商品市场中的前向曲线模型的逼近

2022-5-9 17:02:07

用无套利有限维模型逼近商品市场中的远期曲线模型Fred ESPEN BENTH和PAUL KR"UHNERABSTRACT。在本文中，我们展示了如何用具有有限维状态空间的无套利模型来近似商品市场远期价格的Heath-Jarrow-Morton动力学。此外，我们在近似模型中恢复了正向价格动态的一个封闭形式表示，并在某些额外的光滑性条件下，导出了在一段时间间隔内到成熟期的一致收敛速度。在马尔可夫的情况下，我们可以加强收敛性，使其随着时间的推移保持一致。我们的结果是基于术语结构动力学的状态空间构造了一个方便的Riesz基。1.导言我们开发了无套利的远期期限结构动态近似模型，用于商品市场。近似的期限结构模型具有有限的维度状态空间，因此便于进一步分析和数值模拟。我们给出了近似项结构的收敛性结果，并在真实项结构的合理光滑性下刻画了速度。我们的结果基于在术语结构动力学的状态空间上构造一个方便的Riesz基。在固定收益市场的背景下，Heath、Jarrow和Morton[19]建议对利率的整个期限结构进行建模。菲利波维奇[16]重新解释了这种方法，即所谓的Musiela参数化，即将所谓的远期利率研究为一阶随机偏微分方程的解。这类随机偏微分方程通常被称为Heath Jarrow Morton Musiela（HJMM）动力学。

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2022-5-9 17:02:12

这种非常成功的方法已被转移到其他市场，包括商品和能源期货市场（见Clewlow和Strickland[14]以及Benth、Saltyte Benth和Koekebakker[5]），在这些市场中，远期和期货的期限结构由类似的随机偏微分方程建模。利率建模的一个重要研究方向是所谓的HJMM动力学解的有限维实现（见比约克和斯文森[12]、比约克和兰登[11]、菲利波维奇和泰奇曼[18]和塔普[24]）。从一个由d维维纳过程驱动的远期利率方程开始，问题是我们在什么条件下获得波动率和漂移：2018.2010年8月13日数学科目分类的版本。91B24，91G20。关键词和短语。能源市场，希思·贾罗·莫顿，非调和傅立叶分析，无套利近似。F.E.Benth感谢挪威研究委员会ENERGIX项目资助的“能源市场天气风险管理（MAWREM）”项目提供的财务支持。2属于有限维空间的BENTH和KR"Uhner解，即何时可以将整个曲线的动力学分解为有限个因素。该属性与主成分分析（见Carmona和Tehranchi[13]）有着密切的联系，但在评估、模拟、定价和投资组合管理等进一步分析方面也很方便（后者见Benth和Lempa[10]）。在电力和天然气等能源市场，有经验和经济证据表明存在高维噪音。此外，噪音还显示出明显的轻薄迹象（见Benth、Saltyt˙e Benth和Koekebakker[5]及其参考文献）。

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可人4

2022-5-9 17:02:15

这些经验见解推动了在HJMM动力学模型中使用有限维Lévy过程来驱动噪声，从而对远期结构进行建模。我们参考Carmona和Tehranchi[13]对利率市场中具有有限维高斯噪声的HJMM模型进行了全面分析。Benth和Krühner[8]通过有限维高斯过程的从属关系，引入了一类方便的有限维Lévy过程。这些模型用于分析Benth和Krühner[7]中具有有限维Lévy噪声的随机偏微分方程。此外，Benth和Krühner[9]研究了基于此类模型的能源市场衍生品定价和套期保值。本论文的动机是需要在电力金融领域使用Musiela参数化对Heath、Jarrow、Morton风格的模型进行无套利近似。Henseler、Peters和Seydel[20]进行了相关研究，他们构建了一个有限维的af fi fine模型，其中一个重新定义的主成分分析（PCA）方法确实产生了期限结构模型的无套利近似值。我们的主要结果定理4.1表明，基本正向曲线过程f（t，x），x的无套利模型≥ 0是成熟期，t≥ 0是当前时间，可以用fk（t，x）=Sk（t）+kXn形式的进程来近似=-kUn（t）gn（x），其中sk表示近似模型中的现货价格，g-KGK是确定性函数和U-KUkare是一维Ornstein-Uhlenbeck型过程。显然，这种类型的模型在应用中比HJMM方程的一般解更容易处理。该近似值也是HJM方程的解，因此是远期期限结构的无套利模型。

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2022-5-9 17:02:18

我们证明了FK在时间点上与“真实”远期价格曲线f在空间上的一致收敛性。收敛速度为k阶-1当前进曲线x 7→ f（t，x）是两个连续可微的。我们的方法是基于有限差分格式或有限元方法的HJMM动态数值近似的替代方法，在这种方法中，无法自动确保近似动态的无套利性。我们参考Barth[1]对有限元方法应用于我们研究的随机偏微分方程的分析。我们将我们的结果重新定义为马尔可夫情况，在马尔可夫情况下，收敛性也会随着时间的推移而略微增强，以保持一致。我们的方法是通过显式构造所谓Filipovi’c空间（见Filipovi’c[16]）的子空间的aRiesz基，这是一个绝对连续函数在正实线上的可分离Hilbert空间，其（弱）导数以一定的速度消失。基础是近似fk中的函数Gn，子空间是通过将远期价格的函数无限维近似3菲利波维奇空间集中到有限时间范围x来定义的≤ TBenthand Krühner[7]定义了这个空间，我们在这里扩展了分析，以适应HJMM动力学的无套利有限维近似。在分析中，我们基于有限维Lévy过程的Csemigroups和随机积分的性质（见Peszat和Zabczyk[22]）。本文的组织结构如下。在第2节中，我们从菲利波维奇空间中设定的远期利率的HJMM动力学的数学公式开始。第3节详细定义和分析了为我们的近似值奠定基础的Rieszbase。

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2022-5-9 17:02:21

第4节构建了期限结构模型的无套利有限维近似，我们研究了收敛性。马尔可夫酶在最后一节5.2中进行了分析。远期价格动态模型在本文中，我们使用希尔伯特空间α：=F∈ AC（R+，C）：Z∞|f′（x）| eαxdx<∞,其中AC（R+，C）表示R+上的复数绝对连续函数的空间。我们赋予Hα标量积hf，giα：=f（0）g（0）+R∞f′（x）g′（x）eαxdx，并用k·kα表示相关范数。菲利波维奇[16，第5节]证明了（Hα，k·kα）是一个可分离的希尔伯特空间。在Filipovi\'c[16]中，该空间被用于债券的期限结构建模，其中推导出了许多数学性质。我们经常将Hα称为菲利波维奇空间。接下来，我们将介绍商品市场远期价格期限结构的动态。用f（t，x）表示远期合约t时的价格，其中标的商品的交货时间为x≥ 0.我们将f视为时间上的随机过程，其值在Filipovi’c空间Hα中。更具体地说，我们假设过程{f（t）}t≥0遵循我们接下来形式化的HJM Musiela模型。关于完全过滤概率空间(Ohm, {Ft}t≥0，F，P），假设过滤是完全连续的，我们使用Hα值的Lévy过程{L（t）}t≥0（参见Peszat和Zabczyk[22，定理4.27（i）]，用于构造Hα值Lévy过程）。我们假设L的有限方差和均值等于零，并用Q表示其协方差算子∈ Hα和f是随机偏微分方程（SPDE）的解df（t）=xf（t）dt+β（t）dt+ψ（t）dL（t），t≥ 0，f（0）=f（1），其中β∈ L((Ohm ×R+，P，P λ），Hα），P是可预测的σ场，ψ∈LL（Hα）：=ST>0LL，T（Hα），其中后一个空间定义为Peszat和Zabczyk[22，第113页]。

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2022-5-9 17:02:25

对于t≥ 0表示Hα上的移位半群，由f的Utf=f（t+·）定义∈ Hα。菲利波维奇[16]指出{Ut}t≥0是Hα上的C-半群，带生成元x、回想一下，任何C-半群都允许有界kUtkop≤ 对于某些情况，M>0和任何t≥ 这里，k·kopdenotes是算子范数。事实上，在Filipovi\'c[16，方程（5.10）]和Benth and Krühner[4，引理3.4]中，kUtkop≤ 请注意，Filipovi\'c[16]不考虑复值函数。在我们的上下文中，这个小的扩展是方便的，后面会很清楚。4 BENTH和KR"UHNERany t≥ 0和常数CU:=p2（1∧ α-1). 因此s 7→ 美国犹他州-sβ（s）是Bochner可积函数s7→ 美国犹他州-sψ（s）相对于L是可积的。（1）isf（t）=Utf+ZtUt的唯一温和解-sβ（s）ds+ZtUt-sψ（s）dL（s）。（2）如果我们在风险中性环境下对远期价格动态f进行建模，漂移系数β（t）自然将为零，以确保过程的（局部）鞅性质→ f（t，τ）- t），其中τ≥ t是远期交割的时间。在这种情况下，概率P被解释为等价鞅测度（也称为定价测度）。然而，在非零漂移的情况下，远期模型是在市场概率下陈述的，β可能与市场中的风险溢价有关。在电力和天然气等能源市场中，远期合同在一段时间内交付，远期价格可以由f上应用的Filipovi’c空间上的积分运营者表示（有关更多详细信息，请参见Benth和Krühner[3,4]）。f的动力学也可以被视为未来收益理论中的一个模型，见Filipovi\'c[16]。这确实是（1）中SPDE的传统应用领域和分析点。然而，请注意，HJM利率市场方法中最初的无套利条件与此处使用的无套利条件不同。

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2022-5-9 17:02:28

如果f被理解为在风险中性环境下建模的远期利率，则漂移β、波动率σ和驱动噪声L的协方差之间存在无套利关系。我们参考Carmona和Tehranchi[13]进行详细分析。3.FILIPOVI’C空间的RIESZ基在本节中，我们介绍了Hα定义的Inbenh和Krühner[3，附录A]的一个合适子空间的RIESZ基，并给出了它的各种性质。此外，我们在此基础上给出了明确的声明，并确定了新的属性。我们从Young[26]回忆起，任何Riesz基{gn}n∈非可分希尔伯特空间可以用gn=T enwhere{en}n表示∈Nis是一个正交基，T是一个有界可逆线性构造器。有关Riesz碱的更多性质和定义，请参见Young[26]。在第4节中，我们想用谱方法来近似包含菲利波维奇空间Hα上微分算子的SPDEin（1）。因此，有了微分算子的特征向量基是很方便的。然而，它的特征向量似乎没有很好的基性质。相反，我们建议使用向量系统，形成Riesz基，这几乎是微分算子的特征向量系统。这一性质将在命题3.5和命题3.6中得到精确表述。最后，我们将确定Riesz基展开的收敛速度。固定λ>0，T>0，并引入切口：R+→ [0，T），x7→ 十、- max{tz:z∈ Z:TZ≤ x} andA:L（[0，T），C）→ L（R+，C），f 7→x7→ E-λxf（割（x））. （4）这里，L（A，C）是Borelset A上的复值平方可积函数空间 R+配备了Lebesgue测量装置。L（A，C）的内积将被分解（·，·）和相应的范数···。

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能者818

2022-5-9 17:02:33

我们注意到，集合A将从上下文中清晰可见，因此不会在范数和内积的符号中指明。远期价格的有限维近似5We定义*（x）：=1，（5）gn（x）：=λn√T（exp（λnx）- 1）式中λn:=2πiTn- λ -α、（7）对于任何n∈ Z、 x≥ 0.验证gn∈ 任意n的Hα∈ Z和g*∈ Hα。正如我们将看到的，向量系统{g*, {gn}n∈Z} 形成一个Riesz基础，我们将利用它获得远期价格动态的无套利有限维近似值（1）。我们从Benth和Krühner[3]证明的算子A的一些基本性质开始分析。引理3.1。A是有界线性算子，其范围在L（R+，C）中是封闭的。此外，e-2Tλ1- E-2Tλ| f|≤ | Af|≤1.- E-2Tλ| f |对于任何f∈ 这个证明可以在Benth和Krühner[3，引理A.1]中找到。在下面的命题3.3中，我们计算了空间ran（a）及其双正交系统的Riesz基。Riesz基将作为一个正交基L（[0，T），C）的映象给出。因此，它的双正交系统由（A）的映象给出-1)*,我们在下面的引理中计算：引理3.2。双重（A）-1)*关于A的逆：L（[0，T），C）→ ran（A）由（A）给出-1)*: L（[0，T），C）→ 跑（A），（A）-1)*f（x）=（1）- E-2λT）e-λxe2λ截（x）f（截（x））= (1 - E-2λT）e2λ截（x）Af（x），x≥ 0 .证据让f，g∈ L（[0，T]，C）和定义h（x）：=（1）- E-2λT）e2λ截（x）Af（x）用于anyx≥ 那么我们有（h，Ag）=Z∞h（y）Ag（y）dy=（1）- E-2λT）∞Xn=0Z（n+1）TnTe2λ（x-（新界）（e）-λxf（x）- （新界）-λxg（x）- nT））dx=（1- E-2λT）∞Xn=0e-2λnTZ（n+1）TnTf（x- nT）g（x）- nT）dx=ZTf（y）g（y）dy.6 BENTH和KR"UHNEROn另一方面，（（A）-1)*f、 Ag）=（f，g）=ZTf（y）g（y）dy。因为g是任意的，所以我们有h=（A）-1)*f如所称。下一个命题的部分内容可以在Benth和Krühner[3，引理A.3]中找到。

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2022-5-9 17:02:36

在这篇论文中，我们在这里填写的证据似乎存在差距。提议3.3。工程师（x）：=√特克斯2πinT- λ十、, 十、≥ 0，n∈ Z.然后{en}n∈在L（R+，C）和f的闭子空间ran（a）上Zis是Riesz基：={f∈ L（R+，C）：f（x）=0，x∈ [0，T）}是ran（a）的闭向量空间的补充。连续线性范围ran（a）和核F具有算子normq1-E-2λ，我们有paf（x）=f（x），x∈ [0，T]，f∈ L（R+，C）。双正交系统{en}*N∈关于Riesz基{en}n∈再见*n（x）=1.- E-2λTe2λ割（x）en（x）证明。回想一下，由于引理3.1中给出的下界，A的范围是L（R+，C）的一个闭子空间。此外，{bn}n∈zbn（x）：=√特克斯2πinTx, N∈ Z、 x∈ [0，T]是L（[0，T]，C）的正交基。注意，en=abn，因此{en}n∈Zbecomes是ran（a）的Riesz基础。定义连续线性算子mλ：L（[0，T），C）→ L（[0，T），C），Mλf（x）：=eλxf（x），C:L（R+，C）→ L（[0，T），C），f7→ f |[0，T）和PA:=AMλC。注意，MλCA是L（[0，T），C）上的恒等算子，因此PA=PA。因此，pai是核f和rangeran（a）的连续线性投影∈ L（R+，C）与PA核的任何元素正交，那么f（x）=0Lebesgue-a.e≥ T因此，我们有| PAf |=Xn∈NZnT+TnT（东）-λxeλ（x）-nT）| f（x- nT）| dx=Xn∈氖-2nλT | f |=1- E-2λT | f |远期价格7的有限维近似，由此得出kPAkop=q1-E-根据引理3.2，我们有*n（x）=（A）-1)*bn（x）=（1- E-2λT）e-λxe2λ截（x）bn（截（x））=1.- E-2λTe2λ截（x）en（x），对于任意n∈ Z、 x≥ 0，根据需要。到目前为止，本节收集的语句都是关于空间L（R+，C）的。然而，我们实际上对空间Hα感兴趣，它对C×L（R+，C）有一个自然而简单的等距。下一个推论将把上面的L（R+，C）-语句转换为Hα。

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2022-5-9 17:02:40

在陈述之前，我们先介绍一种符号，以备日后使用：定义Θ：Hα→ C×L（R+，C），f7→ （f（0），wαf′，（8）式中wα（x）：=exα/2≥ 那么Θ是Hilbert空间的等距。其反比由Θ给出-1:C×L（R+，C）→ Hα，（z，f）7→ z+z（·）w-1α（y）f（y）dy。（9）我们用这些算子来证明：推论3.4。系统{g*, {gn}n∈Z} （5）-（6）中定义的是Hα的封闭子空间HTα的Riesz基。的确，HTα是由{g]生成的空间*, {gn}n∈Z} 。此外，还有一个连续线性投影∏，范围为HTα，算子为normq1-E-2λTsuch∏h（x）=h（x），h∈ Hα，x∈ [0，T]。因此，对于任何t，都是∏Uth（x）=Ut∏h（x）=h（x+t）∈ [0，T]和任意x∈ [0，T-t] 。双正交系统{g**, {g*n} n∈Z} 是byg给的**（x） =1g*n（x）=Zxe-yαe*n（y）dye在哪里*命题3.3中给出的任何n∈ Z、 x≥ 0.证明。让{en}n∈Zbe命题3.3的Riesz基，V由{en}n生成的线性向量空间∈Z（实际上是run（A））和PAthe投影仪。然后{（1，0），{（0，en）}n∈Z} 是C×V的Riesz基。此外，{g*, {gn}n∈Z} 是Θ的Riesz基-1（C×V）因为g*= Θ-1（1,0）和gn=Θ-1（0，en）。定义∏：=Θ-1（Id，PA）Θ。那么∏是一个与PAwhere（Id，PA）（z，f）具有相同边界的线性投影仪：=（z，PAf），z∈ C、 f∈ L（R+，C）.8本特和克什内莱h∈ Hα。观察任何x∈ [0，T]，0时切（y）=y≤ Y≤ x、我们从各种算子的定义中得出∏h（x）=Θ-1（Id，PA）（h（0），exp（α·/2）h′（x）=Θ-1.（h（0），（exp（（λ+α/2）·h′）|[0，T）（切（·exp）(-λ·))（x） =h（0）+Zxe-（λ+α/2）ye（λ+α/2）cut（y）h′（cut（y））dy=h（0）+Zxh′（y）dy=h（x）。因此，对于任何x，∏h（x）=h（x）∈ [0，T]。我们顺便说一句，微不足道的g**= G*. 在下一个命题中，我们计算移位半群{Ut}t的作用≥推论3.4的Riesz基和双正交系上的对偶半群。提案3.5。

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2022-5-9 17:02:44

对于Riesz基{g*, {gn}n∈Z} in（5）-（6）及其双正交系{g**, {g*n} n∈Z} 在推论3.4中导出，它保持（1）Utgn=eλntgn+gn（t）g*和（2）U*甘油三酯*n=eλntg*n、对任何人来说∈ Z.证明。权利要求（1）源自一个简单的计算。对于索赔（2），我们计算*甘油三酯*n=g*胡*甘油三酯*n、 g*iα+Xk∈Zg*胡*甘油三酯*n、 gkiα=g*汞*n、 Utg*iα+Xk∈Zg*khg*n、 Utgkiα=eλntg*n.任何∈ Z、 t≥ 因此，命题如下。在比较PDE（1）的投影解和近似解时，某个李交换子起着至关重要的作用。在下一个命题中，我们导出了收敛性的理论结果，这些结果将在下一节中用于分析SPDE（1）的近似值。提议3.6。让k∈ N、 t≥ 0，HTα是由Riesz基{g生成的Hα的闭子空间*, {gn}n∈Z} 定义在（5）-（6）中的双正交系统{g**, {g*n} n∈Z} 在推论3.4中给出。确定投影∏k:HTα→ span{g*, G-Kgk}，h7→ h（0）g*+kXn=-kgnhh，g*niα，ck，t:=P | n |>kgn（t）g*n、和操作员K，t:HTα→ span{g*}, h 7→ hh，ck，tiαg*.远期价格的有限维逼近9k∏kkopis一致有界于k∏kh→ h、小吃∈[0，t]kCk，shkα→ 0代表k→ ∞还有任何∈ 这里，∏k，Ut]表示∏kand-Ut的李交换子，即∏k，Ut]=Ck，t- Ut∏k。此外，设X是一个随机过程，其值在HTα中，使得X（t）=Y（t）+M（t）对于某些有限变量的平方可积过程Y和平方可积函数M→∞ZtCk，t-sdX（s）=0，其中收敛为L(Ohm, Hα）。证据让h∈ HTα。自从{g*, {gn}n∈Z} 是HTα的Riesz基，我们有H=g*啊，g*iα+Xn∈Zgnhh，g*niα，因此我们得到∏kh→ h代表k→ ∞.证明了∏kis的算子范数在k中一致有界∈ N

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2022-5-9 17:02:47

回想推论3.4和（9）gn=Θ-1（0，荷兰银行），n∈ Z和g*= Θ-1（1，0），其中A在（4）和{bn}n中定义∈Zi是L（[0，T]，C）的正交基。在不丧失一般性的情况下，我们假设h（0）=0表示h∈ HTα，发现∏kh=kXn=-kgnhh，g*niα=kXn=-kT bn（T）-1h，bn）=txn=-kbn（T）-1h，bn）。这里，tf:=Θ-1（0，Af）∈ f的Hα∈ L（[0，T]，C），这是一个有界线性算子。因此，sincePkn=-kbn（T）-1h，bn）是T的投影-1小时∈ L（[0，T]，C）向下至其前2k+1坐标，k∏khkα≤ | T kopkXn=-kbn（T）-1h，bn）≤ kT kop|T-1h |但自T-1也是有界算子，因此k∏kkop≤ kT kopkT-1点。Benth和Krühner[3，引理3.2]得出Hα中的收敛意味着局部一致收敛。因此，正如我们所知- πkh→ 0，它能承受∈[0，t]| h（s）- |kh（s）|→ 0代表k→ ∞. 因此，我们发现∈[0，t]X | n |>kgn（s）hh，g*niα= 小吃∈[0，t]| h（s）- |kh（s）|→ 0代表k→ ∞. 所以，大家好∈[0，t]kCk，shkα→ 0代表k→ ∞.L(Ohm, Hα）表示Hα值随机变量Z的空间，其中E[kZkα]<∞.10 BENTH和KR"UHNERLet n∈ Z.然后，根据命题3.5[πk，Ut]gn=πk（eλntgn+gn（t）g*) - 1{|n|≤k} Utgn=1{|n|≤k} eλntgn+gn（t）g*- 1{|n|≤k} （eλntgn+gn（t）g*)= 1{n}>k}gn（t）g*= 有没有≥ 0.此外，∏k，Ut]g*= πkg*- Utg*= 0=Ck，tg*.设h hM，Mii（t）=RtQsdhM，Mi（s）是在Peszat和Zabczyk[22，定理8.2]中给出的鞅M的二次变分过程。然后，Peszat和Zabczyk[22，定理8.7（ii）]yieldsEkZtCk，t-sdM（s）kα= EZtTr（Ck，t-sQsC*k、 t-s）密歇根州dhM。回想一下h∈ HTα，我们发现Ck，th=hh，Ck，tiαg*. 因此，hh，C*k、甘油三酯*iα=hCk，th，g*iα=hh，ck，tiα，这就得到了C*k、甘油三酯*= ck，t代表g∈ 与g正交的HTα*我们有*k、 tgiα=hCk，th，giα=hh，ck，tiαhg*, 对于任何h，giα=0∈ HTα和C*k、 tg=0。

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2022-5-9 17:02:51

我们得到（Ck，t）-sQsC*k、 t-s） =hCk，t-sQsC*k、 t-sg*, G*iα=hQsck，t-s、 ck，t-siα≤ kck，t-skαTr（Qs）。因此，EZtCk，t-传感和诊断模块（s）α!= EZtTr（Ck，t-sQsC*k、 t-s）密歇根州dhM（s）≤ 小吃∈[0，t]kck，skαEZtTr（Qs）密苏里州dhM（s）= 小吃∈[0，t]kck，skαE公里（吨）- M（0）kα→ 0代表k→ ∞. 同样地，我们得到ZtCk，t-康乐及文化事务署(s)α≤ 小吃∈[0，t]kck，skαZtkdY kα（s）→ 0as k→ 0，其中k dY kα表示与dY相关的总变化量（Seedincleanu[15，定义§2.1]）。这一说法如下。在Peszat和Zabczyk[22]中，hh·、·ii被称为算子角括号过程，而h·、·i是角括号过程。远期价格的有限维近似11投影算子∏kP在远期期限结构的无套利近似中起着重要作用。为了便于注释，我们表示ht，kα：=span{g*, G-Kgk}，（10）对于任何k∈ N.从上述考虑，我们得到∏k将空间HTα投影到HT，kα。我们的下一个目标是确定某些光滑元素f的HT，kα中近似值的收敛速度∈ HTα，也就是说，就riesz基函数的数量而言，∏kf与f有多接近。我们首先展示了几个技术结果。推论3.7。让f∈ HTα。那么，我们有-2λT1- E-2λT | f（0）|+Xn∈Z | hf，g*niα|！≤ kfα≤1.- E-2λT | f（0）|+Xn∈Z | hf，g*niα|！。证据推论3.4指出{g*, {gn}n∈Z} 是HTα的Riesz基。此外，它是由g*= Θ-1（1,0），gn=Θ-1（0，en）表示任意n∈ Z，其中Θ是（9）和{en}n中给出的等距∈Zi是命题3.3中给出的Riesz基。此外，对于任意n，引理3.1 yieldsthat en=abn∈ Z其中{bn}n∈Zi是L（[0，T]，C）和kAkop的正交基≤1.-E-2λT。因此，我们可以构造一个具有正交基{b]的希尔伯特空间*, {bn}n∈Z} 以及一个有界线性算子B和kBkop≤1.-E-2λT，使得g*= Bb*,gn=Bbn。

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能者818

2022-5-9 17:02:56

因此，我们有kfkα=kg*hf，g*iα+Xn∈Zgnhf，g*niαkα=kBb*hf，g*iα+Xn∈ZBbnhf，g*niαkα≤1.- E-2λT | hf，g*iα|+Xn∈Z | hf，g*niα|！哪里{g*, {g*n} n∈Z} 将双正交系统表示为{g*, {gn}n∈Z} 在推论3.4中给出。下不等式只是使用引理3.1的下不等式。下一个技术结果将HTα中元素的内积与双正交基函数连接到[0，T]上的一个简单的类傅里叶积分：推论3.8。假设f∈ HTα。那么，对于任何n∈ Z、 hf，g*niα=（1）- E-2λT）-1T-1/2ZTf′（x）exp(-2πiTn- λ+α）x证明。首先，回想一下g*n=Θ*（0，en）表示n∈ Z、其中Θ在（9）中定义。因此，hf，g*ni=hf，Θ*（0，en）iα=（f，（0，en））C×L（R+）=（f（0），eα·/2f′，（0，en））C×L（R+）=（eα·/2f′，en）。12 BENTH和KR"UHNERNote，exp（α·/2）f′和en=abn是ran（A）的元素。如果h∈ ran（A），那么就存在A^h∈ L（[0，T]，C）使得h=A^h，或h（x）=exp(-λx）^h（切（x））。观察x∈ [0，T]，^h（x）=exp（λx）h（x）。那么，如果g∈ ran（A），我们发现（h，g）=Z∞h（x）g（x）dx=Z∞E-2λx^h（截（x））^g（截（x）dx=∞Xn=0e-2λnTZ（n+1）TnTe-2λ（x）-nT）^h（切（x））^g（切（x））dx=∞Xn=0e-2λnTZTe-2λx^h（x）^g（x）dx=（1）- E-2λT）-1ZTh（x）g（x）dx。因此，hf，g*ni=（1）- E-2λT）-1ZTeαx/2f′（x）en（x）dx=（1）- E-2λT）-1T-1/2ZTf′（x）exp(-2πiTn- λ+α）x因此，结果如下。有了这些结果，我们可以证明HTα中的充分啮合函数的收敛速度为1/k阶。提案3.9。假设f∈ HTα使得f |[0，T]是两次连续可微的。然后，我们有KF- πkfkα≤Ck，任何k∈ N、式中c=Tf′（T）eT(-λ+α/2)- f′（0）+ （RT|f′（x）|ex(-λ+α/2）dx）π（1）- E-2λT），我们回忆起命题3.6中的投影算子∏kf。证据推论3.7 yieldskf- πkfkα=kX | n |>kgnhf，g*niαkα≤ CX | n |>k | hf，g*niα|远期价格的有限维近似，其中C:=（1）- E-2λT）-1.定义hn（x）：=exp（ξnx），x≥ 0，其中我们表示ξn=-2πiTn- λ +α.

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2022-5-9 17:03:00

然后，通过推论3.8和部分积分，我们发现| hf，g*niα|=CT-1.ZTf′（x）hn（x）dx= 计算机断层扫描-1 |ξn|f′（T）hn（T）- f′（0）hn（0）-ZTf′（x）hn（x）dx≤2CT |ξn | Af，对于任意n∈ Z\\{0}，其中常数AfisAf：=f′（T）eT(-λ+α/2)- f′（0）+ （ZT|f′（x）ex（λ）-α/2）dx）。此外，我们有x |n |>k |ξn |=2Xn>k |ξn|≤T2πk。把这些估计加起来，我们得到kf- πkfkα≤ AfCTπk，如前所述。对于ck，t，我们可以找到一个类似的收敛速度，这个结果后来变得有用：引理3.10。让ck，t如命题3.6所示。然后，kck，tkα≤Ck，任何k∈ N、其中C=T/π（1- 经验(-2λT）。证据我们使用{g}调用推论3.7*n} n∈双正交系统{gn}n的Zas Riesz基∈Z、要找到kck，tkα=kX | n |>kgn（t）g*nkα≤ CX |n |>k | gn（t）|=CTX |n |>k |λn|eλnt- 1.≤2CT（1+e）-（2λ+α）t）X | n |>k |λn|≤CTπk，对于C=（1- 经验(-2λT）-1.因此，结果如下。14 BENTH和KR"Uhner根据这些结果，我们现在可以研究（1）中远期动态的无套利近似。远期期限结构模型的无套利近似在本节中，我们找到了一个远期期限结构模型的无套利近似，如Heath Jarrow Morton类型设置中所述，该模型存在于有限维状态空间中。此外，我们还推导了近似值的收敛速度，并将结果推广到在一段时间内交付基础商品的远期合同，这是电力和天然气的情况。考虑带有温和溶液f的SPDE（1）∈ Hα由（2）给出。我们从（5）（6）和推论3.4中回顾了Riesz基{g*, {gn}n∈Z} 关于双正交系统{g]的空间HTα*, {g*n} n∈Z} 。此外，∏是Hα在HTα上的投影，而从（10）和命题3.5我们得到了Hα在HT，kα上的投影∏kof HTα和算子Ck，tfork∈ N、 t≥ 0.让我们定义连续线性算子∧k:Hα→ HT，kα乘以∧k=对于任何k∏k∏（11）∈ N

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2022-5-9 17:03:06

以下定理是本文的主要结果之一：定理4.1。为了k∈ N、设fk为SPDEdfk（t）的温和溶液xfk（t）dt+kβ（t）dt+kψ（t）dL（t），t≥ 0，fk（0）=∧kf。（12）然后，我们有（1）E好的∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|→ 0代表k→ ∞ 还有什么t∈ [0，T]，（2）fk取有限维空间HT，kα中的值，此外，fk是SPDE（12）的强解，即fk∈ 多姆(x），t7→ xfk（t）是P-a.s.Bochnerintegrable和fk（t）=fk（0）+Zt(xfk（s）+∧kβ（s））ds+Zt∧kψ（s）dL（s），（3）和，fk（t）=Sk（t）+kXn=-Keλnthfk（0），g*niα+Zteλn（t-s） dXn（s）式中，Sk（t）=δ（fk（t））和Xn（t）：=Rth∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s），g*anyn的niα∈ Z、 t≥ 0.证明。（1）定义∏（t）：=Ut∏f+ZUT-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），t≥ 0 .远期价格的有限维近似因为FK是一个温和的解，我们有FK（t）=Ut∏k∏f+ZtUt-s∏k（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=πkUt∏f+Zt∏kUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=kUt∏f+ZtUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=k（f∏（t））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））对于任何t≥ 从Benth和Krühner[3，引理3.2]可知，超范数由Hα范数支配。因此，存在一个常数c>0，使得e“supx∈[0，T-t] |∏k（f∏t，x））- f∏（t，x）|#≤ 总工程师k（πk）- 一） f∏（t）kα无论如何≥ 其中I表示Hα上的恒等式算子。支配收敛定理得出，对于k，右边收敛到0→ ∞. 显然，我们有SUPX∈[0，T-t] |Ck，tf∏（0，x）|≤ ckCk，tf∏（0）kα→ 0代表k→ ∞. 提案3.6规定：ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））α→ 0代表k→ 因此，我们有了eSupx∈[0，T-t] |fk（t，x）- f∏（t，x）|！→ 0代表k→ ∞ 还有什么t∈ [0，T]。因为对于任何t，f∏（t，x）=f（t，x）∈ [0，T]，x∈ [0，T- t] 第一部分如下。（2）首先要注意xgn（x）=exp（λnx）/√T=λngn（x）+g*（十）/√T，因此xgn∈HT，kα| n |≤ K

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2022-5-9 17:03:09

因此，HT，kα在生成器下是不变的x、它对HT，kα的限制是连续且有界的。我们发现FK只取HT，kα的值，因为Efk（t）=∏kUt∏f+ZtUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s）），其中所有和数都清楚地在HT中，kα.16 BENTH和KR"UHNER（3）作为fk（t）∈ HT，kα，我们有代表性fk（t）=hfk（t），g**iαg*+kXn=-卡夫克（t），g*niαgn。自从g**= 1，我们发现hfk（t），g**iα=fk（t，0）=δ（fk（t））。因此，从（12）的mild解中，我们发现，使用命题3.5fk（t）=Sk（t）+kXn=-KUtfk（0）+ZtUt-s（λkβ（s）ds+λkψ（s）dL（s）），g*Nαgn=Sk（t）+kXn=-卡夫克（0），美国*甘油三酯*niαgn+kXn=-kZth∧kβ（s）ds+kψ（s）dL（s），U*T-sg*niαgn=Sk（t）+kXn=-keλnthfk（0），g*niαgn+kXn=-kZteλn（t）-s） h∧kβ（s）ds+∧kψ（s）dL（s），g*niαgn。注意任何f∈ Hα∧kf=k∏f=0）g*+kXm=-kh∏f，g*miαgm，以及{g*, {gn}n∈Z} ，{g**, {g*n} n∈Z} 是双正交系统sh∧kf，g*niα=（πf）（0）hg*, G*niα+kXm=-kh∏f，g*miαhgm，g*niα=h∏f，g*niα{n|≤k} 。因此，索赔如下。关于定理4.1的另一种观点是，f的k次近似中的所有过程都可以用因子过程X表示*, 十、-KXk，如下所述。推论4.2。在定理4.1的假设和符号下，我们得到了k∈ N、 fk（t，x）=Sk（t）+kXn=-kUn（t）gn（x），对于任何0≤ t<∞ 还有x≥ 这里，Sk（t）=Sk（0）+X*（t） +kXn=-Kgn（t）Un（0）+Ztgn（t）- s） dXn（s）,远期价格17的有限维近似，Xn（t）：=Zt（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），g*Nα、 X*（t） :=Zt（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），g*α、 Un（t）：=eλnthfk（0），g*ni+Zteλn（t）-s） dXn（s）代表n∈ {-Kk} 。证据第一个等式是对定理4.1中（3）的重申。提案3.5 yieldshUth，g*iα=hh，g*iα+kXn=-kgn（t）hh，g*任意h的niα∈ HT，kα，h=hh，g*iαg*+Pkn=-khh，g*niαgn。

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2022-5-9 17:03:12

因此，自从g*= 1和gn（0）=0我们有sk（t）=fk（t，0）=hfk（t），g*iα=hUtfk（0），g*iα+zt-s（λkβ（s）ds+λkψ（s）dL（s）），g*iα=hfk（0），g*iα+kXn=-kgn（t）hfk（0），g*niα+Zth∧kβ（s）ds+∧kψ（s）dL（s），g*iα+kXn=-kZtgn（t- s） h∧kβ（s）+∧kψ（s）dL（s），g*niα。在定理4.1的证明中，我们有h∧kf，g*niα=h∏f，g*任意f的niα∈ Hα。类似地，h∧kf，g*iα=h∏f，g*iα表示n∈ Z与| n |≤ k、结果如下。程序Sk，U-KUkin推论4.2在近似模型中随时捕捉整个市场状态。也就是说，现货价格和远期曲线是这些状态变量的简单函数。正如我们将在下面的推论4.4中看到的，具有交货期的合同的正向价格也可以用这些状态变量表示。注意，如果我们假设h∏β，g*ni，h∏ψ，g*ni是确定的常数，然后（X-KXk）是一个2k+1维的Lévy过程和U-KUkareOrnstein-Uhlenbeck过程。这与本、卡尔森和迈耶·布兰迪斯[2]提出的现货价格模型相对应。根据推论4.2的证明，我们发现Sk（0）=hfk（0），g*我知道。但这时sk（0）=h∧kf，g*iα=h∏f，g*iα=（πf）（0）=f（0）。18 BENTH和KR"Un显然，f（0）等于今天的现货价格，因此我们得到近似过程Sk（t）的起点是今天的现货价格。此外，因为我们有fk（t，0）=Sk（t），因为对于所有n，gn（0）=0∈ Z、 Sk（t）是与fk（t）相关的近似现货价格动态。对于Un（0），n∈ Z调用推论3.8表明un（0）=h∏f，g*niα=√T（1）- E-2λT）ZT（πf）′（y）exp((-λ+α/2）x）exp2πiTnx阿迪。这是初始正向曲线f的傅里叶变换（或者，更确切地说，是指数函数的导数）。

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2022-5-9 17:03:17

在任何情况下，Sk（0）和Un（0）都由初始正向曲线f的（泛函）给出。接下来，我们想确定近似值的收敛速度，即定理4.1第（1）部分中的收敛速度。提案4.3。假设x7→ f（t，x）是两次连续可微的，设fk是SPDEdfk（t）的温和解xfk（t）dt+kβ（t）dt+kψ（t）dL（t），t≥ 0，fk（0）=∧kf。然后，我们有“supx”∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|#≤A（t）k，对于任何k>1，其中（t）：=3T（1+α）-1)(1 - E-2λT）（k∏fkα+ZTE[Tr（ψ（s）Qψ*（s））]ds+中兴[kβ（s）kα]ds)+3(1 + α-1)π(1 - E-2λT）T E|xf∏（t，t）eT(-λ+α/2)- xf∏（t，0）|+中兴通讯|xf∏（t，x）|前任(-λ+α/2）dx).证据在定理4.1的证明中，我们已经证明了fk（t）=∏k（f∏t））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），其中f∏（t）：=Ut∏f+RtUt-对于任何t≥ 0.根据命题3.9，我们得到了kf∏（t）-πk（f∏（t））kα≤C（t）k其中C（t）是由C（t）=t定义的随机变量|xf∏（t，t）eT(-λ+α/2)- xf∏（t，0）|+（RT）|xf∏（t，x）| ex(-λ+α/2）dx）π（1）- E-2λT）。注意，从定理4.1的证明中，我们发现任何h∈ HTαkCk，thkα=khh，ck，tiαg*kα=|hh，ck，tiα|≤ khkαkck，tkα，远期价格的有限维近似，因此，引理3.10kCk，tkα≤ khkαCk，对于常数C=T/π（1- E-2λT）。然后，我们有kfk（t）- f∏（t）kα≤ 3k∏k（f∏t））- f∏（t）kα+3kCk，t∏fkα+3kZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））kα≤3C（t）k+3Ckk∏fkα+3kZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））kα。根据Benth和Krühner[3]中的引理3.2，上确界范数由Hα-范数和常数c限定=√1 + α-1.因此，带着期望，yieldE“supx”∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|#≤ 总工程师kfk（t）- f∏（t）kα≤3ckE[C（t）]+Ck∏fkα+3ckCZTE[Tr（ψ（s）Qψ）*（s））]ds+中兴[kβ（s）kα]ds!.结果如下。在电力和天然气市场，远期合同在未来一段时间内交付，而不是在固定时间交付。

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2022-5-9 17:03:20

远期合同持有人在约定的时间段[T，T]内收到统一的电力或天然气流。交付期合同的远期价格可以从“固定交付时间”远期曲线模型（见Benth等人[5]）byF（t，t，t）：=t得出- TZTTf（t，s）- t），ds（13），其中f由SPDE（1）给出。以下推论使定理4.1适用于有交付期的远期合同。推论4.4。假设定理4.1和定义fk（t，t，t）：=t的条件- TZTTfk（t，s-t）对于任何0≤ T≤ T≤ T≤ T然后，我们有fk（t，t，t）→ F（t，t，t）20 BENTH和KR"Uhnerfork→ ∞ 在洛杉矶(Ohm) 其中F在（13）中给出。此外，Fk（t，t，t）=Sk（t）+kXn=-kGn（t，t，t）eλnthg*n、 fk（0）iα+Zteλn（t-s） dXn（s）,无论如何≤ T≤ T≤ 其中Sk（T）=δ（fk（T）），Gn（T，T，T）=exp（λn（T- t） )- exp（λn（T）- t） )- λn（T）- T） λn√T（T- T）和Xn（T）：=Rth∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s），g*niα。证据定理4.1给出了FK中出现的被积函数与F中出现的被积函数的一致L收敛性，因此收敛性如下。紧随定理4.1第（3）部分的下列表述。我们顺便指出，温度衍生品市场（见Benth和Saltyt˙eBenth[6]）也以“交割期”进行远期交易。在这个市场上，货运代理是根据一个城市在一段时间内测得的日平均气温指数进行现金结算的。5.对马尔可夫远期价格模型的改进在本节中，我们对马尔可夫远期价格模型的分析进行了重新定义，提出了系数β和ψ取决于远期曲线状态的附加假设。

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2022-5-9 17:03:25

更具体地说，我们假设β（t）=b（t，f（t）），（14）ψ（t）=ψ（t，f（t）），（15），其中b:R+×Hα→ Hα，ψ：R+×Hα→ L（Hα）是sensekb（t，f）中线性增长的可测Lipschitz连续函数- b（t，g）kα≤ Cbkf- gkα，（16）k（ψ（t，f）- ψ（t，g））Q1/2kHS≤ Cψkf- gkα，（17）和kb（t，f）kα≤ Cb（1+kfkα），（18）kψ（t，f）Q1/2kHS≤ Cψ（1+kfkα），（19）对于正常数Cb，Cψ。在这些条件下，半线性SPDEdf（t）=（xf（t）+b（t，f（t）））dt+ψ（t，f（t）-))dL（t），f（0）=f.（20）我们想指出，Peszat and Zabczyk[22]和Tappe[25]在书中讨论了半线性SPDE。此外，我们假设b（t，h）=b（t，g），（21）ψ（t，h）=ψ（t，g），（22）任何h，g的远期价格21的有限维近似∈ Hα使得任意x的H（x）=g（x）∈ [0，T- t] ，即超出时间范围t的曲线结构不会影响曲线值过程f（t）的动力学。在继续分析马尔可夫过程中的无套利近似之前，我们展示了几个有用的引理。第一种是关于Lévyprocess L的Volterra-like Hilbert空间值随机积分的Doob线质量版本，主要来自Filipovi\'c、Tappe和Teichman[17]。引理5.1。假设∈ LL（Hα）。然后，喝一杯∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 4ctZtEkΦ（r）Q1/2kHSdr，对于ct>0，在t证明中最多呈指数增长。首先要注意的是，由于Benth和Krühner[3，引理3.5]，C-半群（Ut）t≥0是伪收缩的。Filipovi\'c、Tappe和Teichmann[17，Prop.8.7]指出，Hα的aHilbert空间扩张H（即H是Hilbert空间，Hα是其子空间，Hα的形式等于Hα的范数）和c群（Vt）t∈Ron H，因此Vt | Hα=t的UT≥ 0

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2022-5-9 17:03:28

那么，我们有晚餐∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα≤ 小吃∈[0，t]kVs-tkopkZsUt-rΦ（r）dL（r）kα≤ 小吃∈[0，t]kVskopsups∈[0，t]kZsUt-rΦ（r）dL（r）kα。因此，通过Doob的最大不等式Thm。2.2.7在Prevot和R"ockner[23]中，我们找到了“SUP”∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 小吃∈[0，t]kVskopE“sups∈[0，t]kZsUt-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 4杯∈[0，t]kVskopEkZtUt-rΦ（r）dL（r）kα= 4杯∈[0，t]kVskopZtE库特-rΦ（r）Q1/2kHS博士≤ 4杯∈[0，t]kVskopsups∈[0，t]kUskopZtEkΦ（r）Q1/2kHSdr这通过让ct=sups来证明引理∈[0，t]kVskopsup0≤s≤tkUskopand重申，任何C-群在算子范数中都有一个指数递增函数int的界。因此，ct≤ c exp（wt）对于某些常数c，w>0。我们顺便指出，上述结果适用于任何伪压缩半群st，t≥ 0.22 BENTH和KR"Uhnerth下一个引理是关于过程与积分算子固定点之间距离的有用技术结果，通过（20）的温和解定义。引理在证明（20）的某些无套利近似收敛到正确极限方面起着关键作用。引理5.2。对于Hα值自适应和cádlág随机过程H，def（H）（t）：=Utf+ZtUt-sb（s，h（s））ds+ZtUt-sψ（s，h（s）-)) dL（s），对于任何t≥ 0.那么，V有一个固定的点bf，并且它保持不变sup0≤s≤将军澳(s)-bf（s）kα≤πexp（4Ct）Esup0≤s≤tkV（h）（s）- h（s）kα,无论如何≥ 0和任意Hα值自适应cádlág随机过程H，根据t.证明，Ct是一个正常数。如果h是一个自适应的cádlághα值随机过程，使得E[Rtkh（s）kαds]<∞, 然后根据b上的线性增长假设（18），我们发现[ZtkUt-sb（s，h（s））kαds]≤ Cbewt（t+E[Ztkh（s）kαds]）≤ Cbewt（t+√tE[Ztkh（s）kαds]1/2）<∞.此外，根据ψE[ZtkUt]上的线性增长条件（19）-sψ（s，h（s））kαds]≤ 2Cψe2wtt+E[Ztkh（s）kαds]< ∞.因此，V（h）定义明确，是一个适应的cádlág过程。

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2022-5-9 17:03:33

通过再次使用b和ψ的线性增长进行直接估计，我们发现类似的e[ZtkV（h）（s）kαds]≤ 计算机断层扫描1+E[Ztkhkαds]< ∞,因此，对于某些Ct>0的常数，V映射到它自己的域中，因此可以被删除。我们注意到，根据一般理论，SPDEdf（t）=xf（t）dt+b（t，f（t））dt+ψ（t，f（t）-)) dL（t）有一种独特的温和溶液bF，它具有cádLág修饰，参见Tappe[25，理论4.5，备注4.6]。通过对温和溶液的定义，我们看到bf是V的一个x点，即V（bf）=bf。远期价格的有限维逼近23设g，h为hα值适应cádlág随机过程和t≥ 0.那么，我们有了sup0≤s≤tkV（h）（s）- V（g）（s）kα≤ 2Esup0≤s≤tkZsUs-r（b（r，h（r））- b（r，g（r）））drkα+ 2Esup0≤s≤tkZsUs-r（ψ）（r，h（r）-)) - ψ（r，g（r）-))) dL（r）kα.以不平等右侧的第一项为例。通过Bochner积分的范数不等式和b在（16）中的Lipschitz连续性，我们发现sup0≤s≤tkZsUs-r（b（r，h（r））- b（r，g（r）））drkα≤ E“sup0≤s≤T兹库斯-rkopkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr#≤ tEsup0≤s≤茨库斯-rkopkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr≤ tsup0≤s≤特库斯科普Ztkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr≤ tCbsup0≤s≤tkUskopZtEkh（r）- g（r）kα博士，我们应用了柯西-施瓦茨不等式。回想一下，由于UTI是一个伪收缩半群，我们发现一些w>0，它认为sup0≤s≤特库斯科普≤ exp（2wt）<∞.对于第二项，我们通过引理5.1和ψE的Lipschitz连续性（17）得出结论sup0≤s≤tkZsUs-r（ψ）（r，h（r）-)) - ψ（r，g（r）-))) dL（r）kα≤ 4ctZtEk（ψ（r，h（r））- ψ（r，g（r）））Q1/2kHS博士≤ 4ctCψ中兴通讯kh（r）- g（r）kα这里，引理5.1中的常数CTI。用常数表示：=2Cbtsups∈[0，t]kUskop+8ctCψt.24 BENTH和KR"UHNERThen，我们有sup0≤s≤tkVn（h）（s）- Vn（g）（s）kα≤ 中兴通讯kVn-1（h）（s）- 越南-1（g）（s）kαds≤ CntZtZs··Zsn-1Ekh（sn）- g（sn）kαdsn。ds≤Cntn！Esup0≤s≤将军澳(s)- g（s）kα,对任何人来说∈ N

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2022-5-9 17:03:37

用La表示(Ohm, D（[0，t]，Hα））Hα值适应cádlágstochastic过程{f（s）}s的空间∈[0，t]其中E[sups∈[0，t]kf（s）kα]<∞. 为该空间配备KFKT定义的标准k·KT:=E[sups∈f的[0，t]kf（s）kα]∈ 洛杉矶(Ohm, D（[0，t]，Hα））。从上面的估计中，我们可以看到V作用于正规空间La(Ohm, D（[0，t]，Hα））。此外，对于足够大的n，Vnis Lipschitz连续常数小于1。因此，根据巴纳赫的不动点定理，V最多有一个不动点。因此，^f是V的唯一fix点。此外，韦哈维sup0≤s≤tkVn（h）（s）- h（s）kα1/2≤N-1Xk=0Esup0≤s≤tkVk+1（h）（s）- Vk（h）（s）kα1/2≤ Esup0≤s≤tkV（h）（s）- h（s）kα1/2n-1Xk=0Cktk！1/2.从柯西-施瓦茨不等式中我们得到了-1Xk=0Cktk！1/2=n-1Xk=0（k+1）-1.（k+1）Cktk！1/2≤N-1Xk=0（k+1）！1/2n-1Xk=0（k+1）Cktk！！1/2≤π√N-1Xk=0kCktk！！1/2≤π√exp（2Ct），其中我们使用了初等不等式k+1≤ 2k，k∈ N让我们定义Lipschitz连续函数b∏：=o b和ψ∏：=πo ψ. 然后，Tappe[25，定理4.5]为SPDEdf∏（t）=(xf∏（t）+b∏（t，f∏（t）））dt+ψ∏（t，f∏（t）-)) dL（t），f∏（0）=∏f（23）远期价格的有限维近似25此外，对于任何h，使用符号sbk（t，h）：=∧k（b（t，h）），（24）ψk（t，h）：=∧k（ψ（t，h））（25）都是方便的∈ Hα，t≥ 在定理4.1的证明中，我们将解f与投影解∏f进行了比较，由于∏的性质，投影解∏f本质上是相同的。然后我们比较了∏f和∏f，两者的增益基本相同。最后，我们将∏kf∏与由某个李换向器给出的差分的预测SPDE的解进行了比较。然而，在马尔可夫环境中，我们也希望改变系数的依赖性，这使近似结果的证明变得复杂。定理5.3。

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2022-5-9 17:03:41

用BFKBE表示SPDEdbfk（t）的温和溶液=(xbfk（t）+bk（t，bfk（t）））dt+ψk（t，bfk（t）-)) dL（t），bfk（0）=∧kf，t≥ 0 .那么，bfk∈ HT，kα是强解，我们有“supt”∈[0，T]，x∈[0，T-t] |^fk（t，x）- f（t，x）|#→ 0代表k→ ∞.证据首先，我们注意到，由于Tappe[25，定理4.5]，SPDE存在唯一的温和解bfkof。defi neVk（h）（t）：=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，h（s））ds+ψk（s，h（s）-)) dL（s）），适用于任何k∈ N、 t≥ 0和hα中的任意自适应cádlág随机过程h。设fk定义为fk（t）：=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，f（s））ds+ψk（s，f（s））dL（s）=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，f∏s））ds+ψk（s，f∏s）-)) dL（s）=Vk（f∏）（t），对于fk（0）=∧kf（0）。此外，bfk（t）=Vk（bfk）（t）。根据引理5.2，它保持不变sup0≤s≤tkf∏（t）-^fk（t）kα≤πexp（4Ct）Esup0≤s≤tkfk(s)- f∏（s）kα,对于任何k∈ N、 t≥ 引理中给出了0和Ct（回想第2节，移位半群Uti的算子范数一致有界于常数CU）。在FK和f∏的定义之前，我们发现了KFK- f∏（s）kα≤ 2kZsUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））drkα+2kZsUs-r（ψk（r，f∏）r-)) - ψ∏（r，f∏（r）-))) dL（r）kα.26 BENTH和KR"Uhner考虑了不等式右侧的第一项。通过Bochner积分的范数不等式，Cauchy-Schwartz不等式和算子范数的有界性≤ t） kZsUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））drkα≤兹库斯-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））kαdr≤ tZtkUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））kαdr≤ tCUZtkbk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r））kαdr≤ tCUZtk（πk）- 一）这里，I表示HTα上的恒等式算子。

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2022-5-9 17:03:45

因此，使用引理5.1和{U}t≥0是伪收缩的，Esup0≤s≤tkfk(s)- f∏（s）kα≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+2Esup0≤s≤tkZsUs-r（ψk（r，f∏）r-)) -ψ∏（r，f∏（r）-))) dL（r）kα≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（ψk（r，f∏（r））- ψ∏（r，f∏（r）））Q1/2kHS博士≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（πk）- 一） ψ∏（r，f∏（r））Q1/2kHS博士表示byKt（k）：=2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（πk）- 一） ψ∏（r，f∏（r））Q1/2kHSdr，27K远期价格的有限维近似∈ N.通过标准范数不等式，我们得到了kT（k）：=4tCU（1+k∏kkop）ZtEkb∏（r，f∏（r））kαdr+16ct（1+k∏kkop）中兴通讯kψ∏（r，f∏（r））kopdr，它被认为是在k中一致有界的∈ N来自提案3.6。因此，我们有kT（k）→ 0代表k→ ∞ 还有什么t≥ 由于∏k，由支配收敛定理得到0- 一） h→ 0代表k→ ∞ 还有任何∈ HTα。因此，我们发现sup0≤T≤Tkfk（t）-^fk（t）kα→ 0代表k→ ∞. 最后，对于任何t，f∏（t，x）=f（t，x）∈ [0，T]，x∈ [0，T- t] 。此外，从Benth和Krühner[3]的引理3.2来看，超范数由Hα范数支配，因此我们有“超范数”∈[0，T]，x∈[T]-t] |^fk（t，x）- f（t，x）|#≤ 总工程师sup0≤T≤Tk^fk（t）-f∏（t）kα→ 0代表k→ ∞. 这一命题如下。Thm中的哲学。5.3将f（t）作为实际的前向曲线动力学，并研究其有限维近似值BFk（t）。通过构造，bfksolves aHJMM动态，从而使近似的正向曲线变得无套利。从主定理出发，近似bfk（t）一致收敛于f（t）forx∈ [0，T- t] 。随着时间t的推移，成熟时间x≥ 我们得到的收敛收缩为0。其原因是，在SPDE的动力学中，f的信息被传输到左侧。

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2022-5-9 17:03:48

我们记得，f的近似值是通过首先将f本地化为x来构建的∈ [0，T]对于固定的时间范围T，通过投影算子∏向下到htα，然后创建该时间范围的有限维近似值。或者，我们可以使用f∏（t）作为我们的远期价格模型。然后，有限维近似fk（t）将在所有x上一致收敛∈ [0，T]。实际上，期货市场将有一个我们没有信息的时间范围。例如，在NordPool和EEX等自由化的电力市场中，没有结算期超过6年的期货合约。因此，在这个范围之外对期货价格曲线的动态进行建模是一项微妙的任务。然后，另一种选择显然是将建模视角局限于x中定义的到期日的动态∈ [0，T]。事实上，在这种情况下，结构条件（21）和（22）将基本满足，因为我们在任何情况下都会将模型参数限制在x上的行为∈ [0，T]。最后，我们简要讨论了FK（t）的一种可能的数值实现，即f（t）的有限维近似。自bfk（t）∈ HT，kα，我们可以表示为bfk（t）=bfk，*（t） +kXn=-kgnbfk，n（t），28 BENTH和KR"UHNERwherebfk，*（t） =bfk（t，0）g*和bfk，n（t）=hbfk（t），g*niα是C值函数。对安∈ HT，kα由此得出bk（t，h）∈ HT，kα。n的定义=-Kk函数bk，n:R+×C2k+2→ C（t，x*, 十、-Kxk）7→*bk（t，x）*G*+kXj=-kxjgj），g*n+α，bk，*: R+×C2k+2→ C（t，x*, 十、-Kxk）7→*B*（t，x*G*+kXj=-kxjgj），g*n+α。此外，ψk（t，h）∈ LHS（Hα，HT，kα）。因此，对于任何g∈ Hα我们有ψk（t，H）（g）∈HT，kα。我们定义了映射ψk，n:R+×C2k+2→ H*α; （t，x*, 十、-Kxk）7→*ψk（t，x）*G*+kXj=-kxjgj）（·），g*n+αψk，*: R+×C2k+2→ H*α; （t，x*, 十、-Kxk）7→*ψ*（t，x*G*+kXj=-kxjgj）（·），g*n的n+α=-KK

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