金融多重分形中形状的动态变化

2022-6-10 18:31:27

同时，指数多重分形奇异性谱与构成该指数的组成股票的多重分形奇异性谱相关联，反映了股票之间相关程度的不同。关键词：复杂性；时间序列；多重分形谱；世界股票市场。*通讯作者：电子邮件地址：stanislaw。drozdz@ifj.edu.pl（Stanis law Dro˙zd˙z）预印本于2018年9月19日提交给Complexity。引言多重分形是复杂性科学的核心概念。相关的多尺度方法【1-3】旨在弥合许多复杂自然现象固有的广泛时间和长度尺度，因此，它基本上渗透到所有科学学科【4】。到目前为止，它基本上在科学活动的所有领域都有应用，包括物理学[5，6]、生物学[7-9]、化学[10，11]、地球物理学[12，13]、水文学[14]、大气物理学[15]、定量语言学[16，17]、行为科学[18]、认知结构[19]、音乐[20，21]、鸣鸟节奏[22]、生理学[23，25]、人类行为[24，26，27]，社会心理学【28】和生态科学【29】，但在经济和金融领域【30–41】尤其频繁，因为实践方面和发展基于多重分形的金融动态模型的需求【31，42–45】有助于进行预测。事实上，到目前为止，金融时间序列的多重分形分析为诱发真正多重分形的因素提供了大部分量化证据，如时间长期非线性相关性，以及只有当存在这种相关性时，才存在波动分布中的厚尾[46]。然而，为了明确识别这些因素的作用并抑制潜在的虚假多重分形，所研究的时间序列必须足够长[47]。

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2022-6-10 18:31:30

此外，自然现象生成的真实时间序列，即使具有多重分形特征，通常也比数学统一多重分形模型更多地参与合成，并且它们可能包含不同多重分形特征的几个组成部分。在这种频繁的情况下，这些序列的全局层次结构会发生扭曲，多重分形谱会变得不对称，无论是左侧还是右侧，如参考文献[48]中最近所示。检测这些影响可能会提供关于控制特定时间序列动态的机制的更有价值的信息，而不仅仅是简单的声明，即它是多重分形的。例如，我们已经发现，这种不对称效应构成了识别复杂网络特定组织的非常有用的正式工具【49】。此外，相关畸变的方向可能在时间上与序列中组成成分重量的变化平行变化。经历这种影响的最直接的候选人是股票市场指数，通过构造，该指数已经是组成公司价格的总和，通常是加权的，而且这些公司本身可能对相同的外部新闻做出不同的反应，这取决于它们所属的部门。正是出于这一原因，我们研究了低于世界最大的股票市场指数。当然，这项研究的另一个更具体、更面向市场的原因是，拓宽了我们对股票市场多尺度特征在各个时期演变的历史视角，包括交易技术革命导致的全球崩溃或转型。2、多重分形形式目前存在两种不同的、普遍接受的和互补的计算方法，用于量化时间序列的多重分形特征。

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2022-6-10 18:31:33

其中一个是小波变换模极大值（WTMM）[3]，它利用了所考虑的时间序列的小波展开，另一个是多重分形去趋势波动分析（MFDFA）[50]，它基于检查在适当的趋势消除后评估的变阶矩的标度特性。虽然前一种技术可以更好地可视化时间序列中的基本模式，但后一种技术通常在数值上更精确、更稳定，因此将在此处使用。此外，目前MFDFA存在一致的推广，因此它甚至可以正确识别和量化两个时间序列之间相互关联的多重分形方面【51–53】。这种新方法称为多重分形互相关分析（MFCCA），它包括几个步骤，这些步骤在一开始是所有基于去趋势的方法所共有的。因此，我们考虑两个时间序列xi，yi，其中i=1，2。。。T然后计算每种情况下的信号量：X（j）=jXi=1[xi- hxi]，Y（j）=jXi=1【yi】- hyi），（1）其中hi表示整个时间序列的平均值。接下来，将这两个信号文件分为2Ms（Ms=int（T/s））不相交的长度段ν，从文件的开始和结束开始，在每个ν中，通过拟合m（P（m）X，ν代表X和P（m）Y，ν代表Y）阶多项式来估计假定的趋势。在典型情况下，最佳选择对应于m=2[54]。从序列中减去该趋势，并计算每个段内的去趋势交叉协方差：Fxy（ν，s）=s∑sk=1{（X（（ν- 1） s+k）- P（m）X，ν（k））××（Y（（ν）- 1） s+k）- P（m）Y，ν（k））}。

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2022-6-10 18:31:36

（2）由于Fxy（ν，s）可以假定正值和负值，因此qth阶协方差函数由以下等式定义：Fqxy（s）=2Ms∑2Msν=1sign（Fxy（ν，s））| Fxy（ν，s）| q/2，（3）其中，符号（Fxy（ν，s））表示Fxy（ν，s）的符号。式（3）中的参数q可以取除零以外的任何实数。然而，对于q=0，可以使用该方程的对数版本【50】：Fxy（s）=2Ms∑2Msν=1sign（Fxy（ν，s））ln | Fxy（ν，s）|。（4）时间序列之间的分形交叉依赖性xiand Yi然后表现为缩放关系：Fqxy（s）1/q=Fxy（q，s）~ sλq（5）（或exp（Fxy（s））=Fx，y（0，s）~ sλ表示q=0），其中λqis是对应的标度指数，其对q的依赖范围量化了所涉及的复杂度。与λqis q独立时的单分形情况相比，q相关指数的标度反映了时间序列中相关性的aricher多重分形特征。计算单个时间序列奇异谱的传统MFDFA程序可被视为上述MFCCA程序的特例，对应于取xi，yias相同。然后，公式（3）减少到：F（q，s）=h2Ms2MsXν=1[F（ν，s）]qiq（6），并减少到公式（4）中q=0的对应项。然后，多重分形（单分形）的特征被反射，类似于等式（5），byF（q，s）~ sh（q），（7），其中h（q）表示广义赫斯特指数。然后根据以下关系计算奇异谱（也称为多重分形谱）f（α）：α=h（q）+qh（q），f（α）=q[α- h（q）]+1，（8）其中α表示表征奇异强度的h¨older指数，f（α）反映h¨older指数等于α的数据点集支撑的分形维数。

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2022-6-10 18:31:39

在多重分形的情况下，奇异谱的形状通常类似于一条倒抛物线，其复杂程度直接由f（α）的宽度量化：α=α最大值- αmin，（9），其中αmin和αmax对应于通过不同q-矩投影出的α值的两端（等式（6））。对于单分形信号，光谱会收敛到一个点，尽管在实践中这往往是一个微妙的问题。多重分形谱的另一个重要特征是其不对称性（偏度），可通过对称系数Aα来量化=αL- αRαL+αR，（10）式中αL=α- α米南德αR=αmax- α，对于α，谱f（α）假设为最大值。Aα的正值反映了f（α）的左侧不对称性，即其左臂相对于右臂伸展，并且在时间序列的大波动水平上，多重分形更加发达。另一方面，负Aα反映了谱的右侧不对称性，并表明较小的函数的时间组织是多重分形的主要来源。方程（3）定义的一系列函数也可用于定义q相关的去趋势互相关（qDCCA）[55]系数ρq（s）=Fqxy（s）pFqxx（s）Fqyy（s），（11），这允许量化两个时间序列xi、yi在去趋势后和不同时间尺度下的互相关程度。此外，通过改变参数q，可以确定在研究的两个信号中相关性最大的去趋势振幅范围【55】。ρq（s）的这种过滤能力构成了一个重要优势，因为时间序列之间的互相关通常不会均匀分布在其不同量级的波动上【56】。3.

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2022-6-10 18:31:42

数据规格在本研究中使用了两组数据：o1950年1月3日至2016年12月29日期间标准普尔500指数和纳斯达克指数的日价格（16496个数据点）。1971年之前纳斯达克的价值（该指数的正式发布日期为1971年2月5日）是根据历史数据重建而来的【57】。o1962年1月1日至2017年7月7日期间在纽约证券交易所上市的9只股票的日价格（13812点）。被分析的公司包括通用电气公司、美国铝业公司、IBM国际商业机器公司、可口可乐公司、波音公司、卡特彼勒公司、迪士尼公司、惠普公司、杜邦公司。事实上，在如此长的一段时间内，只有这些股票参与了道琼斯工业平均指数（DJIA），因此也参与了标准普尔500指数。然而，它们代表了一大系列的经济部门，因此可以被视为大型美国指数的合理代表。对于每个时间序列，对数回报率根据方程r（t+t） =ln p（t+t）- ln p（t），（12），其中p（t）表示股票价格或指数值t代表时间间隔(t=1天）。所有时间序列都进行了归一化，使其具有单位方差和零均值。4、结果4.1。S＆P500和Nasdaqt S＆P500和NASDAQindices的MFDFA多重分形谱f（α）如图1所示。对于这两个指数，波动函数SF（q，s）揭示了近二十年来令人信服的幂律行为，这在相应的右下方插图中显示，因此f（α）是明确确定的。参数q在区间内取值-4.≤ q≤ 4，这在金融应用中很常见，因为它可以安全地避免计算函数F（q，s）时出现发散力矩的危险。

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2022-6-10 18:31:44

图1中相应的左上角面板显示了此处考虑的两个指数的回归函数的累积分布，可以看出，不会产生比逆三次幂律更厚的尾部【58，59】，因此不存在发散的危险。所得光谱的宽度α ≈ 标准普尔500指数为0.4，纳斯达克指数为0.32。该结果的重要性还与f（α）的两个零假设进行了对比，f（α）是根据（i）通过随机序列从原始序列中获得的序列，从而破坏所有时间相关性（绿色三角形）和（ii）破坏非线性相关性（蓝色正方形）的原始序列的傅立叶相位随机计数部分计算得出的。很明显，这两个测试中的f（α）光谱缩小到单分形的一个特征。测试的另一种替代形式是带有高斯化pdf的时间序列。在后一种情况下，原始pdf被高斯分布代替，而振幅ranksof fluction保持不变。由此产生的多重分形谱似乎只比原始谱略窄，因此它们未显示在图1中。因此，所有这些测试都为原始时间序列的多重分形提供了令人信服的证据，此外，也证实了这一事实，即正如预期的那样，多重分形是由非线性时间相关性造成的。获得的多重分形光谱同时具有明显的左侧不对称性【48】。不对称系数Aα≈ 标普500指数为0.3，纳斯达克指数为0.31。f（α）的左侧由正eq值确定，正eq值过滤掉较大的事件，相反的值适用于该光谱的右侧。因此，在目前的情况下，这意味着正是大回报的动力发展出比小回报更为显著的多重分形组织。无花果

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2022-6-10 18:31:48

1显示了在整个时间跨度内计算时间序列的结果。似乎用较短的时间滚动来探测这一周期揭示了相应多重分形谱的非平凡且非常有趣的时间依赖性。这里，窗口大小超过5000个数据点（相当于大约20年），在存在时间相关性的情况下，时间足够长，以保证结果的稳定性【47】（没有这种相关性需要更长的序列【47】），窗口随着20个点的步进移动（大约0.0,2.0,40,60,8α0,20,40,60,81f（α）原始数据的傅立叶变换数据替代0,2 0,4 0,6 0,8α0,20,40,60,81f（α）原始数据傅里叶替代10 100 1000 s110F（q，s）10 100 1000 s110F（q，s）100101102 | r | 10-410-2100 c.d.f.100101102 | r | 10-410-2100 c.d.f.s&P500NASDAQ | r |-3 | r |-3图1：主面板：计算的多重分形谱1950年1月3日至2016年12月29日期间的标普500指数和纳斯达克指数（黑点）。傅里叶相位随机替代物和随机shuf fled时间序列的平均光谱分别用蓝色正方形和绿色三角形表示。左上方的插图显示收益率波动的累积分布，右下方的插图显示为原始标准普尔500指数和纳斯达克指数系列计算的波动函数。一个日历月）。标准普尔500指数和纳斯达克指数的计算结果分别见图2和图3。这些图中的面板（a）显示了在此类窗口内连续计算的奇异谱f（α）序列，以及分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的终点。因此，对于1950年1月开始的时间序列，第一个日期出现在图中。2和3对应于1969年1月。

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2022-6-10 18:31:52

为了更好地可视化α和Aα，这些图中的面板（b）显示了f（α）在时间（t）α平面上的投影。影响世界金融市场的三个历史上最受认可的事件用垂直虚线表示。这是1987年10月19日的黑色星期一，2000年3月10日网络泡沫破裂，2008年9月15日雷曼兄弟破产。显然，在这样一个20年的时间窗口中，f（α）的演变揭示了f（α）宽度及其不对称性的巨大变化，然而，这两个指数的变化都有所不同。对于1985年左右的标普500指数，频谱相对较宽，然后开始快速变窄，但这种变窄主要是由于右臂收缩f（α）。在1993年左右结束的时间窗口内，这只手臂几乎消失，直到最近几年才开始恢复。有趣的是，f（α）的左侧甚至在几年前就变宽了。纳斯达克谱f（α）也经历了可预见的时间变化，但与标准普尔500指数的变化不同。平均而言，从大约黑色星期一到2000年网络泡沫破裂之间的时间窗口，这一光谱范围更广，而且非常不对称，但这种不对称是由于f（α）的左侧突然拉伸，而右侧没有太大变化。在图2和图3中，还可以看到f（α）最大值位置的变化，这与时间序列中的持续性程度有关。直接量化该属性的参数是赫斯特指数H=H（2）。图4显示了赫斯特指数H，宽度α、不对称系数aα和宽度αL（R）表示图2（S和P500）所示多重分形谱的时间序列，而图5显示了与图3（NASDAQ）相对应的这些特征。

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2022-6-10 18:31:55

1987年10月19日的黑色星期一和2008年11月15日雷曼兄弟破产，这两个日期被视为与其中一些数量几乎不连续的变化有关，这两个日期用垂直虚线表示。虽然黑色星期一对纳斯达克的影响比标准普尔500指数大得多，但后者早在两年前就开始假设类似的趋势，但雷曼兄弟破产的影响只是a）b）图2：面板（a）：对于1950年1月3日至2016年12月29日的标准普尔500指数，在20年滚动窗口内计算的奇异谱f（α）序列。分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的终点。此窗口以大约相当于一个日历月的20个点的步长移动。黑色销售线对应f（α）的左侧，蓝色线对应f（α）的右侧。面板（b）：面板（a）的f（α）在时间（t）-α平面上的投影。红线表示连续窗口中f（α）最大值的位移。垂直虚线表示1987年10月19日的黑色星期一，2000年3月10日互联网泡沫破裂，2008年9月15日雷曼兄弟破产。a） b）图3：如图2所示，但对纳斯达克数据进行了分析。恰恰相反。这次是标普500指数突然上涨α增加了约2倍，但值得注意的是，这种增加完全是由于f（α）的左臂收缩所致。图6部分确定了这些标准普尔500指数与纳斯达克指数差异的来源，其中显示了这两个指数的日收益率的变化，以及最具信息量的当地（在S=500个交易日的滚动窗口中）去趋势方差的时间依赖性。

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2022-6-10 18:31:58

在黑色星期一前后，纳斯达克的这种差异比标普500大得多，这与纳斯达克在f（α）中的阿沙普左臂伸展平行。另一方面，在雷曼兄弟（LehmanBrothers）破产前后，尽管纳斯达克的去趋势方差仍略大于标准普尔500指数，但要比互联网泡沫破裂前后小得多。在标准普尔500指数的情况下，相应的发展正好相反，更大的变化伴随着雷曼兄弟的破产。因此，在后一个时期，纳斯达克指数的偏离方差减小，而标普500指数的偏离方差增大，正是在这一时期，标普500指数的f（α）左臂经历了进一步的拉伸。值得注意的是，这两个指数的赫斯特指数从过去到现在平均都在下降，近年来的值甚至低于0.5，这表明存在反持久性[60]。在这方面尤其单调的是标准普尔500指数——世界经济最重要的全球指标之一——其赫斯特指数在考虑的整个时间跨度内平均系统性地下降，在过去几年甚至稳步下降到0.4以下。有人推测[60，61]，H的这些值表示接近碰撞区。鉴于这一结果，需要越来越认真地考虑到对数周期情景[62]，该情景表明2025年左右世界经济衰退的幅度比迄今为止世界经历的任何情况都要大得多。窗口探测无花果的多重分形光谱。

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2022-6-10 18:32:01

直到大约20世纪80年代中期，标普500指数和纳斯达克指数的2和3在整个重新考虑的时间间隔的上半年比下半年更为相似。这种相似性或相异性似乎甚至出现在多重分形同步的更深层次上，如等式5所示的适当互相关度量所反映的。从这两半中选取两个大约20年的长时间段，分别为1957年9月25日至1977年8月26日和1989年5月19日至2008年3月20日，标准普尔500指数和纳斯达克指数之间的互相关函数根据公式5计算，结果如图7所示。非常有趣的是看到0,30,40,50,60,7 H00,20,40,6α-0300,30,60,9α1969年8月5日1977年4月198503年1993年2月2001年2月2009年2月2017年2月时间00,20,40,6αL（R）αLαRSymmetryLeft sided Asymetry1987年10月19日Right sided AsymetryBlack周一2008年9月15日雷曼兄弟银行破产（a）（b）（c）（d）2000年3月10日网络泡沫图4：对于标准普尔500指数：赫斯特指数H，宽度α、不对称系数Aα和宽度图2.0,30,40,50,60,7 H00,20,40,6中20年多重分形谱时间序列的αL（R）α-0300,30,60,9α1/1969 05/1977 04/198503/1993 02/2001 02/2009 02/2017时间00,20,40,6αL（R）αRαLSymmetryLeft-sided asymetry1987年10月19日右侧asymetryblack周一2008年9月15日雷曼兄弟银行破产（a）（b）（c）（d）2000年3月10日网络泡沫图5：对于纳斯达克：赫斯特指数H，宽度α、不对称系数Aα和宽度20年多重分形谱时间序列的αL（R）图。

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2022-6-10 18:32:04

3.10/1951 07/196507/197905/199304/200703/2015 TIME000050010015去趋势方差NASDAQS&P500-20-10010-20-1001020标准化收益S&P500NASDAQBlack Mondays=500雷曼兄弟CollapseDot com bubble1973-74股市崩溃图6：两个上部面板：1950年1月3日至2016年12月29日期间标准普尔500指数和纳斯达克指数的每日收益。底部面板：标准普尔500指数（红线）和纳斯达克指数（黑线）对应的去趋势方差。10 100 1000 scale0010010,1 Fxy（q，s）10 100 1000 scale0010010,1 Fxy（q，s）25.09.1957-26.08.1977q<0q>0q>0q<019.05.1989-20.03.2009图7:s&P500和NASDAQ之间的互相关函数根据公式5计算-4.≤ q≤ 4分两个时期：1957年9月25日至1977年8月26日和1989年5月19日至2009年3月20日。在这些时期的第一个时期，波动函数显示出明显的缩放趋势，这表明两个指数之间甚至在多重分形组织的水平上也存在相互关联。这将保持其小波动水平，如负q值所测量的。在这些时间间隔中的第二个时间间隔中，虽然对于正q值，人们可能仍然看到一些标度残余，但对于负q值，没有标度残余，因此指标系统性地失去了多重分形同步性，在小波动水平上，这种同步性完全丧失。4.2. 指数与公司前一小节中所述的两个指数多重分形特征的时间显著变化反映了不同的市场阶段，并且这些阶段在组成股票之间的耦合程度上有所不同，这是很自然的。这些是交易中的单个股票，它们的多重分形特征的叠加决定了指数的f（α），而不是必然的。

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大多数88

2022-6-10 18:32:07

很明显，在许多多种族时间序列的不相关中，当成分序列的数量增加时，多重分形逐渐消失，此外，这种限制情况通常是不对称的[48]。因此，人们可能会预期，形成一篮子指数的公司之间的更强耦合，也会避免该指数的多重分形。在目前情况下，根据4567878910价格指数对数01/1970 01/197801/198601/1994 01/2002 01/2010 Time34567道琼斯9家公司指数和P500图8：1962年1月1日至2017年7月7日期间，标准普尔500指数、道琼斯指数和纽约证券交易所上市的9支道琼斯工业平均指数之和的日价格（13812点）。这些公司包括通用电气、美国铝业、IBM国际商业机器、可口可乐、波音、卡特彼勒、迪士尼、惠普、杜邦。为了更详细地研究这种影响，通过总结第3节中列出的9家公司的价格，形成了道琼斯工业平均指数的代理。然而，令人惊讶的是，它准确地跟踪了整个道琼斯工业平均指数的变化，甚至是标普500指数的所有重大变动，如图8所示。这可能反映出这9家公司分布在不同的市场部门，总体上很好地代表了全球道琼斯工业平均指数市场。投影到时间（t）-α平面上的多重分形谱fi（α）的计算结果，这些N=9家公司的标记为i（因此这里i=1，…，9），为了说明清楚，由一个平均值f（α）=N表示-图9的面板（a）和（b）相应地显示了1Pi=Ni=1fi（α）和从这9家公司构建的指数，在与之前相同的滚动窗口中。根据这些结果可以得出一些有趣的观察结果。

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2022-6-10 18:32:10

一个主要发现是宽度f的α永远不会小于全球9家公司指数的α，这是可以理解的，因为在所有参与公司的价格完全相关的情况下，预期会出现平等。一些去相关（在实际市场中总是如此）应该会导致全球9家公司指数的f（α）缩小。在黑色星期一和莱曼兄弟破产之间的时间段内，观察到所考虑的两种情况下多重分形谱宽度之间存在显著更大的差异，过渡几乎是急剧的。然而，这种差异源于在该时期内f（α）左侧的突然拉伸，这表明单个公司价格变化的多重分形在较大波动水平上比在较小波动水平上更为明显。当这些公司的价格汇总形成全球9家公司指数时，这一巨大的左侧拉伸显著减少，这表明单个股票的大幅波动之间并不完全相关。尽管如此，在市场最不稳定的时期（图6），即使是全球指数也保持了f（α）的左侧不对称性，表明非线性相关性在大波动水平上占主导地位。一个特别有趣的相关案例发生在1990年10月至1994年4月期间，如图9中两条垂直点线所示。在这一时期，单个公司的多重分形谱平均发展为广泛的多重分形谱，而相应的全球9公司指数的f（α）非常窄，可以认为是单分形的。

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可人4

2022-6-10 18:32:13

造成这种结果的一个可能原因是，组成股票价格变化之间的交叉相关性受到了实质性抑制【48】。使用相关矩阵xc=（1/T）MMT，（13）验证这种可能性，其中M表示由长度为T的N个时间序列xi（T）形成的N×T矩形矩阵。因此，矩阵C的条目对应于传统的皮尔逊相关系数。通过对角化C（Cvk=λkvk），可以得到特征值λk（k=1，…，N）和相应的特征向量svk。在完全随机信号的极限情况下，特征值密度ρC（λ）在解析上已知为ρC（λ）=Q2πσp（λmax- λ)(λ - λmin）λ，（14），其中给出了该分布的下λmin和上λmaxbounds（a）（b）（c1）（c2）（c3）~ 9家公司的指数平均谱9家公司f（）图9：在20年滚动窗口内计算出的平均谱f（α）（a）以及图8（b）中9家公司的艺术指数的奇异谱f（α）序列的时间（t）-α平面上的投影。分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的结束点。此窗口以20个点的步长移动，对应于大约一个日历月。红线表示f（α）的最大值在连续窗口中的位移。垂直虚线表示1987年10月19日的黑色星期一和2008年9月15日LehmanBrothers的破产，虚线表示1990年10月和1994年4月。

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2022-6-10 18:32:16

底部三个面板显示相应的赫斯特指数H（c1），宽度α（c2）和不对称系数Aα（c3）。1981年12月1989年9月8日199708年8月200508年3月13日时间00511522533545566577588,59λ1，γ1λ1γ1100010000指数1987年10月19日星期一雷曼兄弟2008年9月15日的破产海湾华纳区λmaxλmin图10：蓝线显示关联矩阵的最大特征值λ的时间依赖性，该矩阵由代表图9中9家公司在s=100个交易日的滚动窗口中的每日回报的时间序列构建。红线显示由ρq（s）系数组成的类似滚动窗口矩阵的最大特征值γ，如等式11所定义，取q=2。λmaxmin=σ（1+1/Q±2p1/Q）。（15）在此表达式中，Q=T/N≥ 1和σ等于时间序列的方差。λmax上方最大特征值λ的偏离度是参与时间序列之间相关性强度的度量【4,66】。对于图10所示的T和Nare的这些特定值，与λmax和λmin设定的噪声状态相比，当前N=9时，长度为T=100个交易日的滚动时间窗口中最大特征值λ的幅度变化。此外，在同一图中，还显示了由ρq（s）系数组成的类似矩阵的最大特征值γ的变化，该系数由式11定义，取q=2表示s=100。很明显，在这两种度量中，最大特征值假设在感兴趣的时间段内（就在1990年10月至1994年4月之间）的值最低。在某一点上，λ值甚至触及纯随机序列的边界。因此，在这段时间内研究的相关性最低的9家公司的情况确实适用，这解释了全球9家公司指数的f（α）很窄。5.

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可人4

2022-6-10 18:32:19

结论目前，多重分形对复杂时间序列的求积在不同领域有着广泛的应用。然而，迄今为止，科学文献中提出的大多数相关研究仅限于对奇点谱的单独估计，如果发现多重分形，通常将其视为此类序列层次结构的证据，并且此类谱的宽度被视为所涉及复杂度的度量。虽然这表明确实存在某种级联式的层级组织，但在现实情况下，这种组织很少是统一的。自然过程生成的时间序列可能包含多个卷积分量，每个分量具有不同的层次生成器，这导致奇点谱的不对称性。更重要的是，这些成分的贡献可能随时间而变化，这可能会引入进一步的动力学变化。事实上，金融市场在不断变化的外部条件中不断发挥作用，这是成为此类影响对象的自然选择。这几乎可以直接应用于股票市场指数，因为它们通过构造构成所选股票价格的平均值（通常加权，但并不总是如此），呈现不同的经济部门，因此不一定遵循相同的多重标度特征。这些股票之间的关联程度也取决于全球市场的阶段。本文基于半个多世纪以来对标准普尔500指数和纳斯达克这两个世界领先的股票市场指数的每日记录，表明它们通过各种形状揭示了多重分形谱所表达的多重标度特征，其变化通常与世界经济经历的历史上最重要的事件相关。

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2022-6-10 18:32:22

从更广泛的角度来看，这些结果表明，多重分形谱的形式，尤其是其与均匀级联的模型数学情况的偏离，包含了丰富的信息，如果正确解释和潜在解开，可以提供对潜在动态的非常有价值的见解，这对于更准确地建模金融市场可能具有至关重要的价值。考虑到此处暴露的影响，也可能对市场监管机构和决策者稳定市场以及灵活的投资组合优化非常有帮助。最后将全球（此处为指数）多重分形谱与子系统（此处为公司）的相应多重分形谱相关联的第4.2小节中介绍的方法提供了一种适当的定量工具，在解决和实证研究与所谓的复杂性匹配相关的各种问题时，其潜在应用范围远远超出了财务背景例如，那些在心理学/认知领域的人【24，68-71】。如图9中的示例所示，这种光谱宽度之间的差异反映了子系统之间潜在复杂性匹配的强度，并且这种强度可能随时间而变化。例如，最弱的匹配对应于1990年10月至1994年4月之间的时期。此外，了解f（α）不对称性的相对变化可能允许有选择地扫描这种匹配的变化强度，以获得不同的波动范围。当然，就世界金融市场而言，人们可能只依赖于观察，就其本质而言，不存在建立世界金融实验的现实可能性。

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何人来此

2022-6-10 18:32:25

由于属于社会心理学领域的现象构成了推动市场的重要因素，因此，适当协调的多学科联合协作可能有助于理解金融市场和其他复杂系统中的跨尺度依赖关系和信息流。确认本研究部分得到PLGrid基础设施的支持。参考文献[1]T.C.Halsey、M.H.Jensen、L.P.Kadano Off、I.Procccia和B.I.Shraiman，“分形测度及其奇点-奇异集的表征”，PhysicalReview A，第33卷，第1141-11511986页。[2] B.B.Mandelbrot，“多重分形测度，特别是对地球物理学家而言”，《纯粹和应用地球物理学》，第131卷，第5-42页，1989年。[3] J.-F.Muzy、E.Bacry和A.Arneodo，“用小波重新审视多重分形形式主义”，《国际分歧与混沌杂志》，第4卷，第245-3021994页。[4] J.Kwapie\'n和S.Dro˙zd˙z，“复杂系统的物理方法”，《物理报告》，第515卷，第115-226页，2012年。[5] J.F.Muzy、E.Bacry、R.Baile和P.Poggi，“从混合渐近区域的多重分形标度律中发现潜在奇点。《湍流应用》，EPL（欧洲物理学通讯），第82卷，文章ID 600072008年。[6] A.R.Subramaniam、I.A.Gruzberg和A.W.W.Ludwig，“二维自旋量子霍尔跃迁的边界临界性和多重分形”，物理评论B，第78卷，文章ID 245105，2008年。[7] P.Ch.Ivanov、L.A.N.Amaral、A.L.Goldberger、S.Havlin、M.G.Rosenblum、Z.R.Struzik和H.E.Stanley，“人类心跳动力学中的多重分形”，《自然》，第399卷，第461-4651999页。[8] D.Makowiec、A.Dudkowska、R.Ga l,aska和A.Rynkiewicz，“功率谱范围内RR心脏序列单分形的多重分形估计”，Physica A，第388卷，第3486-35022009页。[9] A.Rosas、E.Nogueira Jr.和J.F。

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2022-6-10 18:32:28

Fontanari，“DNA行走和轨迹的多重分形分析”，物理评论E，第66卷，文章ID 0619062002。[10] H.E.Stanley和P.Meakin，“物理和化学中的多重分形现象”，《自然》，第335卷，第405-4091988页。[11] V.V.Udovichenko和P.E.Strizhak，“自组织化学系统中形成的铜膜的多重分形特性”，理论与实验化学，第38卷，第259-2622002页。[12] A.Witt和B.D.Malamud，“地球物理时间序列中长期持久性的量化：传统和基于基准的改进技术”，《Surveysin Geophysics》，第34卷，第541-6511913页。[13] L.Telesca、V.Lapenna和M.Macchiato，“地震相关地电信号中的多重分形波动”，《新物理杂志》，第7卷，文章ID 214，2005年。[14] E.Koscielny Bunde、J.W.Kantelhardt、P.Braund、A.Bunde和S.Havlin，“河流径流记录的长期持续性和多重分形：去趋势洪水研究”，《水文学杂志》，第322卷，第120-137页，2006年。[15] J.W.Kantelhardt、E.Koscielny Bunde、D.Rybski、P.Braun、A.Bunde和S.Havlin，“降水和河流径流记录的长期持久性和多重分形”，《地球物理研究杂志》（大气），第111卷，D011061006年。[16] M.Ausloos，“映射到频率和长度时间序列的原始和翻译文本的广义赫斯特指数和多重分形函数”，物理评论E，第86卷，文章ID 0311082012。[17] S.Dro˙zd˙z，P.Oswiecimka，A.Kulig，J.Kwapien，K.Bazarnik，I.GrabskaGradzinska，J.Rybicki和M.Stanuszek，“叙事文本中长距离相关性的量化起源和特征”，信息科学，第331卷，第32442016页。[18] E.A.F.Ihlen和B.Vereijken，《人类行为的多重分形形式》，《人类运动科学》，第32卷，第633-6512013页。[19] J.A.Dixon，J.G.Holden，D。

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2022-6-10 18:32:31

Mirman和D.G.Stephen，“认知结构出现中的多重分形动力学”，《认知科学主题》，第4卷，51-612012页。[20] G.R.Jafari、P.Pedram和L.Hedayatifar，“巴赫发明基调中的长程相关性和多重分形”，《统计力学杂志》，第40122007页。[21]P.O'swi'ecimka，J.Kwapie'n，I.Celi'nska，S.Dro'zd'z和R.Rak，“多重分形音乐的计算方法”，arXiv:1106.29022011。[22]T.C.Roeske、D.Kelty Stephen和S.Wallot，“多重分形分析揭示鸣鸟节奏中类似音乐的动态结构”，科学报告，第8卷，文章ID45702018年。【23】Z.Nagy、P.Mukli、P.Herman和Andras Eke，“分解多重分形交叉”，《生理学前沿》，第8卷，文章ID 533，2017年。【24】D.G.Stephen、W-H.Hsu、D.Young、E.L.Saltzman、K.G.Holt、D.J.Newman、M.Weinberg、R.J.Wood、R.Nagpal和E.C.Gold Field，“婴儿自发踢腿时关节角的多重分形波动揭示了多重性驱动的协调”，《混沌、孤子和分形》，第45卷，第1201-12192012页。【25】D.Ghosh、S.Dutta和S.Chakraborty，“癫痫患者在癫痫发作和无癫痫发作状态下的多重分形去趋势互相关分析”，混沌、孤子和分形，第67卷，第1-10页，2014年。[26]C.-H.You、D.-I.Lee和K.Kim，“游戏行为中多重分形强度的分析”，《韩国物理学会杂志》，第66卷，第1617-16222015页。【27】P.D.Doma'nski，“过程控制变量的多重分形特性”，《国际混沌与混沌杂志》，第27卷，第6期，文章ID 17500942017。[28]D.G.Kelty Stephen，“将无组织协调的多重分形社会心理学槽引入群体内互动：三幕协调的故事”，《混沌、孤独与分形》，第104卷，第363-3702017页。[29]D.G.Kelty Stephen，K.Palatinus，E。

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2022-6-10 18:32:34

Saltzman和J.A.Dixon，“生态科学经验时间序列的多重分形、级联和互动教程”，生态心理学，第25卷，第1-62页，2013年。[30]M.Ausloos和K.Ivanova，“证券交易所价格的多重分形性质”，计算机物理通信，第147卷，第582-5852002页。[31]L.Calvet和A.Fisher，“资产回报的多重分形：理论和证据”，《经济学和统计学评论》，第84卷，第381-4062002页。【32】A.Turiel和C.J.Perez Vicente，“多重分形源在股市时间序列分析中的作用”，Physica A，第355卷，第475-4962005页。【33】P.O'swi'ecimka，J.Kwapie'n和S.Dro'zd'z，“股票市场的多重分形：价格增量与等待时间”，Physica A，第347卷，第626-6382005页。[34]W.-X Zhou，“金融回报中的经验多重分形成分”，EPL（欧洲物理学通讯），第88卷，文章ID 280042009。【35】M.I.Bogachev和A.Bunde，“多重分形记录中改进的风险估计：金融风险价值的应用”，物理评论E，第80卷，文章ID026131，2009年。【36】苏志勇、王永泰和黄海燕，“台湾证券交易所的多重分形去趋势波动分析”，《韩国物理学会杂志》，第54卷，第1395-14022009页。【37】S.Dro˙zd˙z、J.Kwapie'n、P.O'swi,ecimka和R.Rak，“外汇市场：收益分布、多重分形、异常多重分形和Epps效应”，《新物理杂志》，第12卷，文章ID 105003，2010年。【38】P.O'swi'ecimka、S.Dro'zd'z、J.Kwapie'n和A.z.G'orski，“多重分形特征的去趋势效应”，《波兰物理学学报》，第123卷，第597-6032013页。【39】S.Dutta、D.Ghosh和S.Chatterjee，“印度视角下外汇和敏感度波动的多重分形去趋势互相关分析”，Physica A，第463卷，pp。

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2022-6-10 18:32:37

188-201, 2016.[40]D.Grech，“多重分形内容的替代度量及其在金融中的应用”，混沌、孤子和分形，第88卷，第183-1952016页。【41】S.Bayraci，“选定主权债券市场的多重分形和效率测试：多重分形去趋势移动平均（MF-DMA）分析”，《国际计算经济学和计量经济学杂志》，第8卷，第95-1202018页。[42]E.Bacry、J.Delour和J.F.Muzy，“利用多重分形随机游动对金融时间序列建模”，Physica A，第299卷，第84-92页，2001年。【43】P.O'swi'ecimka，J.Kwapie'n，S.Dro'zd'z，A.z.G'orski和R.Rak，“资产回报与真实股市动态的多重分形模型”，《物理学报》，第37卷，第3083-3092页，2006年。[44]T.Lux，“资产回报的马尔可夫转换多重分形模型”，《商业与经济统计杂志》，第26卷，第194-210页，2008年。【45】J.Perell、J.Masoliver、A.Kasprzak和R.Kutner，“人类通信中具有长尾巴和多重分形的事件间时间模型：金融交易的应用”，《物理评论》E，第78卷，文章编号036108，2008年。【46】W.-X.Zhou，“有限规模效应和金融波动中多重分形的组成”，混沌、孤子和分形，第45卷，第147-155页，2012年。【47】S.Dro˙zd˙z、J.Kwapie'n、P.O'swi,ecimka和R.Rak，“时间序列中多重分形微妙的定量特征”，EPL（欧洲物理学快报），第88卷，文章ID60003，2009年。【48】S.Dro˙zd˙z和P.O'swi,ecimka，“检测和解释复杂时间序列层次结构中的扭曲”，《物理评论》E，第91卷，文章ID030902（R），2015年。【49】P.O'swi,ecimka，L.Livi和S.Dro˙zd˙z，“右侧拉伸多重分形谱表明网络中的小世界性”，《非线性科学与数值模拟通信》，第57卷，第231-245页，2018年。[50]J.W.Kantelhardt，S。

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2022-6-10 18:32:40

A、 Zschiegner、E.Koscielny Bunde、S.Havlin、A.Bunde和H。E、 Stanley，“非平稳时间序列的多重分形去趋势波动分析”，Physica A，第316卷，第87-114页，2002年。【51】B.Podobnik和H.E.Stanley，“去趋势互相关分析：分析两个非平稳时间序列的新方法”，《物理评论快报》，第100卷，文章ID 0841022008年。【52】W.-X.Zhou，“两个非平稳信号的多重分形去趋势互相关分析”，物理评论E，第77卷，文章ID 066211，2008年。【53】P.O'swi'ecimka，S.Dro'zd'z，M.Forczek，S.Jadach和J.Kwapie'n，“去趋势交叉相关分析一直扩展到多重分形”，Physical ReviewE，第8卷，文章ID 0233052014。【54】P.O'swi'ecimka，J.Kwapie'n和S.Dro'zd'z，“多重分形结构的小波与去趋势流动分析”，物理评论E，第74卷，文章ID 0161032006。【55】J.Kwapie\'n，P.O\'swi,ecimka和S.Dro˙zd˙z，“去趋势流动分析使之能够检测交叉相关流动的范围”，物理评论E，第92卷，文章ID 052815，2015年。【56】J.Kwapie\'n，P.O\'swi,ecimka，M.Forczek和S.Dro˙zd˙z，“不同时间尺度和波动大小的相关性最小生成树过滤”，PhysicalReview E，第95卷，文章ID 052313，2017年。【57】数据来源：https://stooq.pl/【58】P.Gopikrishnan、M.Meyer、L.A.N.Amaral和H.E.Stanley，“股票价格变化概率分布的逆三次定律”，《欧洲物理杂志》，第3卷，第139-140页（快速注释），1998年。【59】S.Dro˙zd˙z、M.Forczek、J.Kwapie'n、P.O'swi,ecimka和R.Rak，“股票市场回报分布：从过去到现在”，《Physica A》，第383卷，第5964页，2007年。[60]D.Grech和Z.Mazur，“能否利用局部赫斯特指数的思想进行金融崩溃预测？”，Physica A，第336卷，第133-145页，2004年。[61]L。

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