比特币市场的混乱与秩序

2022-6-10 19:34:35

比特币市场的混乱与秩序Josselin Garnierand Knut SolnaCentre de Math“ematiques Applique”ees，Ecole Polytechnique，91128 Palaiseau Cedex，FranceDepartment of Mathematics，University of California，Irvine CA 92697，2019年4月5日，比特币价格近年来大幅上涨，也呈现出快速衰退的阶段。在本文中，我们讨论了这种新型加密货币市场在多大程度上可以被视为经典或半有效市场的问题。使用新颖而稳健的多分形特性估计工具表明，比特币价格表现出非常有趣的多尺度相关结构。这种结构可以用收益率方差作为时间增量函数的幂律行为来描述，它可以用两个参数来表征，即波动性和赫斯特指数。然而，这些幂律参数随时间而变化。引入了广义Hurst指数的新概念，使我们能够检查底层信号的多重分形特征是否被很好地捕获。此外，本文还展示了如何利用对幂律参数的监控来确定比特币价格的制度变迁。提出了一种基于良好的局部幂律参数识别状态开关的新技术。它自动检测与比特币市场中某些已知事件相关的日期。

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2022-6-10 19:34:38

此外，一个非常令人惊讶的结果是，尽管近年来比特币价格狂飙，其多重分形和非平稳特征，但当在其整个存在期内观察到该价格时，它既具有局部幂律行为，又具有非常有序的相关结构。关键词：比特币、多重分形、幂律、制度转换、赫斯特指数、波动性、光谱估计MSC【2010】60G2 2、62M09、91Gxx1简介比特币是主要的加密货币，无论从投机角度还是从市场使用的技术角度来看，比特币都是备受关注的主题。鉴于比特币市场的成功，其他加密货币都试图复制他们的技术，但比特币在2017年年中以约400亿美元的市场资本化保留了主导技术。从价格-时间序列建模的角度来理解这个新市场也是很有趣的。正是后一个问题激发了本文。比特币于2009年推出。作为一种加密货币，它不受中央银行的监管，而是在分散的计算机网络上进行交易，并通过区块链技术进行组织[1]。在早期（2010-2013年），比特币交易由位于日本涩谷的管理系统Mt.Gox处理，2013年处理了大约70%的交易。2014年初，我清楚地看到，Mt.Gox遭到黑客攻击，导致价值4.5亿美元的比特币损失。2014年初，有关Mt.Gox延迟提取现金的投诉不断增加。2014年2月7日，Mt.Gox以比特币软件中的一个漏洞为由，将所有比特币都拒之门外，这使得黑客行为成为可能。随后的货币密度损失导致价格快速下跌。

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2022-6-10 19:34:41

然而，随着几家新的交易所平台的开放，人们的信心似乎有所反弹，价格在2018年初飙升至高点，随后几个月出现向下修正。人们可能会认为，缺乏集中的银行和监管机构意味着货币非常敏感、不稳定，从传统意义上讲并不高效。此外，有人可能会认为，在宣布对Mt.Gox进行黑客攻击后，价格的变化特别反映了人们对这种货币的信心下降，这种情况可能已经持续了一段时间。这些都是我们在本文中要探讨的问题之一。比特币市场作为主要的加密货币市场，最近确实成为了许多研究的主题。这类技术可能会从根本上改变金融交易的舞台。鉴于其在金融市场中的独特作用，我们有兴趣了解比特币加密货币市场的价格结构和动态。在[2]中，作者分析了比特币价格的多尺度时间相关结构，并将其与混沌的概念联系起来。通过使用基于nprice水平的分解，他们确定了2010年7月至2013年2月之间的低价期和2013年2月20日至2017年10月之间的高价期。文献[2]中给出的一个主要结论是，在价格s的情况下，存在混沌现象，但在回报率方面则不存在混沌现象。研究还发现，重分布轨道是驱动混沌测度的主要因素。回报指的是特定时间间隔内的相对价格变化，通常与采样间隔相对应。【2】中的分析部分通过多重分形预测分析进行，其中，对不同尺度和区间的数据进行预测，并计算不同阶次的相关剩余力矩【3】。

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2022-6-10 19:34:45

文献[4]中使用了类似的技术进行互相关分析。然而，在[5、6]中，使用了各种类型的去趋势函数分析，通过移动窗口跟踪变化。本文提出的关于收益相关性的幂律衰减时间的方法与上述方法不同，特别是我们关注二阶矩，此外，我们没有对数据进行任何去趋势化。我们注意到，在[7]中，从不同的角度分析了比特币价格的幂律行为，作者分析了收益边际分布的幂律或相对较低的衰减。这项有趣的研究表明，指数约等于2.5的边缘分布具有普遍行为和幂律衰减。该值对应于比经典金融市场更重的尾部，经典金融市场通常表现出边际分布尾部的逆肘衰减。重要的是，这意味着回报有一个有限的秒。在这里，我们讨论了D中收益的边际分布问题，其中我们表明，对于非高斯收益分布的存在，我们的结果是稳健的。在我们的分析中，我们使用一种带有移动时间窗口的方法来跟踪相关结构的变化。我们将重点放在回报的相关结构上，并提出了一种基于该结构的再框架位移检测方法。当我们在时间窗口中观察回报时，我们发现回报的二阶矩是回报时间增量函数的一个非常有趣且有序的比例。分割方法基于与确定的幂律相关的残差。在我们的分析中，令人惊讶的是，在比特币存在的整个时期，局部幂律与全局幂律并存。

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2022-6-10 19:34:48

在经典的Black-Scholes框架中，对数价格是标准的布朗运动，因此收益率是平稳的、独立的和高斯的。我们注意到，在风险中性或定价措施下，原木价格的漂移是无套利市场条件下产生的无风险利率。然而，我们在此关注的是回报率的波动，即B rownian部分，其统计结构在风险中性度量和与此处所考虑的观测价格相对应的物理度量下是相同的。为了描述所考虑的幂律框架t是计算回程的时间增量。当（零均值）收益的方差为σ形式时，我们讨论幂律|t | 2H，我们称σ为波动率，H为赫斯特指数。这种幂律的类模型是分数布朗运动[9]。实际上，该模型是经典Black-Scholes模型的推广，对应于对数回归为H=1/2的标准d布朗运动。在分馏布朗运动情况下，收益率不是独立的，连续的收益率具有ρH=（22H）的非ze-ro相关系数-1.- 1). H<1/2的情况与收益率负相关的反持续性情况对应，而H>1/2的情况与收益率正相关的持续性情况对应。正如Mandelbrot（10，11）早期所观察到的那样，根据局部幂律过程对价格进行建模可能是合适的，因此Handσ与时间相关，在高斯条件下给出了多分数布朗运动。

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2022-6-10 19:34:52

此类多重分形建模也被考虑在内，例如股票市场[12，13]，货币市场[14]，商品市场[15，16，17，18]，以及各种物理测量模型[19，20，21，22]。此处对比特币价格的分析确定了四个主要时期。如上所述，通过最小化经验二阶矩和模型幂律之间的残差来确定历元，模型幂律在每个历元内具有常数参数。在反映市场趋势中的羊群行为或信心的持续动态方面，第三个时代的情况类似。这对应着一种超差异行为，即原木价格变化在第二个月之间呈超线性增长，因此价格可以表现出相对较大的价格波动。介于这两个时代之间的是一个持续性差得多的时期，相对较低的赫斯特指数接近半个，基本上与有效的市场行为相符。因此，这并不符合对市场趋势有信心的过度行为。这个中世纪的波奇大约开始于比特币交易所Mt.Gox被黑客入侵的时间。我们发现，在第三个时期，在重新建立对货币的信心之后，持续性实际上略高于比特币价格路径的第一个时期。这是一个重要的观测结果，可以解释价格上涨的原因，例如第四个也是最后一个时期与赫斯特系数有关。因此，在一个相对强大的种族歧视的时代，反牧行为。就比特币价格而言，我们可以将赫斯特指数视为市场“羊群指数”，衡量市场行为的可信度。强放牧行为时代的特点是赫斯特指数大（即r大于1/2）。

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2022-6-10 19:34:55

我们注意到，持续性强的时期可能与价格的相对强劲增长刺激有关，见图1。赫斯特指数的估计告诉我们我们处于何种市场信心水平。这使得我们能够理解价格水平和趋势的变化是否会点燃一个新的市场机制，或者它是否可以被视为随机的本地价格修正。从财务角度来看，重要的是要注意，赫斯特指数似乎比波动率更能反映市场信心，而波动率通常是最重要的财务参数。我们的故事并不止于此，它还具有随时间变化的市场持续性。最重要的是，市场的行为就像有一只“看不见的手”控制着持续性的变化，从而在比特币存在的整个时期内产生一个美丽的有效幂律，见图4。事实上，市场是由市场参与者驱动和控制的，因此在任何特定的时间点上，都有一个有效的平均回报率，在这一时期的子量表上也是有效的。对于比特币市场，在考虑的整个时期内，这一平均回报率对应于赫斯特指数H=。6对应于持续市场和收益的正相关。我们在本文中的观点是，兴趣的主要数量是二阶相关结构，它告诉我们在不同尺度上市场的持续性和波动性，以及这些概念是如何联系在一起的。Weremark指出，高阶r矩的分析在理论上很有趣，但对收益率的尾部行为变得非常敏感，这限制了它们的实际适用性。

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2022-6-10 19:34:58

通过关注二阶时间相关结构，我们可以更有力地确定直接财务利益的数量。此外，我们还表明，我们的多尺度分析对于收益的边际分布是稳健的。附录中讨论了一些技术要点：在A中，我们给出了多重分形过程的数学模型，并将其与观测建模联系起来。我们用来估计比特币价格多重分形特征的主要工具是尺度谱和估计幂律参数的相关技术。我们在B中以一种容易复制的方式介绍了这个概念和估计过程的细节。如前所述，我们使用移动窗口跟踪价格过程中的多重分形变化。人们可能会想，窗口内是否存在显著的剩余多重分形。在C语言中，我们引入了广义Hur指数的新概念和一种检查窗口内多重分形的新方法。使用这种方法，我们发现在Mt.Gox黑客入侵之后的那个时代，存在着明显的残余多重分形，但在其他方面没有。人们可能会进一步怀疑，与比特币价格相关的收益边际价值分布偏离高斯分布这一事实是否重要，尤其是它是否可能是观察到的多重分形特征的来源。我们在D中表明，通过使用基于高斯变换的技术，情况并非如此。最后，我们评论了与E类ic混沌系统的关系。

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2022-6-10 19:35:01

我们表明，实际上，比特币在加密货币中所经历的惊人增长并不能很好地用经典混沌系统来建模，在factone中，必须根据本文所考虑的长程过程来建模。本文的主要部分概述如下：在第2节中，我们讨论了我们用于功率lawscale频谱的建模和估计过程以及用于比特币数据的结果。在第3节中，我们介绍了分割方法。我们在第4节中考虑了基于尺度的相关性度量和第5节中的多重分形度量。最后，在第6节中，我们得出结论。2比特币的标度谱2.1标度谱和幂律参数估计我们在本节中描述了如何计算标度谱和局部幂律参数的估计：赫斯特指数和波动率。详情见B。数据为每日比特币价格，单位为美元，由P（tn）表示，n=1，N、式中，tn=t+（N- 1)t和t是采样率（一天）。我们将考虑一个长度为M的窗口，下面将选择该窗口作为一年。Wedenote第k个窗口中的Log价格（含k∈ {1，…，N- M+1}）由a（k）（i）M-1i=0=对数（P（tk+i））M-1i=0。（1）这里，窗口中心时间为τk=tk+（M- 1)t/2。这种表示法的动机是，我们将这些数据视为零级的哈尔系数。接下来，我们计算（13）中不同水平j的连续变换Haar小波细节系数和（11）中的尺度光谱数据S（k）jas。除第一个量表外，我们使用所有可用的量表，因此在（10）中，我们有ji=2和je=米/2. 因此，我们不使用对“测量噪声”最敏感的第一个尺度。

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2022-6-10 19:35:05

实际上，从下面的图4可以看出，第一尺度点相对于拟合模型略有增强。如果观测值符合常数指数H和波动率σ的函数布朗运动，则我们有S（k）j= σh（h）2j（2H+1），（2）对于h（h）=（1- 2.-2H）（2H+2）（2H+1），（3）因此S（k）j= log（σh（h））+j（2H+1）。然后，我们可以通过对数（S（k）j）的最小二乘法（线性回归）获得赫斯特指数^H（τk）和波动率^σ（τk）的估计值，如图b所示。我们注意到，估计的波动率是t时间刻度。时间尺度上的局部波动率τ=mt是bσ（τk）mbH（τk）。2.2比特币多尺度结构在图1中，左图以美元为单位显示了每日比特币价格（对数尺度），即P（tn），n=1，N、 t为2010年11月5日，t为2019年1月23日，N=3000。每年的每一天都有价格观察。数据来自网站www.coindesk。com/价格/比特币作为每日结算价格。我们看到，比特币在推出后经历了非常快速的增长，大约两年后有所缓和。然而，2014年初左右，随着Mt.Gox交易所遭到黑客攻击，g增长停滞，直到2017年初左右，一段强劲的增长期在2018年初达到最高价格。图1中的右图显示了返回值，即arrn=P（tn）- P（tn-1） P（tn-1).从图中可以看出，波动性在最初阶段是最高的，近年来有所反弹。我们通过观察下一步估计的局部幂律参数来仔细检查这些定性观察结果。在图2中，我们在左图中显示了估计的局部赫斯特指数^H（τk），在右图中显示了估计的局部波动率^σ（τk）。

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2022-6-10 19:35:08

这些估计值如前一节所述，窗口宽度为一年，用于计算局部尺度谱。我们看到赫斯特指数有很大的变化。在比特币2012、2014、2016、2018年原始定价数据的早期阶段，比特币2012、2014、2016、2018年-0.50.5原始收益数据比特币图1：对数标度的每日原始比特币价格（左）和相关收益，或相对价格变化（右）。2014年初Mt.Gox被黑客入侵后，波动率和Hurs t指数较高，但有所下降。在过去几年中，赫斯特指数再次上升，也可以看出，在此期间，价格波动更大。请注意，黑客事件发生后的最低价格时期大约发生在2015年年中，这是一个价格漂移相对较小的ep och。该历元大致对应于最小赫斯特指数估计。就在赫斯特指数最低、反放牧行为强烈的Mt.Gox黑客入侵事件发生后不久，检测到一个特殊事件，但其持续时间短于一年的窗口宽度。在图3中，我们在右图中显示了年度s c ale的波动率（如图2的右图所示），在左图中显示了日标度的波动率。这说明，赫斯特指数的变化是年度规模波动的主要驱动因素。

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2022-6-10 19:35:11

从财务角度来看，很明显，赫斯特指数的变化是最重要的，因为它在很大程度上推动了年度规模波动，这是风险的基本衡量标准。特别是，它表明，基于收益均方的波动率估计，即经验二次变化，可能有很大的偏差。图4显示了全局幂律，即当我们使用图1中所示的所有数据来计算标度谱时的情况。我们可以观察到有效参数H=的幂律。6，σ=年标度的178%。我们已经看到，比特币价格的光谱特征表现出时间变化，而且，当它们在比特币存在的整个时期内都存在时，它们会聚集在一起形成一个很好的幂律。然后很自然地会问，如何最好地进行部分聚合，将比特币价格自然地分割成幂律与每一节近似相同的节，我们将在下一节中讨论这一点。2012年2014年2016年2018年0.20.30.40.50.60.70.8赫斯特指数比特币2012年2016年2018年波动率百分比比特币图2：左图显示赫斯特指数作为估计中使用的窗中心时间的函数（因此，第一个数据点是第一次价格观察时间后半年，窗宽为一年）。右图显示了相应的估计年尺度波动率。2012年、2014年、2016年、2018年波动率（以%为单位）比特币2012年、2016年、2018年波动率（以%为单位）比特币图3：左图显示了日标度上的估计波动率，右图显示了年标度上的估计波动率-2-1年尺度-4-2价格幂律图4：全数据集估计的全球尺度谱（蓝色实线）。估计参数为H=。60, σ = 17 3%.

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kedemingshi

2022-6-10 19:35:14

红色虚线是具有估计参数的幂律谱。3分段和状态切换检测考虑将完整数据集划分为宽度为MQ的Q个不相交段t、 q=1，Q（我们有pqq=1Mq=N）。我们将B中描述的估计过程应用于each段。我们用S（q）j，j表示每个窗口中估计的尺度谱∈ {j（q）i，…，j（q）e}，其中{j（q）i，…，j（q）e}是兴趣惯性范围t（我们取j（q）i=2，je=Mq/2). 我们还用估计参数（波动率σ（q）和赫斯特指数H（q））表示建模的幂律SCALE谱，参数为（q）j，j=j（q）i，j（q）e（见（2））。n我们通过（M，…，MQ）=QXq=1j（q）eXj=j（q）ij定义总光谱残差日志S（q）j- 日志S（q）j. （4）注意：1）光谱残差的权重相对于窗口是一致的，这有助于惩罚相对较短的窗口；2）权重与倒数标度j成正比-1，这反映了朗格销售光谱数据的较大方差。最后，我们通过一个穷举搜索（函数R的凸性未知）将R相对于竞争（M，…，MQ）最小化来估计最优分割。在图5中，我们显示了当Q=4时的分段过程的结果，我们实施了两级搜索，粗网格大小为半层，细网格大小为五天。四段H=的估计幂律参数为。58, .49, .59, .40和σ=225%、62%、145%、62%。第一个变化点（2014年1月16日）对应于MtGox的黑客攻击，而第二个变化点（2017年4月23日）对应于比特币价格第二个强劲增长期的开始阶段，大约在比特币价格达到之前的最大值时。

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2022-6-10 19:35:17

最终变化点（2017年12月5日）对应着比特币价格下降阶段的开始。在图6中，我们显示了与2010年、2012年、2014年、2016年、2018年、2020Year-1定价数据区域相对应的标度谱图5：将价格时间序列划分为四个时期。垂直线表示线段之间的更改点。在四个部分中。我们注意到，使用四个以上的片段不会进一步降低剩余R。值得注意的是，局部光谱具有不同的幂律行为，同时全局光谱具有als o幂律行为（图4）。Hurstestimates的精度可以通过分数布朗运动获得的精度来评估。对于图6中四个窗口对应的数据的窗口大小，这给出了赫斯特指数的相对标准偏差，前两段的相对标准偏差约为7%，后两段的相对标准偏差约为10%。此外，前两段的偏差可以忽略不计，而后两段的偏差大约为-.03、估计值近似高斯分布，因此，可以说H的第一、第三和第四个估计值与H=1/2.4加密货币多尺度相关性存在显著差异。我们接下来考虑比特币价格与其他一些加密货币的相关性。考虑的其他两种加密货币是以太坊和Ripple。我们在图7中显示了2016年1月1日至2018年12月29日期间存在的三种货币（主要对数价格）。我们考虑了分别对应于2016年、2017年和2018年的三个时期。

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2022-6-10 19:35:20

在前一节中估计的比特币价格制度的背景下，这分别对应于（i）相对效率和小持续性（ii）强持续性和增长刺激（iii）强反持续性和显著价格下跌的时代。我们首先计算对数价格时间序列近似系数的相关系数，这是第2-1年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-3年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-6年的平均值：四个估计时期的平均值（蓝色实线）。估计参数适用于四个时期H=。58, .49, .59, .40和σ=225%、62%、145%、62%。j=0，…时，长度2jj区间的原木价格s，近似系数给出了不同尺度下的价格水平变化，二元尺度介于1天和1 6天之间。我们注意到，在一年的日常观测中，这相当于相对精度约为5%到20%。案例j=0对应于时间序列相关性的经典度量。结果显示在图8的顶部子图中。相对效率的第一个时期与较小的加密货币相关性相关。此外，比特币与以太坊的相关性始终强于与Ripple的相关性，并且随着规模的变化，相关性稳定。底部的子图显示了差异系数的相关系数，即（13）中j=1，4、j=1的情况大致相当于每日收益，而其他量表给出了较长量表的收益衡量指标。

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2022-6-10 19:35:24

在一般情况下，差异系数的相关系数小于近似系数的相关系数，且与标度相关的变量更高。事实上，与相对效率相对应的第一个时期的相关系数很小。总体而言，比特币与其他两种货币在强持久性或反持久性时期的相关性与resp-ct-toscale的相关性增强，而以太坊和Ripple之间的相关性与s c ale相比，几乎没有明显的系统变化。2016 2016.5 2017 2017.5 2018 2018.5 2019-2TheriumRippleBitConfigure 7：考虑的三种货币的价格；顶部（橙色）线：比特币；中间（蓝色）线：以太坊；底部（红色）线：涟漪。垂直轴处于对数刻度，但直线移动到一个共同的平均水平。5比特币多重分形我们简要评论了比特币价格的局部多重分形测度，并在C中对此进行了更详细的讨论。我们将（11）中的sc ale谱推广到（21）中定义的q矩sca le谱Sj（q）。

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2022-6-10 19:35:27

然后我们就可以，就像前面的情况，q=2，通过线性回归估计赫斯特指数，以天为单位-0.20.20.40.60.8相关比特币以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太天-0.20.20.40.60.8相关比特币以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪图8：上图显示了近似系数的相关系数在2016年、2017年和2018年这三年（从左到右），底部图显示了差异系数的相关系数。（re d）交叉是以太坊和Ripple之间的相关系数，以太坊和比特币之间的（蓝色）星，Ripple和比特币之间的（黑色）钻石。关于对数标度谱的标度。在下面的过程是分数布朗运动并且我们有一个很长的数据集的情况下，这个估计独立于q，而强q依赖性是多重分形的度量。我们给出了图9中q的各种值的赫斯特指数估计的结果。我们注意到，与戈克斯山相关的时代与高度的多重分形性有关。

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2022-6-10 19:35:30

因此，该度量确定了与黑客相关的特殊时期，该时期不仅通过赫斯特指数的变化来区分自己，而且还短暂偏离了“纯”分数尺度结构，甚至局部偏离。2012 2014 2016 2018年0.20.30.40.50.60.70.80.9Hurst指数图9：q∈ {1/4, 1/2, 3/4, 1, 2, 3, 4}.6结论我们对比特币货币进行了基于尺度的分析，并给出了多尺度相关性的相关度量。根据这种相关性和“超混沌”行为，可以理解暗电流中强烈的生长刺激。我们已经证明，我们观察到的分数或异常差异行为可以归因于固有的时间相关结构，而不是非高斯边缘特征。该分析是使用基于Haar小波的方法进行的，该方法可以跟踪价格相关特性的局部变化。我们发现，价格相关性结构的变化可用于估计价格演变中相对结构稳定性的特征时期。我们使用scalespectrum及其在波动率和赫斯特指数方面的参数化（我们称之为市场羊群指数）作为工具来确定价格演变的四个主要时期。大约有两个赫斯特指数大的时代。这是由相对较大的价格波动所决定的，其间大约有一个赫斯特指数时期。其特点是价格水平相对稳定。最后，有一个相对性强的反persis itence或负相关的re-returns时代，与最近的价格衰退时代相对应。相对效率的第二个时代是在exchange平台Mt遭到黑客攻击之后开始的。

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2022-6-10 19:35:33

Gox，持续约3.5年。我们分析的一个主要结果是，在比特币存在的整个时期（大约七年），标度谱符合赫斯特定律的均匀幂律。6这比考虑股票市场[23]或经典货币市场[24]时获得的典型值要大。我们还引入了多重分形的度量，在与Mt.Gox hack相关的时代，这种度量确实相对较强。此外，我们还引入了一种基于尺度的相关性度量，并利用该度量来分析比特币与其他两种加密货币之间的相关性。我们特别注意到，比特币和Ripple之间基于规模的回报率的相关性表明，在高效市场中，一致性随着规模的增加而增加。我们最后重申，关注比特币的日内价格也很有意义。在这里，我们重点关注每日价格的光谱特征，当兴趣时间范围为多天时，这一特征非常重要。人们可以预期会有额外的高频日内光谱特征，这些特征可能与常见货币和电子公平市场的n有所不同。我们不考虑日内影响，但我们注意到，本文所述的数据分析工具也可用于考虑此类日常特殊特征。致谢这项工作部分得到了ul Lusenn、中心古诺、基金古诺、巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）的支持。参考文献[1]S.Nakamoto，《比特币：对等电子现金系统》，https://bitcoin.org/en/bitcoin-paper (2008).[2] S.Lahmiria，S.Bekiros，《比特币市场中的混沌、随机性和多重分形》，混沌、孤子和分形106（2018）28–34。[3] J.W.Kantelhardt，S.A.Zschiegner，E.Koscielny Bunde，S.Havlind，A.Bunde，H.E。

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2022-6-10 19:35:36

Stanley，《非平稳y时间序列的多重分形衰减分析》，Physica A 316（2002）87–114。[4] G.Gajardoa、W.Kristjanpollera、M.Minutolob、Doe的比特币与原油、黄金和道琼斯工业平均指数表现出与欧元、英镑和日元相同的不对称多重分形交叉相关性？，混沌、孤子和分形109（2018）195–205。[5] A.F.Bariviera，M.J.Basga ll，W.Haspe rue，M.Naiouf，《比特币市场的一些程式化事实》，Physica A 484（2017）82–90。[6] J.Alvarez Ramirez，J.E.Rodriguez，C.Ibarr a-Valdez，《比特币市场中的长期相关性和不对称性》，Physica a 492（2018）948–955。[7] S.Beguˇsi\'c，Z.Kostanjˇcar，H.Stanley，B.Podobnik，《比特币市场中极端价格波动的标度特性》，Physica A 510（2018）400–406。[8] J.-P.Fouque，G.Papanicolaou，K.R.Sircar，K.Solna，《股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动率》，Spring er，2011年。[9] B.B.Mandelbrot，J.Van Ness，《分数布朗运动》，fr actionalnoises and applications，暹罗评论10（1968）422–43 7。[10] B.B.Mandelbrot，什么时候才能有效地套利价格？对随机游走和鞅模型有效性的限制，Rev。经济学。统计53（1971）225–2 36。[11] B.B.Mandelbrot，《金融中的实际与规模》。《不连续性，集中度，风险》，斯普林格，纽约，1997年。[12] E.Bayraktar，H.V.Po or，K.R.Sircar，《利用小波分析估计标准普尔500指数的分形维数》，《国际理论与应用金融杂志》7（2004）615–643。[13] G.Gajardo，W.Kristjanpoller，《拉丁美洲股市指数和原油市场之间的不对称多重分形交叉相关性和时变特征》，《混沌、孤子和分形》（2017）121-128。[14] G.Oh，C.Eom，S.Havlin，W.S.Jung，F.Wang，H.E.Stanley，S。

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kedemingshi

2022-6-10 19:35:39

Kim，《亚洲外汇市场多重分形分析》，欧元。物理。J、 B85（2012）214。[15] D.O.Cajueiroa，B.M.Tabak，《随时间推移的赫斯特指数：检验新兴市场正在变得更加有效的评估》，Physica A336（2004）521–537。[16] J.Alvarez Ramirez，M.Cisneros，C.Ibarra Valdez，A.Soriano，《原油价格多重分形赫斯特分析》，Physica A 313（2002）651–6 70。[17] J.Elder，A.Serletis，《能源期货长期记忆》，金融经济学评论17（2008）146-155。[18] 姜志强，谢文杰，周文秀，检验WTI原油期货市场的弱式有效性，Physica A 405（2014）235-244。[19] N.Kalamaras、K.Philippopopoulos、D.Deligiorgi、C.G.Tzanis、G.Karvounis，《大气温度时间序列的多重分形标度特性》，混沌、孤子和分形（2017）38–4 3。[20] M.Laib，J.Golay，L.Telesca，M.Kane vski，《复杂地区每日平均风速时间序列的多重分形分析》，《混沌、孤子和FR actals》（2018）118–1 27。[21]G.Papanicolaou，K。Solna，《基于小波的局部Kolmogorov湍流估计》，摘自：长程相关理论与应用，Birkhauser，波士顿，2001年，第473-506页。[22]M.Rajkovic，M.Skoric，K.Solna，G.Antar，《磁约束装置中局部湍流的表征》，Nucl。Fusion 48（2008）024016。[23]C.Eom，S.Choi，G.Oh，W.-S.Jung，Hurst e指数和基于股票市场弱形式有效市场假说的预测，Physica A 387（2008）4630–4636。[24]J.Yao，C.L.Tan，《利用神经网络进行外汇技术预测的案例研究》，神经计算34（2000）79–98。【25】A.Benass i，S.Jaffard，D.Roux，《高斯过程和ps e udodi微分线性算子》，Revista Mathematica Iberoamericana 13（1997）19–9 0。[26]R.F.Peltier，J。

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2022-6-10 19:35:42

Levy Vehel，《多分数布朗运动：定义和初步结果》，技术代表2645，INRIA（1995年8月1日）。【27】S.Cohen，J.Istas，《分馏l油田和应用》，柏林Spring er，2013年。[28]J.Garnier，K.Solna，《石油价格动荡时期的出现》，http://a rxiv。org/abs/1808.09382。多重分数布朗运动具有幂律行为的随机过程的经典模型是分数布朗运动[9]，其增量是平稳的，幂律参数、赫斯特指数和波动率是常数。这里我们给出了一类具有局部幂律行为的随机过程，其幂律参数随时间变化。这对应于将分数布朗运动推广为多分数布朗运动。下面我们给出了一个多分数布朗运动的精确定义，并将其更新到我们的观测模型中。在[25，26]中引入了多分数布朗，例如，在[27]中可以找到mo红尾。设H:R→ （0，1）和σ：R→ (0, ∞)是两个可测量的函数。如果实值过程BH，σ（t）=σtpC（Ht）RenZRe，则称为具有Hurst指数H和波动率σ的多分数布朗运动-iξt- 1 |ξ| 1/2+HtdW（ξ）o，（5）其中，复随机测度dW的形式为dW=dW+idWwith dW，dW是两个独立的实值布朗测度，C（h）是归一化函数：C（h）=ZR4 sin（ξ/2）|ξ1+2hdξ=πhΓ（2h）sin（πh）。（6）让h∈ （0、1）和s∈ (0, ∞). I f Ht公司≡ h和σt≡ s、然后B（h，s）（t）≡ BH，σ（t）是具有Hurst指数h和波动率s的分数布朗运动，即具有协方差的azero-mea-n高斯过程B（h，s）（t）B（h，s）（t′）=s|t | 2h+| t′2h- |t型- t′| 2h. （7） Letβ∈ (0, 1). 设H:R→ （0，1）和σ：R→ (0, ∞) 是两个β-H¨olderfunction，这样suptHt<β。

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2022-6-10 19:35:45

多分数布朗运动（5）是azero-mea连续高斯过程，满足局部渐近自相似性质[25]：在任何时间τ∈ R、我们有Lim→0+1BH，σ（τ+t）- BH，σ（τ）Hτt型∈R= LB（Hτ，στ）（t）t型∈R, （8）式中，L表示“的分布”，这意味着存在一个分数布朗运动，其赫斯特指数Hτ和波动率στ与多分数B布朗运动BHσ相切。这意味着它的点态H¨olderregular特性由它的Hurst expo内特决定。这里，我们假设参数函数H和σar平滑，其特征变化时间Tso为wr iteHt=HtT, σt=σtT,其中，H，σ在一阶标度上相对于其无量纲参数有变化。回顾第2.1节，我们假设我们考虑移动窗口中的数据，其中第k个窗口，k=1，N- M+1，中心时间τ和宽度Mt、在（1）中的数据上下文中，我们将t型<< T、然后，在分布中，我们对每日记录的对数价格记录进行建模（1）bya（k）（i）=log（P（ti+k））=Zti+k+t/2ti+k-t/2B（h，s）（t）dt，i=0，M- 1，（9）h=hτk，s=στk。也就是说，将（1）中的数据建模为过程B（h，s）（t）相对于Haar小波基的水平近似系数。B用标度谱估计幂律。我们解释了如何从（1）中的对数价格数据估计局部幂律参数的细节，这些数据如（9）中所示建模。输入参数是整数ji<je，用于确定在约束条件下的标度范围、惯性范围和窗口大小M，窗口大小M是计算局部光谱的移动时间窗口的大小。我们必须有1个≤ ji<je≤ 米/2. （10）我们的工作如下：1。

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2022-6-10 19:35:48

计算尺度谱S（k）=（S（k）j）jej=jia S小波系数的局部均方：S（k）j=NjNj-1Xi=0d（k）j（i）, （11）其中nj=M- 2j+1，（12）d（k）j（i）=√2jj公司-1Xl=0a（k）（l+i）- a（k）（l+i+j）。(13)2. 确定（je-ji+1）-维向量Y（k）和（je-ji+1）×2维矩阵X asY（k）=log（S（k）ji），···，log（S（k）je）T、（14）X=1对数（2ji）1对数（2（ji+1））。。。。。。1个日志（2je）, （15）对于a（je- ji+1）×（je- ji+1）-维度权重矩阵R计算回归参数^b（k）=（^c（k），^p（k））Tde，由^b（k）=（XTR）确定-1X）-1XTR-1Y（k）。（16）在（16）中，矩阵X是设计矩阵，R是最小二乘加权矩阵，Y（k）是广义最小二乘问题的数据向量，该问题允许识别局部幂律参数。计算局部赫斯特指数和波动率估计值asbH（τk；R）=^p（k）- 1，（17）bσ（τk；R）=^c（k）/2qh（bH（τk；R））。（18）在（18）中，标度系数标度函数h由（3）定义。对于形式为（q>0）的对角加权矩阵，Rqjj=jqj（j），j，j∈ {ji，…，je}，计算机（k）=argmaxR∈{R，R}bH（τk；R）,并通过bH（τk）=bH（τk；R（k）），（19）bσ（τk）=bσ（τk；R（k））获得ro总线t参数估计。（20）我们注意到，在（17）中，我们可以用min（max（bH（τk；R），0.05），0.95）作为估计的阈值，以避免任何奇异行为。还要注意的是，为了获得鲁棒估计量，我们使用了两个对角加权矩阵的组合，有关此过程的鲁棒性和精度的讨论，请参见[28]。C多重分形的局部度量[2]作者使用多重分形去趋势函数分析（MF-DFA[3]）来检测多重分形。对于给定的持续时间s，这等于将时间序列划分为持续时间s的相等子段，并从时间序列中减去每个子段的m阶多项式。

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2022-6-10 19:35:51

然后，计算每个分段的去趋势数据方差。如果总数据长度为，则每个小节中去渲染数据的方差用f（s，v）表示，v=1，Ns=不适用.对于一般力矩q>0，比例谱的模拟形式为Fq（s）=（NsNsXv=1F（s，v）q/2）1/q。根据modellog（Fq（s））=log（a）+H（q）log（s）进行线性回归，以获得广义赫斯特指数H（q）。在单分形情况下，广义赫斯特指数H（q）应与q无关（因为F（s，v）应与v无关），且应等于实际赫斯特指数。在[2]中，作者对每一个低价和高价时期（2013年2月之前和之后）的比特币价格和收益进行了这样的分析。他们发现，第一个时期的多重分形程度更高，这反映在广义赫斯特指数的更高离散度上。回报和价格都是如此，此外，作者（通过随机抽样方法）确定，在低价格和高价格时期（即2013年2月前后），厚尾是多重分形的主要来源。在此，我们使用修改后的广义赫斯特指数进行相关分析。首先，我们要跟踪实际的多重分形特征，即赫斯特世博会期间的变化，这就是为什么我们使用移动窗口而不是“全局”分析的原因。其次，我们要查看所有标度的标度结构，因此不要减去合适的趋势多项式。为了检测每个窗口内的剩余多重分形，我们通过j（q）=nNjNj形成广义尺度谱-1Xi=0 | dj（i）| qo2/q，（21），其中我们抑制了对窗口的依赖（中心点τk）。

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2022-6-10 19:35:54

当基本过程是具有赫斯特指数Hwe have的分数布朗运动时（提供Nj>> 1使Sj（q）≈ E[| dj（1）| q]2/q）：日志Sj（q）≈qlog第二季度√πΓq+1+ log（σh（h））+j（2H+1）。（22）对于一个二进制过程，我们通过对该模型的线性回归得到了一个广义的赫斯特指数H（q）：logSj（q）= 对数（A）+j（2H（q）+1）。由（22）可知，当基本过程为单分形布朗运动时，该广义指数与q无关。在图9中，我们将比特币数据的H（q；τk）表示为窗口中心点τk的函数。我们可以看到2013年初第一个高赫斯特指数时期出现了一定程度的窗口内多重分形，此外，就在Mt.Gox被入侵之后，出现了相当高的窗口内多重分形。然而，一般而言，窗内多重分形的程度相对较低。我们注意到，对于有限的窗口宽度，一般化的Hurst分量估计中存在q依赖性偏差（如分数布朗运动的直接计算所示），因此为了检验多重分形变量的稳定性并消除这种偏差，我们将曲线与q=2的曲线平均值相关。D尾部和边缘效应在本附录中，我们表明赫斯特指数中的波动，作为多重分形的度量，不是由于尾部或边缘非高斯效应。原始原木价格差异如图10所示。直方图显示出严重的尾部分布。我们通过对数价格差异的高斯边际变换进行正则化。注意，原木价格是不同的，然后进行转换（见图11），正则化原木价格是通过积分创建的（见图12），随后在多尺度分析中使用，如前所述。

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2022-6-10 19:35:57

我们可以在图13中看到，幂律参数本质上是原始数据和正则化（高斯化）数据的参数。唯一的微小变化是，与直接处理原始数据的ca se相比，应用于正则化数据的程序似乎稍微高估了较大的H值。其他调节方法（如正负两个标准差的收敛）给出了相同的结果。2012 2014 2016 2018年0.20.30.40.50.60.70.80.9Hurst指数RegulationizeDraw-0.5 0 0.5回报值0.050.10.150.2经验价值分布图10：比特币存在整个时期的对数价格差异和柱状图（右）。关于混沌行为，我们可以在嵌入维1的线性齐次系统的最简单情况下，将混沌系统视为xn+1=aXn+σn，X=X，具有独立且相同分布的标准高斯噪声项的序列。关联的李雅普诺夫指数为λ=对数（a）。

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