管理型期货投资组合的随机控制方法

2022-6-11 02:51:15

托管期货组合的随机控制方法*Raphael Yan+2018年11月6日摘要我们研究管理期货投资组合的随机控制方法。在Schwartz（1997）的商品价格随机便利收益模型的基础上，我们建立了一个效用最大化问题，用于在有限的期限内动态交易单个到期期货或多个期货合约。通过分析关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，我们明确地解决了投资者的效用最大化问题，并导出了封闭形式的最优动态交易策略。我们提供了数值例子，并利用WTIcrude石油期货数据说明了最优交易策略。关键词：商品功能、动态投资组合、交易策略、效用最大化JEL分类：C61、D53、G11、G13数学主题分类（2010）：91G20、91G80*华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.通讯作者+加拿大安大略省汉密尔顿市主街1280号麦克马斯特大学数学和统计系L8S 4K1。电子邮件：raphaelyan1218@gmail.com1介绍管理型期货基金是另类资产领域的重要组成部分。这些投资由专业投资个人或被称为商品交易顾问（CTA）的管理公司管理，通常涉及期货商品、货币、利率和其他资产的交易。由美国等政府机构监管和监督。

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2022-6-11 02:51:18

商品期货交易委员会和国家期货协会，这类资产在2017年已增长到3500多亿美元。管理期货策略的一个吸引力在于，与股票市场相比，管理期货策略有可能产生不相关且更高的回报，以及不同的风险回报率（Gregoriou et al.，201 0；Elaut et al.，2016）。尽管托管期货基金中交易的证券类型和策略可能不同，但所采用策略的细节往往未知。Hurst等人（2013）认为，基于动量的策略可以帮助解释这些基金的回报。本文分析了一种考虑商品价格动态和投资者风险偏好的随机动态控制投资组合优化方法。我们模型中使用的商品期货具有相同的现货资产，但到期日不同。具有相同现货资产的期货具有相同的风险来源。我们应用无套利方法从随机现货模型构建期货价格。具体而言，我们采用了Schwartz（1997）著名的双因素模型，该模型还考虑了商品价格中的仓促便利收益率。我们通过以封闭形式求解相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来确定最优期货交易策略。我们策略的明确公式允许进行初步解释和即时实施。此外，我们的最优策略是投资组合中期货价格的显式函数，但不需要对现货价格或随机便利收益率进行连续监控。与策略相关，我们还讨论了相应的财富过程和期货交易的确定性等价物。

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2022-6-11 02:51:21

我们提供了一些数值例子，并利用WTI原油期货数据说明了最优交易策略。有许多关于期货定价的研究，但应用动态随机控制方法优化期货投资组合的研究相对较少。其中，Bichuch和Shreve（2013）考虑交易一对期货，但使用算术布朗运动。在最近的一项研究中，Angoshtari和Leung（2018）研究了在随机基础模型下动态调整期货合约与其现货资产之间价差的问题。他们用一个标度布朗桥来建模基过程，并求解效用最大化问题，得出最优交易策略。这两个相关的研究并没有解释期货市场中观察到的无套利价格关系和期限结构。他们鼓励我们考虑一个随机现货模型，该模型可以生成无套利期货价格，并有效地捕捉它们的共同价格演变。在我们的同伴paperLeung和Yan（2018）中，我们关注的是在中心趋势Ornstein-Uhlenbeck无套利定价模型下波动率指数期货的动态成对交易。所有这些研究都为期货交易提出了一种惊人的控制方法。相反，Leung等人（2016年）引入了一种最佳停止方法，以确定打开或关闭未来资源的最佳时机：BarLayHedge(https://www.barclayhedge.com).三个单因素均值回复现货模型下的头寸。期货投资组合也经常用于跟踪现货价格的变动，我们参考Leung和Ward（2015、2018）使用黄金和波动率指数期货的例子。本文的结构如下。我们在第2节中描述了期货定价模型和相应的价格动态。然后在第3节中，我们讨论了我们的投资组合期权定价问题，并以封闭形式提供了解决方案。

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可人4

2022-6-11 02:51:25

我们还考察了投资者的tr adingwealth过程和确定性等价性。在第4节中，我们提供了我们模型的说明性数值结果。第5.2节期货价格动态中提供了结论性标记让我们用（St）t表示商品现货价格过程≥在Schwar-tz（1997）模型下，现货价格由随机瞬时便利收益率驱动，用（δt）t表示≥0此处。这种便利收益率最初用于商品未来，反映了直接获取的价值减去携带成本，可以解释为持有实物资产的“股息收益率”。正如Schwar tz（1997）所解释的那样，这是“现货商品持有人获得的服务流量，而不是期货合约所有人获得的服务流量”。对于现货资产，我们考虑其对数价格，用Xt表示。在Schwartz（1997）模型下，它满足物理概率测度P下的随机微分方程（SDE）系统：Xt=log（St），（1）dXt=u -η- δtdt+ηdZst，（2）dδt=κ（α- δt）dt+(R)ηdZδt.（3）这里，Zstand Zδtare是P下的两个标准布朗运动，瞬时相关ρ∈ (-1, 1). 随机便利收益率遵循Ornstein-Uhlenbeck模型，该模型是平均回复，具有恒定的平衡水平α、波动率η和平均回复速度等于κ。我们要求κ，(R)η，η>0和u，α∈ R、投资者的投资组合优化问题将在物理度量P下制定，但为了给商品期货定价，我们需要使用风险中性定价度量Q。为此，我们假设利率为常数R≥ 0，并将度量值从P改为Q。相关布朗运动（Zst，Zδt）的Q动力学由dZst=u给出- rηdt+dZst，（4）dZδt=λ′ηdt+dZδt。

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nandehutu2022

2022-6-11 02:51:28

（5）因此，风险中性原木现货价格根据XT演变=r- δt-ηdt+ηdZst，dδt=κ（α- δt）dt+(R)ηdZδt，其中，我们将便利收益率的风险中性平衡水平定义为α≡ α -λκ.它由风险的市场价格λ与Zδ和均值回复速度κ的比值进行调整。在λ不变的情况下，便利收益率再次遵循测量Q下的OrnsteinUhlenbeck模型，但与测量P下的均衡水平不同。我们考虑由n个交易期货合约组成的商品市场，其到期时间为Ti，i=1，n、 LetF（i）t≡ F（i）（t，Xt，δt）=E[eXT | Xt，δt]是时间t的Ti期货价格，它是时间t、当前对数现货价格Xt和便利收益率δt的函数。对于任何i=1，n、价格函数F（i）（t，X，δ）满足PD EηF（一）X+ρη′ηF（一）十、δ+ηF（一）δ+r- δ -ηF（一）X+κ（℃α- δ)F（一）δ= -F（一）t、（6）对于（t，x，δ）∈ [0，Ti）×(-∞, ∞)×(-∞, ∞), 其中，我们压缩了依赖关系ofF（i）on（t，X，δ）。对于X，终端条件为F（i）（Ti，X，δ）=exp（X）∈ R、众所周知（见Schwartz（19 97）；Cortazar和Naranjo（2006）），对于一些只依赖于时间t而不依赖于状态变量的函数Ai（t）和Bi（t），期货价格承认经验统一形式：F（i）t=exp（Xt+Ai（t）+Bi（t）δt（7）。函数Ai（t）和Bi（t）可从常微分方程+ηBi（t）+Bi（t）（ακ+ρη′η）+A′i（t）=0，（8）B′i（t）中找到- κBi（t）- 1=0，（9）表示t∈ [0，Ti），终端条件Ai（Ti）=0，Bi（Ti）=0。常微分方程（8）和（9）允许以下显式解：Ai（t）=r- ~α +η2κ-ηηρκ（Ti- t） +(R)η1- e-2κ（Ti-t） κ+~ακ + ηηρ -ηκ1.- e-κ（Ti-t） κ，（10）Bi（t）=-1.- e-κ（Ti-t） κ。

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能者818

2022-6-11 02:51:31

（11）将伊藤公式应用于（7），Ti期货价格根据SDEdF（i）tF（i）t=ui（t）dt+ηdZst+(R)ηBi（t）dZδt演变，（12）在物理度量P下，其中漂移由ui（t）=（λ+￠ακ+ρ′ηη）Bi（t）+ηBi（t）+u+A′i（t）+δ（B′i（t）给出- κBi（t）- 1) (13)= u - r-λ(1 - e-κ（Ti-t））κ。（14）最后一个等式来自（8）和（11）。因此，f（i）的漂移与x和δt无关，这意味着投资者的价值函数（见（22）或（32））也将与x和δt无关。这是一个至关重要的特征，极大地简化了投资者的投资组合优化问题，并最终导致显式解决方案。为了便于演示，让我们将dZstand dZδtin（12）的线性组合改写为σi（t）dZ（i）t≡ ηdZst+(R)ηBi（t）dZδt，其中Z（i）是标准布朗运动，σi（t）=η+2ρ′ηBi（t）+ηBi（t）（15）是瞬时波动系数。在这个模型下，粮食价格不是独立的，并且具有特定的相关性结构。例如，考虑Tand Tcontracts。各期货价格的SDE isdF（i）tF（i）t=ui（t）dt+σi（t）dZ（i）t，i∈ {1，2}，（16）两个布朗运动Z（1）和Z（2）t与dz（1）tdZ（2）t=ρ（t）dt相关。式中，ρ（t）=ηB（t）B（t）+（B（t）+B（t））ρη′η+ησ（t）σ（t）（17）是瞬时相关性，不仅取决于现货模型参数（ρ，η，’η），还取决于通过B（t）和B（t）的两个未来价格函数。3效用最大化问题我们现在给出期货投资组合优化问题的数学公式。首先，我们在第3.1节中讨论投资者只交易相同到期日的期货的情况。然后，我们在第3.2节中扩展分析，以优化具有两种不同未来的投资组合。

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2022-6-11 02:51:34

我们还将在第3.3节中使用确定性等值的概念调查交易价值。3.1单一到期期货组合反对投资者只交易某个选定的单一到期TIF的期货∈{1，2，…，n}。以T表示的交易期限必须等于或短于到期日Ti，因此我们要求T≤ Ti。我们将∧πi（t，Fi）表示港口对账单中持有的Ti期货合约数量。投资者可以在Ti期货中选择仓位大小，仓位可以是多头仓位，也可以是短期仓位。为简洁起见，我们可以写∧πi≡ ~πi（t，Fi）。在不丧失一般性的情况下，我们在介绍优化问题和解决方案时，任意设置i=1。假设投资者只交易期货合约，而不交易其他风险或无风险资产。动态po r tfolio由t-futuresat time t的▄π（t，F）单位组成。自融资条件意味着财富过程满足▄Wt=▄π（t，F（1）t）dF（1）t.（18）。应用期货价格方程（7）和（12），我们可以将财富过程和期货价格的SD Es系统表示为dWtdF（1）t=“∧πu（t）F（1）tu（t）F（1）t#dt+”∧πηF（1）t∏ηB（t）F（1）tηF（1）t'ηB（t）F（1）t#dZstdZδt, （19） =“△πu（t）F（1）tu（t）F（1）t#dt+”△πσ（t）F（1）tσ（t）F（1）t#dZ（1）t.（20）如果△π是实值渐进可测的，并且SDE（19）系统允许唯一解（△Wt，F（1）t）和可积条件E，则称控制△π是可容许的RTt∧π（s，F（1）s）（F（1）s）ds< ∞ 满足。在这种情况下，在给定初始投资时间t的情况下，我们用一组允许的策略表示。投资者的风险偏好由经验效用函数u（w）=-e-γw，对于w∈ R、（21）其中γ>0是常数风险规避参数。

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kedemingshi

2022-6-11 02:51:37

对于给定的交易期限[0，T]，投资者通过解决优化问题▄u（T，w，F）=sup▄π，寻求一种可接受的策略，使终端财富在时间T的预期效用最大化∈AtEU（▄WT）▄WT=w，F（1）t=F. （22）我们注意到，价值函数只是时间t、当前财富w和当前期货价格F的函数，并不取决于当前现货价格或便利收益率。为了便于表述，我们定义了以下偏导数=ut、 uw=uw、 uww=uw、 u=uF、 u=uF、 uw1=uwF、我们期望值函数▄u（t，w，F）可以解HJB方程▄ut+sup▄π{▄πu（t）F▄uw+▄πσ（t）F▄uw1+▄πσ（t）F▄uww▄（23）+σ（t）F▄u+u（t）F▄u=0，对于（t，w，F）∈ [0，T）×R×R+，终端条件▄u（T，w，F）=e-γwfor（w，F）∈R×R+。执行（25）中的优化，我们可以表示最优控制∧π*as▄π*（t，F）=▄uwu（t）+F▄uw1σ（t）F▄uwwσ（t）。（24）将其代入（25），我们得到非线性PDEut-uwu（t）2uwwσ（t）-F▄uw▄uw1u（t）▄uww+F（2▄u▄uwwu（t）- F（▄uw1- u▄uww）σ（t））2▄uww=0。（25）接下来，我们猜想▄u仅依赖于t和w，并应用变换▄u（t，w）=-e-γw-Φ（t），（26）对于某些待确定的函数Φ（t）。通过直接替换和计算，我们得到了ODEd|Φdt=-u（t）2σ（t）=-(λ(1 - e-κ（T-t）（）- κ(u - r））（1- e-κ（T-t））’η- 2(1 - e-κ（T-t））κρη′η+κη，（27）受制于Φ（t）=0。在tur n中，我们通过积分∧Φ（t）=ZTtu（t′）2σ（t′）dt′，0得到∧Φ（t）≤ t型≤ T、应用（26）到（24），我们得到了最优策略∧π*（t，F）=u（t）- σ（t）～ΦγFσ（t）=u（t）γFσ（t）。（28）使用（11）、（14）和（15），最优策略∧π*在单一合同的情况下，由▄π明确表示*（t，F）=γFκ（λ（1- e-κ（T-t）（）- κ(u - r））（1- e-κ（T-t））’η- 2(1 - e-κ（T-t））κρη′η+κη。（29）我们从（29）中观察到∧π*与γ和F成反比。这意味着高风险厌恶将减少投资者头寸的规模。

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2022-6-11 02:51:40

更高的期货价格也会产生同样的影响。然而，投资于期货的总现金金额，即￠π*（t，F）F不随期货价格变化，实际上是时间的确定函数。请注意，投资者的头寸与便利收益率α或∧α的均衡水平无关，但取决于便利收益率的平均反转速度κ、波动率η和风险λ的市场价格。3.2交易两种不同到期日的期货我们现在考虑一对不同到期日的期货的效用最大化问题。在不失概括性的情况下，让我们来看看港口对开本中的两种期货。交易期限满意度≤ 最小值{T，T}。随着时间的推移，投资者持续只交易两个期货。交易财富满足自我融资条件dwt=π（t，F（1）t，F（2）t）dF（1）t+π（t，F（1）t，F（2）t）dF（2）t，（30），其中πi（t，F（1）t，F（2）t），i=1，2，表示持有的Ti期货数量。如果为负值，则相应的期货头寸为空头。为了简单起见，我们可以写πi≡πi（t，F（1）t，F（2）t）。根据随机性的两个基本来源（Z（1）t，Z（2）t），将交易财富和两个期货价格写在一起，我们可以dWtdF（1）tdF（2）t=πu（t）F（1）t+πu（t）F（2）tu（t）F（1）tu（t）F（2）tdt公司+πσ（t）F（1）tπσ（t）F（2）tσ（t）F（1）t0σ（t）F（2）t“dZ（1）tdZ（2）t#。（31）如果一对控制（π，π）是实值渐进可测的，并且SDE（31）系统允许唯一解（Wt，F（1）t，F（2）t）和可积条件E，则称其为可容许的RTt[πi（s，F（1）s，F（2）s）F（1）s]ds< ∞, 对于i=1，2，我们通过一组初始投资时间为t的容许控制来表示。

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2022-6-11 02:51:43

接下来，我们定义投资者投资组合优化问题的价值函数u（t，w，F，F）。投资者寻求一种可接受的策略（π，π），该策略可最大化T时财富的预期效用，即u（T，w，F，F）=sup（π，π）∈吃了U（WT）| WT=w，F（1）t=F，F（2）t=F. （32）3.2.1 HJB方程和闭式解为了便于表述，我们定义了以下偏导数=ut、华盛顿大学=uw、 uww公司=uw、 u型=uF、 u型=uF、 u型=uF、 u型=uF、 uw1=uwF、 uw2型=uwF、 u型=uFF、我们通过解HJB方程UT+supπ，π来确定值函数u（t，w，F，F）（πu（t）F+πu（t）F）uw+（πσ（t）F+πρ（t）σ（t）σ（t）FF）uw1+（πσ（t）F+πρ（t）σ（t）FF）uw2+（πσ（t）F+πσ（t）F+ρ（t）πσ（t）σ（t）FF）uww+ u（t）Fu+u（t）Fu+σ（t）Fu+σ（t）Fu+ρ（t）σ（t）σ（t）σ（t）FFu=0，（33）对于（t，w，F，F）∈ [0，T）×R×R+×R+，以及终端条件u（T，w，F，F）=-e-γw，对于（w，F，F）∈ R×R+×R+。接下来，我们将变换应用于ma t ionu（t，w，F，F）=-e-γw-Φ（t，f，f），（34），f=log Fand，f=log f。将（34）代入（33），我们得到Φ的线性偏微分方程：0=Φt+u(1 - ρ)σ+u(1 - ρ)σ-ρuu(1 - ρ)σσ+σ(Φ- Φ) +σ(Φ- Φ）+ρσσΦ，（35），Φ（T，f，f）=0。我们定义了偏导数Φt=Φt、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φff、并抑制对t、inui、σi和ρ的依赖性，以简化表示法。我们可以通过使用ansatzΦ（t，f，f）=a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）ff+a（t）f来求解Φ的线性偏微分方程，从而推导出a′（t）=a′（t）=a′（t）=0，a（t）=a（t）=a（t）=0，a′（t）=a（t）=0。由此，我们推断Φ实际上只是t的一个函数，与fand f无关，并满足一阶微分方程dΦdt=-u（t）σ（t）+u（t）σ（t）- 2ρ（t）u（t）u（t）σ（t）σ（t）2（1- ρ（t））σ（t）σ（t）。解决这个问题并应用（14）、（15）和（17），我们得到Φ的一个闭式表达式。精确地说，Φ（t）=（t- t）（r）- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + λη2 (1 - ρ) ηη.

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2022-6-11 02:51:47

（36）应用（36）到（34），值函数由u（t，w）=-e-γw-Φ（t）。（37）有趣的是，与单一期货的情况一样，价值函数与便利收益率过程的平均反转速度κ和均衡水平α无关。直觉上，这表明最优策略有效地消除了投资者最大预期效用中便利领域的随机性。这一特征在后来对最优财富过程的描述中再次明显。此外，价值函数不依赖于当前期货价格（F，F）。价值函数的简单性出乎意料，特别是因为交易问题中有两个随机因素和两个期货。然而，这并不意味着相应的交易策略是微不足道的。事实上，这些策略不仅取决于其他模型参数，还取决于期货价格，我们将在下面讨论。通过将（34）和（36）应用于（33），我们得到了最优交易策略π*（t，F，F）=γ（1- ρ（t））σ（t）Fu（t）σ（t）- ρ（t）u（t）σ（t）, (38)π*（t，F，F）=γ（1- ρ（t））σ（t）Fu（t）σ（t）- ρ（t）u（t）σ（t）. （39）在有两个期货的情况下，对于i=1，2，相应的最优策略π*iis是Fi的函数，但不取决于其他期货Fj的价格，因为i 6=j。还需要注意的是，如果ρ（t）为零，则两个期货策略将简化为单一期货策略asin（28），由（29）明确给出。我们重述了所有（14）、（15）和（17），并用模型参数显式表示最优策略。精确地说，π*= -eκ（T-t）etκ- eκT（r）- u) η+etκλ+eκT（rκ- λ - κu)ρ′ηη+eκTκληF（eκT- eκT）γ（1- ρ) ηη, (40)π*=eκ（T-t）etκ- eκT（r）- u) η+etκλ+eκT（rκ- λ - κu )ρ′ηη+eκTκληF（eκT- eκT）γ（1- ρ) ηη.

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kedemingshi

2022-6-11 02:51:50

（41）因此我们看到最优控制π*和π*不依赖于当前现货价格的便利收益率δt，也独立于便利场α的平衡。在实际应用中，这种独立性消除了估算或持续监控现货价格或便利收益率的负担。然而，最优控制取决于所有其他参数，即u、r、κ、η、(R)η、ρ和λ。最后，我们从（38）中注意到，当ρ（t）（参见（17））等于零时，π*在这两种情况下，与∧π相同*从单一期货案例来看（见（28））。备注1自然，人们可以考虑交易两个以上到期日的期货。然而，在这种情况下，在Schwartz双因素模型下，对应的效用最大化问题有一定数量的解决方案，并且额外的期货是冗余的，正如我们在附录a.3.2.2最优财富过程中所示，为了推导最优财富过程，我们替换了最优期货头寸π*和π*, 进入财富方程（30），getdWt=π*dF（1）t+π*dF（2）t=uWdt+（π*F（1）t+π*F（2）t）ηdZst+（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））(R)ηdZδt≡ uWdt+σWdZWt，其中我们定义了uW=π*F（1）tu（t）+π*F（2）tu（t）=（r- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + ληγ ( 1 - ρ） ηη（42）和σW=（π*F（1）t+π*F（2）t）η+（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））’η+2ρη’’η（π*F（1）t+π*F（2）t）（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））=（r- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + ληγ(1 - ρ） (R)ηη=uWγ。（43）在（42）和（43）中，我们使用了（40）和（41）。注意，uWandσ都是常数。这意味着，在最优交易策略下，财富过程是一个具有常数漂移和波动性的算术布朗运动。此外，这两个常数不依赖于方便产量过程的平均回复速度κ和平衡水平α。这就是为什么值函数也与这两个参数无关。

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nandehutu2022

2022-6-11 02:51:53

金融直觉是，最佳策略建议以一种消除便利化过程中产生的随机性的方式进行交易。作为特例，当u=r和λ=0时，P度量与Q相同。这将导致t oπ*i=0，i=1，2，然后是恒定财富，uW=σW=0.3.3确定性当量。下一步，我们考虑与未来交易机会相关的确定性当量。确定性等价物是获得与价值函数相同效用的现金量。首先，我们考虑单一期货的情况。回想一下（21）和（26），投资者的效用函数和价值函数都是指数形式。因此，确定的等效性由▄C（i）（t，w）给出≡ U-1（▄u（t，w））=w+▄Φ（i）（t）γ。（44）这里，上标（i）指的是投资组合中到期的债券。从（44）中，我们观察到确定性等价物是投资者财富w和时间确定性分量|Μ（i）（t）/γ的总和，它与风险厌恶参数γ成正反比。在所有其他条件相同的情况下，风险厌恶程度越高的投资者，其等效不确定性越低，对期货交易机会的估值也就越低。有趣的是，确定性等价性并不取决于当前的期货价格，而是取决于期货价格动态中出现的模型参数。同样，C（t，w）给出了动态交易两个不同成熟度期货的确定性等价物≡ U-1（u（t，w））=w+Φ（t）γ，（45），其中u（t，w）是（37）中的值函数，Φ由（36）给出。由于单一期货和两种期货情况下的确定性等价物对财富w具有相同的线性依赖关系，为了简单起见，我们将在数字样本中设置w=0，以在这些情况下进行比较。

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2022-6-11 02:51:56

为此，我们表示▄C（i）（t）≡C（i）（t，0）和C（t）≡ C（t，0）。4数值实现我们现在通过使用模拟和经验数据的大量数值示例来检验我们的模型。对于我们的示例，我们将使用inEwald et al.（2018）得出的估计参数值。它们显示在表1中。Ewald等人（2018）没有给出现货价格的漂移参数u，因此我们将u=1%作为示例。我们使用联邦基金利率作为瞬时利率r的代理，在校准期间，瞬时利率r徘徊在0.1%左右。除非另有说明，否则风险规避系数γ的默认值为1%。uκη'ηρλr0.010 0.800 0.450 0.500 0.750 0.050 0.001表1：Ewald et al.（2018）估计的Schwartz（1997）模型参数。数据来自www.macrotrends。网0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75ηπ*γ=0.01π时*γ=0.02π时*γ=0.100.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75η-25-20-15-10-5π*γ=0.01π时*γ=0.02π时*γ=0.10时，图1：最佳位置，π*和π*, 分别在为“η”绘制的两个期货案例中的T-futures和T-futures中∈ [0.25，0.75]，在三个风险规避水平γ下。常用p参数如表1所示，F=100和F=100。在图1中，我们显示了最佳位置π的依赖关系*和π*, 分别在T-futures和Tt-futures的两个未来案例中，针对三种不同的风险规避水平，讨论了便利收益率过程的波动性参数“η”。观察π*在所有三个水平上，γ都是正的，并且在η中减少，而π*为负值，并以？η为单位增加。根据表1中给出的参数，我们做多T-期货F（1），做空T-期货SF（2）。

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2022-6-11 02:52:00

当我们重新排列π的公式（40）和（41）时*和π*, 分别地，和涉及η的集合项，我们看到，对于i=1，2，最优策略的形式是i+Bi/(R)η+Ci/(R)η，这意味着每个策略的绝对值π*IDECREASESA？η增加，其他变量保持不变。实际结果是，随着随机便利收益率过程δt的波动性增加，长期和短期持有的合同数量都在减少。这与风险规避者的直觉一致，即如果随机便利收益率的波动性较高，则应优先减少交易对双方的风险敞口。此外，位置大小增加（π更为正值*π更负*) 随着风险厌恶程度的降低。给出了γ和π之间的反比关系*ias见等式（38）和（39）。图2说明了最佳期货头寸π*和π*, 随成熟度的不同而变化。首先，这两个位置的标志不同，大小非常接近。随着到期日变长，相应期货头寸的规模增加，π*变得更积极和π*更消极。

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kedemingshi

2022-6-11 02:52:03

然而，y轴上的变化非常小，因此可以将其解释为头寸对未来到期日不太敏感。0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17T4.624.644.664.680.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25T-4.96-4.94-4.92-4.9图2：最佳位置，π*在T-期货和π中*在两个期货组合中的T期货中，分别绘制为Tand T的函数，参数如表1所示，F=100，F=100.0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9η-2π*~π*0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9η-6-4-2π*~π*图3：最佳期货头寸π*2合约投资组合中的i（虚线）和d▄π*在η上绘制的单一合约组合（含Ti期货）中的i（实心）∈[0.1, 0.9]. 参数取自表1，F=100，F=100。在图3中，我们比较了最优交易策略，π*和π*对于两个期货到最优策略▄π*交易单一期货。我们使用与表1相同的参数集，将策略绘制为η的函数，即现货价格的波动性。当交易单个合约时，相应的最优策略|π*和￠π*, 都非常小，接近于零。然而，可以看出，当η变小时，随着波动性降低，它们的大小确实略有增加。这与最优策略为π的两种契约情况相反*和π*.随着η的增加，两者在相反的方向上增加。这表明，尽管风险随着η的增加而增加，但π中的成对位置*和π*, 相反的迹象，将随着现货过程的波动性增加而增加。与双人交易案例相比，单笔交易案例中的头寸规模也很有趣。当我们被限制只交易单一合约时，也就是说，当可接受的集合被使用时，头寸要小得多。

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可人4

2022-6-11 02:52:06

在当前模型下，存在多个不同类型的合约显著增加了交易量，并允许交易员进行更大的对冲交易。在图4中，我们将最优策略绘制为风险规避系数γ的函数。显然，给定γ和π之间的反比关系*方程式（38）和（39）中的ias，以及γ和|π之间的ias*如式（28）所示，最佳位置的幅度预计会减小。有趣的是要注意的是∧π的不敏感性*i相对于γ，相对于π*i、这意味着在单一期货的情况下，无论风险规避程度如何，头寸都将很小。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1γ-2π*~π*0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1γ-6-4-2π*~π*图4：最佳期货头寸π*2合约投资组合中的i（虚线）和d▄π*在γ上绘制的单合约投资组合（含Ti期货）中的i（实心）∈[0.01, 0.1]. 参数取自表1，F=100，F=100。在详细分析了最优策略的参数依赖性之后，现在我们根据历史数据来研究它们的行为。我们考虑2014年6月和2014年7月4-04-01 2014-05-01 2014-06-014.52014-04-01 2014-05-01 2014-06-01-5-4.5-42014-04-01 2014-05-01 2014-06-01-0.4-0.2图5：最优策略π*, π*和π*+π*基于2014年3月至2014年6月期间的历史WTI原油期货数据，使用表1中显示的参数。2014年WTI原油期货。我们展示了2014年3月至2014年6月期间的经验最优头寸。选择该周期与ofEwald et al.（2018）的校准后周期相对应。应用策略的显式公式，我们计算π*, π*,和π*+ π*基于这些合同的每日结算价格以及表1中的参数。

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2022-6-11 02:52:09

如图5所示，最佳stra t egyπ*在整个期间都是正值，对应于前一个月合约中的多头头寸，而π则相反*.总的来说，两个位置的总和小得可以忽略，相当于一个净中性位置。总的来说，当参数η和η保持不变时，位置变化不大。唯一改变ar e F和Ti的变量- t、其中，我们已经在图2中看到了相对灵敏度。我们现在将注意力转向确定性等价物。参考第3.3节，我们在图6中绘制了以下确定性等价物：？C（1）在交易了T期货的单一期货案例中，C（2）在交易了T期货的单一期货案例中，C在交易了T期货和T期货的两个期货案例中。表2给出了它们的数值。C（0）~C（1）（0）~C（2）（0）0.8962 0.1418 0.1782表2：确定性等值值：~C（1）在交易了T期货的单一期货情况下，C（2）在交易了T期货的单一期货情况下，C（2）在交易了T期货和T期货的两个期货情况下。确定性当量在t=0和w=0.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0.10.20.30.40.50.60.70.80.9CC（1）C（2）图6：两个期货组合的确定性当量C，以及单个期货组合的C（1）和C（2），分别与t期货和t期货（见（44））。确定性等价物在时间t=0时进行评估，初始财富w=0。交易期限为T=1，金融机构到期日为T=13/12，到期日为T=14/12。其他常见参数见表1，以及F=100和F=100。我们从图6中观察到，同时交易两份合同的确定性等价物明显大于仅交易一份合同的确定性等价物，无论是否选择到期日。

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2022-6-11 02:52:12

事实上，确定性等价物C远大于两个确定性等价物▄C（1）和▄C（2）之和。这是有意义的，因为singlecontract案例可以被视为两个合同案例，但其中一个策略被限制为零。有效地，单一合同案例限制了可接受集合，从而得出了最大预期效用和确定性等价物。我们的研究结果证实了这样一种直觉，即交易工具的选择越多越好。最后，我们考察了C在不同风险厌恶水平下的行为，重点考察了其对风险λ市场价格的敏感性。在图7中，我们看到时间0时的确定等价性，C，在λ中是增加的和二次的，并且随着λ的增加趋于一致。这适用于所示的所有三个γ值，但较低的风险规避表明，在λ中，必然等价的gr更高更快。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11λ0.51.52.53.54.5，γ=10%C，γ=5%C，γ=1%。图7：确定性等价物C，在时间t=0 w，初始财富为零w=0，作为风险λ的市场价格的函数，参数如表1.5所示。我们分析了在相同情况下动态交易两个期货合约的问题。在现货价格的双因素均值回复模型下，我们推导了futuresprice动力学，以封闭形式解决了投资组合优化问题，并给出了明确的最优交易策略。通过研究相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们显式地解决了效用最大化问题，并给出了包含形式的最优交易策略。

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nandehutu2022

2022-6-11 02:52:15

除了我们解的解析性质外，我们还将我们的结果应用于商品期货交易，并给出数值例子来说明最优持有量。管理期货的未来研究有几个自然的方向。首先，现货模型中可以加入其他因素和风险来源，包括随机跳跃、随机波动和随机利率。然而，更复杂的模型通常意味着价值函数和最优交易策略无法以封闭形式获得，因此需要数值近似。实际上，期货通常与杠杆交易，而保证金要求是一个核心问题。将此功能结合到未来的投资组合优化中可能并不简单，但肯定会有实际的应用。附录A。1有三个期货合约的投资组合请考虑三个不同到期日T、T和T的期货合约的动态投资组合。

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