现货期货与商品市场的无套利关系

2022-5-7 07:21:19

现货期货商品市场中的无套利关系*RenéA"id+，Luciano Campi，Delphine Lautier§2018年2月27日摘要在商品市场中，在合同到期时，期货价格向spo t价格的趋同通常由无套利论据证明。在本文中，我们提出了一种替代方法，该方法依赖于代理人的预期利润最大化问题，即在相关未来合同中交易时生产和储存商品。在此框架下，现货和期货价格之间的关系通过最大化问题的适定性得以保持。我们证明了期货价格仍然可以被视为到期时现货价格的风险中性预期，并提出了一个明确的远期波动率公式。此外，我们提供了一个启发式分析的最佳解决方案的生产/储存/贸易问题，在马尔可夫设置。在电力等能源商品的情况下，这种方法尤其有趣：当标准的无套利论点无法安全应用时，这种框架确实仍然适用于以可储存性约束为特征的商品。关键词：期货合约；无套利关系；商品生产；存储能量JEL代码：C32；G13；问题4；Q02。*这项研究得到了EDFand CACIB赞助的金融和可持续发展主席的支持，并由巴黎理工大学、巴黎大学、巴黎理工大学和克雷斯特大学主办。+巴黎多芬大学，巴黎理工大学，莱达通讯作者；伦敦经济学院统计系。邮政地址：伦敦霍顿街10号伦敦经济和政治学院哥伦比亚大厦统计部，WC2AE。

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2022-5-7 07:21:22

电邮：l。campi@lse.ac.uk§巴黎多芬大学、PSL研究型大学、DRM UMR CNRS 7088和FiME实验室——三月能源金融实验室。1简介在这篇文章中，我们的目的是通过一个简洁的模型来解释一种商品的现货价格和未来价格之间的关系。价格关系源于参与商品生产和（在可能的情况下）储存的操作员的优化问题的适定性。这家生产商也在未来的市场上交易。这种方法不同于通常用来解释商品市场时间基础的经典无套利推理。有趣的是，当标准的无套利论据无法安全应用时，它仍然适用于不可储存商品。传统的无套利关系最初是针对股票和债券等投资资产发展起来的，它指出，在t日观察到的在t交割的投资资产合约的期货价格F（t，t）是在t和t之间的利率r下资本化的现货价格ST:F（t，t）=Ster（t）-t）。然而，运输商品的成本不能降低到利率。需要考虑仓库和/或折旧成本（见Fama and French，1987[24]或最近的Eydeland，2002[23]，第4章，第140-43页）。在分析中引入存储成本甚至不足以描述商品市场中价格传播的行为：此外，还需要解释负面预期，以及同时存在正向库存和反向价格（参见1933年工作[42]）。无套利关系只能通过引入一个额外变量来保持：便利收益率（见Kaldor，1940[27]或最近的Lautier，2009[30]）。后者代表着隐性收入。

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2022-5-7 07:21:25

这种收益率的存在与实物商品的持有有关，但与未来合同无关，这说明即使存在负价差，经营者也会保持库存。随着这个变量的引入，无套利关系扩展到：F（t，t）=Ste（r-y）（T）-t），其中y是扣除存储成本后的便利收益率。文献中已经广泛建立了明确设计用于商品衍生品定价并依赖便利收益率概念的金融模型（参见Lautier，2005[29]的综述）。这些模型表现良好，尤其是Schwartz（1997[40]）提出的双因素模型，其中便利收益率是均值回复，并在现货价格漂移中发挥股息收益率的作用。然而，在这种情况下，现货和期货价格之间的关系依赖于套利操作完美的假设。因此，存在一种独特的风险中性度量，可以根据市场数据进行校准。此外，在这种分析中，现货价格是外生的。在经济和金融文献中进行了一项研究，以提出依赖内生现货价格来解释现货和期货价格之间相互作用的结构性模型。在这种情况下，现货价格来源于商品的生产、消费和储存。在这种情况下，s罐价格是生产和消费平衡的结果。期货价格定义为对现货价格的预期。在这篇文献中，我们的模型与Brennan（1958[14]）和Routledge等人（2000[38]）的模型接近。在这些工作中，作者开发了将现货和期货价格联系起来的生产存储模型。

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2022-5-7 07:21:28

然而，这些模型的开发主要是为了允许比较静态和很少关于无套利条件的信息。然而，这并不意味着我们的框架仅与n有关的可存储商品，如电，也不意味着它专注于具有可存储输入的商品（A"id等人，2009年和2013年[1,3]）。当在t日，期货价格F（t，t）高于现货价格St时，出现正价差（续价差）。负价差（回差）是指F（t，t）<St.保持不变的情况（对于Routledge等人（2000[38]）的模型尤其如此）。过去三十年电力市场的发展给商品价格文献带来了新的挑战。更准确地说，由于电力无法储存，商品的期货价格通过便利收益率与其现货价格挂钩的观点一直备受争议。许多作者认为，便利收益率可能不适用于电力。尽管如此，电力的期货价格仍然表现出连续和反向两种情况（Benth等人，2013[11]）。其他人也强调，应重新考虑数学金融中用于获得风险中性度量的无套利方法（Benth等人，2003[7]）。最后，由于在这些市场上谈判的未来合同（基本上是掉期，见Frestad，2010[10]）的特殊性质，甚至期货价格与现货价格的趋同也成了一个问题（Viehmann，2011[41]）。由于在电力方面，衍生品的定价不能依赖于便利收益的概念——至少在其有限的初始定义中，收益来自库存持有——这种不可存储的商品促进了关于如何存储现货和期货价格之间关系的研究。

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2022-5-7 07:21:32

第一种方法依赖于两个日期均衡模型（Anderson和Hu，2008[5]，Bessembinder和Lemmon，2002[12]，Aid等人，2011[2]），其中风险中性度量是从代理人的风险规避参数中提取的。一种更复杂的方法是将市场扩展到基础资产之外，包括生产因素（A"id等人，2009年和2013年[1,3]）、生产限制（Bouchard和Nguyen Huu，2013[13]）或天然气储存水平（Douglas和Popova，2008[22]）。在本文中，我们提出了一个分析，其中期货价格可以通过套利参数与现货价格相关联，与标的资产的可存储性无关。然而，这并不意味着该模型是专门为不可储存商品设计的，例如Benth等人（2007[8]和2008[9]）、Meyers Brandisand Tankov（2008[32]）和Hess（2013[25]）等。我们的框架可以应用于任何商品，无论它是否可储存。这对在大宗商品期货市场上运营的大量工业公司非常有用，例如能源公用事业公司、航空公司、金属或农产品的生产商和加工商。这类公司的利润最大化依赖于现货价格和期货价格。在我们的框架内，一旦选择了现货价格模型和需求风险的市场价格，就只有一个期货价格模型符合它们的优化过程。文章的剩余部分组织如下。首先，我们首先提出了一个简单的生产、储存和交易模型，在该模型中，运营商将其预期效用最大化。该运营商对现货价格没有影响。存储成本和生产函数是凸的。存储容量是有限的。即时存储和提取也是如此。

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2022-5-7 07:21:35

此外，运营商可以进入衍生品市场，在该市场上交易商品期货。合同只在一个到期日进行谈判，期货市场的流动性是无限的。当然，经营者对期货价格没有影响。其次，我们证明了风险中性测度的存在是经营者价值函数不确定性的结果。这一结果与之前在Rogers（1994，[37]）和Ankirchner and Puller（2005[6]）中建立的纯交易者研究结果有关。这一结果意味着，如果没有风险中性措施，运营商可以利用其生产能力或存储设施的优势获得有限的效用。在同一节中，我们还证明了无论商品的可承受性如何，期货价格总是收敛于现货价格。这一结果非常重要，尤其是对电力市场的分析。事实上，有人指出，电力期货价格对实际现货价格的预测相当差（Prevot等人，2004年[35]）。然而，这项研究是针对月度合同进行的，而趋同问题只涉及接近于零的到期日。例如，在德国电力市场上报价的日前期货合同与实际现货价格的一致性较低（s ee Viehmann，2011[41]）。最后，我们讨论了运营商面临的贸易生产问题，并具体说明了需求动态。我们得到了未来合同波动性的显式公式，并将其与商品潜在条件需求的波动性联系起来。此外，我们认为，在马尔可夫环境中，对于具有powertype效用函数的代理，管理存储的最佳命令是bang-bang类型。

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2022-5-7 07:21:38

不令人惊讶的是，储存或撤回商品的决定是基于现货价格与一个储存单位的边际效用与经营者财富的边际效用之间的比率的比较。最后，在这种情况下，期货市场的最佳交易策略是，当期货价格呈现正趋势时，经营者持有多头头寸。2个体生产者的模型本节我们提供了生产、储存和交易的简单模型的完整描述。这一模型将在整篇文章中使用和研究。为了便于阅读，证据都集中在附录中。让(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，P）是一个满足通常条件的过滤概率空间，即（Ft）是一个P-完全且正确的连续过滤。此外，为了数学上的方便，我们假设-= FT.当（FT）是由多变量布朗运动产生的自然过滤时，该性质是满足的。本文中考虑的所有过程都假定在此空间中定义并适应此过滤。我们的代理人是一种商品的生产商。他还从事相关衍生品市场的交易。这位制作人是个价格接受者。在实体市场上，他有可能在特定日期出售他生产的全部产品，或更少（他然后储存部分产品），或更多（他然后减少库存）。在衍生品市场上，他有可能买入或卖出一定数量的独特期货合约。他的选择取决于他所面临的价格条件，包括实物市场和衍生品市场。接下来，我们将首先关注实体市场。

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2022-5-7 07:21:41

然后我们将揭露衍生市场上的交易活动。2.1在实体市场上，代理人有可能决定自己的产量，并动态管理自己的股票。他的瞬时概率πt可以写成如下：πt=（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）（2.1）式中：oQT是代理人的产量，out是储存（ut>0）或提取（ut<0）的金额，oSTI是商品的现货价格，oc:R+→ R是生产函数，c（0）=0，ok:R+→ R是存储函数，k（0）=0，ox是时间t的存储水平。假设1。我们假设函数c和k都是可微分的、严格递增的、严格凸的和非负的。此外，我们将始终在以下关于现货价格动态的假设下工作：假设2。设（St）为有界连续过程。生产商在实体市场上面临几个限制。他们可以总结如下：o代理人的产量不能超过其能力q:qt∈ [0，q]对于某些q>0；o瞬时存储和提取是有限制的，ut∈ [u，u]对于给定的阈值su<0<u；o存储容量本身受到someX的限制≥ 0，这样我们就可以在现有的库存上加上p positivityConstraint∈ [0，X]a.s.适用于所有t∈ [0，T]；o存储动态为：dXt=utdt，X=u>0。为了简化，我们假设商品的生产不存在不确定性。不确定性的唯一来源来自需求方，这对于大量大宗商品来说是合理的。2.2衍生产品市场上的交易活动在衍生产品市场上，对于给定的到期日t>0，只有一份期货合约可用。本合同在t时的价格为Ft=F（t，t）。我们假设期货价格过程（Ft）是一个连续的半鞅，与过滤（Ft）相适应，并且利率为零。

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2022-5-7 07:21:44

本合约上交易组合的价值由以下公式给出：VθT=^TθtdFt（2.2），其中θ是任何实值可预测（Ft）-可积过程，使得θT-:= 极限↑我们认为期货市场是流动的，这在这种情况下是标准的。从实证角度来看，这是一个非常大的商品品种的情况，尤其是短期到期。然而，至少到目前为止，对于电力市场而言，这一点并不那么明显（A"id，2015[4]，第2章，第2.2.3节）。2.3生产交易问题作为商品生产者，代理人的行为是为了最大化其终端财富的预期效用。他的效用函数U:R+→ [-∞, ∞ [满足INDA条件，且U（x）→ ∞ 每当x→ ∞.

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能者818

2022-5-7 07:21:47

此外，我们还假设：→∞xU′（x）U（x）<1在这种情况下，我们提出了以下生产交易问题：v（r）：=supu，q，θEUr+^Tπtdt+VθT+θT-（英国《金融时报》- （圣）（2.3）式中：or>0是运营商的初始财富，oπ是实物市场上的瞬时利润，表示为方程式（2.1）给出的生产和储存数量的函数，oVθ是方程式（2.2）给出的期货市场中交易组合的价值，oθt-（英国《金融时报》- ST）可以用未来合同到期时的交付条件来解释（见下文离散时间情况的启发式讨论）。控制措施（u、q、θ）必须满足以下附加约束条件：o对代理人财富的约束，以防止不定期借款：Rr、u、q、θt:=r+^tπsds+Vθt+θt-（英国《金融时报》- ST）1（t=t）≥ -a、 t∈ [0，T]，（2.4）对于某些阈值a>0，生产存储控制（ut，qt）T∈[0，T]是关于过滤（Ft）的可预测过程，它们满足前面第2段中描述的约束条件。1.离散时间启发法。现在让我们提供一些离散时间的启发式方法，以便更好地解释连续时间问题（2.3）的形式。交易商-生产商的终端总财富，其生产（例如）燃料能源，并在有限时间网格{0,1，…，T}上与T进行能源期货合约交易∈ N可以写成：RT=T-1Xt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-1Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1FT-1.- hTST- c（qT）- k（XT）式中，Ht是指在合同到期日为完成期货市场承诺而购买或出售的数量，即。

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2022-5-7 07:21:50

这是这样的：θT-1=hT+qT- 因此，终端总财富b ecomes:RT=TXt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-2Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1英尺- ST）=TXt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-1Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1英尺-1.- ST）（2.5），构成方程式（2.3）中效用函数中出现的总财富的离散时间模拟。注意，我们假设F在时间上是连续的，所以特别是FT-= 自由贸易协定s、在下面的内容中，我们证明了问题（2.3）处于良好状态的一个必要条件是等式FT=ST，这样第三个和在方程（2.4）中消失。我们的目标是从方程（2.3）所描述的问题的适定性出发，推导出将现货和期货价格联系起来的无套利条件，即证明存在一些等价的概率测度Q，即Ft=EQ[ST | Ft]，t∈ [0，T]并显式计算未来价格。3.最优解的存在性和现货期货无套利关系在本节中，我们推导了最优解（q）的存在性和唯一性*, U*, θ*)对于优化问题（2.3）。同时，我们得到了现货和期货价格之间的无套利关系，以及到期时间为零时期货价格与现货价格的收敛性。此外，我们还证明了最优产量Q*即使在这个通用框架中也可以显式计算。出于解释性原因，其他最佳数量（储存和交易活动（u*, θ*))将在下一节中给出。我们提醒读者，所有的证据都可以在附录中找到。假设3。设v（r）<∞ 对于一些初始财富r>0。期货与现货价格的趋同和无套利关系。

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2022-5-7 07:21:53

我们的第一个结果表明，只要我们的优化问题是适定的，当到期时间趋于零时，期货价格必须收敛于现货价格。即使合同的基础商品是不可储存的，这也是事实。提议4。在假设3下，我们得到了FT=ST。在证明我们的优化问题的解的存在之前，我们从v（r）的完整性推导出了期货合约的无风险性。这是下一个命题的内容，该命题改编自Ankirchner and Mkeller（2005[6]）中命题1.2的论点，在该命题中，从最优纯投资问题的适定性推断出简单交易策略不存在风险为零的免费午餐（此后为NFLVR）。我们参考Delbaen和Schachermayer的文章（1994，[20]）了解NFLVR的定义，以及他们对资产定价基本定理的著名版本的证明。在这篇文章中，我们推导出更强的东西，即NFLVR的变体，不仅用于（简单的）交易组合，也用于生产和储存。更准确地说，让我们为我们的设置重新定义NFLVR条件。我们记得，简单交易策略θ是α1]τ，τ]形式的策略的任何线性组合，其中α是有界的Fτ可测量随机变量，τ和τ是过滤（Ft）的[0，T]值停止时间。定义5。一顿免费午餐，带有消失的Ris k，带有简单的交易策略、生产和储存，是一系列可接受的计划（qnt、unt、θnt），n≥ 1，这样：（i）每个θ都是一个简单的交易策略，（ii）R0，nT:=R0，qn，un，θnta.s.向某个非负r.v.收敛。

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2022-5-7 07:21:57

rtp（RT>0）>0和（iii）k（RnT）-K∞→ 0作为n→ ∞.我们会说，如果模型中没有此类可接受的计划，则具有简单交易策略、生产和储存的NFLVR是令人满意的。请注意，由于生产和存储控件是有界的，因此存在一个constantTM>0，使得|'Tπtdt |≤ M表示任何可容许的（q，u），给出瞬时概率πt。这一事实将用于证明以下结果。提议6。在假设1、2、3和所有r>M的情况下，我们得到v（r）<∞意味着NFLVR具有简单的交易策略、生产和储存。特别是，具有简单交易策略和期货价格（Ft）的NFLVR也适用。请注意，前面的结果并不一定意味着期货价格（Ft）存在（局部）鞅测度Q，因此也不意味着著名的公式Ft=EQ[ST | Ft]。事实上，为了存在这样一个度量，我们的模型也应该满足经典的无轨道（NA）条件（参见[20]中的定理9.7.6]）。这是本文后面需要强调的一点。存在与分离原则。前一个收敛结果的直接结果是以下分离原则，即解决我们的优化问题相当于首先最大化生产控制q，然后最大化存储和交易控制（u，θ）。另一方面，最大限度地提高产量也可以分两步进行。让我们表示：v（r）=s upu，q，θEhUr+YqT+ZuT+VθT我在这里设置qt:=^T（qtSt- c（qt））dt，ZuT:=-^T（utSt+k（Xt））dt我们可以分两步解决我们的问题。首先，我们求解v（r）关于生产控制q（对于给定的u，θ）；其次，我们对控制（u，θ）进行求解。让我们从生产开始。提议7。

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2022-5-7 07:22:00

在假设1、2、3下，对于任意给定的可容许投资策略θ和存储策略u，最优生产控制q*是byq给的*t=（c′）-1（街）∨ “q，t∈ [0，T]（3.1）参见[20]中的定义9.2.8。让我们指出*T:=Yq*T=^T（q*tSt- c（q）*t））DTQ*由（3.1）给出。现在，让我们考虑最优存储/交易问题v（r）：=supu，θEhUr+Y*T+ZuT+VθTi（3.2）下一个结果建立了一个唯一的最优存储/交易策略（u*, θ*).提议8。在假设1、2和3下，存在唯一解（u*, θ*) 问题（3.2）。上述交易-生产问题可以通过连续步骤解决，这并不意味着最优控制是独立的。只有生产控制q可以独立于u和θ导出。事实上，由于生产者对现货价格没有影响，他的最佳策略就是将边际生产成本与现货价格相等。因此，无论是否存在期货市场，人们都会观察到相同的生产水平q。对于最优存储策略u和最优交易策略θ，情况并非如此：它们不是独立的。这一事实有两个后果。首先，期货市场的引入改变了存储容量的管理方式。这一点可能有助于对库存水平和价格之间关系的计量经济学分析。

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可人4

2022-5-7 07:22:04

第二，一旦工业过程包括储存活动，交易就不能与储存分离，而不会造成价值损失。在组织工业公司的贸易活动时，应考虑到这一点。4最优生产交易问题在这一节中，我们在一个简单的环境中说明了在前面几节中开发的ap方法是如何导致期货价格的一致模型的。我们用需求动力学的具体形式讨论了经营者面临的交易生产问题。然后我们确定期货合约的波动性，并将其与潜在条件需求的波动性联系起来。4.1社区需求的动态为了说明前面的方法，我们使用了一个简单的需求动态。特别是，由于我们的目标不是提出一个能够匹配所有程式化事实的模型，所以我们不包括易用性和跳跃等特性。在商品市场上，现货价格取决于实物市场上原材料的可用性。在我们的模型中，这种可用性是通过市场总容量和商品需求的对抗来衡量的，方式如下：St=b·g（`C- Dt）·f（Dt）（4.1）b为维度标准化常数，\'C>0市场的最大可用生产和储存能力（供应常数），Dt商品的总外生需求（这是一个（Ft）适应的连续过程），f（D）需求水平D的生产和储存的边际成本。由于库存存在非负约束，当总产能不足以完全满足需求时，现货价格可能会飙升至非常高的水平。

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2022-5-7 07:22:07

稀缺性函数g:g（x）=1x>0·min（1/x，1/）+1x<01/捕捉到了这种行为主义。Buyuksahinet al（2008[15]第56页，第10页）中的石油案例清楚地说明了稀缺性对商品价格的影响。在A"id等人（2013[3]）的电力现货价格案例中，已经成功实施了特定形式的电价。由于生产优化问题已在第（7）项中得到解决，因此仍然需要处理：v（x）=supu，θEhUx+Y*T+ZuT+VθT我在哪里*T=^T（q*tSt- c（q）*t））dt，t∈ [0，T]。和q*（3.1）中的助教。我们记得，ZuT=u+\'\'Tutdt是累积存储量，thatVθT=\'Tθtdfti是在[0，T]期间交易的投资组合。我们假设期货价格过程（Ft）是一个It过程。更准确地说：假设9。设σdTt=0，其中σdTt=0为标准运动。我们用（Ft）表示W和d生成的自然过滤，并用P-null集完成。2.假设期货价格F是一个完整的过程Ft=αtdt+βTdwt，其中α，β是一些（Ft）可预测的实值过程，例如a.s.^T |αT | dt+E^Tβtdt< ∞关于波动率的可积性假设仅具有Ft的（真实）鞅性质，因此非常有用的公式Ft=EQ[ST | Ft]。4.2等价鞅测度和forwar d波动率首先，我们注意到假设9和Ft=ST（参考命题4）意味着Ft=EQ[ST | Ft]，t∈ [0，T]其中Q是期货过程（Ft）的等价鞅测度，这意味着Q必须满足：LλT:=dQdP | Ft=exp-^tλsdWs-^tλsds式中λ是（Ft）适应过程（被视为“需求风险的市场价格”），因此oαt- λtβt=0 a.e。

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2022-5-7 07:22:11

数据处理 dt，o\'Tλsds<∞,o E[LλT]=1。在这一点上，为了完整地描述P下期货价格的动态，我们需要假设需求风险λt的市场价格的一种特殊且易于处理的形式。假设λt=λ（t）+λ（t）Dt，t∈ [0，T]，其中λ，λ：[0，T]→R是确定性函数，因此满足上述最后三个属性。该假设的结果是，期货价格的漂移αtof的形式为αt=（λ（t）+λ（t）Dt）βt，这完全取决于波动率βt。我们将在下文中看到，定义现货价格STin（4.1）的生产函数的特殊形式意味着期货价格过程（Ft）波动率的特殊函数形式。设Q为假设10中需求风险λtas的市场价格对应的等价鞅测度。在这种测量下，需求具有如下特征：dDt=（（a+λ（t）σ）Dt+λ（t）σ）Dt+σDWQT，其中WQI是标准Q-BM。因此，给定的dt的条件分布是在Qis高斯条件下，条件平均mQt，Tand方差∑t，Tgiven bymQt，t=e′Tt（a+λ（s）σ）dsDt+^Tte-\'s（a+λ（u）σ）duλ（s）σds, （4.3）∑t，t=σ^Tte-2’st（a+λ（u）σ）duds。（4.4）为了完成对模型的描述，我们设定了边际生产成本的具体形状。假设11。假设生产的边际成本f等于tof（d）=dα（0）≤D≤M） +Mα（d）≥M），d∈ 关于某指数α∈ （0，1）和一些上限M>0，这样我们的票价条件就满足了。

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2022-5-7 07:22:14

此外，让我≥\'C- .在所有这些假设下，我们可以将现货价格表示为需求量t=ψ（Dt）的函数，其中函数ψ如下所示：ψ（d）=b·dα（0≤d</C-）+dα\'C- d（\'C-≤d<M）+M\'C- d（d）≥M）（4.5）请注意，现货价格始终为非负。根据上述度量Q计算的时间t的期货价格由ft=EQt[ψ（DT）]，t给出∈ [0，T]其中eqt表示给定Ft=FDt的条件Q-期望。我们用hT，Dt（y）表示给定Dt的条件密度，即：hT，Dt（y）=∑t，t√2πexp-（y）- mQt，T）2∑T，T！式中，平均mQt和方差∑t分别在（4.3）和（4.4）中给出。我们认为方差不依赖于Dt。我们可以将期货价格FTA表示为时间t，Dt时需求的函数，如：Ft=~n（t，Dt）=^Rψ（y）hT，Dt（y）dyA简单地应用It^o的公式以及期货价格FTQ下的鞅性质，得出期货价格的波动率β（t，Dt），βt=βTt=σφd（t，Dt）如果我们明确计算期货价格的一阶和二阶导数φ（t，Dt），关于需求，我们得到以下结果，给出了远期动态参数的完整说明。提议12。在假设9、10和11下，最优生产交易问题（2.3）的适定性意味着dft=αtdt+βtdwt，其中αt=~α（t，Dt）=（λ（t）+λ（t）Dt）βtβt=~β（t，Dt）=σ^Rψ（y）y- mQt，T∑T，Te′Tt（a+λ（u）σ）duhT，Dt（y）dyfor all T∈ [0，T]。此外，远期波动率β（t，Dt）在需求中增加。4.3马尔可夫环境中的生产交易优化问题为了完整起见，我们现在提供一个非正式的讨论，讨论在前面的命题中确定的马尔可夫模型中的最优解。让我们假设代理的偏好是权力类型的，即。

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2022-5-7 07:22:17

U（x）=xγ，x>0，其中γ∈ (0, 1).回想一下，我们想要解决的问题如下：v（x）：=sup（u，q，θ）∈AE“r+^Tπtdt+VθTγ#（4.6），其中r>0是初始财富。回想一下，π指的是：πt=（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt），Xt=u+^tusds，而VθT=`Tθtdfti是指在期货市场交易的自融资投资组合的收益。A表示所有容许控制（u，q，θ）的集合。更准确地说，如果：oq=（qt）t，我们将说三重态（u，q，θ）是可容许的控制∈[0，T]和u=（ut）T∈[0，T]是分别在[0，\'q]和[u，u]中具有值的适应过程θ=（θt）t∈[0，T]是任何可预测的实值F-可积过程，使得结果财富在任何时候都是非负的，即r+^Tπsds+VθT≥ 0，t∈ [0，T]问题的相关状态变量是Z=（R，X，D），其中R是agent的财富，即Rt=R+^Tπsds+VθT，T∈ [qt]是由[qt]的状态给出的- ut）ψ（Dt）- c（qt）- k（Xt）+α（t，Dt）θt]Dt+β（t，Dt）θtdWtdXt=utdtdDt=aDtdt+σdWtLet我们引入优化问题的值函数asv（t，r，x，d）=sup（u，q，θ）∈AtE[（RT）γ| Zt=（r，x，d）]，其中at表示从时间t开始的所有容许控制的集合。

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能者818

2022-5-7 07:22:20

相应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（以下简称HJB方程）由下式给出：-及物动词- sup（u，q，θ）∈ALv=0，其中A:=[u，u]×[0，\'q]×R（4.7），终端条件v（T，R，x，d）=Rγ（4.8），其中lv=uvx+advd+[（q-u） ψ（d）- c（q）- k（x）+α（t，d）θ]vr+σvdd+β（t，d）θvrr HJB方程可以重写为0=-及物动词- advd+k（x）vr-σvdd- sup（u，q，θ）∈A.uvx+[（q-u） ψ（d）- c（q）+α（t，d）θ]vr+β（t，d）θvrr重新排列给定的术语0=-及物动词- advd+k（x）vr-σvdd- sup（u，q，θ）∈A.（vx）- ψ（d）vr）u- （c（q）- qψ（d））vr+α（t，d）θvr+β（t，d）θvrr（4.9）我们立即从上述HJB方程中注意到，存储管理的最佳候选规则是*t=u1（ψ（Dt）vr>vx）+u1（ψ（Dt）vr≤vx）（4.10）为了简化符号，我们从值函数vr和vx的导数中删除了参数（t，Rt，Xt，Dt）。根据一个存储单元的边际效用与现货价格之间的比率η=vx/ψ（d），以最大容量购买和存储或以最大容量提取和出售是最佳的。有人可能认为，这个比率应该简单地与1进行比较。事实并非如此，因为它必须与一个财富单位的边际效用vr进行比较。正如递减部分末尾所指出的，我们看到存储控制取决于财富，因此取决于交易活动。此外，上述启发式计算证实了一个事实，即生产的最优控制是生产，直到边际生产成本等于现货价格，即方程（3.1）。最后，通过求解（4.9）中的最大化问题，给出了交易组合的最优控制θ*t=-α（t，Dt）β（t，Dt）VRR（t，Rt，Xt，Dt）（4.11）由于U是凹的，所以vrris很可能是负的，因此可以恢复预期结果，即如果期货价格呈现正趋势，经纪人持有多头仓位。

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2022-5-7 07:22:23

此外，θ*与夏普比率类似，夏普比率是指期货价格的预期趋势与其波动性之间的权衡。请注意，为了严格解决优化问题，应该证明Cauchyproblem（4.7,4.8）允许一个具有所需正则性和平均定理的唯一解。这可以通过使用Pham（2002[33]）中开发的技术来实现，例如，对于一大类多维随机波动率模型。然而，将这种方法应用于我们的环境将远远超出本文的范围。5结论在本文中，我们建立了一个商品价格的简约结构模型，可以通过套利论证解释现货和期货价格之间的关系。这一结果适用于每一个底层组件，不管它是否可存储。我们证明，风险中性度量的存在是经营者价值函数的不确定性的结果，并且无论商品的可储存性属性如何，期货价格都会收敛于现货价格。最后，我们讨论了代理人面临的交易生产问题的解决方案，并对需求动态进行了具体说明。我们展示了不同的控件是如何被分离的。特别是，最优存储策略受到期货市场交易可能性的影响。参考文献[1]A"id，R.，Campi，L.，Nguyen Huu，A.和Touzi，N.电力价格的结构风险中性模型。国际期刊。《理论与应用金融学》，2009年，12（7），925-947。[2] A"id，R.，Chemla，G。，Porchet，A.和Touzi，N.，对冲和垂直整合非弹性市场。管理科学，2011，57（8），1438-1452。[3] A"id，R.，Campi，L.和Langrené，N.，一个用于定价和对冲电力衍生品的结构风险中性模型。

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2022-5-7 07:22:26

数学金融，2013，23（3），387-438。[4] 《电力金融》（2015年，埃尔伯里德）。[5] Anderson，E.J.和Hu，X.，电力市场中的远期合同和市场力量。《工业组织国际期刊》，2008年，26679-694。[6] Ankirchner，S.和P.Imkeller，P.，具有不对称信息和价格动态结构特性的金融市场上的有限效用。亨利·彭加勒研究所年鉴，2005年，41479-503。[7] Benth，F.E.，Ekeland，L.，Hauge，R.和Nielsen B.F.，关于能源市场远期合约无套利定价的说明。应用数学金融，2003，10（4），325-336。[8] Benth，F.E.，Kallsen，J.，Meyer Brandis，T.，电力现货价格建模和衍生定价的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程。应用数学金融，2007，14（2），153-169。[9] Benth，F.E.，Saltyte Benth，J.，Koekebakker，S.，电力和相关市场的随机建模。《世界科学》，2008年。[10] Frestad，D.，Benth，F.E.和Koekebakker S.，对原始电力交换市场中的期限结构动态进行建模。《能源杂志》，2010年，31（2），53-86。[11] Benth，F.E.，Biegler-K"onig，R.和Kiesel R.，电力市场信息溢价的实证研究。能源经济经济学，2013，36，55-77。[12] Bessembinder，H.和Lemmon，M.L.，均衡定价和最优套期保值非弹性远期市场。《金融杂志》，2002年，231347-82。[13] Bouchard，B.和Nguyen Huu，A.在具有比例交易成本的离散时间生产投资模型中，针对高产制的第二类无边际套利。数学金融，2013，23（2），366-386。[14] Brennan M.J.，仓库供应。《美国经济评论》，1958，48（1），50-72。[15] Buyuksahin，B.，Haigh，M.S.，H arris，J.H.，Overdahl，J.A。

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2022-5-7 07:22:29

以及Robe，M.A.《基本面、交易员活动和衍生品定价》，2008年，可在SSRN上查阅：http://ssrn.com/abstract=966692.[16] 钱伯斯，M.J.和贝利，R.E.，商品价格波动理论。《政治经济学杂志》，1996，104（5），924-957。[17] Danthine，J.P.，鞅，市场效率和商品价格。《欧洲经济评论》，1977年，10（1），1-17。[18] Deaton，A.和Laroque，G.对商品价格行为的研究。经济研究回顾，1992年，59（1），1-23。[19] Deaton，A.和Laroque，G.的《竞争性存储和商品价格动态》。政治经济学杂志，1996，104（5），896-923。[20] Delbaen，F.和Schachermayer，W.，资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，1994，300（1），463-520。[21]Delbaen，F.和Schachermayer，W.，套利的数学，2006年，SpringerScience&Business Media，2006年。[22]Douglas，S.和Popova，J.，存储和电力远期溢价。能源经济，2008，30（4），1712-1727。[23]Eydeland，A.和Wolynice，K.，能源和电力风险管理：建模、定价和对冲的新发展，2002，（Wiley）。[24]Fama，E.和French，K.，商品期货价格：关于预测能力、溢价和存储理论的一些证据。《商业杂志》，1987年，第60（1）页，第55-73页。[25]Hess，M.，根据未来信息为电力衍生品定价。工作文件，2013年。[26]Y.卡巴诺夫和M.萨法里安，《具有交易成本的市场：数学理论》，2009年，（斯普林格）。[27]Kaldor，N.，关于远期市场理论的注释。经济研究回顾，1940年，第7（3）页，196-201页。[28]Kramkov，D.和Schachermayer，W.，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资。

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2022-5-7 07:22:32

《应用概率年鉴》，1999年，904-950年。[29]Lautier，D.，商品价格的期限结构模型：综述，替代投资杂志，2005年，42-64。[30]Lautier，D.，便利收益率和商品市场，银行家，市场和投资者，2009，102，59-66。[31]Liu，P.和Tang，K.，可储存商品的无套利条件和期货期限结构模型。《银行与金融杂志》，2010年，34（7），1675-1687。[32]Meyer Brandis，T.和Tankov，P.，电价的多因素跳跃扩散模型。国际理论与应用金融杂志，2008，11（5），503–528。[33]Pham，H。，具有随机波动率和投资组合约束的最优投资模型的光滑解。应用数学与优化，2002，46（1），55-78。[34]Pham，H.，金融应用中的连续时间随机控制和优化，2009年，第1卷。，（柏林：斯普林格）。[35]普雷沃，H.，德朱维尼，B.，莱曼，F.，卢沃特，M.和伊扎特，C.，《电气大奖赛的和谐关系》，2004年，文件，法国经济、财政和工业部，10月。[36]Protter，P.E.，随机积分和微分方程：2004年2.1版，第21卷，（斯普林格）。[37]罗杰斯，L.C.G.等价鞅测度和无套利。《随机学：概率与随机过程国际期刊》，1994年，51.1-2，41-49。[38]Routledge，B.R.，Seppi，D.J.和Spatt，C.S.，商品均衡远期曲线。《金融杂志》，2000年，55（3），1297-1338。[39]Scheinkman，J.A.和Schechtman，J.是一个简单的生产和存储竞争模型。《经济研究评论》，1983，50（162），427。[40]Schwartz，E.，商品价格的随机行为：对估值和对冲的影响。

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2022-5-7 07:22:35

《金融杂志》，1997年，52（3），923-973。[41]Viehmann，J.，德国日前电力市场的风险溢价。能源政策，2011年，39（1），386-394。[42]H.沃金，自1885年以来，芝加哥7月和9月小麦期货的价格关系。食品研究所的小麦研究，1933，9（6），187–238。[43]Working，H.，存储价格理论。《美国经济评论》，1949年，39（6），1254-1262年。证据。1关于建议4收敛性证明的建议。假设P（FT6=ST）>0，设A={FT>ST}和B={FT<ST}。考虑以下交易生产策略的顺序：对于n≥ 1，q=u=0，θnt:=αPA |英尺-N- βPB |英尺-N（T）-N≤T≤T），其中α和β是任意正数。因为A和B是英尺--可测量（都是连续过程），每个θ都是可预测且（Ft）可积的交易策略。此外，左极限θT-为所有人而存在≥ 1.追求这样一系列的策略以限制终端财富→ ∞ 由r+α（FT）给出-ST）1A+β（ST-FT）1B。因此，让α→ ∞ 如果P（A）>0或β，则β=0→ ∞ 如果P（B）>0我们得到v（x）=∞ （回想一下U（x）→ ∞ 当x→ ∞), 这与我们最大化问题的合理性相矛盾。因此，我们可以得出结论a.s.FT=ST。对于任意族X的随机变量，conv（X）将表示命题6的v（r）证明中X.a.2命题中元素的所有凸线性组合的集合。首先请注意，对于所有的r>M∞ > v（r）=s upu，q，θE[U（Rr，U，q，θT）]≤ supθE[U（r+VθT）]≤ supθE[U（M+VθT）]=：vI（M），其中给出了纯投资优化问题的值函数。现在，假设违反了具有简单交易策略、生产和储存的NFLVR，因此我们可以找到一个终端支付序列RnT=\'Tπntdt+\'TθNTDFT，这样RnT→ 一类非负随机变量的rtp（RT>0）>0和k（RnT）-K∞→ 0 asn→ ∞.

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2022-5-7 07:22:39

在这里，π表示从生产QN和Astrage un获得的瞬时利润。因此，我们没有- M≤ VnT≤ RnT+M，其中我们表示Vn:=Vθn。根据[21]中的定理15.4.10，存在一个序列VnT∈conv（VnT，Vn+1T，…）将a.s.收敛到某个随机变量VT，取[RT]中的值- M、 RT+M]a.s.因此≥ RT- M≥ -M和P（~VT>-M） >0。此外，由于k（~VnT+M）-K∞≤ k（RnT）-K∞→ 0，后者作为n收敛到0→ ∞, 我们也有k（~VnT+M）-K→ 因此，使用[6]中的命题1.2，我们得到vI（M）=∞暗示v（r）=∞.A.3关于最优生产q的命题*提案证明7。它有助于在包含生产控制的项yqt中的积分中最大化ω。对于固定的给定SST，与QT有关的差异- c′（qt）=0，因此，考虑到约束qt∈ [0，q]由于c是严格凸，我们得到了（3.1）。A.4关于最优存储和交易组合的建议（美国）*, θ*)提案证明8。首先，如果一个人承认一个解的存在性，那么它的唯一性从效用函数U的严格凹性出发。设（un，θn）为问题（3.2）的最大容许序列，即e[U（r+Y）*T+ZnT+VnT）]→ v（r）asn→ ∞, 我们在这里表示：-^T（untSt+k（Xnt））dt，Xnt:=u+^tunsds，VnT:=^TθndFt。我们分别证明了序列unan和θn的紧性。对于存储策略序列un，我们使用Komlós定理，指出对于L中有界的r.v.（ξn）的任何序列，可以提取一个子序列（ξnk），将a.s.乱伦罗意义收敛到随机变量ξ∈ L（例如，参见卡巴诺夫和萨法里安的定理5.2，2009[26]）。我们将这个定理应用于过程序列un，它可以被视为产品空间中定义的随机变量(Ohm×[0，T]，P，dPdt），其中P是可预测的σ场。

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2022-5-7 07:22:42

序列的唯一性很明显，因为它在区间中取值[-u、 u]。因此，在相同的时间间隔内存在一个可预测的过程，使得Cesaromean序列un:=（1/n）Pnj=1uj将a.e.向u靠拢。实际上，立即检查序列在[-u、 u]也是。此外，沿着新序列的累积s扭转过程，~Xnt:=\'tunsds，是很好定义的，因为每个unis有界且取[0，X]中的值。通过勒贝格主导的收敛，我们得到了Xnt→ Xt:=\'tusda。s、尽管如此，t∈ [0，T]。因为函数k是连续的，所以我们有k（~Xnt）→ k（Xt）a.s.代表allt。最后，再次感谢控件的有界性和k的连续性，我们有了|ZnT |≤ C |''TStdt |，它是有界的（因为STI在t中一致有界）。因此，再次应用支配收敛定理，我们得到ZnT→ ZTa。s、作为n→ ∞.至于交易策略序列θn的紧性，我们可以使用相应的财富过程Cesaro均值序列，我们用VnT表示。~ZnTyields的可容许性和一致有界性表明该序列由某个常数从下一致有界。因此，我们可以应用[21]中的定理15.4.10，这意味着存在一个凸组合BVNT∈ conv（~VnT，~Vn+1T，…），它收敛于a.s.，其极限由某个VT支配：=\'Tθtdft对于某个容许的θ。此外，将此程序应用于存储策略的Cesaro平均值unone可得到另一个可接受的存储策略序列，该序列将a.s.会聚到相同的过程uasunbefore。为了得出结论，我们需要证明：v（r）≤ E[U（x+Y*T+VT+ZT）]要做到这一点，必须使用这样的假设，即美国通过进行证明来满足RAE，例如Pham（2000[34]）中的定理7.3.4。

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