隐含和已实现波动率：比率分布研究M。Dashti Moghadama，R.A.Serotaa，1俄亥俄州辛辛那提市辛辛那提大学物理系，邮编：45221-0011摘要我们分析了平方波动率指数、VIX和VXO之间的相关性，以及实现的方差——当前月份的已知方差和下个月的预测方差。我们表明，贝塔素数分布最适合两者的比率，其形状参数强烈依赖于使用两个月中的哪一个月。关键词：隐含波动率、真实波动率、波动率指数、贝塔素数、相关性1。引言在之前的一项研究[1]中，我们引入了由四次波动率指数VIX或VXO表示的r化方差与隐含方差的比率，作为其相关性的衡量标准。我们指出，rea liz edvariance是针对交易日计算的，而隐含方差涵盖了每天，因此其中一个需要进行适当的比较。我们认为，与简单的回归分析相比，研究比率的分布可以深入了解这些相关性[2]，这得出了一个明显的结论，即VIX/VXO比过去的RV对未来实现波动率（RV）的预测略好，因为它建立在后者的基础上，并有额外的信息。在文献[1]中，我们得出结论，实际实现方差rv与V ix和V XO的比率，即其预测值，最好用厚尾逆伽马（IGa）分布来描述，而用伽马（Ga）分布来描述其逆伽马分布。我们推测，这是由于已实现波动率的意外峰值。在本文中，我们表明贝塔素数（BP）分布提供了更好的比率及其倒数拟合。

对于前者，较小比值的幂依赖指数非常大，这模仿了IGa的指数行为。对于后者，幂律尾的指数非常大，这类似于Ga的指数衰减。我们在文献[1]中得出结论，预测月的Rv与V ix和V xo的比率最好用对数正态（LN）分布来描述。参数相似的LN也能很好地描述其逆矩阵。我们认为，虽然过去已实现波动率的峰值导致隐含波动率的峰值，但存在足够的不确定性，使得该比率具有严重的尾部。在本文中，我们表明，使用相似的比率参数及其逆参数的BP为b oth提供了更好的拟合。小值和胖尾的幂律指数都很大，因此BP模拟LN行为。此外，对于BP和LN，反向变量的分布也分别为BP和LN。提醒读者，BP分布的PDF由BP（p，q，β；x）=（1+xβ）给出-p-q（xβ）p-1βB[p，q]（1）其中β是尺度参数，p和q是形状参数，B[p，q]是β函数；英国石油公司∝ xp系统-1论坛<< β和BP∝ x个-q-1对于x>> β.本文的组织结构如下。在第2节中，我们总结了RVA和波动率指数V IX和V XO及其比率的经验观察结果。在第3节中，我们展示了比率的统计结果。在第4节中，我们总结了数量与其比率之间的相关性。serota@ucmail.uc.eduPreprint提交至arXiv 20182年10月19日。经验观察在【1】中，我们给出了RVvis-a-vis V IX和V XO的经验分布（PDF）以及理论，在【3】中，我们将描述它们的函数。

与[4]相比，我们观察到以下特征（另见[5，6]）：oV IX和V XO相对于RV具有较低的高波动率概率，包括较短的胖尾，这表明波动率指数不能准确预测RV的大值，包括较大的波动率峰值。换句话说，波动率指数低估了未来的大型RV与RV相比，V IX和V XO具有更高的中等波动性概率，表明波动性预测高估了未来的中等波动性V IX和V XO具有较低的相对于RV的低波动率概率，这表明波动率预测低估了未来的低RV。对于比率RV/V IX、RV/V XO的分布，重要的是要注意，由于实际波动率和隐含波动率是相关的，我们不能将它们简单地构造为两个自变量的商分布。我们遵守以下规定：2.1。波动率指数预测月份的预测月份o分布具有厚尾，再次表明VIX和VXO低估了未来的波动率值，尤其是波动率峰值非常小的比率被抑制，表现为非常大的幂指数，这表明RV比波动率指数预测的要小得多比率分布的尾部指数大于RVor V IX和V XO的尾部指数，表明对于取自尾部的RV值，V IX和V XO的值更可能来自尾部。2.2.

前一个月的提前月RV o：o分布的尾部比预测月的尾部短得多，反映了波动率指数说明了过去RV的事实这些分布的尾部指数几乎与其逆V IX/RVandV XO/RVD分布的尾部指数相同，表明如上所述的强相关性。对于预测（下一个）月的RVof与预产期月的RVof的比率分布（见下文），我们观察到o脂肪指数小于RV/V IX和RV/V XO分布的指数，即尾部更长。o该分布在非常小比率下的幂律指数比RV/V IX和RV/V XO小得多，也就是说，这些比率受到的抑制要小得多。通过这两项测量，VIX和VXO是未来RV比过去RV更好的预测因子。3、比率分布的统计拟合下图显示了比率及其分布的曲线图，表格包含分布参数和KS统计数据。此处与[1]相关的两个新要素是将BP纳入RV/V IX和RV/V XO分布的fits中，以及预测（下一个）月的RVF与上月的RVF的比率分布的fits（及其倒数）。3.1.

预测月90 92 95 97 00 02 05 07 10 12 15 17 200 2 4 6 8 10 RV/VIX0.20.40.60.81.21.4塔兰加IGB图1：RV/VIX，1990年1月2日至2016年12月30日。90 92 95 97 00 02 05 07 10 12 15 17 200 2 4 6 8 10 VIX/RV0.20.40.60.81.21.4塔兰加WBP图2：VIX/RV，1990年1月2日至2016年12月30日。表1：“RV/VIX”和“VIX/RV”参数KS testNormal N（1.0000，0.9067）0.1940对数正态LN（-0.2027，0.586 7）0.0446IGa IGa（3.3595，2.3466）0的MLE结果。0246Gamma Gamma（2.6219，0.3814）0.0978 Weibull-Weibul（1.1124，1.4009）0.1224IG IG（1.0000，2.3168）0.0607BP BP（27.2279，3.8055，0.1014）0.0198参数KS testNormal N（1.0000，0.5626）0.0972对数正态LN（-0.1562，0.5867）0.0446IGa IGa（2.6219，1.8314）0.0978Gamma Gamma（3.3595，0.2977）0.0246威布尔威布尔（1.1306，1.8882）0.0500IG IG（1.0000，2.3168）0.0734BP BP（3.8055，27.2279，6.891 3）0.019890 92 95 97 00 05 07 10 12 15 17 200 2 4 6 8 10RV/VXO0.20.40.60.81.21.4目录AIGBP图3：RV/VXO，1990年1月2日至2016年12月30日。90 92 95 97 00 02 05 07 10 12 15 17 200 2 4 6 8 10VXO/RV0.20.40.60.81.4目录WBP图4：VXO/RV，1990年1月2日至12月30日，2016年表2：“RV/VXO”和“VXO/RV”参数的MLE结果KS testNormal N（1.0000，0.8747）0.1910对数正态LN（-0.1973，0.579 5）0.0449IGa IGa（3.4629，2.4438）0。0224Gamma Gamma（2.6897，0.3718）0.0971 weibull-Weibul（1.1150，1.4256）0.1230IG-IG（1.0000，2.3981）0.0611BP-BP（47.6001，3.7157，0.0563）0.0177参数KS-testNormal N（1.0000，0.5467）0.0925LogNormal LN（-0.1513，0.5795）0.0449IGa-IGa（2.6897，1.8982）0.0971Gamma Gamma Gamma（3.4629，0.2888）0.028 24威布尔威布尔（1.1308，1.9374）0.0499IG IG（1.0000，2.3981）0.0729BP BP( 3.7157, 47.6002, 12.54 09) 0.01773.2.