商品市场中的微笑建模

2022-6-10 13:07:29

商品市场中的微笑建模*Andrea Pallavicini+Giulio Sartorelli第一版：2017年10月30日。本版本：2020年1月27日摘要我们为商品期货衍生品合约提供了一个随机局部波动率模型，该模型能够描述远期曲线和微笑动态，并对流动市场报价进行快速校准。引入了一个简洁的参数来处理市场上报价的有限数量的期权。对期货和期权的清算商品市场进行分析，以将特定交易条款和保证金程序纳入定价框架。为不同的商品产品提供了校准和定价的数字示例。JEL分类代码：C63、G13。AMS分类代码：65C05、91G20、91G60。关键词：商品、期权定价、保证金程序、抵押品、局部波动性、随机波动性。*埃马努埃尔的Exprivia。nastasi@exprivia.com+伦敦帝国理工学院和米兰银行，a。pallavicini@imperial.ac.uk米兰银行，朱利奥。sartorelli@bancaimi.comContents1简介2期货和商品市场期货期权42.1期货合同。42.2保证金和抵押程序。53灵牌期货价格73.1处理交割程序。73.2虚拟点冰建模。83.3期货价格的自动校准。94期货期权微笑的校准104.1扩展杜皮尔方程。104.2局部波动率函数的校准。

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2022-6-10 13:07:32

124.3迭代校准策略。134.4平均回复速度的校准。175曲线和微笑动力学195.1马尔可夫投影。195.2多重驱动因素。205.3随机波动率扩展。216结论和进一步发展21A命题证明4.2 23此处表达的观点仅为作者的观点，并不以任何方式代表其雇主的观点。E、 Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》31介绍期货是流动性最强的商品合约，其次是期货期权衍生品。单一期货价格上的普通期权在商品市场上通常是流动的，带有日历价差期权，即两种不同期货的价差期权。然而，越来越多的期货价格定制衍生品合约在场外交易，或嵌入结构性票据中。由于此类合约通常对微笑效应敏感，并包含路径依赖，因此我们需要一个能够描述曲线和微笑动态的期货价格定价模型。此外，出于实际目的，我们需要一个能够快速校准到期货价格和流动普通期权的模型。我们的方法基于期货价格的随机局部波动（SLV）模型。在文献中，可以找到一些与我们的工作相关的贡献。

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2022-6-10 13:07:35

我们可以引用Pilz和Schl"ogl（2011）的论文，其中作者为每个期货价格引入了不同的随机波动性模型，以及一个程式化的局部波动系数。随机利率被认为是衡量期货价格凸度调整的尺度。Chiminello【2015年】的工作遵循了一种不同的方法，为每个期货引入了一个独特的局部波动率模型。然而，普通香草期权期货价格的liqu id市场报价仅针对每个期货的一个到期日报价，因此通过启发式方法从现有市场报价中构建合成市场报价，以获得每个期货的完整校准集。在该模型中，期货曲线动态可以用不同的风险因素为每个期货建模，而s英里动态则不建模。Yalbani等人【2017年】提出了一种更为简洁的方法，其中引入了适用于所有期货的单一局部波动率模型，但未对期货曲线动力学和微笑动力学进行建模。使用在不同日期观察到的报价进行校准，以增加市场数据的数量。在本文中，我们引入了一个SLV模型，该模型能够再现期货的期货价格和报价期权，并能够恢复一些奇异期权的价格，例如日历价差期权，这些期权对曲线和微笑动态敏感。特别是，我们将局部波动率单因素过程定义为第一步，并采用净漂移来模拟未来价格边际密度，我们扩展了Dupire方程、seeDupire【1994】和Derman and Kani【1994】，以允许对所有报价的普通期权实施快速和robus t校准。校准算法按照加速安德森方案（acceleratedAnderson scheme）、Seewarker和Ni【2011年】以及Anderson【1965年】构建为定点迭代。

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2022-6-10 13:07:38

然后，作为第二步，我们为每个期货价格引入一个SLV动力学，这样我们就可以对其曲线和smiledynamics建模。在这样做的过程中，我们利用了Gyongy引理，见Gyongy【1986】，以匹配第一步中校准的未来价格边际密度。目前的贡献主要集中在局部波动率预测上，而我们将对随机参数校准的详细分析和奇异产品定价的讨论留给了未来的工作。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了市场对商品期货和期货期权的报价。特别是，我们讨论了交易条款和保证金规则。然后，在第3节和第4节中，我们介绍了模型的局部波动性部分，并描述了如何校准期货价格和期权，而在第5节中完成了模型到完整SLV模型的扩展。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》42《商品市场中的期货和期货期权》商品市场上的普通普通期权赋予以给定价格签订期货合同的权利。签订合同的决定可以在期权到期之前的任何时候做出，通常是在交易后的几年内。期权合同被合并为期货或作为股票衍生品进行抵押。我们以ICE和CME市场提供的文件为例。2.1期货合约我们希望引入一个单因素背景过程，其边际概率密度可以映射到期货合约上，以便我们可以对所有流动期权进行节约定价。我们将这一过程称为“实际现货”价格过程，因为在我们的模型中，其价值起着现货价格的作用，即使它不一定与可观察数量相关联。

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2022-6-10 13:07:41

一旦校准了未来的边缘概率密度，我们就可以添加曲线和微笑动力学。在此之前，我们需要了解未来合同的具体情况。在商品市场中，期货合约可能导致提前购买或出售的商品的实物交付。在结算日之后，交易所可能会通知期货合约多头头寸持有人货物将交付。为了避免实物交割，多头头寸持有人必须在第一个通知日期之前滚动期货合约。我们在图1中展示了一些期货合约和期货期权的交易和通知日期示例。我们详细了解到，期货合约在Tf和Tf日期之间在市场上交易，但通常在第一个通知日期TN之前滚动，以避免在Td和Td日期之间交割。交货通知可能发生在最后一个通知日期Tn之前。在日期Tn之前，期权在日期to和to之间进行交易。开始交割日后报价的期货指交割期较短的合同。在下文中，我们假设在t时，由标签ID识别的一系列期货合约的价格在市场上可用。第一个例子由ICE未来办公室提供。我们在图1的上面板中显示了ID=“MAR18”期货和期权合同的时间结构，其中我们绘制了期货合同（红色）和期货期权（蓝色）的时间线。连续色带是指截至第一个通知日期的每个合同的交易窗口。我们可以看到，第一次通知和第一次交付日期早于最后一个交易日期。

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2022-6-10 13:07:43

2018年3月，芝加哥商品交易所（CME）的铜期货和期权合约也出现了同样的情况。另一方面，对于芝加哥商品交易所的WTI原油期货，通知和交割可能发生在最后一个交易日之后，如图下部面板的第三个示例所示，其中显示了2018年3月期货和期权合同的时间结构。备注2.1。（交付期）一些商品市场，如天然气或电力，在不同的交付期上报价期货合约。在天然气市场，未来合同允许在一个月、一个季度或整个月内每天供应天然气。此外，期权在这些不同租金的期货集合上进行交易。在这个市场中，我们选择只有一个特定交付期的tomodel期货合约。我们可以专注于一个月的洲际交易所（ICE，https://www.intercontinentalexchange.com)和芝加哥商品交易所（CME，http://www.cmegroup.com)是两个领先的大宗商品电子交易平台。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模5交货期合同》，我们仍然可以通过对较短合同实施策略来为较长期限的合同定价。然而，通过这种方式，我们无法为期限较短的合同定价。在这些市场中，我们可以使用长期期权报价来获取有关远期曲线动态的信息。2.2保证金和抵押品程序期货交易所确定并设定期货保证金利率。交易员需要在合同开始时提交一份初始保证金，然后维持保证金，以匹配合同的市场变化。将现金或资产入账以注满保证金协议的一方不会因融资成本而获得报酬。

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2022-6-10 13:07:46

该程序与h ap为担保合同支付的程序相似，但在后一种情况下，担保品接受者向另一方支付利率，通常为隔夜利率。期货期权也有类似的论点。报酬率的存在与否对于为这些合同建立正确的定价公式至关重要。文献中广泛讨论了存在保证金或抵押品程序的定价。在此，我们参考toBrigo等人【2013】及其参考文献。特别是，我们假设了所谓的完美抵押制度，即保证金程序能够消除投资者或交易对手违约事件的任何损失的情况。我们有以下建议。位置2.2。（完美抵押）我们假设市场风险由It流程向量描述。我们考虑使用价格过程vt和累计股息过程πt，在定义为πt的日期按合同金额φipaid：“N"yi”1φitTidtu（1）如果定义了抵押品过程CTI，以便在任何时间t到证券到期t，那么我们可以将证券价格过程写为vt“Et”TtDpt，u；eqdπu, Dpt，T；公式：“exp”'zTteudu*（2）其中预期是在风险中性措施下进行的，ETI是抵押品应计利率过程。证明。该命题可以从Moreni和Pallavicini【2017】的推论2.1中推导出来假设所有的支付货币都是相同的。我们现在已经准备好写期货期权的定价方程了。我们首先描述没有早期锻炼功能的普通选项（欧洲选项）。它们可以根据保证金或抵押品协议进行交易，通常由Futuresexchanges分别称为未来式保证金和股权式保证金。

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2022-6-10 13:07:50

根据未来e型保证金，期权溢价在到期日支付，按市值计价的变动与初始保证金一起即时交换，无需支付任何报酬，因此我们可以根据Cmargtpto，ID，Kq给出的第2.2条写下期权价格：“Et''FIDTo'K'”`. （3） E.Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli、，商品市场中的微笑建模6FMAR18Tn‘FMAR18To‘K’’Tf01 2015Tf19 2018TF19 2018Tn20 2018Td01 2018Td01 2018Td29 2018TD09 2018TD09 2018ToFMAR18Tn‘FMAR18To‘K’Tf28 2013Tf27 2018Tn28 2018TM28 2018Td01 2018Td29 201827年4月至2018ToFMAR18Tf‘FMAR18To‘K’Tf19 2018TF19 2012Tf20 2018TN22 2018Td01 2018年3月TD31日2018年3月至2014年3月2018年2月至图1：2018年3月期货的通知、交易和交割日期以及相应期权的交易日期。上面板为冰上的阿拉比卡，中面板为铜，下面板为CME上的WTI积垢油。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》7另一方面，在股票式保证金的情况下，期权溢价在交易日支付，期权卖方必须为溢价（按利率E计提的抵押品）提供担保，该保证金与初始保证金一起每日调整，因此，我们可以根据CColltpto，ID，Kq：“Et''FIDTo'K''Dpt，Tp；eq”给出的第2.2条写下期权价格, （4）其中，TPI是付款日期，通常结算延迟适用。在早期实施的情况下，我们应该调整我们的定价公式，例如inAlbani等人【2017年】。然而，对于非股息支付资产，美国期权价格可能与相应的欧洲价格不同，只是因为利率不同。

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2022-6-10 13:07:53

在期货式保证金的情况下，我们可以从等式（3）中看到，期权价格不取决于利率，因为贴现因子缺失，标的资产是期货价格。因此，我们可以得出结论，在到期之前行使期权是不方便的，但在未来式保证金协议下交易的欧洲和美国期权的价格是相同的，因此不需要进行调整。另一方面，以等额保证金交易的期权需要进行调整，尽管在低利率制度下，对于短期到期，这些期权应该很小。如果需要调整，我们可以按照De Marco和Henry Labordére【2017】将其包括在内，这将Dupire方程扩展到了Americanoptions。3期货价格建模我们遵循一步一步的程序来实施我们的建模框架。我们首先为背景过程引入一个局部波动线性模型，我们称之为“现货价格”。线性模型的特点是有一个明显的漂移项，参见StanceAckerer和D【2016】中的内容。在商品能源市场中，Wishchuk【2008年】研究了线性模型的恒定波动率版本。这种模型允许以封闭形式计算期货价格。此外，在第4节中，我们将展示期权价格可以通过杜皮尔方程的扩展版本来计算，我们可以使用该公式来校准局部波动率函数。3.1交割程序在股票期货市场的数学表示中，期货合约的基础是通常具有相当流动性的现货合约。

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2022-6-10 13:07:56

无风险的标准假设允许获得一个等价的概率测度，使得未来价格过程是一个鞅，其值与未来到期日的现货价格过程值一致。在商品市场中，期货合约赋予了在到期时将标的实物商品兑换成一定数量货币的权利，但由于标的物的物理性质，交割程序并不重要，因此不能概括为“在一天交割一定数量的商品”。根据允许交易对手选择的规则，交付程序可能需要几天时间，从而形成一个“s pot”合同，其估值可能难以执行。这表明我们不必使用同等情况下使用的相同公式，但如果该模型的最终目的仅是根据未来价格对衍生产品合同进行估价，那么我们仍然可以克服这些问题。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》8考虑到未来本身作为对冲工具的可用性。在这种情况下，我们只需要一个等效的衡量标准，即在交付程序开始之前的任何日期，即在第一个通知日期之前，未来价格过程都是鞅。事实上，如果我们说，除了购买和出售未来合同本身之外，未来合同不授予任何期权，那么我们就非常接近现实，因此，无套利意味着存在一个等价的衡量标准，即在第一个通知日之前的每一天，如果在Tf交易结束之前，期货价格是第二天期货价格的预期值。此后，各种期权可能接踵而至，在许多情况下，使人们怀疑期货价格过程对于任何等价度量仍然是鞅。

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2022-6-10 13:07:59

因此，对于任何时间tdTlast与Tlast“mintTn，Tfu，我们可以写efitt”Et“FIDTlasti，我们可以假设存在一个单一的连续时间过程St，我们称之为实际现货过程，其值与每个期货合约的Tlast日期的期货合约价格一致，所以那是菲德“eTrusts，tdtlast我们不要求STI在市场上交易。如果市场报价为现货价格，它可能与我们的定义不同，例如由于特定的交割条件。此外，即使只有特定数量的到期日的期货在市场上可观察和交易，我们也可以假设存在一条完整的tTh~nF pT q曲线，由期货价格与实际现货价格一致的日期T：FTpT q“ST对于交易期货，在该设置中，我们有：FTlastpTlastq”FIDTlast“STlast3.2虚拟现货价格建模我们希望为虚拟现货价格St选择一个模型，该模型允许我们轻松计算远期价格，但同时，它足够灵活，可以复制所有期权报价。因此，我们为虚拟现货价格St.dSt“pαptq`βptqStqdt`ηSpt，StqStdWt，S”选择一个局部波动线性模型（5）其中，W是风险中性测度下的标准布朗运动，α是时间的正函数，β是时间的函数，ηSis Lipschitz，有界且为正，\'S是实际现货价格的（正）初始值，这实际上与未来精神的建模无关。根据这些假设，之前的SDE对于所有订单的任何时间ta0和有限时刻都有唯一的正解。我们的策略是将β与期货价格和η与普通期权价格进行校准，而α可以从日历价差期权中推导出来，如果其报价在市场上是流动的，或者通过启发式参数。

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可人4

2022-6-10 13:08:02

选择实际现货价格动态的特定形式，以有效的方式执行这些任务。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》9在下文中，我们发现使用现货价格的标准化版本更容易，因此，我们定义：“StFptq（6）其动力学为ST”paptq ` pβptq'Btln FPTQSTQT'ηpt，stqstdWt，s”1（7），其中系数定义为ptq：“αPTQFTQa0，ηpt，stq：”ηSpt，STFPTQQ和时间0表示我们执行校准程序的时间。备注3.1。（平均值回复速度）通过实际调查，我们引入了一个平均回复速度，这是一个具有“0可能无法校准期权市场数据。事实上，现货价格的存在只是一种模型假设，而不是像股票市场那样由无套利原则驱动。在下文中，当我们讨论校准程序时，我们必须处理两个未知参数：局部波动率函数η和均值回归速度a。在f接下来，我们将校准普通期权的局部波动率函数，同时我们将在本节末尾讨论如何确定平均逆转速度。3.3期货价格自动校准我们继续校准期货价格。如果我们在spot动态中正确定义函数β，它们可以自动恢复。作为第一步，我们以积分形式重写方程（7）。sT“1zTpapuq'pβpuq'Buln Fpuqqsuqdu'Tηpu，suqsudwu我们可以在任何时间T p r0，T qto obtainEtrsTs”1zTpapuq'pβpuq'Buln fpuqetrsuqduthen，如果我们根据我们获得的有效现货价格定义期货价格“1 ` T^apuq` pβpuq\'Buln fpuqftpuq˙du因此，我们可以采用导数w.r.T。

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2022-6-10 13:08:05

成熟时间T为futurespricesBTFtpT q“apT qFpT q `βpT qFtpT q，Ftptq”stFptq（8）编写一个一阶方程，特别是对于T“0，我们可以重新安排方程（8），以获得我们可以在现场动力学中替代的βptq的显式表达式，即我们得到βpT q“BTln FpT q'apT qE.Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模10导致标准化现货价格的以下动态ST”aptqp1'stqdt'ηpt，stqstdWt，s”1（9）通过这种方式，我们得出，如果实际现货价格遵循上述动态，则我们的模型可以准确地反映未来，因为从等式（6）中我们得出“Fptqstù~nErSts”FptqErsts“FptqErsts”，考虑到方程（9）中描述的动力学，可以很容易地计算右侧的期望值。我们通过显式求解方程（8）中描述的一阶ODE来结束本节，这样我们就可以写出紧随期货价格的动力学。我们将在以下几节中使用isresult。我们得到Ftpt q“FpT q'1'p1'stqe'Ttapuqdu'（10）然后，通过将w.r.t.与时间t不同，我们得到DFTPT q'ηFpT，t，FtpT qqdWt（11），其中可以通过现货价格的本地波动性的适当重新映射来确定期货价格的本地波动性。实际上，我们得到ηFpT，t，Kq：'K'FpT q'1'e'TTAPU'ηQDPT，t，t，Kqq（12）虽然有效履约KFpT可以定义为KFpT、T、Kq：“1’esTtapuqdu^1’KFpT q˙（13）4期货期权的校准，但有效现货价格校准程序的最后一步在于找到能够恢复期货期权价格的局部波动率函数η。

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2022-6-10 13:08:09

我们希望实现快速校准程序，以便我们搜索Dup ir e方程f或我们模型的扩展，这允许我们通过一次PDE评估对所有普通选项进行定价。4.1扩展的杜皮尔方程在此，我们重点关注欧盟罗佩斯期权，因为第2节关于早期行使期权的讨论表明，未来风格的美式期权与欧洲期权具有相同的价格，而权益风格期权可以按照德马尔科和亨利·劳德雷（Henry Labordére）[2017]中的杜皮尔方程的属性定义进行计算，这与我们的扩展是一致的。第4.1条。（扩展的Dupire方程）我们假设标准化现货价格St遵循动态St“aptqp1'stqdt'ηpt，stqstdWt，s”1E。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》，11其中平均反转速度A是时间的正函数，局部波动函数η是Lipschitz，有界且为正。然后，标准化买入价格Cpt，kq：“E”pst'kq''满足以下抛物线P debt cpt、kq'aptq'aptqp1'kqBk'kηpt、kqBk'cpt、kq（14）和边界条件scpt、0q“1、cpt、8q“0、cp0、kq”p1'kq'证明。我们可以通过应用Meyer Tanaka公式来推导出票价的动态，参见instanceProtter【2005年】，我们编写了kpt、kq“cp0、kq'E”。380; ttstakudsu`ERLSTPKQS过程统计等级k的当地时间Lstpkq定义为Lstpkq：“lim~n0\'2zttk'sudk\'udxsyu然后，根据entata和Cont【2015】的结果，我们可以将积分的期望值扩展到风险-欧盟贸易价格密度psupxq上，以便我们可以编写Cpt，kq“cp0，kq\'tapuq\'kpsupxqp1\'xqdx du\'k\'tpsupkqηpu，kqduOn另一方面，我们有psupkq”Bkcpu，kq。因此，通过直接替代和不同的w.r.t。

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2022-6-10 13:08:12

时间t我们得到btcpt，kq“aptqzkp1'xqBkcpt，xqdx'kηpt，kqBkcpt，kq我们可以通过在righ handside上按第一项的两倍进行积分来简化方程式。实际上，我们有kp1'xqBkcpt，xqdx”pcpt，xq'p1'xqBkcpt，xqq'k“'cpt，kq'p1'kqBkcpt，kq其中，自所有时刻的完整性以来，最后一个等式成立，这意味着看涨期权价格在大幅度下跌时的下跌速度要快于多项式，请参见Lee【2004年】。如果我们汇总结果，我们就得到了这个命题。例如，Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》12在Elstra和Raye【2013年】中可以找到类似的结果对于长期外汇期权，我们可以进一步利用漂移的有效形式来消除积分项，这允许通过隐式PDE离散化方法快速有效地求解方程（14），就像标准Dupire方程的d方法一样。一旦计算出标准化的看涨期权价格，我们还可以推导出期货期权的价格。事实上，我们通过直接替换获得了未来款式选项的价格Cmargpt，T，Kq“FpT qe'Ttapuqducpt，kFpt，T，Kqq（15）和股票型期权ccolpt，T，Kq”PpTp；eqFpT qe'Ttapuqducpt，kFpt，T，Kqq（16），其中有效打击kFis在等式（13）中定义。4.2局部波动率函数的校准关于使用Dupireequation校准局部波动率模型的大量文献，请参阅InstanceGathereal【2006年】以及其中的参考文献。在这里，我们强调需要一个快速而稳健的校准程序，以允许在交易台上进行实际应用。

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2022-6-10 13:08:20

特别是，我们可以用两种不同的方法求解方程（14）：（i）给定市场上的期货期权价格，我们可以使用方程（15）和（16）获得相应的标准化看涨期权，然后我们可以将这些价格插入方程（14）并求解局部波动率函数，或者（ii）我们可以解决一个最佳问题以找到局部波动率函数，插入P DE（14），给出了适当的标准化调用价格，将其放入方程（15）和（16）中，以获得市场价格。第一种方法似乎比第二种方法快得多，因为它不需要基于PDE解算器的最优程序。然而，它需要一个无套利插值方案来计算方程（14）中市场价格的偏导数。对此类方案的精确和稳健定义可能会导致算法速度较慢，并且可能会在极外侧或货币打击区域产生偏导数较小值的不稳定性。在这里，我们遵循第二种方法，我们必须面对限制在最佳程序内重新评估PDE的次数的问题。我们考虑了一组根据Black-Scholes波动率报价的未来价格期权，我们确定了astσmktFpti、IDi、Kjiq：i P r1、Ns、j P r1、MisuWe n注意到履约价格可能取决于到期日，因为市场通常根据Black-Scholes波动率报价期权为每个成熟度带来不同的罢工。使用（15）或（16），我们可以将期货期权的市场报价转换为标准化现货价格上的欧洲期权的波动性tσmktpti、kFpti、Tlasti、Kjiqq:i P r1、N s、j P r1、Misuwhere我们定义σmktij：“当期权为股权式抵押时，可能包括σmktpti、kFpti、Tlasti、kjiqqa对美国早期行使特征的调整。

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2022-6-10 13:08:23

通过指定局部波动率ηpt的特定非参数形式，可以实现期货价格期权的模型校准，kq：“ζpt，k；tηpti，kfti，Tlasti，kjiqqq，ηij：“ηpti、kFpti、Tlasti、KjiqqE、Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》13，其中ζ是用于内插和外推局部波动函数的函数。我们选择三次多项式sp线进行内插，选择常数函数f进行外推。最佳问题的自由参数是局部波动函数的n个节点，因此我们可以拥有与市场波动率一样多的参数，通常多达100个或更多的参数。基于梯度优化算法的校准程序可能会产生较差的性能，因为目标函数的J acobian总是在各个方向上计算。如果我们对动力学有很好的了解，例如，通过使用局部波动率和隐含波动率之间的不对称关系，在短时间内到期和接近ATM冲击时，一旦我们知道目标量和模型量之间的不匹配，我们就可以猜出最佳参数。Reghai等人【2012年】也讨论了类似的方法，即通过校准程序迭代更新局部波动率函数的水平。在下一节中，我们计算模型隐含波动率的局部波动率函数的水平和偏差，并使用它们来实现我们的迭代校准策略。4.3迭代校准策略我们可以将使用dynamics（7）获得的普通香草选项的价格与在黑色框架中获得的价格联系起来。

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2022-6-10 13:08:26

我们引入了黑色公式cBSpt，k，σq，取决于到期时间t，罢工k和挥发性σ，如cBSpt，k，σq：“Φpy `σ？tq'kΦpyq，y：'σ？tlog k'σ？t（17），其中Φ是累积高斯分布，所有价格都是前向价格的标准化w.r.t。然后，我们可以写出bspt，k，σpt，kqq：“cpt，kqa是隐含黑色波动率σpt的定义，kq是ta0的定义。另一方面，扩展的Du pire方程（14）命题4.1中得到的结果可以通过ηpt给出的局部波动率函数η来求解，kq“2pBt ` aptq ` aptqp1'kqbkqcbsp，k，σpt，kqqkbkcbsp，k，σpt，kqq（18）其中买入价现在计算为黑米。由于上述关系，我们可以根据模型隐含的波动率计算局部波动率函数的水平和偏差。特别是，我们对小额到期债券的限制感兴趣，并对围绕货币价值的执行价格感兴趣。通过链式规则计算（18）的右侧，然后取前导项，得到局部波动率对模型隐含波动率的显式依赖关系。为了做到这一点，我们必须将Berestycki等人[2002]的结果推广到均值回复局部波动性过程，这确保了当到期时间接近零时隐含波动性函数的极限的存在。我们有以下建议。第4.2条。（局部波动函数的水平和偏斜）如果标准化现货价格遵循命题4.1的动力学，则存在以下限制：σp0，kq：“limt~n0σpt，kq”log k^zkdxxηp0，xq'1（19）E.Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模14，与平均反转速度的值无关。

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可人4

2022-6-10 13:08:29

此外，在零到期时间限制和货币罢工时，局部波动率函数的水平和偏斜与ηp0给出的隐含黑色波动率的水平和偏斜相关，1q“σp0，1q，Bkηp0，1q”2Bkσp0，1q（20）证据附录A中给出了预测结果。可以利用命题4.2给出的结果来调整校准过程的迭代算法，以产生快速收敛。我们在下面描述我们的校准策略。1、我们认为平均反向速度a是给定的。我们在下一节中说明了我们可能采取的一些策略，以确定其价值。2、然后考虑局部波动率函数，将局部波动率函数ηp0qt的节点设置为等于市场波动率。当局部波动率在节点ηp0q上插值时，我们计算从PDE（14）得到的即期波动率σp0q。4、我们将σp0q与σmkt进行比较，如果距离在给定的阈值范围内，我们将优于算法。否则，算法将进入下一步。5、我们调整局部波动性参数时，考虑到小时间到到期日的t阶修正，以及在M次接近波动性水平时的t阶修正，以及命题4.2中推导的偏斜，如ηp1qij“ηp0qijσmktijatmσp0qijatm` 2BσmktijBk'Bσp0qijBk,所示kjtj‰jatmuwhere Jatmu是指货币期权的执行指数。我们用ηp1q重复第三步的算法。然后，重复迭代直到收敛，或直到达到最大迭代次数。我们的校准策略可以看作是一种定点算法。我们可以通过安德森（Anderson）加速（AA）定点算法大大提高收敛速度，如安德森（Derson）[1965]所述，后来在沃克（Walker）和倪（Ni）[2011]中进行了审查。

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2022-6-10 13:08:32

AA算法通过在每个步骤上考虑之前步骤中测量的误差，改进了标准定点算法。我们通过以下伪代码1描述算法：程序AA（x，f，，m）2：iD13：xDfpxq4：repeat5：miDmintm，iu6：fpiqDtfpxi'miq，f像素。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》150 10 20 30 40 50'10'7'4'1迭代微笑+Skewsmilea微笑+skewAA微笑图2：校准2017年11月2日在onICE市场上报价的65个阿拉伯式期货期权，有无安德森加速计划（AA）。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。7： epiqDtfpxi'miq'xi'mi，fpxiq'xU8：αpiqDarg mint}αpiq¨epiq}u受rmij“0αpiqj”约束，在大多数情况下，在15-30次迭代中，波动率空间的校准误差为基点的十分之一。我们在图2、3和4中显示了收敛速度。蓝线指的是一种校准策略，其中本地波动率函数的水平和偏差都会更新，而r线指的是仅更新水平的校准策略。虚线表示标准的执行点迭代，实线表示AA迭代。我们的目标校准策略是蓝色实线，而Reghai等人[2012]的校准策略是红色虚线。在前面的示例中，平均值反转的速度设置为零。

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mingdashike22

2022-6-10 13:08:35

在图5中，我们展示了均值回归速度不同值的WTI校准的收敛结果，以及由此产生的货币本地波动率函数和市场波动率。正如之前在Remark3.1中所述，我们记得，在特定的市场条件下，例如，当波动性随着时间的推移而大幅下降时，校准程序可能会失败，s mall值为a，尤其是“0.在这种情况下，引入均值反转是匹配市场波动性所必需的。E.Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》160 10 20 30 40 50'4'3'2'1迭代微笑+Skewsmilea微笑+skewAA微笑图3：2017年11月2日在有无Anderson加速方案的市场上对125个铜期货期权进行校准（AA）。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。0 10 20 30 40 50'4'3'2'1迭代smile+skewsmileAA smile+skewAA smile图4:2018年5月23日在有无Anderson加速计划（AA）的市场上报价的WTI原油期货100个期权的校准。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》170 10 20 30 40 50'7'5'3'1迭代“0.0a”0.5a“1.0a”1.50 5 10 15 200.20.30.40.5下个月的未来图5:2018年5月23日在中东市场上报价的WTI原油期货100个期权的校准，平均反转速度从0到1.5不等，步长为0.5。

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2022-6-10 13:08:39

在左侧面板上，我们显示了校准误差或，而在右侧面板上，我们显示了货币本地波动率（蓝色）和市场波动率（红色）。4.4平均回归速度的校准如果我们只看普通香草价格，我们无法以一种近似的方式确定平均回归速度参数。事实上，我们可以很容易地将局部波动率函数校准为普通期权价格，以获得不同的平均反转速度选择，如图5左侧的理想面板所示。我们需要不同的策略来确定此参数。一个自然的解决方案是丰富我们的校准集。例如，我们可以看看中间曲线期权（MCO）和日历价差期权（CSO）的价格，这通常是大宗商品市场的报价。在这里，主要的问题是这些液体并不总是液态的。此外，我们将在下一节课中讨论的包括曲线和微笑动力学在内的模型的一般规格，导致了不适用于校准目的的耗时定价算法。因此，确定均值回归速度的一种可能策略是遵循Drimus和Farkas【2013年】的规定，通过要求均值回归速度固定，以使局部波动函数的斜率最小，来解决股票市场中出现的类似问题。我们留给未来的工作是对这个问题的全面探索。然而，如果MCO或CSO价格具有足够的流动性，如果我们限制自己通过实际现货价格来建模期货价格，我们可以得出一个简单的校准算法。事实上，在这种情况下，我们可以使用现货期货关系（10）将不定期到期日的普通Vanilla期权和期货价格上的价差期权映射为实际现货价格上的标准普通期权。

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2022-6-10 13:08:42

这种方法在spir it方面与takenbyAndersen和Piterbarg【2010】在推导s期权价格的局部波动模型时的方法类似。商品期货MCO是欧洲看涨期权，期权合约的到期日早于基础期货合约的到期日。因此，定价公式简单地由等式（3）和（4）给出，期权到期日在标准普通期权到期日之前。商品期货CSO是两个不同期货合约之间的扩展期权。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场18中对同一商品的微笑建模，即支付“FIDTe”FIDTe“K”，其中tei是价差期权行使日期，而IDand ida是两个期货的识别者。如果实际现货动态保持不变，通过使用方程式（10），我们可以为未来风格的保证金案例写下“Et'fteplastq'fteplastq'K'”`“$”“”“”“”“&”“%A cpTe，Bq如果Aa0，Ba0A p1'Bq如果Aa0，Bd0'A pcpTe，Bq'B'1q如果Aa0，Ba00如果Ad0，Bd0我们定义，Tlast，Tlastq：“FpTlastqe'TlastTeapuqdu'FpTlastqe'TlastTeapuqdu'，Tlastq：“1 ` K'FpTlastq'FpTlastqApTe，Tlast，tlastq我们用真实的市场数据测试了这些结果。我们假设平均回归a的速度与时间无关，我们考虑了WTI市场的情况。特别是，我们考虑了两个连续期货的CSO，我们可以将其称为CL1和CL2。这些期货的到期时间是连续两个月。我们可以从普通香草市场上读取这类期货的波动率σ和σ。另一方面，市场引用CS操作，我们可以用规范化的方式表达。

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可人4

2022-6-10 13:08:45

我们假设，仅出于报价目的，未来价格遵循对数正态动力学，我们将它们之间的相关性设置为1，因此CSO价格会导致一维积分。VCSOtpTe、Tlast、Tlast、，Kq“z'8'FpTlastqe'pσqTe'σ？Tex'pσqTe'σ？Tex'K'φpxqdx（21）其中，TEI是CSO到期日，TF是CL1的最后交易日，TF是CL2的最后交易日，K是CSO履约价格，φpxq是标准正态变量的密度函数。一旦知道CSO的市场价格，我们就可以将上述方程倒置，得出σ。在图6中，我们绘制了日历sp读取期权对两个连续期货合约的波动率下降影响，即差异σ'σ。我们可以看到a的值“0.5 fit大多数市场报价。如果我们希望更好或更准确，我们可以将a推广为时间依赖型。在这里，我们使用日期下标来区分期货t最新日期，而不是像第2节那样区分一段时间的开始日期和结束日期。该方程实际上有两个正解：我们任意选择较小的一个来定义我们的报价指标。例如Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》190 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6到期图6:2018年5月23日在CMEmarket上引用的WTI原油1个月日历价差期权。红点代表前18个报价到期日的波动率下降，而蓝线是模型隐含波动率下降，平均回归值从1.5到0，以0.5.5曲线和微笑动态为步长，从顶部到底部f，我们可以使用标准化现货过程对所有期货期权进行单PDE评估。通过这种方式，我们隐式地获得了未来精神的边际概率密度。

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2022-6-10 13:08:48

现在我们来看两个或多个期货价格之间的j点概率密度，以及每个期货动态中的转移密度。通过这种方式，我们将能够建模曲线和扭曲动力学。5.1马尔可夫预测通过引入新的风险因素，可以更灵活地描述联合概率密度和转移密度。通常，通过允许每个期货价格由其自身的随机过程驱动，可以对复杂曲线动态进行建模，而微笑动态可以通过随机波动过程进行建模。特别是，SLVmodel一词用于指波动率既取决于现货价格又取决于其他随机过程的模型。在这里，我们扩展了随机局部波动性框架，也允许曲线动力学。SLV模型首先在EN等人[2007]中提出，并描述了基于Gy"ongyLemma应用的实际校准程序，参见Gy"ongy[1986]，ich说明了在何种条件下，局部波动模型的边际密度与局部波动模型预先限制的密度相匹配。我们的目的是促进每个期货价格由不同的SLV模型驱动，同时限制自由参数的数量，因为大宗商品市场除了我们校准本地波动率模型时已经使用的普通期权外，还引用了少数衍生合约。我们首先考虑期货价格的一般随机波动性动力学dftpt q“νtpT q–dWFt（22）E.Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模20，其中F是期货价格的向量（每个条目指不同的报价到期日），νisan适应向量过程，以及风险中性度量下标准布朗运动的WFa向量。

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2022-6-10 13:08:51

符号a–b是指向量a和向量b之间的内积。我们感兴趣的是保持期货价格的边际密度，而不是标准化现货价格的边际密度，因此我们将戈恩基引理直接应用于期货动力学。因此，我们可以校准SLV模型，以匹配本地波动率模型预测的期货价格的边际密度，进而匹配市场上所报的普通期权期货价格，通过要求νsatifiese“}νtpT q}ˇFtpT q“K‰”ηFpt，T，Kq（23），其中期货价格的局部波动在等式（12）中定义.我们记得，按照这种方法，我们不能再使用第4.4节的结果，因为我们正在改变期货动态，只保持边际密度不变，因此未来利率的依赖结构可能会改变。因此，如果我们沿着这个方向前进，我们还必须为平均回复p参数设计一个新的校准程序。5.2多个驱动因素正如我们在第4.4节中所看到的，单因素均值回复归一化即期动态方程（7）可用于恢复CSO市场报价，进而描述未来波动性在期货到期日附近如何下降。

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mingdashike22

2022-6-10 13:08:54

另一方面，如果我们对期货之间的依赖性建模感兴趣，例如，我们对短期和长期期货合约之间标的期权价格的最终相关性感兴趣，我们应该引入更多的驱动因素。事实上，如果我们在单因素回归局部波动率模型中计算两个期货价格之间的终端协方差，我们可以使用方程（10）CovrFtpTq，FtpTqs“FpTqFpTq''''''E“st''1'E''Ttapuqdue''''1'领先于CorrrftpTQ，FtpTqs：“CovrFtpTq，FTPTQSavarrftqsvarrfttpTQS“1这意味着，在单因素模型中，由于每个期货合约的波动率，而不是模型给出的特殊相关性结构，CSO市场报价得以恢复。因此，如果我们需要对终端相关性建模，我们需要更多的驱动因素。然而，如果我们希望保持对普通期权的校准，我们需要确定期货价格的动态满足方程式（23）的es。一种简单的方法是通过将波动率向量过程定义为νtpT q来考虑二维模型：“ηFpt，T，FtpT qq"ρpT qa1'ρpT q（24）式中，ρpT q是期货到期日的函数，其在区间r'1，1s内有界。通过这种选择，DXF pTq给出了两种不同期货之间的瞬时相关性，F pTqyt“'ρpTqρpTq'ap1'ρptqp1'ρpTqq'dt和终端相关性不再是幼稚的。通过求解相应的二维定价偏微分方程，可以实现均值回归和相关参数与市场报价的校准。例如，Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》215.3随机波动性扩展如果我们希望也对微笑建模动力学我们需要引入一个s-to-castic-volatilityprocess。

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2022-6-10 13:08:58

二维过程νtpT q给出了一个可能的简单公式：“vtηFpt，T，FtpT qqbE”vtˇFtpT q‰ρpT qa1'ρpT q（25）如inRen等人【2007】所述，在风险中性度量下，波动性过程vt可以定义为byd log vt“\'1\'e\'2tξ` log vt˙dt`ξdWvt，v”1，dxWF，Wvyt“·ρvρvdt（26），其中漂移部分定义为E“vt‰”1，而相关参数ρvisbound in“\'？，？i. 可以分析波动过程的其他规定，如经典CIR模型，或最近的建议，如asTataru和Fisher【2010】或Kerer等人【2016】的多项式模型。volξ的vol和关联式tρpTq，ρptnq和ρvare-free参数可校准为奇异期权，如不同交割期限的期货期权、价差期权、MCO或CSO。此外，当考虑完整的SLV规范时，均值回归速度可与这些参数一起校准。注意，这里的CSO不能轻易地映射到普通选项中以节省计算时间。我们将校准程序的设计留给了未来的工作，该程序处理从方程式（25）导出的三因素动力学。当系数取决于条件密度时，模型动力学的蒙特卡罗模拟可以按照Guyon和Henry Labordére【2012】或Van der Stoep et al【2014】的设计。这两种方法都是从局部波动率函数的知识开始的，因此它们不需要普通期权的明确校准步骤。6结论和进一步发展在本文中，我们提出了一个商品期货衍生品合约的SLV模型，包括远期曲线和微笑动力学，其特点是通过简化参数化来处理市场上报价的有限数量的期权。

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