Markowitz随机优势的跨越检验

2022-6-11 00:49:32

因此，我们证明，对于具有马科维茨类型偏好的投资者而言，通过基础资产进行的股权管理可以跑赢市场。关键词和短语：鞍型点、马科维茨随机优势、跨越检验、线性和混合整数规划、反向S型效用。JEL分类：C12、C14、C44、C58、D81、G11。致谢：我们要感谢编辑、联合编辑和两位推荐人提出的建设性批评意见和众多建议，这些意见和建议比前一版本有了实质性的改进。我们感谢2018年芬兰研究日的参与者提出的有益意见。1简介任何试图理解资产价格或交易行为的模型的一个基本特征是关于投资者偏好的假设，或者关于投资者如何评估投资组合的假设。绝大多数模型都假设投资者根据预期效用框架来评估投资组合。投资者被假设为不贪得无厌和风险厌恶的代理人，他们的偏好由递增和全局凹效用函数表示。经验证据表明，投资者并不总是充当风险规避者。相反，在某些情况下，他们表现出更为复杂的行为特征，即喜欢冒险和避免冒险。他们似乎在评估资产的财富变化，而不是最终的财富头寸。他们在收益和损失方面表现不同，他们对损失比ga-ins（损失厌恶）更敏感。相关的效用函数可以是凹的放弃和凸的损失（S形），也可以是凸的ga-ins和凹的损失（反向S形）。

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2022-6-11 00:49:35

它们似乎使用可能增加不可忽视（并可能避免）事件概率的转换，将客观概率度量转换为主观概率度量，在某些情况下，这些事件与上述效用函数具有类似的分析特征。（部分）反映此类发现的风险排序示例包括行为金融的主导规则（见Friedman and Savage（1948）、Baucells and Heukamp（2006）、Edwards（1996）以及其中的参考文献）。因此，在过去几十年中，在这个框架中使用了随机主导，更普遍地演变为经济学、金融和统计/计量经济学领域的一个重要概念（参见Kroll和Levy（1980）、McFadden（1989）、Levy（1992）、Mosler和Scarsini（1993）以及Levy（2005）），因为它可以在非参数环境下对最优选择问题进行推理。已经开发了一些统计工具，以测试在给定随机优势的固定概念下，利益概率分布（或代表它的随机元素）是否在给定集合中支配任何其他类似分布，即前者比后者更有效（见Arvanitis et al.（2018））。已经制定了类似的程序来测试该分布是否不受给定集合中任何其他成员的支配，即它是否是其中的有效元素（见Linton Post和Wang（2014））。我们可以在Horva t h、Kokoszka和Zitikis（2006）的应用章节中找到一些说明性的例子，其中利息在于收入的不分配，或者Post和Levy（2005年），Scaillet和Topaloglou（2010年），Linton，Post和Whang（2014年），其中利息在于正式的对账单。关于一阶（FSD）和二阶（SSD）随机优势，有大量不断发展的文献。

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2022-6-11 00:49:38

我们可以通过每个不可满足投资者在不确定性条件下的选择来描述FSD，而我们可以通过每个风险厌恶和不可满足投资者的选择来描述SSD（见Hadar和Russell（1969），Hanoch和Levy（1969），以及Rothschild和Stiglitz（1970））。高阶随机优势关系对投资者的潜在效用施加了更多限制，同时保持了不满足感和风险厌恶。放弃全球风险规避，Levy和Levy（2002）公式定义了前景随机优势（PSD）的概念（另见Levy和Wiener（1998），Levy和Levy（2004））和Markowitz随机优势（MSD）。这些概念调查具有S型效用函数和反向S型效用函数的投资者的选择。Arvanitis和Topaloglou（2017）因此制定了PSD和MSDsuper-efficiency的一致统计测试。给定一个随机优势关系，随机跨越的概念包含了上述超效率的概念。这是蒂埃里·波斯特（Thierry Post）的一个想法，受胡伯曼（Huberman）和坎德尔（Kandell）（1987）的平均方差跨越的影响，在Arvanitis et al.（2018）的二阶随机优势背景下被公式化。它还可以推广到双随机优势关系。给定一个关系，如果基础的有效元素集，即有效集，是非空的，则生成集就是有效集的任何超集。因此，我们可以使用生成集来提供基础效率集的“外部近似”，和/或在足够小的情况下，提供初始分布集的理想缩减，在此基础上定义随机优势排序，这可能很复杂。

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2022-6-11 00:49:41

在这种情况下，我们可以减少对最优选择问题的检查，使之成为一个可能更容易和更简单的问题。这两个问题都是金融经济学感兴趣的问题，因为基础分布通常代表金融资产的回报行为和支配顺序反映了投资者偏好的类别（例如，对于FSD和SSD，以及PSD和MSD规则及其与效用函数类别的关系，见Levy a和Levy（2002））。这些概念也可能对经济理论或决策科学的任何领域产生潜在的兴趣，这些领域研究的是不确定性条件下的最优选择。例如，如果已知可用资产范围的一个严格子集描述了w.r.t.一种随机优势关系，该关系通过某种局部风险厌恶与局部风险寻求行为的组合反映了所有偏好（例如，参见第3.1节中定义的MSD预订单），任何具有这种风险倾向的投资者都可以安全地将其选择限制在跨越集。相反，如果不是跨越式的，则必须存在具有类似偏好的投资者，这些投资者可以从超级集合的子集合中扩大投资机会中获益。这意味着随机跨越可以用于提取金融市场的重要属性，用于泰勒针对效用函数的特殊形状所做的投资决策。因此，自然会产生以下问题：对于某些固定的随机优势关系，给定的资产集是否由（可能与经济相关的）子集所跨越？当两个集合不相等时，当且仅当由复杂递归优化定义的函数为零时，才会发生跨越（例如，对于SSD，请参见Arvanitis et al.（2018）第6页的讨论，对于MSD，请参见下面的命题1）。

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nandehutu2022

2022-6-11 00:49:45

由于函数依赖于通常未知的基础分布和/或所涉及的优化的复杂性，其经验验证通常在分析上难以进行。因此，这不是直接的实际用途。然而，如果经验信息的存在，我们可以设计跨越的完全假设的非参数检验。随机跨距检验的极限理论通常涉及零弱极限，表示为优化函数的有限递归，应用于一些可能具有鞍型函数形式的相关高斯过程。原子在其分布中存在的可能性影响了上述测试的渐近精确性问题，这些测试通常基于重采样程序，如平移测试，被视为超效率w.r.t.的特例测试。潜在的前序。例如，在Scaillet和paloglou（2010）、Arvanitis和paloglou（2017）以及Linton et al.（2014）中开发的程序可被视为单态跨越se ts的跨越测试。自举和二次抽样（Linto n等人（2005））。为了获得精确性，由于上述函数的复杂性，我们不能依赖于先前关于超效率测试工作中使用的标准概率结果。因此，我们的第一个贡献是对定义为实值随机过程鞍型点的随机变量cdf连续性的理论研究。本文第2节建立了概率框架，并推导了由连续过程w.r.t上的有限个嵌套优化定义的随机变量定律的新性质。

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2022-6-11 00:49:48

可能相互依赖的参数空间。除了对本文发展的跨越检验极限理论有用外，该结果也是对其他随机过程的上确界结果的一个非平凡的扩展，并且可以在其他计量经济学环境中使用（参考文献和示例见第2节）。我们的第二个贡献如下。Arvanitis et al.（2018）的结果涉及随机跨越w.r.t.的概念。SSD关系本质上代表了所有偏好和全球风险厌恶，并在基础分布有界支持的背景下得出。如果我们扩展到局部风险规避和一般支持，我们期望在生成集的性质、相关泛函对它们的表示、测试程序的构造以及它们的极限理论的推导上，类似的、可能更复杂的结果成立。文献中已经出现了有关超效率w.r.t.随机优势问题的统计测试，代表了当地对风险的态度（例如，见Post and Levy（2005），或Arvanitis and Topalog lou（2017）），但据我们所知，尚未对这种优势关系研究跨越的概念。第3节研究了随机跨越w.r.t.的概念。在金融投资组合形成的背景下，MSD前序。我们定义了这个概念，并提供了函数零点跨越的原始特征。利用类比原理，我们定义了非参数检验统计量，推导了其在零假设下的极限分布，并定义了近似渐近临界值的二次抽样算法。

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能者818

2022-6-11 00:49:51

除其他外，我们使用第2节的新概率结果和一个新的组合论证，推导了当相关极限分布为非退化且对显著水平的限制成立时的渐近精确性。特别是，我们推导了子采样过程的一致性。与Arvanitis et al.（2018）的结果相反，我们允许对回报分布进行无界支持，并且我们假设相关参数空间是单纯形复合物。我们在第3节中解释了为什么这些扩展是有用的，以及我们如何修改理论参数来适应它们。第4节提供了一个由一组有限的线性规划（LP）和混合整数规划（MIP）问题组成的数值实现，后者是需要解决的高度非线性优化问题。受Arvanitis和Topaloglou（2017）的启发，他们表明市场对账单不是MSD有效的，我们在第5节的实证应用中进行了测试，根据Markowitz偏好，具有MSD偏好的投资者是否可以通过股权管理击败市场。我们使用股票投资组合作为基础资产。Weshow认为市场投资组合不是Markowitz有效的，而且两个基金分离定理对MSD投资者不适用。因此，市场和无风险资产的组合不包括根据MSD标准创建的投资组合。我们还表明，具有MSD偏好的股票经理可以生成投资组合，在过去50年中，其累积回报率比市场高出30倍。STANDA r d性能和风险度量表明，最优MSD投资组合更适合于对损失风险厌恶、对收益风险偏好的MSD投资者。与市场投资组合相比，它实现了收益分布从左尾到右尾的概率质量转移。

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2022-6-11 00:49:54

其收益分布表现出较小的负偏度、较小的峰度和较小的负尾风险。最后，利用Carhart（1997）的四因素模型和Fama and French（2015）的五因素模型，我们研究了哪些因素解释了这些回报。我们发现，有力的倾斜解释了MSD最优投资组合的部分表现，而时机和稳定性则不能解释。在最后一节中，我们得出结论。我们在附录中给出了主要结果和辅助结果的证明。2概率结果假设∧，∧，∧是可分度量空间，设∧：=Qsi=1∧i具有乘积拓扑。考虑功能操作：=opto 选择o··· o opts其中opti=sup或inf w.r.t.到某个非空紧∧我 ∧i，对于i=1，s、当i>1时，λ允许iis依赖QI的元素-1j=1∧我-j、概率框架紧随Nualart（2006）第2章。它由一个完整的概率空间组成(Ohm, F、 P），其中F由一些等正态高斯过程W={W（h），h生成∈ H} H是一个适当的Hilbert空间。X是∧上的向量值随机过程，在空间o f连续函数∧中具有样本路径→ RQ配备了统一的度量标准。在许多应用中，X是某些过程网的高斯弱极限。我们用D和D1表示Malliavin微分算子r（见Nualart（2006）），2 Malliavin可微分随机变量族w.r.t的完成z+（Dz）.我们对随机变量ξ：=Oprexλ定律的支撑形式和cdf的连续性性质感兴趣。下面的假设描述了上述定律具有可数个原子的充分条件，同时当限制在它们的连续对之间时，它们是绝对连续的。

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2022-6-11 00:49:57

有鉴于此，下面将建立的结果首先允许用鞍型泛函定义手头的t herandom变量，其次允许用结果cdf的不连续性。因此，它推广了关于随机过程上确界分布的绝对连续性的已知结果。关于这些问题的出色处理，请参见Nualart（2006）的命题2.1.7和2.1.10，关于fibering方法及其概率应用的中断相关文献，请参见Lifshits（1983）。假设1。对于进程X，假设：1。E[sup∧（Xλ）]<+∞.2、对于所有λ∈ ∧，X（λ）∈ D1,2，a和H值过程DX具有连续性和E[sup∧kDXλk]<+∞.3、对于一些可数T R、 P（{ξ=τ}∩ Ohmτ) ≥ 0成立当且仅当τ∈ T，其中Ohmτ表示{ω∈ Ohm : 对于某些λ，DXλ（ω）=0，使得τ=Xλ（ω）}。这里使用的术语“鞍型”有点滥用，因为连续优化操作之间的可交换性通常不成立。在通常情况下，X是零均值高斯分布，我们可以通过强有力的结果来建立FirstCondition，这意味着sup∧Xλ分布的次指数性，如van der Vaart和Wellner（1996）的命题A.2.7。它的有效性遵循许多条件，这些条件限制了∧×R的堆积数，这些堆积数通过使用X的协方差函数被度量为一个总边界度量空间，以多项式有界，如果所有i的∧iare欧氏空间子集很容易建立，那么第二个条件也很容易建立为innulart（20 06）（见第110页）。更具体地说，如果K（λ，λ）是上述的方差函数，那么H是{Hλ（·）=K（λ，·），λ的闭区间∈ ∧}，内积hhλ，hλiH=K（λ，λ），其中DXλ=K（λ，λ）。

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能者818

2022-6-11 00:50:02

在这种情况下，前一种以及支配收敛意味着E[sup∧kDXλk]的存在。第三个条件是最难确定的。在我们想到的情况下，我们可以通过类似的，以及更容易建立的，由ξ随机支配的随机变量的性质，导出T的“外部近似”，参见下面的推论。我们现在能够统计并证明主要的概率结果。定理1。在假设1下，ξ定律具有连接的支撑，例如supp（ξ），其中包含T。Ifτ∈ T，在τ处计算的定律的cdf最大有一个跳跃不连续的大小P(Ohmτ). 如果τ，τ是T的连续元素，则被限制到（τ，τ）的la w res是绝对连续的w.r.T。Lebesgue测度。如果T i的界限低于m，则法律限制为(-∞, inf T）是绝对连续的w.r.T.lebsg ue度量。双重地，如果T从上方有界，则la w限制为（sup T+∞) 绝对连续的w.r.t.Lebesgue测度。定理1包含了上述文献中的标准绝对连续性结果，当oper是suprema（或对偶in fima）的组成时，参数空间∧不依赖，且P(Ohmτ） =0，对于llτ∈ T此外，即使在T为单态的特殊情况下，其结果也是Lifshits（1983）第2项的推广，因为它考虑了非高斯性、优化算子域之间的依赖性以及鞍型优化。下面的推论关注于这种特殊情况，并通过假设存在一个由ξ随机支配的辅助随机变量来估计潜在跳跃不连续的大小。推论1。假设假设1满足。此外，假设t={c}，ξ≥ η、 P a.s.，且SUP（η）=[c+∞).

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2022-6-11 00:50:05

那么，supp（ξ）=[c+∞),其cdf在（c+∞), 在c处，其最大尺寸可能有跳跃不连续性P（η=c）。上述结果，尤其是之前的推论，有助于推导随机跨越测试的极限理论（关于基于其他参数的SSD，请参见Arvanitis et al.（2018））。对于由港口对账单分配集驱动的一对给定概率分布集，Spanning的无效假设假设假设，对于第一组中的任何一个分布，在另一组中存在一些支配它的分布。下面，这种假设由一组适当的力矩条件的函数形式sup sup inf表示，这些力矩条件由∧参数化。我们可以通过该函数的缩放经验版本获得测试统计数据。在检验统计量的零极限理论下，上述结果有助于构造基于重采样模式的渐近精确决策过程。它们通过对渐近显著性水平的限制来实现，以保证临界值收敛到全极限cdf的连续点。在这种框架中，X通常是零均值高斯分布，而ξ则被定义为∧不同区域X定义的In-ma与给定属性之间的差异（关于MSD情况下这些属性的明确推导，请参见以下章节）。我们可以在其他计量经济学应用中遇到类似的概率结构。一个例子涉及给定统计模型由矩不等式表示的一个集识别模型嵌套的零假设。更具体地说，假设给定一个随机矩阵Y，统计模型由一组概率分布（条件为Y）组成，并由一个欧几里德参数ν参数化∈ Φ.

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可人4

2022-6-11 00:50:08

第二个统计模型由满足条件矩不等式E[g（θ）| Y]的以Y为条件的概率分布集组成≤ 0d，对于某些θ∈ Θ，其中Θ又是一些欧几里德空间的子集，动量函数g=（g，g，…，gd）是有限维的，不等式符号是有意义的解释。我们有兴趣测试第一个模型嵌套在第二个模型中的假设，即，对于任何∈ Φ，存在一些θ∈ Θ因此EΘ[g（θ）| Y]≤ 0d，其中，Eν表示期望w.r.t。对应于Д的分布。当Φ为单态时，我们得到了与Guggenberger、Hahn和Kim（2008）中类似的特定假设。在Φ、Θ和g的性质的进一步条件下，嵌套的零假设等价于thatsupΘ∈Φsupj=1,2，。。。，dinfθ∈ΘEΘ[gj（θ）/Y]≤ 0、如果任何一种类型的样品可用∈ Φ在第一个模型中（这在与Φ的单音情况相关的规范中是微不足道的），我们可以通过函数的经验对应项来形成测试统计数据∈Φsupj=1,2，。。。，dinfθ∈ΘEΘ[gj（θ）| Y]。然后，上述结果也有助于在这种情况下构造渐近精确的决策过程。3 MSD的扩展测试我们现在为MSD关系引入随机扩展的概念。我们首先提供该概念的一些有序理论特征，并使用递归优化定义的函数导出分析表示。然后，我们构建了一个测试程序，使用该函数和子抽样的比例经验对应项。

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2022-6-11 00:50:11

我们主要根据Corollary1.3.1 MSD和随机跨度推导出其一阶极限理论(Ohm, F、 P），假设F表示某个概率测度在有限第一时刻的cdf。设G（z，λ，F）beRRnI{λT ru≤ z} dF（u），即线性变换Rn的cdf x个→ λT rx，其中λ假设其值在L中，其中是S={λ的闭合非空子集∈ Rn+：1T rλ=1，}。类似地，让K表示L的一些杰出的子集合。在金融计量经济学的背景下，模糊表示n个基本资产回报的联合分布，S表示可以在前一个基础上构建的线性投资组合集。参数setL表示由经济、法律和/或其他投资限制形成的可行投资组合的集合。我们用λ、κ等表示L的泛型元素。与Arvanitis et al.（2018）的SSD关系的跨越测试相比，我们不假设随机变量具有紧支撑。基本资产不限于单个证券，而是简单地定义为最大投资组合集S的极值点。为了定义MSD和随后的跨越概念，我们考虑J（z，z，λ；F）：=ZZG（u，λ，F）du。定义1。κ弱Markowitz do minate esλ，表示为κ<Mλ，i fff（z，λ，κ，F）：=J(-∞, z、 κ，F）- J(-∞, z、 λ，F）≤ 0, z∈ R-, 和（z，λ，κ，F）：=J（z+∞, κ、 F）- J（z+∞, λ、 F）≤ 0, z∈ R++。（1）基础分布平均值的存在意味着我们可以降低上述积分限制，以假设扩展值，从而得出积分差和在（1）中定义良好。

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2022-6-11 00:50:14

Levy和L evy（2002）表明，对于递增和，负部分凹，正部分凸的实数函数（称为反向S形（零）效用函数），κ的预期效用大于或等于λ的预期效用。这种效用函数代表对风险的偏好，与风险厌恶损失和风险偏好收益相关。因此，在金融经济学中，如果每个反向S型个人投资者对投资组合κ的偏好较弱，那么马科维茨优势就是这种情况。（1）中的不可数不等式系统定义了L上的一个序。如果这些等式满足等式，则该对（κ，λ）属于该序的可能非平凡等价部分。Str-ict显性κMλ对应于Theoreder的不可逆部分，并且它至少有一个先前的不等式严格适用于somez∈ R、也就是说，一些反向S型个人投资者严格偏好投资组合κ而不是投资组合λ。最后，有可能和/或可以改变z的signas函数，这种关系通常不是完全的。在这种情况下，我们无法比较κ和λw.r.t.<M。在均值方差情况下，我们可以确定L w.r.t.<M的有效集，作为前序的最大元素集。这意味着κ位于任何λ的有效集∈ 五十、 κ<Mλ或κ与λ不可比。有效集的性质是，对于任何λ∈ 五十、前者存在一些κ<Mλ的κ。效率集的任何超集也具有相同的属性，但效率集是最小的（如果我们忽略等价性）w.r.t.此属性。这一观察结果激发了对MSD跨度的定义。这类似于Huberman和Kandel（1987）提出的均值方差平移概念，Arvanitis等人将其推广到SSD案例。

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2022-6-11 00:50:19

(2018).定义2。K Markowitz跨越L（假设K<ML）i ff，对于任何λ∈ Lκ ∈ K：κ<Mλ。如果K={κ}，则称κ为Markowitz超效率。生成集总是存在的，因为通过构造L<ML。最小有效集（忽略等价项）跨越L，从这个意义上说，任何其他跨越集都必须是它的超集。因此，我们可以将L的任何生成子集视为有效集的“外近似”。由于（1）w.r.t.平均方差情况的复杂性，通常很难推导出有效集的数学性质，但幸运的是，它们可以通过收敛到它的生成集序列的性质来逼近（见下文）。此外，如果K<ML，则每个反向S形investorfunction的最佳选择必然位于K内。因此，如果K 当L和跨越发生时，我们可以将L内的最优cho ice问题简化为K内的类似问题，后者比前者更简洁。其次，如果K不跨越l，那么在增长中必然存在最优选择，从而存在投资机会- 对于一些MSD投资者。因此，我们可以通过与最佳投资组合选择相关的可跟踪性原因，或通过发现新的投资机会，激发对跨越验证的兴趣。超效率（Arvanitis和Topaloglou（2017））对应于<M的最大元素的存在，即唯一（不包括等价物）元素的存在，弱马科维茨支配L的每个元素。鉴于（1）的复杂性，最大元素通常不存在。

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2022-6-11 00:50:22

这意味着Spanning的概念不仅包括超效率的概念，而且也是一种更常见的有序属性。上述结果提出了以下问题：给定K，L的一个非空子集，isK<ML？下面的命题通过嵌套的选择限制提供了一个分析特征。提案1。假设K是闭合的。则K<ML i ffξ（F）：=最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈Ki（z，λ，κ，F）=0，（2），其中A=R-, A=R++。跨越不会发生在Fξ（F）>0时。然后简单地得到了超效率的情况。推论2。在前面引理的范围内，κ是Markowi tz super-effi nti off maxi=1,2supλ∈Lsupz公司∈艾岛i（z，λ，κ，F）=0。我们不考虑K的选择问题。在这里，后者被认为是给定的。在某些情况下，我们可以通过经济相关信息选择K，例如，参见Arvanitis et al.（2018）中SSD的应用。我们将c和D生成集的选择问题留给未来的研究，特别是当这个选择与有效集的近似有关时。给定K，通常很难直接使用前面的命题，因为Fis通常未知和/或所涉及的优化不可行。然而，考虑到包含F的信息的样本的可用性以及类比原理，它为构建解决MSD跨越的推理过程提供了基础。3.2一致的非参数检验假设结构和检验统计我们使用Lemma1构建MSD跨越的非参数检验。如果选择k<ML作为零假设，则假设结构的形式为：H：ξ（F）=0，Ha：ξ（F）>0。为了设计决策规则，我们扩展了我们的框架，如下所示。考虑一个过程（Yt）∈Z取Rn值。yti表示Yt的ithelement。

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2022-6-11 00:50:26

尺寸T的样本是随机元素（Yt）T=1，。。。，T、在我们的投资组合框架中，它代表了金融基础资产的可观测回报。我们用F表示未知的cdf，用FT表示经验cdf。我们考虑测试统计ξT：=ξ√T英尺= 最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈K我z、 λ，κ，√T英尺,哪个是√ξ（F）的T标度经验模拟。我们可以等效地表达ξtas推论2，这意味着这些假设是在Arva nitisand Topaloglou（2017）所述的超效率特例中。通常的比例经验平均值：ξT=maxi=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈K√TTXt=1qi（z，λ，κ，Yt），（3），其中qi（z，λ，τ，Yt）：=K（z，λ，κ，Yt），i=1（λ′Yt）+- （κ′Yt）+- v（z，λ，κ，Y）, i=2，v（z，λ，κ，Y）：=K（z，λ，κ，Y）-K（0，λ，κ，Y）和K（z，λ，κ，Y）：=（z- κ′Y）+-（z）-λ′Y）+。这有助于第4节（3）的数值实现。当K为单态时，检验统计量与Arvanitisand Topalo glou（2017）中使用的统计量一致。零极限分布为了证明我们的检验过程是渐近有意义的，我们需要一个零假设下的ξt极限理论。我们使用以下假设得出它。假设2。对于一些0<δ，EhkYk2+δi<+∞. （Yt）t∈Zis a-混合，混合系数为O（T-a）对于一些a>1+η，0<η<2，如T→ ∞ .此外，V=Eh（Y- EY）（Y- EY）Ti+2∞Xt=1Eh（Y- EY）（年初至今- EYt）为正定义。混合速率条件由平稳性和几何遍历性表示。对于金融计量经济学背景下使用的许多平稳模型，如ARMA、GARCH型和随机波动率模型，上述假设成立（参见Francq和Zako ian（2011）的几个例子）。矩存在条件使混合CLT有效。CLT通常受到更严格的限制。

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可人4

2022-6-11 00:50:31

例如，如果（Yt）t∈Zis是一个向量鞅微分过程，其元素是线性相关随机变量。从L的紧性来看，前面的结果意味着supλ∈LR公司+∞-∞pG（u，λ，F）（1- G（u，λ，F））du<+∞, 这是Horvath等人（2006）中使用的类似条件的统一版本。我们通过使用Skorokhodrepresentations的概念以及迭代考虑epi/次收敛的双重概念，建立了下面的极限理论。结果取决于接触集Γi={λ∈ 五十、 κ∈ K、 z∈ 人工智能：i（z，λ，κ，F）=0}。对于任何i，Γiis非空，因为Γ我≡ {（κ，κ，z），κ∈ K、 z∈ 哎} Γi.此外，如果F的支撑有界，对于任何λ∈ 五十、 κ∈ Kz∈ Ai：（λ，z）∈ Γi，对于alli=1，2，。因此，Γ我 Γi.在下面的内容中，我们用表示分布的收敛性。提案2。支持K是闭合的，假设2成立，并且他的真值。Thenas T公司→ ∞, ξTξ∞, 式中ξ∞:= 最大值=1,2supz∈Aisupλinfκi（z，λ，κ，GF），（λ，z，κ）∈Γi，和GF是一个中心高斯过程，协方差核由cov（GF（x），GF（y））=Pt给出∈ZCov（IY≤x、 IYt公司≤y） P几乎可以肯定是在Rn上定义的一致连续样本路径。例如，因为支持是有界的，所以我们可以用m[zl，zu]n的一些超立方体来覆盖它，在这里我们可以选择zlas负值。

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2022-6-11 00:50:34

明显，（λ，zl）∈ Γ，对于任何λ∈ 五十、见里约m 7.3理论（2013）。由于混合条件和supλ的存在，上述协方差核以及GF得到了很好的定义∈LR公司+∞-∞pG（u，λ，F）（1- G（u，λ，F））du由假设2暗示（见Arvanitis和Topaloglou（2017）中的备注1）。基于次抽样的检验程序：极限理论和组合考虑由于ξ的分布，我们不能直接使用命题2中的结果来构造渐近决策规则∞依赖于GF的未知协方差核。通过使用重采样过程，我们可以建立一个可行的决策规则。我们考虑二次抽样，如Linton et al.（2014）-另见Linton et al。(200 5). 这种重采样是非参数性质的，因为我们不想为多变量回报动态指定参数条件分布。算法。测试程序包括以下步骤：1。计算ξTat原始样本值。2、对于0<bT≤ T，g根据原始观测值（Yi）i=T，…生成子样本值，。。。t+bT-1对于所有t=1，2，T- 英国电信+1.3。评估每个子样本值的检验统计量，获得ξT，bT，tf或所有T=1，2，T- 英国电信+1.4。ξTbysT渐近分布的近似cdf，b（y）=T-bT+1吨-bT+1t=11（ξT，bT，T≤ y）并评估其1-α分位数qT，bT（1- α).拒绝Hi FFFξT>qT，bT（1- α).我们通过命题2和子抽样理论的相关结果推导出一阶极限理论。我们首先在子抽样方法中做出以下标准假设。假设3。

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2022-6-11 00:50:37

假设（bT），可能取决于（Yt）t=1，。。。，T、满意度（lT≤ 英国电信≤ uT）→ 1，其中（lT）和（uT）是重实序列，使得1≤ 书信电报≤ UT所有T、lT→ ∞ 安杜特→ 0作为T→ ∞.该假设没有提供关于固定T的子抽样率的实际选择的太多信息。它旨在处理渐进性、精确性和一致性等问题。在下一节中，随着ξT的数值实现，我们根据Arvanitis et al.（2018）的精神，讨论了上述算法的固定T校正方法，该方法涉及使用几个子采样率。渐近精确性可由Politis，Romanoand Wolf（1999）中的定理3.5.1导出。后者要求极限cdf在与显著水平α相对应的数量上的连续性。即使ξ的分布∞如果是非退化的，则可能有一个cdf在零处具有唯一的不连续性（请参见附录中的L emma2）。如果存在下限f或ξ∞, 推论1提供了cdf跳跃大小为零的估计值。然后，通过适当限制α，可以使用上述定理。这就是第2节的新概率结果在我们的上下文中变得有用的地方。事实证明（见附录中引理2的证明），我们可以以非负随机变量的形式获得这样一个结果，定义为线性高斯过程中L和K上的上偏差。因此，我们得到了跳跃大小的必要估计，作为后一个随机变量取值为零的可能性。为了评估这一点，我们基本上使用了一些组合概念，这些概念允许估计线性函数的比例，对于线性函数，其在L上的唯一最大化子是两个参数空间的共同极值点。定义3。

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2022-6-11 00:50:40

假设M，N是S和M中的单复数 N、 N w.r.t.M iseM（N）的有效极端点集：=λ是N的极值点： s的极值点s:kλ- sk公司≤ infκ∈Mkκ- sk公司.此外，如果λ∈ eM（N）则S isc（λ）的λ极值点的伴随集：=s是s的一个极值点：kλ- sk公司≤ infκ∈Mkκ- sk公司.考虑到M，N的非线性单纯形复形，有效极值点的概念本质上选择了N t的极值点，这些极值点可以限制为S上定义的线性实函数的最大值。给定任何这样的极值点，它的伴随集基本上选取了合并单纯形的极值点，这些极值点比M定义4的任何其他极值点都更接近它。λ的M-特征∈ eM（N）w.r.t.s∈ c（λ）ischM（s，λ）：=#{κ∈ eM（N）：kλ- sk=kκ- sk}。此外，N ischM（N）的M-特征：=Xλ∈eM（N）Xs∈c（λ）（n- chM（s，λ））！n（4）比率（n-chM（s，λ））！n计算s上唯一最大化子s和受限M上唯一最大化子λ的线性实函数的比例。因此，chM（N）计算M上最大化子是N的极值点的此类函数的比例。现在假设Z遵循非退化、零均值、N维正态分布。N的M-字符的特征（4）允许从上面（见附录中引理2的证明）对事件supλ的概率进行界定∈Mλ′Z=supλ∈Nλ′Z由chM（N）得到，这与ξ的cdf的潜在跳跃尺寸不连续性的估计直接相关∞在零位。因此，如果我们假设L a和K是简单复合物，并且如果chL（K）很容易评估，那么之前的定义将极大地促进我们的测试的渐近精确性的推导，并且是关键。假设4。

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2022-6-11 00:50:43

L和K是标准单纯形S={λ内的单纯形复合物∈ Rn+：1′λ=1，}和eL（K） eL（L）。L和K的简单形式极大地概括了Arvanitiset al.（2018）的设置。在那里，这些空间被限制为凸多面体。在这里，它们不必是凸的，也可以是断开的、离散的等。当投资类别因SRI筛选、外国投资限制、可用股票类型限制等而受到限制时，这可能很有用。这种推广允许建立渐近有效性，从而使我们的测试在更复杂的场景中适用。例如，假设K=K∪ K是不相交的单纯形。如果K<ML，但K<ML，或K<ML，则这直接意味着效率集被断开。如果eL（K） eL（L）保持不变，假设4对（L，K），（L，K），（L，K）保持不变。然后，我们可以使用测试来确定每对中的跨越关系，从而确定有效集的不连通性。如果本文没有推广凸多面体的情况，则确定第一对元素之间的跨越关系是不可行的。假设4意味着eL（L）是有限的。eL（K） eL（L）pa r t implieschL（K）≤ 指示性示例如下。首先，考虑一个平凡的情况，其中K是L的内部。然后，很明显，chL（K）=0。其次，考虑L=S和eL（K）6= 假设4成立。然后，chL（K）=#eL（K）n<1。最后，假设n=3，L是t三角形内部的一条线，因此该线的每个边界y点与唯一三角形Tex的距离最小，并且两个边界y点与剩余顶点的距离相同。此外，假设K是这条线的一半。

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2022-6-11 00:50:46

然后，eL（L）由两条线的边界点组成，eL（K）由位于所选一半的边界点组成。如果λ是任一集合中的有效极值点，则C（λ）的基数等于2。此外，如果s更靠近λ而不是直线的另一个边界点，则chL（s，λ）等于1，而在另一种情况下，chL（s，λ）等于2。因此，chL（K）=。鉴于我们的假设和文献中以前未使用的新组合参数，我们在附录（见引理2）中证明，上述有界随机变量达到零值的概率小于或等于chL（K）。然后，通过使用Coro llary 1，我们确定，当ξ∞是非退化的，则- α分位数是连续点f，或者当α<1时，它是cdf-叶绿素（K）。因此，我们通过Politis、Romano和Wolf（1999）中的定理3.5.1，立即获得了上述二次抽样测试程序的以下一阶极限理论。定理2。假设假设2、3和4成立。对于算法3.2中描述的测试过程，我们有1。如果他的真值和ξ∞是常数，那么，limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = 0.2. 如果他是真的，ξ∞为非常数，且α<1- chL（K），然后，limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = α.如果Hai是真的那么limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = 1.当ξ的分布∞是退化的，即使限制α<1，过程也是渐近保守的-chL（K）不适用。这让人想起Linton et al.（2005）关于超效率w.r.t.测试程序的结果。几个随机优势关系。修正极限分布的非简并性不容易确定，但上文讨论的关于基础支承的情况除外。当ξ的分布∞是非退化的，如果限制条件α<1，则该过程是渐近精确的- chL（K）保持不变。

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2022-6-11 00:50:49

在通常应用中，对significancellevel的限制不具有约束力。例如，当L=S和K是一个整体时，即当测试应用于超效率时，最坏情况下意味着α<1/2，这通常是可以满足的。限制越接近约束，K内L=S的极值点就越多。极端情况是，当n大，K有限，且包含n- 1极端点。在这种情况下，结果倾向于逐步支持平移的无效假设的二次抽样检验。我们可以通过分解K是“较小的部分”并迭代测试过程来处理它们。例如，我们可以对包含m个点的K的任何子集应用该过程，对于m个非常小的点，以获得有意义的显著水平。如果对于某些子集，我们不能拒绝跨越，那么我们可以认为我们不能拒绝初始K的跨越，因为跨越集的超集是定义2中的跨越集。效率集的结构也可能禁止这样的K成为生成集。我们把这些问题的研究留给未来的工作。在任何情况下，测试过程都是一致的。在某些假设下，我们可以再次使用主要结果证明，基于块引导的模拟测试过程通常是渐近保守和一致的。4数值实现和偏差校正我们首先描述了一种潜在的数值实现，通过使用与第3.2小节中的测试程序渐近等效的测试程序，并通过Ai的近似值i=1、2以及混合整数和线性编程的应用获得。对于每个T，让A（T）idenote为每个i记录一个有限的ais子集。

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2022-6-11 00:50:52

然后考虑ξ定义的测试统计T： =最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈A（T）iinfκ∈K我z、 λ，κ，√T英尺,并使用ξ修改第3.2小节的算法T在前一假设框架下ξT的位置，如果，作为T→ +∞, A（T）A（T）A（T）A（T）A（T）A（T）A）A（T）A（T）A）A（T）A）A（T）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A。定理3。假设假设2、3和4成立。如果，作为T→ + ∞, 对于所有i=1，2，A（T）i收敛到Ain Painleve Kuratowski感觉的一些d e nse子集，定理2的结果也适用于修改程序。现在，Lebesgue-Stieljes积分的分部积分公式和suprema的交换性意味着ξT=最大值=1,2supz∈A（T）isupλ∈Linfκ∈K√TTXt=1qi（z，λ，κ，Yt），（5），其中QI定义为3。从A（T）i的完整性来看，i=1，2，涉及优化的非平凡部分涉及ni，T：=supλ∈Linfκ∈K√TPTt=1qi（z，λ，κ，Yt）。此外，n1，T=infκ∈K√TTXt=1（z-κ′Y）+- infλ∈L√TTXt=1（z- λ′Y）+，我们可以减少线性规划问题的解所涉及的每一个极小值。有一组至多T个值，比如R={R，R，…，rT}，包含变量z的最优值（参见Scaillet和paloglou（2010）的证明）。因此，我们解决了较小的问题P（r），r∈ R、其中z固定为R。现在，上述每个最小化问题归结为一个线性问题。在不丧失一般性的情况下，第一个优化问题如下：minTXt=1Wts。t、 Wt公司≥ r- κ′Yt，t型∈ Te′κ=1，κ≥ 0，重量≥ 0, t型∈ T、（6a）此外，通过Arvanitis和Topaloglou（2017）的第一个附录中的结果，我们得到了N2，T=supλ∈L√TTXt=1max（λ′Yt，z）- supκ∈K√TTXt=1max（κ′Yt，z）。因此，我们需要解决上述两个优化问题。我们使用sovia将其表示为MIP程序。

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2022-6-11 00:50:56

同样，有一组T值，sayR′={r′，r′，…，r′T}，包含变量z的最佳值（参见Arvanitisand Topaloglou（2017）的证明）。因此，我们解决较小的问题P（r），r∈ R′，其中z固定为R。在不损失一般性的情况下考虑第一个优化问题：maxλ∈L√TTXt=1（Xt- cbt）s.t.Xt=λ′Ytbt+r（1- 英国电信）t型∈ T、（7）r- λ′Yt+Mbt>0t型∈ T、（8）λ′1=1，（9）λ≥ 0，（10）bt∈ {0, 1} t型∈ T、（11）因此，上述实现的计算成本包括cardAlinear编程问题、cardAmixed int-eger编程问题和三个琐碎的优化。其次，尽管上述测试具有渐近正确的大小，但可以看出分位数估计qT，bT（1-α）可能对n和T的实际尺寸的有限样本的子样本大小有偏差和敏感。为了纠正较小的样本偏差并降低对bT cho ice的敏感性，我们遵循Arvanitiset al.（2018）。对于给定的显著水平α，我们计算分位数qT，bT（1-α）对于子样本大小bT的一系列值，我们然后使用OLS回归分析估计以下回归线的截距和斜率：qT，bT（1- α) = γ0;T、 1个-α+ γ1;T、 1个-α（bT）-1+νT；1.-α、 bT.（12）然后我们估计校正的偏差（1-α） -分位数作为OLS预测值，rbT=T:qBCT（1- α) := ^γ0;T、 1个-α+ ^γ1;T、 1个-α（T）-1.（13）自qT起，bT（1- α）概率收敛到q（ξ∞, 1.- α）和（bT）-1在T时接近于零→ 0, ^γ0;T、 1个-α以概率收敛于q（ξ∞, 1.-α），并且不影响渐近性质。5蒙特卡罗研究我们现在设计蒙特卡罗实验，以评估我们在有限样本中测试程序的大小和能力。我们考虑到条件异方差性与以下经验应用中观察到的金融数据回报的经验结果一致。

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2022-6-11 00:50:59

多元回归过程∈Zis是一个向量GARCH（1,1）过程，对其进行变换以适应K个给定资产的跨越（大小）和非跨越（幂）情况。这种过程允许向量过程中叠加的Random变量之间存在时间和横截面依赖关系。假设（zt），t∈ Z、 i.i.d.平均值为零，单位方差和E[| zt | 2+]<∞, 对于某些>0。我们假设ZT的cdf严格增加。此外，我们定义了i=1，…，的返回过程的组成部分。。。，K- 1 asyi，t=ui+zth1/2i，t，hi，t=ωi+aizt公司-1+βi嗨，t-1，E[aizt+βi]1+<1，对于某些>0，以及ωi，ai，βi∈ R++，ui∈ R+。对于asseti=K，我们定义yk，t=vzth1/2K-1，t++ vzth1/2K-1，t-,带v，v∈ R、设τ=（0，0，…，1，0），τ= （0，0，0，…，1）和L：=n（λ，0，0，）T r，τ，τo、带λ∈RK公司-2+和1T rλ=1。利用这个投资组合空间，我们得到了以下关于Markowitz生成的结果。提案3。如果ui=0表示i=1。。。，K- 1，| v |>qmax{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} min{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 和| v |<qmin{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 最大{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} ，然后是M≤ K-2，子集K：=n（λ，0，0）T r，τowithλ∈ RM+和1T rλ=1，Markowitz跨越L，而K \\{τ} d不是Markowitzspan L。提案3的陈述扩展了Arvanitis和Topaloglou（2017）的提案4，以允许K资产和M跨越资产的任何子集，以及s well和s nonGaussian创新。其证明遵循Arvanitis和Topaloglou（2017）中的相同论点，因此被省略。取决于τ作为马科维茨的超级能手，portfolio w.r.t.投资组合空间。对于我们的测试程序来说，在动态环境中设计蒙特卡罗实验并不容易，因为我们需要处理静态分布和不同的资产。

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