对于T=300，我们得到了子样本大小bT的检验统计量的子样本分布∈ {50, 100, 150 , 200}. 我们挫折了∈ {100、200、300、400}对于T=500和bT∈ {120、240、360、480}对于T=1000。我们给出了使用原始子采样临界值（无偏差方向）以及使用偏差校正方法获得的结果。比较表明，偏差校正对有限样本的推理有很大的改善。偏差校正方法消除了尺寸畸变，并在最小尺寸为5%的情况下，在经验幂大于90%的替代假设下提供了优异的性能。在我们的模拟中，计算时间仅随资产数量的增加而略微增加，主要随观测数量的增加而增加。例如，对于T=300，我们大约有5分钟，对于T=500，我们有两倍的时间。对于高斯创新，我们报告的模拟结果是相似的。跑因此，我们认为该程序可以扩展到数百个资产。面板A：M=2，K=4无偏差校正，带偏差校正T=300 T=500 T=1000 T=300 T=500 T=1000尺寸12.6%10.7%8.2%4.4%3.6%4.8%功率85.1%87.4%91.7%93.7%92.5%96.2%面板B：M=10，K=12无偏差校正，带偏差校正T=300 T=500 T=1000 T=300 T=500 T=1000尺寸12.4%10.5%9.8%5.6%5.1%4.4%功率85.7%87.5%89.1%92.1%93.2%95.8%表1：蒙特卡罗结果。条目报告了基于1000次重复的经验大小和经验功率，T=300、500、1000，标称大小α=5%。A组报告M=2和K=4的拒收概率，B组报告M=10和K=12的拒收概率。

在这两个面板中，我们都使用多变量ARCH过程来生成收益，并在不使用偏差校正方法的情况下计算拒绝概率。6实证应用在此应用中，L由市场投资组合、国库券和一组基础资产的所有凸组合组成。此应用程序中无需明确允许卖空，因为市场组合没有具有约束力的卖空限制；非约束性约束不会影响效率分类。由于我们的跨越测试程序，我们想检查两个基金分离定理是否成立：所有MSD投资者能否将国库券和市场投资组合结合起来，以跨越其整个有效投资组合？如果没有，有迹象表明，根据MSD投资者的偏好对其进行积极管理，可能会优于市场投资组合和无风险资产的任何组合。我们在第二次实证应用中对此进行了研究。我们使用Fama和French（FF）规模和账面市值投资组合、一组动量投资组合、一组行业投资组合或一组betaor规模十分位数投资组合作为基础资产，如下文所述，以及市场资金和票据。如果基础资产的数量等于n，则L本质上是相关n的并集- 标准的2个子样本- 1带有{（0，···，1）}的单纯形，其中后者表示市场组合。除了市场投资组合和票据外，基础资产还包括以下投资组合：o6个FF基准投资组合：它们构建在每个季度末，对应于按规模形成的2个投资组合（市场权益，ME）和按账面权益对市场权益（BE/ME）的比率形成的3个投资组合的交点10个动量投资组合：它们每月使用NYSEprior（2-12）收益率十分位断点构建。

这些投资组合包括纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克股票，这些股票都有先前的回报数据。将包含在t月的港口对账单中（于t月底形成- 1） ，股票必须有一个月底的价格-13和t的良好回报- 2.o10个行业投资组合：根据当时的四位数SIC代码，在6月底将纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克的每只股票分配给一个行业投资组合，从而重新构建了10个行业投资组合。这些行业的目标是拥有可管理数量的不同行业，涵盖所有纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克股票10种规模十分之一的投资组合：我们使用一组标准的10种活跃的美国股票投资组合，这些投资组合是根据股票的单个股票市场资本（ME或规模）形成的，并每年重新平衡，每种投资组合代表一年内纽交所、美国运通和纳斯达克股票交叉部分的十分之一10个贝塔十分位数投资组合：我们使用一组10个活跃的美国股票组合，这些组合是根据单个股票贝塔数形成的，每年重新平衡的，每个组合在给定年份中代表纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克股票横截面的十分位数。对于每个数据集，我们使用1930年1月至2016年12月的月度回报数据（月末至月末）（1044个月观察值），这些数据来自Kenneth French主页上的数据库。测试投资组合是Fama and French market portfo lio，这是所有非金融机构的价值加权平均值ncialhttp://mba.turc.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.在纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克上市的法国普通股，由CRSP和Compustat覆盖。作为基础资产使用的对账单尤其令人感兴趣，因为从Banz（1981）、Basu（1983）和Fama and French（1993、1997）开始的大量实证研究表明，小型价值股和小型成长股之间的历史回报率差基于投资风险得出了合理的解释。

此外，基于帐面到市场的分类是Famaand French（1993）研究的因子模型的基础。此外，学者和从业者对动量投资组合表现出强烈的兴趣。经验证据表明，普通股在3-12个月内表现出较高的回报率，而在随后的时期内则表现不佳。这种动量现象是对市场效率概念的一个重要挑战。最后，从系统风险衡量的角度来看，按行业分类的投资组合构成了一个特别具有挑战性的特征（见Fama和French（1997））。贝塔分类投资组合已被广泛用于测试夏普·林特纳·莫森资本资产定价模型（CAPM）（参见Black、Jensen和Scholes（1972）、Blume和Friend（1973）、Fa-ma和MacBeth（1973）、Reinganum（1981）和Famaand French（1992）等）。股票投资组合也一直是随机优势框架中经验文献的中心，例如Post（2003）、Kuosmanen（2004）、Post和Levy（2005）、Scaillet和Topaloglou（2010）、Post a和Kopa（2013）、Gonzalo和Olmo（2014）等。为了关注偏好和信念的作用，我们坚持竞争性资本市场的单周期、投资组合导向模型的假设。SD测试的无模型性质似乎在这一应用领域具有优势，因为金融经济学家对投资者效用函数的相关形状和股票回报的概率分布存在分歧。6.1跨越TestArvanitis和Topaloglou（2017）的MSD结果报告了截至2012年12月的市场组合有效性证据。

我们在截至2016年12月的整个期间以及两个分期间的未报告结果中证实了他们的发现，第一个期间为1930年1月至1975年6月，共522个月观察，第二个期间为1975年7月至2016年12月，共522个月观察。因此，我们发现有证据表明，被动投资对具有MSD偏好的投资者而言并不理想。对于具有反向S型效用函数的投资者来说，股权管理似乎更具吸引力，而不是市场对账单上的标准买入并持有策略。市场投资组合的MSD效率不受收益递增和凸出以及收益递增和凹入的转换的影响，即反向S形转换。由于市场是MSD有效的，我们的下一个研究假设是两个基金分离是否成立，即是否所有MSD投资者都能满足自己只将国债和市场投资组合相结合的要求。Arvanitis和Topalo glou（2017）开发的agiven投资组合MSD效率测试无法回答这一问题，因为他们的方法仅限于对K作为一个单一资产进行跨越测试的简单案例，而不是两个资产的任何线性组合。对于非正态分布，两支基金通常不会分离，除非假设投资者的偏好非常相似（例如，参见Cass和Stiglitz（1970））。我们的MSD跨越测试可以分析两个基金分离，而无需假设回报分布或效用函数的特定形式。我们得到了子样本sizebT的检验统计量的子样本分布∈ [120, 240, 360, 480]. 对经验分位数qT，bT（1）使用OLS积分-α） ，对于显著水平α=0.05，我们得到临界值的估计值QT。

如果检验统计量ξ高于回归估计qT，我们拒绝MSD跨度。在所有考虑的情况下，L=S和α<≤ 1.- chL（K）保持不变。因此，如果我们的假设框架是有效的，我们期望渐近精确性成立。我们发现：o6个FF基准投资组合：回归估计qT=1 5.74低于检验统计量ξT=26.78的值10个动量组合：回归估计qT=19.42低于检验统计量ξT=41.55的值10个行业组合：回归估计qT=2 2.46低于检验统计量ξT=31.74的值10种大小的十分位数投资组合：回归估计qT=19.62低于检验统计量ξT=32.34的值10个β-十分位数组合：回归估计qT=31.48低于检验统计量ξT=44.76的值。结果表明，反对MSD spanning，从而反对MSD投资者的两支基金分离理论。我们在1930年1月至1975年6月1日和1975年7月至2016年12月2日这两个时间段内获得了类似的结果（未报告的结果）。作为本分析的最后一步，我们使用均值方差标准而非MSD标准来测试两支基金的分离情况。我们使用与上述前景跨越测试相同的方法，但我们将效用函数限制为水龙形状。我们使用二次规划解决嵌入的预期效用优化问题（在每个给定的二次效用函数之前）。与MSD跨越相比，我们不能拒绝跨越传统显著水平的平均方差。市场MSD效率和市场MSD spanningtests的综合结果表明，对于一些MSD投资者来说，将T-bill和mar-ket-po-r-tfolio相结合并非最佳选择。

具有反向S型效用函数的投资者可以通过远离市场上的买入并持有策略来超越市场。活跃的投资者通常在具有高上升潜力的资产中集中头寸，或遵循动量等动态策略。他们也可以更喜欢看防守策略。这可以产生正偏斜回报的机会，或至少不那么负偏斜的机会，这对MSD投资者具有吸引力。6.2 MSD投资组合的绩效总结对跨越假设的否定意味着L中至少存在一个投资组合，至少有一个r型效用函数弱于K中的每个投资组合（见定义2）。此类投资组合由建筑效率w.r.t.K提供（SSD案例见Linton et al.（2014）中的定义2.1，可以很容易地推广到我们的MSD案例）。这种端口组合的经验版本是使ξt对于特定样本值最大化的最优组合λ。在下文中，根据这一特征，我们分析了这种心理最优的MSD投资组合随时间的表现，并与市场投资组合（买入持有策略）的表现进行了比较。我们在滚动窗口的基础上进行回溯测试实验。rollinghorizon计算涵盖从1963年7月至2016年12月的642个月期间。在每个月，我们使用过去30年的数据（360个月的观察）来校准程序。我们为MSDspanning测试求解得到的优化模型，并记录由基础资产、市场投资组合和国库券组成的最优投资组合。我们根据优化器为当月选择的资产权重分配的实际回报来确定cho senMSD最优投资组合的实现回报。

然后，我们对nextone月滚动窗口重复相同的过程，并计算1963年7月至2016年12月期间的事后实现回报f。因此，MSD最优投资组合是测试程序的结果，测试程序基于针对每个滚动窗口更新的无条件分布，并且性能是在优化样本之外实现的（无look aheadbias）。让我们首先计算MSD最优投资组合的累积绩效，以及1963年7月至2016年12月整个样本期内的市场组合，基于在林荫道每一个月获得的最优投资组合权重s。MSD最优投资组合在持有期结束时的价值比初始价值高426倍，而市场投资组合仅高13.9倍。因此，MSD型投资者的相对表现比评估期内的市场表现高出30倍。这种3000%的增长在任何显著水平上都是显著的（未报告的结果）。为了进一步了解两种投资策略之间的差异，我们在表2中报告了实现回报和风险价值的前四个时刻。我们进一步计算了一些常用的性能指标：夏普比率、下行夏普比率、收益损失和机会统一成本。基于半方差的下行夏普比率（Ziemba（2005））被认为是一种比典型夏普比率更合适的绩效衡量指标，因为资产收益率分布不对称。为了说明交易成本，我们使用了DeMiguel等人（20 09）的建议。这表明了投资组合营业额产生的比例交易成本对投资组合回报的影响。设trc为比例交易成本，RP，t+1在t+1时投资组合P的实现收益。

净交易成本财富NWPof投资组合P随时间的变化为，NWP，t+1=NWP，t（1+RP，t+1）[1- trc×NXi=1（| wP，i，t+1- wP，i，t |）。（14） 投资组合回报，交易成本净额定义为RT CP，t+1=NWP，t+1NWP，t- 1.（15）让uMandumsd为（15）的样本外平均值，用于市场组合和最大持续时间最优港口组合，σMandσmsd为相应的标准偏差。然后，返回损失度量是，RLoss=uMSDσMSD×σM- uM，（16），即所需的额外回报，以使市场与M SD最优投资组合表现相同。我们遵循文献，使用35个基点计算股票和债券的交易成本。最后，Simaan（20 13）中提出的机会成本衡量了两个投资组合之间绩效差异的经济学意义。让RMSDandRMbe分别计算MSD最优投资组合和市场端口组合的已实现回报。然后，机会成本θ被定义为需要加入（或减去）市场回报RM的回报，因此投资者在两个不同投资机会集所施加的策略之间存在差异（效用方面），即e[U（1+RM+θ）]=e[U（1+RMSD）]。（17） 正（负）机会成本意味着，如果投资机会集允许MSD类型的投资，那么投资者的表现会更好（更差）。机会成本考虑了资产收益的整个概率密度函数，因此，即使在分布不正态时，它也适用于评估策略。为了计算机会成本，我们使用以下效用函数，该函数满足马科维茨理论的曲率（倒S形）：U（R）=Ra，如果R≥ 0,-c类(-R） b，如果R<0，（18），其中c是损失厌恶系数（通常c=2.25），a，b>1。

我们使用表2中a、b的几个值来驱动效用函数的曲率。表2报告了MSD最优投资组合和市场投资组合的绩效和风险度量。这些措施使我们能够更好地了解市场组合与MSD战略之间的差异。MSDoptimal portfo lio的平均值较高，方差较低，这导致夏普比率较高。这种偏态不像预期的那样负面，因为投资者对风险的偏好与对损失的风险厌恶和对收益的风险偏好有关。当投资者希望缓解大型亏损的影响时，峰度和VaR会如预期的那样降低。与市场投资组合相比，MSD投资组合的目标是实现从收益分布的左尾到右尾的概率质量转移。机会成本在70个基点以上，并且随着效用函数的收益和损失部分的曲率而增加。表3报告了有关主题优化投资组合权重分配的描述性统计数据。除市场投资组合和theT Bill外，他们主要投资于大型FF投资组合（FF投资组合）、多个动量投资组合（动量投资组合）、电信、健康、能源和公用事业（行业投资组合）、小型股（规模投资组合）和中低贝塔（贝塔排序投资组合）。我们还调查了哪些因素解释了MSD偏好的活跃投资者的回报。为此，我们使用了Carhart（1997）的四f因素模型，该模型在Fama和French（19921993）的三f因素模型以及Fama和French五因素模型（2015）中增加了动量。

我们的实证检验检验了这些模型是否解释了支配市场和无风险资产组合的MSD投资组合的回报，即实证资产定价文献中使用的标准因子是否是MSD最优投资组合回报的潜在驱动因素。首先，我们考虑以下线性回归（Carhart四因素模型）：Rit- RF t=ai+bi（RMt- RF t）+siSMBt+hiHMLt+riMOMt+eit，其中Rit是t期MSD最优投资组合的回报率，RF是无风险利率，Rmt是价值权重（VW）市场端口组合的回报率，SMBtis是小盘股多元化投资组合的回报率减去大盘股多元化投资组合的回报率，HMLTI是指高回报和低回报股票的多元化投资组合回报率之间的差异，MOMTI是指两个高优先级回报投资组合的平均回报率减去两个低优先级回报投资组合的平均回报率，EIT是零均值残差。如果市场、规模、价值和动量因素的风险敞口bi、si、hi和RIT捕获了预期回报的所有变化，则截距Ai为零。表4报告了四个因素的系数估计值，以及它们各自的t统计和p值。结果表明，除了动量（MOM）外，所有其他因素都可以部分解释最佳MSD端口对开的性能。

截距不是零，这表明其他因素可能也会驱动MSD端口对账单的性能。我们还考虑了以下线性回归（五因素模型）：Rit- RF t=ai+bi（RMt- RF t）+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+eit，其中Ritis是t期MSD最优投资组合的回报，RF t、RMt、SMB和HMLTA之前，RMWT是稳健和弱势股票多样化投资组合回报之间的差异，CMA是低投资公司和高投资公司股票多样化投资组合回报之间的差异，这被称为保守和激进，EIT是零均值残差。如果Exp将bi、si、hi、ri和CIT纳入市场，那么规模、价值、可操作性和投资因素将捕获预期回报的所有变化，则内部接受度为零。表5报告了五个因子模型的系数估计，以及各自的t统计和p值。结果表明，除了盈利能力（RMW），所有其他四个因素都部分解释了MSD po r tfolios的最佳绩效。截距明显不为零表明其他因素也可能驱动MSD port folios的性能。在这两个因素模型中，我们观察到，对于MSD投资组合，beta市场略小于1（防御性）市场，正如预期的那样。SMB因子负荷的负号和HML因子负荷的正号对应额外的防御倾斜。防御策略增持大价值股票，减持小成长股票（见Novy Marx（2016））。7结论我们导出了一个随机变量的cdf的性质，该随机变量由应用于连续随机过程（可能依赖于参数空间）的递归优化定义。

这些性质推广了以前的结果，并可用于推导随机跨越w.r.t.随机优势关系的检验极限理论。作为一个理论应用，我们定义了跨越的概念，构建了基于子抽样的模拟测试，并推导了一阶极限理论和MSD关系的数值实现。受Arvanitis和Topaloglou（2017）的启发，我们在一个实证应用中使用了非参数检验，他们表明市场投资组合并不有效。跨越测试使我们能够探索MSD股票管理公司是否能够超越市场投资组合。首先，我们测试市场投资组合是否有效，然后测试两个基金分离定理是否适用于具有MSD偏好的投资者。我们使用FF规模和账面市值投资组合、一组动量投资组合、一组行业投资组合或一组ETA或规模十分之一的港口投资组合作为基础资产。实证结果表明，市场组合不是MSD有效的，两基金分离定理对MSD投资者不成立。因此，市场和无风险资产的组合不会跨越根据MSD标准创建的投资组合。因此，存在MSDinvestors，他们可以从投资机会中受益，这些投资机会涉及的资产超出了仅由市场投资组合和安全资产构建的投资组合。我们证明了这一点，即具有MSD偏好的股票经理可以产生比过去50年的市场累积回报高出30倍的投资组合。与市场投资组合相比，MSD最优投资组合的回报分布不那么负偏、不那么狭隘、更细的左尾。

最后，利用Carhart（1997）的四因素模型和Fama and French（2015）的五因素模型，我们研究了哪些因素解释了这些回报。我们发现，有力的倾斜解释了MSD最优投资组合的部分表现，而时机和稳定性则不能解释。上述推导和方法也可以探索其他形式的随机优势关系，如一阶或三阶，或前瞻性随机优势。我们将这些问题留给未来的研究。参考文献【1】Arvanitis，S.、Hallam，M.S.、Post，T.和N.Topalo-glou。2018年，随机跨越。商业与经济统计杂志(http://dx.doi.org/10.1080/0 7350015.2017.1391099).[2] Arvanitis，S.和N.Topaloglou。2017年，前景和马科维茨随机优势效率测试。《计量经济学杂志》198（2），253-270。[3] Banz，Rolf W.1981年。普通股回报与市值之间的关系。《金融经济学杂志》9（1），3-18。[4] Baucells，M.和F.H.Heukamp。2006。随机优势和累积预测理论。《管理科学》521409-1423。[5] Black，F.、Jensen，M.和M.Scholes。1972年，《资本资产定价模型：一些实证检验》，M.C.Jensen（ed.）。《资本市场理论研究》，Praeger：纽约，79-124。[6] M.E.布鲁姆和I.弗里德。资本资产定价模型的新视角。《金融杂志》28（1），1 9-34。[7] Carhart，M.1997年。共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52（1），57-82。[8] Cass，D.和J.E.Stiglitz。投资者偏好和资产回报的结构以及投资组合配置的可分性：对共同基金纯理论的贡献。《经济理论杂志》，2（2），12 2-160。[9] Cortissoz，J.2007年。关于斯科罗霍德表示定理。

《美国数学学会会刊》135（12），3995-4007。[10] DeMiguel，V.、L.Garlappi和R.Uppal，2009，《最优与朴素的多元化：1/n投资组合的效率如何？》？。金融研究回顾22，1915-1953年。[11] Edwards，K.D.1996年。前景理论：文献综述，《金融分析国际评论》5，18-38[12]Fama，E.和K.French。预期股票收益的横截面。《金融杂志》47（2），4 27-465。[13] 法玛，E.和K.法语。股票和债券收益中的常见风险因素。《金融经济学杂志》33，3-56。[14] 法玛，E.和K.法语。1997年，行业权益成本。《金融经济学杂志》43153-193。[15] 法玛，E.和K.法语。2015年，五因素资产定价模型。《金融经济学杂志》116，1-22。[16] Fama、E.F.和J.D.MacBeth。风险、回报和均衡：经验测试。《政治经济杂志》81，60 7-636。[17] Francq，C.和J.M.Za koian。GARCH模型：结构、统计参考和金融应用。约翰·威利父子公司。[18] M.弗里德曼和L.J.萨维奇。涉及风险的选择的效用分析。《政治经济学杂志》56279-304。[19] Gonzalo，J.和J.Olmo。2014年，动态设置中的条件随机Ddominance测试。《国际经济评论》55（3），8 19-838。[20] Guggenberger，P.、Hahn，J.、Kim，K.（2008）。力矩不等式下的规格测试。《经济学快报》，99（2），375-378。[21]Hada r，J.和W.r.Russell。1969年。预测不确定前景的规则。《美国经济评论》59，2-34。[22]Hanoch，G.，a和H.Levy。1969年。涉及风险的选择的效率分析。经济研究回顾36，335-346。[23]Horvath，L.和Kokoszka，P.和R.Zitikis。使用加权McFa dden型统计检验随机优势。

《计量经济学杂志》133，191-205。[24]Huberman，G.和S.Kandel。平均方差跨越。《金融杂志》42，873-8 88。【25】Knig ht，K.1999年。分布上的Epi收敛性和随机等半连续性。多伦多大学统计系工作文件。[26]Kr oll，Y.和H.Levy。1980年，《随机优势标准：回顾和一些新证据》，《金融研究》，第二卷，格林威治：JAI出版社，第263-277页[27]Kuo smanen，T.（2004）。根据随机优势标准进行有效的多样化。《管理科学》50（10），139 0-1406。[28]Levy，H.19 92。随机优势与预期效用：调查与分析。《管理科学》38555-593。[29]Levy，H.2015年。随机优势：不确定性条件下的投资决策。斯普林格。【30】M.Levy和H.Levy。前景理论：无事生非？。管理科学481334-1349。[31]Levy，H.，M.Levy。200 4. 前景理论和均值-方差分析。金融研究回顾17（4），1015-1041。[32]Lif shits，硕士，1983年。关于随机过程泛函分布的绝对连续性。概率论及其应用2 7（3），600-607。[33]Linton，O.，Maasoumi，E.和Y.-J.Whang。在一般抽样方案下对草甘膦优势的一致性检验。经济研究回顾72735-765。[34]Linton，O.，Post，T.，和Whang，Y.J.2014年。测试给定港口的随机优势效率。《计量经济学杂志》17（2），59-74。[35]McFadden，D.1989年。《不确定性经济学研究》中的随机优势测试，编辑：T.Fomby和T.Seo，纽约：Springer-Verlag，第113-134页。[36]Molchanov，I.2006年。随机集理论。施普林格科学与商业媒体。[37]Mosler，K.和M.Scarsini。1993

随机顺序和应用，分类书目，柏林：斯普林格出版社。【38】Narici，L.和E.Beckenstein。拓扑向量空间。CRC出版社。【39】Novy Marx，R.2016年。了解防御性公平。罗切斯特大学西蒙·拉杜特商学院和NBER的工作文件。【40】Nuala r t，D.20 06。Malliavin微积分和相关主题。柏林：斯普林格。[41]Politis，D.N.，J.P.Romano和M.Wolf。1999年，二次抽样。纽约斯普林格。[42]Post，T.2003。随机优势效率的实证检验。《金融杂志》第58期：1905-1931年。[43]Post、T.和M.Kopa。2013。随机优势标准的一般线性公式。《欧洲运筹学杂志》230（2），321-332。[44]Post、T.和H.Levy。追求风险会推动股价吗？随机优势是对投资者总体偏好和信念的分析。财务研究回顾18（3），9 25-953。【45】M.R.Reinganum。1981年。CAPM的新实证视角。《金融和定量分析杂志》16（4），439-462。[46]里约热内卢，E.2013。弱相依序列的不等式和极限定理。3\'eme循环。第170页<cel-0 0867106>。【47】罗斯柴尔德、M.和J.E.斯蒂格利茨。增加风险：I.定义。《经济理论杂志》2（3），225-243。【48】O.斯凯莱和N.托帕洛卢。随机优势效率测试。《商业与经济统计杂志》28（1），169-180。【49】Simaan，Y.，1993，《投资组合选择和sset定价三参数框架》。管理科学39，56 8-577。【50】Sidak，Z.、P.K.Sen和J.Hajek。19 99. 秩检验理论。学术出版社。[51]托宾，J.1958。液体偏好是一种风险行为。经济研究回顾25，65-86。【52】van der Vaart，A.W.和J.A.Wellner。1996年，弱收敛。

纽约州斯普林格恩。[53]Ziemba，W.，2005，《对称下行风险夏普比率》。《投资组合管理杂志》32，108-122.8附录8.1主要结果证明理论证明1。首先，我们知道tξ∈ D1,2，来自Nualart（2006）命题2.1.10证明中与theones类似的论点。精确地说，考虑∧的一个可数稠密子集，比如∧∞以及ξn：=Oprexλ，其中考虑OptidW。r、 t.∧i、 n（λi-1） ={∧的前n个元素i（λi-1) ∩ pri∧∞} 和λi-1.∈ Λ我-1，n当i>1时。函数运算符：C（λ，R）→ R是Lipschitz，根据Nualart（2006）的命题1.2.4，我们得到ηn∈ D1,2。进一步，根据假设1.1，ξn→ ξin L(Ohm), 因此，初步结果如下，如果（Dξn）n∈Nis L公司(Ohm)有界。定义={ω∈ Ohm : ξn=Xλn，ξn6=Xλk，k<n}。利用D的局部性质，我们得到Dξn=Pn∈NAnDXλn和therebyE[kDξnkH]<+∞ 根据假设1.2。然后，假设1.3以及Nualart（2006）的命题2.1.7暗示了定理的第一部分。对于以下内容，首先假设T为空。然后，结果将来自一系列与Nualart（2006）命题2.1.11的证明几乎相同的论点。具体来说，考虑setG={ω∈ Ohm : 存在λ∈ λDXλ6=Dξ，Xλ=ξ}，使用∧∞H以上∞H的单位球的一个可数稠密子集，Br（λ）在∧中的球，中心λ，半径r＞0，我们得到G ∪λ∈Λ∞,r∈Q++，k∈N、 h类∈H∞Gλ，r，k，hi。e、 ，一个可数并，其中gλ，r，k，h：=ω ∈ Ohm : hDXλ′- 所有λ′的Dη，hi>kf∈ Br（λ）∩ {opexλ′=ξ}。对于上述某些λ、r、k、h，定义ξ′=Oprexλ′，其中现在视为w.r.t.∧i（λi-1)∩prBr（λ）选择Br（λ）的一个可数稠密子集，例如B∞r（λ）并使用∧∞i、 n（λi-1） ={∧的前n个元素i（λi-1) ∩ priB公司∞r（λ）}，定义ξ′n=Oprexλ类似。我们有一个s n→ ∞ ξ′n→ ξ′in L(Ohm) 根据假设1.1，正常。

根据Nualart（2006）的引理1.2.3和假设1.2，我们还得到了Dξ′n→ L的弱拓扑中的Dξ′(Ohm, H） 。再次使用上面的局部属性参数，我们得到了任何ω∈ Gλ，r，k，h，Dξ′n=DXλ′，对于某些λ′∈ B∞r（λ）。但是，对于这样的ω，我们有Dξ′n- Dξ′，h>k对于所有n，这直接意味着P（Gλ，r，k，h）=0，由于可数性，这意味着P（G）=0。然后，结果遵循Nualart（2006）定理2.1.3。现在，假设τ∈ T，和considerP（ξ=τ）=P（{ξ=τ}∩ Ohmτ） +P（{ξ=τ}∩ Ohmcτ）如果，对于某些τ∈ T，P(Ohmcτ）>0，我们得到p（{ξ=τ}∩ Ohmcτ）=P（ξ=τ/Ohmcτ）P(Ohmcτ），我们可以考虑过程X:= 十、Ohm-∪τ ∈TOhmcτ明显满足假设1和T=  随着符号的显著变化。因此，ξ有绝对连续定律，意味着P（ξ=τ/Ohmcτ）=P（ξ= τ) =0. 如果P(Ohmcτ）=0平凡P（{ξ=τ}∩ Ohmcτ）=0，确定P（ξ=τ）=P（{ξ=τ}∩ Ohmcτ）在任何情况下。现在，假设τ，τ是Tand的连续元素Ohmτ,τ= {ω ∈ Ohm : ξ ∈ (τ, τ)}. 前面的表示P(Ohmτ、 τ）>0，因此过程X:= 十、Ohmτ、 τ满足假设1和T= , 从而ξ有一个绝对连续的定律。当定理中包含的部分为非空时，其他情况也类似。当清空结果时，返回。推论1的证明。因为ξ和η之间的关系意味着supp（ξ）是（c+∞) 还有P（ξ=c）≤P（η=c）。命题1的证明。(<=) 如果K<ML，对于任何λ，都存在一些κ，例如supz≤0（z，λ，κ，F）≤ 0和supz>0（z，λ，κ，F）≤ 这意味着Maxi=1,2supz∈Aiinfκ∈Ki（z，λ，κ，F）≤ 0。（19）由于K是闭合的，因此是紧致的，并且F有一个有限的一阶矩，支配收敛定理意味着J(-∞, 0，κ，F）是连续的w.r.t.κ。

这与K的紧致性一起意味着arg minκ∈千焦(-∞, 0，κ，F）为非空。Letκ成为Lat ter的一个元素。然后，第一个等式由ξ（F）得出≥ infκ∈千焦(-∞, 0，κ，F）- J(-∞, 0, κ, F）=0。如果K某些λ的ML∈ 五十、 和任何κ∈ K、 存在一些i（λ, κ） ，z(λ, κ) ∈ 也就是说i（z，λ，κ，F）>0。那么J的连续性(-∞, z、 κ，F）和J（z+∞, κ、 F）w.r.t.κ和K的紧性意味着，对于任何λ/∈ K、 z∈ A.κλ，z∈ Ksuch thatinfκ∈K（z，λ，κ，F）=（z，λ，κλ，z，F），从而ξ（F）≥ (λ,κλ,z)（z）, λ, κλ,z, F）>0。(=>) 现在假设ξ（F）=0，并考虑任意变量λ。这意味着（19）成立，因此存在K的某些元素i（z，λ，κ，F）≤ 0，每z∈ Ai，i=1，2。如果ξ（F）>0，对于某些λ∈ 五十、 一些i=1，2，infκ∈Ksupz公司∈艾岛i（z，λ, κ、 F）>0。这意味着对于任何κ∈ K、 supz公司∈艾岛i（z，λ, κ、 F）>0，结果如下。命题2的证明。辅助引理1中的结果表明z、 λ，κ，√T（英尺- F）z、 λ，κ，√T（英尺- F）弱收敛于（z，λ，κ，GF）（z，λ，κ，GF）w、 r.t.到lsc实值函数相关空间乘积上的连续（w.r.t.（z，z，λ））epi收敛（w.r.t.κ）的乘积拓扑（关于epi收敛的对偶概念，参见例如Knight（1999））。这个乘积空间可以度量为完全的和可分离的（参见增益骑士（1999））。因此，Skor-okhod表示法适用（如上所述，参见Cortissoz（2007）中的定理1），因此适用于任何（z，z，λ）和任何序列（z1，T，z2，T，λT）→ （z，z，λ），存在一个增强概率空间和过程1，T（κ）2，T（κ）d=z1，T，λT，κ，√T（英尺- F）z2，T，λT，κ，√T（英尺- F）,(κ)(κ)d=（z，λ，κ，GF）（z，λ，κ，GF）,定义如下：1，T2，T→几乎可以肯定，w.r.t。

对于epi收敛的producttopology，其中d=表示分布相等。请注意，z1，T，λT，κ，√T英尺z2，T，λT，κ，√T英尺d=K1，T（κ）K2，T（κ）:=1，T（κ）2，T（κ）+√T（z1，T，λT，κ，F）（z2，T，λT，κ，F）.在H下，由于前面的原因，对于任何i=1，2，κ，κT∈ K、 和κT→ κ、 限制→∞Ki，T（κT）几乎肯定等于i（κ），（zi，λ，κ，）∈ IntΓi公司+∞, （zi，λ，κ，）/∈ Γi，i（zi，λ，κ，F）>0-∞, （zi，λ，κ，F）/∈ Γi，i（zi，λ，κ，F）<0。此外，对于任何包含κ的紧Kit∈ 使得（zi，T，λT，κ，）最终属于Γiwe的边界，几乎可以肯定，lim infT→∞infκ∈KiKi，T（κ）≥ infκ∈Ki公司i（κ）+lim信息→∞infκ∈Ki公司√Ti（zi，T，λT，κ，F）≥ infκ∈Ki公司i（κ）。因此，根据提案3.2。Molchanov（2006）的（ii）-（iii）（第5章，第337页），K1，T（κ）K2，T（κ）几乎肯定w.r.t.在K上收敛到epi收敛的乘积拓扑，并且在Ai×L上连续收敛到K（κ）=K（κ）K（κ）, 含Ki（κ）=i（κ），（zi，λ，κ）∈ Γi-∞, （zi，λ，κ）/∈ Γi.由于K是紧的，Molchanov（2006）的定理3.4（第5章，第338页）几乎可以肯定地暗示，infκ∈KKi，T（κ）→infκ：（zi，λ，κ）∈Γii（κ），κ：（zi，λ，κ）∈ Γi-∞, κ：（zi，λ，κ）∈ Γi，联合i=1，2。当Γiis不为空时，根据Rockafellarand-Wetts（2009）的定理7.11，并对相关增强概率空间中定义的随机元素使用相同的假设（简化证明），序列infκ我zi，λ，κ，√T英尺它也是等上半连续的。由于下面的lemma2的证明和H的形式，我们知道上面的序列几乎是有界的，因此Molchanov（2006）的定理3.4（第5章，第338页）暗示几乎可以肯定的是，supzi，λinfκ我zi，λ，κ，√T英尺→ supzi，λinfκ∈Γii（zi，λ，κ，GF）。当Γiis为空时，限制很小-∞.

将Skorokhod表示还原为原始序列，并利用连续映射理论得到结果。定理2的证明。第一个结果之后是定理3.5.1的直接应用。iof Politis et al.（1999）根据命题2的结果，极限量子函数对于所有α都是连续的∈ (0, 1) . 通过考虑辅助引理2的结果，第二个结果也是类似的。对于第二个结果，如果Hai为真，对于某些λ∈ L- K、 和任何κ∈ K、 存在一些i，z∈ 也就是说i（z，λ，κ，F）>0。那么，我们有ξT≥ infκ∈K我z, λ, κ,√T（英尺- F）+√T infκ∈Ki（z, λ, κ、 F），并且从与命题证明2中使用的参数类似的参数来看，最后一个显示rhs中的第一项是渐近紧的，而从命题1证明中使用的参数来看，最后一个显示rhs中的第二项发散到+∞. 结果来自bT的性质。定理3的证明。结果与命题2和定理2的证明完全一致，首先注意到上述命题中的相关次表收敛概念也包含f或限制为a（t）的相关函数，如果从结果t和Painleve Kuratowski集收敛的定义来看，supλinfκi（z，λ，κ，GF）具有相同的sup w.r.t.z，其对任意稠密子集的限制有助于L和K的紧性以及Molchanov（1999）的定理3.4（第5章，p.338）。下面的辅助引理是一个辅助引理，用于推导命题2和定理2的证明。引理1。假设2下z、 λ，κ，√T（英尺- F）z、 λ，κ，√T（英尺- F）（z，λ，κ，GF）（z，λ，κ，GF）作为R值有界函数空间上的值为onL×K×R的随机元-×R++配备sup范数。

限制过程具有连续的采样路径。证据设θ：=（λ，κ，z，z）∈ Θ：=L×K×R-×R++，ρR的任何非零元素，并考虑 (θ, ·) := ρ（z，λ，κ，·）+ρ（z，λ，κ，·）。请注意，根据假设2，Rio（2013）的定理7.3意味着√T（英尺- F）GF。这意味着√T（英尺- F）也弱次收敛于GF（参见Knight（1999））。两者都是上半连续（usc）P a.s.，具有外聚敛拓扑的usc函数的空间可以被度量为完整且可分离的（参见againKnight（1999））。由于可分性和Skorokhod表示定理（参见Cortissoz（200 7）中的定理1），存在一个合适的概率空间和随机元素，在上述函数空间中具有值，使得F*Td公司=√T（英尺- F），F*d=GF和f*T→ f*a、 s。。让J≡ span{f*T、 f级*, T=1，2，···}，具有弱收敛的可度量拓扑。考虑 （·，·）限制为J，随机过程的线性空间中有值，分布上有收敛拓扑，有界实函数空间中的值定义在Θ上，有sup范数。根据假设2，备注？？，推论4.1和Rio（2013）的定理7.3，我们还有thatsupθ∈ΘsupTEθ,√T（英尺- F）+ supθ∈ΘE( （θ，GF））< +∞.Narici和Beckenstein（2010）中的la t er不等式以及定理6.5.2，通过有界Lipschitz度量（参见例如第73页，van der Vaart和Wellner（1996））对分布中的收敛进行度量，该度量从上述跨度有界，表示闭合w.r.t˙线性跨度的特定拓扑。通过supθE（十）- y）, 对于上述过程空间的x，y成员，意味着 （·，·）作为限制，前文是连续的。因此，CMT意味着 （θ，f*T） （θ，f*) 也就是说θ,√T（英尺- F） （θ，GF）。

这和Cramer-Wold定理暗示了所需的结果。最后的断言来自supθ∈ΘE( （θ，GF））< +∞, van der Vaartand Wellner（1996）例1.5.10中的讨论，以及E( （θ，GF））w、 r.t.θ。引理2。Ifξ∞是非常数，在假设2和4下，ξ的di s分布∞具有支持[0+∞), 其cdf在（0+∞), 它可能在零处有一个跳跃不连续，大小为t，大多数为chL（K）。证据只要满足假设1的要求，并找到合适的边界η，结果就源自推论1。对于∧=L×K×{1，2}×R-×R+，其中{1，2}被认为配备了离散度量，我们得到Xλ=1（i）（z，λ，κ，GF）+1（i）（z，λ，κ，GF），对于λ=（λ，κ，i，z，z），具有来自引理1最终断言的连续样本路径。那么请注意sup∧Xλ≤Xi=1,2Esupλ∈Lsupκ∈Ksupz公司∈艾岛i（z，λ，κ，GF）.根据所涉及过程的零平均高斯性，备注？？，λ×R的填充数以多项式w.R.t为界。Van Der Vaart和Wellner（1996）的命题a.2.7中的倒半径暗示了上述上极分布的次指数性，从而也暗示了它们的二阶矩的存在。因此，假设1的假设1成立。利用Nualart（20 06）中的讨论，在命题2.1.11（第10 9页）得到证明后，假设1的假设2也因假设2而成立。由于零均值高斯性，不包括P-可忽略事件i（z，λ，κ，GF）只有在κ=λ时才为零，最多只有在ξ∞具有退化方差。因此，T={0}，我们可以尝试获得ξ的下界∞.

根据Lebesgue-Stieljes积分的分部积分公式和假设2，我们得到ξT≥ 最大值λ∈Linfκ∈K我0, λ, κ,√T英尺≥ ηT：=√Tsupλ∈LλT r- supκ∈KκT rTXi=1（Yi- E（Y））η∞:=supλ∈LλT rZ-supκ∈KκT rZ，其中Z~ N（0n×1，V）。因此，ξ∞≥ η∞≥ 前面的不等式暗示了c=0时推论1的适用性。我们通过估计P（η）的上界来获得结果∞= 0). 根据假设2和V的非简并性，后一种概率正好等于随机向量Z的最大值出现在代表S的一个极值点的坐标处的概率，该极值点对应于土地K（w.r.t.L）的一个公共效应极值点，例如λ，在该点处，λt rZ最大。使用Sidak et al.（1999）第3章（第37页）中的定理2，通过（在其符号中）让p为n元标准正态分布的密度，q为n（0n×1，V）的密度，定义为4，我们得到：p（η∞= 0) ≤ 叶绿素（K）。MSD optimal portfolio market portfolioMean 0.01035 0.00510标准偏差0.04290 0.04420偏度-0.27730-0.52629超额峰度1.18535 1.96705VaR 5%0.06133 0.0718Sharpe Ratio 0.17495 0.04697 DownSid e Sharpe Ratio 0.12986 0.39570回报损失0.7856%机会成本（c=2.25）a=b=2 0.704%a=3 0.990%a=b=4 1.565%表2：绩效和风险措施。分录报告MSD最优投资组合和市场投资组合的绩效和风险度量，使用一个月的滚动窗口计算。我们列出了均值、波动率、偏度、超额峰度、经验平均值5%（亏损的正号）、夏普比率、下行夏普比率、收益损失和机会成本。该数据集涵盖1963年7月31日至2016年12月31日期间。MSD portfolioBase资产组合权重分配的描述性统计平均标准偏差。

偏斜度Kurto sisMarket 0.0933 0.0461-0.5990 0.0279T-Bill 0.0265 0.0678 2.1743 2.73616 FF Big LoBM 0.0282 0.0472 1.7689 2.4370 Big AvBM 0.0203 0.0529 2.24 07 3.0765 Big Hi BM 0.1515 0.06231-0.9441-0.608810动量前3 0.0539 0.0397-0.5491-1.6188前4 0.01 78 0.0329 2.0128 3.0前5 0.02 49 0.0554 1.7780 1.1651之前7 0.023 0.0099 4.0016 14.056之前8 0.00 97 0.0165 1.1428-0.6570Previor 9 0.00 27 0.0101 3.5233 10.446Hi Previor 0.0886 0.0525-0.7163-0.380010工业Telcm 0.0301 0.0464 1.2129 0.1298，0.0327 0.0680 1.8638 1.8056 UTILS 0.0124 0.0349 4.3510 18.234能量0.0984 0.0717-0.2824-1.467410尺寸ME1 0.1911 0.0156-1.1916-0.581710 beta Lo 0.0671 0.0519 0.3527-1.7449数量。20 0.0318 0.0627 1.9163 2.1448数量。30 0.0052 0.0198 3.5233 10.446数量。40 0.0025 0.0106 4.0016 14.056表3:1963年7月至2016年12月期间MSD最优组合重量分配的描述性统计数据，使用一个月滚动窗口计算。aiRM公司- RFSMB HML MOMCoef。0.508 0.948-0.03 1 0.133 0.004t-stat 1.294 1.021-2.484 9380 0.441p-值0 0 0.013 0 0.659Adj。RF统计p值0.948 2.953 0表4：Carhart四因素模型。条目报告了系数及其各自的t-统计量，以及调整后的R2、F-统计量和p-值。MSD最优投资组合的数据集范围为1963年7月至2016年12月，计算时间为一个月滚动窗口。aiRM公司- RFSMB HML RMW CMACoef。0.419 0.981-0.019 0.201 0.021-0.06t-stat 15.30 146.3-2.075 15.51 1.597-3.327p-值0 0 0 0.038 0 0.111 0.009Adj。RF统计p值0.988 5361.6表5:Fama-French五因子模型。条目报告了系数估计值、各自的t统计值以及调整后的R2、F统计值和p值。MSD o pt ima l投资组合的数据集范围为1963年7月至2016年12月，使用一个月滚动窗口计算。