基于配分函数法的联合多重分形分析：

1484

收藏 2022-05-09

英文标题：
《Joint multifractal analysis based on the partition function approach:
  Analytical analysis, numerical simulation and empirical application》
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作者：
Wen-Jie Xie and Zhi-Qiang Jiang and Gao-Feng Gu and Xiong Xiong and
  Wei-Xing Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Many complex systems generate multifractal time series which are long-range cross-correlated. Numerous methods have been proposed to characterize the multifractal nature of these long-range cross correlations. However, several important issues about these methods are not well understood and most methods consider only one moment order. We study the joint multifractal analysis based on partition function with two moment orders, which was initially invented to investigate fluid fields, and derive analytically several important properties. We apply the method numerically to binomial measures with multifractal cross correlations and bivariate fractional Brownian motions without multifractal cross correlations. For binomial multifractal measures, the explicit expressions of mass function, singularity strength and multifractal spectrum of the cross correlations are derived, which agree excellently with the numerical results. We also apply the method to stock market indexes and unveil intriguing multifractality in the cross correlations of index volatilities.
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中文摘要：
许多复杂系统都会产生多重分形时间序列，这些时间序列是长程互相关的。人们提出了许多方法来描述这些长程互相关的多重分形性质。然而，关于这些方法的几个重要问题还没有得到很好的理解，大多数方法只考虑一阶矩。我们研究了基于二阶矩配分函数的联合多重分形分析，它最初是为了研究流体场而发明的，并从解析角度推导了几个重要性质。我们将该方法数值应用于具有多重分形互相关的二项式测度和不具有多重分形互相关的二元分数布朗运动。对于二项式多重分形测度，导出了互相关的质量函数、奇异强度和多重分形谱的显式表达式，与数值结果非常吻合。我们还将该方法应用于股票市场指数，揭示了指数波动率交叉相关性中有趣的多重分形。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability 数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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Joint_multifractal_analysis_based_on_the_partition_function_approach:_Analytical.pdf
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kedemingshi

2022-5-9 05:26:25

基于分区函数法的联合多重分形分析：分析分析、数值模拟和实证应用谢文杰1,2,3、姜志强1,2、高峰谷1,2、雄雄4,5、周伟星1,2,6华东科技大学商学院上海200237华东科技大学中国经济物理研究中心，上海200237，华东科技大学中国博士后研究站，上海200237，天津大学中国管理与经济学院，天津300072，天津大学中国社会计算与分析中心，天津300072，华东科技大学中国数学系，上海200237，中国电邮：xxpeter@tju.edu.cn和wxzhou@ecust.edu.cnAbstract.许多复杂系统都会产生多重分形时间序列，这些时间序列是长程互相关的。人们提出了许多方法来描述这些长程互相关的多重分形性质。然而，关于这些方法的几个重要组织还没有得到很好的理解，大多数方法只考虑一个矩阶。我们研究了基于两阶矩分函数的联合多重分形分析，该分析最初是为了研究流场而发明的，并从分析角度推导了几个重要性质。我们将该方法数值地应用于具有多重分形互相关的二项式测度和不具有多重分形互相关的二元分形布朗运动。对于二元多重分形测度，导出了互相关的质量函数、奇异强度和多重分形谱的显式表达式，与数值结果吻合得很好。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:26:28

我们还将该方法应用于股票市场指数，揭示了指数波动率交叉相关性中有趣的多重分形。关键词：联合多重分形分析，配分函数，互相关，经济物理学。基于配分函数方法的联合多重分形分析21。引言从不同视角对复杂演化系统的测量为我们提供了许多时间序列，这些时间序列通常是长程交叉相关的，并表现出多重分形性质。在湍流中，有速度场、温度场和浓度场嵌入在同一个空间域中。可以在执行位置测量这些量，以获得相互关联的时间序列[1,2]。在金融市场中，也有许多相互关联的对，例如市场指数波动率、不同市场的价格回报率、不同股票的价格回报率、同一股票的不同数量[3–10]。

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mingdashike22

2022-5-9 05:26:31

此外，例子来自非常不同的领域，包括农学[11,12]、地震数据[13]、气象学[14-16]、医学[17,18]、地球物理学[19]、交通[20-22]，等等。为了提取一对多重分形时间序列之间的联合多重分形，已经开发了多种方法，例如基于配分函数方法[27]执行联合多重分形分析[1,2,23–26]的MF-X-PF方法，基于去趋势函数分析[29,30]执行多重分形去趋势互相关分析[28]，多重分形去趋势波动分析[31-33]，以及去趋势互相关分析[4,34-40]，基于去趋势移动平均分析[42-52]和多重分形去趋势移动平均分析[53,54]以及多重分形高度互相关分析（MF-HXA）方法[55]进行多重分形去趋势互相关分析的MF-X-D方法[41]，多尺度多重分形去趋势互相关分析（MMDCCA）[56]，以及MF-DPXA方法[57]，该方法推广了考虑部分相关性的去趋势部分互相关分析[58,59]。适当设计的统计测试可用于量化这些相互关系[60–62]。联合多重分形分析是一种经典方法，已被用于研究自然和社会科学[3,11,12,14,15,17,26]中记录的不同时间序列对之间的联合多重分形性质。由于其优雅的几何性质，可以导出许多重要的性质，但在上述其他方法的框架中，这是非常困难的。

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mingdashike22

2022-5-9 05:26:35

虽然αx和αx之间的分析结果（例如，fxceafy和αx）和多重分形（例如，fxceafy和αx）之间没有解决。此外，原始的MF-X-PF方法很重要，因为它处理两个不同阶数的矩，而最近的多重分形互相关分析方法只关注一个阶数。在这项工作中，我们恢复了单阶MF-X-PF方法[26]，并利用双阶MF-X-PF框架[2]的思想，提出了多重分形谱的直接确定方法。基于这个框架，我们能够导出单阶MF-X-PF方法的重要几何性质。我们使用不同的数学模型进行数值模拟，并对多重分形多项式测度的结果进行分析解释。最后，我们将双阶MF-X-PF方法应用于股票市场指数。基于配分函数方法的联合多重分形分析32。联合多重分形分析基于配分函数法。在本节中，我们首先提出了基于两阶矩的配分函数法的联合多重分形分析[2]，缩写为MF-X-PF（p，q），然后推导了最近独立提出的单阶方法MF-X-PF（q）[26]。虽然一阶方法的联合配分函数χxy（q，s）可以通过设定p=q直接从二阶方法的联合配分函数χxy（p，q，s）中恢复，但我们将证明这两种方法的多重分形性质之间的联系是不明显的，这是应用最速下降法造成的。2.1. MF-X-PF（p，q）基于盒计数思想，将几何支撑划分为大小不同的盒。我们在第t框中考虑两个综合度量mx（s，t）和my（s，t）。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:26:38

局部奇异强度αx和αy根据以下关系定义：mx（s，t）~ sαx，（1a）和my（s，t）~ sαy.（1b）设Ns（αx，αy）表示覆盖奇点强度在αx和αy附近且带dαx和dαy的点集所需的大小为s的盒的数量。因此，该集的分形维数根据[64]Ns（αx，αy）确定~ s-fxy（αx，αy），（2）其中fxy（αx，αy）是两个奇异强度[2]或联合多重分形谱的联合分布。我们考虑联合配分函数χxy（p，q，s）=Xt[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2。（3）该定义与参考文献[2]中的定义略有不同，参考文献[2]中的顺序是p和q，而不是p/2和q/2。在这个设置中，当mx=myand p=q[27]时，我们恢复了传统的分区函数。联合质量指数函数τxy（p，q）可以通过以下关系式χxy（p，q，s）获得~ sτxy（p，q）。（4）在实践中，对于给定的一对（p，q），我们计算各种盒子尺寸的χxy（p，q，s），并在适当的标度范围内对lnχxy（p，q，s）与lns进行线性回归，以获得τxy（p，q）。我们将等式（1）中的两个关系插入到联合配分函数中，将其改写为αx和αy上的二重积分，然后应用最速下降法估计小s值下的积分，从而得到τxy（p，q）=pαx/2+qαy/2- fxy（αx，αy），（5）基于配分函数方法的联合多重分形分析fxy（αx，αy）/αx=p/2，（6a）和fxy（αx，αy）/αy=q/2。（6b）取式（5）对p的偏导数，我们得到τxy（p，q）/p=αx/2。（7）类似的推导可以在q上进行，我们可以得到双勒让德变换αx=2τxy（p，q）/p、（8a）αy=2τxy（p，q）/q、（8b）fxy（αx，αy）=pαx（p，q）/2+qαy（p，q）/2- τxy（p，q）。（8c）因此，在获得τxy（p，q）后，我们可以数值确定αxusing等式（8a），αyusing等式。

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mingdashike22

2022-5-9 05:26:41

（8b）和fxy（αx，αy），使用公式（8c）。从规范的角度来看，我们可以直接获得fxy（αx，αy）函数[2,65,66]。将标准度量定义为uxy（p，q，s，t）=[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2Pt[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2，（9）两个奇异强度αx（p，q）和αy（p，q）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可通过对数标度中的线性回归，使用以下等式计算：αx（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln mx（s，t）ln s，（10a）αy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln my（s，t）ln s，（10b）fxy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln[uxy（p，q，s，t）]ln s.（10c）可使用式（5）获得联合质量指数函数。2.2。MF-X-PF（q）参考文献[26]中提出的基于统计矩的多重分形互相关分析（MFSMXA）实际上是p=q时MF-X-PF（p，q）的一个特例。为了一致性，我们在这里称之为itMF-X-PF（q）。在这种情况下，我们有χxy（q，s）=Xt[mx（s，t）my（s，t）]q/2~ 其中τxy（q，q），τxy（q）。应用最速下降法，等式（5）变成τxy（q）=q（αx+αy）/2- fxy（αx，αy），（12）基于配分函数方法的联合多重分形分析fxy（αx，αy）/αx=fxy（αx，αy）/αy=q/2。（13）取等式（12）对q的导数，并使用等式（13），我们得到τxy（q）dq=αx+qdαxdq+αy+qdαydq-fxyαxdαxdq-fxyαydαydq=αx+αy.（14）定义αxy，[αx（q）+αy（q）]/2，（15）等式（14）和等式（12）可重写如下：αxy=dτxy（q）/dq，（16a）fxy（αxy（q））=qαxy（q）- τxy（q），（16b），其中fxy（αxy），fxy（αx，αy）。我们注意到等式（16）具有相同形式的伦德变换[27]。由于αx=dτx（q）/dq和αy=dτy（q）/dq[27]，很容易验证以下关系式τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2+C（17）满足等式（16a），其中C是常数。根据等式。

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何人来此

2022-5-9 05:26:44

（11），我们有χ（0，s）~sτxy（0）~ s-D、用于测量几何支撑的分形维数。由此得出τxy（0）=-D=-1.（18）组合等式。（17）和（18）并使用τx（0）=τy（0）=-1，我们有C=0，因此τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2。（19）将式（15）和式（19）插入式（16b）中，我们得到fxy（q）=[fx（q）+fy（q）]/2。（20）我们注意到，当D6=1时，等式（19）和等式（20）仍然成立。在这种情况下，我们使用τxy（0）=τx（0）=τy（0）=-进行推导。使用MF-X-DFA方法[28]、MF-X-DMA方法[41]和MF-X-PF（q）方法[26]对这些关系进行了数值观察。如等式（11）所示，问题在于处理一个度量[mx（s，t）my（s，t）]1/2。从规范的角度来看，我们可以直接得到fxy（αxy）函数[2,65,66]。我们可以定义标准度量uxy（q，s，t）=[mx（s，t）my（s，t）]q/2Pt[mx（s，t）my（s，t）]q/2。（21）基于配分函数方法的联合多重分形分析6两个奇异强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可以通过对数-对数尺度的线性回归，使用以下方程计算：αxy（q）=lims→0Ptuxy（q，s，t）ln[mx（s，t）my（s，t）]1/2ln s=αx（q）+αy（q），（22a），其中等式（10a）和等式（10b）用于第二等式，fxy（αxy（q））=lims→0Ptuxy（q，s，t）ln[uxy（q，s，t）]ln s.（22b）可使用等式（16b）获得联合质量指数函数。联合多重分形分析是一种二项测量方法。1.数值分析应用MF-X-PF（p，q）我们对两个二项式测度进行联合多重分形数值分析[67]。我们使用px=0.3和py=0.4，并生成两个长度为2的二项式度量。图1（a）显示了在对数刻度上，对于固定的p=2的不同qx，χxy（p，q，s）与盒子大小s的依赖关系。很明显，不同q的曲线表现出良好的幂律关系。

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能者818

2022-5-9 05:26:47

通过lnχxy（p，q，s）与Lns的线性回归得到的幂律指数是质量指数τxy（p，q）的估计值，其等高线图如下图所示。1（e）。我们发现τxy（p，q）随着p和q的增加而增加。采用等式（8）中的双勒让德重传，我们在数值上获得了奇异函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（p，q），其等高线图分别如图1（fh）所示。我们发现αx（p，q）和αy（p，q）是p和q的递减函数，而fxy（p，q）是马鞍形的。一个有趣的特征是，αx（p，q）、αy（p，q）和fxy（p，q）的等高线彼此平行。图1（i）绘制了奇异谱fxy（αx，αy），它不是一个曲面，而是一条曲线。我们还使用公式（10）中给出的直接确定方法计算多重分形函数，以进行比较。在图1（b）至图1（d）中，我们分别说明了不同q（固定p=2）的tuxy（2，q，s，t）ln[mx（s，t）]、Ptuxy（2，q，s，t）ln[my（s，t）]和Ptuxy（2，q，s，t）]ln与ln s的线性相关性。奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（p，q）是根据这三个图中直线的斜率计算出来的。相应的等高线图如图1（j）至图1（l）所示，与图1（f）至图1（h）中的等高线图相同。图1所示的数值结果可以用解析法推导。3.2. MF-X-PF（p，q）的分析结果让我们从长度为2L的两个多重分形二项式度量开始。考虑尺寸为s=2l的盒子中的两个综合测量值mx（s，t）和my（s，t）。基于配分函数法的n型点多重分形分析7图1。基于双阶MF-X-PF（p，q）方法，对px=0.3和Py=0.4的两个二项测度进行联合多重分形分析。

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可人4

2022-5-9 05:26:50

（a）对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b）对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[mx（s，t）]对ln s的线性依赖性。（c）对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[my（s，t）]与ln s的线性相关性。（d）对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[uxy（2，q，s，t）]对ln s的线性依赖性。（e-i）质量指数函数τxy（p，q），奇异函数αx（p，q）和αy（p，q），以及从（a）中获得的多重分形谱fxy（p，q）和fxy（αx，αy）。（j）奇异函数αx（p，q）由（b）得到。（k）奇异函数αy（p，q）由（c）得到。（l）由（d）得到的多重分形谱fxy（p，q）。综合测量值不同的盒子，其中CHN=L- l=l-在sln 2。（23）对于t盒，我们有mx（s，t）=mx（2n+1，t）=pkx（1）- px）n-k、（24a）my（s，t）=my（2n+1，t）=pky（1）- py）n-k、（24b）其中k∈ {1，…，n}。下面是k=ln my（s，t）- n ln（1）- py）ln-py- ln（1）- py）。（25）将等式（25）插入等式（24a），我们得到mx（s，t）=C（s）[my（s，t）]β=e-γLsγ/ln2[my（s，t）]β，（26），其中β=ln px- ln（1）- px）ln-py- ln（1）- py）（27）基于配分函数方法8和γ=βln（1）的联合多重分形分析- py）- ln（1）- px）。（28）注意，β和γ仅取决于px和py。当px+py=1时，我们有β=-1.当px=py时，β=1，C（s）=1。当Px和Py都大于0时。5或小于0.5，即- 0.5）（py- 0.5）>0，我们有β>0；否则，当（px- 0.5）（py- 0.5）<0，我们有β<0。结合式（3）和式（26），我们得到χxy（p，q，s）=C（s）p/2Xt[my（s，t）]q（29），其中q=βp/2+q/2。（30）因为my是多重分形测度，所以我们有xt[my（s，t）]Q~ 其中τy（Q）有一个解析表达式[27]：τy（Q）=- ln[pQy+（1）- py）Q]/ln2。（32）联合配分函数可以改写为χxy（p，q，s）~ spγ2-ln2e-pγLsτy（Q）。

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mingdashike22

2022-5-9 05:26:53

（33）比较式（4）和式（33），我们得到了联合质量指数函数：τxy（p，q）=pγ2 ln2+τy（q）=pγ2 ln2-ln[pQy+（1）- py）Q]ln2。（34）由此得出αx=2τxy（p，q）p=γln2-βln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1）- py）Q（35）和αy=2τxy（p，q）q=-ln 2pQyln py+（1）- py）Qln（1- py）pQy+（1）- py）Q.（36）我们立即得到αx和αyαx=γln2+βαy之间的关系。（37）这种关系解释了图1（i）中观察到的fxy（αx，αy）是沿着这条直线的曲线，而不是曲面，而线段（37）是fxy（αx，αy）在（αx，αy）平面上的投影。基于配分函数方法的联合多重分形分析我们现在导出αx（Q）和αy（Q）的主要几何性质。我们发现αy（Q）是Q的单调递减函数，因为αydQ=-ln 2pQy（1）- py）Q[ln-py- ln（1）- py）]hpQy+（1- py）Qi<0。（38）我们可以证明当Q→ ±∞. 我们将等式（36）改写如下αy=-ln 2ln py+[（1）- py）/py]Qln（1- py）1+[（1）- 我们可以得到αy，min=limQ→∞αy=min-在派伦2号，-ln（1）- py）ln2αy，max=limQ→-∞αy=max-在派伦2号，-ln（1）- py）ln2（40）因此，等式（36）的解存在且唯一当且仅当αy∈ [αy，min，αy，min]。解的显式形式是isQ=ln-日志[（1）- py）/py]αy+logpy- 1./自然对数py（1- py）.（41）此外，αyis的奇异谱的宽度αy=|ln（1）- py）- ln py | ln 2。（42）这些结果解释了图1（g）中等高线的平行观察。当Py=0.5时，αy=0。在这种情况下，度量既不是多重分形，也不是单分形，因为它均匀分布在支架上。根据式（37），我们得到了αxdQ=-βln2pqy（1- py）Q[ln-py- ln（1）- py）]hpQy+（1- py）Qi，（43），这表明αxis是Q的严格单调函数。

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大多数88

2022-5-9 05:26:57

此外，很容易看出这一点αx，min=limQ→∞αx=min-在pxln2，-ln（1）- px）ln2αx，max=limQ→-∞αx=最大值-在pxln2，-ln（1）- px）ln2（44）因此，等式（35）的解存在，当且仅当αx是唯一的∈[αx，最小，αx，最大]。由于两个测度mx和my之间的对称性，如果我们知道αy的几何性质，αx的结果是明显的。联合多重分形分析基于配分函数方法10，我们现在开始研究多重分形谱fxy（αx，αy）的几何性质，其形式如下：fxy（αx，αy）=pαx/2+qαy/2- τxy（p，q）=pγln2+βαy+qαy-pγ2ln2+ln[pQy+（1- py）Q]ln 2=-Qln 2ln py+1.-皮皮Qln（1）- py）1+1.-皮皮Q+ln pQy+ln1 +1.-皮皮Qln2=ln2q1.-皮皮Qlnpy1-py+1 +1.-皮皮Q自然对数1 +1.-皮皮Q1 +1.-皮皮Q（45）很容易找到fxy（Q=0）=1和fxy（Q）=fxy(-Q）其中fxy（Q），fxy（αx，αy；Q）。它表明fxy（αx，αy）相对于线Q=0对称，如图1（h）所示。此外，我们还获得了LIMQ→±∞fxy（p，q）=0。（47）取fxy（αx，αy）对Q的导数，我们得到fxy（Q）dQ=-Qln 2自然对数py（1- py）\"py1- pyQ/2+1.- 皮皮Q/2#-2.（48）当Q<0时，dfxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调增函数。当Q>0时，dfxy（Q）/dQ<0，因此fxy（Q）是Q的单调递减函数。因此，fxy（Q）的最大值为1，最小值为0。这些特性说明了图1（h）中等高线的平行特征。我们注意到，数值结果与式（34）中的τxy（p，q）、式（35）中的αx（p，q）、式（36）中的αy（p，q）和式（45）中的fxy（p，q）的分析结果非常一致。结合式（41）和式（45），我们发现fxy（αx，αy）是αy的单变量函数，或使用式（37）的αxby的单变量函数。

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可人4

2022-5-9 05:27:00

应用MF-X-PF（q）的数值分析我们也将MF-X-PF（q）方法应用于同一个数学例子。结果如图2所示。我们发现，公式（19）、公式（15）和公式（20）中的三个理论关系得到了很好的验证。此外，我们再次观察到，经典配分函数法和直接确定法的结果彼此一致。我们注意到这项工作中研究的其他数学和经验样本也是如此。因此，在本文的其余部分中，我们将不展示直接测定法得到的结果。基于配分函数方法的联合多重分形分析11图2。基于MF-X-PF（q）方法对px=0.3和py=0.4的两个二项测度进行联合多重分形分析。（a）（b）tuxy（q，s，t）ln[mx（s，t）my（s，t）]1/2对lns的线性依赖性（c）tuxy（q，s，t）ln[uxy（q，s，t）]对lns的线性依赖性（d）质量指数函数τxy（q）。（e）奇异强度函数α（q）。（f）多重分形奇异谱fxy（α）。联合多重分形分析是二元分数布朗运动，我们进一步研究了使用单分形测度的MF-X-PF（p，q）算法。如果Mx和My是单分形的，根据定义inEq，我们有αx=αy=1和fxy=1。(2) [27, 68]. 连同等式（8c），我们得到τxy（p，q）=p/2+q/2- 1.（49）这些属性是单分形的指标。这里使用的数学模型是二元分数布朗运动（BFBMs）。BFBM的两个分量x（t）和y（t）是两个单变量分馏布朗运动，分别具有赫斯特指数Hxxy和Hy。

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大多数88

2022-5-9 05:27:03

多元分数布朗运动的基本性质已经得到了全面的研究[69–71]。其他MF-DCCA算法的大量数值实验已经在使用二元分数布朗运动[41,57]进行。两个单变量FBM的两个Hurst指数hxxandhyyo及其互相关系数ρ是模拟算法的输入参数。使用REFS中描述的模拟程序。[70,71]，我们以Hxx=0.1、Hy=0.5和ρ=0.5的BFBM实现为例。BFBM的长度为2。使用MF-X-PF（p，q）算法对BFBM进行的联合多重分形分析如图3所示。图3（a）显示了联合配分函数χxy（p，q，s）相对于不同q和固定p=2的盒大小s的相应幂律依赖性。基于配分函数方法的联合多重分形分析12图3。Hxx=0.1，Hy=0.5，ρ=0.5的二元分数布朗运动的联合多重分形分析。（a）对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b）质量指数函数τxy（p，q）函数由（a）得到。（c）错误τxy（p，q）介于估计指数τxy（p，q）和理论函数p/2+q/2之间- 1.（d，e，f）奇异函数αx（p，q）和αy（p，q），以及从（b）中获得的多重分形谱fxy（αx，αy）。标度范围跨越两个数量级。直线的斜率给出了τxy（p，q）的估计值，其中p和q从-10到10，间距为0.1。由此产生的质量指数τxy（p，q）如图3（b）的等高线图所示。我们观察到τxy（p，q）随着p和q的增加而增加，轮廓曲线是平行线，平行线是均匀分布的。

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kedemingshi

2022-5-9 05:27:06

这些特征表明τxy（p，q）是p和q的线性函数，是单分形的指标。为了进一步展示MFXPF算法的性能，我们计算了估计指数τxy（p，q）和理论指数之间的误差，如下所示：τxy（p，q）=τxy（p，q）- [p/2+q/2- 1]. 图3（c）显示了τxy（p，q）与p和q有关τxy（p，q）值小于0.15，这意味着算法给出了良好的估计。通过在数值上采用式（8）中的双勒让德变换，我们得到了奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（αx，αy），其等高线图如图3（d，e，f）所示。奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）接近1，表明函数αx（p，q）和αy（p，q）与阶数p和q无关。尽管每个函数αx（p，q）和αy（p，q）都有趋势，但理论函数αx（p，q）=1和αy（p，q）=1基本上是确定的，MF-X-PF算法能够正确捕捉BFBMs的单分形性质。图3（g）绘制了奇点谱fxy（αx，αy），它是一个曲面，并且奇点线是闭合曲线。很容易发现，基于配分函数方法13的绝大多数表面点多重分形分析几乎等于理论函数fxy（αx，αy）=1。我们观察到错误τxy（p，q）等于fxy（p，q）和1之间的差值，如Legendretransform所示。我们指出，使用直接测定法的结果与图3所示完全相同。因此，我们总结说，理论分析得到了数值结果的充分验证。5.

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nandehutu2022

2022-5-9 05:27:09

股票市场指数的应用我们现在应用MF-X-PF（p，q）算法来研究道琼斯工业平均指数（DJIA）和美国证券交易商协会自动报价（NASDAQ）指数每日波动时间序列的长期幂律互相关。日波动率定义为日收盘价对数差的绝对值：R（t）=ln P（t）- lnp（t）- 1） |，（50）式中，P（t）是t日的收盘价，已为道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数检索。样本的时间段为1971年2月5日至2011年1月25日，包含10084个数据点。这两个指数的日回归时间序列如图S1所示（New J.Phys.online）。图4。使用MF-X-PF（p，q）方法对道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数的每日波动率时间序列之间的交叉相关性进行联合多重分形分析。（a）对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b）质量指数函数τxy（p，q）。（c）奇异强度函数αx（p，q）。（d）奇异强度函数αy（p，q）。（e）多重分形函数fxy（p，q）。（f）多重分形奇异谱fxy（αx，αy）。图4（a）显示了对数刻度上的联合配分函数χxy（p，q，s）对不同q和固定p=2的盒子大小s的依赖性。我们观察到基于配分函数方法的联合多重分形分析，14次幂律标度超过约1.5个数量级。指数τxy（p，q）的等高线图如图4（b）所示，其中p和q的变化范围为-10到10，间距为0.1。等高线不是直线，相邻曲线之间的间距也不是等距的。图4（c）和图。

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kedemingshi

2022-5-9 05:27:12

4（d）分别说明了从τxy（p，q）数值获得的奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）的等值线图。我们观察到奇点强度的值在0.6到1.2之间，分布良好。此外，奇点强度函数相对于p或q不是单调的。图4（e）说明了从勒让德变换获得的多重分形函数fxy（p，q），其值范围为0到1。在点（p，q）=（0，0）处达到最大值fxy（p，q）=1。在所研究的pand q区间内，较小的fxy（p，q）值集中在p和q值较大的区域。在图4（f）中，我们给出了奇异谱fxy（αx，αy）。这些经验发现表明，DJIA和NASDAQPOSSS的日波动率之间的交叉相关性具有多重分形性质，这与之前使用MF-XDFA、MF-X-DMA和MF-X-PF（q）方法得出的结果一致[26,28,41,72]。图5。比较DJIA指数和NASDAQ indexin在不同时间段（有和没有市场动荡）的每日波动时间序列之间的联合多重分形奇异谱fxy（αx，αy）。为了揭示这两个指数的日波动率之间的联合多重分形是否随时间而保持或变化，我们在移动窗口中以十年为基础进行MF-X-PF（p，q）分析，步长为一年。结果如图S2所示（New J.Phys.online）。我们在图5中显示了六个图。我们发现联合多重分形奇异谱fxy（αx，αy）随时间变化。此外，包括或排除金融动荡（高波动期）对XY（αx，αy）的形状有显著影响。在调查的样本期内，有两次臭名昭著的市场危机，1987年的黑色星期一和2008年的最新危机。

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mingdashike22

2022-5-9 05:27:15

在相对平静的时期，fxy（αx，αy）轮廓看起来大致像美式足球。然而，当基于配分函数方法的联合多重分形分析包括其中一次危机时，等高线明显向西南延伸。换句话说，奇点强度αx和αy在地震期间的值要小得多。这其实并不令人惊讶，因为对于普通多重分形来说，这一特性已经得到了很好的证明[27]。我们对杜邦（纽约证券交易所代码DD）和埃克森美孚（纽约证券交易所代码XOM）两支股票在1970年1月5日至2015年9月1日期间重复相同的分析，包含11522个数据点。这两支股票的日收益时间序列如图S3所示（New J.Phys.online）。结果如图S4所示（New J.Phys.online）。在预期的情况下，观察到了非常相似的结果。调查了另外两对金融时间序列，结果如补充数据（New J.Phys.online）的图S5至图S8所示。其中一对是关于原油商品的，Arab Light to Usa和WTI Cushing。样本期为1991年1月3日至2012年12月18日，包含5510个数据点。另一对是关于从1994年1月5日到2015年9月1日期间，英镑（GBP）和美元（USD）每货币单位的特别提款权（SDR），包含5452个数据点。与二项式测度和分数布朗运动的结果相比，多重分形函数和多重分形奇异谱在所研究的不同数据集上表现出不同的形状。例如，在图4（f）中，金融市场数据存在明显的不对称性，光谱呈现拉伸形状，与图3（f）中的艺术BFBM数据形成鲜明对比。这些特征反映了财务指标的不规则非线性特征。大致上，光谱轮廓平行于对角线αx=αy（参见等式。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:27:19

（37）），这是因为道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数随着时间的推移而变化，因此波动率会在一定程度上延长。一个直接的推测是，如果相关系数ρ（Rx（t），Ry（t））更大，则相关系数ρ（αx，αy）更大。补充数据（New J.Phys.online）中的图S9验证了这一点。结论我们研究了基于两阶矩配分函数的联合多重分形分析的性质，称为MF-X-PF（p，q）。然后导出了单阶方法MF-XPF（q）。对这些方法的主要性质进行了分析。例如，对于MF-X-PF（q）方法，我们已经获得了联合质量指数函数和单个质量指数函数之间的关系，τxy（q）=[τX（q）+τy（q）]/2，这在文献中通过数值和经验观察到。我们将MF-X-PF（p，q）方法应用于多重分形二项测度。导出了交叉关联的质量函数、奇异强度和多重分形谱的表达式，与数值结果吻合得很好。通过使用无多重分形交叉相关的二元分馏布朗运动，我们进一步验证了该方法的性能。当应用于两个股票市场指数的每日波动性时间序列时，相互关系中有趣的多重分形得到证实。当我们使用常规确定方法和直接确定方法时，发现这些例子的多重分形性质是相同的。多重分形互相关分析已应用于许多领域，尤其是经济物理学。虽然有很多方法，但大多数方法只考虑一个矩序。自然，双阶方法，如MF-X-PF（p，q）可以发展为其他单阶方法。

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mingdashike22

2022-5-9 05:27:22

我们预计，这种双阶方法将在金融时间序列分析中揭示新的程式化事实，可以用于校准基于事件的模型[73]。此外，从两个长程互相关时间序列中提取的联合多重分形性质具有潜在的应用价值。一种可能性是构造一个多尺度互相关测度，类似于其他DCCA系数[38,61,62,74,75]。另一种可能性是构建一个量化市场效率的指标[76–79]。一种相关的可能性是，除了波动性度量之外，还可以定量描述市场动荡的程度[80]。感谢裁判们提出的富有洞察力的建议。我们感谢国家自然科学基金（11375064和71131007）、长江学者和大学创新研究团队项目（IRT1028）以及中央大学基础研究基金的资助。参考文献[1]Antonia R A和Van Atta C W 1975 J.流体机械。67 273–288[2]梅内沃C、斯雷尼瓦桑K R、凯拉斯纳特P和范M S 1990 Phys。牧师。A 41894–913[3]林D C 2008 Physica A 387 3461–3470[4]波多布尼克B、霍瓦蒂克D、彼得森A M和斯坦利H E 2009程序。纳特尔。阿卡德。Sci。U.S.A.106 22079–22084[5]Siqueira Jr E L、Stoˇsi\'c T、Bejan L和Stoˇsi\'c B 2010 Physica A 389 2739–2743[6]Wang Y D、Wei Y和Wu c F 2010 Physica A 389 5468–5478[7]He L Y和Chen S P 2011混沌、孤子和分形44 355–361[8]Zhou W X 2012 Quant。财务12 1253–1263[9]周W X 2012新J.Phys。14 023055[10]庄X，魏Y和张B 2014 Physica A 399 113–125[11]克拉夫琴科A N，布洛克D G和夸耀C W 2000 Agron。J.92 1279–1290[12]Zeleke T B和Si B C 2004 Agron。J.96 1082–1090[13]Shadkhoo S和Jafari G R 2009欧元。菲斯。J

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何人来此

2022-5-9 05:27:25

B 72 679–683参考文献17[14]Jim\'enez Hornero F J、Jim\'enez Hornero J E、de Rav\'E G和Pavon DominguezP 2010环境。莫妮特。评估167 675–684[15]吉姆·埃内斯·霍内罗F J、帕夫·多姆·恩格斯P、德雷夫·E G和阿里扎·维拉维德A B2011原子。Res.99 366–376[16]沈春晖、李春晖和Si Y L 2015 Physica A 419 417–428[17]林德聪和谢里夫A 2010混沌20 023121[18]戈什D，杜塔S和查克拉博蒂S 2014混沌，孤子和分形67 1–10[19]哈健S和莫瓦赫德M S 2010 Physica A 389 4942–4957[20]徐恩，尚佩杰和卡迈S 2010诺林。戴恩。61 207–216[21]赵X J，尚P J，林A J和陈G 2011 Physica A 390 3670–3678[22]泽本德G F，达席尔瓦P A和费罗A M 2011 Physica A 390 1677–1683[23]施密特F，舍尔策D，洛夫乔伊S和布鲁内特Y 1996 EPL（Europhys.Lett.）34195–200[24]徐G、安东尼娅R A和拉贾戈帕兰S 2000 EPL（Europhys.Lett.）49 452–458[25]徐G，安东尼娅R A和拉贾戈帕兰S 2007 EPL（Europhys.Lett.）79 44001[26]王杰、尚宝杰和葛伟杰2012分形20271–279[27]哈尔西T C、詹森M H、卡达诺·弗夫P、普罗卡西亚I和施莱曼B I 1986物理。牧师。A 33 1141–1151[28]周W X 2008物理系。牧师。E 77 066211[29]彭C K、布尔迪列夫S V、哈夫林S、西蒙斯M、斯坦利H E和戈德伯格A L1994 Phys。牧师。E 49 1685–1689[30]坎特哈德J W、科斯切尔尼·邦德E、雷戈·H H A、哈夫林S和邦德A 2001物理学A 295 441–454[31]卡斯特罗E西尔瓦A和莫雷拉J G 1997物理学A 235 327–333[32]韦伯R O和塔克纳P 2001地球物理学。第106号决议20131–20144[33]坎特哈德J W、齐格纳S A、科斯切尔尼邦德E、哈夫林S、邦德A和斯坦利H E 2002 Physica A 316 87–114[34]Jun W C、Oh G和Kim S 2006 Physis。牧师。E 73 066128[35]波多布尼克B和斯坦利H E 2008物理。牧师。莱特。100 084102[36]Horvatic D、Stanley H E和Podobnik B 2011 EPL（Europhys.Lett.）94 18007[37]Kristoufek L 2013欧元。菲斯。J

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大多数88

2022-5-9 05:27:29

B 86 418[38]Kristoufek L 2014 Physica A 402 291–298[39]Ying Y和Shang P J 2014分形22 1450007[40]Kristoufek L 2015 Physica。牧师。E 91 022802[41]蒋志强和周文X 2011物理。牧师。E 84 016106[42]Vandewalle N和Ausloos M 1998 Phys。牧师。E 58 6832–6834[43]Alessio E、Carbone A、Castelli G和Frappietro V 2002欧元。菲斯。J.B 27 197–200参考文献18[44]Carbone A和Castelli G 2003 SPIE 5114 406–414[45]Carbone A，Castelli G和Stanley H E 2004 Physica A 344 267–271[46]Carbone A，Castelli G和Stanley H E 2004 Phys会议记录。牧师。E 69 026105[47]瓦罗索斯P A、萨里斯N V、田中H K和斯科达斯E S 2005 Phys。牧师。E 71[48]徐立民，伊万诺夫P C，胡克，陈子强，卡本A和斯坦利H E 2005物理。牧师。E 71 051101[49]Arianos S和Carbone A 2007 Physica A 382 9–15[50]Bashan A，Bartsch R，Kantelhardt J W和Havlin S 2008 Physica A 387 5080-[51]Arianos S和Carbone A 2009 J.Stat.Mech。P03037[52]Carbone A 2009人类科学与技术（TIC-STH）IEEE 691–696[53]谷广发和周文X 2010物理。牧师。E 82 011136[54]何利和陈S P 2011 Physica A 390 3806–3814[55]Kristoufek L 2011 EPL（Europhys.Lett.）95 68001[56]史文博，尚炳杰，王杰和林阿杰2014 Physica A 403 35–44[57]钱X Y，刘Y M，蒋Z Q，波多布尼克B，周文X和斯坦利H E 2015Phys。牧师。E 91 062816[58]刘耀明2014三个非平稳时间序列的去趋势偏相关分析（硕士论文：华东科技大学）[59]袁N M，傅子泰，张H，朴L，Xoplaki E和Luterbacher J 2015 Sci。Rep.5 8143[60]Podobnik B、Grosse I、Horvatic D、Ilic S、Ch Ivanov P和Stanley H E 2009欧元。菲斯。J.B 71 243–250[61]Zebende G F 2011 Physica A 390 614–618[62]Podobnik B，Jiang Z Q，Zhou W X和Stanley H E 2011 Physis。牧师。

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mingdashike22

2022-5-9 05:27:32

E 84 066118[63]Kristoufek L 2015 Physica A 431 124–127[64]Mandelbrot B B 1983《自然的分形几何》（纽约：W.H.Freeman）[65]Chhabra A B和Jensen R V 1989 Physis。牧师。莱特。62 1327–1330[66]Chhabra A B、Meneveau C、Jensen R V和Sreenivasan K R 1989 Phys。牧师。A40 5284–5294[67]Menevau C和Sreenivasan K R 1987 Phys。牧师。莱特。59 1424–1427[68]蒋Z Q和周W X 2008 Physica A 387 3605–3614[69]拉万西尔F、菲利普A和苏盖利斯D 2009年统计学家。问题。莱特。79 2415–2421[70]科尤里J F、安伯拉德P O和阿查德S 2010欧元。信号处理。形态181567–1571参考19[71]安伯拉德·P·O、科尤里·J·F、拉万西尔·F和菲利普·A 2013年公告Soc。数学法国，S’Emineries et Congre’S 28 65–87[72]Wang J，Shang P J和Ge W J 2015 Common。诺林。Sci。西蒙先生。已提交[73]李永乐、张伟、张艺杰、张世泰和熊X 2014 Inf.Sci。256 46–56【74】Zebende G F、da Silva P A和Filho A M 2013 Physica A 392 1756–1761【75】Kristoufek L 2014 Physica A 406 169–175【76】Di Matteo T、Aste T和Dacorogna M M 2005 J.Bank。财务29 827–851[77]祖尼诺L、塔巴克B M、菲格利亚A、佩雷斯D G、加拉瓦格利亚M和罗索A 2008年Physica A 387 6558–6566[78]祖尼诺L、菲格利亚A、塔巴克B M、佩雷斯D G、加拉瓦格利亚M和罗索A 2009年混沌、孤子和分形41 2331–2340[79]王Y D、刘L和古R B 2009年国际版。金融分析。18271–276[80]Oh G，Eom C，Havlin S，郑W S，Wang F，Stanley H E和Kim S 2012欧元。菲斯。J.B 85 214

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