Morini和A.Pallavicini。交易对手信用风险、抵押品和资金，以及所有资产类别的定价案例。威利，奇切斯特，2013年。F、 奇米内洛。油流向本地。2015年伦敦帝国理工学院演讲。S、 德马尔科和亨利·劳德雷。美国期权的局部波动性。《风险》杂志，（11），2017年。G、 Deelstra和G.Rayée.长期外汇衍生品的局部波动定价模型。AppliedMathematical Finance，4（20）：380–4022013。E、 Derman和I.Kani。微笑着骑马。风险杂志，（7）：32–391994年。G、 Drimus和W.Farkas。波动率指数市场的局部波动率。《衍生研究回顾》，3（16）：267–2932013。B、 杜皮尔。微笑定价。《风险杂志》（1）：18–20，1994年。J、 Gatheral公司。《波动表面：从业者指南》。Wiley，2006年。J、 Guyon和P.Henry Labredére。微笑定价。《风险杂志》（1）：88–932012年。一、 戈恩基。模拟具有it^o差异的过程的一维边际分布。概率论和相关领域，（71）：501–5161986。R、 李。极端冲击下隐含波动率的时刻公式。《数学金融》，14（3）：469–480，2004年。N、 Moreni和A.Pallavicini。有抵押和外汇市场混乱的衍生品定价。《国际理论与应用金融杂志》，6（20），2017年。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》23K。Pilz和E.Schl"ogl。商品和利率市场混合模型。QuantitativeFinance，4（13）：543–5602011年。P、 普洛特。随机积分和微分方程。Springer Verlag，2005年。A、 Reghai、G.Boya和G.Vong。局部波动性：平稳校准和快速使用。工作文件，2012年。内政部：10.2139/ssrn。2008215。URLhttps://ssrn.com/abstract=2008215.Y.Ren、D.Madan和M.Qianqian。使用嵌入的本地volatilitymodels进行校准和定价。

《风险杂志》（9）：138–1432007年。A、 嗖嗖的一声。能源市场中均值回复资产的合法期权定价公式。《数学与应用数学杂志》，1（96）：216–2332008。G、 Tataru和T.Fisher。随机局部波动。技术报告，彭博社，2010年。A、 Van der Stoep、L.Grzelak和C.Oosterlee。赫斯顿随机局部波动率模型：高效蒙特卡罗模拟。《国际理论与应用金融杂志》，2014年第17（7）期。H、 Walker和P.Ni。定点迭代的Anderson加速。SIA M数值分析杂志，4（49）：1715–17352011。命题4.2的证明在本附录中，我们展示了命题4.2的证明。作为第一个工具，我们需要两个引理。引理A.1。在等式（17）给出的黑色框架中，如果小时限σp0，kq：“limt~n0σpt，kq存在，然后也存在以下极限slimt~n0Φpy `σ？tq'ΦpyqVBSpt，k，σq”σp0，kq（27），其中普通香草黑织女星被定义为vbspt，k，σq：“BσcBSpt，k，σqProof。根据累积高斯概率分布的定义，我们可以写出任意实数a和B，使得Baa和aba0Φpbq'Φpaq“zbaφpxqdx，其中φ是高斯概率密度。我们可以通过考虑被积函数的最小值和最大值来限制积分值。pb'aqφpxqdΦpbq'Φpaqdpb'aqφpsxqE。Nastasi，A.Pallavicini，G。

萨托雷利，商品市场中的微笑建模24我们定义：“arg minxPra，bsφpxq，sx：”arg maxxPra，bsφpxqIn特别是如果b：“y `σ？t和a：”y，其中y定义为等式（17），我们可以写出σ？tφpxqdΦpy `σ？tq'Φpyqd？tφpsxqMoreover，其中可以明确计算纯香草黑织女星，并由vbspt，k，σq给出“？tφpy `σ？tq我们可以写出σφpxqφpy `σ？tqdΦpy `σ？tq `ΦpyqVBSpt，k，σqdσφpsxqφpy `σ？tq然后，由于我们有limt~n0φpxqφpy `σ？tq”1，limt~n0φpsxqφpy `σ？tq”1我们证明了引理。引理A.2。（比较原理）我们考虑了两个隐含的波动函数sσpt，kqa和σpt，kq。如果通过方程（18）得到相应的局部波动函数排序为ηrσspt，kqdηrsσspt，kq，用于任何时间和走向，然后是σpt，kqdsσpt，kq。证据当潜在风险因素遵循命题4.1的动力学时，我们写出由普通期权价格拟合的Kolmogorov后向方程。如果我们将到期日为t、行使日为k的看涨期权在时间u的价格c与即期水平s相加（我们省略了一些相关性以减轻符号的影响），也就是说，我们可以写出^Bu\'ap1\'sqBs`ηsBs˙c“0然后，如果我们使用Lemma假设中定义的局部波动函数ηrσs和ηr sσs，我们可以写出相应的g买入期权价格和sc的PDE，导致它们的差异：“sc\'cto^Bu\'ap1\'sqBs`ηrsσssBs˙w\'pηrsσs\'ηrσsqsBsc”0，wpt，kq“0可通过Feynman-Kac定理解释为连续条带正优惠券的定价方程，即WP0，sq”eztpηrsσs'ηrσsqsBsc duě0由于黑市与加权平均价格之间的关系，波动率的影响是单调递增的，我们已经证明了引理。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》25我们可以继续证明命题4.2。

我们首先计算（18）中出现的导数，从一个w.r.t开始。到成熟的时间，我们得到btcbspt，k，σpt，kqq“ΘBSpt，k，σpt，kqq\'VBSpt，k，σpt，kqqBtσpt，kq”VBSpt，k，σpt，kqq^σpt，kq2t\'Btσpt，kq˙（28），其中黑色θ由ΘBSpt，k，σq给出：“BtcBSpt，k，σq”φpy `σ？tqσ？tt'1”σ2tVBSpt，k，σqWe继续使用第一个导数w.r.t。删除线kcbpt，k，σpt，σkqq“\'”BSpt，k，σpt，kqq`VBSpt，k，σpt，kqqBkσpt，kq“'Φpyq`VBSpt，k，σpt，kqqBkσpt，kq（29），其中黑色双三角形由'给出BSpt，k，σq：“BcBSpt，k，σqBk”'Φpyq和二阶导数w.r.t。删除线kcbsp，k，σpt，kqq”'BSpt，k，σpt，kqq\'2'DBSpt，k，σpt，kqqBkσpt，kq\'VBSpt，k，σpt，kqbkσpt，kq\'WBSpt，k，σqpBkσpt，kqq\'VBSpt，k，σpt，kqq\'kσpt，kqq\'2y\'σpt，kq\'？tkσpt，kq？tBkσpt，kq\'Bkσpt，kq\'ypy\'σpt，kq？tqσpt，kqpBkσpt，kqq˙（30）其中，黑色双伽马、双瓦纳和伏尔加由ΓBSpt，k给出，σq：“BkcBSpt，k，σq”φpyqkσ？t”φpy `σ？tqkσ？t”kσtVBSpt，k，σq：“BkBσcBSpt，k，σq”y `σ？tkσ？tVBSpt，k，σq：“BσcBSpt，k，σq”ypy `σ？tqvbspt，k，σqIf我们在（18）中替换（28）、（29）和（30）（将σpt，kq与t和kt的依赖性降低，以保持更简单的符号）我们根据ηpt给出的隐含波动率获得局部波动率，kq“σ\'2σt Btσ\'2aσtp∧pt，k，σq\'p1\'kqBkσq1\'2k？tpy'σ？tqBkσ\'kσtBkσ\'ktypy'σ？tqpBkσq（31），其中我们定义了∧pt，k，σq：“Φpy'σ？tq'ΦpyqVBSpt，k，σqE。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模26现在，我们可以像Berecki等人[2002]一样，通过定义正式的方程（31）的小时限解ψpkq根据ψpkq'ηp0、kqp1'k log k Bklogψpkqq“0（32）的唯一正解，在计算上述表达式时，我们使用Lemma.1通过假设隐含波动率极限存在来评估∧的小时限。

然后，我们必须证明隐含波动率函数的小时限实际上是由ψ给出的。这可以通过以下方法实现：Berestycki等人【2002年】，并在需要比较原则时使用引理A.2。在这里，我们仅概述了证明的主要理由，而所有技术细节都可以在引用的论文中找到。我们可以定义隐含波动率函数σpt，kq：“ψpkqp1'κtq，σpt，kq：”ψpkqp1'κtq和κa0，这在t”0中也有明确定义。我们可以使用方程（18）计算相应的局部波动函数ηrσspt，kq和ηrsσspt，kq. 然后，我们可以通过直接计算表明，对于κ的任何选择，我们都可以找到一个时间间隔r0，δs，其中ηrσsdηηrsσs。因此，通过调用引理a.2给出的比较原理，我们得到σdσsσ，并通过取较小的时间限制，我们得到σp0，kq：“limt~n0σpt，kq”ψpkq最后，为了证明命题4.2，我们可以解方程（32）得到方程（19）。通过将导数w.r.t.取到s tr ike k，并取近ATM打击的极限，即k~n1，我们也得到方程（20），我们完成了命题的证明。