逆变换计算的截断误差。

依赖于顺序ν。ν0.1 0.3 0.5 0.9 1.1 1.5 1.9pt（0）1.64335E+11 27813.7583 1077.36380 111.103247 64.5381220 32.7368302 21.6193636SINH=10-15kζ=1 k∧=1N30 30 33 32 33 34 35错误0 0 0 0 0 0 0时间6.8 6.7 7.0 7.0 7.1 7.4=10-15kζ=1 k∧=0.95N29 31 31 31 32 33错误0 0 0-1.2E-12-9.9E-14时间6.6 6 6.6 6.7 6.8 6.8 6.8 6.8 6.9=10-7kζ=1.1 k∧=1N19 17 17 17 18 18错误1.743E+03 2.7E-06 5.9E-07 2.3E-07-9.6E-08 5.3E-09-6.6E-09时间5.3 4.9 5.3 5.3 5.3 5.2 5=10-4kζ=1 k∧=1N13 10 10 9 10 10 10 10 10误差-5.1E+06 1.48 0.020 0.0013 0.0013-0.00032-8.3549E-05Re。错误-3.1E-05 5.3E-05 1.9E-05 1.2E-05 2.0E-05-9.8E-06-3.9E-06时间4.6 4.2 4.1 4.1 4.0 4.2 4.1合同。抛物线c=10-15kζ=1 k∧=1N17851 10866 10244 1250 729 345 201Error-146.4 4.3E-09-1.0E-11 0 0 0 0时间2161 1322 1129 167 112 68 80=10-7kζ=1 k∧=1N6512 3361 2921 460 268 130 78错误-113 8.0E-08 5.7E-10-9.0E-11-2.3E-10-3.5E-10-9.6E-11Time754 410 82 57 55 35=10-4kζ=1 k∧=1N3334 1558 1279 238 138 68 41误差-245-0.0003 2.9E-05 1.3E-07 1.4E-06 1.7E-07-6.0E-07时间390 203 167 92 55 29 19飞行误差；ζis fixedn=10-1.64E+11-10795-1.5E-04 1.1E-07 7.7E-08 3.1E-08 4.1E-09N=10-1.64E+11-1175 2.1E-07 1.1E-07 7.7E-08 3.1E-08 4.1E-09N=10-1.64E+11 4.6 2.1E-07 1.1E-07 7.7E-08 3.1E-08 4.1E-09N=2.10-1.64E+11 0.28 2.1E-07 1.1E-07 7.7E-08 3.1E-08 4.1E-09X：λ=10，m=ψ′（0）=0.1，δ=mλν的完全对称NTS L′evy过程-2，t=0.004，ν变化。研究sinh加速度和分数抛物线变换参数选择通用建议的有效性。对于FLAT iFT，研究截断误差对ν和项数N的依赖性。

时间：CP Utime i in microseconds，平均运行次数超过1百万次。表5-8：与表4相同，T=0.1、1.0、5、15。表9：sinh加速度法与LewisLipton和Carr Madan FL iFT法实现的性能比较。在所有情况下，标准p描述（ζ=0.125，N=4096）意味着可忽略的截断误差，因此，误差本质上表现为离散化误差。A、 3。CIR模式（表10）和CIR次级DNTS模式l（表11）中债券的看涨期权。A、 4。分位数计算示例（表12）。34 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI表2。Xt pdf的左尾、四舍五入和使用s inh acceleration和fl at rse Fourier变换计算的截断误差。取决于与峰值的距离。x-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05-0.02-0.01pt（x）0.0029428 0.0059872 0.01277601 0.0294055 0.0777612 0.2894651 1.160531 2.93835839SINH=10-15kζ=1 k∧=1N 19 20 22 24 26 31 37 42错误7.0E-17 6.9E-17-3.0E-16-1.0E-16-4.0E-16-1.0E-15 0 0时间10.9 11.1 11.7 12.2 12.5 15.6 17.6 18.1=10-7kζ=1 k∧=1N 8 8 9 10 11 14 17 19错误1.5E-08-1.2E-08 9.1E-09 2.1E-08-6.1E-09-4.2E-08-4.6E-08 1.1E-07时间7.8 7.9 8.1 8.0 8.1 8.9 9.7 10.1=10-4kζ=1 k∧=1N 4 5 5 6 10 12误差-1.4E-05 2.9E-05-2.6E-05 3.1E-05-1.9E-05 5.8E-05 1.1E-04-1.6E-04时间6.7 6.3 6.7 6.7 10.2 7.1 8.2 8.9分形。

抛物线=10-15kζ=1 k∧=0.8N 38 41 44 48 55 70 96 122误差5.0E-17 4.0E-17-1.0E-16 0 1.9E-16 1.0E-15 0 0时间18.0 19.3 22.5 23.8 26.5 33.3 44.9 56.8=10-7kζ=1 k∧=0.8N 14 15 16 17 20 25 35 44误差1.0E-10 5.7E-11 5.8E-11-1.4E-11 8.9E-12-4.6E-11 9.0E-09 3.2E-07时间9.8 10.7 11.7 12.5 15.6 20.3 24.5=10-4kζ=1 k∧=0.8N 9 10 10 11 13 16 22 28错误5.5E-06 1.9E-06 9.0E-07-5.0E-07-9.4E-07 3.6E-07-1.3E-07 6.5E-07时间6.8 7.1 6.8 7.3 7.9 9 9 9.4 11.5 15.0=10-4kζ=0.95 k∧=0.8N 9 9 10 11 12 15 21 27误差1.7E-05 6.5E-06 1.2E-06 1.6E-06 2.4E-06-3.5E-06-8.5E-07-3.5E-07时间6.6 6.2 6.9 6.9 7.3 8.5 11.3 13.7 FLI IFT误差；ζis fixedn=100.0057-0.0056 0.0056-0.0055 0.0054-0.0054-0.48 1.53N=100.0018 0.00040-0.0018-0.0045-0.0070-0.0088-0.0094-0.0094N=10-1.3E-06 4.6E-06 7.1E-06 1.2E-06-1.2E-05-2.6E-05-1.4E-05-0.00015X：完全对称的NTS L evy过程变化，λ=10，m=ψ′（0）=0.1，ν=0.3，δ=mλν-2，t=0.004，x变量。研究sinh加速度和分数抛物线变换参数选择通用建议的有效性。对于FLAT iFT，研究截断与误差对ν和项数N的依赖性。时间：CPU时间（微秒），平均运行时间超过1百万次。SINH-ACCELERATION 35表3。加入赫斯顿模型。SINH加速度vs分数抛物线。K 85 90 95 100 105 110 115x′0.2054371159 0.1482787452 0.0942115239 0.0429182295-0.0058719347-0.0523919503-0.0968437129Vput8.75606E-07 0.0004112657 0.046751956 1.0603962422 5.0125262734 9.991210204 14.9908003682SINH=10-12kζ=1.8 k∧=1.35ζ0.135219069 0.141969971 0.149051905 0.15624513 0。161505024 0.154669039 0.148348105N 58 56 54 50 53 55错误-2.98E-12 3.95E-12 0-4.00E-14 3.91E-14 0 9.95E-14时间48.7 48。1 47.1 45. 6 45.2 46.

8 48.2 = 10-6kζ=1.8 k∧=1.35ζ0.239504852 0.251634664 0.264309759 0.277086239 0。286405666 0.274054828 0.262614271N 31 30 29 28 28 28 30错误-1.41E-07-1.35E-07-1.01E-07-6.55E-10 5.52E-09-6.43E-08 1.45E-07时间36.3 36。0 35.6 34. 9 34.8 35. 6 36.0 = 10-2kζ=1.8 k∧=1.35ζ0.450079392 0.473594213 0.497964069 0.522276556 0。539648211 0.515421352 0.492902392N 14 13 13 13 14错误-2.16E-04-6.09E-04-1.63E-04 9.62E-06-1.30E-04-8.23E-04-2.49E-03时间28.9 30。4 27.6 26. 6 27.0 27. 4 27.0断裂。第10段-12kζ=1 k∧=1ζ0.1501040751 0.1498588017 0.149627309 0.1494081636 0.158551587 0.1583831405 0.1582217381N 290 341 420 563 759 498 393错误-1.28E-13 2.80E-14-2.80E-14-1.01E-14-7.02E-14-2.90E-13-2.01E-13时间115.0 109.2 120.3 148.5 198.5 115.0\\491；=10-6kζ=0.85 k∧=0.85ζ0.3006157713 0.299780534 0.2989939791 0.2982509424 0.3306004853 0.3299784849 0.3293834519N 92 109 135 182 237 154 121错误-4.70E-07-1.07E-06 3.05E-07-1.91E-07-1.53E-06-1.55E-06-1.5E-06时间87.3 55。7 60.4 70. 1 81.3 65. 2 60.0 = 10-2kζ=0.85 k∧=0.85ζ0.565 0.562 0.560 0.557 0.682 0.679 0.676N 35 42 53 72 86 55 43误差1.2E-04-4.3E-05 1.2E-04-0.0057 2.0E-04 2.8E-05-1.3E-04时间60.2 48。5 51.5 57. 8 67.1 55. 5 43.8看跌期权参数：r=0.02，δ=0，T=0.004，S=100。赫斯顿模型参数：v=0.18；ρ = -0.58，σ=2.44，κ=0.30，m=0.18。时间：CPU时间（以微秒为单位），平均运行时间超过1百万次。给定误差容限，使用修正系数kb=0.8，kd=0.8，kζ，k∧的通用公式，为每个点选择方案的参数。表4：。放入赫斯顿模型，T=0.004。

SINH加速的价格和误差。K 85 90 95 100 105 110 115x′0.2054371159 0.1482787452 0.0942115239 0.0429182295-0.0058719347-0.0523919503-0.0968437129Vput8.75606E-07 0.0004112657 0.046751956 1.0603962422 5.0125262734 9.991210204 14.990800382=10-124.26E-14 5.68E-14-1.42E-14-1.74E-12 6.01E-12 2.08E-11 2.26E-10=10-68.65E-10 7.82E-09 1.91E-08-1.68E-07 4.23E-07-6.85E-07 3.52E-06=10-2-4.75E-03 1.06E-02-2.25E-02 4.14E-02-5.33E-02 6.09E-02-6.89E-02看跌期权参数：r=0.02，δ=0，T=0.004，S=100。赫斯顿模型参数：v=0.18；ρ = -0.58，σ=2.44，κ=0.30，m=0.18。时间：CPU时间（以微秒为单位），平均运行时间超过1百万次。考虑到误差容限，使用修正系数kb=0.8、kd=0.8、kζ=1.85、k∧=1.3的通用规定，为范围内的打击选择相同的参数。对于=10-12： N=89，ζ=0.081939329，7次和120次电击的CPU时间：69.8和586.8微秒。，分别地对于=10-6： N=57，ζ=0.118334081，7次和120次电击的CPU时间：45.4和377.6微秒。，分别地对于=10-2： N=30，ζ=0.181940202，7次和120次电击的CPU时间：30.3和240.7微秒。，分别地36 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI表5。放入Hes-ton模型，T=0.1。

价格和误差s的SINHacceleration与普遍选择的参数。K 85 90 95 100 105 110 115x′0.2085894213 0.1514310075 0.0973637862 0.0460704918-0.0027196724-0.049239688-0.0936914506Vput1.1764633175 1.8719759966 2.9150895284 4.51252091 7.067104472 10.7962013124 15.2373482324=10-120 4.00E-14-3.02E-14-7.02E-14 0 9.95E-14-3.00E-13=10-6-1.44E-10-3.26E-10 2.84E-09 1.31E-09-5.60E-08 2.08E-07-5.02E-07=10-2-1.17E-08-8.05E-08 2.96E-07 1.06E-06-1.18E-06-7.91E-06-1.70E-05看跌期权参数：r=0.02，δ=0，T=0.1，S=100。赫斯顿模型参数：v=0.18；ρ = -0.58，σ=2.44，κ=0.30，m=0.18。时间：CPU时间（以微秒为单位），平均运行时间超过1百万次。考虑到误差容限，使用通用规定，在[85，115]范围内选择相同的打击参数，校正系数kb=0.8，kd=0.8，kζ=1.85，k∧=1.3。对于=10-12： N=94，ζ=0.080430727，7次和120次电击的CPU时间：72.0和565.7微秒。，分别地对于=10-6： N=48，ζ=0.13343117，7次和120次触发的CPU时间：48.3和364.3微秒。，分别地对于=10-2： N=30，ζ=0.181940202，7次和120次触发的CPU时间：27.8和237.4毫秒。，分别地表6：。放入赫斯顿模型，T=1。SINH加速度的原理和误差以及参数的普遍选择。K 85 90 95 100 105 110 115x′0.2381418803 0.1809834665 0.1269162452 0.0756229508 0。

0268327867-0.019687229-0.0641389916Vput4.7941827931 5.61173264 6.646714606 8.0122168751 9.9462613433 12.730505446 16.3323981366=10-12-1.96E-14 1.95E-14 9.95E-14 0-6.04E-14 9.95E-14 1.00E-12=10-68.24E-10 1.41E-09-1.36E-08-5.52E-08-5.51E-08 2.74E-07 1.06E-06=10-2-1.31E-04-1.11E-04 8.73E-04-2.28E-03 3.50E-03-2.14E-03-3.56E-03看跌期权参数：r=0.02，δ=0，T=1，S=100。赫斯顿模型参数：v=0.18；ρ = -0.58，σ=2.44，κ=0.30，m=0.18。时间：CPU时间（以微秒为单位），平均运行时间超过1百万次。考虑到误差容限，使用通用规定，在[85，115]范围内选择相同的打击参数，校正系数kb=0.8，kd=0.8，kζ=1.85，k∧=1.3。对于=10-12： N=85，ζ=0.085671285，7次和120次电击的CPU时间：66.0和518.9微秒。，分别地对于=10-6： N=49，ζ=0.130631744，7次和120次电击的CPU时间：42.6和350.6微秒。，分别地对于=10-2： N=26，ζ=0.200931104，7次和120次触发的CPU时间：28.8和234.9微秒。，分别地表7：。放入赫斯顿模型，T=5。